barisan & deret persamaan kuadrat (kelompok 14)
Post on 23-Jun-2015
2.828 Views
Preview:
TRANSCRIPT
“Barisan dan deret”&
“persamaan kuadrat”
“Barisan dan deret”&
“persamaan kuadrat”
Khairul Umam
Puspa Ristina KusumawardaniNur Laili Mustofa
>201010060311104
<
>201010060311115
<
>201010060311122
<
Jurusan Matematika & KomputasiFKIP-UMM
2010
MateriBarisan & Deret
Pola Bilangan Barisan Bilangan
Barisan AritmetikaBarisan geometri
DeretDeret AritmatikaDeret Geometri
Penerapan Pola, Barisan, dan Deret Bilangan
Persamaan Kuadrat
PengertianPenyelesaian Persamaan Kuadrat Memfaktorkan Melengkapkan kuadrat
sempurna Rumus Formula (ABC)
Pola Bilangan
Pola bilangan adalah aturan yang digunakan untuk membentuk kelompok bilangan. Ada banyak macam pola bilangan. Seperti pola berikut:
1. Bilangan asli = n 2. Bilangan genap = 2 x n 3. Bilangan ganjil = 2n-14. Bilangan persegi = n2
5. Bilangan segitiga = n(n+1) : 26. Bilangan persegi panjang = n(n+1)7. Bilangan segitiga pascal = 2(n-1)
Barisan Bilangan
Barisan Bilangan adalah urutan bilangan. Bilangan-bilangan yang menyusun barisan disebut suku. Contoh:
Barisan Aritmetika
Barisan Aritmetika adalah suatu bilangan yang suku selanjutnya diperoleh dengan menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan yang tetap kepada suku sebelumnya. Bilangan yang tetap itu disebut beda.
Maka bisa diambil kesimpulan, mencari beda pada bilangan artimatika adalah b=Un-U(n-1).
• Jika b > 0 = barisan aritmetika naik
• Jika b < 0 = barisan aritmetika turun
Menentukan Rumus Suku ke-n Suatu Barisan Aritmetika
A. Menentukan suku ke-n dengan polaUntuk menentukan suku tertentu dari suatu
barisan bilangan, diperlukan pola tertentu untuk mempermudahnya. Pola tersebut merupakan rumus aljabar yang menghubungkan barisan bilangan yang diketahui dengan barisan bilangan asli.
B. Menentukan suku ke-n dengan rumusMisalkan barisan aritmetika dengan suku
pertama a dan beda b. Suku ke-n (Un) barisan tersebut adalah:
U1 = a
U2 = a + b = a + (2-1) b
U3 = a + 2b = a + (3-1) b
Un = ……………………………a + (n-1) b
Jadi untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika digunakan rumus:
Un = a + (n-1)b
Dengan:Un = Suku ke-na = Suku pertamab = Bedan = banyak suku
Barisan Geometri
Barisan bilangan yang suku-suku berikutnya diperoleh dari hasil kali suku sebelumnya dengan bilangan tetap yang tidak sama dengan nol dinamakan barisan geometri. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembanding (rasio).
Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan geometri adalah:a, ar , ar2
, ar3, . . .arn-1
r rr rr
Dengan:Un = Suku ke-na = Suku pertamar = Rasion = banyak suku
Menentukan Rumus Suku ke-n Suatu Barisan Geometri
Misalkan barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r. Suku ke-n (Un ) barisan tersebut adalah
• U1 = a = a x r1-1
• U2 = a x r1 = a x r2-1
• U3 = a x r2 = a x r3-1
• Un = …………………a x rn-1
Jadi untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika digunakan rumus:
Un = a x rn-1
Deret Bilangan
Deret Bilangan adalah penjumlahan dari suku-suku barisan bilangan.
A. Deret AritmetikaDeret Aritmetika adalah penjumlahan suku-
suku dari barisan aritmetika . Jadi bentuk umum deret Aritmetika adalah:
a = suku awal (U1)
b = bedan = banyak suku
+ ++ ++ +
Contoh: 2 + 6 + 10 + 14 + 18
Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmetika
Kita dapat menentukan suku-suku pada deret aritmetika dengan rumus. Misalkan, jumlah n suku pertama deret tersebut dilambangkan dengan Sn maka:
Dengan:= Jumlah n suku pertama
n = Banyak suku b = Beda a = Suku pertama
Rumus tersebut didapat dari:
Sn = a + (a + b) + ... + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)
Sn = (a + (n – 1)b) + (a + (n – 2)b) + ... + (a + b) + a
2Sn = (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b) + ... + (2a + (n – 1)b)+
n faktor sama
Didapat:maka
Jadi, jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah
Karena Un = a + (n-1)b, rumus Sn dapat dituliskan sebagai berikut:
B. Deret Geometri
Jika adalah bentuk dari barisan geometri, maka penjumlahan dari bentuk barisan geometri tersebut di sebut Deret Geometri. Jadi deret geometri adalah penjumlahan dari suku-suku baris geometri. Bentuk umumnya adalah:
Dengan:a = Suku pertamar = Rasion = Banyak suku
Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmetika
Misalkan, jumlah n suku pertama deret geometri dilambangkan dengan Sn maka berlaku hubungan berikut:
Untuk r>1
Untuk r<1
Dengan:Sn = jumlah n suku pertama deret geometria = Suku pertamar = Rasion = banyak suku
Penerapan Pola, Barisan, dan Deret BilanganUntuk memahami penerapan pola, barisan dan
deret Bilangan, kita dapat perhatikan contoh berikut!
Gambar tersebut adalah persegi. Dimana titik tengah persegi ABCD membentuk persegi EFGH, titik tengah persegi EFGH membentuk persegi IJKL, dan seterusnya.Jika panjang sisi AB adalah 1 satuan, maka kita dapat menentukan panjang persegi ke-n dengan menggunakan rumus aljabar suku ke-n.
A B
CD
E
F
G
H
I J
KL
Dari gambar:
Persegi terluar
Persegi ke-2
Persegi ke-3
Persegi ke-nDari panjang-panjang persegi tersebut didapat barisan bilangan berikut:
A B
CD
F
G
H
I J
KL
Sehingga didapat suatu barisan geometri, sebab:
Pengertian
• Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2.
• Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0dengan a,b,c ∈ R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a ≠ 0 .
• Contoh : x2 − 4 = 0 , x2 − 9x = 0,x2 + 7x = 10 dan lain sebagainya.
Penyelesaian Persamaan Kuadrat
• Nilai pengganti x yang memenuhi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 disebut penyelesaian persamaan kuadrat.
• Beberapa cara untuk menyelesaikan (mencari akar-akar) persamaan kuadrat :1. Memfaktorkan 2. Melengkapkan kuadrat sempurna3. Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc)
Memfaktorkan
Sebelum akan dibahas mengenai aturan faktor nol. Aturan faktor nol menyatakan bahwa hasil kali sebarang
bilangan dengan bilangan nol adalah nol.
Misalkan 2 × 0 = 0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0. Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol maka
salah satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol. Secara simbolik dinyatakan bahwa
jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 . Kata atau pada ” a = 0 atau b = 0 ” berarti bahwa salah
satu dari a atau b sama dengan nol atau bisa jadi kedua-duanya sama dengan nol.
• Dengan menggunakan aturan faktor nol, tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini.a. 4x2 − 32x = 0
b.
d. x2 + 5x + 6 = 0
• Persamaan kuadrat 4x2 − 32x = 0 dapat diubah menjadi 4x(x − 8) = 0 dengan menggunakan aturan distributif.
• Selanjutnya dengan menggunakan aturan faktor nol akan diperoleh4x = 0 atau x − 8 = 0
• Sehingga diperoleh x = 0 atau x = 8 . • Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 4x2 − 32x = 0
adalah x = 0 atau x = 8
Penyelesaian:
Sekarang bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 ?
Untuk memahami penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, kita akan menggunakan alat peraga berikut ini.
Buatlah sebuah persegi dan persegi panjang seperti gambar 1berikut ini.
a) b) c)
1
x2
x
x x1
1
• Persegi (a) menyatakan banyaknya x2 , persegi panjang (b) menyatakan banyaknya x dan persegi (c) menyatakan konstanta.
• Oleh karena itu untuk menyatakan persamaan x2 + 5x + 6 = 0 dibutuhkan 1 bangun (a), 5 bangun (b) dan 6 bangun (c) seperti berikut ini.
• Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah persegi panjang baru seperti gambar berikut dengan ukuran luas yang sama.
x +3
x +2
• Persegi yang baru terbentuk mempunyai panjang dan lebar masing-masing (x + 2) dan (x + 3), sehingga ukuran luasnya (x + 2)(x + 3).
• Jadi persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 sama dengan persamaan (x + 2)(x + 3) = 0 .
• Dengan demikian untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut akan lebih mudah.
• Denganmenggunakan aturan faktor nol diperoleh (x + 2) = 0 atau (x + 3) = 0 .
• Jadi penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 adalah x = −2 atau x = −3.
• Jadi secara umum, jika x1 dan x2 merupakan penyelesaian suatu persamaan kuadrat maka persamaan kuadrat tersebut adalah x2 - x ( x1 + x2 )+ x1 . x2 = 0.
• Cara menyelesaikan persamaan kuadrat di atas disebut menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara menfaktorkan
Melengkapkan Kuadrat Sempurna
• Ubahlah persamaan kuadrat semula dalam bentuk (x + p)2 = q, dengan q 0
• Tentukan akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai dengan bentuk persamaan yang terakhir.
• (x + p) = , atau x = -p q q
Rumus abc (Al-khawarizmi)
• Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc.
• Rumus persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut : (cobalah melengkapi)
• ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx = - c
2
22
4a
4acb
2a
bx
Rumus abc (Al-khawarizmi)
• Jika ax2 + bx + c = 0, dengan a, b,c ∈ R, a 0
• Maka
2a
4acbbx
2
12
Buku-buku Referensi:
top related