cdn.gdz4you.com · 51(075.3) 22.1 723 77 , ˘ ˇ ˇ ˆ - ˘ ˆ ˙ ˆ ˇ ˆ ˇ ˆ 8 ˘ ˝ ˆ
Post on 19-May-2020
19 Views
Preview:
TRANSCRIPT
��� 51(075.3) ��� 22.1�723
� 77
���� �, ��� �������� ���� ��� ������ ��������� �� �� ��������� ���-������� ������� ���� �� ���������� ��� ����� 8 ���� ����������� ��� ������������������ � ������� ������� �� �������� � ������� ��������� ����� « ���!����-���� "��� �� ��! ��� � � ����� ����#��»:
������� . �., !� ��� ������� !� ������# ���� � �� «��$ ������ �����-��� ������� ��� � � ������������% �������� ��� �» ��$ �����# �������# ����"�����#����# ���� �;
� � ����� �. �., ����� ������� ����# �!������ �� � !� �!� ������ ��������&'( «�)��������� ������������ ������� � », ������� ������-!� �!� ����� ����;
������ �. �., ��� ��� "��’�������# ����������� ���# $���� *–*** �����"�����������# �������# ���� �������������# ���� �, ��� ���-!� ��� , ����)�-��� ��� ��� ����#��.
���!��������"��� �� ��! ��� � � ����� ����#��
(����� ��� ����� �� 10.05.2016 .� 491)
���� � ���� � �������� � ����.�� �� �� � ���
��� �� �.� 77 +������ : �����. ��� 8 ��. ����������� . ����. ����. /
&. �������, ". ,�������, -. .������. — /������� : ,�����-���� � �������, 2016. — 256 .
ISBN 978-966-07-3003-8 !"� 51(075.3)##� 22.1�723
ISBN 978-966-07-3003-8 © ������� &., ,������� "., .������ -., 2016 © &������� �� «,��������� � �������»,
��������-!��� , 2106
��� �����! ���� ��� ��� ���������� �� ����.%������ �� ������� �� ���� �� ��� ���� ��"�, � ���� ��-
"� — �� ������.��+��� ����� ���������0��� ���� �$ ���������� � $�����-
��. ����� ������ $����� � ������� $������ �� �������( «����!, !�� !��� ����� ��'�».
��� � � ������� «����� � ����’������ �����». 1� �� �����.���� ���$�+� ��$ ������$����� � �������$� �� �$� �����, ���-����$� &! ����’�������� �� ������ ������� ���������� ����’�-�����. ������� �� ���������� ����’������ ��+��& ������ ������������+����$ «.».
� ��+��$� ������ �����$� ����� �� ���� �� ��� ����� ��� -�����.
2������� ����� ����’������� ���� ������ � ������'� �� ��� (��-��� -), � ����$ ������� � ��� ��'�! (����� �). *� ��� �����
� — � ����$�����'�!, ��!, !�� !��� �$��� �� ����� ��'� � $�-�� �����3� ������. �� ����! �� �� �� � ����� ���� ��� ����’�-�����.
�� ��$�������& ������ � �$� ����$�� ����� �� ���, ��$������! �� ���� �����$ (������� , 255).
#������ «������ � ����������» ���������� � ����� ����- � ���������� �������! �� �� ����� �� �� ������ � �������� ��-�� � ���������� � $�������.
)������� ������� «��$�������» ���’����� � �������$ �����-��$ $���$������& �� ������. 4������$ � ����’������ �� �� ��0&������� 0 �$���� ��!� ��� � ������ �����! ��������. #���’�-������� ����! �� �� �������0 ������� � ���������� $������, ��� ���$�+� ��$ � $�������$�, �����+�� �� �� �, ��� ���"���(�� �������.
)��������� ��+�� � ���� ��"� �$�3��� ��������� �� ������ � ����������, ��� ���� � ��$���������� ������! ������ ��� -�����.
� ����� �� ������� �� ��� ������ � ���������� $������� ������ ���� � ���� 8 ����, �� ��� �� ��3���& ��� �����, ��� ��-��� $������.
5��� ��+�0$� ����!�!
6 § 1. ���������� ��� �
1. /���, ��%-%&� ' � *�%� �$�� &�� "�. � ��$�$� ���� $� ��������� ������. ����� �$� ����! ������� 0:
� + b; 3�2; 2�(� – �)2; ;3c � : 4; b; 3.
��� � ��$�: ��� ������ $�+�� $������ �& � ������, �� ��$����,$��+����, �� ������� � �������, � ����+ �( �����, �� ���� �� ����,�� $���� �� ���.
��+��� ���� ����� $�+�� �������� � �� � � $�� �����. )������ ,
2�(� – �)2 = 2�(�2 – 2�� + �2) = 2�3 – 4�2� + 2��2.
#�� ���$� ������5 1,
1y
y+
+ 2 217 ,ab
a b− 3� : b, 2( ) .xx y
x y− −+
1� ������ �� �����(��� �� ���! ������� ��$, 3� $����� �( ����� �� ��-��� �� �$����(. ���� ������ ������(� ���� ��� ������������ ������.
1�� � ������ ��������� ������ ������(� ������������ ��� ���.
34b a+����� ���
34 ab +
���� �� �������������� ����
#�� ���$� ��������� ������ ,aba b+
2,3 ,( 2)x y +
57a . ���� 0 ������$�
��! �������, � �� � +, �( ����� �������� �� ���$� �( ����� ����. ���������� ������(� ������.
/�3� $�0$� ��� ,AB � A � B — ���� ������ ������ ��� ������ �� �$����-
$�, �� ����� A ������(� ����������� ����, � ����� B — �����������.
4�+�, aba b+
— ��� �� ��������$ ab � ���$������$ a + b.
1. ���������� ��� �. ���������� ����� 7
���� ,AB � ���$� A � B — $�� �����, ������(� ����������� ������.
)������ , 4 ,3x +
,a ba b
+− 2 2 ,x y
x xy y+
+ +,x
a 3b — ��������� ����.
2. �%1�!'�2� "� �)��� "2����(. #�� ���$� ������� ����� 5 .2a −
/�3� � = 3, �� �������� �� � ������ �����(0: 53 2−
= 51
= 5;
��3� � = –6, �� �������� ������ �����(0: 56 2− −
= 5 .8
−
*������� ������ 52a −
$�+�� ������ � �� -��� � �������� �, ���$ � = 2.
/�3� � = 2, �� ���$����� � – 2 �����(0 ��(, � �� �� ���� �� $�+��. ��+��:
��3� � ≠ 2, �� ����� 52a −
�� ����!, � ��3� � = 2, �� ����� �� �� ����!�. *�������
�$����!, � ���! ����� $�0 �$���, ������(� ��"��!����� �������#�� �$��-��!.
� ��������%1�!'�2�2� "� �)���2� "2����( &�� "� � "�& 3'$ ' ��4( "� �)���, ��� ���( &�� " 2 5 "2�!'.
���, � ������ 52a −
������$�$� ��������$� �$����& 0 ��� ��������
�, ���$ � = 2. ��"��!����� �������#�� ������� ����-#��$� ����$� ���� �� ������-
�# �������. ��"��!����� �������#�� ������� ���� �$� ����������$� ��-�� �� �������# �������, ��� !��, ��# #��� ��� �% ���% ��������� ���� �����$� � ���� , &� ���#!� �� ����$� ����.
3. 6%'%+�% ��&�� &�� "�. 6%'%+�%!'�. #�� ���$� ���� �����x2 + x(2 – x). 4�����
�2 + �(2 – �) = �2 + 2� – �2 = 2�,�� � �� -��� � �������� �$����& x �� ���� �� �������� ������� �2 + �(2 – �)� 2x �����((� � �� � ��$�. ���� ��� ������ $� ������� ����+�� �����$�.
- ��� �� �� ��� ������ ���+�(� ����+�� �����$�?
8 § 1. ���������� ��� �
#�� ���$� ������ ������2 (2 )
1x x x
x+ −
− � 21
xx −
. �������$�$� ��������-
$� �$����& ���! ������� 0 ��� �������� x, ���$ � = 1. 1� ������ $�(� � ���������$������ � ����+�� ����� ��������. ��$� � ��+�� � ��"��!���$��������� � �� ���� �� �������� ������� �����((� � �� � ��$�. ���� ������������(� !�!�'�� � ����.
� ��������& &�� "� � "�& 3'$ '%'%+�% ��&��2�, ��7% ��� -��$-���( �%1�!'�2�( ��� ��( "� �)�$ "2����( &��1%&���� "� -�)��� &�� "�& �%��&�33'$ %��) %��%2�.
/�3� �� ����+�� ����� ������2 (2 )
1x x x
x+ −
− �� 21
xx − �������� �����$
«=», �� � ��+�$� �������2 (2 )
1x x x
x+ −
− = 21
xx −
, ��� 0 �������( � ���!
������$�! ������ �. ���� ������� ������(� !�!�'���!%.
� ��������&��!'$, �� 5 1� &��$�%3 ��� &!�( �%1�!'�2�( "� �)�$"2����(, 7% &(%��'$ �% �)4, � "�& 3'$ '%'%+��!'3.
)������ ,22 2 ,
3 3 9ab a a ba b ab
⋅ =⋅ 2 2 ( )( )
xy xyx y x yx y
=− +−
— ����+�����.
(����� ����$� ���� !�!�'�� � ��� ���� ����� ���� �%!� ��-������ ������������ ��� �.
�1� & 1. *����� �������� ������ 283
x x++
, ��3� � = 4; � = 13
.
. /�3� � = 4, �� 283
x x++
= 2844 3
++
= 2847
+ = 4 + 4 = 8.
/�3� � = 13
, �� 283
x x++
= 1 283 1 33
++
= 1 283 10
3
+ = 1 3283 10
+ ⋅ =
= 1 423 5
+ = 1 283 5
+ = 118 .15
.
1. ���������� ��� �. ���������� ����� 9
�1� & 2. *����� �������� ������2( )( )a b a b b
a b− + +
+, ��3�:
) a = 8; b = 32; -) a = 0,6; b = –0,6.
. 2������$� ���� �����:2( )( )a b a b b
a b− + +
+ =
2 2 2a b ba b− +
+ =
2.a
a b+
) /�3� a = 8; b = 32, ��2a
a b+ =
288 32+
= 6440
= 1,6.
-) /�3� a = 0,6; b = –0,6, ��22 0,6 0,36
0,6 0,6 0a
a b = =+ −
— �� $�0 �$����. .
�1� & 3. ������� ������$� �������� �$����& � ������:
) 4 ;3
yyy
++−
-) 22 1 ;aa a
−+
&) 24 .8
xx
++
. ) �������$�$� 0 ��� �������� �, ���$ � = 3.
-) *��� �$� �������� �, � ���! ���$����� ���� �����(0 ��(:
�2 + � = 0; �(� + 1) = 0; � = 0 ��� � + 1 = 0; � = 0 ��� � = –1.
�������$�$� 0 ��� �������� �, ���$ � = 0 � � = –1.&) �� �� -��� � �������� � �������� ���$������ �2 + 8 �� $��'� ��+
8, � ��$� �� �����(0 ��(. 4�+�, ������$�$� 0 ��� �������� �. .
1. /�� � ������� 0 ���$� ������$�? ������$�? /�� � ������� 0 ����$�?���������$� ����$�?
) ;a ba b
+−
-) 2 ;3x x+ &) 24 ;x
x−
#) ( )31 ;2
b a+ ⋅ �) 5 ;( 1)x y +
)) .5
xy x+
2. �� ���! ������ �$����& ����� �� $�0 �$����? )����� ������$��������� �$����& � ������:
) 8 ;c -) 9 ;
1x
x−−
&) 4 .( 2)b
b b+−
10 § 1. ���������� ��� �
3. *��� �� �������� ������ 10a , ��3� a = 10; a = –1; a = 2.
4. /�� � ��������� 0 ����+�����$�?
) 3 4 ;1 1
a a aa a+ =− −
-) 3 3 ;1 1
a a aa a
⋅ =− −
&) 2( )b b
a a b a ab=
+ +.
(�����!� �������# ����:
5. )2
5x
x−
+, ��3� � = 0; � = 5; � = –3;
-) 2aba b−
, ��3� � = 4, b = 2; � = –4, b = 6.
6. )2( )4
yy−
−, ��3� � = 0; � = 6; � = –1; -) 2
2b cb c
+−
, ��3� b = 3, c = 4.
(�"� ��!� !�����%:7.
� –2 –1 0 1 1,5 2
1x
x +8.
� –4 –1 0 1 2 2,5 3
2a −
��'�!� ��"��!��� �������# ������� � ����:
9. )26 1;
2xx
+−
-) 6 1 ;( 3)a
a a+−
&) 1 ;1
bb b
++
#) 211 .
2x
x +
10. )31 ;3
yy−+
-) 5 1 ;2 2x x
−−
&) ;( 1)( 1)
mm m− +
#) 21 .1
aa
++
11. -���$��� ���&!�� 195 �$ �� t � . *���'�� � �� � � ������ '�� -���� ����$����. *��� �� �������� �� � ������, ��3� t = 3.
12. 4������� ������ 45 �������� ������ �� k � . *���'�� � �� � � ������������ ��������, ��� �������� ������� �� 1 � . *��� �� ���������� � ������, ��3� k = 9.
1. ���������� ��� �. ���������� ����� 11
��# #��� ������� ������� ��� �� �� ����!�?
13. ) 24 1 ;
4x
x+−
-) 28 ;
5a
a a−&) 2
5( 6)
yy
−−
.
14. ) 23 ;
7x
x x−-) 2
2 7 ;9
zz
+−
&) 21 2( 2)
bb b
−+
.
(�����!� ��"��!��� �������# ������� � ����:
15. ) 27 ;
4 1b b
b+
−-) 2
3 ;4 ( 2)
kk− +
&) 26 .
12m m
mm m+
−+
16. ) 25 ;
4 9cc−
-) 23 2 ;
(3 ) 9−
+ −nn
&) 25 1.
4a a
aa++
−
(�����!� �������# ����:
17. 2 33 1aa
−+
, ��3� � = –0,2; � = 23
; � = 136
.
18. 25 3
xx−−
, ��3� � = 0,7; � = 37
; � = 115
.
19. *��� �� �������� ������2 22x xy y
y− + , ��3�:
) � = 44; � = 4; -) � = 46; � = 46; &) � = 1,25; � = 0,25.
20. *��� �� �������� ������ (1 ) (1 )4
m n n mn
− + + , ��3�:
) m = 67; n = –67; -) m = 16,75; n = 0,25. 21. �� $� ����� ������ 15 ���� �� �� � ���� � $��! ��������! � 25 —
� �����!. 2���� ��� � �������� ���� ������ � $� �����, ��3� ��-+�� $�� �������� $����� � ����, � ��+�� ����� — b ?
22. ���'�� �������� ����� �����( 48 $2 ���+�� �� n � , � �� �� — 64 $2
�� m � . 2���� ��� �����! $����� ���+�� ���� �� �� 1 � ��� ����������� ����$?
23. ����� ����'�� 25 �$ �� ����0( ����� � 20 �$ ����� ����&. *��� �� �����!� ������, ��3� �� � '�� ���� � ������� �� � �����(0 v �$/ � , �'�� ���� ����& ����� — u �$/ � .
12 § 1. ���������� ��� �
24. *��� �� ������$� �������� �$����& � ������:
) 11 1;3
xx
−−
-) 3 ;yy y−
&) 2 ;2
mm m−
#) 3 .1 1
aa
+− +
25. ���� ��, 3� ����� 2 2 4 4 9x y
x y x y+
+ − − +$�0 �$��� � �� -���! ������
�$����!.26. ��&� $�� �� ���� '�! ��� ��+�� 250 �$, ��!�(��� �� '�� ����(
� �$/ � . -� ����� 2 � ���� ������� ��!� �� � �� ������ ��������$��. 5�� ������� � $���� ����������� ������, ��&� ���������$�� ���'�� '�� ���� �� 25 �$/ � . )� ���� ��� �����$����&� ?
27. #���� �� �� $��+����: ) ab2 – ac2; -) �3 + 8; &) xy + 8x + 9� + 72; #) a2 – 4b2 + a + 2b.
28. ���������� ����: 79
� 20 ;27
1118
� 17 ;24
715
� 9 .25
29. 2������� ����: 18 ;48
56 ;98
96 ;123
175 ;325
77 .121
30. 6��� �������� �������� �����. ���'� "��$� �������0 ������ ������� 975 �� �� ��+�� � 4% �������� ���! ������! ���� �� �������, � �� � — �� 1010 �� �� ��+�� � �����'����� �������. � ���� "��$��� � ��'� �������� �����?
31. )� �������� ����� ������ 55 ����. * ��& �����(� ������� 2, 3, 6 ��� 9 ����. *�$��� ��! �� ����� �� ���� �������(� �� ���� �� 4, 5, 2 ��� 7 ����! ����. 7� $�+�� � ����� ������� ��� �����, ��3� ������������ ������� � ���� ��'� �� �������(�?
2. ������ �������� ����� 13
1. �!�%&� &� !'�&�!'$ ��%-�. ��� � ��$� ������� ��������� � �-������ ���� : ��3� ������� � ���$����� ���� ��$��+��� ��� �� ������ �� ��$� �������� ����, �� ����$�0$� ���, ���� �����(0 ���$�. 4�-
+�, ��3� a, b � k — �������� ����, �� a akb bk
= � .ak abk b
=
-��� ���� ��������� ������ ��� � �� -���! �����. - ��$�:
��� -��$-���( "� �)�$ �, b � k, �) b ≠ 0 � k ≠ 0, &��%��3'$!� ��&�%!'�
;a akb bk= .ak a
bk b=
���� �������� 0 ����+�����$� � ����+�(� ���� �� ���!� ��!� ����,��� $�+�� �"��$�(���� ���:
��7% ��!)�$��� � "� 2)���� ��%-� 1%2�%+�'� -% 1%����'� � &�� ", �) '%'%+�% ��&��8 ���3, '% %�)�+�2% ���-, '%'%+�% ��&��8� �%2�.
2. ��%�%�)��� ��%-�&. *� ���$� �( ����+����� ak abk b
= ��� akbk
$�+-
�� ��$����� ����$ ,ab ����� ��� ak
bk $�+�� ����!�!� �� ������ $��+-
��� k �������� � ���$������. )������ ,24 2 2 2 ;
2 2n n n nmn m n m
⋅= =⋅
2 2
2
( )( ) .( )
a b a ba b a ba a b aa ab+ −− += =
−−
#�������24 2
2n nmn m= �
2 2
2a b a b
aa ab− +=−
0 ����+�����$�, ����� ���� 0 ���-
����$� � ���! ������$�! ������ �$����! (���'� — � ���! ������ m� n, � m ≠ 0, n ≠ 0; �� � — � ���! ������ � � b, � � ≠ 0, a ≠ b).
5�� ��������� ���, ��������:1) �� ���� ������ $��+��� �������� � ���$������ ����;2) �������� ���������� �� ������ $��+���.
14 § 1. ���������� ��� �
3. 0&)�)��� ��%-�& �% !1��$�%#% "� 2)���� . *� ���$� �( ����+�����a akb bk
= ��� ab
$�+�� ��� ��� � ���� � ���$������. )������ ,
23 3 2 62 2
x x x xy y x xy
⋅= =⋅
— ���� ��� 3xy
� ���$������ 2��.
�� -��� ���� � �����$� ���$������$�, �� � �������� ����, $�+�� ����-�� � ����� � ���$������. #�� ���$� ����� �.
����� � 1. *����� � ����� � ���$������ ���� 23yx
�� 4 .y
. 2����$ ���$������$ ���! ����� 0 ������ &!��! ���$�������,����� 3�2�. �� ������$ $��+����$ � ���'� � ���� 0 �, � �� � � — 3�2. �� �:
2
2 2 2 ;3 3 3
y y y yx x y x y
⋅= =⋅
2 2
2 24 4 3 12 .
3 3x x
y y x x y⋅= =⋅
.
����� � 2. *����� � ����� � ���$������ ���� 35
8a b� 2 2
7 .12a c
. *��$������ ���! ����� 0 � ������$�, ��$� ������ ���$�����'�����$�$� � �� � � � ������, � �� � + ���$� � $��'� � �������. *� ��-�"���0�� �� � � ������ ���$�$� ���$��'� ����� ������ ���"���0�������$������� ���! �����, ����� 24, � ��+�� �$���� ���$�$� � �����'�$���������$, � ���$ ���� �!� �� � ���$������ �����, ����� ���$�$� a3, b �c2. �� � �����$ ���$������$ �� � 24a3bc2. �� ������$ $��+����$ ����'� � ���� 0 3�2, �� 24a3bc2 = 8a3b ⋅ 3c2; � �� � � — 2ab, �� 24a3bc2 = = 12a2c2 ⋅ 2ab. %���$�$�:
2 2
3 3 2 3 25 5 3 15 ;
8 24 24c c
a b a bc a bc⋅= = 2 2 3 2 3 2
7 7 2 14 .12 24 24
ab aba c a bc a bc
⋅= = .
5�� ������ � ������'� � ����� � ���$������ ����, ���$������$����! 0 � ������, ��������:
1) ������ ���$��'� ����� ������ ()2�) ���"���0���� ���$�������;
2) �������� ������ ���$����� � �� � � ������ )2� � �������� �$��-��! � �����'�$ ���������$, � ���$ ���� �!� �� � ���$�������;
2. ������ �������� ����� 15
3) ��$��+��� ������� � ���$����� ��+�� � ���� �� �� ���� ��� �- ������� $��+���. (5�� ������ � ������� $��+��� � ����, �����-��� �������� ������ ���$����� � �� � � ������ ��! � �������,� ��$ � ���! 0 ���$����� ��� � ����. �� � �� �� � ����� �� � �- ������$ $��+����$.)
����� � 3. *����� � ����� � ���$������ ���� 23
a ab−� 2
2 .a ab+
. #���� �$� �� $��+���� ���$����� ��+�� � ����:
23 3 ;
( )a a ba ab=
−− 22 2 .
( )a a ba ab=
++
2����$ ���$������$ ����� 0 ������ �(� – b)(� + b) = �(�2 – b2). �� ��-����$ $��+����$ � ���'� � ���� 0 ����� � + b, � �� � � — ����� � – b.��$��+��'� ������� � ���$����� ��+�� � ���� �� �� ���� ��� � ����-��� $��+���, � ��+�$�:
2 2 2
3( )3 ;( )
a ba ab a a b
+=− − 2 2 2
2( )2 .( )
a ba ab a a b
−=+ −
.
5�� ������ � ������'� � ����� � ���$������ ����, ���$������$����! 0 $�� �����, ��������:
1) �������� �� $��+���� ���$����� ��+�� � ����;
2) �������� ������ ���$����� � �� � � ������ � ��+���! $��+��-��� � �����'�$ ���������$, � ���$ ���� �!� �� � ���$�������;
3) ��$��+��� ������� � ���$����� ��+�� � ���� �� �� ���� ��� �- ������� $��+���.
4. 02�� "� � ��!)�$��� -% "� 2)���� ��%-�. #�� ���$� �����-
�� ������ ������� 1 1 .2 2− = − 8& $�+�� �����$�������� ���: ��3� �$�����
���� � �������� ���� � ���� ���� ����$, �� � ��+�$� ���, ���� ����-�(0 ���$�.
16 § 1. ���������� ��� �
� ����� +� ������ �$��((� ���� �������� ��� ���$������ �� -��� � ����, �����������(�� ����+�����:
,a ab b
− = − .a ab b
= −−
)�&� �����!� ���� � ���������� ��� ���������� ���� � ���� "��� ��-���, !� ���'��� ���, !�!�'�� � ��� ������.
���� �$� ������� ��������� �����. ����+�$�, 3� ������� a akb bk= 0 ����+-
����(, ����� 3� ���� ������0��� � �� -���! ������ �, b � k, � b ≠ 0 � k ≠ 0.
)�!�� .a mb = *� ���������$ ������ $�0$�: � = bm. ��$��+��'� ��� �� �����-
�� � ��+���& �������� �� k, $���$�$� ������� ������� �k = (bm)k ��� �k = (bk)m.4����� b ≠ 0 � k ≠ 0, �� bk ≠ 0. � ����$� ���� �� � �������� �k = (bk)m ����� + ����
�� ���������$ ������ $�0$�: .akm bk= 4�+�, .a akmb bk= =
�1� & 1. �� ���� ������ $��+��� �������� �� ���$������ ���� ���������� ���:
) 12 ;8
aab
-)3
2 2
18 .6
xyx y
−−
. ) 128
aab
= 4 34 2
aa b
⋅⋅
= 3 .2b
-)3
2 2
186
xyx y
−−
= 2
2
6 36xy yxy x
− ⋅− ⋅
= 3 .yx
.
�1� & 2. 2�������� ���:
) 2 210 5 ;
4b a
a b−
−-)
2 2
3 3 .x xy yx y+ +
−
. ) 2 210 5
4b a
a b−
− = 5( 2 )
( 2 )( 2 )a b
a b a b− −− +
= 52a b
−+
= 5 .2a b
−+
2. ������ �������� ����� 17
-)2 2
3 3
x xy yx y+ +
− =
2 2
2 2( )( )x xy y
x y x xy y+ +
− + + = 1 .
x y−.
�1� & 3. *����� ��� 37ab � ���$������ 42�2b.
. 4����� 42�2b = 7b ⋅ 6�2, ��, ��$��+��'� ������� � ���$����� �-
�� � ���� �� 6�2, $���$�$�: 37ab =
2
23 67 6a ab a
⋅⋅
= 3
218 .42
aa b
.
�1� & 4. *����� � ����� � ���$������ ���� 2 23
m n−� 9 .
n m−
• 2 23 3 ;
( )( )m n m nm n=
− +−9 9 .
n m m n= −
− −2����$ ���$������$
����� 0 ������ (m – n)(m + n). �� ������$ $��+����$ � ���'� � ���� 01, � �� � � — m + n. ��$� ���'�� ��� ���'�0$� ��� �$���, � � �� �-
� ���� $���$�$�: 2 2
9( ) 9( )9 .( )( )
m n m nn m m n m n m n
+ += − = −− − + −
•
32. 2������� ���:
) 5 ;15
xy
-) ;4abb
&) ( 2) ;( 2)
m nn n
−−
#)2
318 .a
a33. *�� �� ���:
) 11b
� ���$������ b2; -) 32
xy
� ���$������ 4��.
34. *�� �� � ����� � ���$������ ����:
) ab
�3b ; -) 1
mn� 2
1n
.
35. *$���� ���� ���$������ ����:
) 2( )x y− −
; -) 2x y−
.
18 § 1. ���������� ��� �
36. �� ��� ������ $��+��� �������� �� ���$������ ���� ��������� ���:
) 3 ;5
xx
-) 4 ;6
aa
&) 9 ;6abb
#)2
2
10 .15
x yxy
−
*���!�!� ���:
37. )2 2
2 3
28 ;35
x yx y
-)2 224 ;
36b cbc
&)2
2 215 ;
40mn
m n− #)
2 4
4 38 .12k m
k m−
38. )2 2
318 ;12
c nn
-)236 ;
28xyxy
&)2
2 340 ;24
aba b−
#)3
314 .42
acbc
−−
39. ) ( ) ;a m nm n
−−
-) ( ) ;3 ( )b c db c d
++
&) 5 ;15 20
kk +
#)2
.m mnmn−
40. ) ( ) ;( )
ab a bc a b
++
-) ( 2 ) ;( )
m x ym x y
−−
&) 3 9 ;3
xx
−−
#) 7 .5
xyxy y−
41. �� ���� ������ � �� � � ���� � �������� ���: ) 10�2b2 : (5�3b); -) 24m2n : (–6mn); &) (–28ab3) : (–21b4).
(�����!� �������# ����:
42. )3
2 2204
a ba b
, ��3� � = 48; b = 16; � = –4,2; b = 2,1.
-) 15�2�3 : (30��2), ��3� � = 300; � = 0,06.
43. )3
2 2182
bcb c
, ��3� b = 3; c = 4,5; b = –1,4, c = 2,8;
-) 64m2n4 : (16mn2), ��3� m = 0,25; n = 25.
*���!�!� ���:
44. ) 6 3 ;8 4
a ba b
−−
-)2
212 16 ;
3 4a aa a
−−
&)2
2 ;xy x yxy xy
+−
#)2 2
;a ba b
−−
�)2 9 ;
7 21aa
−+
)) 210 20 ;7 28
xx
−−
5) 2
4 8 ;4 4
yy y
−− +
+)2
26 9 .
9x x
x+ +
−
2. ������ �������� ����� 19
45. ) 9 6 ;15 10
x yx y
−−
-)2
22 ;2
c cc c
+−
&) 2
10 10 ;x yxy y
−−
#)2
2 ;ab aab b
++
�)2 2
;m nn m
−+
)) 2 2
5 5 ;x yx y
+−
5)2 2 1;3 3
m mm+ +
++)
2
225 .
10 25a
a a−
− +
46. *�� �� ���:
)4kp
� ���$������: 12p; 16p2; -) 25
2a � ���$������: 4�4; 10�2b.
47. *�� �� ��� 43xy
� ���$������: 15xy; 3xy2; 9�3y.
( ���!� �� �"�����$� ���������� ����:
48. ) xy
� 2 ;x -) m
ab � 4 ;b &) 2
da
� 31 ;a
#) 32c
� 29 ;c
�) 13c
� 2 ;5c
)) 38a
� 1 ;12a
5) 218xa
� 4 ;27
ya
+) 56ab � 5 ;
4b ") 23pa
� .6
qab
49. ) 32a
� 2 ;b
-) 78a
� 5 ;a
&)2kb
� ;3nb
#) 815ab � 7 ;
20ab �) 25
6a� 7 ;
18a )) 33
4y� 2
7 .20y
50. ) 51a +
� 4 ;2a +
-) 32( 1)a −
� 2 ;3( 1)a −
&) 1ab b+
� 1 .1a +
51. ) 13c +
� 2 ;1c −
-) 38( 2)b +
� 1 ;4( 2)b +
&) 8xy x−
� 7 .1y −
*���!�!� ���:
52. )2
2 26 9 ;4 9ab ba b
−−
-)2 2
2 24 25 ;
4 20 25c x
c cx x−
+ +&)
3 3
2 2
2 8 ;2x y xyxy x y
−−
20 § 1. ���������� ��� �
#)3 8 ;
2xx
++
�)2
33 9 ;
27z z
z+ +
−))
6
2
1;1y
y−
−
5) ;ax cx ay cycx cy
+ − −−
+)2 2
22 ;b ab a
a ab ax bx+ +
+ − −") 2
8 4 .2 2
a bab b ad bd
++ − −
53. ) 2 214 63 ;4 81
b cb c
−−
-) 23 12 ;
8 16kn n
k k−
− +&)
2
2 36 2 ;9mn mmn m
+−
#) 315 5 ;
27c
c−−
�)2 2
2 ;x yxy x y y
−− + −
))2
2 .a ac bc aba b abc
+ + ++
(�����!� �������# ����:
54. )2
23 9
9a aa
+−
, ��3� � = 4; � = 13
− ;
-)2 2
2( )m n m n
m n− − +
−, ��3� m = 9,51; n = –0,49.
55. )2 4
5 10xx
−+
, ��3� � = –1; � = 29
; -)2
2 2
( ) ,a ba b ab
++
��3� a = 2,5; b = 4.
�� ���!� !�!�'���!�:
56. )2 2
2 212 36 6 ;
636a ab b a b
a ba b+ + +=
−−-)
42
28 2 4.2
m m m mm m
− = + +−
57. )2 2
2 2
2 ;4( )4 4
x xy y x yx yx y
− + −=+−
-)3
28 1 2 1.
4 2 1x x
x x+ = +
− +
58. *�� �� ���:
) 7x y+
� ���$������ �2 + ��; -) 2x y+
� ���$������ �2 + 2�� + �2;
&) ca b−
� ���$������ �2 – b2; #) nm n−
� ���$������ m3 – n3.
59. *�� �� ���:
) 2ax y+
� ���$������ �2 – �2; -) 1a c+
� ���$������ �3 + �3.
( ���!� �� �"�����$� ���������� ����:
60. ) 39
14a b� 2
5 ;21ab
-) 3 31
18x y� 4
1 ;27xy
&) 29a
m n� 5 3 .
15b
m n
2. ������� �������� ���� 21
61. �) 3 38
9x y� 5
5 ;24xy
�) 3 216a
m n� 4 ;
24bm n
�) 4 215cx y
� 22 .
25x y
62. �) 23
x xy+� 2
2 ;xy y+
�) 2 2x
x y−� ;y
x y+�) 2 22
mm mn n+ +
� ;nm n+
�) 24 1c
c −�
2;
1 2c
c−�) 3
11 x−
� 2 ;1x −
�) 3 8y
y −� 2
2 .2 4y y+ +
63. �) 2 2x
x x y+� 2 ;y
y y+�) 2 4 4
mm m− +
� 3 ;2 m−
�) 2 24a
a b−� .
2b
b a−
64. ��������� ��, � n — � ��� ���� �����:
�)213824 ;
15552
n
nxx
+�) 2
2045 ;1755
n
nxx
�)2 2
2 2
3 2 ;2
x xy yx xy y
+ +− −
�)3 2
2
2 2 .2
y y yy y+ − −
+ −
65. ������� �� ��� �������, � ��� ��������:
�)2 1;
1xy x
−=−
�) .x
yx
=
66. ������� ����������:
�)2
2 23 5 15 10 25 ;3 3 5 5
ab a b a aab a b b a ab a b
+ + + + +=+ + + + + +
�) 2 3 2 3 3 2 3 2 .2 3 4 6 3 2 6 4
xy y x xy y xxz z x xz z x
+ + + + + +=+ + + + + +
67. ��������:
�) 4 2 ;9 9
+ �) 5 2 ;7 7− �) 1 53 2 ;6 6
+ �) 1 54 1 .8 8
−
22 § 1. ���������� ��� �
68. #���’�+�� ��������:
) 5 1 3 5 ;7 9 7 9
x x− = + -) ( )( ) ( )21 1 1 1 .2 2 2 2
x x x− + − − =
69. 2� � �� � $� ����� 2 � ��$� ���� � 3 � � ����� ��'��(� 28 ��.��+ �� ��$�, ��� ��$� ��� � � ���� ��� ���+��$� �� 25 %, 1 � ��$� ���� � 2 � � ����� ��'����� 20 ��. 2���� ��'��(� �� � ��1 � ��$� ���� � ����� 1 � � �����?
70. 9 �� ����� $� � � �����. � � �� ���� $� � ���� �!� �� ��� ��'���� 5 : 2, � � ��'�� — � �� ��'���� 3 : 4. 2���� �������� �������� ��$�� ��+�� � �����, 3�� � ��+��� 28 � ���� � � � ������$�$����$ $� � � �����?
71. � ��$�! � ���$�! ����! '��� ����$ �����(��� 180 �����. ��+������$������� ��+�� �� 7 ��$��������$�, � ��+��� ��$������� — �� 8 ���$��������$�. 2���� ��� � ���$��������� 0 � '���?
1. �%� & ��� ��%-�& " %�� �%&�2� "� 2)���� 2�. ����� � � ������$����$������$� � �(� ��� ��$�, �� � �������� ���� � � ������$� ���$����-��$�, ����� � �(� &!�� ��������, � ���$����� ���'�(� ��� ��$��:
.a c a cb b b
++ = (1)
#������ (1) 0 ����+����(, ����� ���� 0 �������( � �� -���! ���-��� �, b � �, � b ≠ 0.
* ����+����� (1) ������0 ���� "� ��� ���� ���# ���� � ������ ���������������:
��� ������ ����� ��������� �����������, �������� ���������� ���������, � �������� ������� ��� �����.
3. ������� � ��������� ����� ��������� ����������� 23
2. �����2 ��� ��%-�& " %�� �%&�2� "� 2)���� 2�. �� ��$���� ������ � ������$� ���$������$� ������(� �� ������ ����+�����
.a c a cb b b
−− = (2)
* ����+����� (2) ������0 "� ��� ��������# ���� � ������ ��� ���-���������:
��� ������ ����� ��������� �����������, �������� �� ����-����� ��������!� ������ �������� ��’"�����, � �������� ������� ��� �����.
3. 0 1�! ��%-� � &�#���� !�2� -% ��"��*� ��%-�&. � ��+��� � ����+��-���� (1) � (2) ���������$� $����$� ��� � ����� �������:
;a c a cb b b+ = + .a c a c
b b b− = −
4 ��+��� ����+����� $�+�� ���������������, ��3� �������� �������� ��� � �� � � ��$� ��� ������� �����.
�1� & 1. �� ��� ����:
) 7 5 ;a a
+ -) 2 1 1 3 ;a bab ab ab
+ −+ + &) 5 2 .2 2x y x yx y x y− −+− −
. ) 7 5a a
+ = 7 5a+ = 12 .
a
-) 2 1 1 3a bab ab ab
+ −+ + = 2 1 1 3a bab
+ + − + = 2 3 .a bab+ +
&) 5 22 2x y x yx y x y− −+− −
= 5 22
x y x yx y
− + −−
= 6 32x yx y−−
= 3(2 )2
x yx y
−−
= 3. .
�1� & 2. �� ���� ����:
) 2 24 2 3 ;
2 3 2 3n n
n n n n+−
− −-) 2 3 .a a
x y y x−
− −
. ) 2 24 2 3
2 3 2 3n n
n n n n+−
− − = 2
4 (2 3)2 3
n nn n− +
− = 2 3
(2 3)n
n n−−
= 1 .n
24 § 1. ���������� ��� �
-) *$����'� ���� ���$������ �� � � ����, $���$�$�:2 3a a
x y y x−
− − = 2 3
( )a a
x y x y−− − − = 2 3a ax y x y
+− −
= 2 3a ax y
+−
= 5 .ax y−
.
�1� & 3. *������� ��� � �� � � ��$� ��� ������� ��� � ���� � ����:
) 3 5 ;aa+ -) 2 2 1;a b
a b+ +
+&) 3 1.
1nn
++
. ) 3 5 3 5 53 .a aa a a a+ = + = +
-) 2( )2 2 1 1 12 .a ba ba b a b a b a b
++ + = + = ++ + + +
&) 3( 1) 2 3( 1)3 1 3 3 2 2 23 .1 1 1 1 1 1n nn n
n n n n n n+ − ++ + −= = = − = −
+ + + + + +.
72. *��� �� ��$� �����:
) ;4 4a b+ -) 9 3 ;
11 11b b+ &) 3 ;a a
x x+ #) .x a a
d d+ +
73. *��� �� ������( �����:
) ;7 7
yx − -) 8 3 ;9 9n n− &) ;a y y
x x+ − #) 2 .x y x
c c+ −
+������!� ���� ���# ( ��������#) ���� :
74. ) 2 3 ;b ba a
+ -) 5 3 7 1;3 1 3 1n nn n
+ −++ +
&) 2 3 4 3 ;a axy xy xy− + +
#) 6 3 ;5 5
a ap p
− �) 3 3 ;9 9
a aa a
+ −− )) 9 2 .7 7
bb b
+−− −
75. ) 3 5 2 7 ;5 5n n
n n+ −+ -) 2 1 1 2 ;
1 1x xx x
+ −+− −
&) 2 2 ;2 2 2
n n nm m m+ −+ +
#) 3 ;c cb b+ − �) 7 3 3 2 ;
4 1 4 1b bb b
− −−− −
)) 4 1 4 5 .2 2 2a a
a a a− ++ −
3. ������� � ��������� ����� ��������� ����������� 25
*"��!�!� ���:
76. ) 7 2 5 2 ;4 1 4 1x xx x
− +++ +
-) 3 3 ;a b a ba b a b− −−+ +
&) 3 5 1;3 1 3 1a aa a− ++− −
#) 6 12 ;2 2
pp p
−− −
�) 5 5 ;a ba b b a
+ ++− −
)) 4 3 4 .2 2
x xx y y x
+ −−− −
77. ) 6 1 4 ;1 1
m mm m
− +−− −
-) 3 7 5 ;x y x yx y x y+ +++ +
&) 8 8 ;m nm n n m
+− −
#) 9 9 .3 3c cc c
− +−− −(�����!� �������# ����:
78. ) 3 3 14 4
b bb b− −+ , ��3� b = –3; -)
2 27 1 13 3
a aa a− −− , ��3� � = 0,28.
79. ) 2 23 3a a
a a− ++ , ��3� � = 5; -) 4 5 2 1
2 2c c
c c+ −− , ��3� � = 0,4.
*"��!�!� ���:
80. )2 2 1 ;
1 1c c
c c− −− −
-)5 3
;1 1
a aa a−
− −
&)2
2 29 6 ;9 9
b bb b
+ +− −
#)4 2 3
2 4 2 412 4 ;
3 3a a b
a b b a b b−
− −
�)24 5 1 2 ;
2 1 2 1 2 1x x x
x x x− −+ −
+ + +)) 2 2 2 2 2 2
2 3 .xy x xy y yx y x y x y
− −− −− − −
81. )2 25 14 10 ;
2 2y yy y
− −−− −
-)2 2
3 3
2 ;( ) ( )x y xyx y x y
+ −− −
&)2
3 31 ;1 1
a aa a
+ +− −
#)2 4
2 218 2 ;
3 3a b
a b a b−
− −
�)2 221 3 ;3 3 3
n nn n n
−− +− − −
)) 2 2 28 2 3 .
(5 ) (5 ) (5 )a b a b a ba b a b a b
− − +− −+ + +
26 § 1. ���������� ��� �
������� ��������:
82. �)2 2( ) ( ) 4;a b a b
ab ab+ −− = �)
3 2
2 2 24 4 .
( 2) ( 2) ( 2)x x x x
x x x− + =
− − −
83. �)2 2
2 2 2 2
( ) ( ) 2;m n m nm n m n
+ −+ =+ +
�)2
2 2 2 24 2 2 .
24 4a ab a
a ba b a b− =
+− − ������ ���� � ������� ���� ��� ������� ������ ����� � �����:
84. �) 3 8 ;2
xx
+ �) 5 5 2 ;m nm n− +
−�) 4 5 ;
2y
y+
+�) 2 .x y
x y−
+
85. �) 14 5 ;7b + �) 3 3 ;b c a
b c+ −
+�) 6 1;
2 1cc
++
�) 4 3 .x yx y
−−
86. �������� ��� :
�)2 4
2 21 ;
1 1x x
x x x x+ +
+ + + +�)
4 4 2 2
3 3 3 3 .a x a xa x a x
+ ++ +
��������. �) ��������� �4 + �2 + 1 ����� �� ������ �� ��������, ����������� � ������ (�4 + 2�2 + 1) – �2.
87. ��������:
�) 5 3 ;6 8
+ �) 3 4 ;14 21
− �) 2 5 7 ;9 6 12
− + �) 1 2 57 4 .3 11 6
⋅ −
88. ������� �������� 24�7b8 � ������ ������� ��� ���������, ����� ���� :�) 6�4b7; �) 4�2b5; �) 24�7b; �) 8�b7.
89. ! "� � � #�����, ������ ��� ����� �����$ 190 ��, ��������� �� �-����� ���� ������ �%���� ������ �� ������� �������� � ���������
���� 1 ��� 15 �. !������ ������� ���������, ��&� ��� 119
�� �
����� �� �������� �������.
4. ������� � ��������� ����� �� ���� ����������� 27
90. �� ���� �� � ���$ � ����!���� ����� �������� �������� �� ����������� ���� �� ��� ���� 14% (��� ������� ����). *������ �����, $������ � �����(0 43 �, $�0 ��� ��� 24%. )� ����� ���� �$��'����$��� �� � ����� ��� ��� ���� �� � � ��� ������ � �����?
91. )� ��������$� ������ �� �� 100 �������, �� � ��$� � �������. ���������� �(�, ��3� �������, � ���! ���� �� ��, $�(� !��� � � ������� ���'���. ���� ��, 3� ���� ��! ���+ � $�+�� ������� ��$��'� ��+ 25 �������, �� -��� �� � ���! �� ���� �(�.
5�� � ��� ��� �� ���� �������� ���� � �����$� ���$������$�, �����-��� ������ ���� � ����� � ���$������ � � ��� ��� �� ���� � ��+��� ���� � � ������$� ���$������$�.
� ����� +� ������ � �(� � �� ��$�(� �� -��� ���� � �����$� ���-$������$�.
)�!�� �������� � ��� ���� ab
� ,cd
��� $�(� ����� ���$������. *��-
�$� �� ���� � ����� � ���$������ bd. �� �� � ������� � ���$��������'� � ���� ��$��+�$� �� d, � �� � � ���� — �� b. 4 ��+�$�:
;=a adb bd
.c bcd bd
=
*��(��, �� � ��� ���� � � ������$� ���$������$�, $���$�$�:
.++ = + =a c ad bc ad bcb d bd bd bd
4�+�,
.a c ad bcb d bd
++ =
�� ��$�(� ���� � �����$� ���$������$� ���� ����, � ��$�:
.a c ad bcb d bd
−− =
28 § 1. ���������� ��� �
��� ������ ��� ������ ����� �� ���� �����������, ��������:1) ���� ����� �� ������!� ���������;2) ������ ��� ������ �������� ����� ��������� �����������.
�1� & 1. �������� � ������ (�� ��$����) �����:
) 5 4 ;b cac b
+ -) 2 2 34 7 ;
9 12x y xy+ &) 2 2
2 2 .xy y x xy
−− −
• ) 2����$ ���$������$ ����� 0 ������ &!��! ���$�������. ��$� � ������� $��+��� � ���'� � ���� — b, � � �� � � — ��.
5bac
4cb+
b ac
=2 25 4 .b acabc+
-) 2����$ ���$������$ ����� 0 36�2�3. �� ������$ $��+����$ ����'� � ���� 0 4�, � �� � � — 3�.
4 7+4y 3x
9x y 12xy32 2 = 2 3
16 21 .36
y xx y+
&) #�����'� �� $��+���� ���$������ �����, $���$�$�:
2 22 2
xy y x xy−
− − = 2
y x y( )
2x( )x y
x y
= 2 2( )x y
xy x y−−
= 2( )( )x y
xy x y−−
= 2 .xy
•
�1� & 2. �� ��� � �� � � ���� �����223 .
1mm m
+− +−
• ����� ! – 3 ����'�$� � �� � � ���� 3.1
m − �� �:
2231
mm m+− +−
= m 3 1
2 + 1
mm
1 m
+2 =
2( 3)(1 ) 21
m m mm
− − + +−
=
=2 23 3 2
1m m m m
m− − + + +
− = 4 1.
1m
m−
−•
4. ������� � ��������� ����� �� ���� ����������� 29
�1� & 3. ������� ����+����2
1 .( )
a b ba b a a a b
+ − =+ +
• ���������$� ��� ������� ��������:
1a ba b a
+ −+
= aba +
ba
11
a a b( + )a a b+
+ = 2 ( ) ( )
( )a b a b a a b
a a b+ + − +
+ =
=2 2 2
( )a ab b a ab
a a b+ + − −
+ =
2.
( )+b
a a b6�!�$ ����+��! ���������� ��� ������� �������� ���� � �����&
�������. ��$� �� ������� 0 ����+����(. •
#�������. ��$��� ��, &� ��# �� �����# !�!�'���!�� ���� ���!���!�!�'���!� � ��#!� �� ��-�� ���!��� ��� ���� � ���!��� � ��#!� �� !�$�����$� ����, ��� �! �%%!� �����% �� �� !� "� �� ���!�� � �� ��#!�,&� ��� ��� �% ���%.
+������!� ���� ���# ( ��������#) ���� :
92. ) ;a mc n
− -) ;3 12a b+ &) 5 3 ;
4 5a bx x
−
#) 7 ;9 6
c cy y
− �) 5 7 ;12 18
b bx x
+ )) 4 6 .15 25
b aa b
−
93. ) ;6 18c ad+ -) 3 2 ;
5 3k ka a
+ &) 5 .24 36
n nx x
−
94. ) 2 3 ;4
aa+ − -) 10 37 3 ;yx
x y−+ + &) 2 2 ;a b a b
b a+ −−
#) 2 2 ;1 1z z
+− +
�) ;a aa c c
−+
)) 1 2 .2 1
y yy y
− +−− +
95. ) 2 1 1 ;3
mm
− + -) 4 2 3 2 ;a ba b
− ++ &) 2 2 ;x y y xx y− −−
#) 2 1 ;2k k
++
�) 2 3 ;2 1 3 2
a aa a
−+ +
)) 1 .1
x xx x+ −
−
30 § 1. ���������� ��� �
,����!� � �$�#�� ����:
96. ) 22 ;2 1n
+−
-) 3 23 ;x yx−− &)
2
.2
y yy
−−
97. ) 5 2 2;1y
y− ++
-) 21 ;2 3
xx
−+
&)22 3 3 .
1c cc
+ −−
*"��!�!� ���:
98. ) 4 1 5 6 ;8 12x x
x x− −+ -) 6 18 ;
6 18a a
a a− +− &) 5 4 ;
2( ) 3( )a a
a b a b−
+ +
#)22 2 ;a b a b
a ab+ −+ �) 2
1 5 ;cc c
−− )) 2 2 ;m n m nm n mn
+ −+
5) 2
1 2 3 ;3 6
y xxy x− ++ +) 77 ;
( )y
x x x y−
+") 3 3 .
( )a
a b b a b+
+ +
99. ) 3 1 2 1;6 4b b
b b− −− -) 4 4 ;
5( ) 3( )b c b c
b c b c+ −+
− −&) 3 1;
3 3x y x
xy x+ −+
#) 22 1 ;a
aa+ − �) 2
2 ;2
a b aabab
+ −+ )) 2 1 2 .( 1) 1m
m m m+ −− −
100. ) 3 3 ;2 2 4 4a b a ba b a b− ++− −
-) 1 3 ;3 12 2 8
x xx x
− −−− −
&) 24 2 ;
2 cc c+
−
#) 23 2 3 ;
3 3b
b b b−−
+ +�)
2
2 ;2 4
k kk k
−− −
)) 2 24 4 .
2m n
m nm mn n− +
++ +
101. ) 5 ;2 2
m n m nm n m n
+ −+− −
-) 2 3 ;3 3 5 5
−+ +a a
a a&) 2
1 2 ;1
nn n n
−+− −
#) 215 3 ;
5 aa a−
+�) 2
16 4 ;416 xx
++−
)) 2 21 .
2x
x yx xy y−
−− +
�� ���!� !�!�'���!�:
102. ) 2 21 1 2 ;m
m n m n m n+ =
− + −-) 2 2
1 1 .11 1
bbb b
− =+− −
103. ) 23 3 9 ;
3 3a a a a− =
− −-) 2 2
1 .( ) ( )
a ba ba b a b
− =−− −
4. ��������� ������� ����� � ��� ��������� 31
���������� ���� � ���:
104. �) 2 2 21 1 ;a bca bc ab c
+ −+ �) 4 2 3 3
3 14 1 ;12 9
yxx y x y
−+ −
�) 1 1 ;c dcm cn dm dn
+ +−+ +
�) ;12 12 18 18
x xx y x y+
− +
�) ;4 4 4 4
a b a ba b b a
− +++ −
�) 2 2 21 1 .
( )b a a b−
− −
105. �) 3 2 2 32 1 3 1 ;
16 24a ba b a b
+ +− �) 7 5 ;ax ay by bx
−− −
�) 2 2 2 ;b ba b a ab
−− +
�) 21 .
2 2( )x y
x yx y− +
++
�������� � ���:
106. �)2
25 3 1 ;3 1 6 2c cc c c
+ −−+ +
�)2
2 ;b by bby y
+−−
�) 2 ;6 9 4 9
n nn n
++ −
�) 25 2 1 ;
10 225x
xx− −
−−
�) 2 22 8 ;2 4
aa a a
− ++ −
�) 2 22 8 ;
8 2 4a b a b
a ab b ab+ ++
− −
�) 25 15 ;
2 12 12 36m m m−
+ + +) 2 2 2
4 ;9 24 16 3 4
x xx xa a xa a
+− + −
) 3 29 3 ;
27 3 9a
a a a−+
+ − +�)
2
32 2 4 .
2 8x x
x x+−
− −
107. �) 21 10 ;
10− +−
−a a
a a a�) 2 2
1 1 ;b aab b ab a
+ ++− −
�) 29 9 ;2 6 9
xx x
−+ −�) 2
5 20 ;4 32 64b b
+− −
�) 25 45 ;
9 18 81+
− − +a a
a a a�) 2 2 2 ;
4 12 9 4 6y y
x xy y x xy−
+ + +
�) 3 21 ;
1 1x
x x x−
− + +) 3
1 2 .2 8
aa a
++ +
32 § 1. ���������� ��� �
������� �� ��� ����:
108. �) 5 6 1 1;8 4 2a a a
a a a+ − ++ − �) 1 1 ;x y
xy x y− − −
�) 2 2 ;a b a b a baba b
+ + −− − �) 22 2 5 ;m n
mn n m− − +
�) 23 3 ;2 2a b bab b a+ − + �) 1 2 1;
2 1x xx x
− −− ++ +
�)2 2
;x yx yx y
++ −+
)4
22
1 1.1
aaa
+− +−
109. �) 3 1 1 ;3 3
aa a+ + − �) 2 2 2 2
1 1 ;a ba b ab a b
+− −
�)2
21 1 ;nkk kn
−− − �) 21 3 1 ;
3 3x x
xy yx− −− +
�)2( ) ;m nm n
m n−− ++
�) 2 11 .1 1x
x x− + −− +
��������� ����:
110. �) 22 4 1 ;
5 25 5 2525a aa− −
− +−�) 2 2
2 3 3 1 .2 4 4 4
x xx x x x
+ +− ++ − − +
111. �) 2 21 1 3 ;2 2 4
aa b b a a b
− −+ − −
�) 23 1 2 .
3 36 9m
m mm m− + −
− ++ +
�������� �������� ����:
112. �) 22 2 1
2 2x x
x xx x− −− +
+ +, ���� � = 3 ;
11−
�)2
2 22 3 3a a a ab
a b a b a b+− −
− + −, ���� � = –1,5; b = 11,5.
113. �)2
23 2 3
3 3a a
a a a a− −
− −, ���� a = 2 ;
17
�)2
2 2
2 6 43 2 9 4x y xy yx y x y+ +−− −
, ���� � = 4,2; = 1,3.
4. ��������� ������� ����� � ��� ��������� 33
������� ��������:
114. �) 2 2 2
2(2 1)2 ;2 1 1 ( 1)( 1)
xx xx x x x x
++= −+ + − − +
�) 2 2 23 1 5 3 3 1 .
1 2 2 2 ( 1)b b
bb b b b b− ++ − =− + −
115. �)2
2 2 2 2 ;2 ( )
n m n mn mn m n mn n n m
+= +− + − −
�) 2 21 3 4 15 21 .
3 3 9 9a
a a a a−− − =
+ − − −
116. ������� ��� �� �� � b, ��� ����� � ��������� � ��� � �� ���� ��-��� ������ �:
�) 1( 1)( 2)x x+ +
= ;1 2
a bx x
++ +
�) 2 1( 3)( 4)
xx x
−− +
= .3 4
a bx x
+− +
117. ���� ��� �����:
�) 1 1 1 ;( )( ) ( )( ) ( )( )a b a c b c b a c a c b
+ +− − − − − −
�) 2 4 81 1 2 4 8 ;
1 1 1 1 1x x x x x+ + + +
− + + + +
�)3 7
2 4 81 1 2 4 8 ;
1 1 1 1 1x x x
x x x x x− − − −
− + + + +
�) 1 1 1 1 ;( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4)a a a a a a a a+ + +
+ + + + + + +
�)2 2 3
2 3 2 3 2 41 1 2 .
1 1 1 1b b b b b b
b b b b b b b b+ − − −+ + +
− − + − + + + −
118. ������� ������� �:
�)( )( ) ( )( ) ( )( )
a b b c c ab c c a c a a b a b b c
+ + ++ +− − − − − −
= 0;
�)( )( ) ( )( ) ( )( )
b c c a a ba b a c b c b a c a c b
− − −+ +− − − − − −
= 2 2 2 .a b b c c a+ +− − −
2* �. ������. �!����. 8 �.
34 § 1. ���������� ��� �
119. 4������:
) 9 24 5 ;16 25 27
⋅ ⋅ -) 4 2 16 8: : ;9 27 17 51
−
&) ( )5 10, 4 8 5 0,8 5 : 2 ;8 2
+ ⋅ − ⋅ − #) ( )7 2 21 8 8,9 2,6 : 34 .8 3 5
� �⋅ − − ⋅� �� �
120. #���’�+�� �����$� ������:
)2 3 12;2 4;
x yx y
+ =� − =
-)3 5 22;7 2 24.
x yx y
− =� + =
121. ����� �$ ���� ��� ��� ���� �� ��� � ��!���� 35
���! ��'�� � �� �����
����! �������. � ����� ���� ���� ����!���� 12% �����!, � �� ��!������� ���� ���� 896 ��. 2���� ��'�� ��� �� ��!���� ��� ���� ��������� ����?
122. ��$�’(������ ��� ����0 ����(���� 9 � �� �� � ���� ���������+�� � ���� ���� 3� ���� �� ����$�$ ��$�’(����$ ����� �$ 1,5 � ./�� ���$��'� ������ ��$�’(����� � �� � ��������, ��3� ����������� ���� �����(0 50?
123. � ���� �����(��� 29 �����. �� �$�, 3� ���� �� -���! ���! � ��! 0������$�� ��0 �����. ���� ��, 3� � ���� ���� ���� ����, ���� $�0�� $��'� ��+ 14 �����.
$������ ��� ������������ % 1 35
0 &� ��� ��� ! 2%1)�)&���� 9 1
�&)�$ 1
1. 7�$� �����(0 �������� ������ 2 15
xx
−−
, ��3� � = –4?
) 1; -) –1; &) 7 ;9
#) �� ����0.
2. �� ���! ������ �$����& �� $�0 �$���� ����� 8 ?2 5
xx
+−
) � = 0; -) � = 2; &) � = 2,5; #) � = 5.
3. 2������� ���2
318 .3
aa
) 18 ;a -) 3
1 ;6a
&) 6 ;a #) 3
6 .a
4. *�� �� ��� 3b
� ���$������ b2.
) 23 ;b
-) 23 ;bb
&)2
23 ;bb
#)23 .b
b
5. �� ���� ����: 2 2
3 1 5 8 .y yy y− −+
) 2
4 11 ;yy
+ -) 2
4 5 ;2
yy
− &) 4 – 5�; #) 2
4 5 .yy−
6. 2������� ����� .2a b a b
a a+ −−
) ;2a b
a+ -) ;b
a &) 3 ;2a b
a+ #) 3 .2
a ba+
36 § 1. ���������� ��� �
�&)�$ 2
7. ��������� �� ���� ���� $�+ ������$� (1–4) �� ��������$� �$����&(-–�), � ���! ����� �� $�0 �$����.
1) 3 ;2 3aa−−
�) 0; –1;
2)3
24 5 ;c
c+ �) 3;
3) 211 ;
2 10x
x x− �) 1,5;
4) 2 1 1.1 2
z zz z
− +−+
�) 0; 5;
�) 0. 8. 2������� ���:
)3 2
427 ;36
a ba b
-) 5 10 .3 6a ba b
−−
9. *��� �� �������� ������22 6
3a aa
−−
, ��3� � = 1,7.
10. �� ���� � �� � � ����:
) 3 2
35 ;yxa b ab
− -) .4 4 7 7
a bx y x y
++ +
11. 2������� �����:
) 22 ;x yx y++−
-) 2 28 16 .−− −
nm n m n
�&)�$ 3
12. *��� �� ������$� �������� �$����& � ������ 214 .
( 2) 4− −k
k
13. 2������� ���:
)2 5
3
196 ;35
x yx y
-)3 2
2 3 23 .
9a a
ab a b−
−
14. �� ���� � �� � � ����:
) 2 21 1 ;a a
a a a a+ −−− +
-) 2 .( )
mn n nm n m nm n
+ +− ++
$������ ��� ������������ % 1 37
15. *��� �� �������� ������ 2 21 1
m mn mn n−
− −, ��3� ! = 0,7; " = 1 .
316. 2������� �����:
) 2 ;aba ba b
+ −+
-) 2 2 2 .2b a b
a ab b b ab+−
− + −
�&)�$ 4 17. �� ���! ������ �$����& �� $�0 �$���� �����?
) 215 ;2 15a a+ −
-) 3| 7 | | |− +x x
.
18. 2������� ���:
)3 210 4 40 ;
10x x x
x− − +
−-)
2 216 64 .8
x x ax a
− − ++ −
19. �� ���� � �� � � ����:
) 2 25 1 6 1 ;
5 5 6 12 6x x
x x x x− −−+ + +
-)2 2
2 22 4 .
2 2 4 4a b a b
a b a b a ab b++ −
− + + +
20. 2������� �����2
2 31 1 4 .
2 2 4 8 2a a
a a a a a++ − +
− + − −
21. ���� �� ����+���� 2 4 81 1 2 4 8 .
1 1 1 1 1+ + + =
− + + + −x x x x x
38 § 1. ���������� ��� �
1.�������� �����. ���� ����� � ����� �����, � ������ ��������� ���������� ��������� � ������ ������ ������� �����������
�����, ������ — ����������. �������, 3 5 3 5 15 .4 7 4 7 28
⋅⋅ = =⋅
�� ��� ����� ����- �� ����� ab
� cd
:
.a c acb d bd
⋅ = (1)
!� ���� (1) " �������, ��� �� " �� ������ �� ����- ��� ��-���� �, b, c � d, �� b ≠ 0 � d ≠ 0.
# ������� (1) ���� " ������� ��� ������:
��� ��������� ���� �� ����, �������� ����������� ������ ������������� �� ��������� � ������ ������� ������� ����������, ������� — ���������� �����.
$� �� ��� ������"�� � ����� ������� ���� � ������ ����� .
2. ���������� ����� �� �������. %������� ���� �� ��� ������� ����� , ��������� ���� �� n-�� ����� :
( )�
�
���
��� ���
...... .
...
nn n
n
nn
a a a a aa a ab b b b bb b b
= ⋅ ⋅ ⋅ = =�����
&��,
( ) .n n
na ab b
= (2)
# ������� (2) ���� " ������� ������ ����� �� ����� :
��� �������� ���� �� �������, �������� �������� �� ���� ��������������� �� �������� � ������ �� ����� ������� �������-���, � ������ — ���������� �����.
5.�������� ����. ��������� ��� �� ������� 39
������ 1. �������� ������:
�)4 3
2 36 ;
8a b cc a
⋅ �)2
2 2 2 .ab b ba a b+ ⋅
−
• �)4 3
2 36
8a b cc a
⋅ = 4 3
2 36
8a b c
c a⋅⋅
= 3 ;4
abc
�)2
2 2 2ab b b
a a b+ ⋅
− = 2
( )( )( )b a b b
a a b a b+ ⋅
⋅ − + =
2
2 ( )b
a a b⋅
−•
������ 2. ������ ���� 33
xx
+−
�� �������� � – 3.
• ��������� �������� � – 3 � ������� ����� 31
x − , �����:
3 ( 3)3
+ ⋅ −−
x xx = 3 33 1
x xx
+ −⋅−
= ( 3) ( 3)( 3) 1
x xx
+ ⋅ −− ⋅
= 3x + .
���������� �����: 3 ( 3)3
+ ⋅ −−
x xx = ( 3)( 3)3
x xx
+ −−
= 3x + .•
������ 3. ������� �� �������� ����3
225
a bm n
− .
•23
225
a bm n
� �−� �� � =
23
225
� �� �� �
a bm n
= 3 2
2 2
(2 )(5 )
a bm n
= 2 3 2 2
2 2 2 2
2 ( )5 ( )
a bm n
⋅ ⋅⋅ ⋅
= 6 2
4 24 .
25a bm n
���������� �����:23
225
a bm n
� �−� �� � =
6 2
4 24 .
25a bm n
•
124. ��������� ������:
�) ;a mb n
⋅ �) 5 2 ;3 5
ba
⋅ �) 2 ;mk
⋅ �) 3 1 .4x
x⋅
40 § 1. ���������� ��� �
125. '������� �� ����� :
�) ( )2
;ac
�) ( )22 ;3ac
)42;a
c� �� �� �
�)32
33 .ac
� �−� �� �
�������� ��� :
126. �) 4 5 ;3 16
ba
⋅ �) 3 2 ;5 9k
k⋅ )
28 1 ;11b
b⋅ �)4
214 ;
7� �
⋅ −� �� �
yy
�) 2 425 ;
5c dd c
⋅ �)3
2
1012 ;5
yxy x
⋅ �) 334 ;2
axx
⋅ �) ( ) 25 3 .6m n mn
− ⋅
127. �)4
23 2 ;
94b
b⋅ �) 5
6 21;7k
k⋅ )
3 26 ;9
� �⋅ −� �� �
x aa x
�) 25 2 .4
a ayy
⋅
������� � ���� �� �����:
128. �)2 2
3 525 10 ;4 15
a bb a
⋅ �) 34
5 3 ;9
a abb
− ⋅ ) 2517 .
34� �− ⋅ −� �� �
yx yx
129. �)22
2 3
272 ;9 4
yxy x
⋅ �) 23
2 ( 10 );5
a abb
− ⋅ − ) 23
312 .16
� �⋅ −� �� �
mmn
�������� ��� :
130. �)3
2 2 ;( )
x y a ba x y− ⋅
−�)
33 ( ) ;m nxm n x
+⋅+
)2
3
3 3 ;x y bx yb
+ ⋅+
�) 22 1 7 ;
2 17x x
xx x− −⋅
−−�)
2 9 2 ;2 3
m mm m
− +⋅+ −
�)2
24 4 4 .
4 4a a a
a a− + +⋅
+ −
131. �)4
2 ;ya ba by
+ ⋅+
�)4
3 2 ;( )
x y aa x y+ ⋅
+) 2 ;ab ac k
b ck+ ⋅
+
�)2 2 1 1;
1 1b b x
x b− + −⋅
− −�)
2 216 ;4
y bab y− ⋅
−�)
2 5
3 22 1 .
1c c c
c c+ + ⋅
−�������� �� ����� :
132. �)222 ;x
y� �� �� �
�)432 ;
3ab
� �−� �� �
)32 3;
5n k
m� �−� �� �
�)32 4
33 .4a b
c� �� �� �
5. ������� �����. !��������� ����� �� ������� 41
133. �)2
23 ;mn
� �� �� �
�)3
2
22 ;xy z
� �� �� �
)33
23 ;5a bc
� �−� �� �
�)23 4
3
9 .5x ya
� �−� �� �
�������� ��� :
134. �)23
3 2 2
512 ;18
x ya bx a a
⋅ ⋅ �)2
3 23 2 4 ;4 3 3m n nn m m
� �⋅ − ⋅� �� �
) 2 35 ;
10bx byab
xy y a+⋅
+
�)2
2 3 2 3 ;xy a aa a x y
+⋅+
�)2
218 4 2 ;
272a x
axx x−⋅
−�)
2
23 2 .
9 6a b ab a
a bab b+ +⋅
++
135. �)2 3 2
3 26 ;
3 4ab m mnmn a ab
⋅ ⋅ �)2 3
2
5 5 ;15 15
x y x xx yx x
+ +⋅++
) 2 3
6 316 .2 20
ymny y m n
+⋅+
��������� �����:
136. �) 2 23 1 1 ;
1 9 1a a
a a− +⋅− −
�)22 2
;9 9
x xyb ax y a b
−− ⋅− −
)2
2 2
4 ;( ) 32
xy x xyx y x
+⋅+
�)2 2 25 ;
10y a y
a y y−� � ⋅� �−� �
�)2 2 2(2 1) ;
7 7 4 2x a bb a x
+ −⋅− +
�)2 2
3 2 24 4 2 ;( ) 2 2
m n m mn nm n m n
− + +⋅+ −
�)2 23 3
2 2 ;2 2
x ym ny x m mn n
−− ⋅− + +
�)2 2
3 34 3 3 .
2c a a b
a ca b− +⋅
++
137. �) 2 25 5 ;
2x ya ba bx xy y
−− ⋅−− +
�)2
2 2
( )3 3 ;5 5
a ba ba b b a
+− ⋅+ −
)2 2 2
2
(4 ) ;12 3
x x yxxy y
− −⋅−+
�)2 2 2
3 3
1 ;3 32 2
y a ab bya b
− − +⋅−+
�) ( )2
215 ;
52 2a a b
aab b+⋅
+�)
2 2
3 21 1 .1 2 1
a x xx a a
− + +⋅− + +
42 § 1. ���������� ��� �
������� ���� ������:
138. �)22 5
32 3 98 ,7 94a b ab a
� �⋅ − ⋅� �� �
�)� � = –1,25; b = 8;
�)2 3 2
2 28 16 3 12
16 4x x x x
x x x+ + −⋅
− +, �)� � = –1; � = 0,8; � = 24 .
3
139. �)3 9
2 4 2
16 3 ,2 3
yxy x y
� � � �⋅ ⋅ −� � � �
� � � � �)� � = 1 ;
7� = 0,5;
�)3 3
3 227 4
0, 2 3 9a a
a a a+ ⋅
− +, �)� � = –4; � = 5; � = 1 .
4−
140. (������ ���:
�)2 2
2 2
2 2 ;2 2
x xy xz yz x xy x yx xy xz yz x xy x y
+ + + − − +⋅− + − + − −
�)23 34 2 2
2 2 22 .2
a a b b a ba ab b a b
� �� �− + −� �⋅� �� �� �− + −� �� � � �
141. #����� ������ ����21
116 4 161664 4 64
n nn
n n
+
+� �+ ⋅⋅� �− ⋅� �
, �)� n = 74; n = 1000.
142. *� ���� �������2
2
( 2) 2 22( 2) 2
x a x a x a xx a xx a x a
+ + + − +⋅ =+ −− + +
.
143. #����� ����, �������� �� ����: 2 ;7
4; 51 ;6
0,2; 1,6.
144. &�������:
�) 18 4: ;25 15
�) 2 14 : 42 ;3 6
− ) 1 20,125 : 3 1 : 7.8 5
−
6. "������ ����� 43
145. + ������� ����� ��� ���� 480 � ���, ������� — 282 �. # ������������ �� ����� )������ 25 � ���, � ������� — 16 �. ,���� ���������� � ������� ����� ��� ��� ���� �� ��� ������, ��� � �������?
146*. %�� ������ A �� ������ B � ���"� ����� �������� ����� �� ���� ���. ���� ����� 1,5 ��� ��� ����� �� ������ B, ���� ������� �������� �� -�"� ������ )� 27 ��. �� ���������� � ������ B,��� ����� � � ������ �� �. ,���� ��� �� ���� ���� �� �������� B ��� ������� ���? ,��� ���� ��" � ������ ��� ��� ��� ���?
147. + ���� ’ ��� ������ � � ����� � ��� �’"���� ������� � ����-�������� �����. *� ����, )� ����" ����, � ���� ����- �� �������� ���� ������ ���� ����"� �� � �� �������.
���� ��� � � ����� �����, � ������ ���� ����� � ����, ���������
�� �������. �������, 2 3 2 5 10: .7 5 7 3 21
= ⋅ =
+ ��� �� ������ ��� � ����- �� ����� ab
� cd
:
: .a c a db d b c
= ⋅
&��� �� ���� " �������, ��� �� " �� ������ �� ��� ��-���� �, b, c � d, �� b ≠ 0, � ≠ 0 � d ≠ 0. # -�"� ������� ���� " ������� ��-�� ������:
��� �������� ���� ���� �� ������, �������� ������ ���� �����-���� �� ����, ��������� �� �������.
�������, 2 2 22 2 2 2 2 4: .
2a a a b a b
b a bb b b a⋅= ⋅ = =⋅
44 § 1. ���������� ��� �
����� 1. %����� ������ :
�)2 3
315 : ;
714a a
cc�) 2 2
3: ;1
ab ba a a− −
)2 24 : (2 ).2
x y x yx− −
• �)2 3
315 :
714a a
cc =
2
3 315 714
a cc a
⋅ = 2
3 315 714
a cc a
⋅⋅
= 215 .
2c a
�) 2 23:
1ab b
a a a− − = ( 1)
( 1)( 1) 3a aab
a a b−⋅
− + = ( 1)
( 1)( 1) 3ab a a
a a b⋅ −
− + ⋅ =
2
3( 1)aa ⋅
+
)2 24 : (2 )2
x y x yx− − = (2 )(2 ) 1
2 2x y x y
x x y− + ⋅
− = (2 )(2 )
2 (2 )x y x y
x x y− +
− = 2
2x y
x+ ⋅ •
148. %������ ������ :
�) : ;x my n
�) 1 1: ;a b
) : 2;4a �) 33 : .
x
�������� ���� :
149. �) 2: ;9 3a a �) 6 2: ;
5 15ab bc
) 2 1: ;xx
�) 9 : 3;d
�) 32
3819 : ;5
nnp
�) ( )333 : 11 ;12
c cm �)3
5 3: ;2 4c ca a
�)2 3
3 412 3: .25 5
ab bx x
150. �) 4 33 1: ;
10 5xy y
�)3
42
1827 : ;7
aab
)2
2 36 3: ;5
x xy y
�) ( )2
23
5 : 10 .7mn nk
6. "������ ����� 45
151. �)3 4
418 6: ;
155a a
bb−
−�)
3 4
2 39 36: ;
20 5b bn n
− )2 3
2 2814 : .5x yxyz
� �−� �� �
152. �)2 2
2 38 4: ;
9 3x x
y y− �)
3 4
215 9: ;
82m m
nn− )
3 2 46 3: .5 10xy x y� �
− −� �� �
��������� �����:
153. �) 4 26 6 : ;a b a b
c c+ + �)
2
3 : ;mn n m naa
− − )2 2
2 3: ;c d c dk k− +
�)6 4
2 : ;416
x xxx −−
�)3
2 : ;36 9
b bbb b −− +
�)2 24 4 4: .
1 1y y y
y y− + −
+ +
154. �)3
: ;x xab ac b c+ +
�)2
4 34 2: ;a a
c c− − )
2
51: ;m n mn m
yy+ +
�)2
225 5: ;k k
k k− + �)
2 22 : ;10 25
x xy y x y− + − �) 2 22 2: .
2 1 1a a
a a a− −
+ + −
�������� ���� :
155. �)3 2
3 45 : ;
4 8x x x
a a− �)
2 2
3 2 21 : ;b b bac a c− + )
2
25 10 2: ;( )
a a aa ba b
− −−−
�)2
23 3 : (2 2);
1x xx
− ++
�)2 2
2 218 24: ;1 (1 )
ab a bx x− −
�)2 22 : .a ab b a b
a b ac bc+ + +
− −
156. �)3 2 2
3 37 : ;11 22c c c
ab a b− �)
2 2
24 2: ;
1x x x
xx x− −
++)
2
2 2
( ) 6 6: .1
m n m nm m m
− −+ −
��������� �����:
157. �)32 6 2
236 3: ;
25 5a x ax
b b� �−� �� �
�) ( ) 24 2
32 10: ;3 9m mn n
� �− � �� �
46 § 1. ���������� ��� �
)2 2
25 15: ;
7 142a b a a
b bcc� �⋅� �� �
�)33 4
4
39 3: : .5 45
yx x by xy
� �� �� �
158. �)52 3 75: ;
2 64mn m n� �−� �
� ��)
3 22 33 9: ;2 4a b ac c
� � � �� � � �� � � �
)2 2
3 4
3 65: : ;65 5
xy x yzyz z
� �� �� �
�)3 2 2 2
4 2 227 2 3: .
4 3 4a b a c bc b ac
� �⋅� �� �
159. �) 2 2 2 23 6 7 14: ;
2a b a b
a b a ab b+ +− − +
�)2 2
2 24 4 1 1 4: ;
3 3c c c
x y x y+ + −− −
)2 2
3 3 2 24: ;mn m n
m n m mn n+ − +�) ( )2 2
2 23 : ;a a ab
a b a b+
− −
�)2 2
3 2 2
2 2 2: ;( ) 2
x y x xy yx y x xy y
− − ++ + +
�)3 2
2 227 3 9: .
2 4 1a a aa a a
− + +− −
160. �)2 2 2
2 2 3
( ) : ;a b a bab b ab b
− −+ +
�)2
2 2
2 2( 2 ): ;3 3
+ +− −
x y x yx y x y
) 2 32 4 2: ;
1 1c d ac adb b b+ +
+ + −�)
2 2
2 3: .4 2 8
ab ac c ba a a− −
− + +������� ���� ������:
161. �)4 22 3
32 : ,7 49a ab b
� � � �−� � � �� � � �
�)� � = –0,25; b = 4;
�)2 2
24 4 1 2:
10 54 1m m m m
mm+ + +
−−, �)� m = –5; m = 0,5; m = 1 .
15
162. ( )2 2
2 22:
2 4a a ab
a b a b−
+ −, �)� � = –3, b = 4; � = 78, b = 11.
�������� ���������:
163. �)2 2
2
2 ( )5 5: ;4 58
b a ba b a bab ab
−− + =
�) ( ) 2 2
21 : .( )
m m m n m nm n m n m n m n
− +− − = −+ − + −
6. ������� ���� 47
164. �) ( )2 216 63 12 : ;
2 4x y xx y x x y
−− =+
�)3 2
2 21 1 1 2 2: : .
2 42 2 1a a a aa aa a a
− − + −− =+ −
165. �������� ��� :
�)22
6 4 2 20, 25 0,5: ;
1 1x x
x x x x− −� �
� �− − + −� ��)
2 2
2 26 5 4 5: .a a a a
a ab a b a ab a b+ + + −
− + − − − +
166. ������, �� ��� 2 2
2 2
3 2 3:22
x y x xy yx yx xy y
+ + −++ −
������ ���� ��������
�����.167. �� ������� � ����� ���������� ����� � 1 � � 2, � �� ������� � — ���-
������� ����� � 3 � � 4. �� ������ �! ����� � 1 ��"�� �� ��-��"��� ���"� �� 3 ��, 2 �� � 1 �� �����, ��" � ������ �! ��-������ ����� � 2, � 3 � � 4. �� ����� ������� � ������ �! ���� #�- � ����� ��"�� ����� �� ����"��� ���"�?
168. $� ’�"�� �������:�) 3(� + 4) = 4(� + 3); �) 2�(� – 1) + �(� – 2) = 3�2 – 2.
169. %���&�� ����� '������! � = 5� – 8.�) ���#��� ������� '���&�(, ���� � = –1; � = 3.�) ���#��� ������� �� ������, ���� � = –3; � = 6.
170. %������� ������ n ��. )��� ������� �� '�������, �� �� � �� ����� � '������� ��� ��"�� 30%. ������ ���� �������� ��������,���� ������� �� '�������?
171. * ���� ��� ����� ������� �����! 10% � 40%. ������ ���� �������"�� � ����� �������� ���, ��� ����� ��������� ����"��� 12 � ���-��, ��� ������� � 30% �����!?
48 § 1. ���������� ��� �
172. � ������� ������ ���� � 3 × 3 ������ ���� ���� ��, �� ����-����� ����, ������ � ������� �� ��� ��� �������, ��� ��������� �������� ��� � 1. ��������, �� ������� ��� ��������, � ��� ������ ����� �����.
� �� �� ���� � �� ��� � ������� ����� �����, ��� ���’�������� ��� ���� ���� �� ���� ���� �� �� ���� �� �. !�� ��, �� ���� ��-�� ���� �������� �� ��� �� ���� ��������� ��� ���’������� ������,��������� ���������� , ��������� ������ �� ���. "��������� ����� �-���, ���’���� � ��������� �� ���� ������ � ����� �������� �� ���.
���� � 1. #� ������ �� � ( ) 2
231 : 1 .
1 1a a
a a� �+ −� �+ −� �
• #������ ����� �� �� � ����� ����� � ������� � ����, ������� ���� $ �����:
1) 11
aa
++
= 11
a aa+ +
+ = 2 1;
1a
a+
+
2)2
231
1aa
−−
= 2 2
21 3
1a a
a− −
− =
2
21 4 ;1
aa
−−
3)2
22 1 1 4:
1 1a a
a a+ −
+ − =
2
22 1 1
1 1 4a a
a a+ −⋅
+ − = (2 1) (1 )(1 )
( 1) (1 2 )(1 2 )a a a
a a a+ ⋅ − +
+ ⋅ − + = 1 .
1 2−
−aa
% ������� �� ���� ���� ���� �������� � ����:
( ) 2
231 : 1
1 1a a
a a� �+ −� �+ −� �
=2 2
21 1 3:
1 1a a a a
a a+ + − −
+ − =
2
22 1 1 4:
1 1a a
a a+ −
+ − =
=2
22 1 1
1 1 4a a
a a+ −⋅
+ − = (2 1) (1 )(1 )
( 1) (1 2 )(1 2 )a a a
a a a+ ⋅ − +
+ ⋅ − + = 1 .
1 2−
−aa
•
7. #������ ����������� ����������� ��� � 49
!-�������� ��� � ������� 1 �� � ��� �� �-��������� �����1 .
1 2−
−aa %����, ����- ��� �-�������� ��� ���� ���� � ��� �� �-��-
������� �����.
������� 2. *� ���, )� �� ��� ��������� ������ ������� ���2
2 2
2 2 3:2
xy y x y x yx y x yx y
− + +++ +−
��� " ��� ����� ������ .
• (������� ���� ���:2
2 2
2 2 3:2
xy y x y x yx y x yx y
− + +++ +−
= ( ) 2 3( )( ) 2 2
y x y x y x yx y x y x y x y
− + +⋅ +− + + +
=
= 2 32 2
y x yx y x y
+++ +
= 2 42
x yx y
++
= 2( 2 )2
x yx y
++
= 2.
&��, �� ��� ��������� ������ ������� ������ ���� ���� ��"��� ����� ����� (����� 2). •
������� 3. *� ��� �������1 1
.1 1
b aa bb a
a b
+ +=−−
• (������� �� � ����� �� ����:
1 1
1 1a b
a b
+
−= ( ) ( )1 1 1 1:
a b a b+ − = :b a b a
ab ab+ − = b a ab
ab b a+ ⋅
− = .b a
b a+−
3� ��� ������ ���� ����� �� � ����� �� ���� � ��� �� �� �������. ���� - �� ���� " �������. •
��������� �����:
173. �) ( ) 21 11 : ;3−+ a
a�) ( )1 1 5: ;
5 5 5a a a−
+ − +
50 § 1. ���������� ��� �
)2
249 1 1 ;
7a
a aa− ⋅ −
+�) ( )2 1 6: ;
2 2 1 2b
b b b−
− − −
�)4 3
2 : ;2 8 48 16
a a aa aa a
−− −− +
�) .x yx xx y x y xy
+� �− ⋅� �− +� �
174. �) ( ) 21 41 ;
2 1b b b− ⋅
− +�)
25 100 1 ;5 10
a aa a a− −− ⋅
− −
)2 22 9 3 ;
3 2 4x x x
x x+ ⋅ −
+ −�) ( )4 2 8: .
2 1 2c
c c c−
+ + +
175. (������ ���2 212 62 1 3
x x xx x
+ ⋅ −+ +
� ������ ���� ������ , �)� � = 6.
176. (������ ��� ( ) 9:9 9 9
c c cc c c−
− + +� ������ ���� ������ , �)� � = 11.
�������� ���������:
177. �) 2 : 1;9 81 918 81
a a aa aa a
+ =+ ++ +
�)6 4 2
22 1: 1.
3 3 12 1b b b b
b bb b+− = +
− −− +
178. �) 4 1 1: 2 2 ;x x yx y x y x y
� �+ = −� �+ − +� �
�)2
25 10 3 15 5.
2a a a
a aa+ +⋅ − =
+
��������� �����:
179. �)3 2
2 2 2 2 2 ;( )� �−− ⋅ −� �− + − −� �
m m mn m nn m m n m n m n
�)2
2 23 3 ;
3 2 3 3 9a a a a a
a a a a a+ +� �+ ⋅ −� �− + − −� �
7. #������ ����������� ����������� ��� � 51
)2
2 2 2 22 4 2 1: ;
2 24 4 4a a a
a b b aa ab b a b� � � �− +� �� �+ −+ + −� �� �
�) ( ) 2
2 2
( )1 1 2 1 1 : ;a ba b a b aba b
+� �+ + ⋅ +� �+� �
�) ( )2
3 22 1 1 51 .
11 1� �+ + + +− ⋅ + −� � +− + +� �
x x x x xx xx x x
180. �)22
2 2 2 2 : 1 ;xy yx xx yx y x y
− � �− −� �++ − � �
�)2
2 2 22 3 3 1 3 2: ;
2 4 4 4 4x x x
x x x x x+ + +� �+ +� �+ − − + −� �
) 2 3 32 6 13 15 5: ;
2 4 8 2 16x x x
x x x x− − −� �−� �− + + +� �
�)4 2
3 2 249 3 27 40 .
427 3 9 16a a a a
aa a a a+ + −� �− ⋅ +� � ++ − + −� �
181. �)1
;11
a b
ab
+
+�)
96;
31
x x
x
− +
−
)1 1
;1 1
m n m n
m n m n
++ −−+ −
�)
2
2.
1
m ama
m aa m
+
+ −
182. �) ;1 1
a bb a
a b
−
−�)
1 11 1 .
1 11 1
c c
c c
−− ++− +
183. *� ����, )� �� ��� ��������� ������ ������� ������ ����a b a a b aa b b a b b
+ ++ − ⋅− −
���� ��" ��� ����� �����.
184. *� ����, )� ������ ����2 2 2 2
2 2:m n m nm n mnm n m n
� � � �− −� � � �+ +� � � �" ������
������ �� ����- ��� ��������� ������ �������.
52 § 1. ���������� ��� �
185. �������, � ��� � �� ���� ����� ������ ������� �������� ������
( ) 2 2
2 21 1 4: 1 a b
a b a b a b� �−+ −� �− + −� �
�� ������� ��� ������ b.
������� ��������:
186. �)2 2 2 21 · : ;m n m n m n mmn m n n m m m n
� �� �− −− − =� �� �+ +� �� �
�)2 22
2 2 2 2( 2)2 1 3 1· ;
3 4 4a aa a a
a a a a a a� �+ −− + −− =� �− − −� �
�) ( )2 22 1: 2 .b a b a
a b a b a ba ab b ab� �− + − + =� �+ ++ +� �
187. �) ( )3 21 3 3 2 1 1;
1 11 1aa
a aa a a−� �− + ⋅ − =� �+ ++ − +� �
�) 2 2 2 2: .2
a a a a a na n a n a na n an a n
−� � � �− − =� � � �+ − ++ + −� � � �
188. ���� ��� �����:
�) 2 2 31 3 3: : ;
9 3 39 3 9 27b a a a
b a aba a a b−� �−� �− − +− + −� �
�)2
2 2
10 3 211 2 .53 ( 5 )
y xy yx yx xy x y
� � � �−+ ⋅ ⋅ +� � � �−− −� � � �
189. ������� �������� ������:
�) 22
1 ,xx
+ ��� 1 2,5;xx
+ = �) 22
1 ,4
xx
+ ��� 1 0,5.2
xx
− = −
190. ������� ������� �:
�) 2 2 3 2
( 3)3 4 1 1 ;1 12 1 1 3 3 2 1
x xxx xx x x x x x x
+� �−� �+ ⋅ + =� � � �+ −+ + − + − − +� � � �
7. ������� ������� ���� ����� �� ��� 53
�) ( )22
2 3 22 1 3 21 .
2 312 4 3 6 5a a a a a
a aa a a a a+ − − −− = ⋅ −
− −− − + − +
191. ������� �� ��� ������� ����� ����: 1 .11 11 1 x
+− −
192. ���’����� �������:
�) (� – 1)(�2 + � + 1) – �3 – �2 = 2�; �) (� + 2)2 – 4 = 0;
�) 4 1;2 3x x +− = �) 3 3 6.
5 4− ++ =y y
193. � � ���� ������� � ������� (�2 – 3�)� = 2� – 6 �� ��� ������? ��� ����������?
194. � ���� A �� ���� B, �� ���� ��� ����� �����!� 360 ��, ��"�������� ��#�� � ��� � �� "���� �! 50 ��/���. $���� 40 � ��� ������� � ���� B ��"� �� ���� ���� ��#�� � ��� � �� "���� �!90 ��/���. %� ���� �� ���� �� ���� A ��#��� � ��� � �?
195*. �� ������ ������� � ����� #��� �� � � ����� �� �� �� ���"���� ����. &� � ��� #��� ����� ����� ���������, �� � �����-!�� � ����� ����� 10 ; �� � � #��� ����� �������, �� ���� �����-����� ��"��� ����� ����� 100 . '�� "���� �� ������� � � ����� ��,��(� ������ ������� �����!� 200 �?
196. %� ��"�� ���� ��� �� � 1, 2, 3, …, 25. ���� ���� � ����� ���-��� ���� � � ���� ��� #� ������. ������"� ��� �������! 24 ����, ����-���� ���� �� �. �������, (� �� �� � �� ��� � �� 1 000 000.
54 § 1. ���������� ��� �
1. ��� �� ������ ���������� �������. !���� ���� �� � �� :
2(� – 7) = 3� – 9; 6 4;9
xx
=−
5 31 4
.x x
=− −
4� � �� ����� ������� � -�� �� � �� " �-��������� �����.��� �� � �� ��� �� ��"������� ��� �.
$ ��������������, ��� � ���� !������ ���� � ����������"� �-�� �"�, �� ��#� ����������"� �������"�.
!-������� �� � �� ����� �� � -��� � ����� �. 1�)� ���� � ������-��������� �� � �� " -����� �����, � �� �� � �� ��� �� "�����"������ ��� . !-������� �� � �� , � ���� ��� � ��� ���� "����� �� �����, ��� �� ������� ��"������ ��� .
2(� – 7) = 3� – 9 — -��� �-������� �� � �� ;3( 2) 2( 1)
5 3y y− += — -��� �-������� �� � �� ;
6 49
xx
=−
— ����� � �-������� �� � �� ;
5 31 4x x
=− −
— ����� � �-������� �� � �� .
2. �� ’� ����� ������� ����������� ����� �� ����� �"��������� ����� ���#. '�������: ���� �����#$ ��# ���� � ������ ����,���� ���� �������� �����#$ ��#, � ����� ������ ��� �� .
0=ab
��� � ����� ���, ���� � = 0 � b ≠ 0.
*�� ������� ���� ������� � � �� ��� ’ �� �� ����� ���-�������� �� � ��. !���� ���� �������.
������� 1. !�� ’ �� �� � �� 2 2 0.
2x xx
− =−
• %������"�� ��� �, � ��� ���� ���� ��" ����. '���� � "�� ��-������� ����� �� ��� :
�2 – 2� = 0; �(� – 2) = 0; � = 0 �� � = 2.
8. ���������� ������� 55
'��� �����, �� �� �������� ������ � �������� � – 2 �������� �� ��� .1�)� � = 0, � � – 2 = 0 – 2 = –2 ≠ 0. ���� � = 0 — ������ �� � �� .1�)� � = 2, � � – 2 = 2 – 2 = 0. ���� � = 2 — �� " ������� �� � �� .%���� ���. 0. •
������� 2. !�� ’ �� �� � �� 6 49
=−x .
x• # ����� ��� �� � �� �� �� � �� , �� ���� ���� " ������,
�� — �����:6 4;
9x
x=
−6 4 0;
9x
x− =
−6 4( 9) 0;
9x x
x− − =
−2 36 0
9x .x
+ =−
'���� � "�� ��������� ����� 2 369
xx
+−
�� ��� :
2� + 36 = 0; 2� = –36; � = –18.
1�)� � = –18, � �������� � – 9 ����� �������� �� ��� . (�� ��:
� – 9 = –18 – 9 = –27 ≠ 0.
&��, � = –18 — ������ ����� �� � �� .%���� ���. –18. •
5�� ��� ’ �� ����� � �-������� �� � �� � ���� � ��� � �� ��������� ����, �������:
1) � ��� ���� �� ��� �� ( ) 0,( )
f xg x
= �� f(x) � g(x) — -��� �-�������
����;
2) ����� � � �� ��� ��������� ����� � ��� ’ �� ������� -��� �--������� �� � �� f(x) = 0;
3) ������� � ���� ������ �, �� ��� �������� ����� ���� ��" ����.
3. ����������� �����. !�� ’ ����� ������ 1, �� ��� ��-������ � ��
!� � �� 2 2 0
2x xx
− =−
�2 – 2� = 0 �(� – 2) = 0
������ 0 0; 2 0; 2
'���� � -�� �� � �� �" ���� ������ — ����� 0, ����� ��" �� � �-� ��� � � ��� ������ — ���� 0 � 2.
56 § 1. ���������� ��� �
$ ��������� �������, ��� "�#� �� ��"� ������, �� ��#� ������-���"�. �� �������, ��� �� "�#� ������, ��� ���#����������"�.
&��,�� � �� �2 – 2� = 0 � �(� – 2) = 0 �� ��������;
�� � �� 2 2 0
2x xx
− =−
� �2 – 2� = 0 �� �� ��������.
!� � �� � + 6 = � � 0� = 1 �� ��������, �� ����� � ��� �� �" ������ .
&������� ��� ’ �� �� �� � �� 2 2 0
2x xx
− =−
� ����� �� ��� ’ �� �-
� �� � �� �2 – 2� = 0 � ���� ���� ��� � � – 2 ≠ 0, � ����, )� �� � �� 2 2 0
2x xx
− =−
�� �������� ������2 2 0;
2 0.x xx� − =
− ≠!�� ’ ���� -�"� ������, � ��
�� �’ �� ��, " ����� � = 0.
%�� ( ) 0( )
f xg x
= ��������� ������( ) 0;( ) 0.
f xg x
=� ≠
+ 7 ���� �� ����� ��� ���� ����� �� � ��, �������� ��, ������-�� �� � �� � ��� ����� ����� ��. &��, -� ���� ����� ���� �� � ��- � �� �� �������� ���� �� � �� . # ���� �� ’ ��� �� ����� ��������-��� ��� �:
��������� 1. &�'� � �� ��� ������ ��� ������� ������ ��-������� , �� � ��#$ �������� ���� ���(, �� ������� ��� ,��������� ����.
��������� 2. &�'� �� ��� ������ �������� � ���$( ������ ���- � �)�, ����)� ���� ��� � ����������, �� ������� ��� ,��������� ����.
��������� 3. &�'� ������ ������ ��� ������� ��� ������-�� �� ���, ����� ��� �� �����, �� ������� ��� , ��������� ��-��.
8. ����������� ������� 57
4.�� � ���� ����� ����� � ����� �� �����. ����������������.
������� 3. ����’����� �������� 21 1 6 .3 3 9
yy y y
+ − =− + −
• ����� �� �2 – 9 = (� – 3)(� + 3), �� ���� �� ��������� ���! ������,��� �!���� � ��������, " (� – 3)(� + 3). ������� ������ ������� ���������� ���� ��� ��������, �� ����, #� (� – 3)(� + 3) ≠ 0, �����:
2
1 1 6 ( 3)( 3);3 3 9
y y yy y y
+ − = ⋅ − +− + −
(� + 3)(� + 1) – (� – 3) = 6;
�2 + � + 3� + 3 – � + 3 – 6 = 0;
�2 + 3� = 0; �(� + 3) = 0; � = 0 ��� � = –3.
$�#� � = 0, �� (� – 3)(� + 3) = –3 ⋅ 3 ≠ 0. %�� � = 0 — ����� ��������.
$�#� � = –3, �� (� – 3)(� + 3) = –6 ⋅ 0 = 0. %�� � = –3 — �� " ������ ���-�����.
�������� . 0. •
������� �����, #� �������� 2
1 1 63 3 9
yy y y
+ − =− + −
�" ���� �����
� = 0, � ������� � ����’������ �������� (� + 3)(� + 1) – (� – 3) = 6 — ��� ������� = 0 �� � = –3. ���, �������� ������ ������� ��������� �������� �� ���-� ��� ��������, � �� �������� ���� ����� , ����� ������� �������#��� & ��� �������� ����� � = –3.
����� �� " ���� ���������:�� � ����� ������� ������� ������� ��������� �� ��� ����� �
������, �� ����� �������� �������, �� ���������� ������. ��������������� �� ��� ����������: 1) ��� �������� �� ����� ������ �����-��; 2) ���� ���� ���� ������� ����� ��� ������ �������.
��������� ������� ��� ���� �������� �����', ��� ���! &���������, �� ���� � ���� ������ ������� ��������, ������" �������� 0. (��������� ������ ��� ���������, �������� ���������.
58 § 1. ���������� ��� �
5�� ��� ’ �� ����� � �-������� �� � �� , ����:1) �������� ���� � ����� �� � �� � �������� �������� ����� , ��
��� � �� �� � �� , � ������ ���� -���� �-�������� �� � �� �;2) ��� ’ �� ������� -��� �-������� �� � �� ;3) ������� � ���� ������ �, �� ��� �������� �������� ����� ��-
�� ��" ����.
����� 1. !�� ’ �� �� � �� 2
22 2 1
22x x .
x xx x− + =
++
•22 2 1 0;
( 2) 2x x
x x x x− + − =
+ +
2 22 2 ( 2) 0;( 2)
x x xx x
− + + − =+
20;
( 2)x x
x x+ =+
2 0;( 2) 0;
x xx x� + =
+ ≠
( 1) 0;( 2) 0;
x xx x
+ =� + ≠
0 �� 1;0;
2;
x xxx
= = −�� ≠� ≠ −
x = –1.
%���� ���. –1. •
����� 2. !�� ’ �� �� � �� 22 2 5 .
2 4x
x x+=
− −
• !���� ������ �� ���� 22 2 5
2 4x
x x+=
− − � ������-��. # ���� ���
��� ��� ������-�� �"��:
2(�2 – 4) = (� – 2)(2� + 5), � ��� �, )� � – 2 ≠ 0 � �2 – 4 ≠ 0.
!�� ’ ���� ������� �� � �� :
2�2 – 8 = 2�2 + 5� – 4� – 10; –8 = � – 10; � = 2.
1�)� � = 2, � � – 2 = 2 – 2 = 0, ��� �� � = 2 ��� � – 2 ≠ 0 �� ���-��"�� . ���� � = 2 — �� ������ �� � �� .
%���� ���. ������ ���". •
����� 3. # ��� A �� ��� B, ����� ��� ���� ���� ��" 21 ��, ��� ����������, ����� 20 � ����� � ��� — ���-�����, � ������ ���� ����� ����� �� � ������ ����������. #��� � ������ ����������, �)� �����, )� ���-����� ����� � ���� B � 40 � �����, ��� ����������.
8. ���������� ������� 59
• ���� � ������ ���������� ���� ��" � ��/���, ��� � ������ ��-�-����� — 3� ��/���. 3� � � �� ��� 21 �� ���������� ����� �21x
���, ���-����� — � 21 73x x
= (���). &������� ���������� �� � ������
� 20 � + 40 � = 60 � = 1 ��� �� ��, ��� ���-�����, � �"�� �� � �� 21 7 1− = .x x
!�� ’ ���� -� �� � �� :21 7 1 0;x x
− − = 21 7 0;xx
− − = 14 0;xx− =
14 0;0;x
x− =�
≠� = 14.
%���� ���. 14 ��/���. •
197. �� �� -��� �-������� �� � �� ; ����� � �-������� �� � �� :
�) 5 1;7x
=−
�) 3( 11) 0;x − = ) 1 3;3
x− = �) 22 0 .x
=
198. ,� " ����� 1 ������� �� � �� ?
�) 1 0;5
xx
− =−
�) 1 0;4 4xx− =−
)2 1 0;
1xx
− =+
�) 2 31 1
.x x
=− +
199. ,� �� �������� �� � �� ?
�) 4 81
xx
=−
� 21
x ;x
=−
�) 1 32 1x x
=+
� 1 3 0;2 1x x
− =+
)2 ( 3) 0x x
x+ = � ( 3) 0;x x + = �) 2 4
2 2x
x x=
− −� 2� = 4.
%���’ ���� ��� :
200. �) 8 0;1
xx
+ =−
�) 1 0;8
xx
− =+
) 22 8 0.
16x
x− =
−
201. �) 2 6 0;3 3
x xx x
−+ =− −
�) 3 1 2 21 1
x x ;x x
+ −=+ +
) 5 2 .6 6
x xx x
− =− −
202. �) 2 1 0;xx+ + = �) 2;
1x
x=
+) 10 3.x
x− =
60 § 1. ���������� ��� �
203. �) 1 1 1;3 4x x
+ = �) 1 3 2;5 4x x
+ = ) 4 1 = 1.3 2x x
−
204. �) 2 4 0;4x
x+ =
+�) 2
2 10 0;25
xx
− =−
) 4 12 ;2 2
xx x
=− −
�) 3 4 6 ;2 2x x
x x− −= �) 1 2 0;
5xx
− + =+
�) 5 10 4;xx− =
�) 5 4;2 1xx− = −−
�) 2 1 5;2x x
+ = ) 1 1 = 1.2 3x x
−
205. �)22 4 0;
2− =−
x xx
�) 2 3 0;2 2x x
− =+ −
) 3 21 2 3
x x .x x
+ =− +
206. �)2 3 0;
2 1x x
x− =+
�)2
0;2
+ =+x xx
) 5 32 3 1
x x .x x
− =+ −
207. 1�� ����� ������� ���� �� �������� ����� 1941
, )�� ������
����, ��� ���� ��" 13
?
208. 1�� ����� ������� ��� � �� �������� ����� 347
, )�� ������
����, ��� ���� ��" 14
?
209. 1�� � ��� ����� ������� ���� �� ��������� ����� 12
�
�������� � ����� �������� -���� �����, )�� ������ ����, ���
���� ��" 23
?
210. � �� � ��� ����� ������� �������� ��������� ����� 15
� ����
���� �� �������� -���� �����, )�� ������ ����, ��� ���� ��" 12
?
211. ,� �� �������� �� � �� (2 3) 0x xx− = �(2� – 3) = 0? %���� ��� ��6���-
���.
212. *� ����, )� �� � �� 2 31 1
xx x
+ =− −
� + 2 = 3 �� �� ��������.
8. ���������� ������� 61
%���’ ���� ��� :
213. �) 1 4 1;2 2 2 3x xx x+ ++ =− +
�) 6 6 2;1 1
x xx x
+ −+ =− +
) 210 2 ;
55x x
x xx x− + =
−−�) 2
5 3 2 ;2 2 4
x xx x x
+ +− =− + −
�) 2
3 1 4 3 15 ;2 5 5 2 25 4
y yy y y
− −+ =+ − −
�) 2 2 22 5 8 ;
3 3 9x x x x x+ =
− + −
�) 2 2 27 3 4 ;
( 2) ( 2) 4− =
− + −x x x�) 2 2
2 1 4 0.2 3(2 3) 4 9
xxx x
− + =−+ −
214. �) 5 4 4 1 1;2 3
x xx x
+ +− =− +
�) 6 5 2 1;3 1 3x xx x
− −− =+ −
) 22 9 2 1 1 ;1 1 1x x
x x x− ++ =
− + −�) 2
2 3 2 3 3 ;2 3 2 3 4 9
z zz z z
+ −− =− + −
�) 22 3 3 5 ;
44x
x xx x− − =
++�) 2 2 2
2 5 81
x x .x x x x x
− −+ =+ − −
215. %����� ��� ����� A B ���� ��" 720 ��. # ��� A �� ��� B ��� ������� � �������� � ��� ���� ���. 7 ������� ����� �� ��� B � 10 ��� �������, ��� ���. #����� � ������ ��� ������ , �)� � ������ ��� 6 ��� �����, ��� � ������ �-����� .
216. *� ������ ��� ����� � � ����. ,���� ����� ���� ����� ������� ��� ���� � ��� � ����, ��� ����� �����. 1�)� ���������� � ���� ��������, � ����� ���� ��� ��� � 4 ���. # ����� ���� ��� ��� ����� ����� ����� ���� ������?
217. 8��� � ��� ������ �� ��� � 15 � . # ��� �� ���� ����� �� �������, ��-���� ��, �)� �� ���� -� ������ �� ��� � ����, ��� ���?
218. 9������ �� �� ������ 18 �� � ���"� ����� � �� ���� � ���. � ��� �� � �� ��� 1 ��� 45 � . #����� � ������ ���� �����, �)�� ������ �� � � �� ��� ��� ���� ��" 21 ��/���.
219. �������� ������ 12 �� � ���"� ����� � 10 �� ���� ���� � 1 ���.#����� � ������ ������� � �� ��� ���, �)� � ������ ��������� ���� ��" 2 ��/���.
62 § 1. ���������� ��� �
220. #����� ������ �, �� ��� �� � �� ( 1)( 2) 0x xx a
− − =−
�� ��������
�� � ��� (� – 1)(� – 2) = 0. %���’ ���� ��� :
221. �)2 2
2 23 1 3 2 ;3 2 3 4
x x x xx x x x
+ + + +=+ + + +
�) 2 22 2 12 1 2 2
.x x x x
+ = −− − − +
222. �)4 5
0;1
xx− −
=+
�)2 1 3
0;2 4
xx
+ −=
− −
)2 25 0;
3 2 6x
x x− =
− − −�) 3 2
3 40
2 2 1x
.x x x
− −=
− − +
223. !�� ’ ��� �� � �� � ������� �:
�) 2 0;4
x ax− =−
�) 3 0;3
xx a
− =+
) 2 4 0;x ax a
− + =−
�) ( )( )1 0.
3 2 3x a
x x− + =
− +%���’ �� . �) '���� � "�� ��������� ����� �� ��� : � – 2� = 0; � = 2�. 1�)�
� = 2�, � �������� ����� ���� ��": � – 4 = 2� – 4. &������� �������� ���� ��"����, �)� � = 2. &��, �)� � = 2, � �� � �� ������ �� �". 1�)� � � ≠ 2, � ��-������ �������� �� ��� � ����� � = 2� " ������� �� � �� .
%���� ���. 1�)� � ≠ 2, � � = 2�; �)� � = 2, � �� � �� ������ �� �".
224. *� ��� ������ � �� � �� 2 1 0( 1)( 3)
x ax x
+ − =− +
�� �" ������ ?
225. *� ��� ������ � �� � �� ( )( 2 7) 05
x a x ax
− − − =−
�" ���� ������?
*��������:
226. �) 27 + 53 �) 6 ⋅ (–3)3; ) 5 ⋅ (–0,3)2; �) ( ) ( )4 32 1 .3 3
− −
227. �) 2,57 : 2,55 – 33 ⋅ 0,3; �) 163 : (412 : 84);) (0,518 : 0,56) ⋅ (216 : 24); �) (–1,7)30 : (–1,7)25 + 1,75.
;
%������ ��� ������������ & 2 63
��������� �����:228. �) (a2b4)3 ⋅ (2a2b)2; �) 3�17�14 ⋅ (4��3)3;
) (5a2 – 3ab + b3) ⋅ b3 – (b4 – 3ab2 – 5a2) ⋅ b2.
229. �)2
2 2
4 ;2
xy x yxyx y+⋅
−�) 2 2
2 11 : 1.1 1
a aa a
−� �− +� �+ +� �230. ,� ���� ������ 120 ���� � �� ������ �, )�� � ������� ������
���� � 5 ���� ������, ��� � �������, � � 8 ���� �����, ��� �������?
231. %������ ��� �� ���� 5000 ��� ��� 20% ������ (������� ����� ���). (������ ������ ���� � ���� ������ ����� 2 ����?
232*.!�� ’ ��� �� � �� � ������� �:�) (a – 2)� = �2 – 2a; �) �2� – � = � + 1.
233. � ������ �����-� ����� ������� 5 × 5 ����� ���. + �� ��� �������� ������ ��� ������ �" � ������� (�� ������) �������. *� ����,)� ���� -����: �) ��� � ����� �����-� ���� �� ����� � �� ���� ;�) ������� ��� � ��� ������ ������.
$������ ��� ��"��������� % 2 ���� 1
1. %������ ������� :2
34 · .m n
n m
�)5
24 ;mn
�) 24 ;
m) 4 ;
m�) 4 .m
2. %������ ������ :2
4: .b ba a
�)3
5 ;ba
�)4
;ab )
3;a
b �) �3b.
3. '������� �� ����� :33
22 .xa b
� �� �� �
�)6
5 46 ;xa b
�)9
6 38 ;xa b
)9
6 32 ;xa b
�)6
6 38 .xa b
64 § 1. ���������� ��� �
4. #����� ������ ����21 1 ·2 2
a aa a a
+ −− − , �)� � = 3.
�) –3; �) 1; ) 4; �) 3.
5. !�� ’ ��� �� � �� 3 0.3xx
+ =−�) –3; 3; �) –3; ) 3; �) ������ ���".
6. !�� ’ ��� �� � �� 2 0.3
xx x
=+
�) –3; �) 3; ) 0; �) ������ ���".
���� 2
7. *������ �� ������� ���� (1–4) ����� �� ��� ���� ��� (7–*).
1)3 4
316 ;
2a bb a
⋅ &)16
1216 ;a
b−
2)3 4
316: ;
2a bb a
')16
1216 ;a
b
3)34
32 ;ab
� �� �� �
�) 38 ;b
4)44
32 .ab
� �−� �� �
()12
98 ;ab
�)6
5 .32ab
8. (������ ���:
�)3 2 3
4 427 8 ;
4 9a b acc b
⋅ �)2 2 2
4
18 24: .525
xy x yzz
9. (������ ���:
�) ( )23 3 3 ;
3 39x x x
x xx+ + −⋅ +
− ++�) ( )3 : .
2 2a aaa a
− −− −
10. #����� ������ ���� 3 311 2 1
y yy y
+� �+ ⋅� �+ −� �, �)� � = 5,5.
11. !�� ’ ��� �� � �� :
�)2 2 0;
1x x
x+ =−
�) 3.3
xx
=+
�������� ��� ��� � ����� � 2 65
������ 3
12. �������� ��� :
�)33 2
2 24 3 ;9 4ab acc b
� �⋅� �� �
)23 2 7 2
3
6 9: .5 35x y x y
z z� � � �− −� � � �� � � �
13. �������� ��� :
�) ( ) 2
231 : 1 ;
1 1a a
a a� �+ −� �+ −� �
) ( )2 .3
a b a ba b a
+⋅ − −+
14. ������� ������� ��� � 2 22 3 3 3
22 1 4x x
xx x x+ −⋅ −
−− + −, ���� � = 1,5.
15. �� ’���� �������:
�) 3 1 2;4 6x x+ = )
23 10 25 5.5
+ − = −+
x x xx16. ������ ��������� ���� ����� ������� 1,5 �� � �����, ���
������. �� ���� ��� ���� ������� ������ ���������, ���� �� �� ������ ��� ����� ���� ����� � 4 ���?
������ 4 17. �������� ��� :
�)4
3 2 249 3 27 ;
27 3 9 16a a a
a a a a+ +� �− ⋅� �+ − + −� �
) 3 2 21 3 3 1: .
1 1 1 1a
a a a a a a+� �− +� �+ + − + − +� �
18. ����� ���������2 3 2 3
2 2 2 2: .2
y xx x x xx y x y y xx xy y x y
� � � � −− − =� � � �+ + ++ + −� � � �
19. �����, �� ������� ��� �2
2 3 3
( 3)2 6 13 :2 4 8 2 16
xx xx x x x
−− −� �−� �− + + +� ���
������ �� ���������! ����� �.20. �� ’���� �������:
�) 2
4 5 1 5 7 ;5 5 25y y
y y y− +
− =+ − −
)2 5 1
0.3
xx− −
=−
21. "������� ���� ������ 36 �� � �����# ����� � �������� ���������� �����. $� ���! ����� ����% ����� ���� ������ ���� ��1 ��� &����, ��� �� ���! � �����#. ������� ������� ���� � ����������, ���� ������� ����% ����� �����#� 3 ��/���.
3* '. (�����. )���&��. 8 ��.
66 § 1. ���������� ��� �
1. ������ ���������� ���� �����. ������� � ���� ��� ����-����� �� ������ 7 ����. ������, �� �������� ���� a � ���� ������������ �, �� � > 1, ������ ������ � ���������, ������ � ���� ��-������ �. �������,
43 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64. ����� 43 ����� 4 ������ ������� ����, ����� 3 ⎯ ���� �����
����, ��� ���� ⎯ ����. �������� ���� � � ��������� 1 ����-�� ��� ����� �: �1 = �.
������� � ���� ���� ��������� ���� ������������ ��� ����������� ����� � ������� ����� ������� ��������� �������. �������,
13 841 287 201 = 712; 10 000 000 � = 107 �.
!��� ������� �������� ���, �� "" ���� � ��������� ��������, ��-������ ���� �� � ���� ���� ������. �������, � ���������" ������������ ��������, �� �� ������� ���� �������� 2,99 ⋅ 10–23 �. #�� ������-�� ������� ����� �������, ���$����� ��� ���������� �� �������. %�����-����, �� ����� ���������� �� ������� � �� ���� � &���� ���’����� ����-�����.
2. ������ ������ �� ����� ��’����� ���� �����. %��������������� ak � ���� ��� ���������. !��� a ≠ 0, �� &�� ������ ���� ���-�� �� ���� ak + 1 : a. '���,
ak = ak + 1 : a, �� � ≠ 0, k — ���� �� �����. (1)
!��� ������� (1) ��$����� ��� ����� k = 0, �� ��������:�0 = a1 : a = � : � = 1.
�á�� ����� 1 ����� �� ���� �������� �� -����� ���� �, �� � ≠ 0.
� ������� ������ ����� a ������ ���� �����, �� a ≠ 0, ����-��� 1.
�0 = 1 (� ≠ 0).
�������, 30 = 1, (–5)0 = 1, ( )02 1.3
= ������ ���� 0 � �� ���� ���-
������ �� ���������, ����� ���� 00 �� �� �����.
9. ������ ����� ���� ����� 67
(�$����� ������� (1) ��� ������� k = –1 � k = –2:
�–1 = a0 : a = 1 : � = 1 ;a
�–2 = a–1 : a = 1 : aa
= 1 1⋅a a
= 21 .a
)�� ������� &���� ���’����� ����� k ��� �: �–3 = 31 ,a
�–4 = 41a
�
�. �. '���, ��&�� �� �������� � ���������, �� �–n = 1 ,na�� � ≠ 0, n — �-
��� �� �����.
� �������
���� � ≠ 0 � n — ��������� �����, �� �������� ����� �
����� ��’����� ���� ����� –n �� ���� ����� 1 ,na�����
1− =nna
a (� ≠ 0, n — ��������� �����).
�������, 2–3 = 312
= 1 ;8
6–1 = 116
= 16
.
������ ���� 0 � &���� ���’����� ��������� �� ���������. *�, �-��� 0–2 �� �� �����.
3. ���������� ����� �� ��’������ �������. #�� �������� �� ���’��-���� ������� ����, ���� ���������� �������
( ) ( )−
=n na b
b a , �� � ≠ 0, b ≠ 0, n — ��������� �����.
+� ������� ������� � ���� ���������� :
( ) ( ) ( ) ( )1 1: 1: 1 .n n nn n n
n n n na a a b b bb b ab a aa
b
−
= = = = ⋅ = =
�������: ( ) ( )1 12 3 3 1,5;3 2 2
−
= = = ( ) ( )2 21 4 16.4 1
−
= =
68 § 1. ���������� ��� �
���� 1. '��������:
�) 100 ⋅ 5–3; �) 51 : 3 ;27
− ) ( ) 122 0,2 ;
9
−−+ �) ( ) 2
012 2 .3
−
+
! �) 100 ⋅ 5–3 = 31 100 4100 0,8;
125 55⋅ = = =
�) 51 : 327
− = 5 5
25 3
1 1 1 3 3: 3 9;27 27 13 3
= ⋅ = = =
) ( ) ( ) ( )1 1 22 22 9 1 90,2 5 4,5 25 29,5;
9 2 5 2
− −−+ = + = + = + =
�) ( ) ( ) ( )2 2 201 7 3 9 92 2 1 1 1 1 .
3 3 7 49 49
− −
+ = + = + = + = !
���� 2. ,������������ ���’����� �������, ����� ���� 33
ab �������
�����.
! 1 33 3
3 1 13 3 .a baab b− −= ⋅ ⋅ = !
���� 3. ��������� ���� ( ) ( ) 11 1 .x y x y −− −+ ⋅ +
! ( ) ( ) 11 1x y x y −− −+ ⋅ + = 1 1 1x y x y
� �+ ⋅� � +� � = 1y x
xy x y+ ⋅
+ = 1 .
xy!
���� 4. (���� ������� �&���� ���� ���� ����1 1
2 2 .a ba b
− −
− −+−
!1 1
2 2a ba b
− −
− −+−
= ( ) 2 21 1 1 1:a b a b
� �+ −� �� �
= 2 2
2 2:b a b aab a b+ − =
=2 2
( )( )b a a bab b a b a+ ⋅
− + = .ab
b a−!
9. ������ ����� ���� ����� 69
234. '������� : 24; (–3)3; (–1)6; (–15)0; 0,30; ( )01 ;2
00.
235. -����� ������ �� &���� ���’����� ��������� � ����: 5–2; 4–1; 3–3; 2–4.
236. -����� ���� � ������ � &���� ���’����� ���������: 21 ;3
1 ;7 3
1 ;4 9
1 .2
237. '������� : 5–1; 3–2; 4–3; 2–4; 1–6.
238. (����� ���� 4, 8, 16, 32, 2, 1, 1 ,2
1 ,4
1 ,8
116
������� �������� � ����-
��� 2.
239. (����� ���� 1, 3, 9, 27, 81, 1 ,3
1 ,9
181
������� �������� � ������� 3.
��������:240. 9–2; 15–1; 3–3; 5–4; 120; (–2)–4; (–3)–3; 0,5–2.
241. 7–2; 2–5; 4–1; (–5)–2; (–6)–1; 0,70.
������� ������ ���� �:
242. �) 5 ⋅ 10–2; �) 16 ⋅ 2–5; ) 5–3 : 250; �) 3 : 2–3;
�) 2–4 + 2–2; �) 2–3 – 2–4; �) 6–1 + 3 ⋅ 3–2; ") 4–1 – 3–2.
243. �) 14 ⋅ 7–2; �) 4 : 2–4; ) 5–1 + 2 ⋅ 6–1; �) 2–3 – 4–2.
����� � ������� ������������� ����� ���� :
244. �) 4a–2b–1; �) 7–1ab–5; ) x–2y–3; �) (a + b)–2.
245. �) 10x–1y–4; �) m–3n–4; ) 4–1a–3b3; �) 5(x – 1)–1.
������������� ���’����� ���� ���, ����� � ������� ������ ����:
246. �) 3 ;ab
�) 24 ;
xy) 1 ;2ab �) 2 .
( )a ba b
+−
70 § 1. ���������� ��� �
247. �) 22 ;a
�) ;mab
)4
3 ;2ab
�) .xx y+
248. -����� ������� ������:�) b–2; (–b) –2; –b–2, ���� b = 4; �) �–3; (–�)–3; –�–3, ���� � = 5.
249. -����� ������� ����:�) 8�–3 + 1, ���� � = –2; � = 2; �) (b + 1)–2, ���� b = –2; b = 0; b = 2.
������� ������ ���� �:250. �) 256 ⋅ 2–8; �) 0,1–2 + (–1) –24;
) 1,5–3 : 2,5–2; �) ( ) 22 13 ;
3
−
+
�) ( ) ( ) ( )9 3 11 1 1: ;3 9 27
− − −
− �) ( ) ( )2 21 81 ;7 9
− −
−
�) ( ) ( )4 12 13 ;3 5
− −
− + − ") ( ) ( )2 11 22 2 2 2 .− −− −+ − +
251. �) 243 ⋅ 3–4; �) 0,2–3 – (–0,5) –2;
) (–1,6)–1 : 2,5–2; �) ( ) ( )2 13 12 ;4 4
− −
−
�) ( ) ( )3 25 33 ;6 7
− −
⋅ − �) ( ) ( )4 2511 2 1 .− −−− + −
252. �) %���$��� � ������ ������: 5–2; 52; 5–1; 50; 54.
�) %���$��� � ������ ��������: 0,5–2; 0,52; 0,5–1; 0,50; 0,54.
253. �) %���$��� � ������ ��������: 32; 3–2; 30; 3–3; 3–1.
�) %���$��� � ������ ������: ( )21 ;3 ( ) 21 ;
3
− ( )01 ;3 ( ) 31 ;
3
− ( ) 11 .3
−
������ ���� :
254. �) ( ) ( )25 3 15 ;a a−+ + �) ( ) ( )2 2 : ;a b a b− −− +
) ( ) ( )1 14 4 ;b b− −− − + �) ( ) ( )3 3 2 2: ;x y x xy y− −− + +
9. ������ ����� ���� ����� 71
�) ( ) 11 1 ;1 1
y xx y
−� �− −� �− −� ��)
2
2 411 : .
1 1x
x x
−
−� �−� �+ −� �
255. �) ( ) ( )2 2 2 ;a b a b−− − �) ( )1 1( 7) ( 7) : ;7
aa a a− −− + +
−
) ( )2 2
1 13 3: ;m nm n
m n− − −− �) 3 3 3 3
1 1 .x y x y− − − −−
− +
256. )������ , �� ���� ( )1 12 11 2 11 2 11m n m n m n− − − −⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ��� ���� ���� ���
����� m � n ���� ���� ����� �������.
257. .� ���� ������� ����2
2 1x
x
−
− +���������� 1?
258. .� ����� ������� !, ��� ���� ������� �� ������� ( ) 12 1 02 1
xx
−+ =−
?
259. %���’���� ��������:
�) ! + !–1 = 2; �) ( ) 11 1 2.1 1
x xx x
−+ ++ =− −
260. -����� ������� ����:
�) 53 ⋅ 23; �) 44 ⋅ 1,254 ⋅ 24; ) 49 : (23)3; �) 2,55 ⋅ 0,72 ⋅ 0,45.261. -��$�� ������� �������� ���������� ������:
�) –5!3�2 ⋅ 2!�3; �) (–3�2b4)2; ) (–2!�5)3; �) (m4n3)2 ⋅ (–mn)3.
262. *�� ���������� ��������� 45 ����’������� ������. )���� �����-���� �������� ����� ���$� ������, ��� ���$��, � � 5 ���$�, ��� ���-���. ���� �� ������ �������� ������ ���������?
263. /��� 250 � ����, �������� ��������� "" ���&�������������� ������.���� �� ��� & ��� �������� ����� ����� ����?
72 § 1. ���������� ��� �
264. 25 ����� ,����� ��������� ������ 1, 2, ..., 25, �������� �����,������ ������ ����� ������ � ���� ��������� ������ 1, 2, ..., 25. (���� ��� �����" ����� ���� ����, ��� � ��� ������, � ����������25 �������� ��. )������ ,�� �������� ��� ������ � ����� ������.
������� � &���� ��������� ��� �� ����������, ��������� ��� ���-����� � ���� ��� ���������, ���:
��� ����-����� ����� � ≠ 0 � ����-���! ����! ���� m � n ������"���-�� �������:
am�n = �m + n;
am : �n = �m – n;
(am)n = �mn;
��� ����-���! ���� � ≠ 0 � b ≠ 0 � ����-����� ������ ����� n ������"�-���� �������:
(ab)n = �nbn;
( ) .n n
na ab b
=
)�� ��������� &�� ����������� ������������ �������� ������� �&���� ��������� � ���������� ������� � ���� ��� ���������.
(������, �������, �� ������� am�n = �m + n � ����� ���, ���� ��-������ �������� � &����� ���’������ ������. )�� ����� ����� ������-�� �������� ���� ������ ������� m = –p, n = –q, �� � � q — ���� ������. -��$�� �� �������, �� p q p qa a a− − − −⋅ = (� ≠ 0).
������, ����� �� 1 ,ppa
a− = 1 ,q
qaa
− = ��:
1 1p qp qa a
a a− −⋅ = ⋅ = ( )1 1 .p q p q
p q p q a aa a a
− + − −+= = =
⋅
10. ���������� ������� ����� ���� ����� 73
*� ��� ���� �������, �� ������� am�n = �m + n � ����� ���, �������� � ��������� ������� m �� n � ���’�����, ��$�� — �������, �������� �� ����� �������� ��������� ���.
���� 1. '��������:
�) 3–5 · 32 : 3–4; �) (5–2)3 · 252; )6 4
6
5 4 .10
− −
−
⋅
! �) 3–5 · 32 : 3–4 = 3–5 + 2 – (–4) = 31 = 3;
�) (5–2)3 · 252 = 5–6 · (52)2 = 5–6 · 54 = 5–6 + 4 = 5–2 = 1 ;25
) ( ) ( )6 4 6 664 4 2 4 6 8 2
6 6
5 4 5 5 1 14 4 (2 ) 2 2 2 .10 2 410 10
− − − −−− − − − −
− −
⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = !
���� 2. (���� ���� ������� ������� � ������� �:�) �–14 · �12 : �–4; �) (�5)–2 : �–7.! �) �–14 · �12 : �–4 = �–14 + 12 – (–4) = �2;�) (�5)–2 : �–7 = �–10 : �–7 = �–10 – (–7) = �–3. !
���� 3. (���� ������ ������� ����, ���� �� ������ ������� � ���’��-��� ���������:
�) ( ) 22 3 ;x y−− − �) ( ) 3
4 22 .3
m n−
−
! �) ( ) 22 3 4 6 ;x y x y−− − =
�) ( ) ( ) ( )3 3 3 124 2 12 6 12 6
62 2 3 27 .3 3 2 8
mm n m n m nn
− −− − −= = = !
���� 4. ��������� ���� 1 2 1 1( 2 ) ( 2 )( 2 ).x x x x x x− − −− − − +
! 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( ) 2 2 4 (( ) 4 )x x x x x x x x x x x x− − − − − −− − − + = − ⋅ ⋅ + − − =2 0 2 2 2 24 4 4 8 4.x x x x x x− −= − + − + = − !
74 § 1. ���������� ��� �
265. '������� :a) 3 22 2 ;− ⋅ �) 4 33 : 3 ;− − ) 8 85 5 ;− ⋅ �) 3 54 : 4 ;
�) ( ) 118 ;−− �) ( )217 ;− �) 2 22 5 ;− −⋅ ")
2
28 .4
−
−
��������:266. a) 211 ⋅ 2–7; �) 415 : 417; ) ( ) 21 43 3 ;
−− −⋅
�) ( ) 43 15 : 5 ;−− �) 10–6 : 10–7 ⋅ 102; �) ( ) 22 5 14 : 4 10 .
−− − −+
267. a) 3–5 : 3–7; �) 2–7 ⋅ 25; ) ( ) 31 35 5 ;−− −⋅
�) 4–6 : 4–4 ⋅ 45; �) ( )23 56 : 6 ;− − �) ( ) ( )1 22 111 9 .− −− −−
268. (����� ���� ������� ������� � ������� �:
�) 3 7 5: ;a a a− ⋅ �) 4 6 9: ;a a a− ⋅ ) ( )52 3: ;a a− − �) ( ) 217 8 .a a−
⋅
269. (����� ���� ������� ������� � ������� b:
�) 8 2 10: ;b b b− ⋅ �) 4 12 3: ;b b b−⋅ ) ( ) 27 10 ;b b−
⋅ �) ( ) 29 14: .b b−−
270. (����� ���� ( )28 14:x x− − ������� ������� � ������� ! � ������ ��-
�� �������, ���� ! = 0,1.
271. (����� ���� ( ) 43 15y y−
⋅ ������� ������� � ������� � � ������ ����
�������, ���� � = 0,5. ������ ���� :
272. �) 4 27 5 ;− −⋅c c �) 2 33 : (6 );−b b ) ( ) 25 33 ;−−m n
�) 2 1 2 35 2 ;− −⋅x y x y �) 4 5 50,3 15 ;− − ⋅a b a b �) ( )2 2 32 3 ;3 5
− −⋅ −mn m n
10. ��������� ����� � � ���� ���� ��� 75
�)2
2 312 ;3
−
−km
k m�)
2 4
2 38 ;
4
−
− ⋅x xy y
�)1 3 3 2
: .5 10
− −� �− � �� �a b a b
273. �) 5 123 6 ;− ⋅a a �) ( ) 32 32 ;−−x y �) 3 4 1 50,5 1, 2 ;− − −⋅b c b c
�) ( )3 2 2 33 5 ;5 8
− −⋅x y x y )5 7
4 36 ;
2
−
−− ⋅a ab b
)1 3
3 43 9: .
− −� �� �� �
c ca a
�������:274. �) 1 5 216 2 4 ;− −⋅ ⋅ �) ( )8 15 : 125 : 25 ;− �) ( )3 5 29 : 3 : 27 ;− − −
�) 5 3 54 3 0, 25 ;− −⋅ ⋅ ) 8 8 82 1, 25 0, 4 ;− − −⋅ ⋅ ) ( ) ( )3 323 11 2 .
4 3
− −−⋅ −
275. �)( ) 32
2
2 :16;
2
−−
�)4 4
9 9
9 4 ;2 3
− −
− −
⋅⋅
�)4 3
5 35 6 .5 3
− −
− −⋅⋅
276. �) 4 5 13 9 27 ;− −⋅ ⋅ �) ( ) 26 5 12 : 2 : 8 ;−− − �) 5 5 12,5 0, 4 7 ;− − −⋅ ⋅
�) ( ) ( )5 452 13 ;
3 2
−−⋅ ⋅ ) 3 8 26,25 2,5 1,5 ;− ⋅ − )
6 8
6 8
9 0,5 .3 1,5
− −
− −
⋅⋅
�� ��� � �� �� ��, ��� ��� �� ����� ������� � ���’����� ����������:
277. �) ( )23 25 0,4 ;− −⋅xy x y �) 5 17 1 1913 0,12 ;3
m n m n− −⋅
�) ( ) 21 2 50,04 5 ;x x−− − −⋅ �) ( ) 42 2 3 1 281 3 ;a b a b
−− − − −⋅
)( ) 13 4
9 6
4;
0,2
a ba b
−− −
− )( )
2
23 2
0,5 .0, 25
mnm n
−
−−
278. �) ( ) 12 4 1 21 2 ;
8a b a b
−− − −⋅ �) ( ) 2
3 1 210,12 ;2
a b a b−
− − −⋅
�) ( ) 13 20,2 · 25 ;xy x−
�)2 3
1 427 .(3 )
a ba b
− −
−
76 § 1. ���������� ��� �
279. )������ , �� ��� ���� ��������� ����� ������� ������� ����5 3 9
4 62 9
3 3
− −
− −⋅ ⋅a b b aa b
�������� ��� ���� ����.
280. )������ , �� ��� �� -���� ��������� ����� ������� ������� ���-
�3 3 54 3
2 6
5 124 25
− − −
−⋅ ⋅x y yx zz y z
�� ������ ��� ����� �.
����� � ������� ������ ���� :281. �) 3 4 ;− −−a a �) 2 2 ;− −x y ) 4 29 ;− −−m n �) 3 3.− −−a b
282. �) 1 32 ;− −−x x �) 2 2 ;−−a b ) 2 29 4 ;− −−b c �) 3 3.− −+m n ������ ���� :283. �) 1 1 2( 1)( 1) ;a a a− − −− + − �) 3 3 3 3( 3)( 3) ( 2);b b b b− − − −− + − +
) 1 2 2 1 2 2( ) ( ) ;x y x y− − − −− − + �) 1 2 1 2 1 2( ) ( 2 )( 2 );c c c c c c− − −− − − +
�) 1 1 2 1 1 2( )( );a b a a b b− − − − − −− + + �)8 4 4 8
8 82 .a a b ba b
− − − −
− −+ +
−
284. �) 1 1 1 1 2( )( ) 2 ;x y x y y− − − − −− + + �) 2 2 2 4( ) 2 ;a a a− −− + −
) 1 1 2 1 1 2( ) ( ) ;a b a b− − − −− + + �)4 4
4 2 2 4 .2
m nm m n n
− −
− − − −−
− +
285. )������ , �� ������� ���� ( )( )1 1 1 1− − − −− −m n n m n n � �����’����� ��-
���� ��� �� -���� ��������� ����� �������.
286. (����� ���� ������� �������:
�) ( )222 ;
mm ma a b
b
−� � ⋅� �� �
�) ( ) ( ) ( )1 2 13 4 9 .4 3 16
n n n− + − +
⋅ ⋅
287. '������� : ( )8 1 2 3 4 5 6 7 82 1 2 2 2 2 2 2 2 2 .− − − − − − − −+ + + + + + + +
288. )������ , �� ���� 4 2 1 24 4a a b b− − − −− + ���� ��$� �����’����� ��-��� .
10. ���������� ������� ����� ���� ����� 77
289. �������� ����:
�)10 10 10 10
20 20 20 10 10 20
2 2 3 3: ;2
x y x yx y x x y y
− − − −
− − − − − −
+ +− − +
�) ( )21 11 11 1 ;
1 1a
a a−
− −� �− − −� �− +� �
)2 1 1 1 2 1
3 2 1 1 2 12 1 1 51 .
1 1b b b b b bb b b b b b
− − − − − −
− − − − − −� �� �+ + + +− + −� �� �− + + +� �� �
290. '������� :�) 1,7 · 104; �) 3,2 · 10–2; ) 5,2 : 103; �) 0,3 : 10–4.
291. %���’���� ��0���� ������ ������ 2 3;3 2 1.
x yx y
− =� + =
292. )� �����-������ � 1 ��� ���� ��" ������ ����������� 250 ���-���. (��$�� ����� � 4 ��� � ����� � 2 ��� ���� ����������� 740 ������. ���� �� ������ ���������� � ����� ������ �����?
293. - ���� A �� ���� B ������ �$�� �� $�������� 6 ��/���, ��� ��-�������� �� $�������� 5 ��/���. -����� ������ ��� ������, ����� ��������� $��� ������ ������� �� � 1 ��� ��� $�, ��� � $������ A �� B.
294. � ������ ����� ����� �� �����, � ���� � 1001 �����& . - ��� ��-����� ���� ���� �����& , ����� �� ����� � ���. )�� � ���"-���� ��� ������� ���� ���� �����& , ����� ��� � �� ����� � ��� � �. �. .� ���� �������� ����, ��� � ������ ���$����� ��$���� �� �� �� ����&��?
78 § 1. ���������� ��� �
�&� � �����&� ������� �� ��� ���� � ���������, ������� ������� ������ �� ��� ���. �������:
���� ��������� ���� �������� 361 000 000 000 000�2;������ ������� ���� �������� 0,00000028 ��;�� ������� ���� �������� 0,0000000000000000000000299 �. ���� ������� ���� ��������, �������� �� ���� ������ ��� ���-
������ �� ���������� ������. #�� �0�������$� ������� � �������� � �-���� �������� ������, "� ����� ������� � ��������� �������� ����10. �������:
361 000 000 000 000�2 = 3,61 · 1014 �2;0,00000028 �� = 2,8 · 10–7 ��;
0,0000000000000000000000299 � = 2,99 · 10–23�.(�� ���� 3,61 · 1014, 2,8 · 10–7, 2,99 · 10–23 ��� , �� ���� ������ � ��-
������� �������.
� ������������������ ������� ��������� ����� � �� ���� #��� ���� � ������ � · 10�, �� 1 ≤ � < 10 � � — ���� �����.
$���� � �� ����� �������� ����� !. �������, ������� ����3,61 · 1014 �������� 14, ������� ���� 2,99 · 10–23 �������� –23. (������ ��-�� �� ������� ��� ��, ����� �� ������� �� ����� �� ���� � &� �����.
-������� �� � ���������� ���� �: ����� �� 1 ≤ � < 10, �� � &���������� ����������� ���� ���� � ������ ��� ��$� ��� &�0�, �� ���� �������� ��� ���.
��������� ������� ���� ������ �� -��� ������ �����.�������, ���$��� ����� ! = 345,8 ��������� ������� � · 10�.
#�� ������� ����� �, ���������� � ����� ! ��� � 2 &�0�� ������:� = 3,458. .���� � 100 = 102 ���� ���$� ��� ���� !, ��� ! = � · 102 = = 3,458 · 102.
1�$�� ������: 0,000235 = 2,35 · 10–4. ( ����� ! = 0,000235 ������������ ������ � 4 &�0��, ������� ����� � = 2,35, ��� 104 ���� ��� $�
��� ���� !. *�� ! = � : 104 = 41
10a ⋅ = � · 10–4 = 2,35 · 10–4.)
11. ����������� ����� ����� 79
���� 1. -����� ��������� ������� �����:�) 0,56; �) 31,6; ) 2000.! �) 0,56 = 5,6 · 10–1; �) 31,6 = 3,16 · 10; ) 2000 = 2 · 103. !
���� 2. ,������ ��" � ������ ���� �� ��������� �������:�) ( ) ( )3 68, 4 10 2,3 10 ;−⋅ ⋅ ⋅ �) ( ) ( )5 34, 2 10 : 8,4 10 ;−⋅ ⋅ ) 2,3 · 107 + 5,6 · 106.
! �) ( ) ( ) ( )3 6 3 6 38, 4 10 2,3 10 (8,4 2,3) 10 10 19,32 10− − −⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =
= 3 21,932 10 10 1,932 10 .− −⋅ ⋅ = ⋅
�) ( ) ( )5
5 3 8 7 73
4,2 104,2 10 : 8,4 10 0,5 10 0,5 10 10 5 10 .8,4 10
−−
⋅⋅ ⋅ = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⋅
) )�����, ���� ������ ��� $�� ������ ���� 10 (���$�� ������),���$��� ��� ����, � ��$�� �������� ������� 107:
5,6 · 106 = 5,6 · 10–1 · 107 = 5,6 · 0,1 · 107 = 0,56 · 107.*���:
2,3 · 107 + 5,6 · 106 = 2,3 · 107 + 0,56 · 107 = (2,3 + 0,56) · 107 = 2,86 · 107. !
295. !�� � ����� ������ ��������� �������?a) 0,3 · 105; �) 3,8 · 10–5; ) 12 · 10–1; �) 1,0001 · 108.
296. ����� ������� ����, �������� ��������� �������:a) 1,33 · 104; �) 4,5 · 10–3; ) 8,5 · 1023; �) 3,4 · 10–9.
����%�� � ���������� ������� �����:
297. �) 7500; �) 110000; ) 34,17; �) 456000000;�) 0,035; �) 0,00015; �) 0,53954; ") 0,0000002.
298. �) 15680; �) 70000; ) 5350000; �) 17,93;�) 0,0000011; �) 0,0101; �) 0,0143; ") 0,00004.
80 § 1. ���������� ��� �
������� ���� ������ ����� � �������:299. �) 149 600 000 �� — ������ ��� � ��� �� ����;
�) 510 000 000 000 000 �2 — ���� ��� ��� � ��� ����;�) 1 989 100 000 000 000 000 000 000 000 � — �� ����;�) 0,0000000000000000000000017 � — �� ��� ������ �.
300. �) 2061 � — ����� ��� ���; �) 300 000 000 �/� — ��������� �����; �) 73 500 000 000 000 000 000 000 �� — �� ������;�) 0,00000006 c� — ����� ������ ������ ��������.
������� ����� � ������ ����� ��� ���������� ��� �����:
301. �) 1,2 · 103; �) 3,5 · 105; �) 4,2 · 10–3; �) 5,7 · 10–5.
302. �) 3,3 · 102; �) 8,1 · 104; �) 1,8 · 10–2; �) 9,9 · 10–4.303. �������� !���� �� � ������ " �� �#�" � ������ ������� � ����-
���� �������:�) 1427; �) 155,678; �) 54,23; �) 4911,2.
304. �������� !���� �� ������ " �� �#�" � ������ ������� � ����-���� �������:�) 157,415; �) 8901,5; �) 18,9; �) 315,5.
��������� �� � ������� ������� ���� ������ ����� �:305. �) 3 · 10–5 + 5 · 10–5; �) 5,6 · 1012 + 7,5 · 1012;
�) 8 · 109 – 4 · 109; �) 28 · 1015 · 10–4.
306. �) 4,8 · 10–7 – 2,5 · 10–7; �) 7,1 · 1015 + 4,5 · 1015.
�� ����:307. �) 1,9 · 1015 � � ���; �) 2,8 · 10–1 � � ��������;
�) 5,2 · 10–3 � � ���� ���; �) 6,12 · 102 � � � ��� ���.308. �) 7,3 · 10–1 � � � ��� ���; �) 1,1 · 102 � � ��������;
�) 9,3 · 102 �� � ����; �) 8,6 · 10–2 �� � ���� ���.309. $�����, �� � �� �����! ��������� ��� � ��� �����%& 7,9 · 103 �/�,
���� — 1,12 · 104 �/�, �� �� — 1,667 · 104 �/�. $������ �� ��������� ������ ��� � � ���� " ������� �� �#� � ������� !����� � ��-������ �������.
11. ���������� ��� � ����� 81
������� �� � ������� ������ � ���������� �������:
310. �) ( ) ( )4 72,3 10 1, 2 10 ;−⋅ ⋅ ⋅ �) ( ) ( )5 75,1 10 6,8 10 ;− −⋅ ⋅ ⋅
�) ( ) ( )11 115,9 10 8, 2 10 ;−⋅ ⋅ ⋅ �) ( ) ( )7 119,9 10 : 1,1 10 ;⋅ ⋅
�) ( ) ( )7 31,3 10 : 6,5 10 ;−⋅ ⋅ �) ( ) ( )11 48,1 10 : 1,8 10 .− −⋅ ⋅
311. �) ( ) ( )4 84, 2 10 4,5 10 ;−⋅ ⋅ ⋅ �) ( ) ( )3 51, 25 10 1,6 10 ;− −⋅ ⋅ ⋅
�) ( ) ( )3 58,5 10 : 1,7 10 ;−⋅ ⋅ �) ( ) ( )8 43, 4 10 : 6,8 10 .− −⋅ ⋅
��������, ��������� �������� ��� � ���������� �������:312. �) 64 000 000 · 250 000 000 000; �) 0,000008 · 52 000 000 000;
�) 300 000 : 0,000002; �) 0,00000045 : 0,0000000015.313. �) 480 000 000 · 0,0000045; �) 0,0000064 : 80 000 000.
������� �� � ������� ������ � ���������� �������:314. �) 5,1 · 108 + 1,4 · 109; �) 9,8 · 1016 + 3,6 · 1015;
�) 8,3 · 107 – 5,3 · 106; �) 7,2 · 10–5 – 5 · 10–6.315. �) 3,6 · 109 + 4,8 · 108; �) 2,8 · 10–3 – 8,7 · 10–4.
316. � ������ ��� �� ���� ����� ����� ����� �������.
���� ���� ����, �
����� 4,48 · 10–23
���� 2,28 · 10–22
��� 1,79 · 10–23
���� 6,64 · 10–24
������� 3,44 · 10–22
����� 9,28 · 10–23
�) ���� � ��� ������� �� ����!"� ����, � ���� — ����"�?�) #� ���!�� $���� ���� ����� ���� ��"� � ���� ����� ����?�) � ���!�� ���� ���� ����� ����� ��!"� � ���� ����� ����?�) #� ���!�� %��� �� ���� ����� ���� ��"� � ���� ����� ����-����?
82 § 1. ���������� ��� �
317. � ������ ��� �� ���� ����� ������ �������.
������� ���, �
������� 3,31 · 1023
����� 4,87 · 1024
����� 5,98 · 1024
���� 6,42 · 1023
����� 1,90 · 1027
����� 5,68 · 1026
��� 8,68 · 1025
����� 1,02 · 1026
�) ��� ������ �� ����!"� ����, � ��� — ����"�?�) �� ���!�� �� ���� ���� ��!"� � ���� �����?�) � ���!�� ��#� �� � ���!�� ���� �� ���� ���� ��"� � ����������?
318. $����� ����� ���% 1,05 · 104 �&/�3. ��� �! ���� ����&� ������, ��'�� ���&� ���% 20 ��, "���� — 5 ��, � ������ — 1 ��.
319. (����� #��� ��#��"���� � � ��� 433 �������) ���� � ����.����#�! �% � ���! � ��������), ���'�%��, *� 1 �������� �� ���-% 9,46 · 1012 ��.
320. (��*� +���&� ���� ���% 4,22 · 105 ��2, ,#���!��&� — 3,9 · 104 ��2.� ���!�� ��#� ���*� +���&� ���� ��!"� � ���* ,#���!��&�? -�-#��!��� ����&��! � � ���!.
321. .���% #� �� /������% � = –2 + 5.�) ��� �! #���� /����, �� � ��� �%�! #����� ��&�����:0; 3.�) ��� �! #���� ��&�����, ���� � ��� �%�! #���� /����:–3; 1.
12. ������� kxy = 83
) (������ ��0�� 0��&�".�) ,������������ ��0��, ���� �� 0��&�" � ��������� ����� ��-����� ��0�� � ����� ������.
322. %���’���� ��������:�) 2(4 1)(4 1) 3 15 ;x x x− + − = �) 2 2(3 2) 9 7;x x− − =
) 2 3 ;3 5
xx
+ =+
�) 3 0.3 3 1
x xx x
− − =−
323. ���$�� ������������ ��� ����� ��� $� ����, ��� �����. (�������� �� � ���$��� ����������� ������� 120 � ����, �� ������ ��������140 �, ���$�� ������������ ���� ���� � 130 � ��� $�, ��� �����.���� �� ���� ���� ��� � ������ ������������ ������?
324. ��$�� � n ����. '��, � ��� 1� �� ����� ���� � ��$�� ��� 1 ��10 ����. (������ ���, ��� ��� �� ������ �����. )�� ���� ����� n���������� ���� ������� ���� '��?
7 ���� �� ��������� ���� ������&������ — 0��&�� y = kx, ��k ≠ 0. +� 0��&�� � �������, �� ������� ������� �������" 0��&�" � ��-��� ������� ��� �� ��� ��� ���&����. �������, ���� ���� ���� ���� $�������� 10 �/�, �� $��� S �, ��������� ��� � �� t �, ���� ���������� 0������ S = 10t. -������� ��, �� �������� $��� S ��� �� t � ���-��� ������&�������, �� ���� ���� $��� (����$���) �� t ����� � ����,�� ���� �� � ���� ���� $�� �� (����$�� ��) $��� S.
1���� ��������� ��� ���������, ��� ��� ��$��, �� ���� ������������. %��������� �������.
������� 1. ���� ���� ���� �� ���������� � ������������. !���$��� 24 � ���� �������� � �� t �, �� $������� ���� �� ��������
v = 24t �/�. ,�� ���� ������� t = 2 � t = 4 � ���������� "� ������� v = 12 �
84 § 1. ���������� ��� �
v = 6 — ����� ��� $�� �� ��������� ������ ���$ $������� . ����,���� ���� $��� (����$���) �� t ��� � ����, �� ���� �� � ���� ����-$�� �� (���� $�� ��) $������� v.
������� 2. ���� ���� ���������� �������� 12 ��2, ������ ��-���" � ���� ������ — x ��, ���� ������ ��$�" ������� ���������� �����-
��� 12yx
= ��. !��� ���� $��� (����$���) ������� ! ��� � ����, ��
���� �� � ���� ����$�� �� (���� $�� ��) ������� �.
, ���� ������� ���� ��������� ��� ��������� � ���� ���������-��: ���� ���� $��� (����$���) ��� ������� � ��� � ����, �� ���� -�� � ���� ����$�� �� (���� $�� ��) ��� �������. 7��� � ���� ����-������ ������ ������� �������������.
������� 1 $������� v � 0��&��� ��� �� t, � ������� 2 ������� ����" ������� ���������� � 0��&��� ��� ������� ! ���$�" �������.
'����� 0��&�" ���� ���� 0������ ��� .kyx
=
� �������$������, ��� ��"�� ����� %������� ��� = ky x , �� � —
�� ���"�� �����, k ≠ 0 — ����� �����, �� ���� ������-��� ��������#�����.
(������ ��0�� 0��&�" 4 .yx
= ������� ����&� ��� ��� ��� ��-
��� ! � ����������� ����� �:
! –8 –4 –2 –1 –0,5 0,5 1 2 4 8
� –0,5 –1 –2 –4 –8 8 4 2 1 0,5
(������� � ����������� ������� �����, ��������� ���� ����� �����&� (���. 1).
12. ������� kxy = 85
���. 1 ���. 2 !��� ��� ������� ������� !, ���� ! = 0, ��������� ���������� ������� �
� �������� ����� � ����� ���������� � ����������� �������, �� ����-��� � �����, �� ������ ��������� (���. 2). ,�� ������ �� �� ���� ��-���, ����$����� ���$�� � ������ ����������� �������.
����, ���)�� ����-���& ������& ������������� �� ����� ��������� .
� ����� 3 ������� ��������, �� � ��0���� 0��&�" 4 .yx
= − ,�-
� ������ �� �� ���� �����, ����$����� ����� � ��������� ������������������.
���. 3
86 § 1. ���������� ��� �
,��������� 0��&�" = kyx
(��������" ������&�������).
1. ������ �� ������ )�����& ������� ��� �����, ���� ! = 0. 2. ������ ����� )�����& ������� ���" ��� �����, ���� � = 0. 3. *��)���� )�����& � ��������, �� ������ �� �� ���� �����.4. *��)�� )�����& �� �%������ � + � +++ ����������! ����!, ��#�
k > 0; � ++ � IV ����������! ����!, ��#� k < 0. 5. *��)�� )�����& ��������� �������� ������ ��������.)�������� ���������� 5 ����� � ����&� «)�� ���, ��� ���� ����
��� $�».
)�������, �� ��0�� ��������" ������&������� ����������� �������� ������������� (��������� 5).
���� (�; b) — ����� � ����, �� ������ ��0�� 0��&�" .= ky x *��� ���-
����� �� ������� .= kb a (�������$� ������ ������ &��" �������� � –1, ��������
����� � ������� ,− = −kb a � ���" �������, �� ��0�� ������ � ���� (–�; –b) —
����, ��������� ���&� (�; b) �������� ����� ��������.
���� 1. %���’���� ��0���� �������� 6 2 2 1.xx
+ = +
! %������� 6 2 2 1+ = +xx
�����-
��� �� �������� 6 2 1.= −xx
4����
� ����� ������� �������� ��0���
0��&�� � = 6x� � = 2! – 1 (���. 4).
+� ��0��� ��������� �� � ����� ���&���� ! = –1,5 � ! = 2.
(��������� �����������, ��x = –1,5 � x = 2 � �������� ��������.
,������� . –1,5; 2. !���. 4
12.������� kxy = 87
325. ��� �� ����� ���� �� � ��������� ������ �������?
�) � = 16�; �) 16 ;yx
= �) ;16xy = �) 16y
x= − .
326. ������� ������� ��������� ���� ��: 3 ;yx
= 10yx
= − . � �� ������
����� ����� !����� ������ ���� ��?327. ������� �������� ����������:
�) �������� ������ ������� ������� ���"���� ,kyx
= �� k ≠ 0;
�) !������" ��������� ������ ������� � !��������;�) !����� ��������� ������ ������� ������� ����� ������� ��������;�) !����� ��������� ������ ������� �"������ �������� ������� ��-������.
328. #��� �� ������ ���"���� 15 .= −yx
�) $������� �������� ���� ��, ��%�: � = 3; � = 6; � = –5. �) $������� �������� �, ��� �� �������� ���� �� ��������: –5; –1; 15.
329. #��� �� ������ ���"���� 8 .=yx
�) $������� �������� ���� ��, ��%�: � = 2; � = –4. �) $������� �������� �, ��� �� �������� ���� �� ��������: 4; –1.
330. #��� �� ������ ���"���� 10 .yx
= $�������� ���� �:
� –5 1 10 � –5 0,5
331. & ������� !������ ���� �� 8yx
= − �����:
�) A(–8; 1); �) B(–4; –2); �) C(–2; 4); �) D(–0,5; 8)?
88 § 1. ���������� ��� �
332. �� ������ ��� ��� ������ 9yx
= ����:
�) K(–1; 9); �) L(3; 3); �) M(–2; 4,5); �) N(9; 1)?
333. ����� � �������� 3 ������ ��� ��� ������ 24 .yx
= − ������ ����-
��� ���� ����.�������� �� �� ������:
334. �) 8 ;yx
= �) 5 ;yx
= − �) 4 ,yx
= − �� –4 ≤ � ≤ 4 (� ≠ 0).
335. �) 6 ;yx
= − �) 2 ;yx
= �) 3 ,yx
= �� –3 ≤ � ≤ 3 (� ≠ 0).
336. �������� ��� �� ������ 5 .yx
= ���������� ��� ��� , ������
�������! ������, !�� "��#�"���� ��� �������! ���� ���: –2,5; 4.
337. �������� ��� �� ������ 8 .yx
= − ���������� ��� ��� , ������
�������! ���� ���, !�� "��#�"���� ��� �������! ������: –2; 4. 338. $���%�� ��� ���"��� � 45 #����" #� 2 �� " ����� �. &��� ���� ����
� ��� ���"�� " ���%� #���� #� � �� " ����� �. '����� ��! ���� #�-����� ���� � ���%�( #����"?
339. )"� ����, ��(����� �� %"������ 70 � /���, #���(�" #�"��� %�!( ��2 ���. �� !��� ��� �"� ���� #����� ��� %�!(, ��(����� �� %"������υ � /���?
340. ��#�%� �� ��� ��������� #��#���������, !�*� �� ��� ��� ����������:�) A(–3; 12); �) B(8; 4).
341. +������� #��#�������� ������ �� ���� .ayx
= ������ �, !�*� ��!
� = 0,5 �������! ������ ����"��� 2. 342. ������ ��������� ���� #������ ��� ���" ������:
�) 5yx
= − � � = � – 4,5; �) 12yx
= � � = –2� + 1.
12. ������� kxy = 89
343. -����� ������� ������, ��� ���� ����� �������� ����� 0��&�":
�) 3yx
= � � = 3!; �) 4yx
= − � � = 5.
-� �’�"�� ���)���� ��������:
344. �) ! – 1 = 2 ;x
�) 5x
+ 2! = 7.
345. �) 3 2;xx
= + �) 42 9 .xx
− = −
346. -� $��� ��������, ��’�� ����� �������� 18 ��3, �������� ��������-�� ����� ����������� �����������. ���� ���� ������ & ��� �-���������� �� ���������� S ��2, ������ ������ — ! ��. -����0������ �������� ����� S ��� ������� ������ !. .� � &� �������� ��������� ������&�������? -����� S, ���� ! = 4,5.
347. 3���&������, �������� ���" �������� 12 �3, �������� �������� ���-�����. ���� � &� �������� t �� � ����, �� � ���� ������ � &��-���� ��������� v �3 ������. -���� 0������ �������� �� t��� ��’�� v. -����� �� ��������� &�������, ���� v = 1,6.
348. )�� ���� ����� ������ ��0�� 0��&�" 5yx
= ����$����� ����
��� ��0�� 0��&�" � = 5!?349. (������ ��0�� 0��&�":
�) 2 240 ;
( 5) (5 )−=
− − +y
x x�) 2
3 9 ;3
+=+
xyx x
) 22 7 6 ;
22xy
xx x−= −
−−�) 4 ;=y
x
�)2 , ���� 2;
1, ���� 2;
xxy
x x
�− < −�= � + ≥ −
�)
3 , ���� 1;
3, ���� 1 1;3 , ���� 1.
�− ≤ −��= − < <�
≥�
xx
y x
xx
90 § 1. ���������� ��� �
350. %���’���� ��0���� �������� 2 1.xx
= +
351. -����� , ������������� ��0��� 0��&��, ��� ���� ������� ��������3 4.xx
− = −
352. �������� ���� ( ) 211 : .1 1
mm mm m
� �+ − −� �− −� �353. %���’���� ������ ������ :
�)4;
2 1 ;2 6
x yyx
+ =�� − =�
�)2 2 8;
2.x yx y� − =
+ =
354. �� ���� ����� �������� 105,8. '��� �� ��� � 30 % ��� $� ��� ��$���.-����� ���$� � &�� �����.
355. ,����� ��� ���� ���� ������ A � B �������� 150 ��. ,�� ���� A ������ B ���$�� �������� � �$�� �� $�������� 25 ��/���. .���� 30 �� ������� B ������� ��� ���$�� ����� ��������, $������� ����� ����-���� 30 ��/���. !� ������ ������ ���$�� �������� �� �������?
356. ������ ������ ���� ��������� ����, ���� ������ �� �� 55 ��������������, ��� ���� ��������� 306 �, 307 �, … , 359 �, 360 �. 7���� � ��-���� ��� ����������, ���� ��� ������� �� �������� 2,5 �� �����(� �� � ��� ���$�). .� ���� ����� �� ��������� ����, �� �����-����� ������, ��� ����� �� ����������?
������ ��� 91
��� ������ ����� � �������� � ���-����� � ������� ��� � ����� ��������, ��� ������� � �� ���� ����� ������ � ��� ������� ������, � ������� ����-���� � ����, �� � ����� � ��� ���.
�. ���������������� �� � ���� ������, ������, ������� � ���� �� ���
�������� (2 ����� ���� � �. �.). � ���� � ������ (287 – 212 ��. � �.�.)��������� ���������� �� � ������ �� �����������. ������� � �����-
����� �� � � ����� ,ab
� — ���������, b — ���������, ������ �����
�� ����� � ��� �! ���������� ������� ���� �� ���������� (�� �� "- �����) 1202 ����. #������� ��������� ����� ����� �� �� � XVI ��. ����������� ������$ ��������. %� � ���������� ������� &���� ������ �� �� ���.
����� ����(1643 – 1727)
'��������� ������ ����� ����(1643 – 1727) ������ ����� ��������� � �� ������ � ����� ����� ������ �� �-���. � ���� «�������� ���&������» �������: «����� ���$ � ��! ������� � ��-��(, ����� � ���$ �� ���� �������� ���-��, ������� ������ � � ��������, ��� �������� ����� ���!���$ �������� �� ����(».
)�(��� ����� ������� ���������� �,������ ��� ���� �� (1596 – 1650) ��������� � ����������� ����������, �� �������’������ ���������.
*��� �������� �������� ��-����� ����� ( + 0) ������� ������� �? ,� ������� �������� ��� ���������� ���������. '�� ����,�� ����������� �������� ������� — � �����, ��� �������, ������ ���������� ������� ���� �� �� �. '�� ��������� ������ ���� �� �� � ����
92 § 1. ���������� ��� �
���� �� ����, ��� ���� �0 ������� �� ���$��� ������. 4�� �-��� ������ �������, �� ��� �� -����� ���������� ��� ��� ���� � ����-��� �� ������� �0 = 1. ;�$� XVI11 ��. ���� ��������, �� �������� ����������, ������ ��������� , �� �0 = 1 (��� � : 0). +� ����������� � �-�� ��� �����������.
����� ��������� �������, �������, ���������, �� �����, ��� ���� �������. , ������" 0������� ��"�� ��" ���������" �����������"���� ��� �������� ���0���� ; ���� ���� ���������� ����������)������� (1872 – 1956).
«����������"��� ��������& ����-��� ��%��� ������» — &� ���� ������/���� 7���� ������ �� ��� ,�����-��� ;���& ����.
(��0���� ;���& ��� ���$�� �������"�� ��� ����� 0��� ����� � ����-����, �� ��������� ��������� ���$�����"�� ���� ������� ������ � ��������-��� ��.
,�������� ;���& ��� ����� ����100 ������ ��& , ��������� � ������ �0����� ��� ������ �" $����.
�������� -�������)�����#
(1872 – 1956)
-����� ������ ,�������� ;���& ���� � ��, �� ��� �������� ������������ ��"�� � �������� ������������, �� ��� ������� �-��������� ��& , ��� ����� 3������ �� %�%.
.�������� � ���� ��� ��������� § 11. ������ ������� �������� �&���� ��� ������; ������.
2. �0�������� ������ ��������� ����.
3. - ���� ������� ����� ����� � ��������� ����������?
4. - ���� ������� �������� ����� � ��������� ����������?
5. !� ����� � �������� ����� � ������� ����������?
6. �0�������� ������ �������� ������.
"�������� � ���� ��� ��������� § 1 93
7. �0�������� ������ ���������� ���� �� �������.
8. �0�������� ������ ������� ������.
9. !�� �������� ������ �&���� ��� ���������? &���� �&��-�� ��� ���������? �������� �&���� ��� ���������?
10. !�� �������� ������ �������� ����? ������ ������ ������������ ��� ������ .
11. �0�������� ���������� ������ .
12. .�� �������� ������ ���� � �� ���� ���������?
13. .�� �������� ������ �–n, �� � ≠ 0 � n — ���� �� �����?
14. !�� ���������� ������� � &���� ���������?
15. !��� ���� ���� ������ ���� ������ ��������� ��-�����?
16. !� 0��&�� ������ ��������� ������&�������? ������ ������� ��������" ������&�������.
17. !�� ���������� �� ������� ������&������ ?
357. )�� ���� ����� ������" �� �� ����� ����?
�) 6 ;3x −
�) 6 1;2 1
aa
−+
) 24 ;4
bb b
+−
�) 211
16x
x −.
������ ����:
358. �)2
2
8 ;4
xyx y
�)3
372 ;48
aba
)4
2 5128 ;32
mnm n
�)2 4
4 3
75 .175
x y zx z
359. �) 23 4 ;
3 4c d
c cd−−
�)2 9 ;
3 9aa
−+
)2
216 ;
( 4)cc
−+
�)2
26 9 ;
9b b
b− +
−
�)3 3
2 2
8 ;2 4
x yx xy y
−+ +
�)2
2 2
5 10 4 2 .4 4
x xy y xx xy y− + −
− +
360*. (������ ��0�� 0��&�":
�)2 9 3;
3xy x
−= ++
�)24 4 1 1.2 1
x xy x− += +
−
94 § 1. ���������� ��� �
361. �������� ����:
�) 4 2 ;2 1 2 1
xx x
++ +
�)2 3 3 25 ;
5 5y y y
y y− −+− −
)2( ) 4 .2 2
b cb c b c
+ −+ − + −
362. -����� ������� ����3 36 4 45 5
a aa a− −− , ���� � = 25; � = –1,8.
363. (����� ���� ������� ����:
�) 2 ;3
ba a
+ �) 26 2 ;x x
− ) 21 3 ;
2 6b
ab b−−
�) 2 ;5
x yx y −− + �)22 ;
2xx
x y−
+�)
2
27 1.7
bc abc a
− −+
������ ���� :
364. �) 1 1 ;1 1x x
+− +
�) 2 ;a b a bb a b+ +−
+) 2 2 .y bx b
x xy y xy−− +
− −
365. �)2
2 ;a a b a abb a b ab b
+ ++ −− −
�) 24 1 7 ;
4 4 16a
a a a−− +
− + −
) 2
3 3 ;4 2 10 5 1 4
y y yy y y
+ +− + −
�) 2 2 3 35 3 .b a ab
a ba ab b a b− − +
−+ + −
366. (����� ���� ������� ��� �� �����&� &����� ���� � ����:
�) 9 ;aa+ �)
2 4 1;a aa
+ + )2( 2) 3 .2
xx
+ ++
367. ,������� ��������:
�) 2 2 ;5
a bb a
⋅ �)3 2
3 212 5 ;25 18
a xx a
⋅ )3 2 5
4 4 418 4 ;
12 8a b c b
c b a⋅ ⋅
�)2 2
3 2 22 ;
2xy x x
x x y− ⋅
−�)
2
21 4 2 ;
12x x
xx x− −⋅
+−�)
3 3 2
2 2 2 .x y xy xxy y x xy y
+ −⋅− − +
368. (������� �� �������:
�)323 ;
2ab
� �� �� �
�)4
3
2 ;3xy
� �−� �� �
)52 4
3 .2
m nk
� �−� �� �
"�������� � ���� ��� ��������� § 1 95
369. ,������� �������:
�)3 2
3 45 15: ;4 8
x xa a
�)2 2
24 2: ;1 1
b b bb b
− +− −
)2 2
22 2 2: .2 2
x xy y x yx y x xy
− + −+ +
370. -����� ������� ����2 2
2 2 2:2 20x y x y
x y xy− − , ���� ! = 1
3; � = 22
3.
371. �������� ����:
�) ( )2 22 : 2 ;b a b a
a b a ba ab b ab� �− + − +� �++ +� �
�) ( ) 3 22 1 1 3 3 ;
1 1 1 1aa
a a a a a− � �− ⋅ − +� �+ + + − +� �
) 22 2 8 4: .
2 6 3 24a a a a
a a aa−� �+ +� �+ − −−� �
372. )������ ��������� :
�) 2 2
4 2: ;xy y xyxx y x yx y y x y x x y
� �� �− + − − = −� �� �+ + − −� � � �
�)2 2
2 2 2 21 6 1 4 2: 1 .
2 24 4m m n
m n m n mn m m n� �+� �+ + + = −� � � �− +− −� � � �
373. �������� ���� 2 3
1 (1 )1 111 2 1a aa a
aa a a− −+ +− ⋅
−+ − +� ������ ���� �������,
���� � = 2.
374. )������ , �� ��� ���� ��������� ����� ������� ������� ����2
2 2 4 41 : 1xy y x
x yx y x y− � �− −� �++ − � �
�������� 0.
375. )������ , �� ���� 22 2 2 2
1 4( ) 2( ) ( )
xx y x y x y
⋅+ + − + −
��� ���� ������-
��� ����� ������� ���� ���� ����� �������.
96 § 1. ���������� ��� �
376*. (����� ������� �&���� ���� ���� ����:
�) 1 ;21 11 x
++
�) 1 .12 11 x
−+
-� �’�"�� ��������:
377. �) 1 0;2
xx
+ =−
�)3 3 0;
3x xx
+ =+
) 22 0;4
xx
+ =−
�) 3 21
x .x
=−
378. �) 2 3 3 ;2 1 1
x xx x
− +=− −
�) 2 4 = 0;2 1 3 2x xx x− −++ −
) 27 5 2 ;
4 4x x
x x x x+ +− =
+ +�)
2
21 4 1 2 .5 5 25
z z zz z z
− − −+ =+ − −
379*. %���’���� �������� 2 31
x ax
− =+
� �������� �.
380*. )�� ���� ����� ������ � �������� 1 0( 2)( 2 )
x ax x a
− + =− −
�� ��
�������?
381. '������� :
�) 81 ⋅ 3–3; �) 0,01–1 + ( ) 31 ;3
−
) (–2,5)–1 : 1,5–2;
�) 3–4 ⋅ 33 + 2–4 ⋅ 25; �) (4–4)–4 : 230; �) ( ) ( ) ( )4 4 15 3 11 2 .8 5 3
− − −
− ⋅ −
382. (��������� ���� ��,��� ��� �� ������ �������� � ���’����� ���������:
�)2
;abc
−�)
1
1
( ) ;( )
a ba a b
−
−
−+
)1
2
3 ;2xy
−−� �
� �� �
�)1 2
1
( ) .c cc
− −
−
+
383. �������� ����:
�)32
6 74 64 ;3
x y x y−−
−� �⋅� �
� ��) ( )
1535 23 ;9ca c
−−− − � �⋅� �� �
− ⋅ −
"�������� � ���� ��� ��������� § 1 97
) ( ) ( )22 3 4 6 ;x x−+ + �)2 2
1 1 ;a ba b
− −
− −−−
�) ( ) 11 1
1 1 ;x yx y
−− −
� �− −� �
� ��)
3 3
1 1 .a ba b
− −
− −++
384. (����� ���� ������� ������� � ������� 2:
�) 332 2 ;n−⋅ �) 12 64 ;n+ ⋅ ) 316 2 ;n− +⋅ �) 31 2 .32
n−⋅
385. ����� !–7 + !–5 ������� � ���� �������: !–3; !–5; !.386*. )������ , �� ��� ���� &���� ����� ������� ���� ���� ���� �����
�������:
�)1 23 7 3 7 ;
3 7
m n m n
m n
− − − −
−⋅ + ⋅
⋅�)
1 1
15 7 5 7 .
35
n n n n
n
− − − − − −
− +⋅ + ⋅
387. -��$�� ��������� ������� �����:�) 8900; �) 5 640 000 000; ) 0,0533; �) 0,0000012.
388. ,����� �� ������ � ���$�� ������� ����� ��������� ��-�����: 1 ���; 1 ���; 30 ���.
389. (������ ��0�� 0��&�":
�) 3 ;yx
= − �) 3 ,yx
= �� 1 ≤ x ≤ 6.
390. -��$�� 0���� ��������" ������&�������, ���� "" ��0�� ��������
����� ���� ( )16; .3B − −
391. 2�0�� 0��&�" kyx
= �������� ����� ���� A(1; 8). .� �������� ��-
0�� &��" 0��&�" ����� ���� B(0,5; 16)? C(–0,4; –20)? 392. - ��������� ��0���� 0��&�� �������� , �� �� ������ ��������
10 0,5 1xx
= − .
393. %���’���� ��0���� �������� 4 .xx
=
394*. (������ ��0�� 0��&�":
�)2
32 18 ;
9−= −
−xy
x x�) 4 4 .−=
−xy
x x x
4* ,. 7����. 3�����. 8 ��.
98 § 1. ���������� ��� �
�������� ��� ��� � ����� � 3
��� �� 1 1. ������� ��� ��� �������:
�) 0( 100) 1;− = �) 24 16;− = − �) 0( 3) 3;− = − �) 2 1( 5) .25
−− =
2. ����� ���: 7–2 ⋅ 140.
�) 49; �) 2 ;7
�) 1 ;49
�) 1 .7
3. �������� �������� ����� 24 ⋅ 2–3 + 2–1.
�) 2; �) 130; �) 12 ;2
�) 12 .4
4. ������� � ��� ��� ������ ���� b6 : b–2.�) b8; �) b–12; �) b–3; �) b4.
5. ������� � ����������� ��� ��� ��� � 2570. �) 25,7 ⋅ 102; �) 2,57 ⋅ 10–3; �) 0,257 ⋅ 104; �) 2,57 ⋅ 103.
6. � � ����� �������� �������� �������� ���� �! 10yx
= �����"# 4?
�) 40; �) 2,5; �) 5; �) 2,4.
��� �� 2 7. ���������� ������������ ��� ������� (1–4) � ������� ������ !� ���-
���� ($–�).
1) 20�2b–1; �) 22 ;ba
2) 2–1�2b–1; �)2
;2ab
3) 2–1�–2 : b; �)22 ;a
b
4) 2 : (�2b–1). �)2
;ab
�) 21 .
2a b
"������ ��� ������������ # 3 99
8. -����� ������� ����:
�) ( ) 312 ;5
−
⋅ �) ( ) 22 1( 3) 12 : .
2
−−− +
9. �������� ����:
�) ( ) ( )1 3 2 32 6 ;a b a b− −⋅ �) ( )2 2( 3) 3 .b b b−− ⋅ −
10. (����� ������� ����, ���� �� ������ ������� � ���’����� ���������:
�) ( ) 25 23 ;a b−− �) ( ) 3
4 21 .3
m n−
−
11. (������ ��0�� 0��&�" 2 .y x= −
���� 3 12. -����� ������� ����:
�) ( ) 4228 (0, 2) ;
3
−−⋅ + �) ( )5 6 23 : 3 : 9 .− − −
13. �������� ����:
�)2 1 1
2 48 ;
2a b a c
c b
− −
− −⋅ �) ( ) ( )2
3 4 4 51 : .3
m n m n− −
14. �������� ����:
�) 3 2( 2) (5 10) ;a a−+ ⋅ + �) ( )2 2 : .a ba b ab− − −−
15. '������� � ���$�� ���� �� ������ ��������� �������:
�) ( ) ( )4 32,3 10 6,1 10 ;−⋅ ⋅ ⋅ �) ( ) ( )2 35,1 10 : 1,7 10 .−⋅ ⋅
16. -����� ��������� ����� ������� ��0���� 0��&�� 2=yx� � = –! + 3.
���� 4 17. '������� :
�) ( ) ( )4 91 22 ;4 3
− −
⋅ �)3 6
9 227 16 .8 81
− −
− −⋅
⋅
100 § 1. ���������� ��� �
18. �������� ��� :
�)2
3 2 1;m
m kk
x x yy
−− − +� �
⋅ ⋅� �� �
�)122 2: .
n ny bb y
− −� � � �� � � �� � � �
19. �������� ��� :
�) ( )2
2 24 4
( ) ;xyx yx y
− −+ ⋅−
�) 2 2 4( ) (1 ).n n n na a a a− −− − +
20. ������� ����� �, ��� ����� � �������� ������, �� ������ ���� ������������� ������:�) 120 ��/� = � �/�; �) 3,6 �/��� = � �/�.
21. �� ’���� �������� ������� 2−x
= –2� + 3.
102 § 2. �������� ����. ��� �����
�� �����, � � �� �������� ����� ���� �� ����� �� S = �2, � � — ������� ������� ��������. ���� ��� ������� ������� � ���������� ����������� � �� S, �� S � �������� ��� �. �� !��!� �� ��� ����" �����-��� ��#����� ������$, ������� ������� � = �2.
%��� � ���# �������� ������� � = �2, � ��� ������ � ����� ������������-���" ������.
��������� #����� ������$ � = �2. & � ���#� �������� �� ���� ��� ���� � �� ���" ������ � �� ����������" ������ �:
� –3 122
− –2 112
− –1 12
− 0 12 1 11
2 2 122 3
� 9 164 4 12
4 1 14 0 1
4 1 124 4 16
4 9
��������� �� ����������� � ���� ����� (���. 5), ���������� ���"������ � ��� ���. '��� � � �����#� ������� � ����� � � ��������� �����-�� � ������� � � ����� � ������ ������������ �� ����������� � ����,�� ����� � � ����, ��� � #������� ������$ � = �2 (���. 6). (� ���� ������-��� �������.
)������ � = �2 ��� ���� � ���������:
1. ���� � ���������� ������� � ��� � ��� ����.
2. �������� ������� � �������.
3. ���� � = 0, � � = 0; ���� � ≠ 0, � � > 0.
*� � ��������� 3 ��� ����, � #����� ������$ ���"����� ��� �����(0; 0). (� ����� ��������� ��� ��� ������ �. &��#� ������� � ����������������, � ��� ����� ������ �, ���� $$ ��!���, �����!����� �� ��� ��� �.
4. ���� � ������� ������� � ��� � ��� ����!’���� ����.
13. ����� � = �2 103
���. 5 ���. 6
5. ������ ������� ���� �����" ��!����� ��� �.+������, ����� ���� �������� ��#����� ���������� � ��� �������
������$. %����� ��, ����� ���� �������� ��#����� � = –2 �� � = 2 ����������� ��� ������� ������$ � = 4. ���, ��� #������ �� ���� ����� (a; b), �� ��� �� ���� � ����� (–a; b). ( �������, � ������� ���� ����� ��!�������� �.
� ���� 1. +�� ��� ������ ��� �������� 2 6xx
= ?
! ,������ � ���� ������ ��������� #������ ������ � = �2 �� � = 6x
.
(� #������ ����������� � ���� ����� � �������� � ≈ 1,8. ���, ��� ���-����� ��� ���� ������.
104 § 2. �������� ����. ��� �����
���������. ���� ������. !
395. -������ ����� ��� ��������:�) �� ���� ������ ������$ � = �2 ��������� ��� ��� �;") ������� � = �2 ��� �������� ���’����" ������;�) #������� ������$ � = �2 � #����� �;#) ����� (–1; 1) �� ���� #������ ������$ � = �2.
396. )������ ������ ����� �� � = �2. .�� ����:�) ������� �, �� ���������� ����� �������� �: –4; –2,1; 0; 5; ") ������� �, ���� ������������ ���� ������� �: 36; 49; 100; 121.
13.������� � = 2 105
397. ��� ����� � = �2 � ������ � ����:
� –5 –1,5 4
� 0 0,36
398. ������������ �� ���� ����� � = �2 (���. 6), �� ���� �� ����� ���-�����, ���� ������ ��� � � �� ����� �����: 1,5; 3,5; 7,5.
399. ������������ �� ���� ����� � = �2 (���. 6), �� ���� �� ����������, �� ������ ��� � ��� �� ������ ��������: –2,25; 0,75; 1,25.
400. �� ��� ����� �� �� ����� � = �2 ����� �����:
�) A(15; 225); �) B(–22; 464); �) �(–0,3; 0,9); �) ( )1 1; ?5 25
− −D
401. �� ��� ����� �� �� ����� � = �2 ����� �����:
�) K(14; 186); �) L(–12; 144); �) M(0,8; 0,64); �) ( )2 4; ?3 9N −
402. !�������� �� �� ����� � = �2, ��:�) –3 ≤ � ≤ 2; �) � ≤ 0.
403. !�������� �� �� ����� � = �2, ��:�) –2 ≤ � ≤ 3; �) � " 0.
404. ��� ��� �� ���� �������� ����� � = �2 � � = 5� � ��� ��� ���� � -���� �� �����?
������� � �� � ������ ������ � ������� �� ��� � ��� ����, ������������ �� ���� ���� �� �������:
405. �) � = �2 � = � – 5; �) � = �2 � = –4� – 4.
406. � = �2 � = 3� + 1.
����’� �� ������ � ��� � �:
407. �) 2 1 ;xx
= − �) �2 – 3 = –2�.
408. �) 2 8 ;xx
= �) �2 + � = 2.
106 § 2. �������� ����. ��� �����
409. +�� ��� ������ ��� �������� 2 4 0xx
− = ?
410. +�� ��� ������ ��� �������� �2 – 2� – 1 = 0?
411. -������ ������� �, � � ���" ������� ������$ � = �2 ��!�, ��� �����-����� ������� ������$ � = 1.
412. .�� ���� ������� k, � � ���" #������ ������ � = kx + 4 �� � = �2 ��-��������� � ����� � �������� –1.
413. & � ���" ������ � ����� ������ � � = �2 ������� ���� ��� �����$� = –� + 6?
414. ������ � #����� ������$:
�)3
;= xyx
")3
,xyx
= − � x < 0;
�)3 22 ;
2−=−
x xy x#)
2 , ��� 1;2, ��� 1.
� <= �
− + ≥�
x xy
x x
415. &������, � ����-��� �����, ���� ��� ��� �, ������� ������ �� = �2.
416. 2���’����� ��������:�) 2 49 0;x − = ") 2(3 2) 9 0.x − − =
417. +�������� �����:
�) ( )2 23 3
1 1 : ;a ab ba b� �− + +� �
") ( )2 1 1 .mnm n mn n mn m
⋅ −− − −
418. &������ ����� ������#� �� �� �������� �������� 2 �, ������#� — 1,5 �. +�� ��� ����� ��� ���$"��� �������, �� ����� �� �� ����� ��� 10 ������ �� �!, ��� �����?
14. ���������� ����. ������������ ��������� ���� 107
419*. 3�������� ����� ���������� �� !�� ��� ( ���� � )���# ��. ��-����, � 0 #������� �� ( ����� ���������� 32 #������ �� )���# ���,� 100 #������� �� ( ����� ���������� 212 #������� �� )���# ���.�) '�� ��������� ������� ������� ������� �� !�� �� )���# ��,��� ������� �� !�� �� ( ���� ������� 20 #�������?") .�� ���� ���������, ��� � �� !�� �� ( ����, � �� !�� �� )���-# �� ����������� ��� ����� ��� ��.
420. �’��� ����� ����� �����!����� �� ����� ����� �� � ���, � ��������������� ��� ���� � �������. /��� ����� ��� ��� �’��. - ���� ��-��� ���� ����� ��� ����� �’�� �� � ������ �� �� ����� ������.&������, � ��� � ���������: �) ��� ����� ����� ���, ��� � ����’���; ") ��� ����� ����� ���, ��� ��� ����� ��� 2 �’���.
1. ��������� ������. 2��# ���� ������: ��� �� ������� ��������,� �� ���#� �������� 9 ��2.
%"� ������� �������� ��������� ��. 3��� �#� � �� ���������� �2 ��2,� �� ������ ������ �������� 9 ��2. ���,�2 = 9.
2���’���� ������ �������� #��-�����.������ � � = �2 ������� ����� � = 9� ���" �����" � ��������� 3 � –3 (���.���. 7). 3��� ������� �������� �2 = 9 � ������ � � = 3 �� � = –3.
&������ ������� �������� � ������������� ���’����� ��� ��. ���, !�-���� ������� �������� 3 ��.
2���’������ ������, �� ��� ! ���� � 3 � –3, �������� ���" ���������� 9.
���. 7
/��� � ��" ��� ��������� ���!�� ��� ������� � ��� � 9.
108 § 2. �������� ����. ��� �����
����������������� ��� � � ���� � �������� ��� ����,������� ����� �������� �.
�������� ��� �� � ���� 9, �� �� �������, � ��� ����: 3 � –3. �������� ��� �� � ���� 6,25 � ���� 2,5 � –2,5, �� 2,52 = 6,25 �
(–2,5)2 = 6,25. �������� ��� � � ���� 0 � ����� ���� 0, �� ����� ������� ����
�������� ����.��������� ��� ��� � ���� –9 � �����, �� � �� �� �, ������� ���
���������� � ���’���� ����.
2. ��� ���� ��������� ������. � ��������, �� ���� 3 � –3 � �������� ��� �� � ���� 9. � ���’��� � � ��� ���, ����� ���� 3, �������� ���������� ��� ����� ������ � ���� 9.
������������ ��� �������� ��� � � ���� � ����������� � ���’�� ����, ������� ����� �������� �.
!�" ���� ��������� ������ � ���� � ���������� a ( — ����
��" ����#� ���������#� ��� ��). $��� a ������: ��������� ������� � (�������� ���� �: ��" ���� ��������� ������ � �, �� ��� ��� �-����� ����� «��" ����» ���������).
%�� , 9 = 3 (������: ��������� ������ � � �’�� �������� ��).&� ����� ��� ��" ����#� ���������#� ��� ��:
121 = 11, �� ���� 11 � ���’�� (11 ≥ 0) � 112 = 121;
0,36 = 0,6, �� 0,6 ≥ 0 � 0,62 = 0,36;
0 = 0, �� 0 ≥ 0 � 02 = 0. ' ��#������ ������ ������
a = b
� ����������, ��� ���������� �� �����:
1) b ≥ 0; 2) b2 = �.
14. ���������� ����. ������������ ��������� ���� 109
/����� �� ��� � –1 � �����, ���� � ����� ����������#� ���������-
#� ����� � ���#� ��� �. /�����, � ����� 1− � ��� ������.
-��#� �, ����� a ��� ����, �!� � ≥ 0.
3. ����+����$ ( )2=a a , a ≥ 0. (� ���������� ��� ���� � ��������
����������#� ���������#� �����. +������, ���� ��� a — � ��� �-���’��� ��� �, ������� ���#� �������� �, ��:
( )2a a= (� ≥ 0).
%����� ��, ( )24 4,= ( )2
1,5 1,5.=
4. ��",����) ���������#� �����). .��"������ ������� ��������-��#� ���������#� ����� ����� ��������� ���������� ���������#� �����. &�-������ ��������� ����� � ������ ���" ��� , ��� � ������� ����������, �����
�� ��� ��� ��������� (���. ������). %"� �������� ��� �� 5476 . .� ��� �-�� ��������� ���"�����, � ��� � 5476 � ��������� ��� � 74, ����
5476 = 74. .������ �, � �� ��� ��� ��������� � ����� ��� �� ����������������#� ����� � ������ ���#� ��� �, �� � � ������ ��������� ��� ����-��� ���#� � ������ � ��� ���.
& � ��������� ���������#� ����� � ��� � ����� ����������� �� ��� �-���. & � ���#� �������� ����� ��� � � �� ��� ����, � ����� ��������� � ���-!� . %� ����� �’������� ������� �����.
.�� ��� 111,9 . -���� � �� ��� ���� ��� � 111,9 � �������� � �-
��!� . %� ����� �’������� ��� � 10,5782796 — ��� ��� �������
111,9 . ������� ��� ���� ����# ���� �� ��������#� ��� � ������. %�-
���� ��, ����# ��!� ��� ���� �� �������", ���������: 111,9 ≈ 10,578.
.�� ��� 11943936 . -���� � �� ��� ���� ��� � 11943936 � �����-��� � ���!� . %� ����� �’������� ��� � 3456 — ���� �������
11943936 .
110 § 2. �������� ����. ��� �����
� ���� 1. &�����, � 0,04 0,2.=! 0�� � 0,2 ����’��� � �#� ������� �������� 0,04 (0,22 = 0,04). 3���
0,04 0,2.= !
� ���� 2. .�� �� ������� ������ 449 0,25 .25⋅ −
! 4 249 0,25 7 0,5 3,5 0,4 3,1.25 5⋅ − = ⋅ − = − = !
421. .�� ���� ��������� ����� � ��� �; ���������� ��������� ������ ���� �:�) 49; ") 1; �) 0; #) –16.
422. &������, �:�) 81 = 9; ") 0,49 = 0,7.
423. 0� � ����� ���� ��������?�) 36 = 8; ") 36 = –6; �) 36 = 6.
424. 0� ��� ����� �����?�) 256; ") 16;− �) 2 ( 8)− ⋅ − .
425. & � ���" ������ � ��� ����� �����?
�) ;x ") 2 ;x �) ( )2x .
426. .�� ���� ������� ������:
�) ( )23 ; ") ( )2
4,32 ; �)2
3 .4
� �� �
������ �:427. �) 25; ") 1; �) 144; #) 225;
14. ���������� ����. ������������ ��������� ���� 111
�) 0,09; �) 0,64; *) 1,21; +) 4,41.
428. �) 36; ") 81; �) 196; #) 400;
�) 0,01; �) 0,25; *) 2,25; +) 3,24.
429. �) 1 ;25 ") 9 ;49
�) 36 ;81
#) 16 .225
430. �) 9 ;64
") 1 ;81
�) 4 ;121
#) 100.169
)���!� �, ��:
431. �) 3,61 = 1,9; ") 0,0121 = 0,11.
432. �) 20,25 = 4,5; ") 0,0081 = 0,09.
*��"!� � �������� ������:
433. �) 36 64;+ ") 196 0,25;⋅
�) 3 1,69 4;− #) 16 6,25 1,5 49;⋅ −
�) 81 225 441;+ − �) 1600 : 6400 5 0,25;−
*) 0,7 0,8 0,2;⋅ − +) 11,36 0,8 5,8.+ ⋅
434. �) 100 49;− ") 144 : 36;
�) 1,96 2 1,44;+ #) 0,36 900 17 9;⋅ −
�) 2,7 0,5 0,09;⋅ + �) 1,09 0,4 2,7.− ⋅
435. �) 2 3,x + ��� � = 3; � = –1; � = 0,12;
") 2 ,a b− ��� � = 8, b = 2; � = –3, b = –14.
436. 4 3,a − ��� � = 1; � = 7; � = 31; � = 0,76.
437. �) ( )27 ;− ") ( )2
2 3 ; �) ( )23 1,5 .−
438. �) ( )25 2 ; ") ( )2
2 6 ;− �) ( )210 3,2 .
112 § 2. �������� ����. ��� �����
*��"!� � �� !�����&� ����� ���!�� �� �������� ���!�� ��&� ������:
439. �) 361; ") 1444; �) 4096; #) 8836.
440. �) 576; ") 2116; �) 5929; #) 9216.
*��"!� � �� !�����&� ������ ��� �������� ���!�� ��&� ������ (�����- � ����&� � !� �� ��):
441. �) 6; ") 50; �) 1,6; #) 4,38.
442. �) 10; ") 28; �) 12,5; #) 0,15.
443. & � ���" ������ � ��� ����� �����?
�) 5 ;x ") 5 ;x− �) 25( )x− .
+� ��� ���� �����?
444. �) 215 17 16 ;⋅ − ") ( 0,3) ( 1,8) 0,5;− ⋅ − − �) ( )25 19 3
− .
445. �) 221 24 20;− ⋅ ") 3,6 2 : ( 0,5);− − − �) 3 2 28 9 25
⋅ − .
*��"!� � �������� ������:
446. �) 10 0,0049 4 0,49;+ ") 16 64 1: ;81 225 9
+
�) ( )22 81 1,5 2 3,24;9
+ + #) 0,09 2500 0,7 900;⋅ −
�) ( )( )3 441 196 1,69 2,89 ;7
− − �) ( ) 7 10,0016 16 : 18 .9 3
� �− −� �
447. �) 13 0,0009 9 ;10000
+ ")2
7 4 42 : ;9 81 9
� �� �� �+ � �� �
�) 40,0144 2 0,0225 ;9
+ ⋅ #) ( )5 1640000 22500 : 1 .9 81
� �− −� �
14. ���������� ����. ������������ ��������� ���� 113
448. &������, � ����� ��� ����� � � ����-���#� ������� �:
�) 2( 1)( 1)( 1) 1;− + + +x x x ") 2 8 17.− +x x
449. & � ���" ������ � � ����� ���� ��������?
�) ;x x= − ") 2 0.+ =x x
450. & � ���" ������ � �������� ( 1)( ) 0+ − =x x a � ��� ������?
451. .�� ���� ������� ������� �2, (–�)2, |a|2, ��� � = –1,2.452. .�� ���� �� ��! ������� ������:
�) �2 + 2; ") �2 – 1; �) (2�)2 + (3�)2.453. &�� ��$��� �� ! � ��������� � ������� A � B ��������� ���� ������ �
������ ��� � ������ C, ��� �����!����� �� 20 �� � ��� �� A, ��� ��B. 6�������� ��$���, � �� !�� � A, �� 10 ��/#�� ��!� ��� !����������$���, � �� !�� � B. .�� ���� !�������� �����#� ��$���, ��� ���-����� ��� �������� A � B �������� 340 ��.
454*. �!���� ����� � 65% ��!�#� �� � � 45% ���#�#� �� �. ������, ��� ��!��� � ���#��� �� �" ����� ����� � 53% ��#� ���$ � �� ���"�� ��. '�� ������� ��#� ���$ � �� ���" �� �� ��������� � �� ��!�-#� �� �?
455. %� ��� �� � ������ ������ ������� 1 × 100 ���$�� ��!��. 3����, � ����� � # �� ���� ��������� ��!�� �� ���� ��� ��� � ������ � ��-����� ��!�#� ���� ������. ���#��� �� , "�� � ���� ������� ��#�-�� "��. 7�� � " ����� ��� ��������� ���� ����#� (��� ��� ���"���� ��������)?
114 § 2. �������� ����. ��� �����
2���’���� #������� �������� �2 = �. & � ���#� � ���� ������ ������-��� ��������� #������ ������ � = �2 �� ����� � = �. %� ������� 8 �������������� � � = �2 �� ����� � = � � � ����" ��������: � > 0, � = 0 �� � < 0.
'�� � > 0, �� ����� � = � ��-����� ������ � � ���" �����" � �����-
���� a− �� a . 3��� � ������ ��-����� ������� �������� �2 = � � ���-
�: x a= − �� .x a='�� � = 0, �� ������� �����
� = 0, ��� ��� � ������ �� ���� ��� �������� (0; 0). ���, �������� �2 = 0 �������� ������ � = 0.
'�� � < 0, �� ����� � = � � �-������ ������ �. � ������ ��������������� �2 = � ������ � ���.
���, �������� �2 = �: ���. 8 1) ��� ��� ����� x a= − �� ,x a= ��� � > 0; 2) ��� ����� ������ � = 0, ��� � = 0; 3) � ��� ������, ��� � < 0. %����� ��,
�������� �2 = 4 ��� ��� ����� 4 2x = − = − � 4 2;x = =
�������� �2 = 3 ��� ��� ����� 3x = − � 3;x =�������� �2 = –3 � ��� ������.
� ���� 1. 2���’����� ��������:�) 2�2 – 14 = 0; ") 3 + 2�2 = 0; �) (2� – 1)2 = 9.
15. "������ x2 = � 115
! �) 2�2 – 14 = 0; 2�2 = 14; �2 = 7; 7x = − ��� 7.x =
���������. 7;− 7.
") 3 + 2�2 = 0; 2�2 = –3; �2 = –1,5 — �������� ������ � ���, �� –1,5 < 0. ���������. /����� ����.
�) (2� – 1)2 = 9;
1) 2 1 9;− = −x 2� – 1= –3; 2� = –2; � = –1;
2) 2 1 9;− =x 2� – 1= 3; 2� = 4; � = 2. ���������. –1; 2. !
456. 2���’����� ��������:�) �2 = 49; ") �2 = 11; �) �2 = 0; #) �2 = –11.
'���’�(� � ��������:
457. �) �2 = 121; ") �2 = 0,16; �) �2 = 5; #) �2 = 0,3;
�) �2 = 1 ;4
�) �2 = 1 ;3
*) �2 = –1; +) �2 = 1,44.
458. �) 3�2 = 48; ") �2 + 8 = 57; �) 44 – �2 = 8; #) –2�2 = 18;
�) –0,4�2 = –8; �) 12�2 = 1; *) 12 + 3�2 = 6; +) 2(�2 + 1) = 10.
459. �) �2 = 144; ") �2 = 15; �) �2 = 1,21; #) �2 = 2 ;5
�) 5�2 = 20; �) 2 – �2 = 4; *) 4�2 + 5 = 41; +) 3(�2 + 4) = 9.
460. 5������� ��� ����� ����������#� ���� �����. 8�#� ������� ����-�� �� �!� ��� !�����, ������ �������� 4 ��, � ��’�� — 72 ��3. .�� ����������� !����� ���������.
461. &������ �� ���� ����������$ ����� ������ �� �!� ��� !�����. .�� -���� ������� �� ����, ��� $$ � �� �������� 108 �2.
116 § 2. �������� ����. ��� �����
'���’�(� � ��������:
462. �) 2(�2 – 3) + 3(2�2 + 1) = 5; ") (2� – 5)2 + (2� + 5)2 = 62;
�) ( )( )1 1 1 ;3 3 3
x x− + = #) (5� + 1)2 – 2 = 10�.
463. �) 3�2 – 8 + 2(3 – �2) = 1; ") (2� – 1)(2� + 1) = �2 + 2;
�) (� – 3)2 + (� + 3)2 = 146; #) 9 – (0,5� – 1)2 = �.
464. �) (2� – 1)2 = 16; ") (3 – �)2 = 2,25.
465. �) (� + 2)2 = 49; ") (1 – 2�)2 = 121.
466. &������ ���" ����� ���" ��� �� 49 ��!� ��� $" ����. .�� ���� ����� �.
467. &������ ���" ��� ������" �� �" ��� �� �!� ��� ��!�#� � ��" ��-� �� 4. .�� ���� �� ��� �.
468. 2���’����� ��������:
�) ((�2 – 1)2 – 2)2 = 4; ") ( )2 22 1.x x x⋅ = −
469. .�� ���� �� ��!� ������ �������� |x2 – 8| + 4 = 21.
470. & � ���" ������ � �������� ��� ���� ������?
�) �2 = �2 – 2�; ")22 10 0.− =−
xx a
471. ���� � � ��# ��� ��������" ������ ������� ��� ��� �: 5 ;8
7 ;9
13 .25
−
472. ������� � ��� �:
�) 6098 � 6980; ") –82 � –78; �) 2,14 � 2,143; #) –0,72 � –0,702.
16. ������� ����. � �������� �� ����� ����� 117
473. ������� ���� ��� ��� ����� �� ������� ������ � + 2� = 5� 3� – � = –6.
474. ������ ������� � ����� � �� ���� ������. �� ������� ����� � ��-
��� � 25���� �������, �� ������� — 75% ���� ������, � � ����� �
�� �������, � �� ������� ⎯ �� 6 ������� �����, ��! �� �������. "��- ����� ������� � ����� � ?
475. #���� � �� ��� ����� �$� ��%���� 3 × 3 × 3, % ���� � ��%�� �&������� � �$ . ' �� ��� ��� �� %� � �. "������ ���� %’���� ��-� � �$ � �� ��%���� 1 × 1 × 1. ����� ���� � � �� %’���� ������ ��$ , ���� ��� ��� ��� �� � �% �������� �� ����� �$ ��. ( %��!�� �� %’��� ��� ����� � ��?
1. ���� ���� �� ���� �����. �����. � ���� ������� ��� ����-��, � ��������� � ���
1, 2, 3, 4, 5, 6, ... � �� ������� %��$������ ��� ���$ .
)��� � ���... –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
— &� ��������� � ���, ���� ��!�� �� � ��� � � ��� 0.*�� ��������� � ��� �������� ������� ���� ��� �����, �� ��-
%������ $���� N; � ��� &��� � ��� — ������� ����� �����, �� ��%������$���� Z.
+����� «���! ��» � �� �������, �� ������ ��� ��$��, ��������$��-� � �$’����, �$’����� � %� ������ �%����. ���� ���, ���! �� ��-��� ��� , ���! �� ����� � ����, ���! �� $�� ��������, ���! �� ������"������� � ���� �� �. ������� «���! ��» ����! � �� ������ � ������������ , �� � � «� ���», «����», «�����», ���� ���� �� �%������.
118 § 2. �������� ����. ��� �����
��’����, ��� ��������� �������, ��������� ����� ��� �������.3��, ��� � 5 — ��� ������� ������ ���" ��� . & � ��������� ���-��� �������������� � ��� ����� ��������#� � ������ (A, B, C, …, Z), � � ���������� ����� ������� — �� � ����� (�, b, c, …, z).
'�� ��� � � ����� ������� ,, �� ���������: a ∈ M (����-���: � ���(� � ,). .���� b ∉ M �������, � ����� b �� ���(� � ���-(��� ,. %����� ��:
�"� ' — ������� ������" ��� ; ���� 7 ∈ ', 8 ∉ ';�"� G — ������� ���� ����$�����#� � ������, ��� ���������� #� ����
�����; ���� �∈ G, �∉ G.3� ����, � ��� � 3 � �� ��, � ��� � 0,5 — ��, ����� �������� ���:
3 ∈ Z, 0,5 ∉ Z..�������� �������, ��� �� �������� �� ��������$ �� ������ �����,
�� ���� ����� � ��#���� �����. %����� ��, , = {1; 3; 5} — �������,��� �� �������� �� ����" ����� — ��� 1, 3 � 5. 3��� 1 ∈,, 2 ∉,.
/��� ������ �� ��� � � �� ��. 3��� ������� ������ ���" ��� ��������� (��!���(���) ������� �� �" ��� .
-��#� �, )�/� ",�$-)��� ���&��� &��+��� � * ���&����& &��+���&, �� &��+��, � ��'���(�$ �����$��� &��+��� & � ��������� - ⊂ .(�������: - � ����������� .).
%����� ��, ��� - = {–1; 1}, B = {–1; 0; 1; 2}, �� - ⊂ ., �� ������ ���� –1 � 1 ������� - � ������ ������� .. %� ������� 9 ���������"�������, � N ⊂ Z. ���. 9
2. ��-�����$�� �����. 2������ ��� ��� �, �� �� ������, — � �� � ��
������� ��� �. ���� ����� ������� ���" ��� � 1,2; –3,65; 2 ;5
43 ;7
− 2; 0; –3
���. 4������ ���" ������� ���" ��� ���������� ������ Q. /��� ����-�� �� � ���� �� ��� � � ������� ���� ��� ��, ���� N ⊂ Q � Z ⊂ Q.
,���-�� ������� �� ��� � ����� ������ � ��# ��� ����� mn
, � m —
�� ��� �, � n — ������ ��. %����� ��,
213
= 53
; –3,7 = 3710− ; 2 = 2
1; –3 = 3
1− .
16. ������� ����. � �������� �� ����� ����� 119
+��� �!��, � ������ �� ���� — �� ����, ��� ���� ���� � ��-
����� ����� mn , �� m — ���� �����, n — ���� ��.
,�&������� � ���, � � %�����, ��!�� ������� ���! � � ����� ��-����� � ���$��. ���� ���,
38
= 0,375; 1855
= 0,32727... = 0,3(27).
,�&������� � ��� 38������ � � ����� ���������� ���������� ���$�
0,375, � ��&������� � ��� 1855
— � � ����� ������������ ���������� �����-
� ����� ���$� 0,3(27) % �������� 27. "������ � ������� � ���$ 0,375 ��!�� %�� ��� � � ����� ��������-
���� ���������� ������ ����� ���$�, ��� ���� �������� � � ����� �����-�� � %���� $�%��� �����: 0,375 = 0,375000... = 0,375(0).
-�!�, �$ ��� ��&������� � ��� 38� 18
55��!�� ����� � � ����� �����-
���� � ������� � ������ �� � ���$��:
38
= 0,375000... = 0,375(0); 1855
= 0,32727... = 0,3(27).
*%�����, ����-��� �������� ����� ��� ������ � ������� ����-����� ����������� �� �������� � ���.
���� ��� � ����� : ��� -���� ������������ ��������� ��������������� � ������ ������� ������ ���� ����. ���� ���:
0,(6) = 2 ;3
1,(27) = 31 ;11
–0,2(0) = –0,2 = 1 .5
−
.�$ �������� ��, � ���� �������� � ���� �� � , ��� � ��&�������
� ��� 2 ,3
3111� 1
5− ����� � � ����� ��������� � ������� � ���$��.
120 § 2. �������� ����. ��� �����
3. ���-�����$�� �����. 2��# ���� ���� ��.%"� ����� ������� ABCD, ������� ���#�
�������� ���������� �������� (���. 10). �����-���� ������� ���#��� � AC ��� �. %� �� ���-#��� � ��������� ������� ACEF, �� �������� ���������. � �� �������� ABCD �������� 1,
� �� ���������� ACD �������� 12
— �� ���-
�� � �� �������� A.CD, � � �� ��������
ACEF — 14 2.2
⋅ = . ��!�#� ����, � �� ������-
�� ACEF �������� �������� �������AC, ����� �2.
���. 10
3��� �2 = 2. ����� �, � ������� � ���#��� � AC ��� ���� �������� ���- ��, ������� ���#� �������� 2. ����� ��� ������� ���" ��� ���� ��� �,������� ���#� �������� 2 (������� — � ������� «& � ��", "�� "�� ������� �!»).
���, ��� � �, �� �������� ������� ���#��� � �������� �� �������� 1, � � ������� ���� ��� ��.
���� ��� ��� � � � �������� � �#� ������� �������� 2, �� � = 2 . 3�-
��� �����, 2 — � ������� �� ��� �, ����� �#� � ����� ������ � ��-
# ��� ����� mn , � m — �� ��� �, � n — ������ ��.
+���, ��� �� ��(�� ��!� � � ��&�!� !���� mn
, !� m — ��� ����, �
n — �� ������, ������ � ������������ ������.
������ «��» ������� ��������: ��������� �� — � ������� ��.
���, 2 — ��������� �� ��� �. '�� !����� ������� 2 �� ����-��#�� �� ��� �����, �� ������� ��� ��� �������
2 ≈ 1,41421356. 3��� � �������
2 = 1,41421356...
��������� � ��# ��� ���������#� ��������#� �������!����&� ����� (�
���� � ��� ���� ����������, �� 2 — � ������� �� ��� �).
16. ������� ����. � �������� �� ����� ����� 121
*%�����, ����-��� � �������� ����� ��� ������ � ���������������� ����������� ��� �������� � ���.
�� ����� ����&������ � � ��� �: 3 = 1,732... , 10− = –3,162... .
*%�����, � � ��������� � ��� n �� � ���� � ��������, �� � ��� n � n−� ����&������ � .
/���&������ � � ���! � ���:π = 3,1415926... , �� � ��!�� ���������� ���! � ��� �� ���� ��������;0,505005000500005... (����� ����� ��! �’������ ���������� %$��-
������ �� 1).
4. ����� �����. ������ �� �������� �� ���� ������ ���-���� ������� �����, �� ��%������ $���� R.
0�!�� ������ � ��� ��!�� ����� � � ����������������� ���������� ���$�. 1 � &�� ���$������ �� �, �� ������ � ��� � ��&������ �;� � ! &�� ���$ �������� �� �, �� ������ � ��� �����&������ �. ���%�����, � ���! � �������-� �, &�� � �� ��&������ � � ��� � ������! ��� ���! � ����� � � ��� (� �. � �. 11).
2����� � ��� ��!�� ������� , �������� , ���! � , ��� � (�� �������� ������� � ���), ������ � �� �������, �� ���� ! ��� & � ��� � ������� ����� ��-���, ����������� ��� ��� ��� ��&������ � � ���� . ������, ��� ��� ����-����� � ���!���� ������!����� ����������, �������� � ��%������� ����� -�����:
������� ������� : a + b = b + a; ab = ba;
������� ������� : (a + b) + � = a + (b + c); (ab)� = a(bc);
�������� � ������� : a(b + �) = ab + ac,
�� , b � � — $��-�� ������ � ���.
���� ���: 2 3 3 2;+ = + 3 ( 5 ) 3 3 5 .⋅ π + = ⋅ π + ⋅
3��-�� ��� ������ � ��� ��!�� �������� . 1 � � ��� %�� ���� � � -����� ��������� � ������� � ���$��, �� �� ��������� %� � � ! ���� ��-� , � � �������� �������� ���$ . ���� ���,
122 § 2. �������� ����. ��� �����
5,13869... < 5,14308... ,
�� ���� ��� � ����� �������� �� � �������, ������� ��� � �����", ��������# ��� � ��� �� �! ��� � ����".
5. ��� � ��'����, ��)��) �����. � ������$ �������� ������� ��� � ���-������� ������ � ������ ��� ��� �, ��� ����� � ��� ����� � ��� � � � ���-��"���� �� ������ �������. /��� ������� ���!����� ���#� ����� ��-����� ��� � ���"��� � ��� �� ���� ����� ��������, � ����� ��� �� ���� ��-��� ����$ ���������.
3��, ���"������� �����! ���������� ������� �� ���" �� ����, ��-������� ���, ���� ���#��� �����"���� ��� ���� � �� ������ �������«������ ������ ��� �».
*�� ������ ���’����#� ��� � �� �! ���’����� � �������� ����$ ��-������� — ���’���� ��� � �������� �� � � � ����’�������� �������.
-����� ��������� ���" �� �� ���" ��� ����’��� � ���� �� ����-������� ������� ��������, ��� �� �������$ ������� ����������� �� ������� �� ����������� ������� ����-���#� ��������.
(&�� ���! ��� ������� �������� ������� ��� � ���� � � ����� � «(���-�� �����» ���������� ����#����.)
&�����, � ��� ������� ���" ��� ���� ��� �, ������� ���#� �������� 2.&������ ������� ������ ��� ����������#�. ����������, � ������� ��
��� � �, ������� ���#� �������� 2, �����. ������ ��� � � � ��# ��� ���������#� ���-
�� mn , � m — �� ��� �, n — ������ ��. 3���:
2 2;x = ( )2
2;mn =
2
2 2;mn
= 2 22 .m n=
. �������� 2 22m n= ��� ����, � 2m — ���� ��� �. 3��� ��� � m ��� ����
������ (���� ��� � m �� � �������, �� ��� � 2m �� � � �������). %"� m = 2k,
� k — �� ��� �. ���������!� � �������� 2 22m n= ������� m ��� � 2k, �������:2 2(2 ) 2 ;k n= 2 24 2 ;k n= 2 22 .k n= . �������� 2 22k n= ��� ����, � ��� � n2, � � ��� �
16. ������� ����. � �������� �� ����� ����� 123
� ��� n, — �����. -��� � ��� m � n �����, �� ���$ mn ��!�� ����� � �� 2. -�-
�� &� ������� � ����, � ���$ mn �������� �.
-�!�, �� �� ����, � ����� ��&������� � ���, ������ ���� �������� 2, ��-���� ���. +��� ���� �� � � �����!����, �� �����$�� $��� ������ .
�� ��� 1. �������� � ���:�) 2 � 1,415; �) 3− � –1,75; �) 6− � 2,5. � �) �� ��������� ��������� %����� ��: 2 = 1,41421... . -���
1,41421... < 1,415, �� 2 < 1,415. �) �� �������: �% ���� ���’��� � � ��� $��� � � �� � ���, ����� ��-
�� ���� �. -��� | 3− | = 3 = 1,732... , |–1,75| = 1,75, �� | 3− | < |–1,75|,� ���� 3− > –1,75.
�) -��� 6− < 0, � 2,5 > 0, �� 6− < 2,5. �
�� ��� 2. ����� ��$� !��� %������� � ��%� a – b, � � a = 3,10346…, b = 1,78052…, ����� �� ��������� %������� a � b:�) �� ��� �; �) �� � ���� �.� �) a ≈ 3,10; b ≈ 1,78; a – b ≈ 3,10 – 1,78 = 1,32; �) a ≈ 3,103; b ≈ 1,781; a – b ≈ 3,103 – 1,781 = 1,322. �
�� ��� 3. ��� ��� ��� ������������� ������! � ���! � � = {1; 2; 3; 4}. � {1; 2}; {1; 3}; {1; 4}; {2; 3}; {2; 4}; {3; 4}. �
�� ��� 4. * ���� 12 ������ ���� ����� $��� , 10 ������ — ��� ���, 7 ������ — ����� $��� � ��� ���. "�� ������ ���� ����� $��� �$� ��� ���?
� ����� — ���! �� � � ������, �� ���� ����� $��� , � K — ���-! �� � � ������, �� ���� ��� ���. "����� ��� %�$��% �� &� ���! � �� � -����.
124 § 2. �������� ����. ��� �����
.� ������ ����� ����� � ���� ��� ����� 7 ������, ���� ������� # � K����� 7 ��� ���" �����. ���� ��� 12 ������ ����� ����� �����, 7 ���-��� — ����� ����� � ���� ���, �� �! ����� ����� ����� 12 – 7 = 5 (������).:�! ���� ��� ����� 10 – 7 = 3 (�������). ���, ����� ����� ��� ���� ��� ��-��� 5 + 7 + 3 = 15 (������).
���������. 15 ������. !
476. &��� ������� , = {1; –9; 7; 5; 3; 12}. �) .� ��� ���" ����� �� �������� ������� ,?") 0� �� ���� ������� , ��� � 5; ��� � 9? �) 0� � ������� , ����������� ������� N; ������� Z; ������� Q?
477. '�� � ��� 0; –2,5; 3 ; 3 ;7
0,2(3); 2;− π; 0,121122111222... (�� ������
������� � ��� �� ��� ������ ��� �!������ �� 1) � ������� �����? ����-����� �����? %������ ��!� ���� ��� ������� ���" �� ��������� ���"��� .
478. -������ ����� ��� ��������:�) ����-�� ������ �� ��� � � �� ����;") ����-�� ��������� �� ��� � � �� ����;�) ����-�� �� �� ��� � � ������� ����.
479. 0� ����� ���, �:
�) 2 ∈ N; ") 0,(6) ∉ Z; �) 7 ∈ Q; #) 7 ∉ R;�) N ⊂ Z; �) Z ⊂ Q; *) Z ⊂ R; +) Q ⊂ Z?
*��� � � ���(���, �������� � ��� �� ����� �:480. �) 4������ ��!�" !��� ������ ���" ��� ;
") ������� ������ �������� 2 + 4x = 7; �) ������� �� �" ��� , ��� ������ ������ ��������� –3,2 < x ; 2; #) ������� ��!�" �’��� ���� ����$�����#� � ������;�) ������� ���� �����.
16. ������� ����. � �������� �� ����� ����� 125
481. �)'��! �� ���� �� � ��� 6; �) ���! �� &�� � � ���, ����� � � ���� � ��� 3; �) ���! �� ��� ���.
482. 2��� ���! � K = {2; 4; 6; 8; 10}, L = {5; 6; 7; 8}.�) ��� ���, ����! � � �� ����! � �� �!��� �% & � ���! � � ��� 4; � ��� 8; � ��� 9. �) ��� ��� ���! �� ! ���� � � ���������, �� ����!�� ���! �� K, ��� ����!�� ���! �� L.�) ( � ���! �� ! ������! ��� ���! � K? ���! � L?
483. 2��� ���! � � = {5; 8; 11; 14; 17}, " = {5; 9; 14; 20}.�) ��� ���, ����! � � �� ����! � �� �!��� �% & � ���! � � ��� 9; � ��� 14; � ��� 19. �) ��� ��� ���! �� ���� � � ���������, �� ����!�� ���! �� � ����! �� ".�) ( � ���! �� ������! ��� ���! � �? ���! � "?
484. ��� ��� ��� ������������� ������! � ���! � = {�; $; �; �}.
485. ��� ��� ��� ������������� ������! � ���! � � = {2; 4; 5; 7; 8}.
#���� � ������� ������������� ���������� ����� �����:
486. �) 2,6; �) –1,48; �) 6; �) –40;
�) 3 ;8
�) 13 ;9
�) 24 ;11
− �) 13 .12
487. �) 1,5; �) –7,09; �) 52 ;16
�) 71 .30
−
#�������� ����:
488. �) 8,998… � 9,113…; �) –0,382... � 5,117...; �) –32,144... � –12,543...; �) –2,724... � –2,725... .
489. �) 7,351… � 7,452...; �) 0,836... � –2,938...; �) –0,951... � –0,953...; �) –11,531... � –12,938... .
$�� � ����� ��� %�?
490. �) 0,6 � 37
; �) –0,327 � 13
− ;
�) 0,579... � 0,58; �) 2,72 � 2,(72);
126 § 2. �������� ����. ��� �����
�) 1,7 �� 3 ; �) 1,8 �� 3 ;
�) 6 �� –3; �) 5− �� –2.
491. �) 0,75 �� 57
; �) 5,338... �� 5,(33);
�) 213
− �� –1,68; ) –5,(31) �� –5,31;
�) 3,34 �� 10 ; �) 15 �� 226 .
492. ������ � �� ���� � ������ �����: 2,(7); 0,82; –1,95...; –0,03...; 5 .
493. ������ � �� ���� �������� �����: 4,38...; –1,32; 113
− ; 17 ; 4,(89).
�������� � ���:
494. �) 0,7129... � 57
; �) 123� 5 ; �) 2− � –1,4(3).
495. �) 1,5(4) � 15129
; �) –15 � 224− ; �) 7,1(2) � 49,8 .
496. ������ ��������� �������� ������ x – y, �� ������� ���������� ����’����� �� ����, ����:�) x = 0,3849…; y = 1,1020…; �) x = 102,3120…; y = 23,1023… .
497. ������ ��������� �������� ���� x + y, �� ������� ������� �� ����-��, ����:
�) x = 18,4105…; y = 9,9981…; �) x = 0,9018…; y = 0,0799… .
498. ������ � ��� !! ��� ������ ����� �, ��� ���������! �� �����1 " x " 7. #�� �� ������ � ������������ ������� �:�) � = {1; 5; 7}; �) B = {2,5; 4}; �) � = {5; 7,5}; ) D = {7}?
499. $���� � — ������� ���� � ����������, R — �����, K — ���� ���.%� � ������, ��:�) K ⊂ �; �) R ⊂ �; �) K ⊂ R; ) R ⊂ K?
16. ������� ����. � �������� �� ����� ����� 127
500. "���� 28 ��� ���� 18 ��� ���� �������� ��������� �����, 14 — ����&�%��, 10 — ��������� � ����&�%��. "�� ��� ���� ���������� !����� % & � ���?
501. � ������ � �� $�� � ������ %��$ � 30 $�����. 4 �� ����, � ������������� � � 20 $�����, ������� �� $��� — � 8 $�����. * ����� $��-��� � $��� ������ ?
502. 2������, �:�) ����, ��%� &�, ��$��� � ����� ���� ��&������ � � ��� � ��&�����-� � � ����;�) ���� ��&��������� �� ����&��������� � ��� � ����&������ � � �-���.
503. ( ��!� ����, ��$��� ���� ����&������ � � ��� $�� ��&������ �� ����?
504. 2������, � %����� � ��� � ����&������ �:
�) 3 ; �) 2 3+ .
505. * ���� 33 ���� ���� ��������� �� ����� ��� ��&��: ���$����%�������� 20 �����, $����$���� — 11, �����$���� — 14, ���$���� �$����$���� — 5, ���$���� � �����$���� — 6, ���$����, $����$���� ������$���� — 2. "�� ����� %�������� � �� $����$���� � �����-$����?
506. �������� �� �������:
�) 2( ) ;mn �) ( )2
;mn
�) ( )23 ;m �)25
23 .2mn
� �−� �� �
507. ������� %������� � ��%� 2 3a − , � � = 5; = 1,4; = 1,6.
128 § 2. �������� ����. ��� �����
508. &�� � ��������� ��������� ����!� � � ������ A �� ������ B, ���-����� ��� ����� �������� 78 ��. 6�������� ���#�#� � ��������� ��2 ��/#�� �� �!�, ��� !�������� ��!�#�. ������!� �� ������ B, ���-#� � �������� ������ � ����!�� ����� �, ���$"��!� 4 ��, ���������!�#� � ���������. .�� ���� !�������� ���#�#� � ���������.
509. 0�� ��!� ����� ��� � ����� ����������� �����, � ��� ���#� — ��������� ���� � ��� ��. 0��, �� ��� ���������� ��� � ��� ��!������, � 2,5 ���� ��!� ��� ����, �� ��� ���������� ���� � �����#���� �� ��� ���#� �����. '�� �������� ������ ����� ���������, ����� � ����� ��������� �� 12 #��. .� ��� ��� ����� ��������� ��-� �, �������!� �! ��!� �����?
510. 2�� ��� ��������� � ���� � ������ ������ ������� 1 × 50: 14 � ���-��� — � � �� �� ��, 12 — � ������ � 10 — � ���� . ����� ���, ������ ��� ����������� � ������ �����#� �� ���� � ������ ���� � ��-���. &������, � ���� ��� ����������� � ������, ������� ������,����� ���� �� ��.
%�#������ ��������, �� �� �������� �������� 81 9.= ���� ��� 1) ���-�� ������� �������� � ����’����� ��� �� (9 ≥ 0) � 2) ������� �����$ ��������������� ����������� ������ � ��� ������� (92 = 81), �� �������� 81 9= ������ ����. 3��� ���������� ������������������ � � ������� � ������-�� ����������#� ���������#� �����, ������ ������" � ��# ��� ����.
1. ���������� �����$ ' ��",��,.)������ 1. ���������� �����$ ' ��",��, ���0 �����’*&��0 &��+����� ��-
����(* ��",��, ���������0 ������� �' -�0 &��+�����:
)�/� � ≥ 0 � b ≥ 0, �� ab = .a b⋅
17. ��������� ���� ������ ��������� ����� 129
���������. 1) ������ a � b � ≥ 0 � b ≥ 0 ��� � ���� . �������
a ≥ 0 � b ≥ 0, � a b⋅ ≥ 0.
2) ( )2a b⋅ = ( ) ( )2 2
a b⋅ = b.
� ��, ����� a b⋅ ������� �����’����� �������, � ������ ����� ����-
�� �������� ab. ���� ������ � ab a b= ⋅ � ���������. �
�������, 25 49 25 49 5 7 35.⋅ = ⋅ = ⋅ =
������� ������ ������ 1, ����� ������� � ������ ��! ������ � ��-�� ��, ��! ��� � � �� � ���"� �����’���� ��������. �������, �#� ≥ 0, b ≥ 0, ≥ 0, �:
abc = ( )ab c = ab c⋅ = a b c⋅ ⋅ .
$�����, ���� ��� ������ � ���� �� ������� �����’����� ����������������� ���� �� ���� ��� ������� � ��� ���������.
2. �������� � ��� �� �� ��.���� � 2. �������� � ��� �� �� ��, ������ �� � � ����’���, �
����� — � ����, � ����� ������� �� � ��� � �����-��, � ���� �� � �������� � ��� �� ������:
��� � ≥ 0 � b > 0, � .aab b
=
���������. 1) ����� ab� ≥ 0 � b > 0 ��� ���� . ������� a ≥ 0 �
b > 0, � ab
≥ 0. 2) 2
ab
� �� ��
=( )( )
2
2
a
b= .a
b� ��, ������ � aa
b b= � �����-
����. �
�������, 2525 5 .49 749
= =
3. �������� � ��� �� ������.���� � 3. �������� � ��� �� ������ �2n, �� � ≥ 0 � n — ��������
��� , � ����� �n:2na = .na
5* �. %������. &�����. 8 �.
130 § 2. �������� ����. ��� �����
)���!����. 1) ���� ��� � ≥ 0, �� �n ≥ 0. 2) ( )2 2 .n na a= ���, ��������
2n na a= � ����� ����. !
%����� ��, 4 25 5 25.= =
4. ����+����$ 2 =a a . &�����, � � � ����-���#� ������� � ��-
��������� ��������:2a = .a
+������, ����� a ������� ����’����" ������, � ������� ���#� �������������� �2 (��� a ≥ 0, �� |a| = a � (|a|)2 = a2; ��� a < 0, �� |a| = –a � (|a|)2 == (–a)2 = a2). ���, �������� 2a a= � ����� ����.
%����� ��, 21,8 1,8 1,8;= = 2( 35) 35 35.− = − =
� ���� 1. .�� �� ������� ������:
�) 36 0,16;⋅ ") 128 18;⋅ �) 12 3.⋅
! �) 36 0,16 36 0,16 6 0, 4 2, 4;⋅ = ⋅ = ⋅ =
") 128 18 (2 64) (2 9) 4 64 9 2 8 3 48;⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
�) 12 3 12 3 36 6.⋅ = ⋅ = = !
� ���� 2. .�� �� ������� ������ 3 .75
! 3 3 1 1 .75 25 575
= = = !
� ���� 3. .�� �� ������� ������:
�) 41,5 ; ") 60,1 ; �) ( )2 25 3− + .
! �) 4 21,5 1,5 2, 25;= =
17. &��������� �����������(� ��������(� ����� 131
") 6 30,1 0,1 0,001.= =
�) ( )2 25 3− + = |–5| + |3| = 5 + 3 = 8. !
� ���� 4. +�������� ����� 2 24 ( ) ,−a b � a ≤ 0, b ≥ 0.
! 2 2 2 24 ( ) 4 ( ) 2 · 2 · ,a b a b a b a b− = ⋅ ⋅ − = − = �� .b b− =
���� ��� a ≤ 0, b ≥ 0, �� ,= −a a .=b b 3��� 2 2( ) 2 .a b a b ab= − = − !
� ���� 5. .�� �� ������� ������ 29 6 1a a+ + , ��� a = –5; a = 0,7.
! 29 6 1a a+ + = ( )23 1a + = |3a + 1|.
'�� a = –5, �� |3a + 1| = |3 · (–5) + 1| = |–14| = 14. '�� a = 0,7, �� |3a + 1| = |3 · 0,7 + 1| = |3,1| = 3,1. !
*��"!� � �������� ������:511. �) 16 25;⋅ ") 81 4;⋅ �) 2 2;⋅ #) 2 8.⋅
512. �) 36 ;49
") 64 ;81
�) 8 ;2
#) 45 .5
513. �) 22 ; ") 42 ; �) 62 ; #) 82 .
514. �) 212 ; ")22 ;
3� �� �
�) 2( 3) ;− #) 2( 1,1) .−
*��"!� � �������� ������:
515. �) 16 49;⋅ ") 121 81;⋅ �) 0,04 36;⋅
#) 2,25 0,16;⋅ �) 1,44 0,25;⋅ �) 441 0,01;⋅
*) 9 25 64;⋅ ⋅ +) 4 81 625;⋅ ⋅ ') 0,36 225 16.⋅ ⋅
132 § 2. �������� ����. ��� �����
516. �) 25 81;⋅ ") 36 144;⋅ �) 0,09 49;⋅
#) 3,24 0,25;⋅ �) 9 16 25;⋅ ⋅ �) 64 0,04 225.⋅ ⋅
517. �) 49 ;81
") 196 ;225
�) 13 .16
518. �) 25;64
") 121 ;289
�) 214 .25
%�!�" � ����� � ��&�!� !��� �� �������:
519. �) 2 7;⋅ ") 21; �) 5 .a
520. �) 8 3;⋅ ") 35; �) 8 .b
%�!�" � ����� � ��&�!� ��� �� �������:
521. �) 3;5
") 8 ;17
�) 2 .a
522. �) 6 ;7
") 11;17
�) .5b
*��"!� � �������� ������:
523. �) 32 2;⋅ ") 3 27;⋅ �) 50 0,5;⋅
#) 12 0,03;⋅ �) 1 5;5
⋅ �) 5 2 .6 15
⋅
524. �) 24 ;6
") 11 ;99
�) 3 24 .2
⋅
525. �) 20 5;⋅ ") 2 72;⋅ �) 2,5 40;⋅
#) 3 2 ;8 3
⋅ �) 18 ;2
�) 6 2 .3⋅
526. �) 45 ; ") 63 ; �) 41, 2 .
527. �) 43 ; ") 82 ; �) 60, 2 .
17. &��������� �����������(� ��������(� ����� 133
528. �) 289 48;− ") ( )22107 107 ;+ − �) ( )222 3,8 3,8 .⋅ − −
529. �) 2100 99 ;− ") ( )2267 67 ;− − �) ( )221,9 1,9 .+ −
*��"!� � �������� ������:
530. �) 18 32;⋅ ") 360 90;⋅ �) 27 75;⋅
#) 250 0,036;⋅ �) 4,9 22,5;⋅ �) 15 21 35.⋅ ⋅
531. �) 250 160;⋅ ") 28 63;⋅ �) 0,08 0,72.⋅
532. �) 45 125;⋅ ") 48 27;⋅ �) 0,4 490;⋅
#) 640 810;⋅ �) 32 0,08;⋅ �) 22 14 77.⋅ ⋅
533. �) 2 229 20 ;− ") 2 265 16 ;− �) 2 220,5 4,5 .−
534. �) 2 220 16 ;− ") 2 252 48 ;− �) 2 26,5 2,5 .−
535. �) 4 428 22 ;− ") 10 22 ( 2,5) ;+ − �) 4 21,8 ( 1,8) ;− −
#) ( ) ( )2 23 6 ;+ − �) ( ) ( ) ( )22 28, 4 0,5 4,5 .− ⋅ − −
536. �) 8 44 1,6 ;− ") ( )22 2( 6, 4) ( 5) 32 ;− ⋅ − −
�) ( ) ( )227 3 ;− − #) ( ) ( ) ( )2 2290 135 0,6 .+ − ⋅
537. �) 316 ; ") 59 ; �) 2 38 4 .⋅
538. �) 54 ; ") 325 ; �) 3 29 3 .⋅
134 § 2. �������� ����. ��� �����
#���� � � �����:
539. �) 2 2 ,a b � � ≥ 0, b ≥ 0; ") 2 2 ,a b � � ≥ 0, b ≤ 0;
�) 4 64 ,x y � � < 0; #)2
825 ,m
n� ≥ 0;
�) 2 4( ) ,a b− � � < 0; �) 2 20,04( ) ( ) ,x y− − � � > 0, y < 0.
540. �) 4 2 ,a b � b < 0: ") 10 636 ,a b � � < 0, b ≥ 0;
�)2
8 ,xy
� � ≥ 0; #) 2 249( ) ,x y− � � ≥ 0, � ≥ 0.
*��"!� � �������� ������:
541. �) ( )22 3b − , ��� b = –6; b = 1,6; ") 2 2 1a a− + , ��� a = –8; a = 2,7;
�) ( )210 3 10;− − #) ( )2
21 21 5 .+ −
542. �) ( )27b − , ��� b = –1; b = 9,2; ") 2 4 4x x− + , ��� x = –3; x = 1,4;
�) ( )22 5 5;− − #) ( )2
4 15 15.− +
543. �) 1 4 2 5 21 4 ;7 7 5 7 7
⋅ − ⋅ ⋅ ") 2 28 98 9 225 .
125 45 425 200⋅ ⋅−⋅ −
544. �) 7 31,8 5 ;9 5
⋅ ⋅ ")2 212,5 3,53 11 5 .
8 2 2 128−⋅ −
⋅
545. .�� ���� ������� �����, � ������������ �� ��� ������:�) 139876; ") 331776..�������. 2��� ����� ��� �, � ���#� �������� ������ ������, �� ��������. %�-���� ��, 28224 4 4 4 9 49 2 2 2 3 7 168.= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
546. & � ���" ������ � � ����� ���� ��������:
�) 6 3;x x= ") 6 3;x x= −
�) 8 4 ;x x= #) ( )22 ;x x=
�) 22 2 ;x x= �) 22 2 ?x x= −
17. &��������� �����������(� ��������(� ����� 135
547. &������ ����������:
�) 4 2 22 1 1;a a a+ + = + ") 2 2 1 1.+ + = +x x x
548. +�������� ����� 4 2 4 24 4 1 6 9.x x x x+ + − + +549. 2���’����� ��������:
�) 2 4 ;x x= − ") ( )22 2 1.x x= −
550. ������ � #����� ������$:
�) 2 1;y x= − ") 2 .y x x= +
551. 2���’����� ��������:�) (� + 1)(� – 2) + 3� = �2; ") 3�(1 – 2�) + �(6� + 1) = 1;
�) 23 0;
2 3x
x x− =
− −#) 1 4 1.
1 2x x+ =
− +552. +�������� �����:
�) 3(2� – 1) – 2(� + 5); ") ( )2(3 5) (2 3 ) 2 3 ;x x x+ + − +
�) 2
2 2 ;3 3
xz yzxy y
−−
#)2
22 2 .
2 1a ab a b
a a− + −
+ +
553. .�� ���� ������� ������ |x| + |y|, ���:�) � = –3; � = –8; ") � = 2; � = –1,8.
554. 0� ����� 85 �������� ���� ��� �� ��� #���� ���, �� � ���#� #���� ��- � ������ �� �! ��������, ��� � ��!� , � � ���� — ������ �� �!, ���� ���#� ?
555. . ����� A �� ����� B, �������� ��� ����� �������� 42 ��, ��$"�� ������-�� �������� �, � ��� 6 "� — #���� . &� ����� B �������� � ����� ����������. .�� ���� !�������� �����#� �������� �, ��� !�������� #����#� � 1,2 ���� �� �!� ��� !�������� ��������#�.
556. - ����� ��!��� !���������� ���$�� ��!��. .� ���� "�� ����-��� ��-!�� ����� ��������� � ������� ��!���. 0� ����� ������� ��� ��!-�� � ���� ��!��� ����� �� 28 "����?
136 § 2. �������� ����. ��� �����
1. ��� �����1� ����������). 2��# ���� ���������, ���’����� �����������, �����������, ��������, �� ���� � ��������� �� ����� ��-�����, ��� ������� ��������� �����:
3 2 4 2 7 2;+ = 2 3 ;a a a+ =
5 3 3 3 2 3;− = 2 4 2 ;b b b− = −
4 2 5 3 20 6;⋅ = 4 ( 2 ) 8 ;a b ab⋅ − = −
( ) 15 615 6 : 3 2 5 3;3 2
= = ( ) 1010 : 5 2;5
xx xx
= =
( ) ( )2 224 2 4 2 16 2 32;= ⋅ = ⋅ = ( ) ( )2 222 2 4 .a a a= ⋅ =
2. ��������) &��+���� '- �� '���� �����). 2��# ���� ���������:
18 9 2 9 2 3 2.= ⋅ = ⋅ =
������� ��������� ��������� ���������� ���(���� �-��! �����������. - ������ ������� ������ �-��� ����� ����� ������� 3.
������ ������� �-��� ����� ����� � ������" 23 ,b � b > 0, ��224 ,a � � < 0:
2 23 3 3 3b b b b= ⋅ = ⋅ = (��� b > 0, �� b b= );
2 224 4 6 2 6 2 6= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = −a a a a (��� � < 0, �� = −a a ).
3. �������) &��+���� �� '��� �����). 2��# ���� ���������:
3 2 9 2 9 2 18.= ⋅ = ⋅ =3�� ��������� ��������� ��������� ���(���� ��! ���� ������. .�-
�����!� ����� 3 2 �� ����� 18, �� ��� � ��� ���� ����� ������� 3.
18. )���$� ������������ ������, � ������ ������� ���� 137
����� ������� ��� ���� ����� � ������ 3,a � � > 0. ���� ���
� > 0, �� 2 .a a a= = 3��� 2 23 3 3 .a a a= ⋅ =
����� ������� ��� ���� ����� � ������ 2,c � c < 0. ���� ���
c < 0, �� ,c c= − ������ 2 .c c c= − = − 3��� 2 =c 2 22 2 .− ⋅ = −c c
4. 2���$����) ��� ����-�����$����� , '��&�����, �"� �����$���,���",. 2��# ���� ���������, ��� ����� ���� ��������� ������ � ���-������" ��� ��� �����" ������:
2 5 2 52 ;55 5 5
⋅= =⋅
3 3 3 3 1 ;6 6 3 6 3 2 3
⋅= = =⋅
( )( ) ( )2 2
6 2 6 2 6 2 6 21 .6 4 26 2 6 2 6 2 6 2
+ + + += = = =−− − + −
�������� ��������� ��������� ���������� ��! ������������� � ����������� ��� ��������� !����. /��� ��� ��������� ��������� ��������� ��� ����� � ��������� ����� �� ���� �����.
� ���� 1. +�������� �����:
�) 18 8 50;+ − ") ( )( )2 3 3 2 3 3 ;− + �) ( )23 2 2 6.− +
! �) 18 8 50 9 2 4 2 25 2 3 2 2 2 5 2 0;+ − = ⋅ + ⋅ − ⋅ = + − =
") ( )( ) ( )2 22 3 3 2 3 3 2 3 3 4 3 9 3;− + = − = ⋅ − =
�) ( )23 2 2 6− + = ( ) ( )2 2
3 2 3 2 2 2 6− ⋅ ⋅ + + =
= 3 2 6 2 2 6− + + = 5. !
� ���� 2. 2��� ���� �� ��������:
�) 18 6;− ") ;m m+ �) � – b, � � > 0; b > 0.
138 § 2. �������� ����. ��� �����
! �) ( )18 6 6 3 6 6 3 6 6 3 1 .− = ⋅ − = ⋅ − = −
") ����� m m+ ��� �����, ��� m ≥ 0. & � ����" ������ ��������-
����� �������� ( )2,m m= ����:
( ) ( )21 .m m m m m m+ = + = +
�) -��"����!�, � � > 0, b > 0, �������:
( ) ( ) ( )( )2 2.a b a b a b a b− = − = − + !
� ���� 3. +�������� �����:
�) ( )( ) ( )4 4 1 ;a a a a− + − − ")2 3 .
2 2 3bb
−+
! �) ( )( ) ( )4 4 1a a a a− + − − = ( ) ( )2 216a a a− − + = 16.a −
") 2��� ��!� ��� ���� � �������� ����� �� ��������, �������:
( )( )
( )( )( )
222 3 3 3 33 .
22 2 3 2 3 2 3
b b b bbb b b
− − + −− = = =+ + +
!
� ���� 4. +�������� ����� 1 2 .3 2 3 1
+− +
! .�� ����!��� ��� ��������� ������ � ���������" ������, �������:
1 23 2 3 1
+− +
= 2( 3 1)3 2( 3 2)( 3 2) ( 3 1)( 3 1)
−+ +− + + −
=
= 2( 3 1)3 23 4 3 1
−+ +− −
= 3 2 3 1− − + − = –3. !
557. +�������� �����:
�) 3 7 2 7;+ ") 9 3 4 3;− �) 5 2 5;−
18. )���$� ������������ ������, � ������ ������� ���� 139
#) 2 2 3 5;⋅ �) ( )22 2 ; �) 3 2 : 2.
.����� � ���(��� �-��! ����� ������:
558. �) 50; ") 48; �) 160; #) 300;
�) 108; �) 363; *) 375; +) 147.
559. �) 8; ") 45; �) 250; #) 192.
.���� � ���(��� ��! ���� ������:
560. �) 3 2; ") 4 3; �) 2 11; #) 9 10;
�) 4 0,1; �) 0,1 3; *) 12 ;2
+) 1 2.2
561. �) 4 5; ") 3 7; �) 0, 2 10; #) 13 .3
#���� � � �����:
562. �) 12 3 4 3;+ ") 2 3 2 5 2;− + �) 4 7 3 2;⋅
#) ( )23 3 ; �) ( )4 2 : 2 2 ; �) ( )18 15 : 6 5 .
563. �) 2 5 7 5 5;+ − ") ( )23 8 5 2 4 2 ;⋅ − �) ( )10 10 : 2 5 .
564. �) 2 3 4 2 3 6;⋅ − ") 2 8 3 2 5 2;⋅ − ⋅
�) ( )3 3 12 ;+ #) ( )3 2 18 2;− ⋅
�) 2 3 75;+ �) 3 6 24;−
*) ( )( )5 2 5 1 ;+ − +) ( )( )4 7 4 7 ;− +
') ( )23 1 2 3 ;− + �) ( )2
2 5 .−
140 § 2. �������� ����. ��� �����
565. �) 2 8 3 2 12;⋅ − ⋅ ") ( )5 20 5;+ ⋅
�) 32 2 2;− #) ( )( )3 1 3 5 ;− +
�) ( )( )7 2 7 2 ;− + �) ( )25 2 4 5.+ −
566. �) 2 3 ;+ −a a a ") 4 3 2 ;− − +x y x y
�) 4 9 49 ;− +c c c #) 3 2 18 .−a a
567. �) 4 9 ;−b b ") 25 16 64 .+ −x x x
*����� ��� ��! ������������� � � ���������� (���������) !����:
568. �) 3 ;5
") 7 ;7
�) 3 ;3
#) 6 ;3
�) 1 ;a
�) ;ab
*) ;2a +)
2.
2a
a
569. �) 1 ;2
") 3 ;3
�) 2 ;4
#) 10 ;5
�) 2 ;a
�) 3 ;bc
*) ;bc +)
22 .bb
#���� � � �����:
570. �) ( )( )1 2 2 2 2 18;+ − + ") ( )26 1 2 12 : 2;− +
�) ( )( )3 2 2 3 3 2 2 3 ;+ − #) ( )22( 5) 3 2 ;− − +
�) 1 5 1 5 1;2 2
− +⋅ + �) ( )6 2 : 8 32 : 2 2 .−
571. �) ( )( )3 1 2 3 1 27 ;− + + ") ( )2 36 3 6 ;− +
18. )���$� ������������ ������, � ������ ������� ���� 141
�) ( )( )2 2 3 3 2 2 3 3 ;+ − #) ( )28 50 : 4 2 7 .−
572. �) ( )2 3 3 ;a a a− + ") ( ) ( )( )22 2 2 ;x x x+ − − +
�) ( ) ;a a b ab+ − #) ( )( ) ( )2.+ − +a a a a a
573. �) ( ) ( )2 21 ;a b ab− + + ") ( )( ) .m n m n n− + +
.����� � ���(��� �-��! ����� ������:
574. �) 248 ,a b � � > 0; ") 20,09 ,xy � y < 0;
�) 4 22 ,a b � b > 0; #) 30,64 ;b
�) 3 68 ,x z � z < 0; �) 3 632 ,ab c � b > 0, c > 0.
575. �) 249 ,ab � b < 0; ") 2 31, 44 ,a b � a > 0;
�) 4 218 ,x y � y < 0; #) 3 30,04 ,x y � x > 0, y > 0.
.���� � ���(��� ��! ���� ������:
576. �) 2 3a , � � > 0; ") 1 ;b b �) 23 ;x x
#) a ab , � � > 0; �) ( )1 1;c c+ + �) a a b+ , � � > 0.
577. �) 5c , � c > 0; ") 2 1 ;n n�) 2 ;b b
#) ab a , � b > 0; �) 1x x + , � x > 0; �) ( ) .n k n k+ +
*����� ��� ��! ������������� � � ���������� (���������) !����:
578. �) 2 ;3 1−
") 1 ;5 2+
�) 14 ;3 2 2−
#) 2 3 1;11
−
�) 1 ;m n−
�) ;3
aa −
*) 1 ;x x+
+) 2 .2 3b +
142 § 2. �������� ����. ��� �����
579. �) 2 ;5 1+
") 7 3 ;4− �) 1 ;
7 3−#) 8 ;
3 2 4+
�) 1 ;x y+
�) ;1
cc−
*) 2 ;a a−
+) 3.bc−
'����!� � �� ���(����:
580. �) 6 2;− ") 5 5;+ �) 15 35;−
#) 2 ;a a− �) ;b b+ �) 2 6 ;−x x
*) �2 – 3; +) 5 – 4�2; ') � – 6, � � ≥ 0.
581. �) 12 3;+ ") 6 6;− �) 21 15;−
#) 3 2 ;x x− �) ;c c− �) 4 2 ;+b b
*) �2 – 5; +) 2 – 9�2; ') 7 – b, � b ≥ 0.
#���� � � !���:
582. �) 14 2 ;7 1−−
") 24 3 ;2 3
− �) 3 3 ;21 7
++
#)2 2 ;
2xx
−−
�) 25 ;5
aa
+−
�) 2 2 3 .3b
b+−
583. �) 3 15 ;2 2 5
++
") 5 5 ;5− �) 2 3 2 ;
3 2−−
#) 27 ;7
aa
+−
�)2 2 ;2
xx
−−
�) 5 .5
mm
−+
)���!� �, ��:
584. �) 3 2 2 2 1;+ = + ") 11 4 6 3 2 2.+ = +
585. �) 7 4 3 3 2;+ = + ") 7 2 10 5 2.+ = +
#���� � � �����:
586. �) 1 1 ;2 1 2 1
+− +
") 1 1 ;3 3 2 3 3 2
−− +
18. )���$� ������������ ������, � ������ ������� ���� 143
�) ;ab ba b
−−
#)( )( )
−− +
x yx xy y xy
(� > 0; � > 0).
587. �) 1 1 ;5 2 5 2
−− +
") 3 2 4 2;2 1
+ −+
�) 2 ;2
m mm
−−
#) .x xy xy xy y
+−
+
588. +�������� �����:
�) 9 4 5;+ ") 4 2 3;−
�) 1 1 1 1...1 2 2 3 3 4 99 100
+ + + ++ + + +
;
#) 2 ;a b ba ba b a b
+ −−+ −
�) :xy yxyxyx yx xy
� � −−� �� � −+
(� > 0; � > 0).
589. &������ ����������
+ ++ − =−− +
m n n m m nm nmn m mn n mn
(m > 0; n > 0).
590. &������, � ������� ������ � ������ ���� ��� ��:
�) 3 19 8 3 ;+ − ") 7 4 3 7 4 3;+ + −
�) 3 2 3 2 .3 2 3 2
− +++ −
591. ������ ������� ��� ���� �����:
�) 1 33
a , � � < 0; ") 1ab ab− , � � > 0, b < 0.
144 § 2. �������� ����. ��� �����
592. .�� ������� ��� ��������� ������ � ��������� �����:
�) 1 ;1 2 3+ +
") 1 .5 2+
593. 2���’����� #������� �������� �2 = –2� + 3. 594. .�� ���� ���������� ����� ������ ������ � � = �2 � �����$, ��� ���-
"����� ��� ����� (0; 3) � (–1,5; 0). 595. +�������� �����:
�)2
2 25 4 2: : ;
39 3ab ac c
bc ab� �� �
")22 4 4 62 8: .
5 15m n m n
k k� � � �− −� � � �
596. 0� ��� ������� ������ ( ) 24:
4 4 16x x x
x x x−
+ − −����������� 1?
597. �������� ��� ����� ������� � ���� ��� ���� ���� �� ����� ������� 16 "� !���!, ��� ����� ���$. .�� ���� �� ��������, ��� !��������� ���� � ������ ���� �������� 60 �/"�, � !�������� ���$ ����� — 40 �/"�.
598*. +� �� ���� �����, ��#� ��� ���� ���#� �������� 1,5 �#, ������� 40% ����. +�� ��� #����� � ��� �������� ������ �� ���#� �� ���, �� ���-���� ���� �� ��, ��� ������ �� 30% ����?
599. %� ��!�� �������� 99 ������ ���" ��� . &������, � ����� ��������� � ��" ���, � ���� ��� , ��� �� �!�����, ��� ������.
19. ������� y x = 145
���� ���� ���� S ��� �, �� ��� ���������� ���� ��� ��� � �-�� ��� ������� �� ���� .a S= �������� ������ ������� ����� S ��������� ����� ������� ��� ��� �, �� � � ���� ��� ��� S. !� ��"��"� �� � ������� �������� ���� �# � ������, ���� ���� �� .y x=
$� � x � ����, ���� � ≥ 0. %�� �&���� ��������� ���� �# y x= � ����� ���� �����’���� ������� �����.
!�&����� � ��� ���� �# ,y x= ����"� �&�� � ��� ������� ��-
���� � � ����������� ������ �:
� 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9 � 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
!������ � ��� ������� ������� �����, ��� ����� ���� ����� � �&�� � (���. ��. 12). ��&� ��� ������� �����’����� ������� � �&������� ���������� ������� � � �������� & ����� � ���� ��� ����� � ��� ��-
����� �������, �� ��� ��� & �����, �� � � ���� ���� �# =y x ( ��. 13).
���. 12
���. 13
146 § 2. �������� ����. ��� �����
������ ����� � = �2, � � ≥ 0, �������� ������ ������ ��������. ���-��� ����� y x= ���� �� �����, ���� � ����� ��� ����� �����������
������ ������ � = � (���. 14). ���� � ����� ����� y x= �������� ��-��� ��� ���.
���. 14 !���� y x= ��" ���� �����������:
1. � ���� ���������� ������� � ������� ���� �����’����� ������� �����.2. � ���� ������� ������� ��� � ������� ���� �����’����� �������
�����. #������, ��� � ����� y x= ������ ���� ���’"����. $ ���
� ��� ����-�� ���’"� ����� " ��� �� �����. %��������, ����� 10 "
��� �� ����� y x= ��� ��� � �� �� �� � = 100.
3. ������� ������� � ����� ��� ���.4. !�"� � = 0, �� � = 0, ����� #����� �������� ����� ������ ������-
���. ������ �����&����� � � �&�� �� ��� ���������� ������.
�������� .x a= '�� �� �� ����� ,x a= � � — � �� �����.(��� � ≥ 0, ��, �� ���� �� ����� ���� � �������� � ��� �, �������
x a= ��� ��������� ��& �� �����, �� � = �2. $ ����� ������� ����� ��""���� ����� � = �2.
19. ����� y x = 147'�� � < 0, �� �������� ������ � ���, �� ���������� ��������� ������ �
��� ����������� ���’������ ��� �.
���, �������� :x a=1) ��� ����� ������ � = �2, ��� � ≥ 0; 2) � ��� ������, ��� � < 0.
%����� ��, �������� 5x = ��� ����� ������ � = 52 = 25; �������� 2x = −� ��� ������.
2������� =x a � ���� ���� ��������� ���#� �������� (��� ��������� ������������, � ����� ������ ��������� ��� ������ �����). '�� � ≥ 0, �� �#� �����
����’����� ! �"�� �������� ���" ������ �������� �� ��������: ( )22;=x a � = �2.
� ���� 1. 2���’����� ��������:
�) 3 12 0;x − = ") 2 4 0;x + = �) 3 2 1.x + =
! �) 3 12 0;x − = 3 12;x = 4;x = � = 16. ���������. 16.
") 2 4 0;x + = 2 4;x = − 2x = − — �������� ������ � ���.���������. /����� ����.
�) 3 2 1;x + = 3� + 2 = 1; 3� = –1; 1 .3
x = −
���������. 1 .3
− !
600. -������ ����� ��� ��������:
�) �� ���� ������ ������$ y x= � ������� ���" �������" ��� ;
") ������� y x= ������� �! ����’����" ������;
�) #������� ������$ y x= � ����� ������ �;
#) ����� (16; 4) �� ���� #������ ������$ y x= .
148 § 2. �������� ����. ��� �����
601. 0� ������� #����� ������$ y x= �����: � = 3; � = –5?
602. %� ������� 15 �������� #����-
�� ������ � = –� + 2 �� .=y x
�) & � ���#� ������� � ������$��������� ��#� ����#� �����-��? 0��� �������� � �������?") +�� ��� ������ ��� ��������
x = –� + 2? -������ �� �����.
���. 15
603. /����������� #������� ������$ y x= (���. 13), ��� ���� �������������$, ��� ������������ ����� �������� ��#�����: 3; 2,5; 0,75; 5.
604. )������ ������ ����� �� .y x= .�� ���� �, ��� � = 1; � = 2; � = 2,5.
605. )������ ������ ����� �� .y x= .�� ���� �, ��� � = 1; � = 4; � = 9.
606. /����������� #������� ������$ y x= (���. 13), ��� ���� ������� ��-#�����, ���� ������������ ���� ������� ������$: 1,5; 0,5; 2,25.
607. 0� �� ���� #������ ������$ y x= �����: A(50; 5); B(36; 6);#(6,25; –2,5); D(3; 9)?
608. 0� ���"����� #����� ������$ y x= ��� �����: A(225; 15); B(4; –2); C(12,25; 3,5)?
609. ������ � #����� ������$ ,y x= � 1 ≤ � ≤ 9.
610. ������ � #����� ������$ ,y x= � 0 ≤ � ≤ 4.
611. /����������� #������� ������$ ,y x= ������� � ��� �:
�) 3,5 � 5; ") 5 � 2,5.
19. ����� y x = 149
612. <����� ������$ y x= ���"����� ��� ����� � �������� 25. .�� ������������ ���$ �����.
613. -������ ��� �� � ������� �, � � ���" ������� ������$ y x= ��!���� 6.
'���’�(� � &������� ��������:
614. �) 0,5 0;− =x x ") 8 .=xx
615. �) 3 1;x x+ = + ") 2 .=x x
'���’�(� � ��������:616. �) x = 1; ") x = 8; �) x = –4;
#) 1x − = 2; �) 3 2x + = 4; �) x + 9 = 7;
*) 0,09x − = 0,9; +) 2 1x − = 1; ') 2 5x + = 2.
617. �) x = 10; ") x = –2; �) 3x + = 2;
#) 2 5x − = 0,2; �) 2 2x + = 1; �) 2 3x + = 2.
618. .�� ���� ���������� ����� ������ #������� ������ :�) y x= �� � = � – 12; ") y x= �� � = 2� – 6.
619. ������ � #����� ������$:
�) 2 ;y x= ") ( )2;y x= �) .xy
x=
620. 2���’����� #������� �������� .x x x=
621. & � ���" ������ � �������� 2 1x a+ = ��� ���� ������?
622. &������, � �������� � ��� ������:
�) 22 2;x x x= − − ") 1.x x+ − =
623. 2���’����� ��������:�) ( )2 2 0;x x− + = ") ( )1 2 0;x x+ − =
�) 2 2 0;x x x+ + = #) 2 42 16 0.x x x− + − =
150 § 2. �������� ����. ��� �����
624. +�������� �����:
�) ( ) 21 ;1
a aaa a
−− ⋅+
") ( )3 2 5: .2 3 3
b bb b b
− −−+ + +
625. 2���’����� ��������:
�) (x – 5)(x + 5) + 3x = –x2 – 25; ") (2x – 3)(x + 2) = x2 + x.626. .� 100 �# ����!������#� ������� ��������� a �# � �$. +�� ��� � �$
��������� � 450 �# ����#� �������?627. - ����� ������������ ��#����� � 750 ������� ��������$, � ����� —
780 �������. %� ��� ��� ��������� ��� �!� ��� ����������� ��������$ � ����� ��������� �� �����?
628. 3�� �� � ��� � �, b, � ������ � � �����. ��� ���� ��� ��� ������ � ������� �� ��� � – b, b – �, � – �. 0�� � �����#� ����� ��������� � ��� ���#�#� ����� �� ��� ����� ����� �� � �. �. &������, � ��� ��� �����"����$ ��� �� ��� ��!�#� �����, ��� ��� ������, � �����!�-���� ���� �����#�, � ��� ��������� ��� ��� � 1000, ��� ��� � 1001.
0�� � � ����� � �� ��#� ���!�" ������ ���������. +������� � ��-����� ���’����� ��� �� ��� � �������� �����"���� ��� �����������. +���� �� ������ ����� � � ������������� ��� ������ ��� ������� ��� �, �� ��-#� � ������� ��� � ���# ��� ��� �� ��� �� �����!��� ������ ���".
%����� ��� ��� � �� �� �! ������ � ����#��� ��� — ����� � ��� ����-����� #������#� ������#�����#� ��������� � �� ����� 5�%�#���, ��� ��� �� ��� VI–V ��. �� �. . ����#��� �� ����� �, � �� �� ����� ��������-����� �������, ��� ����� ������� ������ ����� ��� ��� �� $"���� �����-!�����. .����� ������� � ��� ��� �, � � � �������� ����� �������� �����-
*��� ����� 151
�� ������ ��� ��� �. ���� �#���� ����#��� �� �’����� �, � ������ $� ��� �� ���� �� ���� ���, �� �� ������#�� ��" � ����� ��������, ������ ��,������� ���#��� � �������� �� �������� 1. 3 ����$���� ��� ��� ��� ��� �(������ �� � ������), �� � ����� �������� ��� �� ������ ���������$��������, ����#� � �������� ���#� �����.
- ���� �!��� ����’������ ���������" � ����������" ���� � ����- � �� ���" �� �������!�" ���#� ���� ������� ��� �. +������� ���� �� �** ��. �� �. . �� � ������� ���’����#� ��� �. &��#� ������ ���#� ������������ ��� � ������ �� �� ���" ��� � ��� ����� ����’���� ���� �� ����-������� ������� ��������.
'�� ������ ����$ ������ ���" ��� ����#��� �� ��� � � � V ��.�� �. ., �� ����#� ����$ �� ���" ��� �� � ������������� �! � ���#� ��- ����� 7I7 ��.
3���� �� ���" ��� �� ������ ��������" ������ �������� ������� �������� �. ���*�1����� (1815 – 1897). +��$ ����$ � ��!��� ���"����� �������� �� ���" ��� ����������� � ������� ��������� �. ��������(1831 – 1916) � 6. ������ (1845 – 1918).
.��������, � � ��������� ����� ��� ��� ��������� ����� ��� �����-#� �� �������� ����#�" ���� . '��� ��� ���� ������� ��������, �� �#�� �� ��������� � �������� ��� � m? 3��� ������ ����� � ��� �����’������� 2 ���. ����� �� �. . ���� ������ ����. 9�� ���������� �� ��-������� ������, �������� ������ ���������� ��������� ������ � ��� � m.'�� ��� � m �� � ������ ����, � � �� � ��������� ��!�#� ������ ���-
#� ��� �, �� ���� ����� !��� � ��� ��� ������� .m & � ���#� ���� ��-������ � m � ��# ��� ���� a2 + b, � b ���� � �� ��������� � a2, � ����� ��-����������� � ��� ����� �:
2 .2bm a b aa
= + ≈ +
%����� ��, ��� m = 105, �� 2 5105 10 5 10 10,25.2 10
= + ≈ + =⋅
�-
�������: 10,252 = 105,0625. ( ����� � ���"������ ��� ����#� ����������������#� ����� ������������� � � &���� <���$, �#� ��� ��� ������� ������#����� ���� 6���� (* ��. �. .).
152 § 2. �������� ����. ��� �����
&� ������� ��������� ���#� ��� � � ����� ���� !�� ����$����� ���� 3��%�� 5���� ����. &�������� ��������� ����� � ��� 2, 3, 5, 6 � �. �., ���� � ���������� ������ ���" ��� , ��� "���������� $" ���: «&��� ��� � � ��-��� ��� # �"���, � ���� ���#� � ������ �� �����#� �����». '� �� �� ����-�, ��������� ������ � ����" ��� ��������� � ��# ��� ���������#� ����-������#� ��������#� �����, ���� ��������� ����� �� ��" ��� � �������-��� �������.
3��%�� 5���� ����
(1681 – 1736)
)���� ���������� — ���� � �� ��-����!�" ��� �� �� ����� XVII – �������XVII* ��., ������� �� ����� /����-4�#� ������$ ������$, ������� �� ��-����� ����. )� ���� � ��������, ��� ���� �����, ��� �� �!�� ������ �� ������������. %� ������!�� ����������� ����-��� )����� ����������� � ���� ��� ���������� «5�������� � #������, �����!� �� �� �! � ������� ������� ���-�������" ����, ������� � /����-4�#� ������ ������$…». 3������� ��-�������, ������ � ����� �����, �� � ���� ��� �� �����!��� � ������� 2���$.
������ ����$ ������ ��� �� � ���#� �� ����� 7*7 ��� ���� �� �#���-�� ������� �������� 6���# ������.
6�7��# ��7����(1845 – 1918)
���� ��� ������� «�������» �� -���� �� �������" ������ ���������, �� �#� � ��������� ��� ��!� �� �! �������������, � ��������� ����� �� ���� ���",�� ���� �� ��!�$ ���� �� ����$��$. 3��,<. /������ �� ���� ���� "������������������� «�������»: � ��’������� ����",�����" ��’�����, �����" ������ �����-��, � ���� �� .
3���� ������ ��� ��� � ������� �� �� �� ���� �!� �������� ����$ �����-�����$ �����. %� $$ ������ �� � ���� ����#
+�������� ������ ��� ���������� § 2 153
�������� �� ���#� ��� �, ��=��������� ������� �� ����� ����$ ������ �� ���$ ������$.
- ����-��� ���������� ������ ��� ��’����, ��� ���� ������, ������-��� ���� �������. 3��� ��#��� ����������" ���������� ����� � � �����-���� ����$ ������ �� ������, �� ��� ����� �� � � ��� ���� � �����" ����-�� ����� ������ �� ��" ���� ��� ����#� ����� �� ���������.
2� �����) � � ���� ��) ��������) § 21. '�� � ��������� ��� ������� � = �2?2. '� ��������� #����� ������$ � = �2?3. 9� ��������� ���������� ����� � ��� � �?4. 9� ��������� ����������� ���������� ����� � ��� � �?
& � ���" ������ � ��� ����� ����� a ? '��" ������ ����������� ����� a ?
5. & � ���" ������ � �������� �2 = � ��� �����? +�� ��� ��������� � ��������, ��� � > 0; � = 0; � < 0?
6. %������ ���� �� ������� �� ����$ $$ ����������.7. - ��# ��� ���" ������ ����� ������ ������� ��� ��� �?8. - ��# ��� ���" ������ ����� ������ ��������� ��� ��� �?9. '�� ��� � ��������� ������� �� ���" ��� ?10. 0��� �������� ��������� ������ � ������� ����’����" ����-
�����? &������ ���������� �����.
11. 0��� �������� ��������� ������ �� ����� ab , � � ≥ 0, b > 0?
&������ ���������� �����.12. 0��� �������� ��������� ������ �� ����� �2n, � � ≥ 0? &��-
���� ���������� �����.
13. 0��� �������� 2a ?
14. %� ���� ��� ������ 2 b ��������, �� ����� ������� ��� ���������.
15. %� ���� ��� ������ 16b ��������, �� ������ ������� �-�������� �����.
154 § 2. �������� ����. ��� �����
16. %� ���� ��� ������� 13� 1
2b −��������, �� ��� ������� ���
��������� ������ � ��������� �����.
17. '�� � ��������� ��� ������� ?y x=
629. &��� ��� �: –25; 3,8; 8; 0; –2,1; 5 ; 2 ;9
0,(6); 3;− 1; 12 ;3
− π;
0,10110111011110... (�� ������ ������� ��� ������ ��� �!������ �� 1). *� ����" ��� ����!���: �) ��� ������ ��� ��� �; ") ��� �� � ��� �; �) ���������� ��� ��� �; #) ��� ��������� ��� ��� �.
630. &��� ������� , = {–2; 1,5; 6,(25); 7; 10; 3;− 25}.�) 0� ����� ���, �: 1,5 ∈,; 6 ∈,; 7 ∉,; 25 ∉,?") .���!��� ���������� ������� ,, ��� �� ���� ��� �� � ��� � ���-���� ,; ��� ��������� ��� ��� �.�) 0� � ������� , ����������� ������� Q; ������� R?
631. ������� � ��� �:
�) 1,138 � 1,183; ") –3,4 � –3,5; �) 524
� 2 ;9
#) –0,3 � 1 ;3
−
�) 5 � 2,5; �) 10− � –π; *) 1,13745... � 1,1375... .
632. .�� ���� ��� ��� ������� ������, ����# ��!� ������� ������ ������":
�) 2,7 – 5; ") 5 3,6; �) 10 3;− #) 4,5 5,5.+
633. & � ���" ������ � ��� ����� �����?
�) ;x ") ;x− �) ;x− #) 2x .
*��"!� � �������� ������:
634. �) 16 625;+ ") 64 2,25 10 1,21;⋅ −
�) 2 981 2 ;3 16
+ #) 0,01 4900 0,1 90000;⋅ −
�) ( )( )361 289 2,25 6,25 ;− − �) ( ) 710000 99 : 1 1 .9
� �− −� �
+�������� ������ ��� ���������� § 2 155
635. �) 9 36;⋅ ") 160 40;⋅ �) 15 24 40;⋅ ⋅
#) 20 500;⋅ �) 24 6;⋅ �) 0,02 0,32.⋅
636. �) 25 16 ;36 81
− ") 160 60 ;10 15
+ �) 1 2 8 724 .2 25 21 84
⋅⋅ −⋅
637. �) 10 82 2 ;− ") 2 241 ( 41) ;+ − �) 2 2( 15) ( 1,2) .− ⋅ −
#���� � � �����:
638. �) 5 6 7 6 4 6;− + ") ( )( )3 2 2 3 1 3 3;− + +
�) ( )25 2 2 3 4 10;+ − − #) ( )( ) ( )2
7 2 7 2 3 3 .− + +
639. �) ( )3 ;a a a+ − ") ( )( )4 3 1 ;b b b− + −
�) ( )( )1 1 1;x x− + + #) ( )2 22 3 4 9 .a b a b− − −
.����� � ���(��� �-��! ����� ������:640. �) 28; ") 200; �) 243.
641. �) 43 ;x ") 28 ,a � � > 0; �) 298 ,ab � b < 0.
.���� � ���(��� ��! ���� ������:642. �) 3 2; ") 5 10; �) 0,4 30.
643. �) ;c c ") 7,m � m > 0; �) 19 ,n m � n < 0.
644. 2��� ����� �� ��������:
�) 15 10;− ") 10 10;+ �) 7 3 ;a a−
#) 4,c − � � > 0; �) 2 6;m − �) 2 .n n+
645. +�������� ����:
�) 21 7 ;3 1−−
") 3 ;3
bb
−−
�) 5 ;5
aa
−+
#)2 10 ;
10cc
−−
�) 22 ;
2x
x−−
�) ( 0).b ab ba b+ >
−
156 § 2. �������� ����. ��� �����
646. .�� ������� ��� ��������� ������ � ��������� �����:
�) 1 ;8
") 5 ;2 10
�) 2 ;5 2−
#) 1 .3 2m n−
647. &������, � 9 4 5 5 2.− = −
#���� � � �����:
648. �) 1 1 ;2 2 3 2 2 3
−− +
") 2 3 3 .3 1 3 1
−− +
649. �) 1 1 ;a b a b
−− +
") .xyx
x yx y+
−+
650*. &������, � ������� ������ � ������ ���� ��� ��:
�) 6 5 14 5;+ − ") 11 2 10 11 2 10.+ − −
651. &������ ����������: 8 4 44 4 2.a a a+ + = +
'���’�(� � ��������:652. �) �2 = 25; ") �2 = 0,09; �) 3�2 = 21; #) 2�2 = –0,2.
653. �) (2� – 1)2 + (2� + 1)2 = 42; ") (5� – 4)2 = 9 – 40�.
654. �) (4� – 3)2 = 49; ") (�2 – 4)2 = 144.
655*. .�� ���� ��� ������� �, � � ���" �������� (2x + �)2 + �2 = 1 ��� ����� ������.
'���’�(� � ��������:656. �) x = 4; ") x = 0; �) x = –2;
#) 1x − = 0,5; �) 2 2x + = 1; �) 2 8x + = 3.
657*. �) ( )1 ;x x x+ = ") 2 1;x x+ + = − �) 2 0.x x+ =
658. <����� ������$ � = �2 ���"����� ��� ����� (–5; 25). .�� ���� ������-���� �����, ���������$ ���� �������� ��� �. 0� �� ���� ��� ��� ��-��� #������ ������$ ������$?
659. ������ � #������ ������ �� ��� ���� ���������� ����� $" ������:
�) � = �2 �� � = 1,5 – 0,5�; ") � = 2� – 1 �� .y x=
+�������� ������ ��� ���������� § 2 157
660. 2���’����� #������� ��������:�) �2 = 1,5� + 1; ") �2 + 2 = –3�;
�) 4 5;x x= − + #) 1 .xx
=
661. .� ������#�� #������� ������ ����������, �� ��� ����� ��������2 1 2.
5= −x x
662*..� ������#�� #������� ������ ����������, ��� ��� ������ ��� ������-
�� ,= − −x x a ��� � = –1; � = 0; � = 1.
663*. ������ � #����� ������$:
�)2
;2
+=
x x xy ") 2 ;y x x=
�), ��� 0;
, ��� 0;
x xy
x x
<��= �≥��
#)2
.xyx
=
664*. .�� ���� ������� �, � � ���#� #������ ������ � = 2x + � �� � = x2 �-���������� � ����� (3; 9). .�� ���� ���������� ��!�$ ����� ��������" #�������.
665*. &������, � �������� x = –� – 0,1 � ��� ������.
158 § 2. �������� ����. ��� �����
2������) ��) ��&� �������� 9 4
�����$ 1 1. -������ ������ �� ��������:
�) 5 — ������� �� ��� �; ") 23
— �� �� ��� �;
�) 3 — ��������� �� ��� �; #) 5 — ������� �� ��� �.
2. '�� � ������� � ����� ����?
�) 36 4;= ") 49 7;= − �) 0,16 0,4;= #) 0,4 0,2= .
3. .�� ���� ������� ������ 936 6416
⋅ + .
�) 324 ;4
") 147 ;4
�) 348 ;4
#) 60.
4. +�������� ����� ( ) ( )4 2 2 2 2 4− − − .
�) 6 2 12;− ") 2 2 12;− �) 6 2 4;− #) 2 2 4.−
5. .�� ���� ������� ������ 3 2 3,− ����# ��!� ������� ������ �������".�) 5,9; ") 2,5; �) 2,4; #) 2,8.
6. '�� � ����� �� ���� #������ ������$ � = �2?�) A(16; 4); ") B(4; 8); �) C(4; 16); #) D(–4; 8).
�����$ 2 7. &������ �� �����#� ��� ���#� ������ (1–4) �#� ������� (5–&).
1) 25 0,49;⋅ �) 9;
2) 9 ;0,04
:) –9;
3) 27 ;3
�) 3,5;
4) 2( 9) .− 6) 3;
�) 15.
+������� ��� ����������� , 4 159
8. +�������� �����:
�) ( )( )3 2 2 3 5 16;− − − ") ( )( )1 1 .a a a− + −
9. +�������� ����:
�) 10 2 ;5 1−−
") 4 80 .1 5−−
10. 2���’����� ��������:�) 22( 3) 12;x − = ") ( 2)( 2) 1.x x− + = −
11. 0� ���"����� #����� ������$, ������$ ����� �� ,y x= ��� �����
(1,69; 1,3)?
�����$ 3 12. .�� ���� ������� ������:
�) 2,8 6,3;⋅ ") 48 16 ;43
− �) ( )22 7 2 4 14.− +
13. +�������� �����:
�) 3 2 12 48;− + ") 11 11 .2 5 3 2 5 3
−− +
14. .�� ������� ��� ��������� ������ � ��������� �����:
�) 2 ;6 2−
") .2 1
xx +
15. +�������� ����:
�) 3 ;3
aa
−+
") ,a ba ab
−+
� a > 0, b ≥ 0.
16. 2���’����� #������� �������� �2 = –0,5� + 1,5.
�����$ 4 17. & � ���" ������ � � ����� ���� ��������?
�) 6 3;x x= ") 2 4 ;x x x= − �) x x= − .
160 § 2. �������� ����. ��� �����
18. +�������� �����:
�) : ;2
a ba ba b ab a b
−−+ + +
") ( )2
2 3 2 3 .+ + −
19. 2���’����� ��������:
�) 2 2 2;− =x ") ( 1)( 2) 2 1 0.− + + =x x x
20. &������, � ������� ������ ( )19 8 3 4 3x x+ ⋅ − + � �� ���� ���
������ �.21. .� ������#�� #������� ������ ����������, �� ��� ����� ��������
0,5.x x+ =
x + 10
x 600
� �( + 10) = 600;
� �2 + 10 – 600 = 0 — �� �� �����������
§ 3.
6* �. ������. �� ���. 8 �.
162 § 3. �������� �����
1. ��� ����� ��������. � 7 ����� � �� ����� ������� ������� � ��-���� �������, ����� ������� ��� ax = b, �� � — ������, a � b — ����� ����(���������� �������). �������� ax = b ������ ������ � ��� � �������������, � �� � � ≠ 0, �� ���� ������� �������� � �������� ���� � ���-���� � ������ �������.
��� ������ ������, ��� ������ �� �������, � ������ ������ � ��- ��� ������� (� �������).�� ���. !�� � ������ ���������" ��� ������� 600 �2. #��$�� �����-
� �� 10 � ������ ��� ��. %���� ��� ������.&�'�� ��� ������ ������� � �. (��� ���$�� ������ �������
(� + 10) �, � ��� � — �(� + 10) �2. %� ������ ������ �� ��� � �������600 �2, ���� ����� ������� �(� + 10) = 600, �����
�2 + 10� – 600 = 0. )��$��� ������� �������� ��������.
� ��������� ������ ��������� ��������� �������� �� �
ax2 + bx + � = 0, � � — ������, �, b � c — ���� ��� �, � ��!� " � ≠ 0.
*��� �, b � c �������� �� �������� ���������� �����:� — ���� ����������; b — �� � ����������; � — ������ ����.&������, 7�2 – 3� + 5 = 0 — �������� �������, � ����� ���� ���-
������� � = 7, �� � ���������� b = –3, ������ ���� � = 5. +� � � ���������� ������� ���� ���������� ������� 1, �� ����
������� �������� ������� ���������� ������. (��, �2 + 10� – 600 = 0 — ������� �������� �������.
,���-��� �������� �������, ��� �� � �������, ��$�� ������� ���������� ���� ������� �������� �������. &������, �������� �����-�� 7�2 – 3� + 5 = 0 �� � �������. !������ ����� �� � ����� �� ����
����������, ���$�� ������� �������� ������� 2 3 5 0.7 7
x x− + =
20. �������� �����. ������ �������� ����� 163
2. ������� ��� ����� ��������. +� � � ���������� �������ax2 + bx + � = 0 '��� � ��� � ������������ b ��� � ������� ����, �� ���� ��-����� �������� �������� ���������� ������.
&������, ��������2 + 9� = 0, 5�2 – 125 = 0, 4�2 = 0
� ������� �������� ��������. � ������ ������� c = 0, � �� �-�� — b = 0, � ������� — b = 0 � � = 0.
)�$�, � � �� ������' �������' ������:
1) ax2 + bx = 0 (b ≠ 0); 2) ax2 + � = 0 (� ≠ 0); 3) ax2 = 0.
����’������ ���� �������� �����
- .� ������� !���� ������� � �� � ���’������
1. ax2 + bx = 0 3x2 – 6x = 0. 3x(x – 2) = 0. %���� x = 0 ��� x – 2 = 0; x = 2.
2. ax2 + c = 0
1) 2x2 – 8 = 0. 2x2 = 8; x2 = 4. %���� x = –2 ��� x = 2.
2) 2x2 + 8 = 0. 2x2 = –8; x2 = –4. �������� �� ��� ������.
3. ax2 = 0 7x2 = 0. x2 = 0. %���� x = 0.
������ �. �������� x2 = 0 ��$�� ������ � � ���� x ⋅ � = 0. !������$�� ������� ����, �� � x = 0, �� � — ��$, �� � � = 0. (��� �������$���, � ������� x2 = 0 ��� ��� ���' ����� �1 = 0 �� �2 = 0.
������ 1. ����’���� ������� 2�2 + 11� = 0. # �(2� + 11) = 0. %���� � = 0 ���: 2� + 11 = 0; � = –5,5..��������. –5,5; 0. #
������ 2. ����’���� ������� 2,5�(� – 2) – 7,5 = –5�.
# 2,5�2 – 5� – 7,5 = –5�; 2,5�2 – 7,5 = 0; �2 = 3; �1 = – 3 ; �2 = 3 ..��������. 3;− 3. #
164 § 3. �������� �����
666. +�� � ������ � �������� ��������?
�) 4� + 52 = 0; $) 7�2 – � – 3 = 0; �) 21 2 3 0;xx
+ − =
!) 9�2 = 0; ) –�2 + 2 = 0; �) –6�2 – 24� = 0. 667. +�� � ������ � ������� �������� ��������? ������� ��������
��������?�) �2 + 5� – 2 = 0; $) 7�2 + 1,8 = 0; �) –�2 – 2� = 0; !) �2 + 3 � = 0; ) 3�2 + 7� + 1 = 0; �) �2 = 0.
668. ����’�$��� ������� �������� �������:�) �2 – 4 = 0; $) �2 – 2� = 0; �) 5�2 = 0.
669. %�������� ������:
/������� ������� /��������� �������
ax2 + bx + � = 0 a b c 4 1 3
–2x2 – 3x + 1 = 0 1 0 –24 3 –5 0
5x2 – 8 = 0 7 0 0
670. %������ �������� �������, ���������� ��� � ���������:�) � = 2; b = –3; � = 1; $) � = 3; b = 0; � = –7; �) � = –1; b = 4; � = 5; !) � = 2; b = 0; � = 0.
����’����� �����:
671. �) �2 – 36 = 0; $) 2�2 – 4 = 0; �) �2 + 49 = 0.
672. �) �2 – 64 = 0; $) –6�2 + 18 = 0; �) 2�2 + 8 = 0.
673. �) �2 – 3� = 0; $) –5�2 + 20� = 0; �) �2 + 3,5� = 0.
20. �������� �����. ������ �������� ����� 165
674. �) 4�2 + 8� = 0; $) 3�2 – 81� = 0; �) 2,2�2 – 8,8x = 0.
675. �) 7 – 2�2 = 7 + 0,5�2; $) 2�2 – 3� = 2x; �) 2x(x – 3) = x2.
676. �) 5�2 – 3 = �2 – 3; $) �2 + 15x = 8x; �) x(� – 2) = –x2.
�� ���� ����� �� ������ ax2 + bx + � = 0:
677. �) �(3� – 2) + 4 = 0; $) 5�(� + 3) = 2�2 + 1; �) �(� – 9) = 4�(� + 7).
678. �) 7�2 – 2 = 4� + 5; $) (� + 1)� = 5; �) �2 = 6�2 – 3(� – 4).
������� �� � ������� �����, ������� �����:
679. �) 2�2 + 2x – 6 = 0; $) –3�2 – 10� + 8 = 0.
680. �) 5�2 – 9� + 2 = 0; $) –�2 + 12� + 6 = 0.
����’����� �����:681. �) 5�2 – 7� + 3 = 3�2 + 2� + 3; $) �2 – 13� + 8 = 3�2 – 13�;
�) 2�2 – (5� – 1) = 17 – 5�; !) (� + 2)2 + (� – 2)2 = 3�2 – 9;
) 6�2 + 9� – 1 = (2� + 1)(2� – 1); �) ( )( )4 2 2x x− + = �(1 – �) – 8;
%) 0,2�2 – �(0,5� – 1) = � – 9; ") 0,3�(� – 4) + 1,2� – 2,7 = 2,7.
682. �) 2�2 – 3� + 7 = 7�2 + � + 7; $) 3 – 2� = �(� – 2);
�) (3� – 5)(3� + 5) = 6�2 – 25 + 15�; !) ( )( )2 5 2 5− +x x = (� – 1) 2 – 6;
) (� + 0,4)2 + (� – 0,4)2 = 0,64; �) 3�(2� + 0,6) – 2�2 – 0,64 = 1,8�.
683. �) 2 3( 15)(2 3) ;5
xx +− = $) ( 1)( 2) ( 3)( 4) .3 7
x x x x+ + + +=
684. �) 15 6( 1)(2 5) ;2
xx x −+ − = $) ( 2)( 2) ( 1)( 3) .4 3
x x x x− + − +=
685. %������� �������� ����� ������� (�2 + 5�)(�2 – 36) = 0.
686. %������� ��������� ����� ������� (�2 – 49)(�2 – 8�) = 0.
687. %������� �������� �, ��� ��' �������� ���� ( 2 3 1x − )( 2 3 1x + ) ��-����� 17.
166 § 3. �������� �����
688. #�� ��' ������� � �������� ���� (2� – 7)(� + 4) ������� –28? 689. #�� ��' ������� � �������� ���� �2 – 5� + 7 �� 4 ������, ��$ ����������
�������� ���� 2�2 + 4� + 3? 690. %������� ��� ����, ��� � 17 ���� ����� ��� ���"' ��������.
691. #�� ��' ������� � ���� 2 � ������ �������?�) �2�2 – 7� + 2� + 14 = 0; $) 3�2 + (�2 – 1)� – 18 = 0.
692. #�� ��' ������� � ������� ��� ��� �����?�) 2�2 – (�2 – 3�)� = 0; $) ��2 + �2 – 2 = 0.
693. ����’�$��� ������� � �������� �:�) ��2 + 1 = 0; $) �2 – 2�� = 0; �) ��2 – �3 = 0.
694. !������ ����� � � ���� ������� ��������:�) 4m2 – 4m + 1; $) 4x2 + 12x + 9; �) 49x2 – 28xy + 4y2.
695. 0������� ��� � �������� �� � ��������:
�)2 10 25
5x x
x− +
−, �� � � = 12,5; $)
2 66 9
yy y
++ +
, �� � � = 1,21.
696. % ������� A � B, �������� ��$ ��� ������� 240 ��, ������� ����-����� ��� ����������. +� � ���������� �'�������� �������� ��� ��-����, �� ����������� ���� 2 ��. +� � $ ��� "'������ � ������ ��-�����, �� ����������, � �"'�� � ������ B, �����$��� ����������,��� �"'�� � ������ A, ���� 12 ��. %������� �������� ��$�� � ����-������.
697. � ���������� ���������� ������ ����� �� 40% ������, ��$ ��-����. 20% ������" ������ � 30% ������ � ������ �����, � �-��� �������� 29 �. 0����� ���� ������ � ������ ���� ������ ����-� � ����������?
21. ������� ������ ����������� ����� 167
698. � ����� �������� � ��������. %’���������, � � ��$��� � �' ��������� �� 50 �����, �� �� � $ 60 ����� �'��� ����� �� ���� �������-��, � 30 ����� — ���� �� ���. 0����� ����� ��� ������ � ���' ���'���������'?
.������ �����, ��� ���������� ����� ����� ����-��� � ������-�� � �������, ����� �� � ����������. #�� ��� � ���’�$��� � �� �������� ���� �������� �������
ax2 + bx + � = 0. (1)
!����$�� ����� ����� ������� �� 4� (������� � ≠ 0, �� 4� ≠ 0). )��$�� ��������� ���� �������
4a2x2 + 4�bx + 4�� = 0. � ����� ������ ������� ������ ������ ��������:
(2ax)2 + 2⋅2�x⋅b + b2 – b2+ 4�� = 0;
(2ax + b)2 = b2 – 4��. (2)
.�� b2 – 4�� �������� ������������� �������� � �������ax2 + bx + � = 0 � ���������� ������ D, ����� D = b2 – 4��.
.�'����� ���� ����������, ������� (2) ��$�� ������ ���:
(2ax + b)2 = D. (3)
&�������� ������ ������� �� "' ��������� ����$��� ��� ����� ���� D.��� ������ � ��$��� �����: D > 0, D = 0, D < 0.
1) +� � D > 0, �� � ������� (3) �������:
2ax + b = D− ��� 2ax + b = ;D
2ax = –b D− ��� 2ax = –b + ;D
2b Dx
a− −= ���
2b Dx
a− += .
168 § 3. �������� �����
)�$�, �� � D > 0, �� �������� ������� (1) ��� ��� ���� �����
1 ,2
b Dx a− −= 2 .
2b Dx a
− +=
1� ��� ����� ��� ������ ��$�� ��’����� � ����:
,=1,2 2b ± Dx a
− � D = b2 – 4��.
)��$��� ������ �������� �������� ��� �� ���������� �����.
2) +� � D = 0, �� � ������� (3) �������:
(2ax + b)2 = 0; 2ax + b = 0; .2bxa
= −
)��$��� ����� ��$�� ����� � �� ������� ������ �������� �
�������. 0�����, �� � D = 0, �� 1,20 .
2 2b bx a a
− ± −= = (��� ����� ��$���:
�� �D = 0, �� ������� ��� ��� ���� �����, ��$�� � ��' �������2ba− .
)�$�, �� � D = 0, �� �������� ������� (1) ��� ��� �����2bx a= −
(��� ��� ���� ��� �, ��� � ��� �������2ba− ).
3) +� � D < 0, �� ������� (3) �� ��� ������, �� �� � ���� ������ ������������’���' �������, � ���� ������ � ���’���� �����.
)�$�, �� � D < 0, �� �������� ������� (1) �� ��� ������.
�������: ����� ����������� �����
/������� ������� #��������D = b2 – 4�� /���� �������
ax2 + bx + � = 0
D > 0 1,2 2b Dx
a− ±=
D = 0 2bx a= −
D < 0 /����� �����
21. ������� ������ ����������� ����� 169
����’������ ������� ����� ������� ���:1. )����� ��������� D = b2 – 4�� � ������� �� � � �����.2. +� � ��������� ������� ��� ������� ������ (D ≥ 0), �� ����-
����� ������� ������ �������� � �������: 1,2 .2
b Dx a− ±=
+� � ��������� ���’����, �� ������, � ������� �� ��� ������.
&���� � ������� ��� ���!� ��� �����!� ��������. ��� ������ ������� ����-
���� ������� x2 + �x + q = 0. #�� ��� � ������� D = p2 – 4q = 2
4 .4p q� �−� �
� �+� �
D ≥ 0, ��2
2
1,2
2 4 .2 2 2
pp q p px q− ± − � �= = − ± −� �
� �)�$�, ��� ������� � �������� � ������� x2 + px + q = 0 ����� ���� ������
������:2
1,2 .2 2p px q� �= − ± −� �
� �.��������� �� ������, �������� ����� ������� �2 + 16� – 36 = 0:
1,2 8 64 36 8 10;x = − ± + = − ± �1 = –18; �2 = 2.
������ 1. ����’���� ������� �2 + 3� – 10 = 0. # D = 32 – 4 ⋅ 1 ⋅ (–10) = 9 + 40 = 49.
1,23 49 3 7 ;
2 2x − ± − ±= = 1
3 7 5;2
x − −= = − 23 7 2.2
x − += =
.��������. –5; 2. #
������ 2. ����’���� ������� 5�2 – 3� + 7 = 0. # D = (–3)2 – 4 ⋅ 5 ⋅ 7 = 9 – 140 = –131.
170 § 3. �������� �����
)������ D < 0, �� ���� ������� �� ��� ������..��������. /����� �����. #
������ 3. ����’���� ������� 6�2 + 9 = 4� + 10�(2 – �).# 6�2 + 9 – 4� – 10�(2 – �) = 0; 6�2 + 9 – 4� – 20� + 10�2 = 0;
16�2 – 24� + 9 = 0.D = (–24)2 – 4 ⋅ 16 ⋅ 9 = 576 – 576 = 0.
#��� ������� ��� ��� ����� 24 0 3 .2 16 4
x ±= =⋅
.��������. 3 .4
#
������ 4. * ������� �������� m, ��� ��' ������� 5�2 – m� + m – 5 = 0 ����� ������?# %������� ��������� �������:
D = (–m)2 – 4 ⋅ 5 ⋅ (m – 5) = m2 – 20m + 100 = (m – 10)2.
)������ D ≥ 0 ��� ����-��� � �������� m, �� ���� ������� ��� ����-��� � �������� m ��� �����.
.��������. &� �������. #
699. * ������� ������� ���������D = b2 – 4�� �������� � �������?�) 2�2 + 5� – 3 = 0; D = 52 – 4 ⋅ 2 ⋅ 3;$) �2 – 3� – 4 = 0; D = (–3)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ (–4);�) 3�2 – � + 2 = 0; D = (–1)2 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2;!) –2�2 + 5� + 7 = 0; D = 52 – 4 ⋅ (–2) ⋅ 7.
700. 0����� ������ ��� �������?�) 7�2 – � + 1 = 0; D = –27; $) �2 + 4� – 3 = 0; D = 28; �) �2 – 6� + 9 = 0; D = 0.
�� ���� �������� ���������� ����� � ������� ��������� ��� �������:
701. �) 2�2 – 3� + 1 = 0; $) 4�2 + 4� + 1 = 0; �) –3�2 + 6� – 4 = 0.
21. ������� ������ ����������� ����� 171
702. �) �2 + 2� – 3 = 0; $) 2�2 – 5� + 4 = 0; �) –�2 + 8� – 16 = 0.
����’����� �����:
703. �) �2 – 6x + 5 = 0; $) �2 + 4x – 12 = 0; �) �2 + 7x + 10 = 0;
!) �2 – 3x + 4 = 0; ) �2 – 10x + 25 = 0; �) �2 – 4x – 21 = 0.
704. �) 2�2 – 5x + 3 = 0; $) 2�2 + x – 1 = 0; �) 3�2 + 5x – 2 = 0;
!) 4�2 – 4� + 1 = 0; ) 2�2 – 3x + 2 = 0; �) 7�2 – 6x – 1 = 0.
705. �) �2 + 4� – 5 = 0; $) �2 + 5� + 4 = 0; �) �2 – 5� + 6 = 0; !) �2 – 2� + 6 = 0; ) �2 – 8� + 16 = 0; �) �2 – 10� + 21 = 0; %) 2�2 + 3� + 1 = 0; ") 6�2 – 5� + 1 = 0; �) 2�2 + � – 3 = 0.
706. �) �2 = 5� – 4; $) 2�2 + 7� = 4; �) �2 – 4� = 2 – 3�.707. �) �2 – 2� = 3; $) �2 – 4� = 4� – 7; �) 4�2 + 3� = 1.
708. &� ���’����� �������, ���$��� �� � �', ��� ����� ��� �����:�) 9�2 + 6� + 1 = 0; $) 3�2 – � – 4 = 0; �) 2�2 – 16� + 32 = 0.
709. +�� � ������ �� ��� ������?�) �2 + 2� – 7 = 0; $) 2�2 – 3� + 8 = 0; �) 3�2 + 5� + 4 = 0.
710. &� ���’����� �������, , ��� ����� ��� ����� ��� ������� $���� � �����:�) 3�2 + � + 1 = 0; $) 25�2 + 20� + 4 = 0; �) �2 – 16� + 60 = 0.
����’����� �����:711. �) �2 – 2� – 1 = 0; $) 7�2 – 18� + 8 = 0; �) 3�2 + 22� – 16 = 0;
!) �2 + 21� + 90 = 0; ) 3�2 + 53� – 18 = 0; �) –25�2 + 50� + 75 = 0;
%) �2 + 0,5� – 1,5 = 0; ") 2�2 – � + 19
= 0; �) 2 2 8 0.3 9
x x− − =
712. �) �2 – 6� + 6 = 0; $) 3�2 + 20� + 12 = 0; �) 4�2 – 16� + 7 = 0; !) �2 – 16� – 161 = 0; ) 4�2 + 73� + 18 = 0; �) –12�2 – 36� + 48 = 0;
%) �2 + 1,2� + 0,2 = 0; ") 3�2 – � – 23
= 0; �) 2 15 2 0.3
x x− − =
713. #�� ��' ������� � �������� ���� 24�2 – 90� – 24 ������� 0?
714. #�� ��' ������� b �������� ���� 3b2 – b + 2 ������� 12?
���$��� �� � �'
172 § 3. �������� �����
����’����� �����:
715. �) t2 + 3t = –4t – 6 – t2; $) 5(y2 + 3) = –24y + 20;
�) 4�(� – 2) + �2 = 6� + 3; !) 6�2 + 3� = 5(2� + 1);
) (� – 1)2 + 4�2 = 4; �) (3� – 2)(3� + 2) = 6� + 3;
%) 2 21 15 0,1 4 ;5 2
x x x x− = − + ") 2( 3 2)( 3 2) 7 11.x x x x+ − + = +
716. �) 2(12�2 + � – 10) = –5; $) 5(�2 – 2) = �(1 – �) + 10�;
�) (2� + 3)2 + 2�2 = –12� – (� – 2)2; !) 6�2 + 20� = (2� – 5)(2� + 5);
) ( )2 21 1 12 1 1 .3 3 2
x x x x− + = + +
�� ���� ��� � �����:
717. �)2 3 7 ;
2 4t t t+ += $)
2 3 7 0,3.4 20
y y y+ −= +
718. �)2 2 1;3 4
x x x− −= $)2 3 3 13 .9 6 6
y y− −− =
719. #�� ��' ������� � �������� ����� ��� ������� 3�2 + 24� + 48 �10� + 30 ������� 2?
720. #�� ��' ������� � �������� ��� ��� ������� 3�2 – 6� � 5�2 – � + 2 ��-����� 3?
721. %������� �������� b, ��� ��' ��� � ������ ������� ������� –3:
�) 20�2 + b� – b2 = 0; $)2 2 5 14 0.49 7
b x bx− − =
722. #�� ��' ������� � ������� ��� ��� �����?�) �2 – 16� + 4� = 0; $) ��2 + (� + 1)� + 1 = 0.
723. ����’�$��� �������:�) ��2 – 4� + 3� = 8; $) ��2 – 3� – 4� = 6.
724. ����’�$��� ������� � �������� b:�) �2 – 4b� + 3b2 = 0; $) �2 + 2� – b2 + 2b = 0.
21. ������� ������ ����������� ����� 173
725. %������� ��� �������� �, ��� ��' ������� �2 + 7� + 3� – 7 = 0: �) ��� ��� ���� �����; $) �� ��� ������.
726. #�������, � ��� ����-��� � �������� b:�) ������� �2 + b� – 3 = 0 ��� ��� �����;$) ������� �2 – b� + b2 + 1 = 0 �� ��� ������.
727. #������ ��� ����, ���� ��' ������� 8, � ������� — 12. !������,� � �� ���� ������ ������� �2 – 8� + 12 = 0.
728. %������� ���� � ������� ���' �����:�) 3 2+ � 3 2;− $) � – x � � + .x
729. !�������� ���� �������:
�) 2� – 3� = 1; $)* �� – �� = 1. 730*. &� ������ ��� �������� ������ ���� 300 � ����� �� �����
25 � �� 1 � . !��� ��������� �������� ���� �� �������� 20 ����� ������, � �� � — �� �������� 30 ��. !��������� 100 � ����� ���������� 1 �� ������ 5 �. 0����� ���� ���� ����� ������ �������������, �� � ������, � ��� ����� �� ��������� � ��������������� �� 2700 � �����, ��$ �� �?
731. #��� � ����: 2, 1 2− � 1 2+ . %� ��� ��� ������������ ���������� � ����, ������� ��$�� � ��������' ���� �������� ���' ��-
�'. * ��$�� �� ������ ���' ����� ���$�� ���� ����: 1, 2 2− �
2 2+ ?
174 § 3. �������� �����
1. ������� ��%��. ��� ������ ������� �������� �������:�2 + 2� – 3 = 0; �2 – 7� + 10 = 0; �2 + 5� + 4 = 0.%������� ����� ��$�� � �� �' ������, � ����$ ���� ������ �� "' ��-
�����. ��������� �������� � ������:
�������� /���� �������:�1; �2
0��� ������:�1 + �2
#������ ������:�1 · �2
�2 + 2� – 3 = 0 –3; 1 –2 –3
�2 – 7� + 10 = 0 2; 5 7 10
�2 + 5� + 4 = 0 –4; –1 –5 4
% ������ ����, � ���� ������ ��$�� � � ������ ������� �� �������������� �������, ������� �� �����$�� ������, � ������� ������ ��-����� �������� �����. 1� ������� ��� ����-��� � ������� � �������� �������� x2 + px + q = 0, ��� ��� �����.
������� (����). '��� ������� ��� ���!� ��� �����!� �������� ������% ��!��� ���(�)�%���, ������� �� ����� �"��� ������, � �$���� ��-����� ������% �� ����� � ���.
!�� � �. ��� ������ ������� �������� ������� x2 + px + q = 0 � ��-'�� �1 �� �2 — �� � �����. (���
1 ,2
p Dx − −= 2 ,2
p Dx − += �� D = p2 – 4q.
()������ ������� ��� �����, �� D ≥ 0.) %������� ���� � ������� ������:
1 22 ;
2 2 2p D p D px x p− − − + −+ = + = = −
( )22 2 2 2
1 2
( ) ( 4 ) 4 .2 2 4 4 4 4
p Dp D p D p D p p q qx x q− −− − − + − − −⋅ = ⋅ = = = = =
)�$�, �1 + �2 = –�, �1 · �2 = q. (����� ��������. 2
22. ������� ��� 175
���� �1, �2 — ����� ������ � ��������� �������� x2 + px + q = 0, ��:
�1 + �2 = –�, �1 · �2 = q.
�������� ����� �� ����� «����������» � �� ����� ����� ����� �������������� ���� (1540–1603), ���� ����� ��-���� ��� ���� �� ������� � ���������-��� ��������� �������.
!� ������ ����� ���� �� ��, �� ��-���"� ������ ��������� �������, ��#�-��� $# ���� � ��%���. ����������������� ����� ���� ���� ��� ���������������, ��� ���� ������.
������� ��� (1540–1603), ����� ���� �������
&� �������, ��������, ������� �2 – 5� + 3 = 0. ���� ��� �����, %�D = (–5)2 – 4 · 1 · 3 = 13 > 0. '��� �1 � �2 — ����� �������, �, � ����������:
�1 + �2 = –(–5) = 5; �1 · �2 = 3.
�������� 1. !�#�� ����� ������ ������� ������� ��� �����. (������ �1 · �2 = q ��������: ���� q > 0, � �� ����� �%���� ������ �%� �%��-�� ���’����; ���� q < 0, � ����� ���� � �� ����.
�������� 2. '��� ���������� ������� x2 + px + q = 0 � ������ "��-����, � ������ �1 · �2 = q ��������, �� ���� � ������ � ����� ��������� �� %�� ���� "����, �� ��� ������� (������) ������� "��� q.
!�������, ������ ������� ������� x2 + px + 5 = 0 �� �� %�� ����"���� 1, 5, –1 �%� –5.
2. ���� �� ������� ������ ������� � ��������� � �������. )������� ����� ���� ��� �������� ��������� �������. &� ������� ����������� ������� ������� �x2 + bx + c = 0, ��� ��� ����� �1 � �2. ���� ��-
����� ���������� ������� 2 0.b cx xa a
+ + =
*�� ��� ������� ������� � � � �������, � ��� ��� ����� ������-
���� ����� ����: 1 2 ;bx xa
+ = − 1 2 .cx xa
⋅ ==
176 § 3. �������� �����
�*� �1, �2 — ������ ��� �����!� ���������x2 + bx + c = 0, ��:
1 2 ;bx xa
+ = − 1 2 .cx xa
⋅ =
3. �������, �$������ � ������� ��%��.
�������. �*� ���� ��+ ���� ������% –�, � ,+ �$���� ������% q, �� )� ��� � %�������� �������� x2 + px + q = 0.
!�� � �. &�'�� ���� m � n ����, � m + n = –�, � m · n = q, ���� � = –(m + n), q = mn. !�������� �������� � � q � �������
x2 + px + q = 0, (1) ���$�� ��������� ���� �������
x2 – (m + n)x + mn = 0. ����’�$��� ���$��� ������� ���:
x2 – m� – nx + mn = 0; x(� – m) – n(x – m) = 0;
(x – m)(x – n) = 0, (2)
����� x = m ��� x = n. *��� m � n � ������ ������� (2), � ���� � ������ �����-�� (1). (����� ��������. #
&� ������ �����, �������" �� ����� .����, ��$��:1) ������, � � ����� ��� ���� ������ ������ � �������� � �������;2) ���’���� �������� ������� ���'�� ����� �� � ������;3) ������ ������� �������� �������, ������ ��� � � ����� ������ ��� ����.��� ������ ���������� �����.
-��� � 1. * � ���� –3 � 5 ������ ������� �2 – 2� – 15 = 0? # %������� ���� ���� –3 � 5 �� "' �������: –3 + 5 = 2; (–3) · 5 = –15. 0��� ����
������� �� ��� ����������� �������, ������� �� �����$�� ������, � ����-��� — �������� �����. (��� �� �������, �������� �� ����� .����, ���� –3 � 5 ������� ���� � �������. #
-��� � 2. ����’���� ������� �2 + 2� – 8 = 0 ���'�� ����� �� � ������.# &�'�� �1 �� �2 — ����� �������. (���
�1 + �2 = –2, �1 · �2 = –8.
22. ������� ���� 177 !������, � ��$��� ������ ������� ��� ���� ����. �������� �1 · �2 = –8 �
�������� ��� ���' �� ���' ����: –1 � 8; –2 � 4; –4 � 2; –8 � 1. 5� �' �� ��� ��-�� ���� �����" �� ������� –2. (��� �� �������, �������� �� ����� .����,���� –4 � 2 � ������ ���� � �������� � �������. )�$�, �1 = –4, �2 = 2.
.��������. –4; 2. #
-��� � 3. 0����� ������� �������� �������, ������ ��� � � ���� –11 � 4. #6����� ������� ������ ��� � ��� x2 + px + q = 0, ��
� = –(�1 + �2) = –(–11 + 4) = 7; q = �1 · �2 = –11 · 4 = –44. )�$�, ����� ������� �2 + 7� – 44 = 0. .��������. �2 + 7� – 44 = 0. #
������ 1. &� ���’����� ������� 3x2 – 6x + 1 = 0, ����� ���� �� ��������� � ������.# %������� ��������� �������: D = (–6)2 – 4 · 3 · 1 = 36 – 12 = 24.
)������ D > 0, �� ���� ������� ��� �����. +� � x1 �� x2 — ����� �������,
�� �� ������� 1 2 ,bx x a+ = − 1 2cx x a⋅ = ���'����:
1 26 2;
3x x −+ = − = 1 2
1 .3
x x⋅ = #
.��������. 2; 1 .3
#
������ 2. %���� ���������� ������� � �������� � ������� x2 + px + q = 0, �� � �� � ������ � ���� –3 � 6. # &�'�� x1 = –3 �� x2 = 6 — ����� �������. %� ������� .����
p = –(�1 + �2) = –(–3 + 6) = –3, q = �1�2 = (–3) · 6 = –18. .��������. p = –3; q = –18. #
������ 3. %���� �������� ���� ( )21 2 1 25 ,x x x x− + �� �1 �� �2 — �����
������� �2 – 9� + 16 = 0. # %� ������� .���� �1 + �2 = 9, �1�2 = 16. (���:
( )21 2 1 25 x x x x− + = 25 16 9− = 20 – 81 = –61.
.��������. –61. #
178 § 3. �������� �����
������ 4. /���� �1 �� �2 ������� �2 + 10� + � = 0 ������������� �����3�1 – �2 = –6. %���� �� ����� �� ���������� �.# %� ������� .���� �1 + �2 = –10. ��'����� ����� 3�1 – �2 = –6, ��-
����� ������ ������ 1 2
1 2
3 6;10,
x xx x
− = −� + = −
�����: 1
1 2
4 16;10;
xx x
= −� + = −
1
2
4;6.
xx
= −� = −
)�$�, �1 = –4, �2 = –6 — ����� �������. (��� � = �1 · �2 = –4 · (–6) = 24. .��������. –4; –6 — ����� �������; � = 24. #
732. /�$�� � �������' ������ ��� �����. %������� ���� � ������� �' ��-����:�) �2 – 6� + 5 = 0; $) �2 + 6� – 27 = 0; �) 3�2 – 16� + 5 = 0.
733. )�� � ������ ������� ������� 3. %������� ���� ����� �������:�) �2 – 10� + 21 = 0; $) �2 – 2� – 3 = 0; �) �2 – 6� + 9 = 0.
734. /�$�� � �������' ������ ��� �����. +�� � �' ������ ����� ������������? ���’���� �����? ����� ���' ������?�) �2 – 15� + 18 = 0; $) �2 + 15� + 18 = 0; �) �2 – 15� – 18 = 0.
735. .��������� ������ .����, ��������, ���� ���� ���� �� � �����-� �������.
�������� *����) �2 – 11� + 10 = 0 5 � 6 $) �2 + 9� + 14 = 0 2 � 7 �) �2 + 4� – 21 = 0 –3 � 7
#�� � ������ ����� ��� ��� �. �� ���� ���� � ������� �� ��� ��:736. �) �2 + 14� + 36 = 0; $) �2 + 8� – 15 = 0;
�) 3�2 – 4� + 1 = 0; !) 10�2 – � – 3 = 0.
22. ������� ���� 179
737. �) �2 – 9� + 18 = 0; $) �2 + 20� + 25 = 0; �) 3�2 – 16� + 5 = 0; !) 6�2 – � – 1 = 0.
738. %������� ������ ���� q ������� � �������� � ������� x2 + px + q = 0, �� � �� � ������ � ����: 5 � –3; –2 � –6.
739. %������� ���������� p ������� � �������� � ������� x2 + px + q = 0, �� � �� � ������ � ����: 1 � 4; –1 � 2.
$��� �1 �� �2 — ��� � �� � ��� ���������� ����� x2 + px + q = 0. �� -���� �� ������ p � q, ��%�:740. �) �1 + �2 = 4; �1 · �2 = 3; $) �1 + �2 = –7; �1 · �2 = 10.741. �) �1 + �2 = 1; �1 · �2 = –6; $) �1 + �2 = –3; �1 · �2 = 2. �� ���� �� ������ � � q �� � ��� ���������� ����� x2 + px + q = 0, ��-%� ��� ��� �� � &���:
742. �) 5 � 3; $) –2 � 6. 743. �) 3 � 4; $) 7 � –1.
' ����’����& �����, �� ���� ���� �� ������� ��� ��� ��:
744. �) 3,2�2 – 4� + 0,8 = 0; $) 22 4 3 0.3 9
x x− − =
745. �) 0,4�2 + 1,6� + 0,3 = 0; $) 21 3 2 0.4 8
x x+ − =
�� ���� �� ������ � � q �� � ��� ���������� ����� x2 + px + q = 0, ��-%� ��� ��� �� � &���:
746. �) 23� 3;
4− $) 2 5
2− � 2 5 .
2+
747. �) 15� 2 ;
15$) 1 3− � 1 3.+
748. *��� –9 � ������ ������� �2 + 10� + q = 0. %������� ���� ������������ � ���������� q.
749. *��� –2 � ������ ������� �2 + �� – 6 = 0. %������� ���� ����� ��-����� � ���������� �.
180 § 3. �������� �����
750. &� ���’����� �������, �������� �������� ���� (�1 + �2)2 – 3�1�2,�� � �1 �� �2 — ����� �������:�) �2 – 7� + 9 = 0; $) 3�2 – 7� + 2 = 0.
751. &� ���’����� �������, �������� �������� ���� 7�1�2 – (�1 + �2)2,�� � �1 �� �2 — ����� �������:�) �2 – � – 4 = 0; $) 2�2 + 11� + 5 = 0.
752. %������� �������� ���� ( )21 2 ,x x+ �� � �1 �� �2 — ����� �������:
�) �2 – 5� – 14 = 0; $) 2�2 – � – 1 = 0. 753. #�� ��' ������� m ������� ������ ������� �2 + 8� + 4m + 7 = 0 ����-
���: �) 15; $) 19?754. #�� ��' ������� � ������� ������ ������� �2 + 3� + �2 – 14 = 0 ����-
��� 2? ������� ��� ���� &���, ��� ������ ��� ��� �� ����� x2 + px + q = 0,��%�:755. �) q = 7; $) q = –9; �) q = 12. 756. �) q = –5; $) q = 4; �) q = 8. �� ���� ��� � ����� �� � �� ���, �� � �� �� � �� � "����:757. �) �2 + 4� + 3 = 0; $) �2 – 5� + 4 = 0; �) �2 + 7� + 12 = 0;
!) �2 – 2� – 3 = 0; ) x2 – 10x + 21 = 0; �) �2 – 8� – 9 = 0; %) x2 + 5x + 4 = 0; ") x2 – 2x – 8 = 0; �) �2 + 2� – 15 = 0.
758. �) �2 – 9� + 14 = 0; $) �2 + � – 6 = 0; �) �2 – 8� + 15 = 0; !) �2 – 4� – 21 = 0; ) �2 + 7� – 18 = 0; �) �2 + 10� + 16 = 0.
759. %������ �������� ������� � ���� ������������, ������ ��� � �����:
�) 223� –0,125; $) 3 2 5
4− � 3 2 5 .
4+
760. �������� �2 + �� + 8 = 0 ��� ������� �����, ��� � ��' � 4 �� ��������� ���� �. %������� ����� ������� �� ���������� �.
22. ������� ���� 181
761. )�� � ������ ������� �2 + �� – 33 = 0 ������ ��� ���� � �� 14. %���-���� ����� ������� �� ���������� �.
762. /���� �1 �� �2 ������� �2 – 10� + b = 0 ������������� ����� �1 – 3�2 = 2.%������� �� ����� �� ���������� b.
763. #�������, � ������� 5�2 – 3� – �2 – 2 = 0 ��� ����-��� � �������� � �������� ���' ������.
764. %������� ��� �������� b, ��� ��' ������� �2 – b� + 3 = 0 ��� ��� ���������.
765. �������� �2 – 2� – 5 = 0 ��� ����� �1 �� �2. &� ���’����� �������,�������� �������� ����:
�)1 2
1 1 ;x x
+ $) 3 2 2 31 2 1 2 ;x x x x+ �) ( )2
1 2 ;x x− !) (�1 + 2)(�2 + 2).
766. &� ���’����� ������� 10�2 + 3� – 4 = 0, ��������:�) ���� �������� �� � ������; $) ���� ����� �� � ������.
767. ���������� �� ���$��:�) 8�2�3 – 12�3�; $) 3a + 6b – ca – 2cb;�) (a – b)2 – 2(a2 – b2); !) m2 – 8m + 7.
768. 0������� ���:
�) 2 24 10 ;2 4
m mm m m
+ +−− −
$)2
25 1 .
510 25a a a
aa a− +−
−− +769. ����’�$��� ������ ������:
�)3 10;
3 8 4;x yx y− =�
+ = −$) 2 2
3;2 2 .x y
x y x xy y+ =�
− = + +
770. 5� ���' ����� ���� ������ 1900 � ������, �� �� � $ � ���� � ���� ��-��� �� 45 � � �����, � � �� � � — �� 40 � � �����. (��� � ��’����� ����'�� ��$������� ���� � ���� ���� ������ �� 20%, �� � � — �� 15%, � ���� ������ ��$�� ������� 1570 �. %������� ��� � ��$-�� � ����.
182 § 3. �������� �����
771. � ����� ���� � 30 ��'��, � �� �� — 7. (���, � �� �� 5 � ������ ������ '��. %� ��� '�� � �����" ��� ������� ���� ����-������������ ��'��, ��� ����� ��������� ��'�� ����" ���. !���� �� ���,'�� ������ �������� ��' � ����� � ���. 7�� � '������ �����$� �� ��-�����" ?
1.��� �����. ���� �� �� .�!� ������. ��� ������ ��� 2�2 – 3� + 1, �2 + 4� + 5, –�2 + � + 1. /�$�� � �' � ��� ������� �� � � ������� � ������� ����. (��� ��� �������� �������� ��&� ��.
� ��������� ������ ���� ���� ��������� ���!�� �� �� �ax2 + bx + �, � x — ������, a, b � � — ���� �� ��� ��� �, ���!� " � ≠ 0.
%������� �������� � ������ 2�2 – 3� + 1 ��� � = 1 ������� ����./�$���, � ���� 1 � ��� � ��� � ������.
� ������������� ��� �����!� ���� ��� ��������� �������� ����-��,, � ���!� �������� ���� ��� ������% �� �.
8�� ����� ��� ����� �������� � ������ 2�2 – 3� + 1, ����������’���� ������� 2�2 – 3� + 1 = 0. 4������:
D = (–3)2 – 4⋅2⋅1 = 1; 13 1 1 ;
4 2x −= = 2
3 1 1.4
x += =
)�$�, ���� �������� ����� ��� ��� �����: 12�� 1.
#�������� D = b2 – 4ac �������� � ������� ax2 + bx + � = 0 ���-����� � ���������� ���������� ��&� � ax2 + bx + �. %�������: �� �D > 0, �� �������� ����� ��� ��� �����, �� � D = 0, — ��� �����, ��- � D < 0, �� �������� ����� ������ �� ���.
2. ���� � ���� ��� �����!� ���� ��� �� ���"����. %���� ������������� � ������, �� � ��$�� ������� �� ���$�� �� ������ ����"�����:
23. ���������� ������� 183
�������. �*� �1 �� �2 — ������ ��� �����!� ���� ��� ax2 + bx + �, ��
ax2 + bx + � = �(� – �1)(� – �2).
!�� � �. /���� �1 �� �2 ���� � ������ � ������ �������� � ��-����� ax2 + bx + � = 0. (��� �� ������� .����
1 2 ,bx xa
+ = − 1 2 ,cx xa
=
�����
1 2( ),b x xa
= − + 1 2 .c x xa
=
��'����� �� �������, �������:
( ) ( )2 2 21 2 1 2( )b cax bx c a x x a x x x x x x
a a+ + = + + = − + + =
( ) ( )21 2 1 2 1 2 1 1 2( ) ( ) ( )( ).a x x x x x x x a x x x x x x a x x x x= − − + = − − − = − − •
)������ ������ �������� � ������ 2�2 – 3� + 1 � ���� 12� 1, ��
( )2 12 3 1 2 ( 1) (2 1)( 1).2
x x x x x x− + = − − = − −
4 ������ �������� ����� 2�2 – 3� + 1 �� ��� ���$��, ��$��� ��' � ��� ������� ���� � �������. +� � �������� ����� �� ��� ��-����, �� �� � �� ��$�� ������� �� ���$��, ��� � ��� ������� ���� ��������.
������ 1. �������� �� ���$�� �������� �����:�) –6�2 – 7� + 3; $) 2�2 – 2� + 0,5. # �) ����’�$��� ������� –6�2 – 7� + 3 = 0:
D = (–7)2 – 4 · (–6) · 3 = 121; 17 11 1 ;
12 3x −= =
− 27 11 3 .
12 2x += = −
−)�$�,
( )( ) ( ) ( )2 1 3 1 36 7 3 6 3 2 (3 1)(2 3).3 2 3 2
x x x x x x x x− − + = − − + = − − ⋅ + = − − +
.��������. –(3� – 1)(2� + 3) ��� ( )( )1 363 2
x x− − + .
184 § 3. �������� �����
$) ����’�$��� ������� 2�2 – 2� + 0,5 = 0:
D = (–2)2 – 4 · 2 · 0,5 = 0; 1,22 0 0,5.
4x ±= =
�������� ��� ��� ���� �����, ����2�2 – 2� + 0,5 = 2(� – 0,5)(� – 0,5) = 2(� – 0,5)2.
.��������. 2(� – 0,5)2. #
������ 2. 0����� ��� 24 2 .
2 5 3x
x x+
− −
# ���������� �������� ����� 2�2 – 5� – 3 �� ���$��:
2�2 – 5� – 3 = 0; D = (–5)2 – 4 · 2 · (–3) = 49; 15 7 1 ;
4 2x −= = − 2
5 7 3.4
x += =
(��� ( )2 12 5 3 2 ( 3) (2 1)( 3).2
x x x x x x− − = + − = + −
)�$�, 2
2(2 1)4 2 2 .(2 1)( 3) 32 5 3
xxx x xx x
++ = =+ − −− −
.��������. 2 .3x −
#
772. +�� � ���' ��� ������� � �������� �������?�) 2�2 + � – 1; $) –�2 – 3�; �) 32 + 2� + 7; !) 3�2 – 3� – 4�3; ) 2�2 + 4; �) –8z2.
773. +�� � ���� 1, 3, –2 � ������ �������� � ������ �2 – 2� – 3? 774. /����� �������� � ������ 2�2 + 4� – 6 � ���� 1 � –3. +�� � ��-
��� � �������� ��� � ������ �� ���$��?�) 2(� + 1)(� – 3); $) (� – 1)(� + 3); �) 2(� – 1)(� + 3).
�� ���� ��� � ���������� ��&� �:775. �) �2 – 8� – 9; $) 4�2 – 8� + 3; �) 3�2 +2�+3. 776. �) �2 + 3� – 4; $) 3�2 – 8� – 3; �) �2 – 8�+ 16.
23. ���������� ������� 185
777. %������� ��������� ������ �������� � ������:�) 2�2 – 4� + 2; $) 5�2 + 2� + 2; �) 3�2 + 8� + 4.
���������� � ���� ������� ��&� :778. �) �2 – 6� + 8; $) �2 + 2� – 8; �) �2 + 8� + 15;
!) 2�2 – 5� + 2; ) 3�2 – � – 2; �) 3�2 – 6� + 3. 779. �) �2 – 4� + 3; $) �2 + � – 12; �) 2�2 + 3� – 5.
���������� � ���� ������� ��&� :780. �) 4�2 – 6� + 2; $) –�2 – 2� + 8;
�) –0,3�2 + 3; !) 1,2�2 – 0,5� – 0,7;
) 21 2 ;3 3
x x+ + �) 21 2 4.4
x x− + −
781. �) 9�2 – 12� + 4; $) –5�2 – 2� + 3;
�) 0,6�2 – 1,3� + 0,6; !) 21 3 1.8 4
x x− +
782. * ��$�� ������� �������� ����� �� ���$��, ��� � ��� ����-��� ���� � �������?
�) 3�2 – 2 10 � + 3; $) –2�2 + 0,5� – 0,04. (�������� ����:
783. �)22 6 ;4 8
a aa+ −
+$)
2
26 5 1;
4 1x x
x− +
−
�)2
27 10 ;
10 25b bb b
− +− +
!)2
22 .
2 3 2k kk k
+ −+ −
784. �) 23 3 ;
3 4a
a a−
+ −$)
2
24 4 3 .4 8 3
x xx x
+ −− +
(�������� ����:
785. �)2
22 3 2 2 1: ;
12m m m
mm m+ − −
−+ −$)
2
26 2 .
17 6c c
cc c+ −
++ +
786. �)2
21 2 12 ;
15 6b b
bb b− +⋅
++ −$)
2 4 52 5 .1
y yyy+ −+ −
−
186 § 3. �������� �����
787. 0������� ���:
�) ( ) 21 2 1 : ;1 2 1 2 3 1
a a aa a a a
+ +−− − − +
$)2
22 1 1 36 .
6 2 14 12b
b b bb b−� �− − ⋅� �+ − ++ −� �
788. !�������� ���� ������":
�)22 3 1;2 1
x xyx− +=
−$)
2
2
( 4 3)( 1) .2 3
x x xyx x+ + −=
+ −789. ���������� �� ���$��:
�) �2 – �� – 2�2; $) 2�2 + 5�� + 2�2."�������. �) ��� ������ ��� �2 – �� – 2�2 �� �������� ����� � �����������-� 1, –� �� –2�2 � ��������� ��� ����� �� ���$��.
790. 0������� ���:
�)2 2
2 22 3 1;2a ab ba ab b
+ + +− −
$) 2 2 2 23 .
3 2 2yx
x xy y x xy y+
− + + −
791. ����’�$��� �������:
�) 2 5 0;3 1
− =+
xx $) 1 1.
1 1+ =
− +x
x x792. .�� ����� A �� ����� B ���������� �'���� ����� ��� �� ��������
60 ��/ ��. ����� ���'� ��� ��"'�� �� ���� $� ���, ��� �� ��������80 ��/ ��. %������� ������ �������� ����������.
793. !��� ������� ���'� ���������� "'�� �� �������� 60 ��/ ��, � �� �— �� �������� 80 ��/ ��. %������� ������ �������� ����������.
794*. +�' ������� ��$� ������� ��� 1x x− , �� � 22
1 6xx
+ = ?
24. ����, � ����!� �� ���������� 187
795. � ������ �������" � 6 ������ � 5 '������. * ��$� ������ ���, � ���������� ������� � ����� ��������� '������, � ��� '����� — � ������������������ ������?
1. ���$��� ��)���� ��� ��������. ����’�������� ����' �����' �-��������' ������ �������� �� ���’�������� �������' ������. ��� ��-���� �����.
-��� � 1. ����’���� ������� 1 12 .1 2
xx x
+ =− +
# !�������� ��� 122x +� ���� ������ ������� � ������� ���$���
����� ���� �����:
1 12 0;1 2
xx x
+ − =− +
( 1)( 2) 12( 1) 0;( 1)( 2)
x x xx x
+ + − − =− +
2 2 2 12 12 0;( 1)( 2)
x x x xx x
+ + + − + =− +
2 9 14 0.( 1)( 2)x xx x
− + =− +
%������� �������� �, ��� ��' ������� ���� ������� ����:
�2 – 9� + 14 = 0; D = (–9)2 – 4 · 1 · 14 = 25; 5;D =
19 5 2;
2x −= = 2
9 5 7.2
x += =
+� � � = 2 ��� � = 7, �� �������� (� – 1)(� + 2) �� ������� ����. )�-$�, �1 = 2, �2 = 7 — ����� �������.
.��������. 2; 7. #
2. /���� ����� ��������.
� ������ �������� �� � ax4 + bx2 + � = 0, � � ≠ 0, ��������� $���� -������ ���������.
%� ������ �� ����� �2 = � (���� �4 = �2) ���������� ������� ��$������� �� �������� � ������� a�2 + b� + � = 0.
188 § 3. �������� �����
-��� � 2. ����’���� ������� 2�4 – 11�2 + 12 = 0. # %���� ������: �2 = �. )��$�� �������� �������:
2�2 – 11� + 12 = 0. #�� ��� � �������:
D = (–11)2 – 4 ⋅ 2 ⋅ 12 = 121 – 96 = 25; D = 5;
111 5 1,5;
4y −= = 2
11 5 4.4
y += =
!��������� �� ����� �2 = �, �������:
1) �2 = 1,5; ����� �1 = 1,5;− �2 = 1,5;
2) �2 = 4; ����� �3 = –2; �4 = 2.
.��������. –2; 1,5;− 1,5; 2. #
6��'�� ����� �2 = � ���’�������� ���������� � ������� �������� �� ��-�’�������� �������� � �������. .��������� ������� �����, ����� ���� ���-����� ��$�� ���’������ � ����� ���� �������. ��� ������ �����.
-��� � 3. ����’���� ������� (�2 – 3�)2 + �2 – 3� – 20 = 0. # &�'�� �2 – 3� = �. .������� ������" � ����� �������� ������� �2 + � – 20 = 0.
9� � ������ � ���� �1 = –5, �2 = 4.��'����� ������, �������:1) �2 – 3� = –5; �2 – 3� + 5 = 0; D = (–3)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = –11 < 0. )������ ��������� ���’����, �� ������� ������ �� ���.2) �2 – 3� = 4; �2 – 3� – 4 = 0; �1 = –1; �2 = 4. .��������. –1; 4. #
-��� � 4. ����’���� ������� 2 8 0.x x− − =
# &�'�� ,x y= ���� � = �2. 4���� ������� 2 2 8 0,y y− − = ������ ��� � �
���� �1 = –2, �2 = 4. ��'����� ������, �������:
1) 2x = − — ������� ������ �� ���; 2) 4;x = � = 16.
.��������. 16. #
24. ����, � ����!� �� ���������� 189
����’����� �����:
796. �)2
0;4
x xx
− =+
$)2 5 4 0;
5x x
x− + =
−�)
23 5 2 0;4
y yy
− − =−
!)2 3 0;
3x xx
− =−
)2 6 0;2
x xx+ − =− �)
24 11 3 0.3y y
y+ − =+
797. �)2 49 0;
3xx
− =+
$)2 8 7 0;7
x xx− + =−
�)22 9 11 0.
1x x
x+ − =
−
798. �)2 100 0;
3 4 3 4x
x x− =− −
$)25 20 ;4 4
z zz z=
− −�)
2 12 .3 3
y yy y
+=+ +
799. �)26 0;
6 6t t
t t+ =
+ +$)
2 7 2 6 ;4 4
x x xx x
+ −=+ +
�)2 12 4 0.
6 6x xx x
− − =− −
800. �)2
25 2;3
x xx
− =+
$) 2 3 ;2x x
x+ =+
�) 32 12;yy
− = −
!)2
218 4 3;x
x x− =−
)2 7 2 ;
4x xx
− =−
�) 201 .yy
− =
801. �)2 9 14;
1x x
x+ =+
$) 2 15 ;6
x xx
− =−
�) 76 .yy
+ =
802. �) �4 – 5�2 + 4 = 0; $) �4 – 7�2 – 18 = 0; �) �4 + �2 – 6 = 0.
803. �) �4 – 3�2 – 4 = 0; $) �4 – 10�2 + 9 = 0; �) �4 – 7�2 + 12 = 0.
����’����� �����:
804. �)2
212 0;
16x x
x+ − =
−$)
2
2
3 8 3 0;19
x xx+ − =
−
190 § 3. �������� �����
�)2
22 9 5 0;
6 5x x
x x+ − =
+ +!)
22 5 2 0.(2 1)( 2)
x xx x
− + =− −
805. �)2
22 11 5 0;
4 1x x
x− + =
−$)
2
24 4 3 0.4 8 3
x xx x
− − =+ +
806. �) 8 5 9 ;2
x xx x− =
+$) 5 23 12 6 ;
2 1x x
x x+ −=
+
�) 1 2 1;1 3x x
+ =+ +
!) 10 5.3 2
x xx x
−− =− +
807. �) 22( 1) 21 9 ;1
x xx x
− −=+
$) 27 17 1;28x xx
x+ += +
�) 3 29 3.2 6 4xx x+ + =− +
808. �) 222 4 28 2;
2 1 1 21 4 x xx− + = −
− +−$) 2
7 27 18 8;4 4 16x x x
+ − =− + −
�) 2 22 3 2 0;
3 9 3x x x x− + =
+ − −!) 2 2
18 9 27 0.66 36xx x x
− + =−+ −
809. �) 212 8 9 1;
1 11x
x xx−+ + = −
+ −−$) 2 2
3 5 10 0.9 9 81x x x x
+ − =− + −
810. �) �3 – 5� = 0; $) 4�3 – 3�2 – � = 0.
811. �) 2�3 + 4� = 0; $) �3 – 11�2 + 30� = 0.
812. �) 2�4 – 9�2 + 4 = 0; $) 36�4 – 7�2 – 4 = 0;
�) (� – 4)4 – 3(� – 4)2 – 4 = 0; !) (2� + 3)4 – 20(2� + 3)2 + 64 = 0.
813. �) 4�4 – 17�2 + 4 = 0; $) 9�4 + 8�2 – 1 = 0;
�) (� + 2)4 – 8(� + 2)2 + 7 = 0; !) (3� – 1)4 + 6(3� – 1)2 + 8 = 0.
814. %������� �������� ����� ������� (� + 5)4 – 2(� + 5)2 – 3 = 0.
815. %������� ��������� ����� ������� 2�4 + 5�2 – 3 = 0.
24. ����, � ����!� �� ���������� 191
816. ����’�$��� �������:
�) 24 10 15 ;
1 2 2 14 4 1x
x xx x+ − =
− ++ +$) 2
2 7 14 0;5 3 2 15
xx x x x
+ + =− + − −
�) 26 8 1 2;
2 53 10x x
x xx x+ +− + =
+ −− −!)
2 2
2 2
3 2 1 2 ;2− + − −+ = +y y y y
yy y
)2
2
3 2 2,5;2 3
y y yy y y
− −+ = −− −
�)2
24 9 3 2.
3 4 9x x x
x x x+ + −+ = −
− + +
817. ����’�$��� ������� � �������� �:
�)2 2 3 0;x x
x a− − =
+$)
2 ( 1) 0.2
x a x ax
− + + =−
818. ����’�$��� �������:
�) 2 2 2( 1) 11( 1) 24 0;x x− − − + = $) 2 2 2( ) 2( ) 8 0;x x x x− + − − =
�) ( )( )2 25 5 2 24;x x x x+ + − = !) ( )( )2 22 1 2 3 8;x x x x+ + + + =
) ( )22 5 7 ( 2)( 3) 1;x x x x− + − − − = �) (� – 1)(� – 2)(� – 3)(� – 4) = 120;
%) (� – 1)�(� + 1)(� + 2) = 24; ") (� + 3)2(� + 2)(� + 4) = 12.
819. ���������� �� ���$��:�) �4 – 10�2 + 9; $) (b2 + 2b)2 – 2(b2 + 2b) – 3.
����’����� �����:
820. �) 2 3 5 3;x x− + = $) 23 14 9 1.x x− + =
821. �) 6 5 0;x x− + = $) 6 0;x x+ − =
�) 1 2 12;x x− + = !) 20 22;x x+ + =
) 2 23 7 3 5;x x x x− − = − − + �) 2( 1)( 4) 3 5 2 6.x x x x+ + = + + +
192 § 3. �������� �����
822. ��������� ��:
�)2 6
3 424 ;32
a ca c
�)4 2
2 2
4 .2
x yx y y
−+
823. ��� ��� ���������� ( )4 : .ab a ba b a ba b a b
−− + = −+ +
824. ��������� �����:
�) 5 8 3 16 6 32 6 64;+ − − �) ( )( )3 2 12 8 .+ −
825. ������� ��� ������� 5% ���� (�� �����). ������� ���������� ���������� ������� ���� � 30 �� ��������, �� � ����� ������, � ��������������� ����� ���� ��������� � 1,5%?
826. � ��! ��� ��������� ��� ����� �������� ����"��� ��"�!� � � ��-��� ���. #���"��"� 2 ��, ��"�!� ������� � ����� ����, ���� �� $ ���� ����!�� 6 ��. %������ "������� ��"�!��, ���� ���� �� 8 ��/��� �"� �� "������� � ����� ����.
827. &���� ����� ������ ��'������� � ����� �� � ������ �������. ��� -���, �� �� $�� ������ ��������� ��� ����� ����� �, �, �, ��� ��'���-���� ���� �������� � ����, �� ����� � — � � ��� ������� ��.
(� �� ����’������� ����� �� �������� �������! ������� � ���)�������� �� ���� � �������! ������� �� ���� ��������. *������ �� �����,����’�������� ���! �������� � ��������! �������.
������ 1. ������� ������� �"�� �� 1,3 � ���"� �� "�����. %����� �����-�� �"��, ���� �� ����� ������) 3 �2.
25. ����’������ ���� �� ��� ���� �������� ����� 193
� ����� ���� ��� � ������ � �. ���� ������ ��� � ������(� + 1,3) �, � ����� — �(� + 1,3) �2. �� ������ ������ ����� ��� � ������3 �2. ����� ����: �(� + 1,3) = 3, ���� � �2 + 1,3� – 3 = 0. ������ ���-����� ���� � �� �� �1 = –2,5 !� �2 = 1,2. "���� ��# � �������#������� ������. $!��, ���� ��� � ������ 1,2 �, � ������ — 1,2 + 1,3 = = 2,5 (�).
%�������#. 1,2 �; 2,5 �. �
������ 2. ��!��� ���� �� 2 ��� ������ 15 � �� !����� �� � � 14 ���!� !���&. ���!� ���� � !# ���� � !����� ����, � �� ���� � !# !�-��& �� � ������ 3 �/���.� ����� ���� � !# ���� � !����� ���� ������ � �/���, !��� ����-
� !# ���� �� !����� �� � ������ (� + 3) �/���, � ��!� !���& — (� – 3) �/���.
'��� 15 � �� !����� �� � ���� ������ �� 153x +
���, � ���� 14 �
��!� !���& — �� 143x −
���. �� �� # ���� ���� ��!�!�� ( )15 143 3x x
++ −
���,
�� �� ������ ������ ������ 2 ���. ����� ����:
15 14 2.3 3x x+ =+ −
(���’����� ������ ����:
15 14 2 0;3 3x x
+ − =+ −
15( 3) 14( 3) 2( 3)( 3) 0;( 3)( 3)
x x x xx x
− + + − + − =+ −
22 29 15 0;( 3)( 3)
x xx x
− + + =+ −
22 29 15 0;( 3)( 3) 0;
x xx x
�− + + =�
+ − ≠��1 = –0,5; �2 = 15.
)� �� –0,5 � �������#�� ����� ������. $!��, ���� � !# ���� � !��-��� ���� ������ 15 �/���.
%�������#. 15 �/���. �
������ 3. *�� ��!���!��� ���&, ��+���� ����, ����!����� �������� ��-!�� ��� ��� �� 4 ��. �� ��# � ��� ���� �� ��!� �������� �������, ��+���� � ���, � �� ���� ���� +� ��,�!� � 6 ��� ����-��, �� ����?
7* %. ����� . -���,�. 8 �.
194 § 3. �������� �����
# %� ������ ������ ��������� ������:
)������&����*
#�����������
$���� ������ �,��� ������� �� �� � �
5 x 1x
55 x + 6 16x +
5 � 55 4 14��� 1
x + 1
6x +
4���� �������: 1 1 1 .6 4x x
+ =+
����’�$��� ���$��� �������:1 1 1 0;
6 4x x+ − =
+4( 6) 4 ( 6) 0;
4 ( 6)x x x x
x x+ + − + =
+2 2 24 0;4 ( 6)x x
x x− + + =
+2 2 24 0;
( 6) 0;x x
x x�− + + =
+ ≠�1 = –4; �2 = 6.
*��� –4 �� ����������� ����� ������. )�$�, ���� ����� ��$� �����-� ���������� �� 6 ����, � �� � — �� 6 + 6 = 12 (����).
.��������. 6 ����; 12 ����. #
�� ��� 4. !�"�� ��� ������� � ����� �� 20 '�. #�� �� � �� ���� ��������� ��������� ������, ��� �� 160 �� ��� ���" ������" ����������� �������� �� 16 ��/ ��. %���� ��������� �������� ��"���.
# %� ������ ������ ��������� ������:
+���� ���� ,���, �� ,�������,��/ ��
$��, ��
,�� ���������� 160 � 160x
:�������������������� ��
20 '�160 � + 16 160
16x +
20 '� = 13 ��.
25. � �’ ����� ���� � ��������" ���������� ����! 195
4���� �������: 160 160 1 .16 3x x
− =+
����’�$��� �������, �����$�� ����� �� � ����� �� 3x(x + 16): 480(x + 16) – 480x = x(x + 16); 480x + 7680 – 480x = x2 + 16x;
x2 + 16x – 7680 = 0; x1 = –96; x2 = 80.
+� � x = –96 ��� x = 80, �� 3x(x + 16) ; 0, ���� ���� ���� � �������������.
*��� –96 �� ����������� ����� ������. )�$�, ��������� �������� ��-"��� ���������� 80 ��/ ��.
.��������. 80 ��/ ��. #
828. .�� ��������" ���� ��������" ��� ������� ��� � ������10 ��. %������� ��������� ���� ����, �� � ��� � "" �����, ����-���" ����� ��������� ��� , ������� 1200 ��2.
829. !�� � ������ ���������" ��� ������� 32 �2. #��$�� ������ ��4 � ������ ��� "" ��. %������� ���� ������.
830. %������� ����� ����������, ����� ��� � ������� 30 ��, � ���- � — 56 ��2.
831. #������ ���' ���� ������� 135. %������� �� ����, �� � ���� � �' ��6 ������ ��� ���� �.
832. )��� ���� ����� ��� ���� � �� 20, � "' ������� ������� –91. %��������� ����.
833. ������ ���' ������' ���� ������� 23, � "' ������� — 420. %��������� ����.
834. .������� ��$ ����� ������ ������� 180 ��. !���$���� ��"�������� ���' ��$ �� ������ �� 1 �� �����, ��$ ������, �� ��- � �������� ���� �� 30 ��/ �� ������ ��� �������� ������ �. %���-���� �������� ��"����.
835. 8�� ������ � ����� �� ����, ������� ��"'�� 40 �� �� ����, � ��-��� � 8 �� �� <������� �����. &� ���' ��� ����� �� ���� ����������
196 § 3. �������� �����
������ 1 ��. %������� �������� ����������� �� ����, �� � ���� ��10 ��/ �� ������ ��� �������� �� <������� �����.
836. (��� �� ����� ��� ��� � ����� 96 �������. . �������� � ��-� �� 2 ������ ������, ��$ �����������, ��� ������ �������� �� 4 �������. 0����� ������� ���� �������� � ������� � ���?
837. =���� ����� �� ����’���� 20 ������� ������ �� ����� ���. +�� �������� � ��� �� 1 ������� ������, �� ������ � ���� �� 1 �������. 0����� ������� ����� =���� �� 1 ��?
838. /��� �� 1 �� ������ 12 �� �� ������ ��� � 9 �� ��� ����". %���-���� �������� ����" ���, �� � �������� ����� � ������� ���� ����-��� 21 ��/ ��.
839. 4����� ����� �� 2 �� ������ 24 �� �� ������ ��� � 6 �� ��� ��-��". %������� �������� ����� � ������� ����, �� � �������� ����" ���������� 2 ��/ ��.
840. &������ ������� � ���������, ��� ��� ���� ����������, ���-���� ���$�� ������ 3 �. %������� ���� ���������, �� � �� ����$�� �� 12 � ������ ��� ��, � �� ����� ��� � ��������� �����$� ������� 1260 �2.
841. 5� ��������� � ���� $����, ���� ��� ���������� 30 �� × 48 ��, ������� � �-���� ������ ������. #�� ��� � �� ����'���������� ������� ������, � ������� ����� ��" ���� (�. 16). %�������,���� ������$� ��� ��� ������ ������ ��������, �� ��� � ��� ����� ������-���� 1008 ��2?
842. )��� ���� ������ ��� ���� � �� 3. +� � ��� ������� ������ � ���������� ����� ����, �����$��� �� 10, �� ���$�� 69. %������� ������.
25. ����’������ ���� �� ��� ���� �������� ����� 197
843. ������� �� �� ������ ��������� �� ��, ������ ��� ���� �������� ��� ����� ������� �� 180.
844. ��������� ��������� ����� �� 2 ������ �� �� ������. ���� �� ��- ������ ����� ������ 1, � �� ���������� ������ 3, �� �������� ����,
���� �� 720
������ �� ������. ������� ����� ����.
845. � ����� ��������� ����� ������ �� ���������� �� 5. ���� �� ��- ������ ����� ������ 3, � �� ���������� ������ 1, �� �������� ����,���� �� 6,5 ������ �� ������. ������� ����� ����.
846. !���� ������� 72 �� . ��� �� ��������� ����� ����� �� ������������’"����. #� �� ��������� ����’"���� $��� ������� � ��� ����-���� �� 300 ���, ���� ������ �� ���� ����’"��� �����. %����� ��-���� ����’"����?
847. #� ������������ ����� �������� 300 �������. &� �� ��� ��������� ����� ���� ��� ����� � ������� �� ������ �� 2,5 ��� �����, ���� ������ ������� �� 4 ������ �����, ��� ������. %����� ������� �������� ���� ��������� �����?
848. '� �� �������, ���$""�� �����, ����� ����� �� 3 ��� 45 �. &��-��� �� ������, ���$""�� ��, ���� ����� ����� �� 4 ��� �����,��� ������. �� ���� �� ���� ����� ����� ������ �� ������, ���-$""�� ������?
849. '� ���������, ���$""�� �����, �������� �����" ������� �� 6 ���.&����� ��������, ���$""�� ��, ���� �������� $" �����" ��������� 5 ��� �����, ��� ������. �� ���� �� ������ �������� ���� ���-����� �����" �������, ���$""�� ������?
850. '� ��������, ���$""�� �����, ������ �� 1 ��� ������� ����. �� ����� ��� ���� ������ � ���� ������ ������� ������, ���� ���� ���� ���� $� ������� �� 3 ��� �����, ��� �����?
851. &���� ������� ���� ������ �� ������ �� 3 ��� �����, ��� �����. ��-�� ����� ������� ������$"( 6 ���, � ����� ����� 4 ���, �� ��� ���-������ � " ������. �� ����� ��� ���� ������ �� ������ ���� ������������?
198 § 3. �������� �����
852. %� 4 ��� �������" ���� ��� ����� ������ 35���� � ��������. !�-
�� ������ ��$� ������ ��� �������� �� 3 ��� �����, ��$ �� �.%� ��� ��� ��$� ������ �������� ��$�� ������, ������ �����?
853. % ����" ������ ����� 2880 � ������, � � �� �", ��� � ���" �� 12 ������, — 2160 �. %������� ��� � ��$��" ������, ��� ������, � ���$�� � ����� ����" ������ ����� ������ �� 4 � ������, ��$ ���$�� � ����� �� �".
854. 4����� ����� ����� 15 �� �� ���� � 30 �� �� ����, ��� ������ �����. &� ���' �� ���� ��� ������ ���� �� 1 �� 10 '� �����, ��$ �����' �� ����. %������� �������� ����� � ������� ����, �� � ������������" ��� ������� 3 ��/ ��.
855. /��� ����� 9 �� �� ������ ��� � 14 �� ��� ����", ������� ������ ���' ������ ����, ������ ���� ������� ��� ��������� 24 �� �������� ����. %������� �������� ����� � ������� ����, �� � ������������" ��� ������� 2 ��/ ��.
856. % ���� � ���� � ����, �������� ��$ ��� ������� 24 ��, �"'�� ����-������, � ���� 12 '� ����� �� �� �"'�� ����������. � �� � ���� ��-�������� �� ���������� ���� ���������. %������� �������� ����-������, �� � ���� �� 20 ��/ �� ������ ��� �������� �����������.
857. !�"�� ��� ������� �� ������" �� 6 '�. %������� �������� ��10 ��/ ��, ��� �� ��� ��� ������$� 90 �� ���������� ����������� ��� �����. %������� �������� ��"��� �� ��������.
858. /�$�� ������ 8 ����� ��������� ���� ���� ���� ��$��� ����� ���-��� �����. 0����� ���� � ������ � �����, �� � �� ���� ��� ���������210 ���� �����?
859. (���� C ����� ������� AB �� ��� ����� ���, � AC : CB = CB : AB.((��� ����� ������� �������� «������ �������», ��� «������ ���-����».) %������� ���������� AC : CB.
25. � �’ ����� ���� � ��������" ���������� ����! 199
'�$�� -�������, /�!������� (����-��� � -���)
860. #�� ��������� ��� ��������" ���$�� �������� ���� �� ������$�� ������ � ���� 4 � ����� ���� ��� �� � �������. %������� �-��� ���$�� � �������� �� 1 �, ���$���, � �������� ����� ��-����� 340 �/�, � ������, ������, �� ���� t c ������� 5t2 �.
861. .������ ���� �� ����� 5000 � ��� ����� ������� ���', � ����2 �� �� �� � �'���� ���� 6498 �. 0����� ��������� ���' ���'�-����� ����?
862. 8�� ����� ������ � ����, ������ �������� ������� �� 9 ������� ����, ��$ �� ���, � �� 3 �� ������, ��$ ���� �� �������" ����.%� ��� ��� ��$�� �������, ������ �����, ��$� ����� ���������?
863. =��������� �� ����� ��� ��� ������� ���' 250 ��, �'����� �� ���-��� ��������. =�� ���� 2 �� ����� ������� �'� ��� ��� ��������� 5 '� �, �� ���� �� ����� ��������� ������, ������� ���-����� �� 5 ��/ ��. %������� �������� ���������� ���� �� ���' ���' ��� �'�.
864. , ��� �� 5 ������ � ���� � ���� �� ����� ��� ���� � �����700 �������. /�� � ��� ���������� 5 ����, ������, ��� � ����-��� �� ���� �� 2 ������ �����, ��$ ��$�� � ������, ����� ���� �-
200 § 3. �������� �����
����, ���� �� ���� �� � ���� ���� ����� �� �� 650 � ��� �.������ � ��� � ������ �� 1 � �� �� ��?
865. ��������:
�) 42,25 0,04 3600;9
⋅ + ⋅ �) 1218 50 .75
⋅ +
866. ��������� ���:
�) 70 30 ;35 15
−−
�) ( )2
5 21 5 21 .− + +
867. ��������� ��� � �������� ���� ���� ���:
�) 1 41 1 1
b bb b b
+ + ⋅− − +
, ���� b = 2;
�) ( ) 211 :1 1
� �+ − −� �− −� �mm m
m m, ���� � = 0,8.
868. �� ����, �� ��� ��� �������� ���� �� ������ ���� ��� ����
( )2
2 2 : 1a b aa b a ba b
− −− +−
������ 1.
869. !��’�"��� �������:
�) �4 – 12�2 + 27 = 0; �) 15 16 0.x x− − =
870. # ��"��� ���� ���� ������� ����, ���������� �� ������ 17. $� ��� ���� ����� �� � ����-����� � ��� ��"�� ������� 1. % ��"�� �� ������ ���� ����� ��-���� ����, ��� ��� ���� � ����� ��-�� �������� ���� ������ ����?
���. 17
#���� ���� 201
/������� ������� ����' ���� ���� ���’������ ���������� ����� � ������ 2 ��. ���� �� �. �. !������ ������ ����� �� ��������� �������-� ���’������ ����� �� �������' ������ �������� (� �������-��� �������). � IX ��. ������� �������� 1�+���� $�� 1��� � -2������ ����� � ������������ ������ ���’�������� �������' ������.� ������� «/���� ��-�$�� ��-��������» ��� ������ ���� ���’�������������� ��� ax2 = bx, ax2 = c, ax2 + bx = c, ax2 + c = bx, �� �, b, � — �����������. !���� �������' ������ �� ���� �� ���������� ��, � �� ������ �� ������� ���’���' ����, ���� ���������� � ������� ��� ��� ��-�����. %�������, � � ���’���' ������ ���� �� ���'���.
4������� ������������ � 0'��� ����� ����$ ������ ���’���-����� ������' ������ — ������ ��� ax3 + bx2 + cx + d = 0, �� a ; 0. !�������� �� ����� ������ ��� ������ ���' ������ "� �� �������.
����’���� �� ������� � >����. )����� � XVI ��. ������ ��� ��-���� ������� � ������� ����� ���� ����� �������� ����������" ��-������.
� XVI ��. � 5����" ��� ������ ���������� ����, �� ��' ���-��$��� ������� �� �, '�� ���’�$� ������ �����, �����������' ����-����. ������ ����� �� ��������� ��� �� ������, ��� ��� �� ��-�’����. (��� ��� �������� ���'��� ����� ���’�������� ����� ����� ����, ��� �� �������� ������ ���� �����. .������� ��������, ��� �� ������ �� ���������� ���� ���' ���������� �, ����� ��� "', ���-��� ����� ����������� � ���������. /�� ������ � ���������' ������-���� ���� ������ ������ ���’�������� ������ ��� �3 + �� = q, �� � � q — ������� ����, ��� ������ �� ���������� ���� ���������-������������� � ����� �� (1499 – 1557). %� ������ ���� �� ����� (������ ����-��� �� ����� ����� ���’�������� ������' ������ � ����� , ��������’����� ��� 30 �����, �����������' ���� ��������.
202 § 3. �������� �����
�"��� ��� ��� ���(1501 – 1576) —
���������� ��������,�������, ����
%������� (������� ������ ��� ������������� � ������� ����������� ��������������� �"��� ��� ��� ��� (1501 – 1576),��� �������� "" ��� (�����". %��� �� ������������ �� ������ /�����1. % ���� 3�, "�&������ (1522 – 1565), ����� /�����, ������������� ���’�������� ������ 4- � �������.
3���� ��� ������ ������ ��� 1- � ��4- � �������� ��$���� �� ����� ���� �����-����� �������. +� � ��� ����� ���������$�� ���� ���� �� � ���������� �� ��-���� �� ��������� � ���� ��� ���������, ���-�������, ���$����, ������� � ��������� �����,�� ��$���, � �� ������� ��$�� ����’������� ���*&�, ��� ����’���� � ��������.
�� �� 4����+ �$� �(1802 – 1829),
�������� ��������
* ��$�� ���’���� � ������' ��������’��� � � � ' ��������? !��� �� ���$����' ������� ���� ���������� ��������� ���� ������ ��� �������. :�� �� �������X5X �������� �������� �������� �� �� 4��-��+ �$� � (1802 – 1829) �����, � ���� �������� �� ������� ������ ���’���� � ������'����$���.
!��� �� �� �������, � ������ ������� � ������� � ������� �� ��$�� �����. &������ ��� �� ����' �����, ��� ��$�� ������ ���� ���������� �������.
1 /����� ������ ����$ �� ����� ���'����: �� �� � ������ ����$��� ���� ��-���� ������ �� ��'������ ������� ���, ������� �����, ������� �������.
$������� ������ �� ��������� § 3 203
��������� � ������ � ���������� § 31. +�� ������� �������� ��������?2. +� �������� ���������� �������� � ������� ax2 + bx + � = 0?3. ���$��� �� ������' �������' ������.4. +� ���’���� �������� ������� ��� ax2 + bx = 0? 5. +� ���’���� �������� ������� ��� ax2 + � = 0? 6. ���$��� ����� �������� � ������� ax2 = 0. 7. +�� ������� �������� ������� �������� ��������?8. %� ���� ������� ��������� ��������� �������� � ��-
�����?9. 0����� ������ ��� �������� �������, �� �D > 0? D < 0? D = 0?10. %� ���� ������� ���'����� ����� �������� � �������? .-
������ �� ������.11. 0��������� ������ .���� ��� ������� � �������� � �����-
��. #������� �� ������.12. *��� ������� ���� �� ������� ������ �������� � �������
ax2 + bx + � = 0? 13. +�� ��� ����� �������� �������� �������?14. +� ������� �������� ����� �� ���$��? &������� �-
����.
����’����� �����:
871. �) 0,3�2 – 4,8 = 0; $) 20,5 – 4,1�2 = 0;
�) 153�2 – 2 = 10; !) 2,4�2 – 3
8 = 4,425;
) 6�2 – 3,6� = 0; �) 5,3�2 – 1,06� = 0.
872. �) �2 – 5� – 14 = 0; $) �2 + 4� – 60 = 0;
�) 2�2 – � – 1 = 0; !) 4�2 – 11� – 3 = 0;
) 5�2 – 21� + 4 = 0; �) 3�2 + 5� + 2 = 0.
873. * ��$� �������� ���� �2 – 5� + 15 ��������� 5?
204 § 3. �������� �����
874. ����’�$��� �������:�) (� – 4)2 – 36 = 0; $) (2� + 3)2 – 25 = 0; �) (� + 4)(� – 1) – 5� = 2�2 – 4; !) (� – 3)2 – (3� – 5)2 = 0; ) (7� – 1)2 – (� + 9)2 = 0; �) (� – 5)2 – (3� + 2)2 = (4� – 1)(� – 4).
875. %������� ���� �� ������� ������ �������:�) �2 – 7� – 4 = 0; $) 5�2 + 24� + 6 = 0.
876. %������� ������ ���� q ������� � �������� � ������� x2 + px + q = 0, �� � �� � ������ � ���� 15 � –2.
877. %������� ���������� p ������� � �������� � ������� x2 + px + q = 0,
�� � �� � ������ � ���� 2 3− � 2 3+ .
878. *��� �1 �� �2 — ����� ������� � �������� � ������� x2 + px + q = 0. %������� ���������� p � q, �� �:�) �1 + �2 = 4; �1 · �2 = –5; $) �1 + �2 = –2,7; �1 · �2 = 0,5.
879. �������� �2 + 3� – 6 = 0 ��� ����� �1 �� �2. &� ���’����� �������,�������� �������� ����:
�) (�1 + �2)3 – 3�1�2; $) 1 2
1 2
2.
x xx x+
880*. &� ���’����� ������� �2 – 4� – 7 = 0, �������� �������� ����2 2
1 2 ,x x− −+ �� �1 �� �2 — ����� �������.
881. %������� ����� ������� (����):�) �2 + 3� – 4 = 0; $) �2 + 7� + 10 = 0.
���������� � ����:882. �) �2 – 10� + 21; $) 2�2 + 3� – 5; �) �2 – 8� + 16.
883*.�) �4 – 7�2 + 12; $) �2 – 4�� + 3�2; �) 2�2 – mn – 10n2.
884. 0������� ���:
�)2 3 18 ;
3+ −
−x x
x$)
2
24 3 1;
6 5+ −
+ +x x
x x�)
2 2
2 22 15 .
2 9 9+ −− +
a ab ba ab b
885. 0������� ���:
�)2
22 5 3 2 8 ;
2 112a a a
aa a− − +⋅
++ −$)
2
26 8 2 .
13 4x x
xx x− + +
+− −
$������� ������ �� ��������� § 3 205
886. #�������, � ��� ���' �������' ������� ������" �������� ����2
24 4 3 4 2:
2 54 4 15m m m
mm m− − +
++ −������� ���� ������ ����.
����’����� �����:
887. �) �3 – 3� = 0; $) �3 – 0,64� = 0. 888. �) �4 – 3�2 + 2 = 0; $) �4 – 8�2 – 9 = 0;
�) (� + 7)4 – 2(� + 7)2 – 8 = 0; !) (5� – 2)4 – 7(5� – 2)2 + 12 = 0.
889*.�) ( )22 2 6;x x x x− + − = $) ( ) ( )22 23 2 4 3 2 5 0;x x x x+ − + − =
�) ( )( )2 21 2 12;x x x x+ + + + = !) 2 2( 4 1)( 4 3) 12 0.x x x x− + − − − =
890*.�) 3 4 0;x x+ − = $) 2 7 7 5.x x− + =
891. �)2 5 24 0;
3z z
z+ − =
−$)
2 5 5 11 0;2 2
x xx x
− ++ =+ +
�) 7 13 ;2 3x xx x+ −=−
!) 1 2 ;5 3
x xx x
+=+ −
)21 3 4 ;
3 1 ( 3)( 1)x x x xx x x x
− + + −− =− + − +
�) 2
5( 2)2 3 0;4 416
xx xx xx
++ − + =− +−
%) 22 1 2 12 5 ;
2 5 3 10x x x
x x x x− + −− =
+ − − −")
2
22 1 3 2 1,5.3 2 2 1x xx x
− +− =+ −
892. %������� ��������� ����� ������� �4 – 17�3 + 72�2 = 0.
893. %������� ���� ������ ������� (�2 – 5� – 24)(2�2 – 5� + 3) = 0.
894. %������� ������� ������ ������� 11 3 332 1 1
− +− =− −
x x .x x
895*. /���� ������� �2 – 16� + � = 0 ����������� �� 1 : 7. %������� ������������ �� ���������� �.
896*. #�� ��' ������� � ���� ������ ������� �2 + (2 – � – �2)� – �2 = 0 ��-����� ����?
897*. %������� �������� k, ��� ��' ������� (k – 3)�2 + (k2 – 4k + 3)x + 1 = 0 ��� �����, � � �����$�� �����.
898*. #�� ��' ��������' ������� k ������� k�2 – 2(k – 3)x + k – 4 = 0 ��������?
206 § 3. �������� �����
899. )��� ������ ���������� �� 3 �� ����� ��� ����", � �� � ��� � ��-����� 130 ��2. %������� ����� ����������.
900. %������� ��������� ����, ��� ����� ��� ��� � ������� �� 12. 901. #������ ���' ���������' ��������' ���� ������ ��� "' ��� �� 5.
%������� �� ����.902. %������� ���� � ���������� ������ ����, �� ���� �������� ���'
���' ���� ���� ������� ��� ������� ����� � ���� �� 9. 903. )�� ����� ��������� � ������� �� 1 �� ������ ��� �������� �
�� 1 �� ����� ��� ���� � ������. %������� ����� �������.904. 6�� ������ ����� ��� ���$� �� 1 � � ��� ��� ����� — �� 2 �.
%������� ��� � ������.905. %������� ������� � ���� �� 7 ������ ��� ��������. +� � �� �-
������� � ��������� ���� ����� 2, �� ���$�� ���, ������ ���
���� � �� 112
. %������� ���� ���.
906. 0��� �������� � ��������� ������� � ���� ������� 13. +� � ���������� ���� ����� 7, � ��� ��������� ������ 9, �� ���$�����, ��� � ������� � ���� ����� ��� 3. %������� ���� ���.
907. /��� ����� 18 �� �� ������ ��� � 16 �� ��� ����". &� ���' �� ��-���� ��� ��� ������ ���� �� 15 '� �����, ��$ �� ���' ��� ����".%������� �������� ����" ���, �� � �������� ����� � ������� ����������� 20 ��/ ��.
908. .�� ������ ������ ����, � ���� 9 �� — ������ �����, ��� �����- ��� ���� �� �������� 21 �� ��� ������. %������� �������� �����, �� ����� �� 12 ��/ �� ����� ��� �������� ����� �� ������ ���.
909. .������� ��$ ��������� �������� A � B ������� 230 ��. %� ������" A�� ������" B ���� ������ ��"��, � ���� 1 �� �������� ���� ��������" B — ����$����. !�"�� �������� �� �������� 140 �� ���������" A. %������� �������� ����$���� � ��"���, �� � ���� ��20 ��/ �� ������ ��� �������� ������ �.
910. =��������� ������� ���' ��$ ������ A � B ������$� 132 ��. !���-������ �����, ��� ������ �������� �� 6 ��/ ��, ���� ������ ��
$������ �� ������������ % 5 207
������� ���' �� 10 '� ������, ��$ �� ���' ��� A �� B. %��������������� ���������� ��� ��� �'� ��� ����� A �� ����� B.
911. .����$�� ���������� ������ �����$ � ������ A � ����� B, ��������
��$ ��� ������� 48 ��. !��������� �����, ���������� ��"'�� 14
���'� � ���� $ ��������, � ���� "'�� ��� A �� B, � ����� ��������������� �� 12 ��/ ��. %������� �������� ���������� ��� ��� �'� ���A �� B, �� � �� ���' ��� A �� B � �� ������� ���' ��� ������1 �� 30 '�.
912. #�� ��������� ����" ����$����� ��$��� �� �������� �� 4 ���.(���� ��������� ���� ��������� ��$� �� �� 2 ��� �����,��$ �� �. %� ������ ���� ��$� �� �������� ��$�� ���������,������ �����?
913. #�� ������ ��$��� ������ 35�������� �� 4 ���. %� ������ ����
���$� ������ �������� ��$�� ������, ������ �����, �� �������� �������� ��� � �' ������ �� 5 ���� �����, ��$ ����?
914. .����$, �� ����� ���� ��� � ������� 60 �, ��� ������� �� ��������-��', �������$��� "' ������. . �������� ������ ��� ���������� ���-��$� ����� �� 2 ���������� �����, � ���� �������$� �� ��$������������ �� 1 � �����$� ������, ��$ �������� �����. 0����� ����-������� ����� ��� ���������� �����$�?
915*. � ������ ������� ���������� � ������ 2000 ����� �������",� � �� ��� �������� ����� �� �%. � ������� $ ������� ����-������ � ������ 3000 ����� �������", � �� (� + 5)% ������, ��$� �� ���. %������� �.
��� ���� � ������������� 5 5
������ 1
1. %������� ����� ������� �2 – 2� = 0.�) 1; –2; $) 0; –2; �) 0; 2; !) –1; 2.
208 § 3. �������� �����
2. ����’�$��� ������� �2 – 64 = 0. �) –64; 64; $) 0; 64; �) –2; 2; !) –8; 8.
3. #�������� �������� � ������� 3�2 + 2� – 1 = 0 �������:�) 22 – 4 ⋅ 3 ⋅ (–1); $) 22 – 4 ⋅ 3 ⋅ 1; �) 32 – 4 ⋅ 2 ⋅ (–1); !) 12 – 4 ⋅ 3 ⋅ 2.
4. ����’�$��� ������� �2 + 7� – 8 = 0. �) 1; 8; $) 7; 8; �) –8; 1; !) –1; 8.
5. 0��� � ������� ������ ������� �2 + 11� + 30 = 0 ���������� ������-���:�) 11; 30; $) –11; 30; �) 11; –30; !) –11; –30.
6. /����� �������� � ������ �2 – � – 6 � ���� –2 � 3. +�� � ����� ��������� ��� � ������ �� ���$��?�) (� – 2)(� + 3); $) (� – 1)(� + 6); �) (� + 2)(� – 3); !) (� – 2)(� – 3).
������ 2
7. ���������� ������������� ��$ �������� (1–4) �� "' ������ (=–#). 1) �2 – 4 = 0; �) –2, 6; 2) �2 – 4� = 0; /) 0, 2; 3) �2 – 4� – 12 = 0; �) –2, 2;
4)2 4 12 0.6
x xx
− − =−4) 0, 4;
�) –2. 8. ���������� �� ���$��:
�) �2 + 6� + 8; $) 2�2 – 5� + 3.
9. %������� ���� �� ������� ������ ������� �2 – 10� + 24 = 0.
10. ����’�$��� �������:
�) (� + 3)(2� – 1) = �2 + 5� – 7; $)2 6 3 0.
2x x
x+ − + =−
11. #������ ���' ���� ������� –24. %������� �� ����, �� � ���� � �' ��11 ������ ��� ���� �.
$������ �� ������������ % 5 209
������ 3
12. ����’�$��� �������:
�) 2 16 3 0;3
x x− + = $) �4 + 5�2 – 6 = 0.
13. %������� �������� ���� 2 21 2 1 23 3x x x x+ , �� � �1 �� �2 — ����� �������
3�2 + 5� – 2 = 0.
14. ����’�$��� �������:
�) 3 5 ;1 2 4
xx x
− =− +
$) 28 3 5 .
3 39x x
x xx+− = −
+ −−
15. %������� �������� b, ��� ��' ��� � ������ ������� 2�2 – 4� + b = 0 ���� ������ ��� ���� �.
16. % ����� A �� ����� B �"'�� ����������. *��� 18 '� ����� �� �� �"'������������, ���, ��"'��� 40 ��, ����� ��� �����������. %��������������� ����������, �� � ���� �� 30 ��/ �� ������ ��� �������� ��-���������.
������ 4
17. ����’�$��� �������:
�) ( )( )2 22 1 2 2 2;x x x x+ − + − = $) 7 8 0.x x− − =
18. #�� ��' ������� � ������� �2 – (� + 2)� + � + 5 = 0 ��� ��� �����?
19. %������� ��� �������� b, ��� ��' ����� ������� 3�2 – b� – 2 = 0 ����-��������� ����� �1 + 6�2 = 0, �� x1 — ����� �����, � x2 — �����������.
20. ����’�$��� ������� 2
1 14 20 47 .3 7 21 4
y y yy y y y
+ − ++ =+ − + −
21. #�� ����� ������ ����� ��� �����. !��� �� 3 �� ��� ����-��� ����, ����� �� � � 1 �� ������� ��� �� � �����. %� ������� ��� ����� ��� ������ ������� ����. %� ��� ��� ��$� ��� ���-��� ��� ���� ��$�� �����, ������ �����, �� � ���� ��$��� ���� �� 4 �� �����, ��$ �� �?
������ �� �� �� ��� 8 ����210
������ �� �� ��� �� 8 ����
916. ��� � ��� ������ ���� ������? ������� ������? �����-������ ������?
�) 2,5 + 1 ;a
�) 8 ;5
xy
�) 2 ;4
a b− �) .1
cc+
917. �������� �������� �������� ������� � �����:
�) 3 ;5 1
bb +
�) 22 ;3
xx x
++
�) 25 ;
4a−−
�) 24 .
12x +
918. �������� �������� �����22 1
4aa
+−
, ����:
�) a = 5; �) a = –6; �) a = 4,5; �) 1 .3
a =
919. �������� �������� �����2 22
2x xy y
x+ + , ����:
�) � = 4; � = 6; �) � = –4; � = 4; �) � = 2,5; � = 0,5; �) 1 3; 1 .4 4
x y= =
920. ��� ���������� ��������� ���� � ����� � �� ����� N, �������� �� ��� ������! S ��. "��#� ���������� ��� ���� �� #������!� ��/$��, � ���$� — �� #������! b ��/$��, �� � > b.�) %���� ������ $��� �� ����� N ����� ���#� ����������; ���$� ��-��������?�) &� ���� �������� ��� ����� N ����������� ���$� ���������� � ��-���� ������� �� ���$� ����� ���#�$� ����������?���#��� ��������� � �$���� ������.
921. � ���� � � �, �������� �� ��� ������! S ��, ��������� ������������ ������ ���� ���������� �� ����������. '��������� ��� ������ #������! 60 ��/$��, � ���������� — �� #������! b ��/$��.�) %���� ������ $��� ���������� �� ���������� ������������?�) ��� #�� ������ ���������� �� ������ ��$� �������� � ��������-���?���#��� ��������� � �$���� ������.
������ �� �� �� ��� 8 ���� 211
922. (�������� ����:
�)2 5
4 3
42 ;36
x yx y
�)2
2 2
6 6 ;xy yx y
+−
�)( )
2
26 9 ;2 1
a aa
− +− −
�)2
22 1 ;a a
a ab a b− +
+ − −�)
15
10 51 ;
1x
x x−
+ +�)
10
55 .5
xx
−−
��� � � ����:
923. �) 5 2 2 ;2 1 2 1a aa a
− +++ +
�) 3 6 ;2 2
mm m
−− −
�) 1 1 ;b aa b b a
− −+− −
�) ;2 2
m k m km n n m
+ −−− −
�)2
2 24 4 ;4 4
c cc c
+ +− −
�)2 4 4
2 24 3 2 .2 2a b ba b b a
− −− −
924. �)2
2 31 1 ;a ba b ab+ −+ �) 3 4 4 3
5 1 3 1 ;15 9
y xx y x y
− −−
�) ;x y yy x y− +
+�)
2( 2) 2;2
bbb−− ++
�) 25 10 ;
3 9 9z z+
+ −�)
2
2 22 2 5 ;
2 4 4a a ab
a b a ab b−−
− − +
�) 21 1 6 ;
2 2 4x
x x x−− +
− + −�) 2
4 342 2 .2 2 4
yy y y
−+ +− + −
925. )������� ��� ����:
�)3 2
3 224( 1) 25 ;
5 18( 1)a b ab a+ ⋅
+�)
2 2
227 ;
36x yx
xyxy y−⋅
+
�)2 2
249 3 ;
3 9 14 49a a a
a a a− +⋅+ + +
�)3
2 227 3 .
3 27 2 6 18b bb b b
− +⋅− + +
926. "������ � �$���� ����� ����:
�)43 4
22 ;5a bc
� �� �� �
�)33 24 ;
3xy z
t� �
−� �� �
�)23 4
2 512 ;
6abc ann bc
� �⋅� �� �
�)44 33 2
4 23,5 .
7km n
k mn� �� �− ⋅� � � �� � � �
������ �� �� �� ��� 8 ����212
927. )������� �������:
�)43
2 3: ;12 16
yxxyz z
�)3 5
4 22
1,8 : (6 );a b a b cc
�)2
2 22 3 6: ;
4 16m mn m n
m n m n+ +
− −�)
2 2 2 2
2 22 : .
3a ab b a b
ab b b+ + −
+928. (�������� ����:
�) 2
6 ;2
yxb bx yy
⋅ + �)2
22 : ;b a b a aba a b ab b
+ ++− −
�) ( ) 2
231 : 1 ;
2 4c c
c c� �+ −� �+ −� �
�) 2 2 2
2 3 3 3 ;2
x y x y x yyx xy x y
� �− − +− ⋅� �− −� �
�) 2 23 3 3 2 3 2 3 ;
2 3a b a b a b
a b a b a b− −� �− ⋅ − +� �+ − −� �
�) ( ) 2 22 1: 1 .m n mm n m n
m n m n− +� �+ − + − +� �+ −� �
929. (�������� ���� � �������� ��$� �������� ��� ����$� �������� �������:
�) 21 1 ;
12 1a
aa a+ −
−+ +� = 15; �)
2
2
( 2) 1;4
bb
− −−
b = –1,9.
930. ��������, �� ����2 2
2 2a ax ab bx a ax bx aba ax ab bx a ax bx ab
+ + + − − +⋅− − + + − −
������ �#�
�����’ �� �������.931. ��������, �� �������� �����
2 2
3 3 2 2 2:x y x y y x x y xxy xy y xxy y xy x
� �− + + +− + −� � −− −� ��� ���� ��� ��� ������� ������� �����.
932. �������� ���� �����:
�)2
: ;xy y xx yx y x y y
� �� �− − =� �� �+ +� � � �
�) ( ) 2 2
2 2
4( )1 1 2: 1 ;2 2 54
a ba b a b aa b
� �++ + =� �− + −� �
�)2 2
2 2 2 21 6 2 1 4 1 .2 2 24 4
b a ba b a b ab a a b
� �++ − = − ⋅ +� �− +− −� �
������ �� �� �� ��� 8 ���� 213
933. *�������:
�) ( ) 32 222 32 (0,5) ;
5
−− −+ ⋅ + �) ( )27 3 7 93 3 5 : 5 ;− − −⋅ −
�) ( )5 6 24 : 4 : 4 ;− − − �)3 8
102 2 ;
2
− −
−⋅
�)3 4
25 25 ;
125
− ⋅ �)5
6 56 .
2 3
−
− −⋅934. (�������� ����:
�) ( ) ( )3 4 2 22 1,5 ;a b a b− −⋅ �) ( )1 3 2 3 9(3 ) : ;x y x y− − −
�)3 5 1 2
3 312 ;
4a b a c
c b
− − −
− −⋅ �)2
412 9
3 ;5x x yy
−−
−
� �⋅ ⋅� �
� �
�) ( ) ( )2 1 21 : ;a a a a− − −− + + �)2 4
2 431 : 1 .
1 1x x
x x
− −
− −� � � �+ −� � � �+ −� � � �
935. �� ������� �� � ������� ���� 12 3 30 15 18 3 0: 2 −⋅ + − ⋅ +a a a a a a a ?
936. ��������, �� ��� ��� ��� ������� m � n ����1 12 3 2 3
2 3
m n m n
m n
− −⋅ − ⋅⋅
����-
�� ��$� ����$� ��������.937*. ��������, �� ��� ��� ������� ������� ����� �������� �����
( )1 1 2 2 2 21 1
( ) 12( )
a b c b c a a b cbca b c
− −−
− −
+ + � �+ −+ + +� �− + � ��� ���� ��� ��� ������� �.
938. ���#��� � ������������ �$���� ����:�) 2800; �) 645 000 000; �) 0,025; �) 0,000005.
939. *������� � ���#��� ��������� ����� � ������������ �$����:�) ( ) ( )12 154,5 10 6, 4 10 ;−⋅ ⋅ ⋅ �) ( ) ( )3 75, 4 10 : 3 10 ;−⋅ ⋅
�) 12 121, 2 10 9,5 10 ;⋅ + ⋅ �) 8 92,7 10 2,5 10 .− −⋅ − ⋅940. "������ � �$���� �����������$� ���������$� ���������$� ����� ����:
�) 7 ;16
�) 7 ;36
− �) 5 ;27
�) 13 .40
941. �������� �������� �������� ������� � �����:
�) 2 1;x + �) ;x �) 1 ;3x +
�) 54x −
.
������ �� �� �� ��� 8 ����214
942. *�������:
�) 253 625 12 ;36
− �) 710 0,81 3 2 ;9
−
�) 625 0,49 90 0,016;⋅ + ⋅ �) 1123 27 ;7
⋅ +
�) 2 21,12 ( 1,12) ;− − �) ( )2 228 3 ( 8) 4.− − −
943. ��������, �� 5 2 6 3 2.+ = +
��� � � ����:
944. �) 2 18 3 8 3 32;+ − �) ( )14 12 18 3 : 3;2
+ −
�) ( )1 132 3 4 12 2 32 3
− + ⋅ ; �) ( )( )2 5 3 2 5 3 ;− +
�) ( ) ( )2 3 7 2 3 7 ;+ − ⋅ + + �) ( ) ( )2 22 2 18 2 8 ;− − +
�) ( )22 10 2 ;− + �) ( ) ( )2 2
2 2 1 2 2 10 .− + −
945. �) 3 31 236 9 ;2 3
xx x x+ − �) ( )( )3 3 2;a a a− + − +
�) ( )( )4 3 ;a b a b ab+ − − �) ( )2 25 2 4 20 .x y y xy− − +
946. )������ ��� �� ��� ���� ������:�) 2 5; �) 0,7 10; �) 7,a �� � > 0; �) ,n m �� n < 0.
947. (�������� ����:
�) 15 15 ;15
− �) 20 4 ;5 2
−−
�) 3 ;3
−+
cc
�) 23 .3
−−
xx
948. ����������� ��� ���������������� � ��������� �����:
�) 1 ;10
�) 1 ;2 3+
�) 2 ;5 2−
�) 1 .2 −a a
949. (�������� ����:
�) 1 1 ;8 3 8 3
−− +
�) 3 2 ;3 2 3 2
−− +
������ �� �� �� ��� 8 ���� 215
�) ;a b bb a b
− ++
�) 2 2 .22
x yx yx y xy
+− ⋅+ +
950*. ������� ������ �����:
�) ( )2
3 5 3 5 ;− + + �) 28 10 3 3;− +
�) 9 4 5 9 4 5;+ − − �) 11 2 11 2 .11 2 11 2
− +++ −
951*. �������� ����
1 .2
a b a b a aa ab ab b ab b ab
� �− + ++ ⋅ +� �− − +� �952*. ������� ���������:
( ) ( )33( ) 2 33 .
a b a b a a b b ab b a ba ba a b b a b
−− + + + − −− = ⋅−+ +
����’��� ��������:953. �) 2 = 8; �) 2 = –8; �) 4 2 = 1; �) 12 – 3 2 = 0;
�) 2 –5 = 0; �) 2 2 = –3 ; �) 3 + 2 2 = 0; ) 9 3 – = 0. 954. �) 2 – 2 – 15 = 0; �) 2 2 – 5 – 7 = 0;
�) 15 2 + 75 – 90 = 0; �) 3 2 – 4 – 8 = 0.
955. �) ( ) ( )2 22 7 2 ;x x− = − �) ( ) ( )22 12 1 0;
2x x− + − =
�) 3 – 5 2 + 6 = 0; �) ( ) ( )21 5 0.− + − =x x x x
956. �) 4 – 7 2 – 18 = 0; �) 4 4 – 65 2 + 16 = 0; �) ( + 4)4 – 15( + 4)2 – 16 = 0; �) 3(2 – 5)4 – 30(2 – 5)2 + 27 = 0.
957*. �) ( ) ( )22 23 3 3 28 0;x x x x− + − − = �) ( )( )2 22 4 2 3 2;x x x x− − − − =
�) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 22 1 2 2 2 3 60.x x x x x x+ + + + + − + + =
958. ������� ��������� ����� ���� �� 4 210 9 0.− + =x x
959. ������� ��������� ����� ���� �� 2 2(3 4 4)(4 4 3) 0.− − − − =x x x x
960. ������� ���� �� ������� ������� ���� �� :�) 2 – 4 – 7 = 0; �) 3 2 + 6 + 1 = 0.
������ �� �� �� ��� 8 ����216
961. *�� � ������� �������� 12�2 + � + � = 0 ������! 0,25. �������� ���� ��� ��#� ������ ��������.
962. %����� ������� �������� 3�2 + bx + 2 = 0 ������! 6. �������� �� �������� ���� b.
963. �������� �������� ����� 2(�1 + �2)2 – 5�1�2, ���� �1 �� �2 — ������ ���-����� �2 – 11� + 2 = 0.
964*.�������� �������� ����� 3 31 25 5x x+ , ���� �1 �� �2 — ������ ��������
�2 + 7� + 3 = 0. 965*. %��� ������! ���� ��������� ������� �������� �4 – 3�2 + 1 = 0? 966*. ��� �� ������� � �������� �� ��� ������?
�) ��2 – (2� – 1)� – 2 = 0; �) �2�2 + (� – 1)� + 1 = 0. 967*. ��� �� ������� � �������� (� – 3)�2 – (�2 – 9)� + 7 = 0 �� ������, ��
������ �� �����?968*. ��������, �� �������� �2 – 3 � – 2 – 1 = 0 ��� ����-���$� ��������
�� �� ��� ������ �������.����’��� � �������:
969. �) 22 1 0;
4 2 1− =
− +x
x x�)
2 12 35 0.7
+ + =+
x xx
970. �) 3 9 ;3 3
xxx x
− =+ +
�) 5 21 ;2 3
xx x
+ − =+ −
�) 3 2 1;1 3x x
− =+ +
�) 1 2,5;1
x xx x
++ =+
�) 23 12 6 3;
1 5 1 5 1 25x x x− − =
+ − −�) 2 2
2 35 7 0;2 2 4
− − =+ − −x x x x
�)2
22 6 4 8 3 30 1 0.1 3 3 1 1 9
x x x xx x x
+ + + −− − =+ − −
971*. ��� �� ������� � ��������2
2( 1) 0
1a x x a
x+ − − =
+�� ��� ������?
972*. +���’� ��� �������� � ���������� �:
�) 2 1 0;3x a
x− + =− �) 2
2 0.8
x ax ax
− =− −
����’��� � �������:
973. �) 2 2 3;− =x x �) 1 1.1
xx
+ =−
974. �) 0,3;x = �) 8;x = − �) 2( 1) 4 .x x− = −
������ �� �� �� ��� 8 ���� 217
975*.�) 5 1;− =x �) 2 2 1 2;− + =x x
�) 3 10 0;x x− − = �) 2 23 3 6 0.x x x x+ + + − =976. "�������� $��,�� ,������ � �������� �������� ��$������, ��� ��
,������ ������!�� ��$� ����$� ��������:
�) y = �2 �� � = 6� – 5; �) 2= −yx�� � = –8�.
977. �������� �������� ����� ������� $��,���� ,������:�) � = –2� + 35 �� y = �2; �) � = 2� �� .=y x
978. +���’� ��� $��,���� ��������:
�) �2 = 1,5� + 1; �) 4 3;= −xx �) 0,5 4.= − +x x
979. -��,�� ��������� �������������� ������� ����� ����� A(−3; 2). %������� ��� $��,�� ����� ����� B(−4; 1,5)?
980*. "�������� $��,�� ,������:
�) 2 ;xyx
= − �) 12 ;yx
= �)2
6 ;yx
= −
�) 2 2;y x= + �) 24 8 ;
2xy
x x−=
−�) .
1x x xy
x−=−
981*. "�������� $��,�� ,������1 , ���� 0;
, ���� 0
xxyx x
�− <= ≥�
�� �������� �������� �,
��� �� �������� ,������ ������! 1. 982. ������� ��� ��������� ��� ���� ����#� ��� � ��� �� 11. ����-
���� �� ����.983. �������� �’��� ��������� ��� ����, ���� ������, �� ���� ������-
��� ���� ���# ���� ������! ���� ��������� ��� �������.984. -��������� ����������$� �������� �� 4 �� ���#� ��� ����$� ������
� �� 2 �� — ��� ��#�$�. �������� ������� ��������.985. .��� ����������� �� 2 �� ���#� ��� ��� � � �� 4 �� ���#� ���
��$� ���$�����. �������� ����� �����������.986. �������� �������$� ����� �� 4 ����#� ��� ��������. ���� �� �-
������� ����� ����� 1, � ��� ��������� ������ 1, �� ���� �� ����,
��� �� 310
����#� ��� ����$�. �������� ���� ����.
������ �� �� �� ��� 8 ����218
987. /���� ������ �$����� �� ����� ��� 70 �������. 0���� ��� �$���-���� �� 2 ������ ����#�, �� ��������, � ������ �������� �� 4 ��� ����-#� ������. (����� ������� �� ���� �$������� �����?
988. ��� ��$��, ����!!� �����, �� ��� ������ �������� �� 12 $��."��#� ��$���, ����!!� ����, �� � ������ �� �������� �� 10 $��#��#�, �� ���$�. (����� $��� �������� ���#�� ��$���, ��� ���-��� ��������?
989. ��� �����, ����!!� �����, �� ��� ������� ����! 78������� ��
3 $��. �� ��� ��� �� � ������� ������ �� �� �����, ����!!�������, ���� ��� � � ��� � �� ����� �� 2 $�� #��#�, �� ��#�?
990. 0�� ������ ����������, ��� ������ �������!��� ����� 2 $��, ���-�� ��$� ���#� � � �������!��� �� 1 $��. �� ��� ��� �� � ���������������� �� �� �������, ����!!� ������, ���� ���$� �� � ������� �� 2 $�� #��#�, �� ���#�?
991. ) ����� �����!�� ��� ����. 1���� ������ ��� ������� A, ��� ����������� ���#�� �����, ������ 12 �� �� �����, ����� 7 �� ������ � 10 �� ���-$�! �����! �� ������� B. &� ���� #�� ����� ������� 1 $�� 20 �.�������� #������� ����� �� ��� ����, ���� #������� ����� ���#�� ��2 ��/$�� ����#� ��� #������� ����� ���$��, � #������� ������ � ����������� ������! 21 ��/$��.
992. � ������ A �� ������ B, �������� �� ��� ������! 30 ��, ���� ��-��������, � ����� 6 � ����� �� �� ���� �������, #������� ���$� ��15 ��/$�� ����#� ��� #������� �����������. �������� #������� ����-����, ���� � ����� B ��� ����� �� 4 � ����#�, �� ����������.
993*. &� ���$���� � ��������� ���� ��$���� 28 �$��. (����� ������ ����������� � ���$����, ���� �� �� ������� ��$���� �� ������ ���� � �������#�?
994*. ��� ���� ���������� ������!���� �� ��� ����. "��#� ����� �����-�! ����� ����� �� 5 � #��#�, �� ���$�, � ���� ���$� ������ ������ �� 2 ����� ����#�, �� ���$�. (����� ������� �� ���� ����-��! ���$� �����?
������ ���������� ���������� 219
������ ������ ��� ��������
���’� �� �: ���� � ����� ��� ��-�� �, — ��������� ����� � � ����. ��-�� � ����� ��� �� ��� � �, — !�-� ��� �� ������. "���� ���’��� #���#����� ��� �$ ��� ��� �.
�. "����
�� § 1. � !�"�#$"! �%&�'%
995. (�������� ����:
�)2 2 2
2
( ) ( ) 2 ;1
+ − + −+ +
x x x xx x
�)4 2 2 4
3 3 .x x a ax a
+ ++
996. ��������, �� ���� ���������� ��� ����-���$� ����������$� ������-�� n:
�) 2 ;1
nn
++
�) 2 5 ;2
nn
++
�) 2 3 .5 7
nn
++
����’������. �) "�������, �� ���� ���������� �������� n, ��� ���$� ����2 5
2n
n+
+ ��������. &��� ���� �� �� ������� �� ���������� ���� d, �� d ≥ 2. )-
����� � �������� ����� ����, ��� ������ � ���������:2 5
2n
n+
+ = 2 4 12
nn+ ++ = 2( 2) 1.2
nn+ ++
*������ �������� n + 2 � ������� 2(n + 2) + 1 �������� �� d, �� 1 �� ������ �� d.*��� �� ������������, �� 1 �� ������� (������) �� ���������� ���� d, �� d ≥ 2.
*� �, �� ���� ����������$� �������� n, ��� ���$� ���� 2 52
nn
++ ��� � ��������.
997. (�������� ����
2 4 8 161 1 2 4 8 16 .
1 1 1 1 1 1x x x x x x+ + + + +
− + + + + +
998. �������� ���� �����:32 16
2 4 2 8 4 16 82
1( 1)( 1)( 1)( 1) .1
+ +− + − + − + − + =+ +
x xx x x x x x x xx x
������ ���������� ����������220
999. �������� �������� ����� 1 1 1 1...1 2 2 3 3 4 ( 1)n n
+ + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
, ���� n = 100.
1000. ��� �� ��������� ������� n �������� �����3 2
1n n
n− +
− ����
�����?
1001. ��������: ���� xyz = 1, �� 1 1 11 1 1x xy y yz z zx
+ ++ + + + + +
= 1.
1002. "�� ���� �, �, z ������, �� .yx zy z x x z y x y z
= =+ − + − + −
�� ���-
���� �� � ������� ���� ( )( )( )x y y z z xxyz
+ + + ?
1003. ��� �����$� �� ����$� �������� � ���� 1+aa ����. ��������, �� ���
��$� �������� � ���� ���� 33
1 .+aa
1004. �������� ���$� ����� ����#� � �� ������ ����#�:
( ) ( )3 4 1 31 14 162 2
− −� � � �⋅ ⋅ ⋅� � � �
� � � �
n n
� ( ) ( )5 5 4 51 19 27 ,3 3
m m− −� � � �⋅ ⋅ ⋅� � � �
� � � �
�� n � m — ���� ����?
1005. "�������� $��,�� ,������:
�) ;= −x
y x x �)3
21 .
1xy
x x−=
+ +
1006. +���’� ��� �������� 1 12
xx a x+ =
− −� ���������� �.
�� § 2. ����&�("! )�&�"!. �!*+"! ,%+#�
1007. ��������, �� ���� 0,123456789101112... (����� ��� ������� ���������� ���������� ����) �������������.
1008. )�����, �� �, b, a b+ — ����������� ����. ��������, �� ���� a
� b �� �����������.
������ ������ � ������ ��� 221
1009. �������, � �� ����� ��� �� 156666 2+ �� � � ��� ���� ������.
1010. �������� ��� �:
�) 6 2 2 2 3 2 6 ;+ + + �) 2 1 2 .+ + +a a
1011. ��������� ��� ��� ���� ������ � �� ������� ����� 1 .5 7 1+ +
1012. �������, � �� ����� ��� �� � � ��� ���� ������:
�) 2 2 2 2... ;1 3 3 5 5 7 79 81
+ + + ++ + + +
�) 19 3 8 35 8 19 .− − −
1013. ������� ���������:
2 2 2 22 2 1 2 2 1 2.+ + + − + − + =x x x x
1014. ����’���� ��������:
�) 1 1 1 0 ;x x− + + + = �) 2 21 4 3;+ + + =x x
�) 1 2 3;x x+ + = �) 4 4 2 2.x x+ − + =
1015. �� ���� ��� ���� � � �, ��� ��� ���������� �������2 8 4 20 0.− + − + =x x y y
1016. �) �������: ��� 1 ,x x a+ + = �� 11 .x xa
+ − =
�) ����’���� �������� 1 2.x x+ + =
1017. !�������� "� #�� #�����$ 2 1.= − +y x x
1018. �������, � "� #��� #������ 9= +y x � 2= −y x �� ������� %���.
1019. ������ ������� � � �������� 02 1x a
x a− =− + � ����� ��� �� ��� �?
1020. ��� ��� �� ��� � �������� 2x a x= − �� � � �������?
������ ���������� ����������222
1021. ��������, �� ��� � ≥ 1 ������ �������1;y x
x y a
� = −
+ =��� ����’����.
�� § 3. ����&�("! &!�"-""-
1022. ���������� ���������$� �������� ��2 + b� + � = 0 ������! ���! �� > 0. ��������, �� ���� ������ �������� ����� ���������.
1023. ��������, �� ��� ����-�� ����� ������� �, b � c ���������2 − (� + b)� + �b − �2 = 0 �� ������.
1024. ��������, �� ��� ���������� ������� �, b � c, �� � + b + � ≠ 0, ��������(� + b + �)�2 + 2(� + b)� + � + b − � = 0 �� ������ � �� ������ ���������-�� �����.
1025. ��� �� ������� � ���� ��������� ������� �������� �2 + �� + � − 1 = 0 ������#�!?
1026. ��� �� ������� � �������� �2 − 8� + 5� = 0 � 2�2 + 6� − � = 0 ��!��������� ������?
1027. +������� �2 + � + q = 0 �� ������ �1 �� �2. ���#��� ��������� ������-��, ������� ���$� ���� 2 2
1 2+x x �� 3 31 2+x x .
1028. 1����� � � b ���������$� �������� �2 + � + q = 0 ������� �����.
)������ +a b ����� p � q.
1029. +���’� ��� ��������:
�) ( ) ( )2 22 22 3 4 7 ;x x x x+ + = + + �) ( ) ( )22 22 1 2 5 3 0;x x x− + + − =
�) 1 5 3 4 ;1 5 3 4
+ + + ++ = +− − − −
x x x xx x x x
�)2 2
2 21 4 5 ;
3 2 6+ −=+ +
x xx x
�) ( )22
1 12 2;x xxx
+ = + − �)2
22 1 2.
21x x
xx++ =
+
1030. �������� ���� ��������� ������� �������� (�2 + 2�)2 − 5(�2 + 2�) + 3 = 0.
1031. �������� �������#� ������ ��������(�4 + 3�3 + �2 + 2� + 3)(�4 + 4�2 − 5) = 0.
������ ������ � ������ ��� 223
1032. ������� ����� �� ������� � + 1 = �|�|?
1033. ����’����� ������� � ��� �� �:
�) �4 + 3��2 – 4�2 = 0; �) 2 32( 3)1 1 .2 2 4
aax a x x x x
++ =+ − −1034. ��� ���� ������ � ������ ������� � = �3 + �� + 1 � � = �4 + ��2 + 1 �-
��� �� ������� �����?1035. ���!��� ��� ���� ����� �, !�� ���� ���� (� − a)(� − 10) + 1 �����!����-
�� � !�"���� (� − b)(� − �) �� ���� � ����� � b � �.1036. #��� ������� �2 + m� + n + 1 = 0 � ��������� � ����� �. ���!���,
$� ����� m2 + n2 � ����!�� .1037. ���!��� ����� �����!���� ��������� �����, !�"���� ���� !������
1680.1038. %!��� ��!��� �� �����& ����& �!���� �'���, ���� �� ����, $� �-
� ������ 12 �� ���� ���!������ �� ���, � �� ����� 4 �� ��� �����-��� �� ���. (� ��& �������� � �!������� '��!�����. )� ������������� �!�� ����� ��'��� ���� ����'���� ������ �������?
1039. ���� A !� ���� B, ��!����� �� ��� � !������ 100 � , �� ����������&��� ��’�. )� 24 �� ����! �� �� �� ���� �"��� ��&��� !������’�, ���� ���!����� �'���, �!�� �� � !�!������ !��� ��� ��!��� � ���'�� ����!. ����� ��’� �������� !� ���� A � ��� � ��, ���� �'�� ��"�� !� ���� B. ���� '��!����� &��� �'����’�, ��$� !���� &��� �� '��!����� 75 � /��!?
1040. *����� �� ���!��� ���� ���� � �������� �� 42 �. +�$� ��-���� ��� � ���� �� �� '��!����� �������� , $� ��������, �� ������! �� 24 �. � ���� ��� ��������� ����� ������, ������ �� �������-�, ���� ��������?
1041. #����� ����"���� ���!����� 93 �������� �� '��!����� 60 � /��!. ������� ������ � && ����� ���'�� ������� ���� �"���, ���� ����-��!��� ������. ��!� ��� �������� �� ������� ������. ,��!��������� �"���, ���� ��� ������ � ����� ������, � ���� �� && �������, "����!�������. ���!��� �� '��!�����, ��$� ��� ��� ���� �"��� ��!��������� (� �"�� ���� ��� ��� ) !������ 1,44 ��.
1042. ������ A !� ������ B ���'�� ���� ������� � ������� �� '��!�����4 � /��!. )� !���� ��� � ������ A ���'�� !��� ���� �������, � $
������ ���������� ����������224
����� ���� ���� ����� �� ���� — �����. /���� $���� �����$���� ���-$� �� ���#��� ��� A �� B, � ���� ��� ��#� ����� �� #������!, �� ��-����! ���������� ��,�������� ��� ��������� #��������. 3�� ��$��� ��������� ����� � ����� B. �������� ��������� #������� ���$��$��� �������, ���� ��������� #������� ������� $��� ������! 6 ��/$��.
1043. � ����, ���������$� ������, ����� ������ ����� � ���� �����������!. "���� � ���� ����� ������ ������ ������, ����� ��$� � ���-�� ���#���� 49 � �����. (����� ������ ����� ����� ���#�$� ��-��, ���� ��������� ���� ������! 64 �? (3�� ����: ���� ���#�� 1 ������ � 1 � ���, �� ��������� 2 � ������.)
1044. 3 ��� �������, ��������� �� ������! �� 30 �, ���� ����� 30 � �-����. "��#� ������� ���� ������� ����! � ���� ��� �������������� ���$� �������, ����� �� ���$�� ������ ����� � ���#�12 � ������. (����� ����� ���� � ���#�� ������� ��������, ���� ����$�� ������� ����� ��� ��������� ����� ����� �� 2 � ���#�, �� ����#��?
��������� � �� �� ��� 7 �� 8 ������ 225
����0��� � ��� ��� �� 7 �� 8 �����
�������1. ������� — �����, ���������� ����-�� ��’ ����, ��’ ���� �� ���-
��! ������!. *�’ ��, ��� �����!!�� ��� ��, �����!�� ������ ������ �.���� a ∈ M, b ∉ M ������!��, �� ������� � ���� �� ��� �� �, �������� b — �� ���� ��.
2. '�� �� � �����!�� ���������% ��� � �, ���� ����-��� ���-���� ��� � � ��������� ��� � �. �����!��: � ⊂ �.
�����3. &� ������ ����: 1, 2, 3, 4, ... . '�� �� ��������� ���� �������-
!�� �����! N.
4. &��������� ����, ������ �� �� ���� �� ���� 0 (����) �����!!����� �� $���� ����: ..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, … . '�� �� ������� �������!�� �����! Z.
5. 5��� � ������� ���� �����!!�� ��� �� �$��������� ����. "����-��!�� �! ��� �� �����! Q.
6���-��� ����������� ���� �� �� ����� � �$���� ����� mn
, �� m —
���� ����, n — ����������. +���������� ���� �� �� ����� ���� ��$���� ���������� �������� �������� ������.&�������:
( )55 5,00... 5, 0 ;1
= = = ( )1 0,2500... 0, 25 0 ;4
= = ( )2 0,66... 0, 6 .3
− = − = −
6. +���������� �� ������������� ���� �����!!�� ��� �� ������� ����."������!�� �! ��� �� �����! R.2������������ ���� �� �� ����� � �$���� ���������� ���������-� �������� ������.
&�������: 2 1,41421...;= 3,14159...;π = 2,010010001... .
8* ). 1������. 4�$����. 8 ��.
��������� � �� �� ��� 7 �� 8 ������226
�������7. (������� ���� a � ���������� ��������� n, ����#� ��� 1, �����-
!�� ������� n ��� ����, �� �� � �� ������! a.(������� ���� a � ��������� 1 �����!�� ���� ���� a.
�...n
na aa a= , ���� n∈N, n > 1; a1 = a.
8. (������ ���� a, �� a ≠ 0, � ������� ��������� ������! 1.
a0 = 1 (a ≠ 0).
9. ���� a ≠ 0 � n — ���������� ����, ��1n
naa
− = .
&�������: 33
1 1282
− = = ; 1 155
− = . ���� 20− �� �� ������.
10. ���� ���� � � ���� � $���� � ���� ��:��� ����-���$� ���� a, �� a ≠ 0, � ����-�� ��� ���� m � n �����-!���� ��������:
;m n m na a a +⋅ =
: ;m n m na a a −=
( ) ;nm mna a=
��� ����-�� ���� a, b, �� a ≠ 0, b ≠ 0, � ����-���$� ����$� ���� n �-����!���� ��������:
( ) ;n n nab a b=
( ) .n n
na ab b
=
�������� �����11. "���� ��� ����� � ���� � �����!�� ���� ����, ������� ���$� ��-
����! �.
12. ��'�� ����� ���� ��� ����� � ���� � (�������!�� a ) ���-��!�� ���� �����’ ��� ����, ������� ���$� ������! �.
&�������, 0,36 0,6,= �� ���� 0,6 �����’ ��� � 0,62 = 0,36.
��������� � �� �� ��� 7 �� 8 ������ 227
+������� a b= ��������!, ���� �����!���� ��� ����: 1) b ≥ 0; 2) b2 = a.
13. )��������� ��,������$� ���������$� ������:
1) ab a b= ⋅ (a ≥ 0, b ≥ 0); 2) a ab b
= (a ≥ 0, b > 0);
3) 2n na a= (a ≥ 0, n ∈ N); 4) 2 .a a=
�����. ������� ��������� ������14. )���, �������� � ����, ������ ��� � �� ��, �����!�� ��������� ���-
����.)���, �������� � ����, �����, ������ ��� � �� ��, �����!�� ���-���� �� ��������.&�������: 1,5; 7 + 32; (32 – 2,7) · 0,32 — ������ ����; a; ab2; –18c3;3a + 10 — ���� �� ������.
15.
34b a+
(���� ����
34 ab
+
)�!���� ����
��$�������� �����
5��� ����������� ���� �� ������ ��� ������� �� ���� �� ������!.
16.7ab2 — �������� 7ab2 + c + 1 — ���*�����
(��� �����
17. ��� ���� �����!�� � ���� ������, ���� ��� ����-�� ������-� ��� � ������� ����� ��� ���������� �������� ������!!�� ����������.+�������, ��� ��������! ��� ��� ������� ������� �����, �������� �� ���, �����!�� � ����� %.������ ����$� ����� ���� �� ����� ���� ������ �����!�� � �-���� �� ������� �����.
��������� � �� �� ��� 7 �� 8 ������228
18. "������ �� �������� –3a2b � 4ab3:–3a2b · 4ab3 = (–3 · 4) · (a2a) · (bb3) = –12a3b4.
"�������� �������� –5a2b �� ����:(–5a2b)3 = (–5)3 · (a2)3 · b3 = –125a6b3.
19. ������ ���$����� 4a2 – 6a + 5 � –2a2 + 3a + 2: (4a2 – 6a + 5) + (–2a2 + 3a + 2) = 4a2 – 6a + 5 – 2a2 + 3a + 2 = 2a2 – 3a + 7.)�������� ��� ���$������ 4x2 – 4x + 7 ���$����� 2x2 – 3x + 5: (4x2 – 4x + 7) – (2x2 – 3x + 5) = 4x2 – 4x + 7 – 2x2 + 3x – 5 = 2x2 – x + 2.
20. 0�� ����� � �������� �� ���$�����, �������� �������� ����� -� �� �� �� ���� ���$������ � ���� ��� ������ �����.&�������: 2a(a2 – 3a + 4) = 2a · a2 + 2a · (–3a) + 2a · 4 = 2a3 – 6a2 + 8a.
21. 0�� ����� � ���$����� �� ���$�����, �������� �� �� ���� ����-$� ���$������ ����� � �� �� �� ���� ��#�$� ���$������ � ����- ��� ������ �����.&�������: (2a2 + b2)(2a – b) = 2a2 · 2a + 2a2 · (–b) + b2 · 2a + b2 · (–b) =
= 4a3 – 2a2b + 2ab2 – b3.22. 7����� ���������$� ��� ����:
(a – b)(a + b) = a2 – b2;(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;(a – b)2 = a2 – 2ab + b2;
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.
23. ����!� �� ������� ���*������� �� ������ �:�) �������� �������$� ��� ��� �� �� �:
2a2b – 8ab2 = 2ab · a – 2ab · 4b = 2ab(a – 4b);�) $���������:
b2n + y2 – bny – by = (b2n – bny) + (y2 – by) = = bn(b – y) – y(b – y) = (b – y)(bn – y);
�) �� ,�������:a2 – b2 = (a – b)(a + b);
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2);
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2; a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2).
��������� � �� �� ��� 7 �� 8 ������ 229
24. +������ ���� ���� � ��!�. ��� ����-�� ���� a, b � k, �� b ≠ 0 � k ≠ 0,
����� ���� �������� .a akb bk
=
25. ��������� ������ � �������� ����������:
a � a cb b b
++ = .
)��������� ������ � �������� ����������:
a � a cb b b
−− = .
��������� � ���������� ������ � ����� ����������:
a c ad bcb d bd
+d b=+ .
26. '�� ���� ������:a � acb d bd
⋅ = .
������� ������:
:a c a d adb d b c bc
= ⋅ = .
!��� �� �� �" �������27. +������� � �������� ��������� ������� �����!�� �������� � ����#%
������% (��� �������� � ����� ���������).�������� �������, ��� ���$� �������� ��������! ���� � �������� ��-���� ��������, �����!�� �����, ��� ���’�� �� �������.+���’���� �������� ������ ����� ��� ��$� ������ ��� ������, �� ��-����� ���� .
28. ��� �������� �����!�� ������������, ���� ��� ��!�� �� ���� ������.��� ��������, ��� �� ��!�� �������, �� ��� �!�� ����������.
+������ ���� ���� � ������1) ���� � ������ ������ �������� ������ ���� �� ������������, ����� ����! �������� �������� �������, �� ���� �� ��������, �����-����� ������.
��������� � �� �� ��� 7 �� 8 ������230
2) ���� ����� ������� �������� � ���� � ����� �������� � ��#�,�����# ��$� ���� �� ������ ��, �� ���� �� ��������, ��������-�� ������.3) ���� ����� ����� �������� ����� � ��� ������ �� �� ����,�������� ��� ����, ����, �� ���� �� ��������, ���������� ������.
29. +������� ��� ax = b, � ����� a � b — ����� ������ ����, � x — ������,�����!�� �������� �������� � ���� ! ������!.
ax = b — ���������������
"��'�$�#� � "����
a ≠ 0 ba
— ��� ������
a = 0 � b ≠ 0 ������� ����
a = 0 � b = 0 ������� ����-��� �-��� (�������� �� ���-��� �������)
30. +������� ��� ax2 + bx + c = 0, �� x — ������, a, b, c — ����� ������ ��-��, �� ��$� a ≠ 0, �����!�� ���� ��� ��������.&������ ��������� ��������:
�) ax2 + bx = 0, �� b ≠ 0; x(ax + b) = 0; x1 = 0; x2 = ba
− ;
�) ax2 + c = 0, �� c ≠ 0; x2 = ca
− ; ���� ca
− > 0, �� 1,2cxa
= ± − ; ����
ca
− < 0, �� ������� ���� ;
�) ax2 = 0; x = 0 (��� x1 = 0; x2 = 0).
31. 7������ ������� ���������$� �������� ax2 + bx + c = 0:
1,2 2b Dx
a− ±= , �� D = b2 – 4ac.
7������ ������� �������$� ���������$� �������� x2 + px + q = 0: 2
1,2 2 2p px q� �= − ± −� �
� �.
32. ,����� ��# �. ���� x1, x2 — ������ �������$� ���������$� ��������x2 + px + q = 0, ��
x1 + x2 = –p; x1 · x2 = q.
��������� ���� ������ 7 � 8 � ��� 231
���� x1, x2 — ����� ����� ���� ������ ax2 + bx + c = 0, �
1 2bx xa
+ = − ; 1 2cx xa
⋅ = .
33. ���� x1, x2 — ����� ����� ���� ������� ax2 + bx + c, �
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
34. ������ ��� ax + by = c, �� a, b c — ���� ��� ����� (������� �������), x � y — ����, ������ � �������� ������ �� � �� ����-����.� �’�� � ������� ������ � ���� ������� ������ � ���� ���-���� ������, ��� ���� ������ ���� ���� ��� � �������� ��������� �.
35. ���� �� � �� ���� � ����� ���’���� ��� �����, � ��!� �, �� ��- � �� ���’��� � ������� �����.
;ax by cmx ny k
+ =�� + =�
— ��� ��� ������ �����.
� �’�� � ��� ��� ������ ����� � ���� ������� ������ � ����������� ������, ��� ���� ��!�� ������ ��� ��� ���� ���� ��� ��������� ������ ��� �.
���� a bm n
≠ , � ��� ��� ����� ��� ���� ���’����;
���� a b �m n k
= ≠ , � ��� ��� ����� �� ��� ���’���;
���� a b �m n k
= = , � ��� ��� ����� ��� ���� ���’���.
36. "���� � ���’������� ��� �� ��� ������ ����� � ���� �������.
�) �� ��� ������� ��.
#��������:2 3;3 2 8;
x yx y
+ =�� − =� ( )
3 2 ;3 2 3 2 8;y xx x= −�
� − − =�
3 2 ;7 14;y xx= −�
� =�
2;1.
xy
=�� = −�
��������� � �� �� ��� 7 �� 8 ������232
�) ����! ���������.
&�������: ( )23 4 12;
32 3 26;x yx y
×+ =� × −− = −�
6 8 24;6 9 78;x y
x y+ =�
− + =�
3 4 12;17 102;
x yy+ =�
=�
3 4 6 12;6;
xy
+ ⋅ =� =�
4;6.
xy
= −� =�
�) -�'����� ����!.
&�������:5 2 11;
3 3.x y
x y− =�
− = −�6��� �� $��,�� ��� ������� �����.
M(3; 2) — ����� ������� $��,����.+���’���� ����� — (3; 2).
#��$��37. ���� ����� ������ � ��� ������� � �����!�� ,����� !, ���� ������
�������! ������� � ��������� ���� ����� �������� ������� �.������ x �����!�� ���������% ������%, ��� �*���� ��, � ������y — �������% ������%, ��� '�� $�#%.
38. .������ '�� $��. /�� �����!�� ,�����!, ��� �� �� ����� ,������!� = kx + b, �� � — ������ �� ������, k � b — ����� ������ ����.
���� ���� � �������/ '�� $�/: 1) *�����! ��������� ,������ ��� �� ��� ����� ����. 2) ���� k ≠ 0, �� ������! ������� ,������ ��� �� ��� ����� �-
���; ���� k = 0, �� ,������ ������ �#� ����$� �������� � = b. 3) -��,���� ,������ ���. %��� k �����!�� � ���� ��'�$�#� ��
�� � ������. 4) -��,�� ,������ �����! � ������� �������� ��� � $����� ���, ����
k > 0, ���� ���, — ���� k < 0. ���� k = 0, �� $��,�� ���������� ��� �,�������, ���� k = 0 � b = 0, �� ��� ���$� ���� � ����! �.
5x – 2y = 11 x – 3y = –3 x 1 3 x 0 –3 y –3 2 y 1 0
��������� ���� ������ 7 � 8 � ��� 233
������� �����, ��� � ��� ������ � ���� � = kx, �� k ≠ 0, ������-�� �� ������ �������� ��.
39. ����� ky x= , �� k � 0. ���� ����� �������� ��������� ������-
�� ��.
��� ���� � ��������� ��������� �: 1) ������ ���������� ����� ! �� ���� ���" ������" �����, ����
����� 0. 2) ������ ������� ����� ! ��� � �� ���� ���" ������" �����, ����
����� 0. 3) #����� � ����� ! ��������, ��� ������!���� �� �� " ��� �. 4) #����� ����� � ���$ ����� � % � %%% � ��������" ������", ���
k > 0; � %% � IV � ��������" ������", — ��� k < 0. 5) #����� ����� ����������� ���� �� & ����� � ������.
��������� ���� ������ 7 � 8 � ���234
40. ������� � = 2. ���� ����� ��� �� �� ��� ��: 1) ����� � ��������� ������ � �������
��� ������ �����. 2) ����� � ������� ������ � ������� ���
����’����� ������ �����.3) � ����� ������ � ��������. !��� ���� - ���� ������� �� � " ����� � �� �� ����(0; 0), �� ������� � ������� "� �����.
41. ������� .y x= ���� ����� ��� �� �� ��� ��:
1) ����� � ��������� ������ � ���������� ����’����� ������ �����.2) ����� � ������� ������ �� � ���������� ����’����� ������ �����.3) � ����� ������ � ���� ��������. � ��� �� �#������ � "� #� ��� ��� ���� ���"��$���.
��������� 235
���������
§ 1
15. �) ��� �����, �� −4 � 0; �) ��� �����, �� −2, 0 � 1. 16. �) ��� �����, �� −6 � 0;
�) ��� �����, �� −2, 0 � 2. 19. ) 400; �) 0; �) 4. 20. ) 0; �) 17. 21. ( )15 25a b+ � ����.
22. ( )48 64n m+ �2. 23. ( )25 20
u u++ −v v���. 24. ) ��� �����, �� −3 � 3; �) ��� ���’����
�����; �) ��� �����, �� −2, 0 � 2; ) ��� �����. 26. ( )250 250 22 25a
a a−− + + �����.
27. �) (� + 8)(� + 9); ) (� + 2b)(a − 2b + 1). 30. � ����� ����. 31. �����. 37. ) 4 ;5y
�) 2 ;3bc �) 3 ;8m− ) 2
2 .3
mk
− 38. )23 ;2
cn �) 9 ;7
y �) 5 ;3ab− ) .3ab 39. ) �; �) 1 ;3
�) ;3 4k
k + ) .m nn− 40. ) ;ab
c �) 2 ;x yx y−− �) 3; ) 7 .5
xx − 44. ) 3 ;4 �) 4; �) 1 ;1
xy
+−
) � + b; �) 3;7a − �) 10 ;7( 2)x + ) 4 ;2y − �) 3.3
xx
+− 45. ) 3 ;5 �) 2 ;2
cc
+− �) 10 ;y ) ;a
b
�) m − n; �) 5 ;x y− ) 1;3m + �) 5.5
aa
+− 52. ) 3 ;2 3
ba b+ �) 2 5 ;2 5
c xc x
−+ �) −2(x + 2y);
) 2 2 4;x x− + �) 1 ;3 z− �) 4 2( 1);y y− + + ) ;a cc+ �) ;a b
a x+− �) 4 .b d− 53. ) 7 ;2 9b c+
�) 3 ;4n
k − �) 2 ;3n m− ) 25 ;3 9c c
−+ +
�) ;1x yy
+− �) .a b
ab+ 58. ) 2
7 ;xx xy+
�) 2 22( ) ;
2x y
x xy y+
+ +�) 2 2
( ) ;c a ba b
+−
)2 2
3 3( ) .n m mn n
m n+ +
−59. ) 2 2
2 ( ) ;a x yx y
−−
�)2 2
3 3 .a ac ca c− +
+
64. )28 ;9
x �) 409 ;351 nx
�) 2 ;2x yx y
+− ) 1.y + 68. ) 12 ;3 �) 1. 69. 8 ��.; 4 ��. 70. 7 �;
21 �. 71. 96 �������������. �������. ����� � ���� ���������� � ����������� ��
� �������������. ����� ����� ����������� ������ �! 7 ������������, ��
������� «���"» ��� �������������� � ������������ ������� 7�. �������,
���������236
�� � ��#�$� ���� ��������� ��� «��� �» ������! 8�. 76. �) 12 ;4 1x
x + �) −2; �) 2; �) 6;
�) 1; �) 4 .2x
x y− 77. �) 5; �) 8; �) 8; �) 2 .3c
c − 78. �) 11 ;3 �) 0,56. 79. �) 0,4; �) 8,5.
80. �) � − 1; �) �3(� + 1); �) 3;3bb
+− �)
24 ;ab �) 2� + 1; �) 3 .x y− + 81. �) 6(� + 2);
�) 1 ;x y− �) 1 ;1a − �) 2(3� + b2); �) 2(n + 3); �) 1 .5a b+ 86. �) �2 − � + 1; �)2 2
.a x axa x+ +
+
89. 80 ��/$��. 90. 5 �. 91. � ���� �. ��,������� �� �� ������� � ��� �� ������ ��-
������ ���: � �� ��� ����� ����� ���� ������ ��,������� �����$��� � ������ 1, 2, �
� ��# ���$� — �����$��� � ������ 3, 4. /��� ���� ��� ������ ����$� �������
�� ������� �������� ���#�. )������, �� �� ���#�, �� 25 ������� ����� �� ���-
���� ����$� �������. 94. �) 8 ;4a
a+ �) 7 10 ;y x
xy+ �)
2 2;a b
ab+ �) 2
4 ;1
zz −
�)2
;( )a
c a c− +
�) 3 .( 2)( 1)y y− + 95. �) 7 3;3m
m− �) 4 3 ;b a
ab+ �)
2 2
;x yxy− �) 3 4 ;( 2)
kk k
++
�) ;(2 1)(3 2)a
a a+ + �) 1 .( 1)x x− − 96. �) 4 ;2 1n
n − �) 2 ;yx �) 2 .2
yy − 97. �) 7 ;1y +
�) 3 ;2 3x + �) 3 2 .1cc
+− 98. �) 7 ;24x �) 2 ;9− �) 7 ;6( )
aa b+ �) 1;b
b+ �) 2
5 ;c
�)2 2
2 2 ;m nm n
+
�) 22 3 ;
6x y
x y+ �) 7 ;x y+ ') 3 .b 99. �) 1 ;12b �) 8 ;15 �) 3;3
yy
+ �) 22 ;a
�) 22 ;
2b
b+
�) 1 .( 1)m m − 100. �) 3 ;4 �) 7 ;6( 4)x
x−− �) 2 ;2c − �) 1 ;b �) 2
2 ;4
kk −
�) 25 .
( )m
m n+101. �) 3 ;2
�) ;15( 1)aa + �) 2 ;n �) 3 ;5a− + �) 2
4 ;16
xx −
�) 2 .( )
yx y−
104. �) 2 2 2 ;a bca b c
+ �) 4 33 4 ;36y x
x y+
�) ;( )d c
cd m n−
+ �)2
2 25 ;
36( )x xyx y
+−
�) 2 2 ;abb a−
�) 2 22 .
( )( )b
a b a b− −105. �) 3 3
3 2 ;48b a
a b−
�) 7 5 ;( )b a
ab x y+− �)
2
2 2 ;( )
ba a b−
�) 23 .
2( )x yx y
−+
106. �) 3 1;2c
c+ �) ;b
y �)2
22 ;
3(4 9)n
n −
��������� 237
�) 3 ;2( 5)x− + �) 2 ;( 2)a
a a+− �) 4 ;2
a bab+− �) 2
5 ;2( 6)
mm +
�)2
23 ;
(3 4 )x
a x a−')
2
3 ;27
aa +
%) 38 .
8x −107. �) 12 ;10
aa
−− �) 1 ;ab �) 9 ;2(3 )x− �) 5 ;4( 8)b + �)
2
25 ;
( 9)a
a −
�)2
23 ;
2 (2 3 )y
x x y−
+�) 3
1 ;1x −
�)2
34 .8
aa
++
108. �) 3;8 �) 2 ;x− �)3 3
2 2 ;b aa b
− �) 25 ;m
m−
�) 22 ;
2a b
a+ �)
2 3 5 ;( 1)( 2)x xx x
+ ++ + �) 2 ;xy
x y+ �) 22 .
1 a−109. �) 2 ;a �) 2
2 ;ab
− �)2 2
21;k n
kn−
�) 2 ;xy x yx y+ − �) 4 ;mn
m n+ �) 22 .
1x −110. �) 1 ;5( 5)a + �)
2
26 4 .
( 2) ( 2)x
x x+
− +111. �) 2 2 ;
4a
b a−
�) 236 .
( 3) ( 3)m m+ −112. �) 1; �) 0,3. 113. �) –17; �) 0,42. 116. �) � = 1; b = −1; �) 5 ;7a =
21 .7b = 117. �) 0; �) 1616 ;
1 x−�)
15
1616 ;1
xx−
�) 4 ;( 4)a a + �) 2 .1
bb −
120. �) (3; 2); �) (4; –2).
121. 2000 $��. 122. 9 ����’!�����. 123. � ���� �. +��$������ ��� �����: 1) ��� ����
����� ������; 2) ����!�� ����, ��� �� ������. 3 ���$��� ������ ���$������
��� ����� � � �, ��� �� ��� ��� ��� � ����. 3������: ������� ����� ����-��
���� ����� ��� ������, �� ��#�� 27 ����� ��� ��� ��� � ����� �, ��� � ����� �.
�����""- �#- +�.�1�&��!&)% 2 1
1. �). 2. �). 3. �). 4. �). 5. $). 6. �). 7. 1) — )); 2) — �); 3) — -); 4) — 4). 8. �) 34ba
; �) 53
.
9. 3,4. 10. �)2
3 25 3bx a y
a b− ; �) ( )
7 428
a bx y+
+. 11. �) 3x
x y−; �) 8
m n+. 12. 3�� ��������, ����
k = 0 � k = 4. 13. �)428 ;
5yx
�) ( )2 1 3a
b a−
+. 14. �) 2
41a −
; �)( ) ( )
2 2
23m n mn
m n m n+
+ −. 15. 24
7− .
16. �)2 2a ba b
++
; �)( )
2
2a
b a b−. 17. �) a = –5 � a = 3; �) ���� �� ����� ��� ��� ������� x.
18. �) 4 – x2; �) x – a – 8. 19. �)( )2
29 6 ;30 1
xx x
−+
�)( )( )
2
216 .
2 2a b
a b a b− +20. 1
2a.
���������238
128. �) 325 ;
6a b�)
25 ;3ab− �)
2
3 .2yx
129. �) 3 ;2x �)24 ;a
b �) 39 .4
mn
− 130. �) 3 ;b �) 1 ;x
�) 3;m + �) 2 .2aa
−+ 131. �) ;a
k �) b − 1; �) ( 4) ;b ya+ �)
2 ( 1) .1c c
c+
− 134. �) 10 ;3byax
�) 32 ;
3n
m− �)
2
2 ;2
ba y
�) 21 ;
axy�) 2
4 ;3
ax
�) .3ab 135. �)
3
3 ;2m n
a�) ;3
x �) 212 .
5m y
136. �) 1 ;( 1)(3 1)a a− + �) ( ) ;9x a b+− �) ;8( )
yx y+ �) 5 ( ) ;2( )
y a ya y
+− �) (2 1)( ) ;14
x a b+ +−
�) 22 ;
( )m n+�) ( )( ) ;2
n m x y− + �) 2 23( 2 ) .c a
a ab b−
− +137. �) 5 ;x y− �) 3 ;5− �) (4 )( ) ;3
x x yy
− −
�) 1 ;6( )ya b
++ �) 3( ) ;10
a bab+ �) 1 .( 1)( 1)
ax a
−− + 138. �) −17,5; �) −3; 2,4; 14. 139. �) −7;
�) −20; 160; 55. 140. �) 1; �) 1. 141. 1 .9 145. 12 ����. 146. 1,5 $��; 18 ��/$��.
147. � ���� �. (���� ���� ����������� ���� �����, � ���$� ����� ���!����� ����-
����� ����$. "������� �� ����� ����� N � ���� � ���$� ����� n ����$. "��������,
�� ���� ����� A, � ��� �� �� �� ������ � ����� N ���� ! ��� ����� ����$��. *�-
:��������, �� ���� � ����� A ����’������ ����� ��������#� n + 1 ����$�. 5� ��-
������� ����, �� � ����� N ����� �������#� ��������� ����$. 149. �) 1 ;6 �) 9 ;ac
�) 3;x �) 3 ;d �)2 25 ;2
p n �)2
;4cm �)
2
22 ;ca
�) 4 .5axb 150. �) 3 ;2
xy �)
221 ;2ab �) 2 ;5
xy
�) 3 .14
mk
151. �) 39 ;
ab�) ;16
nb− �) 5 .2
zxy− 152. �) 2 ;3
y− �) 20 ;3mn− �) 4 .xy 153. �) 26 ;c
�) 2 ;na
�) ( );k c d− �)2
;4x
x + �)2
;3b
b − �) 2 .2yy
−+ 154. �)
2;x
a �) 2 ;ac+ �) 4 ;mn
y
�) ( 5);k k − �) 5( ) ;2x y− �) 1.1
aa
−+ 155. �)
22 (5 ) ;−a xx �) (1 ) ;−a b
bc �) ;2( )−a
a b
�) 23( 1) ;2( 1)
−+
xx
�) 3 (1 ) ;4 (1 )−+
b xa x �) ( ).+c a b 156. �)
2
22 (7 1) ;a c
b− �) 2
2 ;+xx
�) ( )( 1) .6− −m n m
m
157. �)520 ;3
ba− �) 20,16 ;n �) ;3
abc �) 2
9 .4bx
158. �) 2 30,4 ;m n− �)32 ;3
bc �) 3 ;5x �)
6
26 .ab c
��������� 239
159. �) 3( ) ;7( )−+
a ba b �) (2 1)( ) ;3(1 2 )
+ +−
c x yc �) ;4 ( )+
nm m n �) 9 ;−
aa b �) 2 2
2 ;−x y
�) (3 )(1 2 ) .a aa
− + 160. �) ( ) ;b a ba b
−+ �) ;6( 2 )
++
x yx y �) 2(1 ) ;− b
a �) ( 2) .+− +a a
c b 161. �) 16;
�) −1; 10; 75. 162. −0,6; 0,78. 165. �) 20,5 ;
( 1)( 0,5)+
+ −x
x x�) 1. 167. &� ������ �. 168. �) 0;
�) 0,5. 170. 1,7n $��. 171. 4 �; 8 �. 172. � ���� �. ���� � ����������� ������� �������
���� m, �� ����-��� ��#� ���� �� � ������!��� m, m + 1, m – 1, m + 2 ��� m – 2.
/��� ������� �� ����#�, �� 5 ���� ����. 173. �) 3 ;( 1)a a − �) 2 ;5a− − �) 27 ;a
−
�) 1 ;2(2 1)b − �)3
;4a
a − �) 2 .x y− 174. �) 4 ;( 1)b b − �) 25 20 ;( 5)a
a a−
− �) 12 ;4x
x− − �) 1 .4( 1)c +
175. 18 ;3x
x + 12. 176. 2 ;9c − 1. 179. �) 2 ;mn m− �) −1; �) 2 ( 2 ) ;2
−+
a b ab a �) 1 ;ab �) 1 .( 1)
−+
xx x
180. �)2
2 2 ;−+y
x y�) 2 ;2x − �) 2(3 ) ;5
− x �) 10. 181. �) �; �) � − 3; �) ;mn− �) .m a
a+
182. �) −� − b; �) 1 .c 188. �)2 3 9 ;+ +
−b b
b a �) 4 .( 5 )x y
x x y−− 189. �) 4,25; �) 1,25; 191. .2 1−
xx
192. �) −1; �) −4; 0; �) 14; �) 13. 193. +������� �� �� �������, ���� � = 0; �� ��� ��-
����, ���� � ≠ 0 � � ≠ 3. 194. 150 ��. 195. 11 �/�; 9 �/�. 196. � ���� �. )������, ��
����� �� ��� �������� �������� ������� ��� ����, ������ �� ��#��, ������!
1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 25. 202. �) −1; �) −2; �) −5. 203. �) 7 ;12 �) 19 ;40 �) 5 .6 204. �) −2; �) �������
���� ; �) 3; �) −1; �) −3; �) 10; �) 1; �) 1 ;2 ') 1 .6 205. �) 0; �) −10; �) 9 .11− 206. �) 0; 3;
�) −1; 0; �) 5 .22 209. 3. 210. 5. 213. �) 1 ;9− �) ������� ���� ; �) 1; �) 12 ;3− �) 0; 5 ;6
�) –9; �) −0,8; �) 0,3. 214. �) −0,8; �) 2; �) −1,5; �) 0,125; �) −2,5; �) ������� ���� .
215. 360 ��/$��; 60 ��/$��. 216. 6 $��; 12 $��. 217. 22,5 �. 218. 3 ��/$��.
219. 22 ��/$��. 220. 3�� �������� �, ���� � = 1 � � = 2. 221. �) −3; 0; �) 0; 2. � ���� �.
�) "������� ���� �2 + 3� ����� �, ���#��� �������� � �������� � �� ����’� ��� ��$�.
���������240
�) "������� ���� �2 − 2� ����� �. 222. �) 9; �) 1; �) −5; �) 7. 223. �) ���� � ≠ −1, ��
� = 3; ���� � = −1, �� ������� ���� ; �) ���� � ≠ 4, �� � = 2� − 4; ���� � = 4, �� �������
���� ; �) ���� � ≠ −0,5 � � ≠ 4, �� � = � − 1; ���� � = −0,5 ��� � = 4, �� ������� ���� .
224. � = 0 � � = 2. 225. � = −7, � = −1 � � = 5. 227. �) −1,85; �) 1; �) 1; �) 0. 229. �) �.
230. /��. 231. 7200 $��. 232. �) ���� � ≠ 2, �� � = �; ���� � = 2, �� ������� ����-���
����; �) ���� � ≠ −1 � � ≠ 1, �� � = 1 ;1−a ���� � = −1, �� ������� ����-��� ����;
���� � = 1, �� ������� ���� . 233. � ���� �. +��$������ #���� ���,��������� ��#�.
)������, �� � ������ ������ �� �� � ��������� �#� �� ����, � � ����� — �#�
�� �����.
�����""- �#- +�.�1�&��!&)% 2 2
1. �). 2. �). 3. �). 4. �). 5. �). 6. $). 7. 1) — )); 2) — �); 3) — -); 4) — 6). 8. �)4
26ab �
;
�) 33
20xz. 9. �) 2
3x −; �) 1
a. 10. 3,6. 11. �) –2; 0; �) –4,5. 12. �)
4 4
3316a c
b; �)
2285y zx
− .
13. �) 12 1aa−−
; �) 2 63
aa
− . 14. –6. 15. �) 1124
; �) 0. 16. 10 $��. 17. �)( )10
4a a
a++
; �) 1.
20. �) 0,4; �) 2. 21. 15 ��/$��.
250. �) 1; �) 101; �) 231 ;27 �) 18; �) 0; �) 1 ;2− �) 34 ;4 �) 64 .225− 251. �) 3; �) 121;
�) 293 ;32− �) 11 ;3 �) 0,147; �) 15. 254. �) 3 ;5+a �) 2 2 ;−b aa b
�) 28 ;
16−b�) 3 3 ;−y x
x y
�) 1 ;( 1)( 1)− −x y �) 2 2(1 ).−x x 255. �) ;+−
a ba b �) 2 ;7+a �)
2 2;m n
m n− + �)6 3
6 62 .x yy x−
257. &�
�� �. 258. &� ����!��. 259. �) 1; �) ������� ���� . 262. 20, 10 � 15 ���$���.
263. 1000 $. 264. � ���� �. )������, �� ����� ����� ���� 12 ���� � 13 �����-
�, ���� �������� �� ����� � ������ ������ ������� ��� ������� ����.
273. �) 0,6b–4c–1; �) 1 13 ;8− −x y �) −3�2b; �) 21 .3 ac 274. �) 1 ;8 �) 125; �) 243; �) 27; �) 1;
��������� 241
�) 3 .4 275. �) 1; �) 6; �) 5.8 276. �) 27; �) 4; �) 1 ;7 �) 1 ;512 �) 4; �) 9. 277. �) 3 22 ;
x y
�) 0,4m4n2; �) 325 ;x
�) 81�2b5; �)12
25 ;4ab
�)7
6 .32m
n 278. �) 0,5�b; �) 3
12 ;25
ab
�) 3125 ;x
y
�)2
7 .3ab
281. �) (3m–2 − n–1)(3m–2 + n–1). 282. �) (3b–1 − 2c–1)(3b–1 + 2c–1). 283. �) −1;
�)3
39 2 ;b
b+− �) 2
4 ;xy
− �) 4 24 2;+ −c c �)3 3
3 3 ;b aa b
− �)4 4
4 4 .+−
b ab a
284. �)2 2
2 2 ;x yx y
+ �) �4;
�)2 2
2 22( ) ;a b
a b+ �)
2 2
2 2 .+−
n mn m
286. �) 3 4( ) ;ma b �) ( )3 33 .4
n+
287. 511. 289. �)10 10
10 102( ) ;3( )
y xy x
−+
�)2
23 1;a
a− �)
2.1
−+
b bb 291. (1; −1). 292. 120 � 130 �������. 293. 30 ��. 294. &� �� ��.
� ���� �. "��������, �� ��� �#� �� ���� �������� ���� �� �� �� � ��� ���$� ��-
������ n ������. /��� �� ������ ���� n + 1 ���� �� ���� ��������, � ��� �������� ����
1001 – n. ���#� ���� �������, �� �������� 3(n + 1) = 1001 – n �� �� ����������$�
������. 307. �) 1,9 ⋅ 109 �; �) 2,8 ⋅ 102 �$; �) 5,2 ⋅ 10−1 ��; �) 6,12 ⋅ 103 ��. 308. �) 7,3 ��;
�) 1,1 ⋅ 104 �$; �) 9,3 ⋅ 105 $; �) 8,6 ⋅ 103 ��. 309. 7,9 ��/�; 1,12 ⋅ 10 ��/�; 1,667 ⋅ 10 ��/�.
310. �) 2,76 ⋅ 10−3; �) 3,468 ⋅ 10−11; �) 4,838 ⋅ 10; �) 9 ⋅ 10–4; �) 2 ⋅ 109; �) 4,5 ⋅ 10−7.
311. �) 1,89 ⋅ 105; �) 2 ⋅ 10−8; �) 5 ⋅ 10−8; �) 5 ⋅ 10−5. 314. �) 1,91 ⋅ 109; �) 1,016 ⋅ 1017;
�) 7,77 ⋅ 107; �) 6,7 ⋅ 10–5. 315. �) 4,08 ⋅ 109; �) 1,93 ⋅ 10–3. 318. 1,05 �$. 322. �) −2; 2;
�) −0,25; �) −0,5; �) 0,3. 323. 585 �; 195 �. 324. *�� �� � ��������� ���� ������$�,
���� ���� ����� �� ������ 11. 338. 90a �������. 339. 140
v$��. 340. �) 36 ;y x= −
�) 32 .y x= 341. � = 1. 342. �) (2; −2,5) � (2,5; −2); �) $��,�� �� �������!����.
343. �) −1; 1; �) −0,8. 344. �) –1; 2; �) 1; 2,5. 345. �) –3; 1; �) 0,5; 4. 346. 18 ;S x= ����
� = 4,5, �� S = 4. 347. 12 ;t =v
���� v = 1,6, �� t = 7,5. 348. � < −1; 0 < � < 1. 350. 1.
351. /� ������. 352. −m. 353. �) (1; 3); �) (3; –1). 354. 46. 355. 75 ��. 356. &� �� ���.
� ���� �. ;���� �� ������� ����’������ ���� �� �� ����#� ��� ������. �������� ����
���������242
��� ����� � ������. 359. �) 1 ;c �) 3;3−a �) 4 ;4
−+
cc �) 3 ;3
−+
bb �) 2 ;−x y �) 5 2 .2
−−x
x y
362. 625; 3,24. 364. �) 22 ;
1−x
x�)
2;( )
ab a b+ �) .b
xy 365. �) −1; �) 24 13;
16+−
aa
�) 17 ;10(2 1)y
y +
�)2 2
3 32( ) .+
−a ba b
366. �) 91 ;+ a �) 14 ;+ +a a �) 32 .2+ + +x x 367. �) 2 ;15ax �) 3 ;4
cab
�) 1 ;x y− + �) 2(1 ) ;− xx �) ( ) .x x y
y+− 369. �) 2 ;3
ax �) (2 )(1 ) ;− +b bb �) ( ) .4
−x x y
370. 90. 371. �) 1 ;+a b �) 1; �) 4 .3( 4)−a
a 373. 22 ;
( 1)a
a − 4. 376. �) 1 ;3 1
++
xx �) 1 .2
xx
++
377. �) −1; �) 0; �) ������� ���� ; �) −2. 378. �) 0,6; �) 0; 3; �) 14 ;3− �) −2,8. 379. ����
� ≠ –2, �� � = –� – 3; ���� � = –2, �� ������� ���� . 380. � = –1; � = 3. 381. �) 127;
�) −0,9; �) 12 ;3 �) 4; �) 4 .7 382. �) 2 ;ab c
�) 2 2 ;−a
a b�) 2 32 ;x y �)
3
2 2 .( 1)+
cc
383. �)12
1027 ;x
y�)
15;3
a c �) 2 ;2 3+x �) ;a bab+ �) 1; �)
2 2
2 2 .a ab ba b
− + 384. �) 2n + 2; �) 2n + 7;
�) 27 − n; �) 2n − 8. 385. 3 4 2( );− − −+x x x 5 2( 1);− − +x x 8 6( ).− −+x x x 388. 3,6 ⋅ 103 �;
8,64 ⋅ 104 �; 2,592 ⋅ 106 �. 390. 2 .y x= 393. –2; 2.
�����""- �#- +�.�1�&��!&)% 2 3
1. �); $). 2. �). 3. �). 4. �). 5. $). 6. �). 7. 1)–-); 2)–6); 3)–�); 4)–4). 8. �) 250; �) 139
.
9. �) 12a; �)3
bb −
. 10. �)10
49ab
; �)6
1227nm
. 12. �) 65,5; �) 127
. 13. �) 4ab3c3; �)3
29nm
.
14. �) 252a +
; �) a bab+− . 15. �) 1,403 · 102; �) 3 · 10–5. 16. (1; 2); (2; 1). 17. �) 1,5; �) 22
3.
18. �) 3my
x + ; �)3 2
2 12
n
nby
−
− . 19. �) 2 21
x y−; �) –2. 20. �) x = 2·103; �) x = 10–3. 21. 2.
��������� 243
§ 2
404. �= 0; �= 5. 412. k = 3. 413. −3 < �< 2. 416. �) 1 ;3− 21 .3 417. �) 3 3 ;−b aa b
�) 2 .( 1)( 1)− − −m n
418. 60 �. 419. �) 68°; �) −40°. 420. ��������. ��� ����� ��, ��� ���� ��� ����� �
��������, �� ���� �’��� ��� ����. ���� ��������� �������: 1) ���� 3 ����� ��
���� ����� �’��� ��� �; 2) ��� ��� � �� 3 ����� ��� ����� ���� �’�� �-
��� � ������ ���. 446. �) 3,5; �) 11 ;6 �) 7,1; �) −6; �) −1,2; �) −0,99. 447. �) 0,18;
�) 2,5; �) 0,32; �) 50. 449. �) x = 0; �) x = 0. 450. � < 0. 452. �) 2; �) –1; �) 0.
453. 80 ��/��; 90 ��/��. 454. 25
. 455. !��� . ��������. "�������, # ����� ����-
� ����� 99 �������, � # !��� ��� ��������� ��� $���� � 4 �������.
460. 6 ��; 3 ��. 461. 18 �; 6 �. 462. �) −1; 1; �) 1,5;− 1,5; �) 2 ;3− 2 ;3 �) 1 ;5− 1 .5
463. �) 3;− 3; �) −1; 1; �) −8; 8; �) 32;− 32. 464. �) –1,5; 2,5; �) 1,5; 4,5.
465. �) –9; 5; �) –5; 6. 466. –7; 7. 467. –2 � –1; 2 � 3. 468. �) 3;− –1; 1; 3; �) 1. 469. –5.
470. �) � = 0; � = 2; �) � = 5;− � = 5. 473. (−1; 3). 474. 60 �������. 475. %� ����.
��������. &�������� ����� ���� ��� � ������ ������. "�������, #:
���������� ���� ��������, ��� ����� �� ������ ���� �� ��� ����� ������-
����� � �� 2; �� �� ���� ���� ����� ��� ���� ��� �’' �� ���� ���� ��-
��, � �� �� ���� ��� — �����. 500. 6 ���� ���. 501. ( 18 ������.
502. �) ��������. )��� ����� � ����� ��� ��������. 503. !��. %��������,
2 2 0;− + = ( )2 2 2− ⋅ = − . 505. 1 �����. 508. 20,5 ��/��. 509. 7,2 ��.
510. ��������. *���� ����, # �������� ���� ������� �����. !�� ��� ���� �����
���� #�������� ��� ��������, ��� ����#��� ������. (�������, # ����� ���
14 ������������ �������, ��� ����� �������� #�������� 15 ��� ������� �-
�� �����. 530. �) 24; �) 180; �) 45; �) 3; �) 10,5; �) 105. 531. �) 200; �) 42; �) 0,24.
532. �) 75; �) 36; �) 14; �) 720; �) 1,6; �) 154. 533. �) 21; �) 63; �) 20. 534. �) 12; �) 20;
�) 6. 535. �) 300; �) 34,5; �) 1,44; �) 3; �) –0,3. 536. �) 253,44; �) 0; �) 2; �) 171.
���������244
537. �) 64; �) 243; �) 64. 538. �) 32; �) 125; �) 81. 539. �) �b; �) −�b; �) −2�2�3; �) 45 ;mn
�) −�b2; �) −0,2��. 540. �) −�2b; �) −6�5b3; �) 4 ;xy
�) 7��. 543. �) 2; �) 19 .75 544. �) 2,8;
�) 2. 545. �) 374; �) 576. 546. �) x ≥ 0; �) x ≤ 0; �) ��� ��� ������� x; �) x ≥ 0; �) x ≥ 0;
�) x ≤ 0. 548. x2 – 2. 549. �) –2; 2; �) 1. 551. �) 1; �) 0,25; �) ������� ���� ; �) 0; 4.
552. �) 2 ;3zy �) 2 .1
−+
a ba 554. &� �� ��. 555. 84 ��/$��; 70 ��/$��. 556. &� �� ��. � �-
��� �. *�:��������: ��� ������ ��� ,�#� � ����� ���#�� �������� ������� ���������
����. 564. �) 5 6; �) −26; �) 9; �) 0; �) 7 3; �) 6; �) 3 5;+ �) 9; ') 4; %) 7 2 10.−
565. �) 2 6; �) 15; �) 2 2; �) 4 3 2;− �) 5; �) 9. 570. �) 6 2 2;− �) 7; �) 6; �) 2 6;−
�) 0; �) 1. 571. �) 5 2 3;+ �) 15; �) −19; �) 3. 572. �) 2�; �) 4 8;+x �) �; �) �2.
573. �) � + b + ab + 1; �) m. 574. �) 4 3 ;a b �) 0,3 ;− y x �) 2 2;a b �) 0,8 ;b b
�) 32 2 ;xz x− �) 34 2 .bc ab 575. �) 7 ;− b a �) 1,2 ;ab b �) 23 2;x y− �) 0,2 .xy xy
576. �) 212 ;a �) ;b �) 59 ;x �) 3 ;a b �) ( )31 ;c + �) 3 2 .a a b+ 577. �) 25 ;c
�) 3 ;n �) 32 ;b �) 3 2 ;a b �) 3 2 ;x x+ �) ( )3 .n k+ 578. �) 3 1;+ �) 5 2 ;3−
�) 14(3 2 2);+ �) 1 ;2 3 1+
�) ;+−
m nm n �) ( 3) ;9
+−
a aa �) 2 ;−
−x xx x
�) 4 6 .4 9−
−b
b
579. �) 5 1;2− �) 1 ;
7 3+�) 7 3 ;4
+ �) ( )4 3 2 4 ;− �) ;−−
x yx y �) (1 ) ;1
c cc
+−
�) 22( ) ;a a
a a+
−�) ( )
9 .3
bc b
−+
580. �) 5( 3 7);− �) 2 ( 3).−x x 581. �) 3( 7 5);−
�) 2 (2 ).+b b 582. �) 2; �) 8 1;2− �) 3 ;
7�) 2;+x �) 1 ;
5−a�) 2 .
3 − b
583. �) 3 ;2 �) 1 5;− �) 2;− �) 1 ;7−a
�) 2;− −x �) 5.−m 586. �) 2 2;
��������� 245
�) 4 ;23 �) ;b �) 1 .xy
587. �) 4; �) 2; �) ;− m �) 0. 588. �) 2 5;+ �) 3 1;− �) 9;
�) 1; �) �. 591. �)2
;3− a �) .− −ab 592. �) 2 2 6 ;4+ − �)
3( 5 2).3
−593. –3; 1.
594. (–1; 1); (3; 9). 596. &�. 597. 400 �. 598. 500 $. 599. � ���� �. +��$������ ��� ����-
�: ���� ������ ���� 1) �����!; 2) �������!. 614. �) 0; 4; �) 4. 615. �) 4; �) 0; 1.
616. �) 5; �) 24 ;3 �) ������� ���� ; �) 0,9; �) 2;− 2; ') ������� ���� . 617. �) 1;
�) 2,52; �) ������� ���� ; �) −1; 1. 618. �) (16; 4); �) (4; 2). 620. 0; 1. 621 � = 1.
623. �) −2; 2; �) 2; �) 0. � ���� �. )��� x � 2 2x x+ ������!�� �#� �����’ ��
�������. /��� � ���� x + 2 2x x+ �� � ������!��� ���! �#� ����, ��� ����-
����� �����!���� �������� x = 0 � 2 2x x+ = 0, ����� x = 0 � x2 + 2x = 0. �) 2.
624. �) (� − 1)2; �) 1 .2b− + 627. 4%. 628. � ���� �. *�:��������, �� ��� ���� ������
������ �������� �� 3. 634. �) 1; �) 7,5; �) −23; �) −2; �) 3. 636. �) 7 ;18 �) 6; �) 1 .35
637. �) 16; �) 82; �) 18. 638. �) 10; �) 30. 639. �) 4b − 3; �) 12 .− ab 641. �) 2 2;a
�) 7 2 .− b a 643. �) 27 ;m �) 219 .− mn 644. �) 10( 10 1);+ �) ( 2)( 2);− +c c
�) ( 6)( 6).− +m m 645. �) 7; �) 1 ;3+b
�) 5;−a �) 10;+c �) 1 ;2
−+x
�) .−b
a b646. �) 2 ;4 �) 10 ;4 �) 2( 5 2);+ �) 3 2 .9 4
+−
m nm n 648. �) −6; �) 3 3 3 .2
+
649. �) 2 ;−b
a b �) .−x
x y 653. �) 5;− 5; �) ������� ���� . 655. � = –1; � = 1.
656. �) 1,25; �) ������� ���� ; �) −1; 1. 657. �) 0; �) ������� ���� ; �) 0. 659. �) (1; 1);
(–1,5; 2,25); �) (1; 1). 661. &� �� . 662. ���� � = –1 ��� � = 0, �� �������� �� 1 ������;
���� � = 1, �� �������� ������� �� �� . 664. � = 3; (–1; 1).
���������246
�����""- �#- +�.�1�&��!&)% 2 4
1. $). 2. �). 3. �). 4. $). 5. �). 6. �). 7. 1)–)); 2)–�); 3)–-); 4)–A). 8. �) 9 3− ; �) –1.
9. �) 2 ; �) 4. 10. �) –3; 3; �) 3− ; 3 . 11. /��. 12. �) 4,2; �) 1,5; �) 30. 13. �) 3 ;
�) 6. 14. �) 6 22+ ; �) ( )2 1
4 1x x
x−
−. 15. �) 3a − ; �) a b
a− . 16. –1,5; 1.
17. �) x ≥ 0; �) x ≤ 0; �) x = 0. 18. �) 1; �) 6. 19. �) 6− ; 6 ; �) –0,5; 1. 20. � ���� �.
( )219 8 3 4 3+ = + . 21. '� .
§ 3
681. �) 0; 4,5; �) −2; 2; �) 2 2;− 2 2; �) 17;− 17; �) −4,5; 0; �) 0; 0,2; �) 30;−
30; �) 3 2;− 3 2. 682. �) −0,8; 0; �) 3;− 3; �) 0; 5; �) 2 ;3− 0; �) −0,4; 0,4;
�) −0,4; 0,4. 683. �) 0; 3,15; �) 5,5;− 5,5. 684. �) −2,5; 2,5; �) –8; 0. 685. −6. 686. 8.
687. 1,5;− 1,5. 688. −0,5; 0. 689. −9; 0. 690. 0; 17. 691. �) −0,5; 0; �) −2; 2. 692. �) 0; 3;
�) 2;− 2. 693. �) ���� � < 0, �� �1 = 1 ;a− − �2 = 1 ;a− ���� � ≥ 0, �� ������� ��-
�� ; �) �1 = 0; �2 = 2� ��� ����-���$� �; �) ���� � = 0, �� ������� ����-��� ����; ��-
�� � ≠ 0, �� �1 = −�; �2 = �. 696. 70 ��/$��; 50 ��/$��. 697. 70 �; 50 �. 698. 10 �����. � �-
��� �. &��� � ��� ���� ��������� ���� ������ � �����. /��� �� �����! ������
60 + 2⋅30 + 3� = 150. 703. �) 1; 5; �) −6; 2; �) −5; −2; �) ������� ���� ; �) 5; �) −3; 7.
704. �) 1; 1,5; �) −1; 0,5; �) −2; 1 ;3 �) 0,5; �) ������� ���� ; �) 1 ;7− 1. 705. �) −5; 1;
�) −1; −4; �) 2; 3; �) ������� ���� ; �) 4; �) 3; 7; �) −1; −0,5; �) 1 ;21 ;3 ') −1,5; 1.
706. �) 1; 4; �) −4; 0,5; �) −1; 2. 707. �) −1; 3; �) 1; 7; �) −1; 0,25. 711. �) 1 2;− 1 2;+
�) 4 ;7 2; �) −8; 2 ;3 �) −15; −6; �) −18; 1 ;3 �) −1; 3; �) −1,5; 1; �) 1 ;61 ;3 ') 2 ;3− 11 .3
712. �) 3 3;− 3 3;+ �) −6; 2 ;3− �) 0,5; 3,5; �) −7; 23; �) −18; −0,25; �) −4; 1;
��������� 247
�) −1; −0,2; �) 1 ;3− 2 ;3 ') 3 ;5− 2 .3 713. −0,25; 4. 714. 21 ;3− 2. 715. �) −2; −1,5;
�) −5; 0,2; �) −0,2; 3; �) 1 ;2− 21 ;3 �) −0,6; 1; �) 1 2 2 ;3− 1 2 2 ;3
+ �) −0,5; 0,2;
�) −5; 1,5. 716. �) 5 ;6− 3 ;4 �) 2 ;3− 2,5; �) 61 ;7− −1; �) 10 5 2 ;2− − 10 5 2 ;2
− +
�) 1 ;22 .3 717. �) −3,5; 1; �) −3; 0,6. 718. �) 1; 3; �) −4,5; 6. 719. 22 ;3− −2. 720. 1 ;8− 1.
721. �) −15; 12; �) 116 ;3− 24 .3 722. �) 16; �) 0; 1. 723. �) –1; 5; �) –2; 1; 2; 5.
724. �) �1 = b; �2 = 3b; �) �1 = –b; �2 = b – 2. 730. 100 �$. 731. &� �� ��. � ���� �. ����
�� �� ����� ���� �, b, �, �� �� ��� ���� ���� �� ����� ,2b c+ ,2
a c+ .2a b+ (���
���� ��� ������� ������! � + b + �. *� �, �� ������ ������ ���� ���� �� ����!-
����. "��������� ��� ����� ������ ����. 748. −1 — ��#� ������ ��������; q = 9.
749. 3 — ��#� ������ ��������; p = −1. 750. �) 22; �) 43 .9 751. �) −29; �) 312 .4−
752. �) 5; �) 0,5. 753. �) m = 2; �) ��� ������� m �� ���� . 760. 2 � 4 2 — ������
��������; p = 5 2.− 761. −11 � 3 — ������ ��������, p = 8 ��� −3 � 11 — ������ ���-
�����, p = –8. 762. 8 � 2 — ������ ��������; b = 16. 764. b = –4; b = 4. 765. �) −0,4; �) 50;
�) 24; �) 3. 766. �) 0,89; �) –0,387. 767. �) (a + 2b)(3 – c); �) −(a – b)(a + 3b);
�) (m − 1)(m − 7). 768. �) 4 ;( 2)m m− + �) 1 .5a − 769. �) (4; –2); �) (4; –1). 770. 20 $�; 25 $�.
771. "����� � /����. � ���� �. &�������� � ���#�� �� ���$�� ���� ���������� m �� n
$����� ������������ ����! (m, n). ;�� ������: (30, 7) → (9, 7) → (2, 7) → (2, 3) →
→ (2, 1) → (0, 1). (;�� 2$��� ���#���.) 776. �) −4; 1; �) 1 ;3− 3; �) 4.
778. �) (2� − 1)(� − 2); �) (3� + 2)(� − 1); �) 3(� − 1)2. 779. �) (� − 1)(� − 3);
�) (� + 4)(� − 3); �) (2� + 5)(� − 1). 780. �) (2� − 1)(2� − 2); �) −(� + 4)(� − 2);
�) 0,3( 10)( 10);x x− − + �) (� − 1)(1,2� + 0,7); �) 1 ( 1)( 2);3 x x+ + �) 21 ( 4) .4 x− −
���������248
781. �) (3� − 2)2; �) −(� + 1)(5� − 3); �) 0,1(3m − 2)(2m − 3); �) 1 ( 2)( 4).8 x x− −
783. �) 2 3;4a − �) 3 1;2 1
xx
−+ �) 2 ;5
bb
−− �) 1 .2 1
kk−− 784. �) 3 ;4a + �) 2 3.2 3
xx
+− 785. �) 1;
�) 2 .1cc
−+ 786. �) 2; �) �. 787. �) 2; �) 12 2 .2
bb
−− 789. �) (� + �)(� − 2�); �) (2� + �)(� + 2�).
790. �) 2 ;−a
a b �) 2 26 .4
+−
x yx y
791. �) 0. 792. 70 ��/���. 793. 468 7 ��/���. 794. −2; 2.
795. ���. 796. �) 0; 1; �) 1; 4; �) 1 ;3− 2; �) 0; �) –3; �) 0,25. 797. �) −7; 7; �) 1; �) −5,5.
798. �) −10; 10; �) 0; �) 4. 799. �) 0; �) −3; −2; �) −2. 800. �) −3; −2; �) −1; 2; �) 4; 8;
�) −6; 3; �) 1; 7; �) −4; 5. 801. �) −2; 7; �) 3; 5; �) –7; 1. 802. �) −2; –1; 1; 2;
�) –3; 3; �) 2;− 2. 803. �) −2; 2; �) –3; –1; 1; 3; �) –2; 3;− 3; 2. 804. �) 3;
�) –3; �) 0,5; �) ���� ����. 805. �) 5; �) 1,5. 806. �) 1; 10; �) –1; 6; �) –2; 1; �) 0; 4.
807. �) –11; 2; �) –7; –4; �) 1,8; 10. 808. �) –7; 1; �) –0,75; 5; �) 1,5; 2; �) ���� ����.
809. �) –5; 3; �) –15; 1. 810. �) 5;− 0; 5; �) –0,25; 0; 1. 811. �) 0; �) 0; 5; 6. 812. �) –2;
1 ;2
− 1 ;2
2; �) 2 ;3− 2 ;3 �) 2; 6; �) –3,5; –2,5; –0,5; 0,5. 813. �) –2; –0,5; 0,5; 2;
�) 1 ;3− 1 ;3 �) 2 7;− − 2 7;− + –3; –1; �) ���� ����. 814. 5 3.− − 815. 1 .2
816. �) 7 ;18− 3; �) 5 ;7 4; �) –4; 25 ;3 �) –1; 2 ;3 �) 1; 7 33 ;4− 7 33 ;4
+ 4; �) –3; –2.
817. �) ���� � = –3, �� � = –1; ���� � = 1, �� � = 3; ���� � � –3 � � � 1, �� �1 = –1;
�2 = 3; �) ���� � = 1 ��� � = 2, �� � = 1; ���� � � 1 � � � 2, �� �1 = 1; �2 = �. 818. �) –3;
–2; 2; 3; �) –1; 2; �) –6; –4; –1; 1; �) –1; 0,5; �) 2; 3; �) –1; 6; �) –3; 2; ) –5; –1.
819. �) (� − 3)(� − 1)(� + 1)(� + 3); �) (b + 3)(b − 1)(b + 1)2. 820. �) –1; 4; �) 2 ;3 4. 821. �) 1;
25; �) 4; �) 5; �) 16; �) –1; 4; �) –7; 2. 822. �)23 ;4
ca �)
22 .x yy− 824. �) 36 14 2;− − �) 2.
825. 70 ��. 826. 4 ��/���. 827. �������. ���������, �� ����� ����� � �����. ������-
��� � � ����� M, N ������ ������ � ���� ����� , �, �, �� � — ����� �������N,
��������� 249� — �������� ����� �N, N — �������� ����� ��. 828. 40 � . 829. 4 ; 8 .
830. 7 � ; 8 � . 831. –15 –9; 9 15. 832. –13 7; –7 13. 833. 12; 35. 834. 60 � /���;
90 � /���. 835. 50 � /���. 836. 6 �������. 837. 4 �������. 838. 3 � /���. 839. 14 � /���.
840. 24 ; 36 . 841. 3 � . 842. –6 –3; 10 13. 843. 9; 10. 844. 3.5 845. 7 .2
846. 16 �� �’����. 847. 24 �����. 848. 6 ���; 10 ���. 849. 10 ���; 15 ���. 850. 3 ��;
6 ��. 851. 9 ��. 852. 12 ��; 15 ��. 853. 120 �� 108 �� ��� 72 �� 60 ��.
854. 18 � /���. 855. 16 � /���. 856. 60 � /���. 857. 90 � /���. 858. 15 ����.
859. 5 1.2− 860. ≈72 . 861. 14 %. 862. 9 ���; 18 ���. 863. 75 � /���. 864. 10 �������.
866. �) 14. 867. �) 1;1bb
−+
1 ;3 �) –m; –0,8. 869. �) –3; 3;− 3; 3; �) 256. 870. �� ��-
��. ������. ��������, �� �� ������� ���� �� � ��� � ����� � ������� ����
����� ���� ��������. 871. �) –4; 4; �) 5;− 5; �) –1,5; 1,5; �) 2;− 2; �) 0; 0,6;
�) 0; 0,2. 872. �) –2; 7; �) –10; 6; �) –0,5; 1; �) –0,25; 3; �) 0,2; 4; �) –1; 2 .3− 874. �) –2;
10; �) –4; 1; �) –2; 0; �) 1; 2; �) –1; 21 ;3 �) 51 ;12− 1. 879. �) –9; �) 4. 880. 30 .49
882. �) (� − 3)(� − 7); �) (2� + 5)(� − 1); �) (� − 4)2. 883. �) ( 2)( 3)( 3)( 2);− − + +x x x x
�) (� – �)(� − 3�); �) (m + 2n)(2m − 5n). 884. �) –� − 6; �) 4 1;5−
+x
x �) 5 .2 3+−
a ba b 885. �) 2;
�) .1x
x + 887. �) 3;− 0; 3; �) –0,8; 0; 0,8. 888. �) 2;− –1; 1; 2; �) –3; 3; �) –9;
–5; �) 0; 0,8; 2 3 ;5− 2 3 .5
+ 889. �) –1; 2; �) 21 ;3− 1; �) –2; 1; �) –1; 1; 3; 5. 890. �) 1;
�) –2; 9. 891. �) –8; �) –3; �) 3; 14 ;3 �) 21 ;3− –1; �) –4; �) –2; 2; �) –1; 11; ) 3 ;4−
3 19 ;2− 0; 3 19 .2
+ 892. 9. 893. 7,5. 894. 1. 895. 2, 14 — ����� ������; m = 28.
896. –2; 1. 897. 1. 898. 1; 2; 3; 4. 899. 46 � . 900. 4. 901. 3; 4. 902. 7; 9; 11. 903. 3 � ;
4 � ; 5 � . 904. 12 2. 905. 5 .12 906. 3 .10 907. 4 � /���. 908. 2 � /���. 909. 90 � /���.
���������250910. 72 ��/$��. 911. 60 ��/$��. 912. 6 ����; 12 ����. 913. 10 ����; 20 ����. 914. 10 ��-
���������. 915. 20.
�����""- �#- +�.�1�&��!&)% 2 5
1. �). 2. $). 3. �). 4. �). 5. �). 6. �). 7. 1)–)); 2)–-); 3)–4); 4)–�). 8. �) (� + 2)(� + 4);
�) (� – 1)(2� − 3). 9. x1 + x2 = 10; x1x2 = 24. 10. �) 1������ ���� ; �) –6. 11. –3 � 8; –8 � 3.
12. �) 16
; 13
; �) –1; 1. 13. 133
. 14. �) –11; 2; �) 1; 1,5. 15. b = 1,5. 16. 80 ��/$��. 17. �) –3;
–2; 0; 1; �) 64. 18. a = –4; a = 4. 19. b = –5. 20. –2; 0,5. 21. 12 $��; 16 $��.
����,! '� )/&+ �#���&% 8 )#�+/
919. �) 12,5; �) 0; �) 1,8; �) 8. 920. �) ( )SS b a− ⋅ ��. 921. �) 60S
b + $��; �) 60 60S
b⋅ + ��.
922. �)2
27 ;6
yx
�) 6 ;yx y− �) 3;1
aa
−− �) 1 ;a
a b−+ �) �5 − 1; �) 5 5.x + 923. �) 6 ;2 1
aa + �) 3;
�) 1; �) 2 ;2m
m n− �) 2 ;2cc
+− �) 22 .a b+ 924. �)
2
2 3 ;a ba b+ �) 4 4
5 3 ;45
y xx y− �)
2;( )
xy x y+
�) 8 ;2b
b + �) 5 ;3( 3)z − �) 2 ;( 2 )
aba b−
�) 1 ;2x + �) 234 .
4y −925. �) 20 ( 1) ;3
a ab
+
�) 23( ) ;
4x y
y− �) ( 7) ;3( 7)
a aa
−+ �) 1 .6 926. �)
4 4
44 ;a n
c�)
8
4 .16m
k927. �) 2
4 ;3
zxy
�)3
30,3 ;bac
�) (4 ) ;3m m n+ �) 3 .b
a b− 928. �) 4 ;by �) 3 ;b
a �) 2 ;2 2cc−− �) 3 ;x �) 3(a − b); �) .1
n mm n
−− +
929. �) 22 ;
1 a−1 ;112− �) 4 ;2b− + −40. 933. �) 1 ;2 �) 1 ;5 �) 2. 934. �) 2 23 ;a b c−
�) 4 1525 ;x y− �) 1 ;1a + �)2
21 .2
xx
−−
935. 1. 941. �) x ≥ 0; �) x ≥ 0; x ≠ 16. 942. �) 65; �) 4;
�) 18,7; �) 13; �) 0; �) 22. 944. �) 0; �) 4 2 6;+ �) 46 4 6;+ �) 17; �) 4 3; �) –16;
�) 10; �) 9. 945. �) 2 ;x x �) –7; �) 4 ;a b− �) 25�. 947. �) 15 1;− �) 2; �) 3;c −
�) 1 .3x +
949. �) −6; �) 5; �) ;aab b+
�) .x y− 950. �) 10; �) 5; �) 4; �) 82 .9
��������� 251
951. 1.−bab
954. �) −3; 5; �) −1; 3,5; �) −6; 1; �) 2 2 7 ;3− 2 2 7 .3
+ 955. �) 3; 5; �) 0,5;
�) 0; 2; 3; �) −3; 0; 2. 956. �) –3; 3; �) –4; –0,5; 0,5; 4; �) –8; 0; �) 1; 2; 3; 4. 957. �) −1; 4;
�) 1 6;− 1 3;− 1 3;+ 1 6;+ �) −4; 2. 958. 3. 959. 2 .3− 961. � = −1; 13− — ���$�
������. 962. 2 � 13 — ������, b = −7 ��� −2 � 1
3− — ������, b = 7. 963. 232. 964. −1400.
965. 6. 966. �) � = −0,5; � = 0; �) � = −1; � = 0; � = 1 .3 967. � = −3. 970. �) 3; �) 1; �) −4;
1; �) −2; 1; �) 1,2; �) −7; −5; �) 1; 5. 971. � = –1; � = –0,5. 972. �) ���� � 9 2, ��
� = 2� – 1; ���� � = 2, �� ������� ���� ; �) ���� � 9 –2 � � 9 2, �� � = 2�; ���� � = –2
��� � = 2, �� ������� ���� . 973. �) −1; 3; �) 0. 974. �) 4. 975. �) 6; �) −1; 3; �) 25;
�) −4; 1. 977. �) (−7; 49); (5; 25); �) (0; 0); (0,25; 0,5). 978. �) −0,5; 2; �) −1; 4; �) 4.
979. /��. 982. −3 � −2 ��� 4 � 5. 983. −2, −1, 0, 1, 2 ��� 10, 11, 12, 13, 14. 984. 24 ��.
985. 48 ��2. 986. 1 .5 987. 7 �������. 988. 20 $��. 989. 6 $��; 8 $��. 990. 6 $��; 4 $��.
991. 3 ��/$��; 1 ��/$��. 992. 60 ��/$��. 993. 8 ������. 994. 4 �����.
����,! 1!��%3�"�4 +)#��"�+(!
995. �) �2 + � − 2; �)2 2
.x ax ax a
+ ++ 997. 32
32 .1 x−
999. 100 .101 1000. n = 2; n = 3. 1001. � �-
��� �. "���� �� ������� � �������� ���#�$� ����� �� z, � ���$�$� — �� xz. /��� ��
������ ���� xyz = 1 ��� �� ���� ������� �������� ��������. 1002. −1; 8. 1006. ����
� 9 –1, � 9 0 � � 9 2, �� 3 ;1ax a= + ���� � = –1, � = 0 ��� � = 2, �� ������� ���� .
1009. � ���� �. )������, �� ���� �������� ����������$� ���� �� �� � ���������-
��� �,��! 8. 1010. �) 1 2 3;+ + �) 1 1a + + . 1011. ( 5 7 1)(2 5 1)19
− + + .
1014. �) 1������ ���� ; �) 0; �) 4; �) −2; 14. 1015. � = 4; � = 4. 1016. �) 9 .16 1019. ����
� < 0 ��� � = 1, �� ������� ���� ; ���� � ≥ 0 � � ≠ 1 — 1 ������. 1020. � < 0. 1025. � = 1.
1026. � = 0; � = −4. 1027. x2 + (p3 – p2 – 3pq + 2q)x – p(p2 – 2q)(p2 – 3q) = 0.
���������252
1028. 2 .q p− 1029. �) −3, 1; �) 0,5; �) 0; 7 2 3;− 7 2 3;+ �) 2;− 2; �) 1; �) 1.
1030. 18. 1031. 1. 1032. *�� ������. 1033. �) ���� � > 0, �� 1 ,x a= − 2 ;x a= ����
� = 0, �� x = 0; ���� � < 0, �� 1 2 ,x a= − − 2 2 ;x a= − �) ���� � 9 –4, � 9 –2, � 9 –1,
� 9 0 � � 9 1, �� �1 = –2�, �2 = � + 2; ���� � = –4, �� x = 8; ���� � = –2, �� x = 4; ����
� = –1, �� x = 1; ���� � = 0, �� ������� ���� ; ���� � = 1, �� x = 3. 1034. � = −1.
1035. � = 8; � = 12. 1037. 5; 6; 7; 8. 1038. 6 �. 1039. 50 ��/$��. 1040. 56 �.
1041. 64 ��/$��. 1042. 3 2 ��/$��. 1043. 8 �. 1044. 10 � ��� 20 �.
�������� �� ��� 253
����������� ���
��������� — ���� ������ �������������� .......................................... 128 — ������ .................................. 56 — ������� � ��� ������-� ................................................. 72 ����� — ������ ................................. 6 — ���������� .......................... 6 ������� ...................................... 85 ������ ���� .............................. 43 ������ ���� ............................. 167 �������� ��� ���� ���� — � ������ � ��� ������ � 22 — � ���� � ��� ������ � ..... 27 ������ �������� � ���� ........ 7 ��� .................................................. 6 — ���������� .......................... 7 ���������� ���� ..................... 108 — ���� ������� .................... 108 ���������� ������� .................. 182 �!���� ���� ......................... 38 �!��� ..................................... 117 "������� ���������� ............ 84 "����� ���������� ���� ......... 13 #� �!��� ................................ 118 #�������� ���� � ������� ...... 38 #������ ..................................... 102 $������ — ��������� .......................... 187 — ���� �������� ............. 54 — �������� ............................. 162
— ����� �������� .............. 163 — �������� ........................... 54 — �� �������� � �������-��� ............................................... 187 — �������� .......................... 56 — �2 = � ................................... 114
— x a= ................................ 146 $��������� ��������� ���������� �!���� .............................. 182 %������� ���� ...................... 13 %����� � ��� ������� ....... 66 %���������� ������ ����� ......... 78 &��� � — �'�� .................................... 174 — ������� � ���� � �'�� . 176 &�!���� ..................................... 8 &�!� ����������� ������ ..... 8 — ���������� ........................ 48 — �� ����� ������������ .......................................... 136 &�!� ��� ������ .................... 8 (� ��� ����� — ��������� ������� ....... 168 — ������� ���������������� ...................................... 169 (�����
— ky x= .................................... 84
— 2y x= ................................. 102
— y x= ................................ 145
)���� — ���� .................................. 121 — ��������� ..................... 120 — �������� ......................... 118
�0��
§ 1. �7�����8�� �����
1. +���������� ����. +���������� ���� ..................................................... 6
2. *������ ���������� ����� ....................................................................... 13
3. ��������� � ���������� ������ � �������� ���������� ............... 22
4. ��������� � ���������� ������ � ����� ���������� ...................... 27
1������� ��� �������� � 2 1 .................................................. 35
5. '�� ���� ������. "��������� ����� �� ������� ................................... 38
6. ������� ������. .......................................................................................... 43
7. /��� �� ������������ ���������� ������ ......................................... 48
8. +���������� �������� ................................................................................. 54
1������� ��� �������� � 2 2 .................................................. 63
9. (������ � ���� ��������� ..................................................................... 66
10. )��������� ������� � ���� ��������� ............................................. 72
11. (��������� �$��� ���� ...................................................................... 78
12. 7������ kyx
= ........................................................................................ 83
�������� � ����� ��� ���������� § 1 .................................................. 92
1������� ��� �������� � 2 3 .................................................. 98
§ 2. �������� �� ��. ��5�� ����
13. 7������ � = x2 ......................................................................................... 102
14. 1�������� ������. 4�,������ ��������� ������. ................... 107
15. +������� x2 = a ........................................................................................ 114
16. %����� ��� �. 2������������ �� ������ ���� ............................... 117
17. )��������� ��,������$� ���������$� ������ .............................. 128
18. /��� �� ������������ ������, ��� ������� ��������� ������ ........... 136
19. 7������ y x= .................................................................................... 145
�������� � ����� ��� ���������� § 2 ................................................ 153
1������� ��� �������� � 2 4 ............................................... 158
§ 3. �������� ���9��9
20. 1�������� ��������. &������ ��������� �������� .............................. 162
21. 7������ ������� ���������$� �������� ............................................. 167
22. /������ )� �� ........................................................................................ 174
23. 1�������� ������ .............................................................................. 182
24. +�������, ��� ��������� �� �������� ............................................... 187
25. +���’�������� ����� �� ������$�! �������� ��������� �������, ��� ��������� �� �������� ............................................... 192
�������� � ����� ��� ���������� § 3 ................................................ 203
1������� ��� �������� � 2 5 ............................................... 207
�4�4%2 �4 13+( 48-<6+= 8 184(3 ......................................................... 210
�4�4%2 "2�)=0<&*> (184�&*(/2 ......................................................... 219
)2�*'*(/2 � 13+(3 48-<6+= 7 /4 8 184(2) ....................................... 225
)2�"*)2�2 ......................................................................................................... 235
"+<�'</&=? "*14@%=1 .......................................................................... 253
���,�#$"� �%��""-
�&��,/) )���� +�����������!�&/,"�'���� )�������9",�")� -���� '�������
��� ��"������� ��� 8 �����
��$������������ �������� ��������
�� ��������������� �� ��� ���� � � ��� � 3 �/��
�%��"� '� &�:/"�) ��&���"%: )�;(!�.�&���� '���&�"�"�
+�������: 4����� -�’% , 4����� -�������, ��*�� �� ��% 8���������� ����$������ .%����� +����� *�������� ��� ���� )���� )������������ �� ����� ��*�� �� ��%
)$�������� �$���� �� (*3 22.2-02477019-07:2012
7����� 60×84/16. 14,88 ��. ��. ���., 12,25 ���.-��. ���. /�� 17 768. ���������� A 20-16 )������ � �$�����!��� +������� $���� «"������� � �������».
46000, �. /��������, ���. "�������, 6�. /��.: (0352) 43-15-15; 43-10-21. ����: zbut@pp-books.com.ua +�������: red@pp-books.com.ua
)��������: print@pp-books.com.ua www.pp-books.com.ua
(�������� ��� �������� ���’ ��� �������� ������� ��� ����$� �� ���� �������, �$�������� � �������!� ������ �������� ���������
����� �1 A 4678 ��� 21.01.2014 �.1�$�-��#��!: �/� 376, /��������, 46011./��.: (0352) 42-43-76; 097-50-35-376
post@pp-books.com.u
&���������� � $���� ,����� �� "�4/ «8�������� �� ���� ,����� «4����»79005, �. 8����, ���. ������, 20 ���. (032) 276-45-79, 276-45-80
atlas_book_2@ukr.net(�������� ��� �������� ���’ ��� �������� �����
�� ��� ����$� �� ���� �������, �$�������� � �������!� ������ �������� �������������� �1 A 1110 ��� 08.11.2002 �.
top related