capítulo 16

CAPÍTULO 16:CAPÍTULO 16: ONDAS - I ONDAS - I

O que é uma onda?O que é uma onda?

16-2 Tipos de Ondas

Ondas Ondas Longitudinais:Longitudinais:

16-3 Ondas Transversais e Longitudinais

Ondas Ondas Transversais:Transversais:

Ondas Mistas:Ondas Mistas:

v Velocidade da onda:

16-4 Comprimento de Onda e Frequência

kxsenyxy m)(mínima

)]([),( vtxksenytxy m

11 )0,( kxsenyxy m

)]([)0,( 11 xksenyxy m

)]([)( 11 xksenykxseny mm

)()( 11 kkxsenykxseny mm 2k

● Sabemos que:

● Para x = x1 e t = 0, tem-se:

● Para x = x1 + e t = 0, tem-se:

● No entanto:

)0,()0,( 11 xyxy

(número de onda)(número de onda)

● Então:

● Pode ser escrita, como:

● Mas:

● Desse modo, tem-se:

)(),( kvtkxsenytxy m

(função de onda (função de onda senoidal)senoidal)

O que é constante de fase

)(),( tkxsenytxy m

16-5 A Velocidade de uma Onda Progressiva

)(),( tkxsenytxy m

● Sabemos que:

● Como o ponto A, que pertence à forma da onda, tem sempre o mesmo valor y, temos:

constantekx t ● Para determinar a velocidade v da onda derivamos essa equação em relação ao tempo, obtendo:

0dxkdt

(velocidade da (velocidade da onda)onda)

Exemplo 16-2: Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação ( , ) 0,00327 (72,1 2,72 )y x t sen x t onde as constantes numéricas estão em unidades do SI (0,00327m, 72,1 rad/m e 2,72 rad/s).

a) Qual é a amplitude da onda?

b) Quais são o comprimento de onda, o período e a frequência da onda?

c) Qual é a velocidade da onda?

d) Qual é o deslocamento y para x = 22,5 cm e t = 18,9 s ?

Exemplo 16-3: No Exemplo 16-2d mostramos que em t = 18,9 s o deslocamento transversal y do elemento da corda situado em x = 22,5cm é 1,92 mm. a) Qual é a velocidade transversal u desse elemento da corda nesse instante

t ? (Essa velocidade, associada à oscilação transversal de um elemento da corda, é uma velocidade na direção y que varia com o tempo e não deve ser confundida com v, a velocidade constante com a qual forma da onda se propaga na direção x.)

Exemplo 16-3: No Exemplo 16-2d mostramos que em t = 18,9 s o deslocamento transversal y do elemento da corda situado em x = 22,5cm é 1,92 mm. b) Qual é a aceleração transversal ay do mesmo elemento nesse instante?

16-6 Velocidade da Onda em uma Corda Esticada

16-7 Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda

● Energia Cinética:

Quando produzimos uma onda em uma corda esticada fornecemos energia para que a corda se mova. Quando a onda se afasta de nós transporta essa energia como energia cinética e como energia potencial elástica. Vamos examinar essas duas formas, uma de cada vez.

Um elemento da corda de massa dm, oscilando transversalmente em um movimento harmônico simples enquanto a onda passa por ele, possui energia cinética associada a sua velocidade transversal u. Quando o elemento está passando pela posição y = 0, sua energia cinética é máxima. Quando o elemento está na posição extrema y = ym, sua energia cinética é nula.

16-7 Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda

● Energia Potencial Elástica:

Para produzir uma onda senoidal em uma corda inicialmente reta a onda deve necessariamente deformar a corda. Quando um elemento da corda de comprimento dx oscila transversalmente seu comprimento aumenta e diminui periodicamente para assumir a forma da onda senoidal. Como no caso de uma mola, a energia potencial elástica está associada a essas variações de comprimento.Quando o elemento da corda está na posição y = ym a energia potencial elástica é nula. Por outro lado, quando o elemento está passando pela posição y = 0 possui energia potencial elástica máxima.

16-7 Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda ● A Taxa de Transmissão de

Energia:

2dK dm u

yu y kx t

A energia cinética dK associada a um elemento da corda de massa dm é dada por:

Para determinar u derivamos a função de onda em relação ao tempo, mantendo x constante:

Usando essa relação e fazendo dm = µdx, tem-se:

1dx - y cos

2dK kx t

Dividindo essa equação por dt obtemos a taxa com a qual a energia cinética passa por um elemento da corda e, portanto, a taxa com a qual a energia cinética é transferida pela onda:

1 dx- y cos

dKkx t

Energia:

Como a razão dx/dt é a velocidade v da onda, temos:

2 2 2m

1y cos

dKv kx t

1 dx- y cos

dKkx t

A taxa média com a qual a energia cinética é transportada é:

2 2 2m

1y cos

2 medmed

dKv kx t

Energia:A energia potencial elástica também é transportada pela onda, com a mesma taxa média. Não vamos apresentar a demonstração, mas apenas lembrar que em um sistema oscilatório, como um pêndulo ou um sistema massa-mola, a energia cinética média e a energia potencial média são iguais.

A potência média, que é a taxa média com a qual as duas formas de energia são transmitidas pela onda, é, portanto:

2medP v

2medmed

Exemplo 16-5: Uma corda tem uma massa específica µ = 525 g/m e uma tensão = 45 N. Uma onda senoidal de frequência f = 120 Hz e amplitude ym = 8,5 mm é produzida na corda. Com que taxa média a onda transporta energia?

Equação de onda linear: Mostre que a equação

satisfaz a equação de onda linear

)(),( tkxsenytxy m 2 2

16-9 O Princípio da Superposição de Ondas

1 2'( , ) ( , ) ( , )y x t y x t y x t

16-10 Interferência de Ondas

Fontes em fase e em oposição de fase

● Fontes em fase: fontes que vibram sincronizadamente e que quando uma produz uma crista a outra também produz uma crista;

● Fontes em oposição de fase: fontes que vibram sincronizadamente e que quando uma produz crista a outra produz vale.

Exemplos de Defasamento ()

180o ou

360o ou

540o ou

Ondas em fase

Ondas em oposição de fase

Suponha que uma das ondas que se propagam em uma corda é dada por

Essas ondas têm a mesma frequência angular (e, portanto, a mesma frequência f), o mesmo número de onda k (e, portanto, o mesmo comprimento de onda ) e a mesma amplitude ym. Ambas se propagam no sentido positivo do eixo x, com a mesma velocidade. Elas diferem apenas de um ângulo constante , a constante de fase. Dizemos que essas ondas estão defasadas de ou que sua diferença de fase é .

1( , ) ( )my x t y sen kx t e que uma outra, deslocada em relação à primeira, é dada por

2 ( , ) ( ).my x t y sen kx t

Segundo o princípio de superposição, a onda resultante é a soma algébrica da duas ondas e tem um deslocamento

1 2'( , ) ( , ) ( , )y x t y x t y x t

'( , ) ( ) ( )m my x t y sen kx t y sen kx t

1 12 cos

2 2sen sen sen

A soma dos senos de dois ângulos e obedece à identidade

Aplicando esta relação, temos:

1 1'( , ) 2 cos .

2 2my x t y sen kx t

Deslocamento

Amplitude

Termo oscilatório

1 1'( , ) 2 cos

2 2my x t y sen kx t

16-12 Ondas Estacionárias

Para analisar um onda estacionária, representamos as duas ondas pelas equações

1( , ) ( )my x t y sen kx t

2 ( , ) ( ).my x t y sen kx t

1 12 cos

2 2sen sen sen

A soma dos senos de dois ângulos e obedece à identidade

Aplicando esta relação, temos:

De acordo com o princípio de superposição, a onda resultante é dada por

'( , ) 2 cos .my x t y sen kx t

'( , ) 2 cosmy x t y sen kx t O fator 2ymsen(kx) poder ser visto como a amplitude da oscilação do elemento da onda estacionária localizado na posição x. Entretanto, como uma amplitude é sempre positiva e sen(kx) pode ser negativo, tomamos o valor absoluto de 2ymsen(kx) como a amplitude em x.

Em uma onda senoidal progressiva a amplitude da onda é a mesma para todos os elementos da corda. Isso não é verdade para uma onda estacionária, na qual a amplitude varia com a posição.

Para a onda estacionária, a amplitude é zero para valores de kx tais que que sen(kx) = 0. Esses valores são:

, para n = 0,1,2,...kx n

Fazendo k = 2/ nesta equação e reagrupando os termos, obtemos as posições dos nós:

, para n = 0,1,2,...2

16-13 Ondas Estacionárias e Ressonância

CORDAS VIBRANTESCORDAS VIBRANTES

(1º harmônico – som (1º harmônico – som fundamental)fundamental)

(2º harmônico)(2º harmônico)

(3º harmônico)(3º harmônico)

Conseqüentemente o Conseqüentemente o enésimo modo de enésimo modo de vibraçãovibração será dado por:será dado por:

CORDAS VIBRANTESCORDAS VIBRANTES

nv f n2L

e a e a freqüência dofreqüência do enésimo harmônico enésimo harmônico será:será:

DICA:DICA:nn é igual ao é igual ao

número de ventresnúmero de ventres

Exemplo 16-8: A figura mostra a oscilação ressonante de uma corda de massa m = 2,5 g e comprimento L = 0,8 m sob uma tensão = 325,0 N. Qual é o comprimento de onda das ondas transversais responsáveis pela onda estacionária mostrada na figura e qual é o número harmônico n? Qual é a frequência f das ondas transversais e das oscilações dos elementos da corda? Qual é o módulo máximo da velocidade um do elemento da corda que oscila no ponto de coordenada x = 0,18 m ? Para que deslocamento do elemento a velocidade transversal é máxima?

Não é digno de saborear o mel aquele que se afasta da

colméia por medo das picadas das abelhas.

(Anônimo)

Um abraço !

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