光線の伝播 - keio university...scienceandtechnology 7 定常波...

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ1

３回目

光線の伝播

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ2

光の反射

入射光 反射光

反射板

法線

i rri

反射の法則

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ3

波の反射

固定端

反射波

入射波

反射波

入射波自由端

自由端固定端

節

腹

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ4

波長とは

21 　　赤　　黄　　青　　

1波長

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ5

２枚の鏡の間で往復する光

様々な位相を持つ波はお互いに打ち消しあい消滅する

反射反射

反射面 反射面

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ6

定常波の形

2次モード

1次モード

基本モード

反射面 反射面

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ7

定常波

決められた位置に節と腹を持つ波

＝定常波（Stationary Wave)

はモード次数という。　　　

にはと鏡の間隔

m

mmL

L

)3,2,1,0()1(2

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ8

光の屈折

媒質2屈折率

媒質１屈折率

1n

2n

1

2

2211 sinsin nn Snell’s law (スネルの法則)

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ9

スネルの法則の説明

B’

B

A’

A

媒質１

媒質2

1θ

2

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ10

屈折と全反射

90°

媒質1

媒質2

21 nn

c ii

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ

音波は、途中にさえぎるものがあっても、耳に届く・・・。なぜ？

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ

音波は、途中にさえぎるものがあっても、耳に届く・・・。なぜ？

13

全反射

221 sinsin nn i 190sinsin90 11

cnn sinsin 2

2

1

スネルの法則

c臨界角

《nはどのような値か？》

空気1.003、水1.333、氷1.309、石英ガラス1.46、ダイヤモンド2.42

と定義

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ

横波と縦波

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ20

光ファイバ内での光の伝搬

屈折率が低い媒質

屈折率が高い媒質

85°ぐらい（ほぼ直線）

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ21

各種光導波路の形状

(a)平面光導波路 (b)矩形光導波路 (c)光ファイバy

zx

平板＝slab スラブ導波路 (Slab Waveguides) 四角いコア > 短形光導波路

(rectangulal optical wavequides）もしくはコアが埋め込まれているので埋込み形

Optical fiber

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ22

光導波路の受光角

導波光③

②

③

② ①

空気＝1

コア

クラッド

クラッド

放射光①

0n

max

max

c90c

2n

1n

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ23

NAの計算（メモ）

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ24

NAの計算（メモ）

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ25

開口数(ＮＡ:Numerical aperture）

NAnn 22

21maxsin

21nNA

1

21

nnn

光源からの結合効率を示す目安

（％で書くことが多い）

（ただし が十分に小さい）

Δ：比屈折率差

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ28

伝搬角度と臨界角

2n

1nm

c

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ29

伝搬可能モードの範囲

・・・

伝搬可能なモード

(M+1)次モード

M次モード

2モードの伝搬可能範囲

1次モードの伝搬可能範囲

基本モードの伝搬可能範囲

0 1 2 3 4 … M+1 M+2

NAλa0

4

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ30

伝播可能モード

カットオフ波長等しくなる条件を＞　　　

＜＜　　　　

条件）本モード基本モードの条件（基　　　

の関係がある＜＜　　　

はド　　最大伝播可能モー

＜

:2

241

:0

241

441

22

2110

0

1

0

1

0

122

21

0

1

cnnan

NAanM

MNAanM

M

NAannnanm

となる

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ31

伝搬可能モードの波長範囲

波長

1次モード

伝搬可能なモード

基本モードの伝搬可能範囲

2モードの伝搬可能範囲

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ34

光導波路中での光パルスの伝搬

全体での出力波形

・・・

モード全体でのパルス波形

最高次モード

基本モード

1次モード

最も早く到達する

次に早く到達する

最も遅く到達する

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ35

基本モードと最高次モードの伝搬時間差

基本モード

最高次モード

M

Lcos

M

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ39

m次モードの伝播時間は以下のようになる

2

1

111

Mm

cLntm

ヒント

2

!21

!111 xxx

xx 11 を使う。

x が１より十分小さい時は

高次モードの伝播遅延時間

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ40

高次モードの伝播遅延時間

21

2

2

1

011 14

1cos

m

ancLn

mL

cntm λ

思い出してください！

より

でした 14

sin1

0 man

m λ

1sincos 22 mm

伝播可能なｍ次とは

∴

2

2

1

01 142

11 manc

Ln

ここでM＋１を最高次の臨界角とすると

2410

1

anM の関係がある

次ページのヒントを入れると

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ41

各モードの伝搬時間と出力光パルス波形

光パルスの強度

各モードの伝搬時間

012 3 4 5 6 7 8 9次モード

時間

21

111

Mm

cLntm

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ42

通信速度の制限

マルチモードのスピード制限

→到着時刻のズレ

そこでグレーデッドインデックスファイバーの発明

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ43

グレーデッドインデックス平面光導波路

屈折率

0a

a2n

1n

2n

x

z

y

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ44

グレーデッドインデックスの式

221

2 21)(axnxn

22

21 21 nn

コア部

クラッド部

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ45

屈折率が階段状に変化するときの光線の軌跡

屈折率分布

5n

4n

3n

2n

1n

x

12

34

z

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ46

スネルの法則を思い出してください

一定

すなわち

･････

332211

32211

coscoscos

)90sin()90sin(

nnn

nnn

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ47

グレーデッドインデックス光導波路における光線の軌跡

00

0

(a) の解 (b) の解gzAsin gzB cos

a

a

x2n

2n

1n 1

z

maxx

z

これはステップインデックスと同じ

22

21

1max

12sin nnn

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ48

グレーデッドインデックスが伝搬時間差を抑制することの説明

コア中心近傍では屈折率が高い分、路長は短いが伝搬時間は割増される

0

クラッド近傍では屈折率が低いので、行路長が長いにもかかわらず時間は短縮される

伝搬角度によりわずかなズレを生じる

a

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ49

曲がりによる光放射

放射される光

Ra15

10log

まわりでのロスは

で表わされる。

2a直径

ロスの意味を考えてください。

R（半径）