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Chapter17강체의 평면 동역학 힘과 가속도강체의 평면 동역학(힘과 가속도)

Planar Kinetics of a Rigid Body :g yForce and Acceleration

17장 1/28

17.1 관 성 모 멘 트(Moment of Inertia)(Moment of Inertia)

질점의 운동 질점 (크기 ) 회전 효과 병진운동만 의미 질점 동역학의질점의 운동: 질점 (크기 x) 회전 효과 x 병진운동만 의미 o 질점 동역학의

표현 운동의 변화에 저항하는 성질인 관성의 척도인 질량만 필요

강체의 운동: 회전 효과 o 강체동역학 병진관성의 척도인 질량 + 회전관성의강체의 운동: 회전 효과 o 강체동역학 병진관성의 척도인 질량 회전관성의

척도인 관성모멘트( ) 필요I

----운동방정식----

질점 동역학 혹은 평면 운동하는 강체의 회전 동역학

강체의 병진 동역학

aF rrm= 모멘트힘의

αM rrI=

가속도질량힘 ×= 각가속도관성모멘트 ×=

17장 2/28

m일정 힘에 대해 m이 클 수록 가속도 작다. 즉 저항하는 정도 크다

αM rr

=I일정 모멘트에 대해 I가 클 수록 각가속도 작다. 즉 저항하는 정도 크다

(회전운동에 저항하는 성질의 척도)

관성모멘트 (moment of inertia)z : 물체의 미소질량의 특정 축(z)에 대한 2차 모멘트의 적분.

∫= dmrI 2

모멘트 팔 r : z축에서 미소질량 dm 까지의 수직 거리

1.관성모멘트를 언급할 때는 반드시 축을 언급해야 한다.

주의!dm

Fig17-1x

즉 다른 축에 대한 관성모멘트의 값은 달라진다.2.관성모멘트는 항상 양(Positive)의 값을 갖는다

Vddm ρ= 부피차지하는미소질량이밀도 :,: dVρ

VdrI ρ2

Vddm ρ= 부피차지하는미소질량이밀도 : ,: dVρ

, r2 = x2 + y2, ρ = ρ (x, y, z), dV = dxdydzV

17장 3/28

밀도가 균일하면

(6 2)∫= VdrI 2ρ

미소 요소가 3방향으로 크기를 가지면

3중 적분으로 표시 된다.∫∫∫∫ == xdydzdrVdrI 22 ρρ (6-3)

But, 물체가 한방향으로만 두께를 갖거나 대칭성을 가지면 3중 적분을 1차 적분으로 단순화할 수 있다.

Solid bodyshell or disk element

①셸( h ll) 요소 높이 반경 두께 d d

Solid body

Expressing a solid body using a shell or disk element

①셸(shell) 요소

rzdrVd π2=

높이 z, 반경 r = y, 두께 dy=dr

zdyyVd )2( π=

∫∫ ==∴ zdrrVdrI 32 2πρρ 1차 적분

Fig17-217장 4/28

* 셸요소는 매우 얇아서 축 z로부터 떨어진

거리 r이 하나의 셸요소 전체에 걸쳐서 동일

②원판(disk)요소

원판은 두꺼워서 원판을 구성하는 모든 요소들이 축 z로부터 떨어

dzrdV 2π=

진 거리가 전 요소에 걸쳐서 동일하지 않으므로 식 (6-2, 3)을 이용

하여 직접 관성모멘트를 계산할 수가 없다.

∫즉 ,dII = ∫

22 dVdmrdI == ρηDisk 전체의 dV

32 22 ddzdzdr

== ∫∫ ηηπρηπηρη

ρη원판요소의관성모멘트

2rdmdzr == ρπ

η ηdr

Disk를 구성하는얇은 shell의 dV

결국 ∫= dzrI 4

dzr 2πρ원판의 질량dz

17장 5/28

Example 17.1Determine the moment of inertia of the cylinder about the z axis. The density of the material, ρ, is constant.y ρ

SolutionShell ElementShell Element• Volume, dV = (2πr)(h) dr• Mass, dm = ρ dV = ρ(2πhr dr)• Since the entire element lies at the same distance r from theSince the entire element lies at the same distance r from the

z axis, for moment of inertia of the element, dIz = r2 dm = ρ(2πhr3dr)

• Integrating over entire region of the cylinder,Iz = ∫r2 dm = ρ2πh∫R0r3dr = (ρπ/2)R4hIz ∫r dm ρ2πh∫ 0r dr (ρπ/2)R h

• For mass of the cylinder, m = ∫m dm = ρ2πh∫R0r dr = ρπh R2

so thatso that Iz = ½ mR2

Ex) 17.2

Using disk element,

844 873.025

22mMgdyydyxdzrI ⋅==== ∫∫∫

ππρπρ

예제17-1 z′ l lThin rod(가느다란 봉)

x dxz2 2

d ′x′G

[ ]123

2/222 mlx

lmxdmxI

lZ ===== −−∫∫∫

222 1 mlxdxmdmxI lZ =′′=′= ∫∫′ 0 3

mlxdxl

dmxIZ ∫∫

17장 8/28

평행축 정리(Parallel-Axis Theorem)

물체의 질량중심(G )를 지나는 축( )에 대한 관성모멘트( )와 이 축으로부터

d만큼 떨어진 평행축( )에 대한 관성모멘트( I )사이의 관계GIz′

∫∫ ′++′+==m yxm

dmydxddmrI 222 ])()[(y′

22yx dd +

∫∫∫∫∫∫

+′+′+′+′=mmymxm

dmddmyddmxddmyx 222 22)(

G x′y′

x′dd

r′dm

GIdmr =′∫ 2 0 2md0xdx

2d ∫= dmrI 22차 모멘트

질량중심의 정의에서

2mdII G += ∫m

0=∫ xdm2차 모멘트

1차 모멘트

=′∴′

+=′+

==≡ ∫∫∫∫ dmxm

xdmxd x

즉, 물체의 미소질량의 질량중심에 대한 1차 모멘트의 적분은 0이다.17장 9/28

축회전반경(Radius of Gyration)

mIkmkI == , 2 k

회전반경의 물리적 의미

특정 축에 대한 물체(질량 m)의 관성모멘트와 같은 관성모멘트를 갖게 되는, 그물체와 같은 질량을 가진 질점이 그 축으로부터 떨어져 있는 거리.

물체의 모든 질량이 한 점에 모여있다고 가정할 때 그 물체의 관성 모멘트와 같은 관성 모멘트를갖게 하는 거리

17장 10/28

예제17-2예제17-2l

축′ 축

zk ′ zk

21 mlII ==

축z ′ 축z

lIk G ==12

mlII Gz ==12m

k z ==

2 11 l ⎞⎛ 22

2121 mllmmlmdII Gz =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=+=′

z klIk 23=== ′

′ m 3

17장11/28

C i b di (복합 물체)Composite bodies (복합 물체)

단순 물체의 조합으로 이루어진 복합물체의 z축에 대한 관성모멘트= z축에 대한 각 물체의 관성모멘트의 합

각 체의 질량 심이 축에 있지 않 경 평행축 정리 사각 물체의 질량중심이 z축에 있지 않은 경우 평행축 정리 사용

)( 2mdII G +=∑GIWhere : 각 물체의 질량중심에 대한 관성 모멘트

( )( ) ( )( ) ( )222 ]05.0025.011.01121[8025.03

+⋅+⋅+=AI ( )( ) ( )( ) ( )2mkg 0526.0

122⋅=

Example 17.3If the plate has a density of 8000kg/m3 and a thi k f 10 d t i it t f i tithickness of 10mm, determine its moment of inertia about an axis directed perpendicular to the page and passing through point O.

SolutionDisk • For moment of inertia of the disk about centroidal axis perpendicular to the plane of p p p

the disk,

• Mass center is located 0.25m from point OTh [ ]

221 mrIG =

• Thus, ( ) ( )[ ]( ) 22

71.1501.025.08000

=== πρ

( )( ) ( )( ) 222 .276.025.093.3125.093.321 mkg=+=

• For moment of inertia of the plate about point O

( ) ( )27604731

III OhOdO −=

2.20.1276.0473.1

예제17-3 Prob. 17.9 Determine Iy

a. 원판요소를 사용하면 dy 2

21 rdmdI =

2dyrdm 2πρ=

( ) ( )22

11021 xdmdmdI −= yx

( ) ( ) dyxdmdydm 22

21 , 10 πρπρ ==

( ) ]2910[

∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= dyydyI πρ

= 원기둥의 관성모멘트 포물면(Paraboloid)을회전하여 얻은 물체의 관성모멘트

b. as a composite

17장 14/28∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−= dyymRdzrmRI 2

221 πρπρ

17.2 평면동역학에서의 운동방정식(Planar Kinetic Equations of Motion)

강체의 평면운동강체의 평면운동: 강체에 작용한 힘이 운동평면에 대해 대칭적일 때

즉 힘의 모멘트의 총합은 운동평면에 수직한 축 방향의 성분만 가진다.

물체 내의 한 점 P를 원점으로 하는 병진기준계 xyz를 고려하자

(Fig17-8)17장 15/28

• 병진운동방정식( Eq ation of Translational Motion)• 병진운동방정식( Equation of Translational Motion)

강체는 특수한 질점계이므로 질점계 동역학의 여러 원리가 강체 동역학에서도 그

대로 적용된다 즉대로 적용된다. 즉

∑ = GmaF ) )( , )( ( yGyxGx amFamF ∑∑ ==

강체에 작용한 모든 외력의 총합 = 강체의 질량 강체의 질량중심의 가속도×

• 회전운동방정식( Equation of Rotational Motion)

총합내력의작용하는에

총합외력의작용하는에

iiiim fFa +=

17장 16/28Fig17-8(a)

에 작용한 힘의 점 P에 대한 모멘트im iP )(M

( ) iiiiiP m arfFrM ×=+×=)(rrαaa 2ω−×+= Pi 이므로

( )])([

)(2 rrrαrar

×−××+×=

Fig17-8(b), (c)

( )])([ Pi

( ) ( ))]}([)(

][){()()(jikji

jijikM aayxmM yPxPiiPiP

+×+==

)]}([)( jikji yxyx +××++ α

kkk 222 ryx ααα =+

r y( ) ( ) ][-)( 2raxaymM yPxPiiP α++=

질량 mi에 대한 방정식

x강체 전체에 대한 방정식 강체의 전 영역에 걸쳐 합(적분)

( )( ) ( )( ) ( )α∫∫∫∑ ++−= yPxPP dmraxdmaydmM 2

17장 17/28

( )( ) ( )( ) ( )∫∫∫∑ myPmxPmP y점 P의 운동 aP와 강체의 각가속도 α가 mi에 무관하므로 적분기호 밖으로

묶어 낼 수 있다.

( )( ) ( )( ) ( )α∫∫∫∑ ++−= dmraxdmaydmM 2( )( ) ( )( ) ( )α∫∫∫∑ ++=myPmxPmP dmraxdmaydmM

(외력의 모멘트 합+내력의 모멘트 합)뉴턴의 운동 제 3법칙으로부터 0

질량중심의 정의로부터ydm

x ∫∫ == , mm

αPyPxPP IamxamyM ++−=∑ )()(

)(mar×

만약 점 P를 질량중심 G와 일치하게 선택하면

zPmyx }){( aji ×+ )( Pmar×

만약 점 P를 질량중심 G와 일치하게 선택하면

0== yx ( G에서 G까지의 거리가 0) 이므로

αIM =∑ αGG IM =∑외력의 질량중심에 대한 모멘트의 총합 =

물체의 질량중심에 대한 관성모멘트 물체의 각가속도×물체의 질량중심에 대한 관성모멘트 물체의 각가속도×

17장 19/28

αPyPxPP IamxamyM ++−=∑ )()(Expressing in terms of and Ga GI

외력 Fi

병진기준계

관성기준계주

PxyzOXYZ

P xn : 질점의 갯수

∑∑

∑∑∑∑∑ ×+×=×+=×==

iiiiiii

FFrFrFrM1

∑∑∑

×+×=

ρ ( 는 mi와 무관하므로 밖으로

나올 수 있다.)r ∑

질량중심에 작용한다고 본 외력의 총합(합력)의 점 P에 대한 모멘트

IGα k

질량중심에 작용한다고 본 외력의 총합(합력)의 점 P에 대한 모멘트

17장 20/28

( ) ( )( ) ( ) k

kjiar ][

00 yGxGG amxamy

amamyxm +−==×

( ) ( ) 0yGxG amam

이므로 , kkMkM αGGGPP IMM === ∑∑∑∑ ∑∑∑∑

∑ F ( ) ∑∑ = GzG MM= =

( ) ( ) ( ) αα GzGGyGxGP ImIamxamyM +×=++−=∑ ar= =

식의 의미

외력의 점 P에 대한 모멘트의 총합 =질량중심에 작용한다고 본 외력의 총합의 P점에 대한 모멘트 +

식의 의미

외력의 질량중심에 대한 모멘트의 총합

17장 21/28

αGG IM =∑αPyPxPP IamxamyM ++−=∑ )()(

결국 강체의 평면 운동에 관한 세 개의 스칼라 방정식을 얻게 된다.

( )Gx amF =∑ ( )( )

( ) ( ) αα GGGPGG

IamxamyMIM

++−==

∑∑∑∑

또는

∑ GM=

주의

( ) ( )( ) α

GyGxGPGG

IamxamyMIM

++∑∑ar

또는

강체 운동학에서 강체내의 한 점의 운동과 강체의 회전을 알면 강체내의 모든 점의

운동을 알 수 있다는 점을 확인하였다

주의

운동을 알 수 있다는 점을 확인하였다.이제 위의 세 운동방정식은 강체에 작용한 힘과 힘의 효과인 모멘트로부터 강체내

의 한 점인 질량중심의 운동( )과 강체의 회전( )을 구하게 함으로GG aa )()( 와 α( ) ( )

써 강체의 평면운동의 원인(힘)과 결과(운동의 변화)사이의 관계를 제공한다.yGxG aa )()( 와 α

17장 22/28

강체에 모멘트가 직접 작용하지 않아도 힘이 작용한 결과모멘트 발생 (강체이므로, 질점이라면 모멘트 팔의 길이가

0이되어 모멘트 발생하지 않는다)

강체에 힘이 작용한 결과질량중심에 maG크기의 가상의 힘이 발생하고

크기의 모멘트 발생αGI

FBD Kinetic Diagram

maG ∑ F 의 결과에 의해αGI

G축에서 보면 αGG IM =∑( ) ( )( ) αααα mIrmrImarIM GGGGP +=××+=×+=∑

( )GGP marIM ×+=∑ α그러나 P축에서 보면

즉, G가아닌 다른축에 대한 모멘트 = G 축에 대한 모멘트 + 두 축이 떨어짐에 따라

( ) ( )( ) αααα mIrmrImarIM GGGGP +++∑

즉, G가아닌 다른축에 대한 모멘트 G 축에 대한 모멘트 두 축이 떨어짐에 따라생기는 보정항 ( )Gmar ×

SummarySummary

α•• =∑ IM

Subscript could be any thing즉 어떤 축에 대한 회전에 대해서도 항상 그 축에 대한 모멘트의 합= 그 축에 대한 관성모멘트 x

α2rmII G +=•

거리사이의축축과 : •Gr

rmrIItG

×+=•

17.3 운동방정식:병진의 경우(Equations of Motion: Translation)

( )∑ = xGx amFa. 직선병진

( )∑∑∑

∑+==

MdmaMM

0 또는

( )zGmar×

b. 곡선병진

( )∑ = nGn amF ( )( )

( ) ( ) ∑∑∑∑∑

+−==

GnGtGBG

MahmaemMMamF

0 또는 ( ) ( ) ∑∑∑ GnGtGBG

( )zGmar×=17장 25/28

예제17-4The bicycle and rider have a mass of 80 kg withThe bicycle and rider have a mass of 80 kg with center of mass located at G. If the coefficient of kinetic friction at the rear tire is μB = 0.8, determine the normal reactions at the tires A and B, and the deceleration of the rider, when the rear wheel locks f b ki Wh t i th l ti t thfor braking. What is the normal reaction at the rear wheel when the bicycle is traveling at constant velocity and the brakes are not applied? Neglect the y pp gmass of the wheels.

αGI( )Gam

①감속운동의 경우

( )xGam

( )yGam

( )( )

∑∑ xGx

( ) 081980808.0 = GB

( ) 0=

∑∑

amF ( )( ) 02.18.04.055.0

081.980=×+×+−×

=−×++

17장 26/28

0 대신에=∑ GM( )( ) 4.081.98095.0

대신에

××+−×=−×=∑

M)( GGB marIM ×+=∑ α

( ). 있다수사용할

N226 ,N559,m/s26.2 2 === BAG NNaQ

②등속운동의 경우

,, BAG

②등속운동의 경우

: 0=∑ xF 00 =

∑∑

F( ) 04.055.0

081.980=×+−×

=×−+

N454 ,N330 ==∴ BA NN

17장 27/28

Example 17.7A uniform 50-kg crate rest on a horizontal surface f hi h th ffi i t f ki ti f i ti i 0 2for which the coefficient of kinetic friction is 0.2. determine the acceleration if a force of P = 600N is applied to the crate. Solution

Equations of Motion

)50(2.0600;)(

=−=∑→+

akgNNamF

of Motion

;005.490

Μ∑=−

=∑↑+

yGy FBD

0)5.0()()3.0(600;0

=−+−=Μ∑

mNxNmN CC

SolutionSolutionEquations of Motion• Solving

NNsma G

490/0.10 2 →=

• x < 0.5m, the crates slides as assumedmx

467.10490

• If x > 0.5m, problem would be reworked with the assumption that the crates tips • In that case, NC acts at corner point A and F ≤ 0.2NC

Example 17.8The 100kg beam is supported by two rods having negligible mass Determine the force created innegligible mass. Determine the force created in each rod if at the instant θ = 30° and ω = 6rad/s.

( ) 2 (6 d/ )2(0 ) 18 / 2(aG)n = ω2r = (6 rad/s)2(0.5m) = 18m/s2

FBD • Three unknowns TB, TD and (aG)tB D ( G)t

Equations of Motion

)(∑F

;)()/18(10030cos981

=∑=−+

aFsmkgNTT

;0)(10030sin981

=Μ∑=

32.1 kNTT DB ==Note, BD translates only!

0)3.0)(30sin()4.0)(30cos( =+− mTmT DB

Goo 2/90.4)( sma tG

17.4 운동방정식:고정축에 대한 회전운동방정식 정축에 대한 회전(Equations of Motion: Rotation about a Fixed Axis)

물체의 고정축에 대한 회전운동에선 물체의 모든 점이 고정축을 중심으로 원운동을 하물체의 고정축에 대한 회전운동에선 물체의 모든 점이 고정축을 중심으로 원운동을 하

게 된다. 원운동을 나타내는 데는 접선-법선 좌표계가 편리하므로 운동방정식을 다음

과 같이 정리할 수 있다.

Fig17-14

점 O는 고정점, 즉 vO = aO = 0. ( ) ααα GGGtGGO ImrIamrM +=+=∑ 2

∑ GM

17장 30/28

( )( ) αα OGG

GGGtGGO

IImr =+=

식 (17-9)에서

( )∑ 2

∑ GM

( )( ) αα

ααα

GGGtGGO

ImrIamrM

+=+=∑2

주의!회전운동을 위하여 와 중 어느 것을 사용해도

좋으나 전자를 사용하면 점 G , 후자를 사용하면 점 O 에 작용하는 힘이 모멘

주의!αGG IM =∑ αOO IM =∑

좋으나 전자를 사용하면 점 G , 후자를 사용하면 점 O 에 작용하는 힘이 모멘

트 방정식에 나타나지 않는다.

17장 31/28

Example 17.9The 30kg disk is pin supported at its center, if it starts from rest,determine the number of revolutions it must make to attain anangular velocity of 20 rad/s. also, what are the reactions at the pin? The disk is acted upon by a constant force F = 10N, which is applied to a cord wrapped around its periphery,

d t t t l t M 5Nand a constant moment couple moment M = 5N.m. Neglect the mass of cord in the calculation.

SolutionSolutionFBD• Mass center is not subjected to an acceleration• Disk has a CW angular accelerationDisk has a CW angular acceleration• For moment of inertia of the pin,

IO = ½mr2 = ½(30kg)(0.2m)2

= 0.6kg.m2g• Three unknowns, Ox, Oy and α

SolutionEquations of Motion maG ∑ FEquations of Motion

==∑→+

0103.294

=−−

=∑↑+

/1.17).6.0(.5)2.0(10

sradmkgmNmN

−=−−

( )yGam

)(222OCO −+= θθαωω

( )xGam

)(73.2211.17

)0)(/7.11(0)/20( 22

CWrevrevrad

sradsrad

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−+=−

θ Kinetic Diagram

2 rev ⎠⎝ π

Example 17.10The 20kg slender rod is rotating in the vertical l d h i h l l i fplane, and at the instant, has an angular velocity of ω = 5 rad/s. Determine the rod’s angular acceleration and the horizontal and vertical components of reaction at the pin at this instant.

ω ;2rmF Gn =∑←+

)5.1()/5)(20( 2

msradkgO

=∑↓+

;)5.1)()(20()81.9(20

IMmkgNO

=∑=+−

α])3)(20(2/1[.60)5.1( 2mkgmNmOt =+

0.19750

2/90.5 srad=α

Example 17.11The drum shown has a mass of 60kg and a radius of gyration kO = 0.25m.A cord of negligible mass is wrapped around the periphery of the drum andg g pp p p yattached to a block having a mass of 20kg. If the block is released, determine the drum’s angular acceleration.

Kinetic Diagram

222 .75.3)25.0)(60( mkgmkgmkI OO ===

IM∑αGI

Kinetic Diagram

( )yGam

).75.3()4.0(

αG ( )xGam

amF yGy

20)81.9(20

−=+−

=∑↑+

)4.0(;

==αα( )yBam

2/524106

2/3.11/52.4

sradsma

SolutionSolutionMethod 2

;)(M∑=Μ∑

/311)4.0)](4.0(20[).75.3()4.0()81.9(20

sradmmkgmkgmN

∑=Μ∑

/3.11 srad=α

Example 17.12The unbalanced 25kg flywheel has a radius of gyration of kG = 0.18m about an axis passing through its mass center G. if it has angularabout an axis passing through its mass center G. if it has angular velocity of 8 rad/s at the instant, determine the horizontal and Vertical components of reaction at the pin O.

222 .81.0)18.0)(25( mkgmkgmkI GG ===

ω ;2rmF∑←+

)15.0()/8)(25(

msradkgO

=∑↓+

=∑←+

;)15.0)()(25()81.9(25

IMmkgNO

=∑=+−

α).81.0()15.0(.0.12 2mkgmOmN t =+

2/2114

2.193240

α /2.114 sradα

Example 17.13The slender rod has a mass m and length l and is release from rest when θ = 0° Determine the horizontal and verticalfrom rest when θ = 0 . Determine the horizontal and vertical components of force which the pin at A exerts on the rod at the instant θ = 90°.

31 mlI A = 3A

)2/(sin

rmF Gn

I( )Gam

αθα

=+=∑

)2/(sin;

)2/(sin

lmmgArmF

nG αGI

( )tGam

( )nGam

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

31)2/(cos

Solution ⎠⎝ 3SolutionKinematics

• when dlgddd

cos)/51(90 ==

θθωωθ

θαωωo

52A• when• when

cos)/51(

,0,0cos)/5.1(,90

∫∫ θθωω

θθωωθ

cos)/5.1(2

= ∫∫ω

θθωωo

예제17-5(problem 17-71)

The variable-reluctance motor is often used for appliances pumps and blowers ByThe variable reluctance motor is often used for appliances, pumps, and blowers. By applying a current through the stator S, an electromagnetic field is created that “pulls in” the nearest rotor poles. The result of this is to create a torque of about the bearing at A. If the rotor is made from iron and has a 3-kg cylindrical core of 50-mm diameter and eight

mN4 ⋅e o o s de o o d s 3 g cy d c co e o 50 d e e d e g

extended slender rods, each having a mass of 1kg and 100-mm length,determine its angular velocity in 5 seconds starting from rest.

αAA IM =

( )( ) ( )( ) ( )222 ]050025011011[8025031+++=I

Thin rodcylinder

( )( ) ( )( ) ( )2mkg 0526.0

]05.0025.011.0112

[8025.032

+⋅+⋅+=AI

2rad/s04.76 0526.04 =⇒=∴ αα

각가속도 가 일정하므로

( ) rad/s3805047600

=+=+= tαωω각속도

각가속도 가 일정하므로α

( ) rad/s380504.760 =+=

Starting from rest17장 39/28

17 5 운동방정식:일반적인 평면운동17.5 운동방정식:일반적인 평면운동(Equations of Motion: General Plane Motion)

일반적인 평면운동에 해당하는 운동방정식은 식(17-11)과 같다.

즉 ( )( )

∑∑

( )αα GZGPGG

∑∑∑

)( ar혹은 …..(17-17)

αPI=마찰구름문제(Frictional rolling problems)는 특히 주의를 요하는 문제이

므로 자세한 해석과정을 소개하기로 한다므로 자세한 해석과정을 소개하기로 한다.

17장 40/28

Sμ : 최대 정지 마찰 계수

정지해 있는 물체가 막 움직이기(미끄러지기) 시작할 때의 마찰 계수(즉 미끄러지지 않는 상태에서 가질 수 있는 최대의 마찰계수)(즉 미끄러지지 않는 상태에서 가질 수 있는 최대의 마찰계수)(정지 상태에서의 마찰 계수가 아님)

물체를 1N의 힘으로 밀었을 때, does not move10N d tF 10N , does not move

100N , 막 움직이기 시작하려 한다면

세 경우 모두 물체와 바닥면 사이의 마찰력의 크기는 다르다세 경우 모두 물체와 바닥면 사이의 마찰력의 크기는 다르다그러나 모두 100N으로 밀었을 때의 마찰력보다는 작다.즉 정지상태의 마찰력의 크기는 모른다. 다만 막 밀리기 시작할 때의 마찰력보다는 작거나 같다.

NF sμ≤정지상태에서의 마찰력

운동이 막 일어나려 할 때의 마찰력 NF μNF kμ=운동 중일 때의 마찰력

운동이 막 일어나려 할 때의 마찰력 NF sμ=

자유물체도로부터 운동방정식 (17-17)을 이용하면Known force

다음을 얻는다.

GmaFP =−

αGG IFrMmgN

∑ GG∑

이 세식은 4개의 미지수( )을 포함하α,,, GaNF므로 하나의 식이 더 필요하다.

4번째 식?

1.구름(rolling)의 경우

구름의 구속 방정식 arxr =→= αθ

상대운동 없다

구름의 구속 방정식

2.미끄럼(sliding)의 경우

GG arxr =→= αθ

Fig17-21NFar kG μα =≠ ,

17장 42/28

3.구름인지 미끄럼인지 모를 경우

구름을 가정

를 네 번째 방정식으로 사용하여 마찰력 F를 구한 후 구름마찰arα 를 네 번째 방정식으로 사용하여 마찰력 F를 구한 후 구름마찰

의 조건 을 만족하면 구름이 확실Gar =α

NFF SS μ≡≤정지상태의 마찰력(미끄럼이 막 일어나려고 할 때)

이면 구름이 아니라 미끄럼이 확실하므로

을 네 번째 방정식으로 사용하여 해석

NFF SS μ≡>

NF kμ= kμ

주의:마찰력의 방향주의:마찰력의 방향

1.미끄럼의 경우

물체의 지면에 대한 상대운동에 의해 결정 회전방향(진행방향)과 반대방향

2.구름의 경우

구름과 반대방향으로 가정한 후 계산결과에 의해 결정구름과 반대방향으로 가정한 후 계산결과에 의해 결정

17장 43/28

Example 17.14The spool has a mass of 8kg and has a radius of gyration of kG = 0.35m. If the cords of negligible mass are wrapped around the inner hub and outer g g pprim as shown, determine the spool’s angular acceleration.

Method 1222 .980.0)35.0)(8( mkgmkgmkI GG ===

;)(amF =∑↑+

α ;)8(48.78100

IMakgNNT

=∑=−+

=∑↑+

α).980.0()5.0()2.0(100

;2mkgmTmN

8.19 NT =;α= ra

αMethod 2

)5.0(;

2 )5.0]()8[().980.0()5.0(48.78)7.0(100

makgmkgmNmN

∑=Μ∑

α2/3.10 srad=α

Ex 17.15

No slipping assumption

4 equations for 4 unknowns

FA violates the rolling assumption

미끄러지지 않는 상태에서 가질 수 있는 최대의 마찰력(73.6)보다 큰 마찰력(100N)이 있어야구른다는 얘기는 구름가정이 틀렸다는 것임

slipping condition

Wheel slips as it rolls

Solving 3 e.o.m’s & slipping condition altogether

줄이 바퀴의 안쪽 원통에 감겨 있고, 200N의 힘으로 평행하게잡아당긴다. 바퀴는 질량이 50Kg이고 회전반경이 70mm이다.

이고 일 때 바퀴의 G의 가속도와 각가속도를150

이고 일 때, 바퀴의 G의 가속도와 각가속도를구하라

2.0=sμ 15.0=kμ

Solution) a) 미끄럼 없는 구름운동을 가정 αα 1.0== raG

바퀴의 관성모멘트 222 245.007.050 mKgmkI ⋅=⋅==

마찰력 F 의 방향을 일단 구르는 방향과 반대로 가정

200 GmaF =+운동방정식:

1.0)06.0(2005.490

αGG IFMNmgN

=⋅−⋅−=

smasrad

G /074.1/74.10

NF 3.146−=

최대마찰력 NNF 198)5490(20 === μ

구름운동이 일어나려면 146.3N의 마찰력이 필요NFF sμ=> max

최대마찰력 NNF s 1.98)5.490(2.0max === μ

이 조건에서 구름운동은 일어날 수 없다!미끄러짐이 없을 때 생길 수 있는 최대 마찰력

b) 미끄럼이 있는 회전운동을 가정) 있

바퀴가 회전하면서 미끄러지므로 와 가 서로 무관Ga α

회전중심Note. 회전중심Rolling 접촉점Slipping G

마찰력의 방향: 미끄러지므로 운동의 방향과 반대방향

방향설정 중요!

NNF k 6.73)5.490(15.0 =⋅== μ마찰력의 방향: 미끄러지므로 운동의 방향과 반대방향

200673 ma=+운동방정식:

마찰력의 크기:

1.0)06.0(2005.490

2006.73

IFMNmgN

=⋅+⋅−=

===+−

운동방정식:

/53.2/94.18

smasrad

−=α

)( GG∑

Example 17.16The uniform slender pole has a mass of 100kg and a moment of inertiaIG = 75kg.m2. If the coefficient of static and kinetic friction between theend of the pole and the surface are μs = 0.3 and μk = 0.25 respectively. Determine the pole’s angular acceleration at the instant the 400Nhorizontal force is applied. The pole is originally at rest

)100(400;)(

akgFNamF

=−=∑→+

∑=−

=∑↑+

).75()1(400)5.1(

;2mkgmNmF

Kinematics (No slipping))5.1(

ra==αα

• Solving,300981

/667.0

Solution• 300N > 0.3(981N) = 294N (Slips at A)Kinematics (Slipping)

Solving,25.0 NF AA =

245981

/428.0

Example 17.17The 30kg wheel has a mass center at G and has a radius of gyrationkG 0 15 If th h l i i i ll t t d l d d t ikG = 0.15m. If the wheel is originally at rest and released, determine its angular acceleration. No slipping occurs.

22 )15.0)(25( mkgmkI GG == 0=ω

2.675.0 mkg=

;)(M AkA ∑=Μ∑

)1.0()(30)25.0()(30).675.0()1.0()81.9(30

2 makgmakgmkgmN

yGxG ++= α

)25.0(;

==αα

/ ωα −×+= OGOGOG rraarrrrr

0)1.0()4()25.0()()( αα −−×+−=−− yGxG ikijaiarrrrr

2/3.10

2634.77

)1.0()()25.0()(

/03.1)(

/58.2)(

예제17-6

The truck carries the spool which has a weight of 200lbThe truck carries the spool which has a weight of 200lb and a radius of gyration of kG = 2 ft. Determine the angular acceleration of the spool if it is not tied down on the truck and the truck begins to accelerate at 5 ft/s2. The coefficients of static and kinetic friction between the spool and the truck bed are and150 150=μthe spool and the truck bed are and respectively.

15.0=sμ 15.0=kμ

200 lb

자유물체도 운동방정식

( ) ft/s2.32 1 200,0200 2===− gNN200 lb

Gaft3( )2

2.32200

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== GG amaF

NF ( ) ( ) ( )3 2

2.322003 22 αα ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛===∑ GG mkFM

17장 52/28

구름인지 미끄럼인지 모르므로바닥이 정지되 있으면 4번째 식을 그냥 으로계산하면 되지만 바닥의 가속도가 주어져 있고 G의 가속도를구해야 하므로 바닥점 와 사이의 관계식을 이용

αraG =

구름을 가정

접촉점 A에서 미끄럼이 발생하지 않으므로

구해야 하므로 바닥점 A와 G사이의 관계식을 이용

접촉점 A에서 미끄럼이 발생하지 않으므로

( ) ( )AA2

ttangential ft/s5aa =≡접촉접의 수평

가속도 성분= i = 차의 가속도

( )GAGAGA // rraa ××+×+= ωωα가속도 성분

접선성분 ( ) ( ) ( )αα

3]3[5t

+=−×+==

aa jka

...(4)α3 +Ga ( )

(1)~(4)를 풀어 F를 구하면

( ) lb30200150lb5569 < NFF ( ) lb3020015.0lb556.9 ===<= NFF SS μ

구름이 확실하므로 와 을 미리 구하면Ga α22 rad/s15.1 ,ft/s538.1 == αGa

17장 53/28

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