ccáállccuulloo ddiiffeerreenncciiaall ee iinntteeggrraall
Post on 19-Feb-2022
1 Views
Preview:
TRANSCRIPT
CCáállccuulloo DDii ffeerreenncciiaall ee IInntteeggrraall
Matemática
55ºº AAññoo CC óó dd .. 11 55 00 33 -- 11 66
PP rr oo ff .. BB EE tt ii nn aa CC aa tt tt aa nn ee oo PP rr oo ff .. MM ii rr tt aa RR oo ss ii tt oo
RR ee ss .. DD ee PP rr oo bb ll ee mm aa ss :: PP rr oo ff .. NN ee rr ii nn aa TT oo ss cc aa
DD pp tt oo .. dd ee MM aa tt ee mm áá tt ii cc aa
P O L I T E C N I C O 1
1. INTEGRAL INDEFINIDA
1.1. FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
Definición: Se llama función primitiva o antiderivada de una función f a otra función P tal
que para todo x perteneciente al dominio de f se cumpla que P´(x) = f(x). Es decir:
Así:
P1(x)= x sen es una primitiva de f1(x) = x cos pues x cosx sen'
P2(x)= x arcsen es una primitiva de f2(x) = 2x1
1
pues 2
'
x1
1x arcsen
P3(x) = 3
x3
es una primitiva de f3(x) = 2x pues 2
'3
x3
x
Resuelve: 1) Determina una primitiva de cada una de las siguientes funciones y verifica tu
respuesta por derivación
a) xxx)x(h 3 b) 4xx5)x(g 34 c) 23 )5x()x(h
d) 2
34
x
6x3x)x(t
e)
3
3
t
15t)t(f f)
1x
x)x(g
2
2
2) Indica si cada una de las siguientes afirmaciones es V(verdadera) o F (falsa) .
Justifica tu respuesta.
a) Una primitiva de xex)x(f , es x2/3 ex2
3)x(P
b) Las funciones 2
2
x
1x)x(F
y 3log
x
1)x(G
2 son primitivas de una misma función.
c) Las funciones
x
3xln)e1(e)x(F xx y
x
6x2lne)x(G x son primitivas de
una misma función.
P es una primitiva de f P´(x) = f(x) x Domf
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 2
Observando las respuestas del ejercicio anterior, notamos que existen dos primitiva para la misma función. ¿siempre existirán dos o habrá más?. Si hay más, ¿existirá alguna relación entre ellas?
El siguiente teorema nos resuelve estos interrogantes.
TEOREMA Dos funciones P y H son primitivas de una misma función f, en el intervalo (a; b), si y sólo si
dichas funciones difieren en una constante real. En símbolos:
C b a;x ;C)x(H)x(Pb) (a; en f de primitivas H y P
Observación: en el teorema hay un si y sólo si, por lo tanto tendremos que demostrar la ida y la vuelta del mismo.
) )
H) P(x) y H(x) primitivas de f en (a; b) H) C)x(H)x(P con C
T) C)x(H)x(P con C T) P(x) y H(x) primitivas de f en (a; b)
Demostración (para la ida y la vuelta):
)3()2(
)1(
)1(
0)x´(H)x´(P
)x(f)x´(Hb ;aen)x(fdeprimitivaes)x(H
)x(f)x´(Pb ;aen)x(fdeprimitivaes)x(P
C con C)x(H)x(P0´)x(H)x(P)4()3(
(1) Por definición de primitiva (2) Restando miembro a miembro (3) Por propiedad de la derivada de suma de funciones (4) Por propiedad de la derivada de una función constante
Nota: El teorema anterior nos permite afirmar que si f tiene una primitiva P, en realidad tiene
infinitas primitivas, pero tales que dos cualesquiera de ellas, difieren en una constante arbitraria real C.-
P O L I T E C N I C O 3
Problema resuelto
Encuentra tres primitivas de la función f(x)= x cos
Resolución:
Tres primitivas de la función f(x)= x cos podrían ser P1(x)= 3 x sen ; P2(x)= 2e x sen ;
P3(x)= 1 x sen pues
xcos1 x sene x sen3 x sen''2'
1.2. INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN
Definición: Al conjunto de todas las primitivas P(x) + C de f, se lo llama integral
indefinida de f y se simboliza dx )x(f (esta expresión se lee «integral de efe de equis
diferencial de equis») Es decir:
f(x) ' C P(x) C P(x) dx )x(f
En dicha expresión, convenimos en llamar:
símbolo integral
f función integrando
C constante de integración
Observaciones:
Resolver una integral indefinida, consistirá en calcular todas las primitivas de f.
Diremos que una función f es integrable si existe la función P(x) tal que
C P(x) dx )x(f
Poblemas resueltos
1) Calcula las siguientes integrales indefinidas
a) dx ex
Resolución:
Puesto que una primitiva de f(x)= xe es P(x) = xe , entonces
Cedx e xx
b) dx x2
Resolución:
Una primitiva de f(x)= 2x es P(x)= 3
x3
, entonces
C3
xdx x
32
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 4
c)
dx x1
t
2
Resolución:
Una primitiva de f(x)=2x1
1
es P(x)= xarctan y como t es una constante (pues la
variable es x), entonces
Cxarctan tdx x1
t2
Para pensar
Justifica la siguiente afirmación:
“La integral indefinida representa un conjunto de funciones cuyas gráficas constituyen una familia de curvas paralelas entre sí, a lo largo del eje y”
Problema resuelto
Calcula la primitiva de f(x) = 2x que pase por A(0; 1) Resolución:
1 x P(x) 1 C 1 C 0 C xdx x2 22(1)
2
(1) pues A(0; 1) pertenece a una de las infinitas funciones de la forma Cx2
1.3. INTEGRALES INMEDIATAS
Se denomina integrales inmediatas a todos los resultados obtenidos en forma directa
teniendo en cuenta la definición de integral indefinida y utilizando la derivación de funciones elementales. La siguiente tabla, llamada tabla de integrales inmediatas, muestra dichos resultados, que serán necesarios aprender si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas.
C x dx C x cos - dx x sen
-1n , C x1n
1 dx x 1nn
C x tan dx
x cos
1
2
C x ln dx x -1 C x cotan - dx x sen
1
2
C x sen dx x cos C sec x dx x cos
xsen
2
C cosec x - dx x sen
xcos
2 C e dx e xx
1a y 0a ,C a a ln
1 dx a xx
C x tgarc dx
x 1
1
2
C x arcsen dx
x- 1
1
2 C x arccos dx
x- 1
1-
2
P O L I T E C N I C O 5
Problemas resueltos
1) Calcula las siguientes integrales
a) dx x4
Resolución:
C5
xC
14
xdx x
5144
b) dx x
1
5
Resolución:
C4x
1C
4-
xC
15-
xdx xdx
x
1
4
-41-55
5
c) dx x x 32
Resolución:
Cx9
2C
2
9
xC
12
7
xdx x dx x xdx x x 9
291
27
27
23
232
d) dx 3x
Resolución:
C3 ln
3dx 3
xx
2) Prueba que
a) Cxln x
dx
Resolución:
Para demostrar dicha igualdad basta con verificar que x
1xln
'
Sugerencia: utilizar para derivar 2xx
x
xx
x2x2x
xlnxln222
'2' 1
1
1
1
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 6
Observación: si en lugar de tener xln , tendríamos ln x, la fórmula sólo da la primitiva 0x .
Al operar con xln , función par con derivada x
1 en todos los reales excepto en 0, se tiene mayor
dominio de validez.
b) Cx1
x1ln
2
1
x-1
dx2
Resolución:
Para demostrar dicha igualdad basta con verificar que 2
'
x-1
1
x1
x1ln
2
1
Sugerencia: utilizar para derivar
2
x1
x1
x1
x1
222
'2'
x1
1x1x1
x1
x1 2
x1
x12
1
x1
x1
1
2
1
x1
x1ln
2
1
x1
x1ln
2
1
2222 x1
1
x1
2
x1
x1
2
1
x1
1x1x1
x1
x1
x1
x1
1
2
1
Por lo tanto, podemos concluir que:
Cx1
x1ln
2
1
x-1
dx2
xln)x(f
x
y
0 1 -1
P O L I T E C N I C O 7
1.3.1. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA En las propiedades que se enuncian a continuación el símbolo D significa derivada
P1. Si f es integrable f(x) dx f(x)D
Demostración
C P(x) dx )x(f(1)
)x(fCDP(x) DC P(x) Ddx )x(fD )4(y)3()2(
(1) f es integrable (2) La derivada de la suma es la suma de las derivadas
(3) P(x) es una primitiva de f(x) )x(f)x(PD
(4) C es una constante 0CD
Ejemplo:
5x tg dx 5x tgD
P2. Si f es derivable Cf(x) dx Df(x)
Demostración
Derivando el segundo miembro (f es derivable) resulta:
egrandoint f unción
)2()1(
)x(fDCD)x(fDCf(x)D
(1) La derivada de la suma es la suma de las derivadas
(2) C es una constante 0CD
Ejemplo:
C 5x tg dx )5x tg D(
P3. Si f y g son integrables βα, condx g(x)β dx (x)fα dx ) βg(x) αf(x) (
h
Esta propiedad recibe el nombre de Propiedad Lineal de la Integral Indefinida. Demostración
Si la propiedad es cierta entonces bastará probar que
h
βg(x) αf(x) dx g(x)β dx (x)fαD
h
(3)(2)(1)
βg(x) αf(x) dx gDβdx fDα dx gβDdx fαDdx gβ dx fαD
(1) La derivada de la suma es la suma de las derivadas (2) La derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de
la función (3) Propiedad anterior P1
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 8
Ejemplo:
dx senx 6 dx x 5 dx senx) 6- x(533
Casos particulares: Completa en cada caso teniendo en cuenta P3:
a) Si 0 resulta .................................
b) Si 1 resulta .............................
1.4. INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN
Este método consiste en la aplicación de la propiedad lineal (P3), transformando una
integral compleja en varias inmediatas:
Problemas resueltos
1) Calcula las siguientes integrales aplicando el método de descomposición
a) dx ) x 5 x4 - x sen (2 2
Resolución:
C
3212
33
2122
)5C 4C - C (2 x3
10 x
3
4 - x cos 2-
dx x 5 dx x 4 dx x sen 2 dx ) x 5 x4 - x sen (2
Observación: Los ejercicios serán concluidos con una única C al final, sin considerar las operaciones algebraicas de constantes previas
b)
dx x ·2 4 e -
x 1
2 x3 31x2
2
21-
Resolución:
C x4
3 2
2 ln
4 x e - x tgarc 2 x6 dx x ·2 4 e -
x 1
2 x3 34x22131x2
2
21-
c) dx 2 x22
Resolución:
Cx4x3
4x
5
1
dx 4dx x4dx xdx 4x4 xdx 2 x
35
242422
P O L I T E C N I C O 9
d) dx x 1 x22
Resolución
Cx11
2 x
7
4 x
3
2
dx x x2 xdx x2x 1 xdx x 1 x
211
27
23
29
25
21
422122
e)
dx x
25x-x
3
24
Resolución:
Cx
1xln 5-x
2
1dx 2x5x-xdx
x
25x-x
2
23-1-
3
24
Problemas
3) Analiza la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Justifica tu respuesta
a) dxxxdxdxxx 44
b)
xdx
dxxdx
x
x33
c) Si 4x)x(g , las primitivas de g(x) son C5
x)x(G
5
d) Si 32 )1x()x(f , las primitivas de f(x) son C)1x(4
1)x(F 42
e) Si xcos)x(h , las primitivas de h(x) son Csenx)x(H
f) Si 3xcosx)x(f 4 , las primitivas de f(x) son Csenx5
xF(x)
5
g) Si xcosx)x(g 4 , las primitivas de g(x) son Csenx5
x)x(G
5
h) Cttcosdt)t3sent( 32
i) Cx4
3xlndxx
x
5 3/43
j) C5x43
1dx5x4
3222
k) C)x(sendx)xcos( 33
l)
C2
)x(fdx)x('f)x(f
2
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 10
4) Calcula las siguientes integrales
a) dx)4x( 2 g) dx)excos4( x
b) dx)8x8( 8x h) dx)x
1x3x5( 3
c) dx)1x2( 22 i) dx)2x( 32
d) dx)x2x(x 32 j) dx)x/1x( 2
e) dyy)1
y
1y(
5 k)
dx
x
x3x2
f)
dxx
xx2 32
5) Determina
a) )x(g si x2x8)x('g 3 y 0)1(g
b) )x(f si 2e)x('f x y 5)0(f
c) )x(h si 8x12x24)x(''h 2 , 8)0(h y 2)1(h
6) Grafica todas las funciones f(x) tales que 2x3)x('f y 8)2(f
7) Una partícula se mueve en línea recta con velocidad t3)t(v y su posición inicial es
m 5)1(s . Determina su posición en función del tiempo )t(s .
8) Una partícula se mueve en línea recta y tiene aceleración .4t6)t(a Su velocidad inicial
es cm/s. 6)0(v
a) Sabiendo que su posición inicial es s(0) = 9 cm, determina su posición s(t) b) Encuentra la velocidad en función del tiempo, v(t) y calcula la velocidad media entre t = 2
s y t = 4 s
9) Determina, en cada caso, f(x) sabiendo que
a) es continua en su dominio; 1)0(f y la siguiente gráfica es la de (x)'f
P O L I T E C N I C O 11
b) es continua en [0; 3]; 1)0(f y la siguiente gráfica es la de (x)'f
10) Una partícula se mueve con función aceleración senttcos)t(a . Su velocidad inicial es
cm/s 5)0(v y su posición inicial es cm. 0)0(s Determina su posición después de t
segundos.
11) Determina la función f(x) cuya gráfica pasa por el punto (1, 6) y la pendiente de su recta
tangente en cada punto ))x(f,x( está dada por la función 1x2)x(g .
12) Resolviendo las integrales, demuestra las siguientes igualdades.
a) 2 2 1sec x 5(1 x ) dx tgx 5arctgx C
b) Ct22
e
2
edt)ee(
t2t22tt
c) C5
z2
7
z3zdz)zz(
2
5
3
7
3
d) Cy7
4dyyy 4/7
e) Cw2w3
2dw
ww
1w 2/12/32
f)
2
2
x 2dx x arctgx C
x 1
g) Carctgyydy1y
y
2
2
h)
C4/x3/x2/xxdx
x1
x1 4324
i) C1z
1zdz
)1z(
z2z
2
2
j)
dx)x1
3
xcos
2(
22=2tgx-3arctgx+C
k) dx)xx)(2x( 3/4 = C2
x
3
x4
7
x6
17
x6 22
3
3
7
6
17
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 12
1.5. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Hasta aquí, hemos resuelto integrales sencillas y/ o inmediatas. Cuando la integral a
calcular no es de alguno de estos tipos, se recurre a los métodos de integración. En este curso, sólo desarrollaremos dos de ellos, sustitución (cambio de variable) y
partes.
Antes de comenzar con los métodos, presentamos un concepto que será de utilidad en el desarrollo de los mismos.
Diferencial de una función
Definición: Sea y = f(x) derivable en el intervalo (a; b). Si x y xx son dos puntos
arbitrarios de b ;a , llamaremos diferencial de la función f(x) y lo notaremos df(x), al producto
de la derivada de f(x) por un incremento de la variable x , es decir :
x · (x)' f df(x)dy (1)
Ejemplos:
Si:
a. x sen)x(f , entonces x x cosx send)x(df
b. 3x)x(g , entonces x x3xd)x(dg 23
c. x)x(h , entonces xdx)x(dh (2)
Si reemplazamos (2) en (1), resulta :
dx · (x)' f x · (x)' f df(x) dy (3)
Es decir, el diferencial de una función f(x) es igual al producto de la derivada por el diferencial de la variable independiente. De (3) surge:
dx
dy)x('f)x(Df (recordar que D significa derivada)
de modo que la derivada de una función puede ser considerada como la relación entre el diferencial de la misma función y el diferencial de la variable independiente.
P O L I T E C N I C O 13
Interpretación geométrica del diferencial de una función
Recordemos además que la recta tangente en el punto 00 xf ;xP tiene por ecuación:
000 xx).x('f)x(fy
Como Q pertenece a la recta anterior tendremos:
000Q xx . )x('f)x(fy
de donde
x
)x(fy
xx
)x(fy)x('f
0Q
0
0Q0
teniendo en cuenta la definición de diferencial (1) obtenemos:
)x(fyx . x
)x(fyx . )x('fxdf 0Q
0Q00
Luego , si 0x
)d)x(fxxf 00 0f(x (4)
Aplicación Una aplicación en la cual se utiliza la fórmula (4) es para la aproximación de valores de funciones.
Por ejemplo, si deseamos conocer un valor aproximado de 05,1 ln sin el uso de la
calculadora, procedemos de la siguiente manera:
Consideremos la función x ln)x(f . Si tomamos 1x0 y 05,0x (valor pequeño), la
expresión (4) resulta:
05,00,05 1
1 1 ln05,1 ln1df)1f()05,01f(
O
¿df(x)?
0x x
y
P
Q
f(x)
f(x)
x
xx0
)x(f;xP 00
)x(f;xxT 00
Q0 y;xxQ
PQ: recta
tangente en P T
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 14
Es decir, podemos aproximar el valor del 05,1 ln , siendo 0,04879 el valor encontrado con
la calculadora.
Problemas
13)
a) Determina gráficamente 0xdf y 00 xfxxf)x(f
b) Completa la relación de orden entre 0xdf y )x(f en cada uno de los siguientes casos:
i)
ii)
14) Utilizando la expresión (4), calcula el valor aproximado de:
a) 03,4
b) º31 sen
c) 05,0e
O 0x
x
y
P
Q
f(x)
x
xx0
P 0xdf ........ )x(f
xx0 0x
P
Q
x
0xdf ........ )x(f
x
y
P O L I T E C N I C O 15
1.5.1. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
Notemos que si y = F(u) con u = g(x) , por la regla de la cadena :
dx
d F [g(x)] = F’ [g(x)] · g’(x)
d(F(g(x)) = F´(g(x)) . g´(x) . dx = F´(g(x)) . dg(x) Integrando miembro a miembro y aplicando la propiedad P2 de la integral indefinida resulta
d(F(g(x))= F´(g(x)) . g´(x) . dx .
(5)
Llamaremos:
En muchas ocasiones se nos presentarán integrales en las que teniendo en cuenta la expresión (5) y efectuando una elección oportuna de la función g(x) , la misma resultará fácilmente calculable. Para lograr dicho objetivo se presenta una posible estrategia de resolución. Estrategia de integración por cambio de variable o sustitución
1) Por inspección del integrando elegimos una g(x) que llamaremos u, es decir g(x) = u
(sustitución). En muchos casos será la parte interior de una potencia, de una raíz, de un logaritmo, etc.
2) Rescribimos la integral original planteada, en términos de u. Recordando que:
u = g(x) du = dg(x) = g’(x) dx
3) Calculamos la integral en u resultante.
4) Expresamos el resultado obtenido en la variable inicial, sustituyendo u por g(x).
C)x(gF)x(dg·)x(g'Fdx)·x('g·)x(g'F
FUNCIÓN INTERIOR
DERIVADA DE LA FUNCIÓN INTERIOR
PRIMITIVA DE f
FUNCIÓN EXTERIOR
C)x(gF)x(dg·)x(g'Fdx)·x('g·)x(g'F
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 16
Observaciones: El procedimiento de selección de u depende de cada caso . Se trata de simplificar
la forma de la función integrando, transformándola en inmediata.
En lugar de u suelen utilizarse algunas de las últimas letras del abecedario.
Problemas resueltos
1) dxx.)x3( 475
Cx340
1Cu
40
1C
8
u
5
1
du.u5
1
5
du.udxx.)x3(
8588
77475
2)
x1
dx I
C 1 x ln 2 - x 2 C 1t ln 2 - t 2
dt 1t
1 - 1 2 dt
1t
1-1t 2
t1
dt 2t I
3)
u u
du I
4121
C 1 u ln 4 u 4 - u 2 C 1 w ln 4 w 4 - w2
dw 1w
1 1 - w 4
1w
dw w 4
w w
dw w4 I
442
2
2
3
Problemas
15) Demuestra las siguientes igualdades
a) x x xe cos(e )dx sen(e ) C b) senx senxe cosxdx e C
c) 4 51sen x cosx dx sen x C
5 d)
2x
2x1x4 dx 4 C
2ln4
e)
xx
2x
edx arctg e C
1 e
f) tg x
tg x
2
edx e C
cos x
Sustitución
ux3 5
dux3d 5
dudxx5 4
5
dudxx4
Sustitución 2tx
2tddx
tdt2dx
Sustitución 4wu
4wddu
dtw4du 3
P O L I T E C N I C O 17
g) 3
2 3 3 224x 4x 5dx 4x 5 C
9 h) cxcoslnxdxtan
i) 21senxcosxdx sen x C
2 j) 2 31
cos x senx dx cos x C3
k)2
3
3
x 1dx ln 5 x C
35 x
l)
5 32 2
2x x 3 dx x 3 2 x 3 C
5
m) 1
2 2
2
udu 2 u C
2 u
n) C3
x3arcsen
x3
dx
2
o)2
dx 5 5arctg x C
5 55 x
p) 2
2
6lnx dx 3ln 3 ln x C
x(3 ln x)
q) 8x 2 8x 21e dx e C
8
r) 3z 3z19 dz 9 C
3ln9
s)2
3
3
x 2dx 1 x C
31 x
t) 101
3 4 100 41x (1 x ) dx 1 x C
404
u)
dx2 arctg x C
1 x x
v)
32
2senx cosxdx cosx C
3
w)x
xe 1dx 2e 2 x C
x
x)
2
1 2dx C
1 xx(1 x)
y) c)x1(3
1)x1(
5
2)x1(
7
1dxx1x 2
3
22
5
22
7
225 z) 2lnx 1dx ln x C
x 2
aa)3
4
2
arctg x 1dx arctg x C
41 x
ab)
23
2
arcsen x 1dx arcsen x C
31 x
ac) cxlog2
10lndx
x
xlog 2 ad) 2x
2x 1/ 3
3edx
(3 e )
= Ce3
4
9 32
x2
ae) 2
2
8xdx 4ln x 1 C
x 1
af)
2
3 2
x dx 1 2ln x 1 C
x 1x 1 2 x 1
ag)2
3(ln y) 1dy ln y C
y 3 ah)
101z z 100 z1
e (10 e ) dz 10 e C101
ai)sen x
dx 2cos x Cx
aj) x
x
x
edx ln e 1 C
e 1
ak) 2
cosxdx arctg senx C
1 sen x
al) 2
2
1 y 1dy ln 2y y C
22y y
am) 2xdx 1ln x 1 C
(x 1)(x 1) 2
an)
5 32 2
2 2x x 1 dx x 1 x 1 C
5 3
ao) senxsen(cosx)dx cos cosx C ap) senx cosx
dx 2 senx cosx Csenx cosx
aq) 3
22
arcsenx 2dx arcsenx C
31 x
ar) 2tg x dx tgx x C
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 18
as)ctgx 2
dx Csenx senx
at)2
2x 6x 5 1dx x 4x 3ln x 2 C
x 2 2
au) cxlnlnxln.x
dx av)
sen2xcosx dx 2x senx C
senxcosx
aw)3
3 2x 6x 5 1dx x x 2x ln x 2 C
x 2 3
ax) c)2x(3)2x(7
12)2x(
10
3dx2xx 3
4
3
7
3
10
32
az) 5 2 3 5 71 2 1sen x cos x dx cos x cos x cos x C
3 5 7
ba) Cxtg2xcosx
dx
2
bb) Cctgxtgxxsen xcos
dx
22
1.5.2. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
Este método se basa en la integración de la fórmula de la derivada del producto de dos
funciones derivables. Sean f(x) y g(x) derivables, entonces:
)x('g.)x(f)x(g.)x('f')x(g.)x(f))x(g.)x(f(D
dg(x) · f(x) df(x) · g(x) dx f(x) · (x)' g g(x) · (x)' f dx ' g(x) · f(x)
De donde:
dg(x) · f(x) df(x) · g(x)g(x) · f(x)
Si despejamos una de las integrales, resulta:
(6)
Esta fórmula se utiliza cuando en el interior de la integral se presenta un producto
especial. Será importante la adecuada selección de f(x) y dg(x), puesto que su aplicación conduce a una nueva integral, la cual deberá ser más sencilla que la inicial. La ecuación (6), se puede expresar, teniendo el cuenta el concepto de diferencial, de la siguiente manera: (7)
En muchas ocasiones, se presentan dos caminos, uno de los cuales puede conducir a una integral más complicada que la original, o a un problema de otra dificultad.
df(x) · g(x) - g(x) · f(x) dg(x) · )x(f
dx · (x)f' · g(x) - g(x) · f(x) dx · (x)g' · )x(f
P O L I T E C N I C O 19
Problemas resueltos
1) dxex I x
Utilizando la fórmula (6)
C e -e x dx e - ex )(edx dxe xI xx
dfg
xx
g
x
fdg
x
f
Utilizando la fórmula (7)
C e -e x dx 1 e - e x dxe xI xx
f 'g
x
g
x
fg'
x
f
Observación:
Si se hubiese elegido: dx x dg , e f(x) x , resultaría:
original la que complicada más integral
' f
x
f
22x
dfg
22x
g
2
f
x
dgf
x dxe2
x -
2
xe dx
2
x -
2
x.e )
2
x(de dxx e
Observación: En los ejemplos que siguen, utilizaremos una de las dos fórmulas, queda a
criterio del alumno la elección de la misma en la resolución de la práctica.
2) dxlnx.x I 4
Cx25
1 -lnx
5
x C
5
x
5
1 -lnx
5
x dx x
5
1- x
5
1 · x ln
dx · x
1 · x
5
1 - x
5
1 · xln )
5
x(dxln dx · x · xln I
5555
45
df
5
g
5
fg
5
fdg
4
f
¿Qué hubiera pasado si elegíamos dx · x ln dg , x f(x) 4 ?
3)
dg
dx
f
xtgarc I
C 2 x 1 ln 2
1 - x tgarc x
df
2 x 1
dx
gx - x tgarc x
dg
dx
f
xtgarc I
4) dx ·e · x I x 2
Cálculos auxiliares
xx e)x(gdxe)x(dg
dx)x(dfx)x(f
Cálculos auxiliares
xx e)x(ge)x('g
1)x('fx)x(f
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 20
1I
xx2
g
x
f
2
dg
x
f
2 dx ·e ·x 2 - e x)e(dx dx ·e · x I (1)
1xxx
1dg
x
1f1 C e 1)-(x dx · e · 1 - e x dx · e·x I (2)
Sustituyendo (2) en (1), resulta:
C e ) 2 2x (x C 1)e-2(x - e x I x 2xx2
5) dx ·e · x sen I x
dg
x
f
dx ·e · xsen I = )e(d.senxg
x
f
= dx xcosex sen e
1I
x x
(1)
I x cosedx · x sen ·e x cose
dx · x)(-sen · e - e · x cos )ed(.cosx dx · e · xcos I
x
I
xx
xx
1g
x
1f1dg
x
1f
1
(2)
Sustituyendo (2) en (1), resulta:
C x)cos - x (sen 2
e I C x)cos - x (sen e 2I I - e · x cos - ·e x sen I
xxxx
Concluyendo: Estos cinco ejemplos muestran el “universo” de lo que puede suceder con la integración por
partes. ejemplos 1; 2 y 3: aplicamos la fórmula una única vez y obtenemos el resultado ejemplo 4: se debe aplicar la fórmula varias veces consecutivamente ejemplo 5: se presenta la integral que debemos calcular dentro del resultado y queda
planteada una ecuación
Problemas
16) Resuelve las siguientes integrales, aplicando integración por partes
a) xdxsenx b) xdxcosx7 c) xdxlnx
d) zdzln e) dx)x(ln 2 f) dxxe x4
g) tdtlnt2 h) xdxsen2 i) xdxcos2
j) dzzln k) dxe)1x( x2
P O L I T E C N I C O 21
17) Demuestra las siguientes igualdades, resolviendo la integral
a) Cxcosxsen4
1xsenx
2
1x
4
1xdxcosxsenx 2
b) Cx1xarcsenxxdxarcsen 2
c)
Cx/1xlndxx
1x
2
d) Cxarctan2
1x
2
1xarctanx
2
1xdxarctanx 2
e) C)x1(5
2)x1(
3
2dxx1x 2/52/3
f) C)x1(5
2)x1(
3
2dxx44x 2/522/3223
g)
C)2/x6arctan(6
6
2x3
dx
2
h)
C
12ln
)xcosxsen2(ln2xdxsen2
2
xx
i)
C)21ln(2ln
1dx
21
2 x
x
x
j) cxlncosxlnsen2
xdx)x(ln sen
k)
Cxxlndx
)1x(x
1x2 2
l) C)x(cos5
2)x(cos
3
2dx
x
xcosxsen 5323
m)
Cx41ln12
1dx
x41
x 3
3
2
n)
C
bx
axlndx
bx
1
ax
1
o) Cxxarctanxarctanxdxxarctan
p)
C)5/z5(arcsen
z5
dz
2
q) C)x3(15
1)x3(
9
1dx)x3()x3(cos3 532 sensensen
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 22
2. INTEGRAL DEFINIDA
2.1. INTRODUCCIÓN – INTRODUCCIÓN AL ÁREA
En el cálculo existen dos ideas muy importantes, que fueron motivadas por dos
problemas geométricos. Una de ellas fue encontrar la recta tangente a una curva, problema que desencadeno en la definición de derivada. En este capítulo nos dedicaremos a encontrarle solución al segundo problema, el cual consiste en encontrar el área de figuras no convencionales.
Definición: Llamaremos PARTICION de un intervalo b ;a , al conjunto de puntos P tal que
b x; ...... ; x; xa P n1 0 que verifique, a = x0 < x1 < x2 < ...... < xn = b,
Observación: Una partición del intervalo [a, b] determina una colección de subintervalos
contenidos en [a, b]. Ejemplo:
Una partición del intervalo 5 ;1 podría ser
5 ;4 ;
2
5 ;2 ;0 ;1P y la colección de
subintervalos determinada por P sería 5 ;4y4 ;2
5,
2
5;2,2 ;0,,0;1
En general, indicaremos k1k x ;x un intervalo genérico de la colección de subintervalos
determinados por la participación P. Definimos amplitud del intervalo k1k x ;x a
. x- x x 1-kkk A la mayor de todas las amplitudes de todos los intervalos determinados por
una partición la llamamos NORMA de la partición y la simbolizaremos .
Es decir: = x max k con k = 1, 2, 3,......,n
2.2. SUMA DE RIEMANN
Consideremos la función f : [a;b] . Efectuemos una partición P del intervalo [a;b] en
n subintervalos y en cada k1k x;x ubiquemos un punto k1kkx;xh .
A la suma x · )hf( n
1kkk
, la llamaremos una suma de Riemann para f
correspondiente a la partición P.
P O L I T E C N I C O 23
En el siguiente gráfico veremos su interpretación geométrica. Observando el gráfico resulta:
n4321
n
1kkk A......AA-A-A x · )hf(
Observaciones:
A1; A2; ...; An representan las áreas de los rectángulos que se muestran en la figura
de función es no , ya que dependerá de la partición hecha y de la
elección de hk Problemas:
18) Calcula la norma de cada una de las siguientes particiones del intervalo 0; 5 :
1P {0; 1; 2; 4; 5} , 2P {0; 2; 4; 4,5; 4,8; 5} , 3P {0; 1,5; 2; 3; 4; 5} .
19) Escribe una partición del intervalo 1;0 que tenga al menos 8 elementos y cuya norma sea
igual a 0,5.
20) Grafica la función f en el intervalo 4;0 , interpreta gráficamente el valor de
x · )hf( n
1kkk
y calcúlalo en cada caso, considerando kh al punto medio del intervalo
k1k x;x .
a) }4;2;1;0{P ;x )xf(
b) }4;3;2;1;0{P ;)4x(x )xf(
21) Resuelve el apartado (b) del ejercicio anterior pero considerando kh al extremo derecho del
intervalo k1-k x;x
An
A4
A3
A1
A2 a = x0 x1 h1 h2 h3
h4 hn x2 x3 xn-1 xn = b ..... x
y
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 24
Gr f a = x0 h1 x1 h2 x2 ...... xk-1 hk
xk ...... xn = b
Definición: Sea f una función definida en b ;a , si
n
1kkk
0x · )f(h lím existe, decimos que f es
integrable en b ;a y llamaremos a dicho límite integral definida (o integral de Riemann) de f de a
a b. En símbolos:
Llamaremos: a : extremo inferior de integración b : extremo superior de integración x : variable ( muda ) de la integral f : función integrando [a;b]: intervalo de integración
Observaciones
1. Se puede probar que si f es continua en [a;b], es integrable en dicho intervalo (Teorema de Cauchy)
2. La integral no dependerá de la letra de la variable, por tal motivo resultan
equivalentes las siguientes expresiones:
b
a
b
a
b
a
b
a
f du )u(f dt )t(f dx )x(f
3. Si f es continua y no negativa en [a;b], podemos encontrar una interpretación
geométrica de la integral definida. Para ello, reiteramos paso a paso la definición:
n
1kkk
b
a0
x · )f(h lím dx · )x(f
P O L I T E C N I C O 25
Podemos visualizar mejor la interpretación gráfica, ampliando un intervalo genérico k. Veremos que el área del rectángulo ABCD es aproximadamente igual a la del sector debajo de la gráfica AEFD
Observemos que cuando tiende a cero, xk se aproxima a xk-1 y la base del rectángulo
es cada vez más pequeña y la aproximación nombrada en el párrafo anterior es mayor. Definición: Llamaremos RECTANGULOIDE R al conjunto de puntos del plano limitados por las verticales x=a , x=b , el eje x y la gráfica de f, es decir:
R = f(x)y0 bxa / )y;x(
Luego:
b
a
R de área dx · )x(f
4. Existen funciones integrables no continuas, como las que son continuas por
tramos, tales como las seccionalmente continuas. Un ejemplo de ello es la función f(x) = [x] en [a;b]
Problema resuelto
Resuelve, aplicando la definición, la integral de f(x) = c (constante real) e interpreta geométricamente su resultado para c > 0:
a)-(bc a)-(b lím c x lím c x ·c lím dx · c0
n
1kk
0
b
a
n
1kk
0
Si c > 0, la interpretación gráfica de la integral nos dice que la integral es el área del rectángulo de base ab y altura c:
a b
c
f(hk)
B
E
F f
C
D A
xk -1 hk xk
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 26
b
a
b
a
b
a
g f g) f(
b b
a a
b b b
a a a
En particular :
Si 0 resulta f f
Si 1 resulta (f g ) f g
b
a
b
c
c
a
f f f
Problemas
22) Evalúa cada integral teniendo en cuenta su interpretación en términos de área
a) 2
1xdx2 b)
1
1dx)1x( c)
1
1dx1x d)
2
0
2dxx4
23) Teniendo en cuenta la interpretación de la integral en términos de área, calcula un número
que sea mayor que la integral:
a) 2
1dx
x
1 b)
5
2
2dxx c) 5
2
2dxx
2.3. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
i) Linealidad
Sean f, g integrables en [a;b] , : Planteamos .β , α
b n n n
k k k k k k k0 0 0k 1 k 1 k 1a
b b b
a a a
( f g) lím f(h ) g(h ) x lím f(h ) x lím g(h ) x
( f g) f g
Es decir, una constante puede extraerse de la integral y la integral de una suma es la suma de las integrales.
ii) Aditividad Si f es integrable en [a; b] y c (a;b) , entonces resulta:
Válida cualquiera sea la posición relativa de a, b, c, supuesta la integrabilidad.
P O L I T E C N I C O 27
iii) Comparación
Si f y g son integrables [a; b] y gf en [a; b], entonces resulta
b
a
b
a
g f
iv) Si f es integrable en [a; b] y a = b, entonces resulta
v) Si f es integrable en [a; b], entonces resulta
Problemas:
24) Sabiendo que 51 f(x) dx 7 y que 5
1 g(x) dx 2 calcula:
a) 5
1dx)x(g2)x(f3
b) 1
1
5
1dx)x(fdx)x(g5)x(f3
25) Escribe como una integral de la forma b
adx)x(f
a) 3
2
2
1dx)x(fdx)x(f b)
5
0
8
5dx)x(fdx)x(f
c)
6
5
0
3
5
3dx)x(fdx)x(fdx)x(f d)
2
3
2
1dx)x(fdx)x(f
26) Sabiendo que 10dx)x(f0
1 ; 7dx)x(f
1
1 y 4dx)x(f
4
1 , calcular:
b) 4
1dx)x(f b)
4
0dx)x(f c)
1
0dx)x(f3
2.4. TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL
H) f continua en [a;b]
T) a)-(b f(c) f / b a; c b
a
Demostración:
Como f es continua en [a;b], por el teorema de Weierstrass, existe máximo (M) y mínimo
(m) absolutos de f en [a;b], es decir:
m f(x) M x a;b
0 fa
a
a b
b a
f - f
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 28
Por propiedad de comparación, resulta
b b b
a a a
m dx f(x) dx M dx
Resolviendo la integral, nos queda
b
a
m(b-a) f(x) dx M(b a)
Dividiendo miembro a miembro por (b-a), obtenemos
b
a
(*)
1m f(x) M
b-a
Como f es continua en [a;b], por el teorema del valor intermedio, la expresión (*) debe ser un valor de f, ya que Im f = [m; M]. Es decir:
Observando el siguiente gráfico podeos encontrar una interpretación gráfica de teorema anterior si f es no negativa en [a;b]:
El área del rectanguloide de f es igual a la del rectángulo sombreado de la misma base Problema
27) Si f es continua en 1; 3 y 31 f(x) dx 8 , demuestre que f toma el valor 4 por lo menos una
vez sobre el intervalo
c a;b / f(c) a)-(b f(c) f(x)dx (x)dx f ab
1 b
a
b
a
y
f(c)
c b x
f
P O L I T E C N I C O 29
3. FUNCION INTEGRAL
Definición: Sea f integrable en a; b y c a; b , llamamos FUNCIÓN INTEGRAL de f a
una función tal que para cada x a; b le hace corresponder el número x
cf(t) dt . Si llamamos
con g a dicha función resulta:
x
cg: a; b / g(x)= f(t) dt
Observación: la función g depende de la variable x, que es el extremo superior de la integral, por lo tanto serán equivalentes las siguientes expresiones
x
cf(t) dt ;
x
cf(u) du ;
x
cf(x) dx ;
x
cf
Si f es continua no negativa, se puede hallar una interpretación geométrica de g, como el área del rectanguloide de f limitado por sendas verticales en c y en x con c < x :
3.1. Teorema fundamental del cálculo integral
H) f continua en a; b
T) g(x) = x
c
f (t) dt es derivable en (a; b) y g'(x) = f(x)
Demostración:
Para demostrar que g es derivable x a; b , recordemos la definición de derivada en
un punto
x 0
g(x x) - g(x)g'(x) lím
x
y f(t)
a c x x x b t
g(x)
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 30
Reemplazando en g(x) = x
c
f (t) dt, obtenemos
(1) permutando extremos de integración (2) propiedad conmutativa
(3) propiedad de aditividad
(4) teorema del valor medio, donde c* está comprendido entre x y x + x
Entonces podemos escribir:
x 0 x 0
c* x
g(x x) - g(x) f(c*) xg'(x) lím lím f(x)
x x
En conclusión g´(x) existe y es igual a f(x)
Problemas 28) Aplica el Teorema Fundamental del Cálculo para derivar las siguientes funciones:
a) 3 20x1g(x) (t - 5) dt b) 3x
5g(x) cos(z ) dz c) 3 73xg(x) (cos(u ) u ) du
29) Si 5x1F(x) cos(t ) dt , calcula F(1), F’(x) y F”(0)
30) Si x1F(x) g(t) dt y 2t
1g(t) t 5 dt calcula F’’(x)
x x x (1)
c c
x x c c x x(2) (3)
c x x c
x x(3) (4)
x
g g(x x) - g(x) f(t)dt - f(t)dt
f(t)dt f(t)dt f(t)dt f(t)dt
f(t)dt f(c*) · x
P O L I T E C N I C O 31
3.2. Teorema de Barrow
H) f continua en [a;b];
x
a
g(x) f(t)dt primitiva de f
T)
b
a
f(t) dt P(b) - P(a) , siendo P una primitiva cualquiera de f
Demostración:
Teniendo en cuenta por hipótesis que
x
a
g(x) f(t)dt es una primitiva de f, puede expresarse
x
1
a
g(x) f(t)dt P(x) C , con P una primitiva cualquiera de f
a
1 1
a
b b(1)b
1 aa a
Si x a g(a) f(t)dt P(a) C 0 C -P(a) (1)
Si x b g(b) f(t)dt P(b) C f(t)dt P(b) P(a) P(x)
Es decir:
Problema resuelto
1) Resuelve las siguientes integrales definidas
a)
11 2
0 0
x 1 1xdx - 0
2 2 2
b)
22
00
cos x dx sen x sen 2 - sen 0 1
bb
aa
f(x) dx P(b) - P(a) P(x)
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 32
Problemas
31) Evalúa las siguientes integrales definidas:
a) 3 231 t ( t - 1 ) dt b) 0
-2 x y dy
c) ba
1 dx
ab d) 5
4 2
x dx
x 1
e) 0 4
2x dx
x
f) e1
lnx dx
x
g) 1-1
2
x dx
x 6
h) 2 x10 x e dx
32) Determina una función f y un valor de la constante a de tal manera que
x
a2 f(t)dt 2senx -1
33) Si f’ es continua en [a ; b] demuestra que 2 2'b
a2 f(x) f (x) dx f(b) - f(a)
34) Determina la expresión de P(x) si : ' '' 2P(x) 2 f(0) 3 f (0) x 4 f (0) x y x
0 2
dtf(x)
1 2t
35) Comprueba usando la Propiedad de Comparación que 2112 1 x dx 2 2
36) Suponiendo que 10 f(x) dx 6 ; 2
0 f(x) dx 4 y 52 f(x) dx 3 , halla
a) 0
5dx)x(f b) 5
1 f(x) dx c) 21 f(x) dx
37) Grafica la región R limitada por y = x + 6 ; y = x3 y 2y + x = 0 .Calcula el área de R.
38) Si una función f es tal que 3f(x) x para todo x > 0, calcula un número C tal que
21 f(x) dx C
P O L I T E C N I C O 33
a
b
A f(x) dx
4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
4.1. AREAS PLANAS
4.1.1. Areas de rectanguloides
En el siguiente capítulo estudiaremos los diferentes casos para calcular áreas de rectanguloides
Primer caso: Si f continua no negativa en [a;b] . En tal caso (visto en capítulos anteriores) resulta: Segundo caso:
Si f es continua y no positiva en [a;b]. Definimos allí g(x) = - f(x), sabiendo que las gráficas de g y de f serán simétricas respecto del eje x y determinarán rectanguloides de igual área A.
Sabemos:
b b a
a a b
A g(x) dx - f(x) dx f(x) dx
Es decir:
b
aA f(x)dx
A
f
a b x
y
A
g
f
x
y
a b
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 34
A = A' + A'' +A''' = b
a
b
c
d
cfff
1 6
x
y
Tercer caso: Este aso es el más general, es cuando f es continua en [a;b], anulándose un número finito de veces. Para calcular el área A de todos los rectanguloides, utilizaremos los casos anteriores en forma conjunta:
Problemas resueltos
1) Сalcula el área rayada en cada caso a)
b) En este caso conviene pensar a x en función de y
x A'
A''
A'''
A'
a b c
d
y
f
A
2
2f(x)=x 7x+6
2
32 2 2
66
x 7 56A x 7x+6 dx= x +6x
3 2 3
x
f(x)= x
A
y
4
44 32
0 0
y 64A y dy
3 3
P O L I T E C N I C O 35
c)
4.1.2. Área de dominios normales
Definición: Dadas f, g, continuas en [a;b] tal que f(x) g(x), se llama DOMINIO NORMAL DEL PLANO relativo a f, g, de base [a;b], al conjunto de puntos del plano limitado por las
rectas x = a; x = b y las gráficas de f y g. En símbolos:
D = g(x)yf(x) bxa / y)(x;
En donde se denomina a: f: función minorante
g: función mayorante
Ahora nos interesa calcular el área A de D. Para ello tendremos en cuenta los siguientes
casos.
Primer caso: Para 0 f g , es decir ambas funciones no negativas
0 2 -1 3
A = f-gb
a
A
f
g
a b x
y
A´
A´´
A´´´
4x3
xx
3
xx
3
x
dxx2xdxx2xdxx2x
´´´A ´´A ́A
3
2
23
0
2
23
0
1
23
3
2
20
2
20
1-
2
x2x)x(f 2
y
c
d
e
A = área adeb - área aceb =
b
a
b
a
b
a
f)-g( f - g
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 36
Segundo caso: Las funciones pueden encontrarse en cualquier lugar del plano. Por el teorema
de Weierstrass, al ser f continua en [a;b], debe tener mínimo absoluto m:
Definiendo dos nuevas funciones en [a;b]: f* = f + m ; g* = g + m . Las mismas resultan
tener sus gráficas idénticas a las originales trasladadas verticalmente hacia arriba m unidades.
En consecuencia estarán sobre el eje x o tocándolo como mínimo:
Ahora podemos aplicar las conclusiones del primer caso:
m
b x
f
g
a
y
A
f *
g*
a
y
A
b x
P O L I T E C N I C O 37
a a a
g * - f * g + m - (f m ) g - f
b b b
A
Es decir, independientemente de la ubicación de las gráficas en el plano, resulta:
Problemas resueltos
1) Calcula el área rayada en cada caso
a) A = 3
4
3
x -xdx xx2 dx xxx
0
2 3
22
º
22
º
2
b) Aquí conviene considerar a x como función de y:
3
40
6
yy4
2
ydy
2
y4yA
4
0
324
º
2
b
a
fg A
A
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 38
Problemas
39) Encuentra utilizando integración el área del triángulo en cada caso:
a) Sus vértices son los puntos (-1;4) ; (2;-2) y (5;1) b) Limitado por la recta y = x + 2; el eje de las x y la vertical x = 3
40) Calcula el área de la región limitada por la parábola y = x2; la tangente a ella en (1;1) y el eje
x. 41) Traza la región limitada por las curvas dadas y calcula su área:
a) y = cos x; y = sen 2x; x = 0; x = /2 b) y = I x I – 1 ;y = x2 – 3 0x
c) y = ex ; y = e-x ; x = -2 ,x = 1 d) y2 - 2x = 0 ; y2 + 4x –12 = 0
42) Calcula el área limitada por las parábolas y2 = 8(x + 2 ); y2 = 32(8 - x ) 43) Determina el área encerrada por la parábola y = 1 + 2x – x² y por la cuerda que une los
puntos (-1; -2); (2; 1). 44) Determina el área limitada por las siguientes curvas
a) b)
y = x³ - x y = x
x = y² x – y = 2
A
P O L I T E C N I C O 39
c) d)
45) Calcula los valores de “c” tales que el área de la región acotada por las parábolas y = x2 – c2
; y = c2 – x2 sea 576. 46) Plantea la o las integrales que permiten calcular en cada caso el área de la región
sombreada y obtiene su valor con el uso del software “Geogebra” (www.geogebra.org)
d) c)
b) a)
f) e)
y = ln x y = -x +1 y = 1
y² = 2x + 6 y = x - 1
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 40
Respuesta a algunos de los problemas
1)a)H(x)=
34 22
x x 2- x
4 2 3 b)G(x)= xxxx 4.
4
3 35 c)H(x)= 7 41 5x - x 25x
7 2
d)T(x)=4 32x - 9x - 36
6x e)F(t)=
25
322 15
t - t5 2
f)G(x)=x-arctgx
2)a) Falso , pues P´(x) f(x) b)Verdadero , pues F´(x)= G´(x) c) Verdadero, pues F´(x)= G´(x) 3) a)Falso b) Falso c) Verdadero d)Falso e) Falso f)Falso g) Falso h) Verdadero i) Falso j) Falso k) Falso l) Verdadero Todos los apartados se justifican por derivación de las primitivas respectivas.
4) a) cxx
43
3
b) cxxx
892ln.3
2 93
c) cxxx
)152012(15
24
d) cxx
6
)3( 24
e) cyyy 2
3
12
5
3
2
5
2 f) cxx 2
7
2
5
7
2
5
4
g) 4senx+ex+c h) cxxx
ln2
3
4
5 24
i) cxxxx
35
)280140425( 246
j) cx
xx
3
36 24
k) cxx
32
2
5) a) G(x)=2x4+x2-3 b)F(x)=ex-2x+4 c) h(x)=2x4+2x3-4x2-6x+8 6) f1(x)=x3 f2(x)=x3-16 (no se presenta la gráfica)
7) s(t)=2 32
3
t
8) a) s(t)=( t3 + 2t2 – 6t + 9 ) cm b) v(t)= (3t2+4t-6 )s
cm vel.media=34
s
cm
9) a)
01
01)(
2
2
xx
xxxf b)
3;24
2;1
1;012
x
x
x
10) s(t)=-cost-sent+6t+1 11) f(x)=x2+x+4
P O L I T E C N I C O 41
16)
a)-x.cosx+senx+c b)7x.senx+7cosx+c c) c4
x
2
lnx.x 22
d) zlnz-z+c e)xln2x-2xlnx+2x+c
f) cxe x
)4
1(
4
4
g) c9
t
3
lntt 33
h) c2
senxcosxx
i) c
2
senxcosxx
j) cz2
1zzln k)ex(x2-2x+3)+c
18) norma P1=2 norma P2=2 norma P3=1.5
20)a)2
6231 b)11
21)10 22)a)3 b)2 c)3 d)
24)a)25 b) 1037
25)a) 3
1f b)
8
0f c)
6
0f d)
-3
1f
26)a)3 b)-7 c) 33
28)a)g´(x)=(x3-5)20 b)g´(x)=cosx3 c)g´(x)= - cosx3-x7 29)F(1)=0 F´(x)=cosx5 F´´(0)=0
30)F´´(x)= 52 x
31)a) 33645
3098 b)-2x c)
ab
ab d)
5
8ln e)
π
arctgπ 2
3
f)2
1 g)0 h) 2
5
e
32)f(t)=cost 6
πa
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 42
34)P(x)=3x 36)a)-7 b)1 c)-2 37)22
38)4
15 entre otros
39) a) 13,5 b)2
25
40) 12
1
41) a)2
1 b)10/3 c) 4
e
1eee2
34
d)8
42) 3
320
43) 2
9
44) a) 2
9 b)2 c)18 d)e-
2
3
45) 6
47) a) 3
8 b)
6
23 c)
2
7 d)8/3 e)2 f) 14
4
3 3
P O L I T E C N I C O 43
Práctica complementaria 1) Resuelve las siguientes integrales
a) dx e x x Rta: Cexe xx
b) dx senx x Rta: Csenxxcosx
c) dx xln x Rta: C4
xxln
2
x 22
d)
dx
6xx
1x22
Rta: C6xxln 2
e)
dx
6x2x
1x2
Rta: C6x2xln 2
1 2
f)
dx
x1
x212
Rta: C)x1ln(arctgx 2
g)
dx
1x
1x2
Rta: C1xln2x2
x2
h) dxex x2 Rta: Ce2xe2ex xxx2
i) dx x3cosx2 Rta: Cx3sen27
2x3cosx
9
2x3senx
3
1 2
j)
dx)1x(
12
Rta: C1x
1
k)
dx
5x6x3
1x2
Rta: C5x6x3ln6
1 2
l) dx xsen5 Rta: C5
xcox
3
xcos2xcos
53
m)
dxxcos1
xcos Rta: Cxx ctg
senx
1
n) dx 49x
3x2
Rta: C
7
xarctg
7
3)49xln( 2
o) dxx
xln3
Rta: C4
xln4
p) dxe)1x( x Rta: Cee)1x( xx
q) dx xcos2 Rta: C2
xxcossenx
r) dx )x1ln( x Rta: C1xlnx2
x
2
1x1ln
2
x 22
s)
dxxcos
tgxsenx Rta: C
xcos
1xcosln
t)
dx3x2x
82
Rta: C2
1xarctg24
u) senx1
dx Rta: C
xcos
1tgx
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 44
v)
Idx
xa
a
22 Rta: C
a
xarcsen.a
w)
dx
xx67
1
2 Rta: C
4
3xarcsen
x)
20x8x
dx2
Rta: C2
4xarctg
2
1
y)
dx
1e
e3ex
xx2
Rta: C)1eln(4e xx
z)
dxxcossenx
xsen1 2
Rta: Csenxlnxcosln2
aa)
dx1e
1x
Rta: C)1eln(x x
2) La función f(x)=2x+5 tiene infinitas primitivas que difieren en una constante. ¿Cuál de estas
funciones toma el valor 18 para x=2?
Rta: 4x5x)x(F 2
3) Halla una función cuya derivada sea 1574)( 23 xxxxf y que se anule para x=1.
Rta:6
1x
2
x5
3
x7x)x(F
234
4) Halla la función G tal que G"(x)=6x+1; G(0)=1 y G(1)=0
Rta: 1x2
5x
2
1x)x(G 23
5) Dada la función f(x) = 6x halla la primitiva que pasa por el punto A(1; 2).
Rta: 1x3)x(F 2
6) Resuelve las siguientes integrales definidas
a) dx3e
1eeln5
0 x
xx
Rta: 4 -
b) 1
0
2dxx1 Rta: 4
Sugerencia: Considera x = sen t
7) Resuelve.
x3
0sen tdt Rta:
31 2cosx cos x
3 3 º
P O L I T E C N I C O 45
0 1 2 3 4 x
y
1
0 1 2 3 4 x
y
8) Sabiendo que f(x) es derivable y su gráfica en el intervalo (-1, 5) es:
a) Dibuja f’(x) en forma aproximada en este intervalo b) Calcula 2
1(x)dx'f y
3
1(x)dx'f
Rtas: a.
b. 1(x)dxf'2
1 y 0(x)dxf'
3
1
9) Calcula 4
3-f(x)dx, siendo /4 ;3:f
4x2si1
2x1si1
1x3si2
)x(f
Rta: 5
10) Calcula 3
2-h(x)dx , siendo h(x) = x
Rta: 0 Bibliografía Cálculo de Roland Larson,Robert Hostetler y Bruce Edwards.Editorial Mc.Graw Hill.Quinta
edición . Cálculo de Edwin J. Purcell , Dale Varberg y Steven E Rigdon .Editorial Prentice Hall.Octava
edición . Apunte Código 1301-07 de Prof.Rogelio Balestra, Prof. Erica Hinrichsen , Prof.María del
Luján Martinez y Prof. Graciela Rivas.
1
Cálculo Diferencial e Integral
Matemática
P O L I T E C N I C O 46
top related