cap.5 - flexão simples
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8/18/2019 Cap.5 - Flexão Simples
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Mecânica dos Materiais
Preparadopor:FilipeSamuel Silva
D e p . E
n g ª M e c â n i c a
Capítulo 5
Flexão Simples
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Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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Flexão Simples - Sumário Cap. 5
IntroduçãoDiagramas de Esforsos Transversos e de
Momentos FlectoresRelações entre cargas, esforços transversos e
momentos flectoresProjecto de vigas prismáticas sujeitas a flexão
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Flexão Simples - Introdução Cap. 5
• Vigas – Elementos estruturais que suportamcargas em vários locais ao londo de si mesma
• Objectivo – Analise e Projecto de Vigas
• As cargas transversais são classificadas comocargas concentradas ou cargas distribuídas .
• As cargas aplicadas resultam em forças internasque consistem em um esforço cortante (datensão de corte) e um momento flector (datensão normal)
• A tensão normal é o critério de dimensionamento
x m
M c M My I I W
σ σ = − = =
Requer a determinação da magnitude e dalocalização do momento flector máximo.
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Flexão Simples - Introdução Cap. 5
Classificação das vigas
f) Viga biencastrada
VigasEstaticamentedeterminadas
VigasEstaticamenteindeterminadas
e) Viga encastrada/apoiadad) Viga contínua
c) Viga em consola b) Viga em balançoa) Viga simplesmente apoiada
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Diagramas de Esforços Transversos e deMomentos Flectores
Cap. 5
• A determinação das tensões máximas decorte e normal requer a identificação dosesforços transversos e momentos flectores.
• Os esforços transversos e momentosflectores são determinados, em qualquersecção, seccionando-a e estabelecendo oseu equilíbrio estático.
• As convenções de sinais para os esforçostransversos,V e V’, e momentos flectores, M e M’, são:
a) Forças internas (esforço transverso emomento flector positivos)
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Exemplo 5.1 Cap. 5
Para a viga de madeira e para ocarregamento indicado, desenhe osdiagramas de esforço transverso e demomento flector e determine a tensãonormal máxima devida à flexão.
SOLUÇÃO:• Fazer diagrama de corpo livre e
determinação das reacções nos apoios
• Identificar os esforços cortantesmáximos e os momentos flectoresmáximos, a partir da sua distribuiçãoao longo da viga.
• Aplicar as fórmulas de flexão para
determinar as correspondentestensões normais máximas devidas àflexão.
• Seccionar a viga em determinados pontos e fazer equilíbrio estático para determinar os esforçoscortantes e os momentos flectoresnesses pontos
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Exemplo 5.1 Cap. 5
SOLUÇÃO:• Fazer diagrama de corpo livre e determinação das
reacções nos apoiosde 0 : 40 kN 14 kN y B B DF M R R= = = =
∑ ∑• Seccionar a viga em determinados pontos e fazerequilíbrio estático para determinar os esforçoscortantes e os momentos flectores nesses pontos
( )( ) 00m0kN200
kN200kN200
111
11
==+∑ =−==−−∑ =
M M M
V V F y
( )( ) mkN500m5.2kN200kN200kN200
222
22⋅−==+∑ =
−==−−∑ = M M M V V F y
0kN14
mkN28kN14mkN28kN26
mkN50kN26
66
5544
33
=−=⋅+=−=⋅+=+=
⋅−=+=
M V
M V M V
M V
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Exemplo 5.1 Cap. 5
• Identificar os esforços cortantes máximos eos momentos flectores máximos, a partir dasua distribuição ao longo da viga.
mkN50kN26 ⋅=== Bmm M M V
• Aplicar as fórmulas de flexão paradeterminar as correspondentestensões normais máximas devidas àflexão.
( )( )221 16 66 3
3
6 3
0.080 m 0.250 m
833.33 10 m
50 10 N m833.33 10 m
Bm
W b h
M
W σ
−
−
= == ×
× ⋅= = ×
Pa100.606
×=mσ
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Exemplo 5.2 Cap. 5
A estrutura representada consiste numaviga AB construída com um perfil deaço laminado HEB 400 e duas barrascurtas soldadas uma à outra e à viga. a)desenhe os diagramas de esforçostransversos e de momentos flectores para a viga e carregamento indicados, b)determine a tensão normal máxima nassecções imediatamente à esquerda e àdireira do ponto D.
SOLUÇÃO:
• Substitua a força de 40KN por umaforça equivalente e um momentoflector, no ponto D. Determine asreacções em B.
• Seccione a viga nos pontosnecessários e aplique as condiçõesde equilíbrio para determinar osesforços cortantes e momentosflectores.
• Determine a tensão normal máxima àesquerda e direita do ponto D .
a) Viga simplesmente apoiada
40 KN0,75m
2m
48 KN/m
0,5m0,75m
â d
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Exemplo 5.2 Cap. 5SOLUÇÃO:
• Substitua a força de 40KN por uma forçaequivalente e um momento flector, no pontoD. Determine as reacções em B.• Seccione a viga nos pontos necessários e
aplique as condições de equilíbrio paradeterminar os esforços cortantes emomentos flectores.
( )( ) 211 2
:0 48 0 48 kN0 48 0 24 kNm
y
De A a C
F x V V x
M x x M M x
= − − = = −= + = = −
∑∑
( ) ( )2
:0 96 0 96 kN0 96 1 0 96 96 kNm
y
De C a D
F V V
M x M M x
= − − = = −= − + = = −
∑∑
( ):
136 kN 226 136 kNm De D a BV M x= − = −
136KN
20KNm48 KN/m
318KNm
40KN
96 KN
96 KN
20KNm
40KN
M â i d M i i
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Exemplo 5.2 Cap. 5
• Determine a tensão normal máxima àesquerda e direita do ponto D .
Dados: Perfil HEB 400
W = 2884*10-6 m3 (eixo xx).
3
-6 3
3
-6 3
:
168*102884*10:
148*102884*10
m
m
Esquerda de D
M NmW m
Direita de D
M NmW m
σ
σ
= =
= =
58.3m
MPaσ =
51.3m MPaσ =
136KN
20KNm48 KN/m
318KNm
40KN
4 m2 m 2,75 m
-136KN
-96KN
-318KNm
-168KNm
-96KNm
-148KNm
M â i d M i i
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Relações entre Carga, Esforços Transversos eMomentos Flectores
Cap. 5
( )
xwV
xwV V V F y
∆−=∆=∆−∆+−=∑ 0:0
∫ −=−
−= D
C
x
xC D dxwV V
wdxdV
• Relação entre carga e esforço transverso:
( )
( )221
02
:0
xw xV M
x xw xV M M M M C
∆−∆=∆
=∆∆+∆−−∆+=∑ ′
∫ =−
=
D
C
x
xC D dxV M M
dxdM 0
• Relação entre esforço transverso emomento flector:
M â i d M t i i
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Exemplo 5.3 Cap. 5
Desenhe os diagramas deesforço transverso e demomento flector para a viga
e o carregamento indicados.
SOLUÇÃO:• Diagrama de corpo livre da viga inteira e
cálculo das reacções nos apoios, A e D .
• Aplicação das relações entre carga e esforçotransverso para desenhar diagrama deesforço transverso.
• Aplicação das relações entre esforçotransverso e momento flector para desenhardiagrama de momento flector.
20KN 12KN 1,5KN/m
6m 8m 10m 8m
M â i d M t i i
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Exemplo 5.3 Cap. 5
SOLUÇÃO:• Diagrama de corpo livre da viga inteira e cálculo da
reacções nos apoios, A e D.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
y
00 24 20 kN 6 12 kN 14 12 kN 28
26 kNF 0
0 20 kN 12 kN 26 kN 12 kN18 kN
A
y
y
M
D m m m m
D
A A
== − − −==
= − − + −=
∑
∑
• Aplicação das relações entre carga e esforço
transverso para desenhar diagrama de esforçotransverso.dxwdV w
dxdV −=−=
- Declive nulo entre as cargas concentradas
- Variação linear ao longo da carga distribuída
20KN 12KN
12KN4m
6m 8m 10m 8m
20KN 12KN 1,5KNm
18KN26KN20KN
18KN
V(KN)
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Exemplo 5.5 Cap. 5
Esboce os diagramas de esforçostransversos e de momentos flectores para a viga indicada.
SOLUÇÃO:• Diagrama de corpo livre da viga inteira
e cálculo das reacções no apoioC .
• Aplicação das relações entre carga eesforço transverso para desenhardiagrama de esforço transverso.
• Aplicação das relações entre esforçotransverso e momento flector paradesenhar diagrama de momento flector.
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Exemplo 5.5 Cap. 5SOLUÇÃO:
• Diagrama de corpo livre da viga inteira ecálculo das reacções no apoioC .
−−=+ −==∑
=+−==∑
330
0
021
021
02
10
2
1
a Law M M
a Law M
aw R RawF
C C C
C C y
Os resultados da integração da carga e dos
esforços transversos deve ser equivalente.• Aplicação das relações entre carga e esforço
transverso para desenhar diagrama de esforçotransverso.
( )
2
0 00 0
102
12
arg
aa
B A
B
x xV V w dx w x
a a
V w a area debaixo curva de c a
− = − − = − − = − = −
∫
- Não há variação esf. Transverso entre B e C.- Compatibilidade com a análise do diagramade corpo livre
Mecânica dos Materiais B J h D W lf ( d d )
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Exemplo 5.5 Cap. 5
• Aplicação das relações entre esforço transverso emomento flector para desenhar diagrama demomento flector.
203
10
32
00
2
0 622
aw M
a x x
wdxa x
xw M M
B
aa
A B
−=
−−=∫
−−=−
( ) ( )( )
−=−−=
−−=∫ −=−
323 006
1
021
021
a L
waa Law M
a Lawdxaw M M
C
L
aC B
Os resultos emC são compatíveis com aanálise do diagrama de corpo livre
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Exemplo 5.8 Cap. 5
A viga simplesmente apoiada AD é deaço, tem 5 m de comprimento esuporta as cargas indicadas. Sabendoque a tensão normal admissível para oaço adoptado é de 160 Mpa,seleccione o perfil europeu, de banzoslargos, a utilizar.
SOLUÇÃO:• Diagrama de corpo livre da viga inteira
e cálculo das reacções nos apoios A e
D .• Desenho dos diagramas de esforço
transverso e momento flector e
determinação do momento máximo.
• Determinação do módulo deresistência mínimo aceitável (escolhade uma secção ‘standard’.
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Exemplo 5.8 Cap. 5
• Diagrama de corpo livre da viga inteira ecálculo das reacções nos apoios A e D .( ) ( )( ) ( )( )
kN0.52kN50kN60kN0.580
kN0.58m4kN50m5.1kN60m50
=−−+==∑
=−−==∑
y
y y
A
A AF
D
D M
• Desenho dos diagramas de esforço transverso
e momento flector e determinação domomento máximo.
( )
52.0 kN
arg 60 kN
8 kN
A y
B A
B
V A
V V area debaixo curva c a
V
= =− = − = −= −
• O máximo momento flector ocorre emV = 0 ou x = 2.6 m.
( )max ,67.6 kN
M area debaixo curva esforço transverso A a E ==
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Exemplo 5.8 Cap. 5
• Determinação do módulo de resistênciamínimo aceitável.
maxmin
6 3 3 3
67.6 kN m
160 MPa422.5 10 m 422.5 10 mm
all
M W
σ
−
⋅= =
= × = ×
• Escolha de uma secção ‘standard’.
3 3,10 ,mm
HEA 220 515HEA 220 570HEA 220 426HEA 220 566
Perfil W
××××
9.32360×W
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Mecânica dos Materiais Beer Johnston DeWolf (adaptado)
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Exercícios Resolvidos Cap. 5Para a barra mostrada na figura determine os diagramas de esforços transversos e de momentos flectores.
10.000 N
10 m 10 m
5.000 N 5.000 N
Se seccionarmos a barra numa secção a uma distância (x), e aplicarmos as condições de equilíbrio, temos,
em que: V (força de corte) e M (momento flector) .
Condições de Equilíbrio:
Σ Fy: + 5000 (N) - V = 0 , dando V = 5000 N.ΣMz(em relação ao ponto da esquerda):-V * x + M = 0 ,Substituíndo o valor de V na equação dos momentos:- 5000 * x + M = 0 ,dá M = 5000*x (Nm)Estas são as equações dos esforços cortantes e dos momentos flectores para
a região considerada.
5.000 N
5.000 N
5.000 N
x (m)
x (m)
x (m)
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Mecânica dos Materiais W ( p )
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Exercícios Resolvidos Cap. 5
Fazendo o equilíbrio,
Condições de Equilibrio:
Σ Fy: + 5000 -10,000 - V = 0 , dando V2 = -5000 N.ΣMz(em relação ao ponto da esquerda):-10,000 * x -V * x + M = 0 ,Substituíndo o valor de V na equação dos momentos: : -10,000 * 10 - (-5000)* x + M = 0 , dáM2 = 5000*x - 100,000 Nm .
Estas são as equações dos esforços cortantes e dos momentos flectores para a
nova região considerada.Se colocarmos graficamente estas expressões, ao longo da barra, temos oseguinte gráfico. Esta é uma forma muito útil para visualizar como variam osesforços transversos e os momentos flectores ao longo da barra.
Se seccionarmos agora a próxima região da barra temos
5.000 N
10.000 N
10m
x (m)
5.000 N
-5.000 N
50.000 Nm
x (m)
x (m)
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Mecânica dos Materiais ( p )
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Exercícios Resolvidos Cap. 5Uma barra simplesmente apoiada é mostrada na figura. Pretende-se determinar os diagramas de esforçostransversos e de momentos flectores.
Solução:Parte A. Determinação das reacções nor apoios aplicando as equações de equilibrio estáticas.
Passo 1: Desenho do diagrama de corpo livre.
Passo 2:Aplicar as equações de equilibrio
ΣFy: = -4,000 - (1,000)*(8) - 6,000 + B y + D y = 0
ΣMB = (D y)*(8) - (6,000)*(4) + (1,000)*(8)*(4) + (4,000)(8) = 0Resolvendo dá : By =23,000 N; D y = -5,000 N.
1.000 N/m 6.000N
4 m4 m8 m
4.000 N
1.000 N/m 6.000N
4 m4 m8 m
4.000 N
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Exercícios Resolvidos Cap. 5Parte B : Determinar-se-ão agora as expressões dos esforços cortantes e dos momentos flectores para cada troço da barra. Neste processo seciona-se a barra nos diversos troços e aplicam-se as equações de equilibrio paradeterminar os esforços cortantes em cada troço. A determinação dos momentos, em cada troço, pode ser feita deduas formas:
1) Aplicando o equilibrio dos momentos em cada troço e resolvendo em ordem ao momento flector na zonado seccionamento;2) Por integração. O valor do momento flector é encontrado a partir da expressão
Secção 1 :
. Ou seja, a expressão dos momentos é obtida pela integração da expressão dos esforços cortantes, para cadatroço.
Aplicação das condições de equilibrio.
ΣFy= 0; Fy = -4,000 - 1,000 *(x) - V1 = 0 ; resolvendo:V1 = [-4,000 -1,000x].Esta expressão dá os valores dos esforços transverses internos, na barra, para o troço entre 0 e 8 metros.
Se se colocar em tremos gráficos a expressão, teremos.
1.000 N/m
x4.000 N
-12.000N
V (N)
-4.000 N
Diagrama de esforços transversos
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Exercícios Resolvidos Cap. 5Para se achar o diagrama de momentos flectores, pode usar-se o equilibrio de momentos. Teremos:
ΣMA = -1000 * (x) * (x/2) - V1 (x) + M1 = 0
Substituíndo a equação da força V1 (V1 = [-4,000 - 1,000*x]) naequação dos momentos, temos:Σ MA = -1000 * (x) * (x/2) -[-4,000 - 1,000*x] (x) + M1 = 0 ;e resolvendo tem-se M1 = [-500*x 2 - 4,000*x] .
Esta é a expressão dos momentos para o troço considerado, que,graficamente de traduz da seguinte forma.
1.000 N/m
4.000N
Diagrama de momentos flectores
M (Nm)
-64.000 Nm
x (m)
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Exercícios Resolvidos Cap. 5Esta expressão também se pode obter integrando a espressão do esforço transverso, para o respectivo troço.
Sabendo então que parax = 0, M1 = 0 , e substituindo na expressão anterior (M1 = -500x2 - 4,000x + C1), eresolvendo em ordem a C1, acha-se o valor da constante:0 = -500(0)2 - 4,000(0) + C1, logo: C1 = 0
Então:M1 = [-500x 2 - 4,000x]. para 0 < x < 8 m., é a expressão final para a equação dos momentos flectores nestetroço. (Note que a expressão é a mesma encontrada pelo equilibrio dos momentos.)
= 1000(1/2 x2) - 4000 (x) + C1; então M1 = -500x 2 - 4,000x + C1
Para se determinar o valor da constante C1 tem-se que verificar uma condição de fronteira, ou seja, tem-se qusaber o valor do momento flector em qualquer ponto do troço considerado. Neste caso, sabe-se o valor na fronteir(fim da barra), em que o momento flector é nulo.
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Exercícios Resolvidos Cap. 5Continuando para o troço seguinte teremos.
Secção 2 : Secciona-se a barra para 8 < x
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Exercícios Resolvidos Cap. 5Temos outra condição de fronteira sabendo que o valor do momento flector tem que ser continuo, ou seja, o val
momento flector no fim do primeiro troço tem que ser igual ao valor do momento flector no início do segundo Então sabe-se que para x = 8m (e pela expressão anterior, M1). (M1 = [-500 (8)2 - 4,000(8)] = -64,000.)
Temos então a condição de fronteira para encontrar C2.
-64,000 = 11,000 (8) + C2, resolvendo dá:C2 = -152,000 Nm .
Então:M2 = [11,000x - 152,000] para 8 < x < 12 m
De forma semelhante se faz para os restantes troços da barra.
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Exercícios Resolvidos Cap. 5Secção 3 : Seccionando a barra para 12 < x < 16 m analize-se o troço esquerdo da barra.
Faz-se o equilibrioΣ Fy = 0 = -4,000 - 1,000 *8 + 23,000 -6,000 - V3 = 0, resolvendo dá:V3 = 5,000 N.
O momento flector determina-se fazendo o equilibrio dos momentos ou integrando os esforços transversos
Integrando
Obtem-se a condição de fronteira para a secção 3 sabendo-se que no fim da barra (extremo) o momento énulo, logo C3:para x = 16 m., M = 0 Nm .Logo: 0 = 5,000(16) + C3, e resolvendo: C3 = -80,000 Nm.Então: M3 = [5,000x - 80,000] Nm. para 12 < x < 16
Temos agora todas as expressões para desenharmos os diagramas de esforços transversos e de momentosflectores.
V1 = -1,000x+4,000 N.; V2 = 11,000 N.; V3 = 5,000 NM1 =-500x 2+4,000x Nm .; M2 = 11,000x -152,000 Nm .; M3 = 5,000x-80,000 Nm
, ou M3 = 5,000x + C3
8m 4m
1000 N/m 6000 N
4000 N
23000 N
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Exercícios Resolvidos Cap. 5Diagramas de esforços transversos e de momentos flectores.
V1 = -1,000x+4,000 N.; V2 = 11,000 N.; V3 = 5,000 N
M1 =-500x 2+4,000x Nm .; M2 = 11,000x -152,000 Nm .; M3 = 5,000x-80,000 Nm
6000 N1000 N/m
4000 N
4 m4 m8 m
-64000
-20000
11000
5000
-4000
-12000Diagramas de esforços transversos e de momentos flectores
V (N) M (Nm)
x (m) x (m)
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Exercícios Resolvidos Cap. 5Para a barra da figura seguinte determine os diagramas de esforços transversos e de momentos flectores.
Determinação das reacções nos apoios
Diagrama de corpo livre.
Equilibrio
ΣFy = (-800)*(8) - (1,200)*(8) + A y + C y = 0
ΣMA = (C y)*(12) - (800)*(8)*(4) - (1,200)*(8)*(12) = 0
Resolvendo vem: Cy = 11,700 N; A y = 4,270 N
800 N/m1200 N/m
4m4m8m
4m4m8m
800 N/m1200 N/m
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Exercícios Resolvidos Cap. 5Expressões de esforços Transversos e de Momentos Flectores
Secção 1 : Secciona-se para x, em que 0 < x < 8 m.
ΣFy = 4,300 - 800 *x - V1 = 0
Resolvendo: V1 = [4,300 - 800x] N
Integrando
A condição de fronteira é parax = 0, M = 0Aplicando a cond. fronteira:0 = -400(0) 2 + 4,300(0) + C1 , e resolvendo:C1 = 0 .
Logo, a expressão para a equação dos momentos para a secção 1 dá:
M1 = [-400x 2 + 4,300x] Nm para 0 < x < 8 m.
, resolvendoM1 = -400x 2 + 4,300x + C1
800 N/m
4300 N
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Exercícios Resolvidos Cap. 5
Secção 2 : Seccionando para x, tal que 8 < x
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Exercícios Resolvidos Cap. 5Secção 3 : Finalmente secciona-se para x, tal que 12 < x < 16 m.
ΣFy = 4,300 - 800 *(8) + 11,700 - 1,200*(x - 8) - V3 = 0
Resolvendo: V3 = [-1,200x + 19,200] N
Integrando
ou, M3 = -600x 2 + 19,200x + C3
A cond. Fronteira obtem-se sabendo que na extremidade da barra o momento flector é zero: patax = 16m, M = 0 Nm.
Aplicando a cond. Fronteira à equação 2 e resolvendo depois em ordem à constante C3, temos: 0 = -600(16)2 + 19,200(16) + C3; eC3 = -153,000 Nm
Assim, a expressão final dos momentos fica :M3 = [-600x 2 + 19,200x - 153,000] Nm para 12 < x < 16
,
800 N/m
1200 N/m
4300 N 11700 N
8m 8m
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Exercícios Resolvidos Cap. 5Diagramas de Esforços Transversos e de Momentos Flectores
V1 = -800x + 4,300 N .; V2 = -1,200x + 7,500 N.; V3 = -1,200x + 19,200 NM1 = -400x 2 + 4,300x Nm .; M2 = -600x 2 + 7,500 - 12,800 Nm.;M3 = -600x 2 +19,200x - 153,000 Nm
800 N/m
1200 N/m
8m 4m 4m
V(N) M(Nm)
43004800
-2130
-6930
11400
8560
-9600
Diagramas de esforços transversos e de momentos flectores
x (m)x (m)
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Exercícios Resolvidos Cap. 5
Para a barra encastrada da figura pretende-se determinaros diagramas de esforços transversos e de momentosflectores.
Solução:
Determinação das reacções nos apoios
Desenhar o diagrama de corpo livre.
Aplicar as condições de equilibrio
ΣFy = -4,000 - 3,000 - (2,000)*(6) - 2,000 + A y = 0
ΣMA = (-4,000)*(4) - (3,000)*(8) -(2,000)*(6)*(11) - (2,000)*(14) +M ext = 0
Resolvendo: Ay = 21,000 N; M ext = 200,000 Nm
4m 4m 6m
2.000N/m
4.000 N 3.000 N 2.000 N
4m 4m 6m
2.000N/m
4.000 N 3.000 N 2.000 N
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Exercícios Resolvidos Cap. 5Determinar as expressões para os esforços transversos e para os momentos flectores para cada troço da barra. Nest
processo secciona-se e estabelece-se o equilibrio para cada troço. Os diagramas de momentos flectores podem serobtidos integrando os diagramas de esforços transversos.
Secção 1 :
Equações de equilibrio
ΣFy = 21,000 N - V1 = 0 ; Resolvendo : V1 = 21,000 N
Σ MA = -V1 * x + 200,000 + M1 = 0 ; substituindo V1 = 21,000 N . obtem-se = -21,000 * x + 200,000 + M1 = 0 .Resolvendo vem M1 = 21,000 x -200,000 Nm .
Ou integrando a expressão dos esforços transversos
A condição de fronteira conhecida é a da extremidade da barra. Neste caso existe um momento exterior aplicaextremidade pelo que é esse o valor do momento nesse ponto. Assim, C1 é: parax = 0, M = -200,000 Nm
Aplicando a cond. Fronteira e resolvendo em ordem à constante:
-200,000 = 21000*(0) + C1; dando C1 = -200,000Assim, a expressão dos momentos flectores dá:M1=[21,000x - 200,000] para 0 < x < 4 m.
, dandoM1 = 21,000x + C1
200.000Nm
21.000 N
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Exercícios Resolvidos Cap. 5Secção 3 : 8 < x < 14 m.
Equilibrio
ΣFy = 21,000 - 4,000 - 3,000 - (2,000)*(x-8) - V3 = 0
Logo:V3 = [-2,000x + 30,000] N
Integrando
Sendo a extremidade direita da barra, livre, o momento flector aí, é zero, logo: parax = 14 m, M = 0 Nm
Aplicando a condição de fronteira:0 = -1,000*(14) 2 + 30,000*(14) + C3 , e resolvendo em ordem aC3 = -224,000 Nm
EntãoM3 = [-1,000x 2 +30,000x - 224,000] Nm para 8 < x < 14 m.
, dandoM3 =-1,000x 2 + 30,000x + C3
4m
200.000Nm
21.000 N 4.000 N 3.000 N
4m
2.000N/m
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Exercícios Propostos Cap. 5Para a figura seguinte determine o diagrama de esforços cortantes correcto.
Para a figura seguinte determine o diagrama de momentos flectores correcto.
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Exercícios Propostos Cap. 5Para a figura seguinte determine o diagrama de esforços cortantes correcto.
Para a figura seguinte determine o diagrama de momentos flectores correcto.
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p p
Qual o esforço cortante no centro da viga?Qual o momento flector no centro da viga ? E qual omomento no ponto de aplicação da carga de 10 kN daesquerda.
Qual o esforço cortante no encastramento? Qual o momento flector no encastramento?
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