capítulo 4 resultados y discusión -...
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Capítulo 4
Resultados y Discusión
4.1Caracterización Del Ojo Normal Mexicano
Con un grupo de 71 ojos se realizó un análisis del promedio de las aberraciones de los
ojos de estos pacientes. Estas personas sujetos a investigación son hombres, entre veinte
y cuarenta años de edad; un promedio de 32.6 años y todos ellos con una visión 20/20;
es decir, a una distancia de 20 pies se ve con una resolución de 20 minutos de arco. La
figura 4.1 muestra los datos e imágenes obtenidas por el aberrómetro OPD-Scan, los
cuales fueron analizados por el programa matemático Matlab 16 (The Mathworks, Inc.)
y con la ayuda de Microsoft Excel.
Las aberraciones se puedes describir con ayuda de los polinomios de Zernike,
para cada polinomio corresponde una aberración diferente teniendo entonces:
1 Inclinación x
2 Inclinación y
3 Astigmatismo x
4 Desenfocamiento
5 Astigmatismo y
6 Trifolio x
7 Coma y
8 Esférica primaria
- 36 -
Publicaciones
9 Trifolio x
10 Trifolio y
11 Astigmatismo secundario x
12 Astigmatismo secundario y
13 Coma secundaria x
14 Coma secundaria y
15 Esférica secundaria
16 Tetrafolio x
17 Tetrafolio y
18 Trifolio secundario x
19 Trifolio secundario y
20 Astigmatismo terciario x
21 Astigmatismo terciario y
22 Coma terciaria x
23 Coma terciaria y
24 Esférica terciaria
25 Pentafolio x
26 Pentafolio y
27 Tetrafolio secundario x 16
Sabiendo que cada polinomio de Zernike corresponde a una aberración diferente
se muestra en la figura 4.1 un ejemplo de la manera en la que el OPD- Scan presenta
estos coeficientes de Zernike para el ojo humano:
- 37 -
Publicaciones
Figura 4.1 Ejemplo de la obtención de los coeficientes de Zernike
por medio del aberrómetro.
Después de obtener los coeficientes para todos los ojos que forman la muestra,
se obtuvieron los promedios así como las desviaciones estándar para cada uno de los
coeficientes. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla 4.1.
Tabla 4.1. Coeficientes de Zernike para el promedio del ONM
Promedio Desv. Estándar
0. Pistón 0.866 1.273
1. Inclinación -0.141 0.336
2. Inclinación -0.372 0.422
3. Astigmatismo -0.183 0.288
4. Desenfocamiento 0.516 0.722
5. Astigmatismo -0.207 0.453
6. Trifolio 0.169 0.237
- 38 -
Publicaciones
7. Coma -0.085 0.144
8. Coma -0.183 0.147
9. Trifolio 0.119 0.275
10. Tetrafolio 0.000 0.001
11. Astigmatismo 0.054 0.079
12.Esférica -0.018 0.117
13. Astigmatismo 0.019 0.074
14. Tetrafolio 0.000 0.001
15. Pentafolio 0.000 0.001
16. Trifolio -0.047 0.059
17. Coma -0.003 0.042
18. Coma -0.001 0.054
19. Trifolio -0.026 0.076
20. Pentafolio 0.000 0.000
21. Hexafolio 0.000 0.000
22. Tetrafolio 0.000 0.000
23. Astigmatismo -0.008 0.025
24. Esférica -0.017 0.051
25. Astigmatismo 0.003 0.039
26. Tetrafolio 0.000 0.000
27. Hexafolio 0.000 0.000
Con esta desviación estándar se puede obtener el error máximo en la prueba por
medio de la prueba estadística de tamaño muestral:
errorz =θα σ2/ , 17 (4.1)
donde 1-α es el nivel de confianza establecido, para este caso se utilizó un nivel de
confianza del 95 %, o lo que es lo mismo α/2 =0.025; con este valor se determina z por
medio de la tabla estadística de “probabilidad normal estándar” y θσ es la desviación
- 39 -
Publicaciones
estándar de la muestra. Por lo que sustituyendo estos valores se encuentra un error
máximo del 15%.
En la figura 4.2 se presenta una gráfica con el valor promedio de estos ojos
analizados para cada coeficiente de los polinomios de Zernike en la cual la pupila
dilatada promedio fue de 5.6 mm. Cabe mencionar que la gráfica ilustra la forma en que
es usual reportar los coeficientes en Oftalmología.
-0.600
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
0. P
isto
n1.
Incl
inac
ión
2. In
clin
ació
n 3.
Ast
igm
atis
mo
4. D
esen
foca
mie
nto
5. A
stig
mat
ism
o 6.
Trif
olio
7.
Com
a 8.
Com
a 9.
Trif
olio
10
. Tet
rafo
lio
11. A
stig
mat
ism
o 12
.Esf
éric
a 13
. Ast
igm
atis
mo
14. T
etra
folio
15
. Pen
tafo
lio
16. T
rifol
io
17. C
oma
18. C
oma
19. T
rifol
io20
. Pen
tafo
lio21
. Hex
afol
io22
. Tet
rafo
lio23
. Ast
igm
atis
mo
24. E
sfér
ica
25. A
stig
mat
ism
o26
. Tet
rafo
lio27
. Hex
afol
ioValo
r de
los
coef
icie
ntes
Figura 4.2 Tabulación de aberraciones del ojo normal mexicano.
4.2 Mapa De Aberraciones
El frente de onda presentado en el capítulo 3 se puede expresar de una manera muy
general como:
- 40 -
Publicaciones
, ∑∑=
−
=
=n
m
mnmnm
k
nyxcyxW
00),( 18 (4.2)
donde k es el orden del polinomio.
Para las aberraciones de primer orden la expresión fue dada por Kingslake 18:
,)()3()()(),( 222222222 FxEyyxDyxCyxByyxAyxW +++++++++= (4.3)
donde: A es el coeficiente de la aberración esférica,
B es el coeficiente de coma,
C es el coeficiente del astigmatismo,
D es el coeficiente del desenfocamiento,
E es el coeficiente de la inclinación en el eje x,
F es el coeficiente de la inclinación en el eje y.
Sin embargo, dada la geometría de la pupila (aproximadamente circula) del ojo y
con el fin de expresar las aberraciones en términos de los polinomios de Zernike, es más
útil describir el frente de onda aberrado en coordenadas polares:
. (4.4) )sincos(),( θθρθρ lnl
lnl
nn
ol
k
onbaW += ∑∑
==
Para dibujar un mapa de aberración primero es necesario establecer un sistema
de coordenadas en el plano de la pupila del ojo como se muestra en la figura 4.3. El
sistema coordenado usado en la óptica oftálmica es el sistema coordenado matemático
estándar. Cada punto en el plano de la pupila se puede describir únicamente por sus
coordenadas x-y en coordenadas rectangulares, o en términos de los coordenadas
polares ρ y Θ.
- 41 -
Publicaciones
y
Figura 4.3 Coorden el ojo hum
De aquí que la función W del error de las
los coordenadas rectangulares x-y del ojo, o en f
Θ del ojo. Utilizamos típicamente el mismo sistem
Cada uno de los 27 polinomios de Zernik
de aberraciones del frente de onda (figura 4.4), d
de orden mayor a 6 son aberraciones de mu
despreciables.
Figura 4.4. Mapa de aberraciones para los 27 té
ρ
Θx
enadas ano
aberraciones se describe en función de
unción de los coordenadas polares ρ y
a coordinado para cualquier ojo.
e se pueden representar como un mapa
e orden n=1 hasta n=6, ya que a partir
y alto orden las cuales pueden ser
rminos de los polinomios de Zernike.
- 42 -
Publicaciones
Las aberraciones suelen dividir en dos grupos: aberraciones de alto orden y las
de bajo orden. Las primeras corresponden a n=1, 2 y las de alto orden para n=3, 4, 5, 6.
Además, las aberraciones se agrupan de acuerdo a su nombre y entonces tendremos las
siguientes: astigmatismo para los polinomios 4, 5, 11, 12, 20, 21; inclinación para 1 y 2;
desenfocamiento para el polinomio igual a 3; trifolio para 9, 10, 18, 19; esférica para 8,
15, 24; coma para 6, 7, 13, 14, 22, 23; tetrafolio para 16, 17, 27 y por último pentafolio
para 25, 26. Para el promedio de la muestra que estamos considerando el tetrafolio y el
pentafolio se anulan.
Agrupando las aberraciones por nombre tenemos en la figura 4.5 los mapas de
aberraciones para el ojo normal mexicano:
Astigmatismo Inclinación Desenfocamiento
Trifolio Coma Esférica
Figura 4.5. Aberraciones en el ojo norm
al mexicano
- 43 -
Publicaciones
Al sumar todas las aberraciones de la figura 4.4 se obtiene el mapa total de
Figura 4.6 Mapa total de aberraciones.
Como ya se mencionó las aberraciones se pueden dividir en aberraciones de alto
aberraciones para el ojo normal mexicano (figura 4.6).
y bajo orden. Por lo tanto sus mapas también pueden ser divididos en alto y bajo orden
entonces los mapas correspondientes a aberraciones de alto y bajo orden se muestran en
la siguiente figura 4.7.
Figura 4.7 a) Aberraciones de bajo orden b) Aberraciones de alto orden
En la figura 4.8 se muestra el mapa de aberraciones para cada ojo; es decir,
graficar independientemente el ojo derecho del izquierdo y así poderlos analizar
separadamente.
- 44 -
Publicaciones
Figura 4.8 a) Ojo derecho b) Ojo izquierdo
rvar estas dos últimas gráficas nos podemos dar cuenta que no existe
ctos de las aberraciones pueden ser caracterizadas calculando la PSF o
.3 PSF
a función de punto extendido o PSF por sus siglas en inglés, (Point Spread Function),
es la respuesta al impulso; es decir es la salida en un sistema lineal invariante al
desplazamiento en que la entrada es la función delta.
Al obse
diferencia esencial entre un mapa de aberraciones de un ojo derecho y otro izquierdo.
Además al realizar la prueba estadística de la t de Student para comparar los
coeficientes del ojo derecho con los del izquierdo, con un nivel de significancia del 95%
se llegó a la conclusión que no existe diferencia entre los coeficientes del ojo derecho e
izquierdo; es decir una cornea derecha se puede donar a un ojo izquierdo y viceversa 1.
Los defe
la MTF del sistema óptico. Donde la primera describe los efectos de las aberraciones en
el espacio de coordenadas y la segunda describe estos mismos efectos en el espacio de
las frecuencias, por lo que cada una proporciona diferentes puntos de vista al mismo
fenómeno.
4
L
- 45 -
Publicaciones
La PSF puede ser coherente o incoherente dependiendo del tipo de iluminación
con la que se está trabajando. La función de punto extendido para luz coherente se
define como:
{ },,22
1
df
df
p yxAd λλλ == , (4.5) ),(),( yxcoherente yxPTFyxPSF = 3, 4
donde λ representa la longitud de onda incidente de la radiación, d es la distancia de la
de la imagen, Ap es el área de la pupila, TF a tr
Fourier, fx , fy son las frecuencias espaciales, y P(x,y) es la función generalizada de la
pupila al plano indic ansformada de
pupila la cual es igual a:
),(2 yxWiλπ−
= ),(),( eyxpyxP , (4.6)
donde p(x,y)define la forma, tamaño y transmisión de la pupila de salida y W(x,y) es el
frente de onda aberrado de la pupila de salida; es decir, el error.
coherente como el caso a
Si, en lugar de tener luz nterior tenemos luz incoherente,
la PSF para una fuente incoherente se define como el cuadrado del módulo de la PSF
coherente, por lo que la PSF incoherente esta dada por:
{ } 2
,,22
1
df
df
p yxAd λλλ == . (4.7) ),(),( yxeincoherent yxPTFyxPSF = 3, 4
Como ya se tiene el mapa de aberraciones para los 27 polinomios de Zernike es
las transformadas de Fourier de estas aberraciones ns
nuevo la pirámide pero para la función de punto extendido, como se muestra en la
posible obtener para co truir de
figura 4.9.
- 46 -
Publicaciones
Figura 4.9 Representación básica PSF de los 27 coeficientes de Zernike
En la figura 4.10 se muestra la función de punto extendido para el ojo normal
mexicano.
Figura 4.10 PSF para el ojo normal mexicano.
Podemos decir que la PSF de un sistema ideal sería únicamente un punto ya que
la entrada es una delta de Dirac, pero como nuestro ojo es en realidad un sistema
- 47 -
Publicaciones
limitado por difracción , por lo tanto se implica que la PSF del ojo normal mexicano
(figura 4.10) contiene una serie de pequeños anillos concéntricos.
4.4 MTF
Hace algún tiempo para determinar la calidad de un elemento óptico y/o de un sistema
era necesario calcular su límite de resolución. Entonces en cuanto mayor era la
resolución mejor era el sistema; pero como sabemos un sistema idealmente perfecto está
limitado por efectos de difracción. Por lo tanto, según se vaya reduciendo el ancho de
las barras en la figura 4.11, se llegará a un límite donde no se puedan ya distinguir las
estructuras de las líneas finas, esto es lo que se llama el límite de resolución del sistema.
Por ejemplo: se puede visualizar esto como una frecuencia espacial de corte donde cada
par de barras luminosas y oscuras constituyen un ciclo en el objeto.
Figura 4.11 Ejemplo de ancho de barras
Actualmente para determinar la calidad de un sistema óptico se hace uso de la
Función de Transferencia de Modulación o MTF por sus siglas en inglés (Modulation
Transfer Function) la cual se define con el módulo de la auto-correlación de la función
de pupila generalizada. Para definir esta función es necesario primero definir la OTF
(Optical Transfer Function), esta función siempre está normalizada a uno y se define
como la transformada de Fourier de la PSF incoherente; es decir:
{ }{ }
{ }
{ } 0,02
,,
2
,,
0,0 ),(
),(
),(
====
==
==
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
yxyx
yx
yxss
dyf
dxf
dyf
dxf
ss
yx
yxPTFTF
yxPTFTF
PSFTFPSFTFssOTF
λλ
λλ , 3, 4 (4.8)
- 48 -
Publicaciones
y la MTF es el módulo de la OTF, por lo tanto:
),(),( yxyx ssOTFssMTF = . (4.9)
La Función de Transferencia Óptica (OTF) tiene tres características muy
importantes:
1. OTF(0,0) = 1
2. OTF(-sx, -sy)=OTF*(sx, sy)
3. )0,0(),( OTFssOTF yx ≤
Una vez más se puede construir la pirámide para la representación básica de las
MTF como se muestra en la figura 4.12.
Figura 4.12 Representación básica de las MTF
- 49 -
Publicaciones
Igualmente, se presenta en las figura 4.13 y 4.14 las MTF para el ojo normal
mexicano, con un corte en el eje x y otro en el eje y, lo cual es de uso frecuente en
Oftalmología:
Con
trast
e
Ciclos por grado
Figura 4.13 MTF negra limitada por difracción y azul corte en el eje x.
Con
trast
e
Ciclos por grado
Figura 4.14 MTF negra limitada por difracción y azul corte en el eje y.
- 50 -
Publicaciones
Como podemos ver en las figuras 4.13 y 4.14 lo que se ve debajo de la gráfica
roja son todas las frecuencias que se pueden observar por el ojo normal mexicano, es
decir todas frecuencias que nuestro ojo normal puede distinguir. La diferencia entre la
grafica azul (limitada por difracción) y la roja se debe a que cualquier sistema óptico
tiene aberraciones 5.
Teniendo ya establecido el patrón de referencia, el ojo normal mexicano,
encontrado en este capítulo; se establecerá en la próxima sección una comparación entre
este ONM y los ojos post-operados 19, 20.
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