barisan dan deret -...
Post on 25-Apr-2019
391 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Barisan dan Deret
EXPERT COURSE
#bimbelnyamahasiswa
Barisan
Definisi
Barisan bilangan didefinisikan sebagai fungsi dengan daerah asal merupakan bilangan asli.
Notasi: f: N R
n f(n ) = 𝑎𝑛Fungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Riil{an} dengan an adalah suku ke-n.
Bentuk penulisan dari barisan :
1. bentuk eksplisit suku ke-n
2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku awalnya.
3. bentuk rekursi
a n
1 an
a 1, an111,1
2,1
3,1
4, . .𝑎𝑛=
1
𝑛
Kekonvergenan Barisan
Definisi:Barisan { 𝑎𝑛} dikatakankonvergenmenujuL atauberlimitL danditulissebagai
nlim 𝑎𝑛L
Jika untuk tiap bilangan positif , ada bilangan positif N sehinggauntuk
𝑛 ≥ 𝑁 ֜ 𝑎𝑛 −𝐿 < 𝜀
Sebaliknya, barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga dinamakan divergen.
Catatan
Akan kita jumpai banyak persoalan konvergensi barisan.Kita akan menggunakan fakta berikut.
x Jika lim lim f (n) L
nf (x) L , maka
Fakta ini memudahkan karena kita dapat memakai kaidah I’ Hospital untuk soal peubah kontinu.
Sifat Limit Barisan
Sifatdari limit barisan, jikabarisan { 𝑎𝑛} konvergenke L
danbarisan { 𝑏𝑛} konvergenke M, maka
1. lim𝑛→∞
( 𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛) = lim𝑛→∞
𝑎𝑛 ± lim𝑛→∞
( 𝑏𝑛) = 𝐿 ± 𝑀
2. lim𝑛→∞
( 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) = lim𝑛→∞
𝑎𝑛 . lim𝑛→∞
( 𝑏𝑛) = 𝐿.𝑀
3. lim𝑛→∞
(𝑎𝑛
𝑏𝑛) =
lim𝑛→∞
𝑎𝑛
lim𝑛→∞
𝑏𝑛=
𝐿
𝑀, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑀 ≠ 0
Barisan { 𝑎𝑛} dikatakan
a. Monoton naik bilaan+1 ≥an
b. Monotonturunbila an+1≤an
Contoh
Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:
1.
x
artinya barisan an konvergen menuju ½.
Jawab: Ambil
2x 1f(x) , Dalam hal ini menurut kaidah
I’Hospital,
2n 1 2
n
1limn
Jadi,
𝑎𝑛 =𝑛
2𝑛 − 1
lim𝑥→∞
𝑓 𝑥 = lim𝑥→∞
𝑥
2𝑥 − 1=1
2
Contoh
2. a n
Jawab: Ambil f (x) , Dalam hal ini menurut kaidahI’Hospital,
x1
artinya barisan an konvergen menuju e.
Jadi,
= exp lim𝑥→∞
൙ln 1 +
1𝑥
1𝑥
x x
lim
1 +1
𝑛
𝑛
1 +1
𝑥
𝑥
1 +1
𝑥
𝑥
exp lim𝑥→∞
𝑥. 1 +1
𝑥
= 𝑒𝑥𝑝 lim𝑥→∞
൙−
1𝑥
2
.𝑥
𝑥 + 1
−1𝑥
2 = exp lim𝑥→∞
𝑥
𝑥 + 1= 𝑒1 = 𝑒
lim𝑛→∞
1 −1
𝑛
𝑛
= 𝑒
Latihan
1.
2. 8.
7.
Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:
11.
10.
9.
6.
5.
4.
3.
𝑎𝑛 =4𝑛2 + 1
𝑛2 − 2𝑛 + 3
𝑎𝑛 =3𝑛2 + 2
𝑛 + 1
𝑎𝑛 =𝑛
𝑛 + 1
𝑎𝑛 =(−𝜋)𝑛
4𝑛
𝑎𝑛 =ln(𝑛)
𝑛
𝑎𝑛+1 = 1 +1
2𝑎𝑛, 𝑎1 = 1
𝑎𝑛+1 =1
2(𝑎𝑛+
2
𝑎𝑛), 𝑎1 = 2
1
2,2
3,3
4,4
5, . .
−1,2
3,−
3
5,4
7,−
5
9, . .
1,1
1 −12
,1
1 −23
,1
1 −34
, . .
1
2 −12
,2
3 −13
,3
4 −14
,4
5 −15
, . .
Deret Tak Hingga
Bentukderet tak hingga dinotasikan dengan notasi sigma, sebagaiberikut:
dengan𝑎𝑛adalah sukuke-n.
𝑛=0
∞
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯
Barisan Jumlah Parsial
i0
Misalkan S menyatakan jumlah parsial ke-n suku deret n
a i , maka
S = a1 1
Barisan {Sn}, dinamakan barisan jumlah parsial deret a i
i0
Dari jumlah parsial ini di dapat bahwa Sn – Sn-1 = an.
S2 = a1 + a2
.
.
. n
i0
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an = a i
Kekonvergenan Deret Tak Hingga
i0
Deret tak hingga a i konvergen dan mempunyai
jumlah S jika barisan jumlah-jumlah parsialnya {Sn}
konvergen ke S. Sebaliknya apabila {Sn}
divergen maka deret divergen.
Deret Geometri
Bentuk umum deret geometri adalah
ar n1
n1
= a +ar +a r2 + ... + a rn-1 + ...
dengan a 0.
Jumlah parsial deret ini adalahn
Sn = ar i1 = a +ar +a r2 + ... + a rn-1
i1
dan dapat ditulis sebagai 𝑆𝑛 =𝑎(1 − 𝑟𝑛)
1 − 𝑟, 𝑟 ≠ 1
Sifat Deret Geometri
1.Jikar <1 maka barisan{𝑟𝑛} konvergen ke 0karena
lim 𝑟 𝑛= 0, maka deretnyakonvergenken
𝑎
1 − 𝑟
2. Jika r > 1 maka barisan {rn} divergen karena
lim r n = ,n
maka deretnya juga divergen
Contoh
(Selidiki kekonvergenannya)
1.
Jawab:Kalau kita perhatikan
Sehingga kita peroleh jumlah parsial ke-n-nya
2Sn = 1 – ( 1 )n
Dan
nn n 2
1lim S = lim (1 – ( )n) = 1
Jadi karena barisan jumlah-jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.
1
2+1
4+1
8+
1
16+
1
32+. .
𝑆1 =1
2= 1 −
1
2𝑆2 =
1
2+1
4=3
4= 1 − (
1
2)2
𝑆3 =1
2+1
4+1
8=7
8= 1 − (
1
2)3
Contoh (2)
i1 i(i 1)
12.
Jawab:Kalau kita perhatikan
1=
1-
1
i(i 1) i i1
(Deret Kolaps)
Jadi karena barisan jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.
Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nya
n 1
1 . . . 4 n
3 3
2 2
1 1 1 1 1 1Sn = 1
Dan
n 1
1 =1
nn
n
n 1
1lim S = lim 1 = 1
Contoh (3)
3.
Jawab:Dari sini kita dapatkan
i1 i
1
2 3 4 5 6 7 8Sn = 1 + 1
1
1
1
1
1
1 . . .
1
n
(Deret Harmonik)
Sehingga akan kita dapatkan limit untuk Sn untuk n menuju tak hingga harganya adalah tak hingga juga. Jadi deret harmonik di atas adalah deret divergen.
Sn = 1 +1 1 . . .
1
n
n
1 1 1 1 1
2 3 4 5 6 7 81 1
1 + 1
8 8 8
1 . . .
11 1 1
2 4 4 8
2 2 2 2 n= 1 + 1
1
1
1 . . .
1
Uji kedivergenan dengan suku ke-n.
n0
Apabilaa n
nKonvergen maka lim a n = 0, ekivalen
nlim an
0 maka deret divergen.
Contoh: Buktikan bahwa
2 3n 4n1 3n
n2
divergen.
Bukti
Jadi terbukti bahwa divergen.
2 3n 4n1 3n
n2
lim𝑛→∞
𝑛2
3𝑛2 + 3𝑛 + 4= lim
𝑛→∞
1
3 +3𝑛 +
4𝑛2
=1
3(𝑇𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑁𝑜𝑙)
Masalah Baru
Dalam banyak kasus bahwa lim a n = 0, tetapi dari sinin
kita sangat sulit menentukan apakah deret tersebutkonvergen atau divergen.
Sebagai contoh deret harmonik,
1 1 1 1 1 1 1 1
n1
n
1
n2 3 4 5 6 7 8=1 + . . . + . . .
Jelas bahwa lim a n = 0, tetapi deret harmonik adalahn
deret yang divergen.
Oleh karena itu perlu dilakukan uji-uji untuk deret positif.
Uji Deret Positif
1. Tes Integral
Misalkan fungsi f kontinu monoton turun dan f(x) > 0pada selang [1,)
a. Jika integral tak wajar konvergen, maka deret
konvergen.
b. Jika integral tak wajar
divergen.
divergen, maka deret
න1
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑛=1
∞
𝑓(𝑛)
𝑛=1
∞
𝑓(𝑛)
න1
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Contoh
1. Selidiki kekonvergenan dari2
n en
x2
Jawab. Kita ambil f (x) xe
n1
, sehingga
Jadi karena x e1
x2
dx konvergen, maka n1
2
n en
juga konvergen.
න1
∞
𝑥𝑒−𝑥2𝑑𝑥 = lim
𝑏→∞න1
𝑏
𝑥𝑒−𝑥2𝑑𝑥 =
1
2lim𝑏→∞
න1
𝑏
𝑒−𝑥2𝑑(𝑥2)
= −1
2lim𝑏→∞
𝑒−𝑥2|1𝑏 = −
1
2lim𝑏→∞
1
𝑒𝑏2− 𝑒1
=1
2𝑒
Contoh
2. Selidiki kekonvergenan dari
n2 n ln n
, sehingga
1
x ln x
1Jawab. Kita ambil f (x)
bdx dx
lim lim d (lnx)
Jadi karena
juga divergen.
b2 x ln x 2 x ln x ln xb 2
lim lnlnb lnln 2 b
2 x ln x
dxdivergen, maka
n2 n ln n
1
Latihan
1
n1 2n 1
4. 1
Selidiki kekonvergenan deret berikut:
n3
2 2n 1. 1
2n2 n ln n
3n1 4 3n2
1
2. 5.
3.
𝑛=1
∞1
4𝑛2 + 1
Uji Deret Positif
2. Uji Deret -p
Deret-p atau deret hiperharmonik mempunyai bentuk umum
1
i1pi
Dengan menggunakan tes integral, kita dapatkan
Kalau kita perhatikan, untuk
1. p = 1 diperoleh deret harmonik, sehingga untuk p = 1 deret divergen.
t0, sehingga diperoleh deret2. p > 1 maka lim t1p =
yang konvergen.
lim𝑡→∞
1∞ 1
𝑥𝑝dx= lim
𝑡→∞
𝑥1−𝑝
1−𝑝 1
𝑡
= lim𝑡→∞
𝑡1−𝑝−1
1−𝑝
Uji Deret Positif
t3. p < 1 maka lim t1p =∞, sehingga diperoleh deret yang
divergen.
4. p < 0, suku ke-n deret
n
Pii1
1tidak menuju 0.
1, yaitu,
nP
Jadi deret divergen menurut Uji Suku ke-n
Sehingga dapat kita simpulkan untuk uji deret-p, yaitu:
1. Deret-p konvergen apabila p > 12. Deret-p divergen apabila 0 p 1
Contoh
Apakah deret berikut konvergen atau divergen?
1.
1,001
1
n 1 n
Berdasarkan uji deret-p, deret
1,001
1
n 1 n konvergen
karena p=1,001 > 1
divergen
karena p= ½ < 1
2.
21
1
n 1n
Berdasarkan uji deret-p, deret
21
1
n 1 n
Uji Deret Positif
3. Tes Perbandingan dengan deret lain
Andaikan a n
n1`
konvergen, makan1`
1. Jika b n
dan b n deret positif, jika an bn makan1`
n1`
a n konvergen
n1`
n1`
2. Jika a n divergen, maka b n divergen
Contoh
Selidiki Kekonvergenan deret berikut:
1.
2 5n3 n
n
Jawab:Akan kita bandingkan deret ini denganan =
n n
1dan b =
n
n 2 5,
kita tahu bahwa
1adalah deret harmonik dan
n1n
n
n 2 5 n 1 , Sehingga karena
n1n
1
2 5n2 n
n
deret divergen, maka
deret yang divergen.
Contoh
Jawab:
nAkan kita bandingkan deret ini dengan b = dan an=
adalah deret hiperharmonik dengan
2.
2 5n1 n
1
1
n 2 52n
1
kita tahu bahwa
1
deret yang konvergen.konvergen, maka
2 5n1 n
1
n2
1 1 , Sehingga karena
n 2 5
2n1 n
p = 2 >1 dan
2n1 n
1
deret
Latihan
Selidiki kekonvergenan deret berikut
2 5n1 n
n
1
2n3 n 2
1
12.
4.1.
2 5n3 n
n 1n1 2
1
5.n1 2n 1
3.
4. Tes Banding limit
n
anAndaikan an dan bn deret positif dan lim
n b
Uji Deret Positif
= L
danbn
n1`
sama-sama
1. Jika 0 < L < maka a n
n1`
konvergen atau divergen
2. Jika L = 0 dan bn
n1`
konvergen maka a n konvergen.n1`
Contoh
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :
n1 5n 2 7n31.
2n 3
sehingga
n
lim an
n b
n1 5n 2 7n3
2n 3konvergen.
= 2
Jadi karena L=2 dan
2
1
n 1n
Jawab:
Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan
deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn=1
n2
3 2
1n2
n 5n 72n 3
limn 3 2
3 22n 3n
n 5n 7 lim
n
konvergen, maka deret
Contoh
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :
n1 n 2 42.
1
sehingga
lim an
n bn
divergen.
= 1
divergen, maka deret
n1 n 2 4
1
Jawab:
Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan
deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn=1
n
1n
12
lim n 4n
2n
n 2 4limn= =
Jadi karena L=1 dan 1
n 1 n
Latihan
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:
n1
2
n
n1
3
3n 1
n 2n 3
12n
n 4
ln n
2.
4.
5.
1.
n 1n1 n
n1 n2
2n 3
n1
3.
Uji Deret Positif
k ak
lim ak1
5. Tes Hasil Bagi
Diketahuiak merupakan suatu deret dengan
k1
suku-suku yang positif, misalkan
k1
1. Jika < 1 maka deret ak konvergen
2.Jika > 1 maka deret a k divergenk1
3.Jika = 1 maka uji deret ini tidak dapat
dilakukan.
Contoh
Selidiki kekonvergenan deret berikut:
1. 3
n1
n
n!
Misalkan suku ke-n adalah an =n!
3n
, maka suku ke-n+1
Jawab:
adalah an+1=3n1
n 1!sehingga
Karena nilai limit r=0 (< 1), maka deret
3
n1
n
n!konvergen
3 lim 0 lim
3 n!n1
n 3n n 1! n n 1n !
n 1!3n1
limn
na
a
3nlim n 1
n
Contoh
2.
2
3n
n1 n
nMisalkan suku ke-n adalah a =2n
3n
, maka suku ke-n+13n1
Jawab:
adalah an+1=
n 12sehingga
Karena nilai limit r=3 (> 1), maka deret
2
3n
n1 ndivergen
3 lim
n 123n2
n2n 1n
3n1n2
limn
2
3 3n2
n 13n1
limnan
an
lim n 1
n
Latihan
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:
n1
n!
2n!
5 n
n!
n3
2.
4.
5.
1.
n1
nn
nn
2n!n4 n
n !
n1
n1
3. n1
Uji Deret Positif
6. Tes Akar
Diketahui ak merupakan suatu deret dengank1
suku-suku yang positif, misalkanklimk ak a
k1
1. Jika a konvergen
divergen2. Jika a
< 1 maka deret ak
> 1 maka deret a k
k1
3. Jika a = 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.
Contoh
Selidiki kekonvergenan deret
Jawab:
Misalkan suku ke-n adalah , maka nilai
limitnya adalah
Karena nilai limit r = 2 (> 1), maka deret
n1 n 1
n
2n 2
divergen
1.
𝑛=1
∞2𝑛 + 2
𝑛 − 1
𝑛
𝑎𝑛 =2𝑛 + 2
𝑛 − 1
𝑛
lim𝑛→∞
𝑛 𝑎𝑛 = lim𝑛→∞
2𝑛 + 2
𝑛 − 1= 2
Contoh
2.
n
n1 2n1
n 2
Jawab: n
Misalkan suku ke-n adalah an = 2n 1
n 2 , maka nilai
limitnya adalah
n 2n 1 2lim n a lim
n 2
1n
n
Karena nilai limit r = ½ (< 1), maka deretn1 n 1
n
2n 2
konvergen
Latihan
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:
1
n
n1 ln n
n
3n 2
nn
n1 2
n
1 1 n
2. 4.
3. 1.
n1 2n 1n1 3n 2
Deret Ganti Tanda dan Kekonvergenan Mutlak
an a1 a 2 a3 a 4 ...1
Deret Ganti Tanda
Deret ini mempunyai bentuk sebagai berikut n1
n1
dengan an > 0, untuk semua n.
Contoh penting adalah deret harmonik berganti tanda, yaitu
n 2 3 4
n 1 1 n 1 1
1 1
1
1 ...
an a1 a 2 a3 a 4 ...1
Deret Ganti Tanda
Deret ini mempunyai bentuk sebagai berikut
n1
n1
dengan an > 0, untuk semua n.
Contoh penting adalah deret harmonik berganti tanda, yaitu
n 2 3 4
n 1
1 n 1 1 1
1
1
1 ...
Deret Ganti Tanda dan Kekonvergenan Mutlak
Uji Deret Ganti Tanda
Andaikan deret ganti tanda, deret tersebut dikatakan konvergen jika
1. an+1< an
2. lim an 0n
Contoh
Tentukan kekonvergenan deret ganti tanda berikut
1. 1 1
1
1 ...
2 3 4
2. 11
1
1 ...
2! 3! 4!
Contoh
1. Jawab (uji ganti tanda)11
Dari soal diatas kita punya an= n , dan an+1 =
tersebut konvergen jika
, deretn 1
a.1
1
n n n
n 11
11
an1
an
n a >an+1
n1
b. lima lim 1 0
n nn
n
Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.
Contoh
2. Jawab (uji ganti tanda)1 1
tersebut konvergen jika
Dari soal diatas kita punya an= n!, dan an+1 =n1!, deret
1
1
1 n 1n!a.
an1
an an >an+1
n1!
b. lima lim1 0
n n!n
n
Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.
Latihan
1
n1
n1 2
3n1
Selidiki kekonvergenan dari deret ganti tanda berikut:
31
n1n
n n
2
n n3 11n
n(n1)
4.
5.
1.
2.1n1
1
n n
nn1 n
n !
n1
3. n1
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat
n1
bn
n1
dikatakan konvergen mutlak jika bn konvergen.
n1
divergen,Dan dikatakan konvergen bersyarat jika bn
Suatu deret dikatakan konvergen mutlak bila harga
mutlak deret tersebut konvergen. Atau dengan kata lain
konvergen.
tetapi bn
n1
Pengujian Kekonvergenan Mutlak
Misalkan an
n1
dengan an 0danna
alim n1
n= r. Maka
1. bila r < 1 maka deret konvergen mutlak2. bila r > 1 maka deret divergen3. bila r = 1 maka tes gagal.Bisa digunakan uji deret positif lainnya
Contoh
Selidiki deret berikut konvergen bersyarat, konvergen mutlak atau divergen
1. 1n
n1 2
n!n1
Jawab:
Dari soal diatas kita punya a = 2n
n11 , dan a2n1
=1n2
2
2n!
a
nann1
n1n2
nn1
n1!1r lim n1 lim
2 n1!n
2n1 n! lim
n
2 lim
n n 1
n n! n+1 n1!
Menurut uji hasilbagi mutlak, deret ini konvergen mutlak
sehingga
0
Contoh
2. 1n1 1
nn1
Jawab:
Dengan uji deret ganti tanda deret
1n1
n1 1
n
1
konvergen
1n1 1
n
adalah deret divergen
n1 n1 n
Jadi deret n1
(karena merupakan deret-p dengan p= ½ < 1)
adalah konvergen bersyarat.
(buktikan!!), sedangkan an
Latihan
5 n1
n n 11
n1
n
nn11.1
n
4.
Selidiki apakah deret tersebut konvergen mutlak, konvergen bersyarat atau divergen:
2
(4)
n1
n
n
(1)n
n1 3n 2
(1)
n1
n1
n ln n
(1)n1
n1n1 n
2.
3.
5.
6.
Deret Pangkat
Deret pangkat secara umum ada dua bentuk
1. Deret pangkat dalam x didefinisikan
n0
nan x = a0 + a1 x + a2 x2 + . . .
2. Deret pangkat dalam (x – b) didefinisikan
n0
na x bn= a0 + a1 (x-b) + a2 (x-b)2 + . . .
Untuk kali ini kita bicara selang kekonvergenan / untuk harga x berapa saja deret pangkat tersebut konvergen.
Selang Kekonvergenan
Selang kekonvergenan ditentukan dengan uji hasilbagi mutlak sebagai berikut:
Misalkan n0
an x bndan n
na (x b)
n1an 1(x b)L lim
n
1. Jika L < 1, maka deret konvergen.2. Jika L = 1, tidak dapat diambil kesimpulan gunakan
uji deret sebelumnya.
Soal
Tentukan selang kekonvergenan deret
nn0 (n 1)2
x n
x n
1.
2.n0
(n 1)!
(n 1)!xn
n0
3.
Jawab
1. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.
:L limxn1 xn
n 2n 1(n 2) (n 1)2n
x
2 lim
x (n 1)
n 2 (n 2)
Jadi deret tersebut konvergen mutlak apabila L< 1, yaitu–2 < x < 2
Kemudian akan kita cek untuk titik ujung intervalnya yaitu x = 2 atau x = -2 . Pada x = 2
1
2 n1 n1n
2n
n 1 n 1
deret ini adalah deret harmonik yang divergen.
Jawab
Pada x = –2
n1
1n
n1
n
2n
n 1n 12
deret ini adalah deret harmonik berganti tanda yang konvergen.
Sehingga selang kekonvergenannya adalah –2 x < 2
Jawab(2)
2. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.
xn1 xn
0L limn 2!
:n 1!
limn 2
x
n n
Karena L = 0 < 1, maka deret selalu konvergen untuk semua nilai x.
Jadi selang kekonvergenannya adalah (-,)
Jawab(3)
3. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.
n 2!xn1
n 1!xnL lim
n limn 2x
n0, jika x 0, jika x 0
Jadi deret tersebut konvergen hanya untuk x = 0.
Teorema 1
Himpunan kekonvergenan deret pangkat
an x nberbentuk
n0
selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut:
1. satu titik x = 02. selang (-c, c), mungkin ditambah salah satu atau
keduanya titik ujungnya.3. seluruh himpunan bilangan riil
Teorema 2
n0
berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut :
1. satu titik x = b
2. selang (b-c, c+b), mungkin ditambah salah satu atau keduanya titik ujungnya.
3. seluruh himpunan bilangan riil
Himpunan kekonvergenan deret pangkat
an (x b)n
Latihan
Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat berikut:
2n0 n1
(x 1)n
...x 24 ln4x 23 ln3x 22 ln2x 2
1.
2.
4.813.272.93
2! 3!
2 3
...x 2 x 2
x 23.
Operasi deret pangkat
1 x 1 deretDalam pasal sebelumnya untuk
a
1 xaxn
n1
Pertanyaan yang muncul mengenai sifat-sifat deret kuasa di
atas (misal S(x)= axn ) misalkan bagaimana jika S(x)n1
didiferensialkan dan jika S(x) diintegralkan.
Teorema
Andaikan S(x) adalah jumlah sebuah deret pangkat pada sebuah selang I; jadi
S(x)= nan x = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x
3+ . . .n0
n
Da x 2 3n0
n
n1an n x
x
0S(t) dt 0
n0
xnant
xn1
n0 n 1
1
2
1
3
1
Maka
1. S’(x) =
=
= an
n1
dt = a0x +
a1 x2 + 3a2 x +
44a3 x + . . .2.
= D[a0 + a1 x + a2 x + a3 x + . . .]
= a1 + 2a2 x + 3a3 x2+ . . .
=
Contoh
Sesuai teorema di atas
1
1 x= 1 + x + x2 + x3 + . . . untuk -1< x <1, tentukan
1
1 x2a. b. ln(1 – x)
Jawab:
a.1
1 x2
Dengan menurunkan suku demi suku, kita peroleh
2
1 1D
x 1 x
1 x2 3
, -1< x <1
= 1 + 2x + 3x + 4 x + . . .
n xn1
n1
Contoh
a. ln (1 – x)
Sedangkan dengan mengintegralkan suku demi suku, kita peroleh juga
x x
2 3 t ...dt1
ln(1 x) 1 tdt 1 t t
0 0
0
x 1
x2 1
x3 1
x4 ...2 3 4
t 1
t 2 1
t 3 1
t 4 ...2 3 4
x
nx , -1< x <1
n1 n
1
Latihan
1
1 x
1 x1
1 x2
1. f (x)
6. f (x) ln2. f (x)
5. f(x)=tan-1(x)
Tentukan (Petunjuk : Lihat contoh a dan b di atas)
x
1 x
1f (x) x 2
2
3.
1 x
1
2 3xf (x) 7.
1 x
1
1 x2f (x) 4.
Deret Taylor dan Deret Maclurin
Deret Taylor
Definisi: Misalkan f(x) dapat diturunkan sampai n kali pada x=b. Maka f(x) dapat diperderetkan menjadi deret kuasa dalam bentuk
n(n) ( )
x b = f(b) + f ’(b)(x-b)+ + . . .
2f ''(b) (xb)
2!
f "(0) x2
n0
f b
n!
f(x) =
deret di atas disebut Deret Taylor dengan pusat x = b.
Bila b = 0, kita peroleh Deret Mac Laurin, yaitu
n0
n(n)
xf (0)
n!f(x) = = f(0) + f ’(0)(x)+ + . . .
2!
Contoh
Perderetkan fungsi berikut dengan deret maclaurin:
1. f(x)= sin x
Jawab:
f(x) = sin x
f ’(x) = cos x
f ’’(x) = - sin x
f ’’’(x) = - cos x
f lV (x) = sin x
f(0) = 0
f’(0) = 1
f’’(0) = 0
f’’’(0) = -1
f lV(0) = 0
Sehingga,
3! 5! 7!
73 5
f (x) sin x xx
x
x . . . 1
n0
2n1n x
2n1!
Contoh
2. f(x)= ex
Jawab:
f(x) = ex
f ’(x) = ex
f ’’(x) = ex
f ’’’(x) = ex
f lV (x) = ex
f(0) = 1
f’(0) = 1
f’’(0) = 1
f’’’(0) = 1
f lV(0) = 1
432
. . .x x x
2! 3! 4!
Sehingga,
f (x) ex 1 x
n0
nx
n!
Contoh
dengan deret taylor dengan pusat3. Perderetkan f(x)= ex
di x=1
Jawab:
f(x) = ex
f ’(x) = ex
f ’’(x) = ex
f ’’’(x) = ex
f lV (x) = ex
f(1) = e
f’(1) = e
f’’(1) = e
f’’’(1) = e
f lV(1) = e
2! 3! e
x 12 x 13Sehingga,
f (x) ex e e(x 1) en!
x 1n
. . . en0
Latihan
1. Perderetkan dengan f(x) berikut deret maclaurin
a. f(x) = cos x
b. f(x) = cos x2
c. f(x) = cos2 x
e. f(x) = sin2 x
f. f(x) = sec x
g. f(x) = tan x
d. f(x) = ex + sinx h. f(x) = sec x
2. Perderetkan dengan f(x) berikut deret taylor dengan pusat x = a
a. f(x) = cos x, a = /3 a. f(x) = ex, a = 2
b. f(x) = sin x, a = /3
top related