capitulo 5. espacios euclideos. Álgebra lineal para estadísticos y actuarios. william noguera
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8/6/2019 Capitulo 5. Espacios Euclideos. lgebra Lineal para Estadsticos y Actuarios. William Noguera
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CAPTULO 5: ESPACIOS EUCLDEOS
176
= +b
a
b
adx)x(h)x(gdx)x(h)x(f = +
Por lo tanto, V = C[a, b] es un espacio eucldeo.
Observacin:
Sean AMmxn() y A1, A2, , An las columnas de A. En ese caso, Ajn,
j = 1, 2, , n. Luego, = =
m
1i
ijihAA = (Ah)tAj = (Aj)tAh.
Definicin 5.2.
Sean V un espacio eucldeo y V. Se define como Longitud o Norma de yse denota por |||| a:
|||| = >< ,
Ejemplo 5.3.
En relacin al ejemplo 5.1.:
Sea
=
n
2
1
X
X
X
Mn. Entonces, |||| = >< , =
=
n
1i
2iX .
Ejemplo 5.4.
En relacin al ejemplo 5.2.:
Sea = f(x)V. Entonces |||| = >< , = b
a
2 dx)x(f .
Observacin:
Sean AMmxn() y A1
, A2
, , An
las columnas de A. En ese caso, Aj
n
,
j = 1, 2, , n. Luego, ||Aj|| = >< jj A,A = =
m
1i
2ij)A( =
jtj A)A( .
Teorema 5.1.
Sea V un espacio eucldeo. Si , V y cK entonces:
1. |||| 0.2. |||| = 0 si y slo si = .3. ||c|| = |c|.||||4. || ||||.||||. (Desigualdad de Cauchy-Schwartz)5. ||+|| |||| + ||||. (Desigualdad Triangular)
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS
177
Demostracin
1. Por hiptesis |||| = >< , . Por la propiedad 1 de productointerno se cumple que 0. Luego, |||| 0.
2. CN(): Si |||| = 0 entonces = .Si |||| = 0 entonces >< , = 0. Esto implica que >< , = 0.
Por la propiedad 1 de producto interno se cumple que = .
CS(): Si = entonces |||| = 0.
Si = entonces por la propiedad 1 de producto interno se cumple
que >< , = 0. Luego, >< , = 0 y por consiguiente
|||| = 0.
3. ||c|| = >< c,c . ||c|| = >< c,c (Por la propiedad 3 de producto interno)
||c|| = >< ,cc (Por la propiedad 2 de producto interno)
||c|| = >< ,c.c (Por la propiedad 3 de producto interno)
||c|| = >< ,c2
||c|| = >< ,c2
||c|| = |c|.||||.
4. Si = entonces el resultado es inmediato, ya que|| = || = |0.| = |0| = 0 = 0. |||| = ||||.||||.
Supongamos que . Sea
>
= <
> (Por la propiedad 4 deproducto interno)
= 2||||
,
>
= <
>
= <
>
= 2||||
,
>
= <
>
= 2
||||
,
>< 0
2
22
||||
),(||||,
><
0 222 ),(|||||||| >< 22 ||||||||
|,| >< ||||.||||
5. ||+|| = ), ++< = ),), +++< ,,
= >< ,,,,
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS
179
= >< ,,,,
= >< ,,2,
Luego,
||+||2 = ( >< ,,2, )2
= >< ,,2,
= ||||2 + 2 + ||||2
Por el apartado anterior || ||||.||||. Luego,
||||.|||| ||||.||||
2 2||||.||||
||||2 + ||||2 +2 ||||2 + ||||2 + 2||||.|||| ||+||2 (|||| + ||||)2 ||+|| ||||+||||
Definicin 5.3.
Sean V un espacio eucldeo y , V. Se define como Distancia Eucldeaentre y y se denota por d(, ) a:
d(, ) = || ||
Observaciones:
1. d(, ) = d( , ).2. La distancia entre 2 vectores en un espacio eucldeo no es nica en el
sentido de que puede ser calculada a travs de diferentes productos
internos que estn definidos sobre dicho espacio eucldeo.
Teorema 5.2.
Sea V un espacio eucldeo. Si , V entonces:
>
-
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CAPTULO 5: ESPACIOS EUCLDEOS
180
d2(, ) = d2(, ) =
d2(, ) = + ( + ) d2(, ) = ( ) d2(, ) = +
d2(, ) = + d2(, ) = ||||2 + ||||2 2
Ejemplo 5.5.
En relacin al ejemplo 5.1.:
Sean , n definidos por
=
n
2
1
A
A
A
My
=
n
2
1
B
B
B
M. Luego,
=
nn
22
11
BA
BA
BA
M. Por consiguiente:
d(, ) = || || = =
n
1i
2ii )BA(
Como en V = n se cumple que = t entonces otra forma de expresarla distancia entre y es:
d2(, ) = ||||2 + ||||2 2t
Definicin 5.4.
Sean V un espacio eucldeo y V. Se dice que es normalizado o unitario si|||| = 1.
Definicin 5.5.
Sea V un espacio eucldeo. Se dice que un vector V es ortogonal a unvectorV y se escribe si = 0. Un subconjunto S de V se diceque es un conjunto ortogonal si , S con se cumple que . Unsubconjunto S de V se dice que es un conjunto ortonormal si S es ortogonal y
cada vector de S es unitario.
Una base B de V se dice que es una base ortogonal (respectivamente
ortonormal) de V si B es un conjunto ortogonal (respectivamente ortonormal).
Ejemplo 5.6.
Sea V = n.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS
181
La base cannica B = {e1, e2, , en} es un conjunto ortonormal ya que:
||ei|| = 110...1...00 2222 ==+++++ , i = 1, 2, , n.
= 0.0 + 0.0 + + 1.0 + + 0.1 + + 0.0 = 0. i = 1, 2, , n,
j = 1, 2, , n.
Por consiguiente B es una base ortonormal de n.
Teorema 5.3.
Sea V un espacio eucldeo.
1. V se cumple que = 0.2. , , V se cumple que = + .3. Si , iV, ci, i = 1, 2, , n, entonces :
== > = 0.2. Sean , , V. Luego,
+ = + = =
= ==
>
= (Por la propiedad 2 de producto interno)
= =
> 0. Por consiguiente,cj = 0, j = 1, 2, , p, es decir, S es L.I.
Teorema 5.4.
Sea AMnxn(). A es ortogonal si y slo si sus columnas forman una baseortonormal de n.
Demostracin
CN(): Si A es ortogonal entonces sus columnas forman una base ortonormalde n.
Por hiptesis, A es ortogonal, es decir, A tA = AAt = In. En otras palabras A es
no singular y A-1 = At.
Luego,
(AAt)ij =
=
==
=
=n
1r
rjirt
n
1r
rjirt
jisi0A)A(
jisi1A)A(
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS
183
=
=
==
=
=n
1r
rjri
n
1r
rjri
jisi0AA
jisi1AA
=
=
==
=
=n
1r
rjri
n
1r
riri
jisi0AA
jisi1AA
=
=
==
=
=n
1r
rjri
n
1r
2ri
jisi0AA
jisi1)A(
=
>====
= < =
+
>
= =
+ >< +ii2
i
i1p,
||||
,+
+=
+ >< +ii2
i
i1p,
||||
,+
+=
+
>< +
= = 0.
Luego, el conjunto S1 = {1, 2, , n} es ortogonal y i , 1 i
n. Si definimos los vectores 1, 2, , nV tales que|||| i
ii
=
entonces el conjunto {1, 2, , n} es ortogonal y por el teorema5.4., el conjunto {1, 2, , n} es ortonormal.
2. Por el apartado anterior se cumple que:1 = 1
2 = 2 21
12
||||
,
>< 1 2
2
23
||||
,
>< 2
3 = 3 21
13
||||
,
>=>===< )t(
||)t(||
)t(),t(22
2
23
>=>==
>==
=++
-
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CAPTULO 5: ESPACIOS EUCLDEOS
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= dt)36
1t12t48t72t36(
1
0
234
++
=
1
0
2345
)36
t
72
t12
108
t48
144
t72
180
t36( ++
180
1
180
530809036
36
1
6
1
9
4
2
1
5
1
36
1
72
12
108
48
144
72
180
36=
++=++=++=
Luego,
11
1
||)t(||
)t()t(
1
11 ==
=
)1t2(32
)1t2(32
2
)1t2(12
12
12
1t2
||)t(||
)t()t(
2
22 =
=
=
=
=
)1t6t6(5)1t6t6(6
180
180
1
6
1t6t6
||)t(||
)t()t( 22
2
3
33 +=+=
+
=
=
Por consiguiente, el conjunto {1(t), 2(t), 3(t)} es una base ortonormal de P2.
5.4. PROYECCIN ORTOGONAL.
Definicin 5.6.
Sean V un espacio eucldeo, W un subespacio de V finito dimensional,
S = {1, 2, , p} una base ortonormal de W y V. Se define como
proyeccin ortogonal de sobre W y se denota por WoyPr al vector:
WoyPr =
=
> = =
>
-
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CAPTULO 5: ESPACIOS EUCLDEOS
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Ejemplo 5.13.
En relacin al ejemplo 5.7., determinemos el complemento ortogonal del
subconjunto S de V = 3:
S =
=
=
=
0
3
3
,
1
1
0
,
0
1
1
321
S si y slo si 1, 2 y 3, es decir, = = = 0.
Supongamos que
=
3
2
1
X
X
X
. Luego,
= 0 1.X1 + 1.X2 = X1 + X2 = 0. = 0 1.X2 + 1.X3 = X2 + X3 = 0. = 0 3.X1 + 3.X2 = 3X1 + 3X2 = 0.
Esto concluye en el siguiente SEL homogneo:
=+
=+
=+
0X3X3
0XX
0XX
21
32
21
Lo resolvemos:
0
0
0
000
110
011
0
0
0
033
110
011
133 r3rr
Luego,
X2 + X3 = 0 X2 = -X3X1 + X2 = 0 X1 = -X2 = -(-X3) = X3
Por consiguiente,
=
=
=
1
1
1
X
X
X
X
X
X
X
3
3
3
3
3
2
1
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS
197
En consecuencia, S = }a;
1
1
1
aX:X{3
=
Ntese que S {3x1} ya que los vectores 1, 2, 3 son L.D., Dim(S) = 2 yDim(S) = 1.
Teorema 5.10. (Teorema de Pitgoras)
Sean V un espacio eucldeo y , V.
1. si y slo si || ||2 = ||||2 + ||||2.2. si y slo si || + ||2 = ||||2 + ||||2.
Demostracin
1. CN(): Si entonces || ||2 = ||||2 + ||||2.Por hiptesis, , es decir, = 0.
Por el teorema 5.2., se cumple que
>
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CAPTULO 5: ESPACIOS EUCLDEOS
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Definicin 5.7.
Sean V un espacio eucldeo, W un subespacio de V finito dimensional y V.Se define como distancia de a W y se denota por d(, W) a la mnimadistancia de a W, es decir:
{ }W);,(d|min)W,(d =
Observacin:
Por el teorema anterior se cumple que d(, W) = d(, WoyPr ).
Teorema 5.12.
Sean V un espacio eucldeo, W un subespacio de V finito dimensional,
S = {1, 2, , p} una base ortonormal de W y V. Entonces se cumpleque:
d2(, W) = =
>< WW
W royP,2oyPr,oyPr,
Ahora bien,
1. >< WW oyPr,oyPr = >>>< WW oyPr,oyPr =
= =
>>><
En consecuencia,
>< WW oyPr,oyPr =
=
>< WoyPr, = >>< WoyPr, = ><
Luego,
d2(, W) = >< , + =
><
d2(, W) = >< , 2p
1i
i ),(=
><
-
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CAPTULO 5: ESPACIOS EUCLDEOS
202
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1. Determine cules de las siguientes expresiones son productos internosen 3, siendo X, Y3. Justifique su respuesta.
1.1.
= X1Y1 + X3Y3.1.2. = (X1Y1)2 + (X2Y2)2 + (X3Y3)2.1.3. = 2X1Y1 + X2Y2 + 4X3Y3.1.4. = X1Y1 X2Y2 + X3Y3.1.5. = X1Y1 X2Y1 X1Y2 + 2X2Y2.1.6. = X1Y1 + X2Y1 + X1Y2 X2Y2.1.7. = X1Y1 X2Y1 + X1Y2 + 2X2Y2.
2. Sea = tA, , 2. Determine si la funcin asdefinida es un producto interno para cada una de las siguientes
matrices:
2.1.
=15
51A
2.2.
=
32
22A
2.3.
=
21
30A
3. Sean =
1
c
c
y =
6
5
c
3.1. Determine el valor de c para que y sean ortogonales.3.2. Utilizando los vectores as obtenidos, determine una base
ortonormal de 3.
4. Sea V un espacio eucldeo. Demuestre que si , V entonces:|| || |||| ||||
5. Sea XMnxp() una matriz de datos. Demuestre que:)r1(2
n
))X(,)X((djh
hE
jE
2
=
Siendo rjh el coeficiente de correlacin lineal de Pearson entre las
variables j-sima y h-sima. Interprete el resultado obtenido.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS
203
6. Utilizando el proceso de ortonormalizacin de Gram-Schmidt,determine una base ortonormal de 4 a partir de la base formada por los
vectores
=
0
1
2
0
1 ,
=
0
0
1
1
2 ,
=
1
0
2
1
3 y
=
1
0
0
1
4 .
7. Sea 3. Exprese de la forma = + , donde pertenece alsubespacio generado por1 y 2 y es ortogonal a este subespacio enlos siguientes casos:
7.1.
=
53
05
4
1 y
=
0
1
0
2 .
7.2.
=
1
1
1
1 y
=
1
0
2
2 .
8. Sea Dn el conjunto de matrices diagonales DMnxn() con lasoperaciones matriciales usuales y =
=
n
1i
iiiiBA .
8.1. Demuestre que la funcin as definida es un productointerno en Dn.
8.2. Determine una base ortonormal para D4.9. Sea
=
5
50
5
52
0c205
520a3
A
Determine los valores de a y c para que A sea ortogonal.
10. Sea AMnxn() tal que A es ortogonal y , n. Demuestre que:10.1. = .10.2. |||| = ||A||.
11. Sea V = 3 con el producto interno usual.
11.1. Determine un vector normalizado ortogonal a
1
2
0
y
2
1
3
.
-
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