bab i kinematika fis revisi
Post on 25-Jun-2015
305 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Ruang Kuliah
Pendahuluan
Mekanika adalah salah satu cabang ilmu fisika yang mempelajari tentang
gerak benda. Persoalan-persoalan mekanika diantaranya mencakup tentang
perhitungan lintasan peluru dan gerak pesawat ruang angkasa yang dikirim
keluar bumi. Jika kita hanya menggambarkan gerak suatu benda, maka kita
membatasi dari pada cabang mekanika yang disebut kinematika. Sedangkan kita
ingin menghubungkan gerak suatu benda terhadap gaya-gaya penyebabnya dan
juga sifat/karakteristik benda yang bergerak tersebut, maka kita menghadapi
permasalahan dinamika. Jadi kinematika zarrah artinya penggambaran gerak
suatu zarrah.
Melakukan Pengamatan
1. Ukur lebar suatu ruangan. Buat garis lurus pada lebar ruangan yang Anda telah ukur.
2. Mintalah salah seorang teman Anda berjalan dari suatu tepi ruangan (A) ke tengah ruangan (B), kemudian terus ke tepi yang lain (C) dan kembali ke tengah ruangan (B) seperti gambar dibawah ini.
A B C
3. Catat waktu yang dibutuhkan teman Anda untuk berjalan dari A ke B, dari B ke C, dan dari C kemabali ke B.
4. Ulangi kegiatan 2 dan 3 dengan meminta teman yang lain sebanyak 2 orang.
5. Diskusikan dalam kelompok Anda tentang posisi, jarak dan perpindahan. Berapakah jarak yang ditempuh dan perpindahan ketiga teman Anda ? Tentukan kelajuan rata-rata dan kecepatan rata-rata perjalanan teman Anda.
Kinematika 1
6. Gambar grafik posisi terhadap waktu dari perjalanan ketiga teman Anda.
7. Dari grafik yang anda buat, deskripsikan gerak dari ketiga teman Anda.
Di dalam Jurnal Sains Anda, Jelaskan Posisi, jarak, perpindahan, kelajuan rata-rata, dan kecepatan rata-rata.
1.1. Besaran dan Satuan
Besaran fisika dapat dibagi menjadi tiga bagian, yaitu besaran pokok,
besaran turunan dan besaran tambahan.
Besaran pokok adalah suatu besaran yang satuannya ditetapkan secara
standar baku. Besaran pokok dalam satuan internasional (SI), yaitu: panjang,
massa, waktu, suhu, kuat arus, jumlah zat dan intensitas cahaya.
Besaran turunan adalah besaran yang dapat dijabarkan dari besaran-
besaran pokok. Misalnya dengan mengali atau membagi besaran-besaran pokok.
Contoh:
Luas = panjang × lebar
Muatan = kuat arus × waktu
Besaran Tambahan adalah besaran yang tidak dijabarkan dari besaran-besaran
pokok. Besaran ini hanya ada dua yaitu: besaran sudut datar dan sudut ruang.
1.2 Vektor
Jika ditinjau dari sifat atau penciriannya maka besaran-besaran fisika dapat
dibagi atas dua jenis yaitu : besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar
ialah besaran yang hanya dan cukup dicirikan oleh besar atau harganya saja
disertai dengan satuan yang sesuai, misalnya: besaran panjang, massa, waktu dan
lain-lain. Sedangkan besaran vektor ialah besaran yang penciriannya secara
Kinematika 2
lengkap dengan besar (harga) dan arahnya, misalnya : vektor posisi, kecepatan,
perpindahan, gaya dan lain-lain.
1.2.1 Gambar dan Lambang sebuah vektor
Sebuah vektor digambarkan sebagai sebuah anak
panah. Arah anak panah menunjukkan arah
vektor, dan panjang anak panah menyatakan
besarnya vektor ekor anak panah P dinamakan
titik tangkap dan ujung Q dinamakan titik
terminal.
Dalam tulisan, besaran vektor dilambangkan dengan huruf tebal (dicetak
tebal) atau huruf tipis biasa bertanda panah di atasnya, misalnya vektor A ditulis A
atau . Lambang ini ditempatkan di tengah-tengah gambar vektor.
Jika menggunakan dua huruf misalnya
vektor PQ maka lambangnya ditulis dan
gambarnya seperti disamping. Besar atau
harga sebuah vektor ditulis atau A (tanpa
anak panah), misalnya vektor kecepatan
yang
besarnya 50 ms-1 ditulis V = 50 ms-1.
Untuk memisahkan antara besar dan arah vektor, secara umum ditulis
dimana adalah besarnya vektor adalah vektor satuan pada
arah .
Vektor satuan adalah vektor yang nilainya = 1 dengan arah tertentu.
1.2.2 Penjumlahan Vektor
Jika dan adalah dua vektor sebarang, maka jumlah kedua vektor
tersebut + adalah sebuah vektor yang ditentukan secara geometris sebagai
berikut :
a) Impitkan titik tangkap kedua vektor secara pergeseran sejajar.
Kinematika 3
Q
P
Gambar (1-1)
Q
P
A
Gambar (1-2)
b) Gambarkan vektor yang setara yang titik tangkapnya pada titik terminal .
c) Panah dari titik tangkap ke titik terminal adalah vektor jumlah.
(1-1)
Vektor jumlah yang sama dapat pula diperoleh dengan
menggambarkan vektor setara yang titik tangkapnya pada titik terminal .
(1-1)
Vektor jumlah ini biasanya disebut vektor resultan
Dari kedua cara penjumlahan vektor resultan ini, dapat disimpulkan bahwa
penjumlahan vektor bersifat komutatif artinya . Cara penentuan
vektor resultan ini disebut metode jajaran genjang.
Dengan metode jajaran genjang, vektor resultan dari jumlah beberapa vektor
digambarkan oleh anak panah yang bertitik lengkap pada titik tangkap. Vektor
pertama dan titik terminalnya pada titik terminal vektor terakhir.
Kinematika 4
Gambar (1-3)
B
B
A
AR
B
R
A
A
B
Gambar (1-4)
DC
B
A
R
A B
C
D
Gambar (1-5a) Gambar (1-5b)
Karena gambar akhir yang diperoleh berbentuk sebuah poligon, maka metode ini
disebut metode poligon.
1.2.3 Selisih vektor
Jika dan adalah dua buah vektor sebarang, maka selisih antara
keduanya adalah :
(1-2)
Untuk mendapatkan vektor selisih dilakukan langkah-langkah sebagai
berikut :
a) Gambarkan vektor , yaitu suatu yang besarnya sama dengan , tetapi
arahnya berlawanan.
b) Jumlahkan dan dengan menggunakan metode jajaran genjang
Cara lain untuk mendapatkan vektor selisih adalah sebagai berikut :
a) Impitkan titik tangkap dan dengan cara bergeseran sejajar.
Kinematika 5
B
A
A
B
Gambar (1-6a) Gambar (1-6b)
B
B
A
B
B
A
b) Anak panah yang titik tangkapnya pada terminal dan titik terminal
adalah vektor selisih
1.2.4 Menentukan Besar dan Arah Vektor Resultan dari dua Vektor
Besar vektor resultan dari dua vektor dapat ditentukan dengan
menggunakan aturan cosinus, yaitu :
R2 = A2 + B2 – 2AB cos (180 - )
Karena cos (180 – ) = -cos maka :
R2 = A2 + B2 – 2AB cos
jadi
(1-3)
Arah vektor resultan dinyatakan oleh sudut , yaitu arah terhadap salah
satu vektor penyusunnya. Besar sudut dapat ditentukan dengan menggunakan
aturan sinus, yaitu :
karena sin (180 - ) = sin , maka
, jadi sin (1-4)
Dengan demikian maka sudut (arah terhadap ) dapat ditentukan.
Contoh soal
1. Dua buah vektor mempunyai titik tangkap yang berimpit. Besar masing-
masing vektor adalah 6 dan 8 satuan. Hitung besar dan arah vektor resultan
dari kedua vektor itu juga. Sudut apitnya a. 300, b. 600, c. 900, d. 00 dan e. 1800.
Solusi
a) = 300, satuan satuan
Kinematika 6
R
B
180 -
Gambar (1-7)
Arah vektor resultan
jadi = 17,170.
dengan cara yang sama maka diperoleh
b) = 300 maka = 34,750, c) = 900 maka = 53,130, d) = 00 maka =
00 dan
e) = 1800 maka = 1800.
2. Vektor A dan B membentuk sudut 600. Jika = 3 satuan dan = 4
satuan. Tentukan besarnya vektor resultan ! a) dan b)
Solusi
a)
b)
1.2.5 Penjumlahan Vektor dengan cara Analitik
Penjumlahan vektor dengan cara geometri hanya dapat menjumlahkan dua
vektor tiap kali operasi. Cara ini tentu kurang menguntungkan apabila beberapa
vektor yang harus dijumlahkan, karena setiap kali harus menentukan sudut .
Penjumlahan beberapa vektor dapat dikerjakan dengan cara analitis yang
mencakup banyak vektor sekaligus. Cara ini melibatkan uraian vektor ke dalam
komponen-komponen menurut suatu sistem koordinat tertentu. Sistem koordinat
yang sering digunakan adalah sistem koordinat kartesian atau siku-siku.
adalah vektor komponen pada sumbu
x
adalah vektor komponen pada sumbu
y
Kinematika 7
A
yAj
xAiO x
y
Gambar (1-8)
Arahnya
Langkah-langkah penjumlahan vektor dengan metode analitis
1. Uraikan setiap vektor atas komponen-komponennya pada sumbu-x dan
sumbu-y.
2. Hitung besarnya komponen-komponen dengan persamaan Ax = A cos dan
Ay = A sin .
3. Jumlahkan komponen-komponen pada masing-masing sumbu dengan
persamaan
4. Hitung besar dan arah vektor resultan dengan persamaan
(1-5)
1.2.6 Perkalian Vektor
Kinematika 8
Contoh soal
Pada gambar 1-9, = 6 N, = 10 N dan = 4 N
1 = 00, 2 = 450 dan 3 = 600. Tentukan besar dan
arah vektor resultan !
Solusi
Gaya Komponen sumbu x Komponen sumbu y
1 = 00
2 = 450
3 = 600
1F
2F
3F
y
2
3
Gambar (1-9)
Pada perkalian skalar, dua skalar yang tidak sejenis dapar diperkalikan,
misalnya laju dan waktu. Demikian pula pada perkalian dua vektor yang tidak
sejenis dapat diperkalikan untuk menghasilkan besaran fisika baru. Oleh karena
vektor mempunyai besar dan arah maka perkalian vektor tidak dapat mengikuti
aturan-aturan perkalian skalar.
Ada tiga macam operasi perkalian vektor :
1. Perkalian sebuah skalar dengan sebuah vektor. Hasil kali sebuah skalar (k)
dengan sebuah vektor adalah sebuah vektor yang besarnya ka, dan
arahnya sama dengan arah , jika k positif dan berlawanan arah jika k
negatif.
2. Perkalian dua vektor yang menghasilkan sebuah skalar. Hasil kali skalar
dari dua vektor dan dinyatakan dengan adalah
(1-6)
A.B = besar dan , = sudut terkecil antara dan . Karena
bilangan murni maka AB cos adalah skalar. Dengan
memperhatikan gambar 1-11
Kinematika 9
A
2A
2A
Gambar 1-10
cosABBA
cosBABA
cosB
cosA B
B
A
A
a
Gambar 1-11a Gambar 1-11b
dapat dikatakan bahwa, hasil kali skalar dari dua vektor adalah hasil kali besar
sebuah vektor, dengan komponen vektor yang lain pada arah vektor yang
pertama.
Hasil kali skalar ini disebut hasil kali dot dari dan dan dibaca “ dot ”.
Perkalian vektor ini sering juga disebut “perkalian titik vektor”.
Misalnya dalam fisika mengenai konsep usaha .
3. Perkalian dua vektor yang menghasilkan sebuah vektor. Hasil kali vektor
dari dua vektor, dan , dinyatakan dengan adalah sebuah vektor
(1-7)
Besar adalah C = AB sin , A dan B = besar masing-masing dan ,
= sudut terkecil antara dan . tegak lurus pada bidang yang dibentuk
oleh dan , yang arahnya sama dengan arah maju sekrup alur kanan, bila
diputar ke .
Perhatikan bahwa, x tidak sama dengan x
- Besar hasil kali x sama dengan besar hasil kali x
- Arah hasil kali ke berlawanan arah hasil kali x
Jadi x = -( x ) (1-8)
Hasil kali vektor ini disebut hasil kali kros dari dan dan dibaca “
kros ”. Perkalian vektor ini sering disebut “perkalian silang vektor”.
Kinematika 10
BAC
ABC
A
A
B
B
Gambar 1-12a Gambar 1-12b
Contoh soal
Perhatikan (gambar 1-13) A = 7,4 satuan B = 5,0 satuan. Tentukanlah
a) Hasil kali skalar b) Hasil kali vektor
1.2.7 Operasi Penjumlahan, Silisih dan Perkalian Vektor Secara Analitis
a. Penjumlahan
Jika dan
(1-8)
b. Selisih
(1-9)
Kinematika 11
Karena tegak lurus maka :
Hasil ini sesuai dengan gambar bahwa
tidak mempunyai komponen pada arah
dan tidak mempunyai komponen pada
arah .
Besar hasil kali vektor adalah
C = AB sin = (7,4)(5,0)(sin 900) = 37
Arah lihat pada gambar.
C
BA
Gambar 1-13
Contoh soal
Jika , maka tentukanlah :
a) Besar tiap vektor
b) dan besarnya
c) dan besarnya
Solusi
a) Besar tiap vektor
b) Jumlah vektor
c. Perkalian
1. Perkalian dengan sebuah skalar (b)
(1-10)
2. Hasil kali skalar (perkalian titik)
(1-11)
Sudut dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan
3. Hasil kali vektor (perkalian silang)
(1-13)
Untuk memudahkan mengingat rumus ini, digunakan determinan sebagai
berikut
Kinematika 12
Contoh soal
Diketahui
Tentukanlah
a) Vektor d)
b) e)
c) Sudut antara
Penyelesaian
a)
b)
c)
d)
e)
e)
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Sebutkan 2 ciri pokok dari fisika !
2. Jelaskan metode dalam bidang fisika
3. Masuk daerah apakah pembahasan berikut ini
a) Pembahasan mengenai kapal terbang yang kecepatannya dua kali
kecepatan bunyi.
b) Pembahasan mengenai energi transisi.
Kinematika 13
c) Pembahasan mengenai energi potensial air terjun.
4. Berikan masing-masing contoh pembahasan yang termasuk daerah fisika dan
daerah fisika modern !
5. Selidikilah dengan analisis dimensi apakah persamaan-persamaan berikut ini ?
a)
b)
c) v = t
d) p = g h
6. Selidikilah dengan analisis dimensi apakah besaran-besaran berikut sama
(setara).
a) Usaha dan energi potensial
b) Momentum dan impuls
c) Gaya dan tekanan
7. Tentukan dimensi dan satuan dari besaran-besaran
a) Kalor jenis
b) Daya
c) Debit
d) Konstanta gravitasi
8. Sebuah pesawat udara terbang sejauh 200 km pada lintasan lurus. Arah
U22,50T. Berapa jauh ke utara dan berapa jauh ke timur. Pesawat itu dari
tempat berangkat ?
9. Sebuah mobil berjalan ke timur pada jalan yang datar sejauh 300 m. Pada
simpang empat mobil membelok ke utara dan berjalan sejauh 400 m kemudian
berhenti. Dapatkan resultan perpindahan mobil itu.
10. Tiga vektor terletak pada satu bidang datar dinyatakan dalam sistem koordinat
siku-siku dengan
a) Dapatkan vektor r yang merupakan jumlah ketiga vektor itu
Kinematika 14
b) Tentukan sudut antara dan
c) Tentukan besar dan arah vektor r
d) Gambar ketiga vektor dan resultannya (pakai kertas grafik)
11. Dua vektor dan
a)
b) Tentukan sudut antara dan
c)
d) Tentukan arah
12. Dua vektor masing-masing dan . Tentukan
a)
b) Sudut antara dan
c)
d) Besarnya
1.3 Kinematika dalam satu Dimensi
Pada bagian ini kita hanya memandang benda bergerak dalam satuan garis
lurus dan tidak berotasi. Gerak seperti ini disebut “gerak translasi”. Dalam suatu
kerangka acuan atau sisten koordinat (kartesian), gerak satu dimensi digambarkan
dalam sumbu koordinat-x saja.
a. Kecepatan rata-rata
Seringkali kita tidak dapat membedakan kata “kecepatan” dan “laju”. Ada
perbedaan prinsipil antara “kecepatan” dan “laju”, yakni kecepatan adalah besaran
vektor sedangkan laju belum tentu besaran vektor. Kecepatan sendiri secara
definisi adalah laju, tetapi tidak semua laju adalah kecepatan. Laju didefinisikan
sebagai perubahan “sesuatu” persatuan waktu. “Sesuatu” bisa berarti pergeseran,
kecepatan, massa, energi, volume dan lain-lain.
Kinematika 15
Kecepatan rata-rata didefinisikan sebagai jarak berpindahan dibagi dengan waktu
yang dibutuhkan untuk menempuh jarak tersebut.
Jarak perpindahan didefinisikan sebagai peerubahan posisi. Misalkan mula-mula
suatu objek berada pada posisi x1, kemudian pada interval wsaktu tertentu telah
berada pada posisi x2 (lihat gambar 1.13). maka perubahan posisi adalah (diberi
simbol x).
x = x2 – x1
waktu yang dibutuhkan objke untuk berpindah dari posisi x1 ke x2
adalah t = t2 – t1. Maka kecepatan rata-rata adalah:
(1-14)
dengan v adalah kecepatan dan tanda garis datar (-) di atas v berarti
rata-rata.
Contoh:
Posisi seorang pelari sebagai fungsi waktu digambarkan
dalam sumbu-x. Selama interval waktu tiga detik, posisi
pelari beerubah dari x1 = 50 m ke x2 = 30,5 m. Berapakahh
kecepatan rata-rata pelari tersebut ?
Jawab:
x = x2 – x1 = 30,5 m – 50,0 m = -19,5 m
Kinematika 16
Gambar 1.13. Perubahan Posisi
y
xx1 x2
Gambar 1.14. Posisi Pelari
t = 3,00 s
b. Kecepatan Sesaat
Kecepatan sesaat didefinisikan sebagai kecepatan rata-rata pada selang waktu
yang sangat pendek. Dalam hal ini persamaan (1-14) dihitung dalam limit t
secara infinitisimal sangat kecil, mendekati nol.
(1-15)
Notasi berarti rasio dihitung dalam limit t mendekatti nol, tetapi tidak
sama dengan nol.
c. Percepatan Rata-rata dan Sesaat
Percepatan rata-rata didefinisikan sebagai laju perubahan kecepatan, atau
perubahan kecepatan dibagi dengan waktu yang dibutuhkan selama perubahan
tersebut.
(1-16)
sementara percepatan sesaat didefinisikan sebagai analogi dari kecepatan sesaat:
(1-17)
dengan v menyatakan perubahan kecepatan yang kecil secara infinitisimal
selama selang waktu t yang singkat secara infinitisimal.
Pada umumnya konsep kecepatan dikaitkan dengan kecepatan ataupun laju.
Percepatan yang membuat kecepatan suatu benda atau sistem makin kecil disebut
“perlambatan”.
Contoh:
1. Persamaan gerak suatu zarrah dinyatakan oleh fungsi x(t) = 0,1 t3,
dengan x dlam meter dan t dalam detik. Hitunglah:
a. Kecepatan rata-rata dalam selang waktu t = 3 s sampai t = 4 s.
b. Kecapatan pada saat t = 3 s
Kinematika 17
c. Peercapatan rata-rata dalam selang wasktu t = 3 s sampai
t = 4 s
d. Percepatan pada saat t = 5 s
Jawab:
a. ,
karena
x (t = 4 s) = 0,1 (4)3 m = 6,4 m, dan x (t = 3 s) = 0,1 (3)3
m = 2,7 m
b.
vx (t = 3 s) = 0,3 (3)2 m/s = 2,7 m/s
c.
,
karena
vx (t = 4 s) = 0,3 (4)2 m/s = 4,8 m/s, dan vx (t = 3 s) = 2,7 m/s
d.
2. Sebuah mobil bergerak sepanjang jalan lurus (arah sumbu-x pada
gambar 1.15) dengan kecepatan 15,0 m/s. Kemudian sopir
menginjak rem sehingga setelah 5,0 detik kecepatan mobil turun
menjadi 5,0 m/s. Berapkah percepatan rata-rata mobil ?
Kinematika 18
Gambar 1.15. Perubahan Posisi Mobil
y
xv1 v2
Posisi pd t = t1 Posisi pd t = t2
Jawab:
d. Gerak Dipercepat Beraturan (Percepatan Konstan)
Pandang suatu objek mula-mula (t1 = 0) berada pada posisi x1 = x0 dengan
kecepatan v1 = v0 pada saat t2 = t1 objek tetap berada pada posisi x2 = x dengan
kecepatan v2 = v. Kecepatan rata-rata percepatan rata-rata objek selama selang
waktu t2 – t1 = t diberikan oleh:
(1-18)
(1-19)
atau
x = x0 + vt (1-20)
v = v0 + at (1-21)
Oleh karena kecepatan berubah secara beraturan (uniform), maka kecepatan rata-
rata v adalah setengah dari jumlah kecepatan akhir.
(kecapatan konstan) (1-22)
Jika persamaan (1-22) kita masukan ke dalam persamaan (1-20) diperoleh:
(1-23)
Jika persamaan (1-22) kita masukan ke dalam persamaan (1-23) di peroleh:
(1-24)
Persamaan (1-24) ini dapat diperoleh dengan mengintegralkan persamaan (1-21)
sebagai fungsi waktu. Selanjutnya persamaan (1-19) dapat ditulis sebagai berikut:
Kinematika 19
dan jika persamaan ini disubtitusikan ke dalam persamaan (1-23) kita peroleh:
atau
v2 = v02 + 2 a (x – x0) (Percepatan konstan) (1-25)
Tanda vektor (huruf tebal) pada v2 dan v02 persamaan (1-25) dihilangkan karena
pada gerak satu dimensi, vektor arah hanya dipengaruhi oleh tanda positif dan
negatif.
1.4 Gerak Peluru
Gerak peluru mengambarkan sebuah benda di udara dan membentuk sudut
tertentu terhadap garis horisontal. Contoh bola yang dilemparkan atau ditendang,
peluru yang ditembakkan dari moncong senapan, benda yang dijatuhkan dari
pesawat udara yang sedang terbang, mula-mula v0 = 0. Jika v0 = 0 maka benda
dikatakan jatuh bebas.
Pandang jejak suatu objek yang bergerak di udara dengan kecepatan vo dan
membentuk sudut terhadap sumbu-x (gambar 1.15)
Pada tabel 1.1. disajikan persamaan-persamaan umum kinematika untuk
kecepatan tetap dalam dua dimensi, sedang Tabel 1.2. menyajikan persamaan-
persamaan untuk gerak peluru.
Kinematika 20
v
v
v
0v
vx Vy
y
0
Gambar 1.15. Gerak Peluru.
Tabel 1.1. Persamaan-persamaan Umum Kinematika dalam dua dimensi
(a konstan)
Komponen-x (Horizontal) Berdasarkan Persamaan Komponen-y (Vertikal)
vx = vx0 + ax t
x = x0 + vx0 t + ½ ax t2
vx2 = vx0
2 + 2 ax (x – x0)
(1-.8)
(1-11)
(1-12)
vy = vy0 + ay t
y = y0 + vy0 t + ½ ay t2
vy2 = vy0
2 + 2ay (y – y0)
Tabel 1.2. Persamaan Kinematika untuk gerak peluru (arah x positif, ax = 0,
ay = -g, g = 9,8 m/s2)
Gerak Horizontal Berdasarkan Persamaan Gerak Vertikal
vx = vx0
x = x0 + vx0
vx2 = vx0
2
(1-.8)
(1-12)
(1-13)
vy = vy0 - gt
y = y0 + vy0 t - ½ gt2
vy2 = vy0
2 + 2g (y – y0)
Umumnya diambil y – y0 = h untuk gerak peluru dan gerak jatuh bebas. Ingat dari
persamaan vx0 = v0 cos dan vy0 = v0 sin .
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa lintasan peluru adalah parabolik, jika kita
dapat mengandaikan gesekan udara dan menganggap percepatan gravitasi
konstan. Misalkan x0 = y0 = 0, berdasarkan Tabel 1.2. persamaan (1-24) kita
peroleh:
x = vx0 t
Kinematika 21
y = vy0 – ½ gt2
Dari persamaan pertama kita peroleh dari persamaan ini kita masukkan ke
dalam persamaan kedua, kita peroleh:
Kalau kita masukkan vxo = vo cos o dan vyo = vo sin o, kita dapat juga tulis
atau
y = ax – bx2 (1-26)
dengan a = tan o (tangen arah) dan masing-masing adalah
konstan.
Contoh :
Sebuah bola ditendang sehingga memiliki kecepatan awal 20,0 m/s dan
membentuk sudut 37,00, hitung:
a. Tinggi maksimum bola
b. Waktu lintasan bola sehingga menyentuh tanah
c. Jarak hori zontal bola hingga menyentuh tanah
d. Vektor kecepatan pada tinggi maksimum, dan
e. Vektor percepatan pada tinggi maksimum.
Jawab:
Vxo = vo cos 37,00 = (20,0 m/s) (0,799) = 16,0 m/s
Vyo = vo sin 37,00 = (20,0 m/s) (0,602) = 12,0 m/s
a. Pada tinggi maksimum, vy = 0
vy = vyo – gt 0 = vyo – gt
Kinematika 22
y = vyo – ½ gt2 = (12,0 m/s) (1,22 s) – (½) (9,8 m/s2) (1,22 s)2 = 7,35 m
Dengan kata lain:
b. Pada saat ditendang yo = 0, setelah menyentuh tanah kembali y = 0
y = yo + vyo t – ½ gt2
0 = 0 + vyo t – ½ gt2
c. Jarak horizontal x = xo + vxot xo = 0
x = vxo t = (16,0 m/s) (2,45 s) = 39,2 m
d. Pada titik tertinggi, v = vx + vy vy = 0
v = vx = vxo = vo cos 37,00 = 16,0 m/s
e. a = -g = -9,80 m/s2
1.5 Gerak Melingkar Beraturan
Suatu partikel dikatakan bergerak melingkar beraturan jika gerak partikel
dengan laju (besar kecepatan) konstan dan arah kecepatan berubah-ubah terus
menerus. Untuk gerak ini digunakan koordinat polar (r,). Hubungan antara
koordinat polar dan koordinat tegak tegak diberikan oleh persamaan berikut :
(1-27)
atau kebalikannya,
x = r cos dan y = r sin (1-28)
Kinematika 23
Dalam koordinat tegak, untuk menjelaskan gerak dalam bidang x,y digunakan
vektor satuan dan . Pada sistem koordinat polar didefenisikan dua vektor baru
yaitu dan . Kedua vektor ini juga mempunyai panjang yang sama dengan satu
dan tidak berdimensi.
Di sembarang titik vektor satuan menunjuk ke arah bertambahnya r di
titik itu, jadi berarah keluar dari titik itu. Sedangkan vektor satuan menuju ke
arah bertambahnya di tempat itu, dan selalu menyinggung lingkaran yang
melalui titik dalam arah berlawanan dengan jarum jam (lihat gambar 1-16),
keduanya saling tegak lurus.
Pada gambar di atas laju partikel adalah tetap v, bila dituliskan dalam
dan dapat ditulis sebagai persamaan vektor
(1-29)
Persamaan (1-29) menunjukkan bahwa arah vektor sama dengan arah
selalu menyinggung lingkaran dan besarnya selalu tetap sama dengan karena
besar adalah satu.
Percepatan dapat ditulis
(1-30)
Dalam persamaan (2-37) v adalah konstan sedangkan tidak karena selalu
berubah-ubah mengikuti gerak partikel. Pada gambar 1-16, dan bersesuaian
Kinematika 24
12 2r
1r 12
O
Gbr. 1-16a Gbr. 1-16b
dengan selang waktu gerak partikel t = (t2 – t1). Dalam limit t 0, vektor
berarah radial ke dalam, ke titik pusat lingkaran (sama dengan arah ). Sudut
antara dan adalah . Jadi diperoleh bahwa
(1-31)
Besaran disebut kecepatan sudut partikel yang dilambangkan dengan , yang
besarnya konstan, jadi
(1-32)
dan
dengan memasukkan persamaan ini ke persamaan (1-30) akhirnya diperoleh
(1-33)
Dari persamaan (1-32) dapat ditulis menjadi
atau v = r (1-34)
Dari persamaan (1-33) dan (1-34) diperoleh
(1-35)
Persamaan (1-33) menyatakan bahwa besar percepatan gerak melingkar beraturan
adalah dan arahnya berarah radial ke dalam yaitu ke pusat lingkaran.
Percepatan disebut percepatan sentripetal.
1.7. Percepatan Tangensial dalam Gerak Melingkar
Sekarang kita tinjau satu hal yang lebih umum, yaitu gerak melingkar
dengan laju v tidak konstan. Dalam hal ini baik maupun v keduanya berubah
terhadap waktu.
Dari persamaan (1-30) dapat ditulis
Kinematika 25
(1-36)
Dari persamaan (1-33) dan (1-36) dapat ditulisa menjadi
, (1-37)
dengan aT = dv/dt adalah percepatan tangensial, dan aR = v2/r adalah percepatan
sentripetal. Suku pertama yaitu adalah vektor komponen dari yang
menyinggung lintasan partikel dan timbul sebagai akibat perubahan besar
kecepatan gerak melingkar tersebut. Suku kedua yaitu adalah vektor
komponen yang berarah radial ke dalam menuju pusat lingkaran, dan timbul
karena perubahan arah kecepatan gerak melingkar (lihat gambar 1-17).
Besar percepatan sesaatnya adalah
(1-38)
Kinematika 26
Ta
a
Rar
Gbr. 1-17
y
x
Jika laju v konstan (gerak melingkar beraturan), maka sehingga persamaan
(1-37) kembali menjadi persamaan (1-33). Sedangkan jika laju v tidak konstan,
maka aT 0.
Kinematika 27
Contoh soal
1. Bulan berputar mengelilingi bumi dengan waktu 27,3 hari untuk tiap putaran
penuh. Jika orbitnya dianggap berbentuk lingkaran dengan jari-jari 3,85 x 108 m,
berapakah besar percepatan bulan ke arah bumi ?
Penyelesaian
Diketahui
Waktu untuk menempuh satu putaran penuh (periode) T = 27,3 hari = 27,3 x
24,3600 s = 2,36 x 106 s, r = 3,85 x 108 m.
Untuk satu periode bulan menempuh jarak 2r, maka
Percepatan sentripetalnya
2. Hitung laju satelit yang mengitari bumi pada ketinggian h = 140 mil di atas
permukaan bumi dimana g = 30 ft/s2. Jari-jari bumi R = 3960 mil.
Penyelesaian
Dik. h = 140 mil g = 30 ft/s2 R = 3960 mil 1 mil = 5280 ft
v = ……..?
Satelit mengalami percepatan gravitasi bumi sehingga ia bergerak melingkar.
= 17386 mil/jam, (1 ft/s = 0,6818 mil/jam)
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Buktikan bahwa untuk vektor , didefenisikan sebagai
komponen skalarnya diberikan oleh
2. Posisi sebuah partikel yang bergerak sebagai fungsi waktu didefenisikan
oleh
.
a) Tuliskan pernyataan kecepatan dan percepatan sebagai fungsi
waktu.
b) Bagaimanakah bentuk lintasan partikel tersebut ?
3. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus dan jaraknya ke titik asal
pada tiap saat ditentukan dengan persamaan x = 8t – 3t2. Disini x
dinyatakan dalam cm dan t dalam detik.
a) Tentukan kecepatan rata-rata benda itu dalam selang waktu dari t =
0 dan t = 1 detik, dan dari t = 0 sampai t = 4 detik.
b) Carilah rumus kecepatan rata-rata dalam selang waktu dari t
sampai t + t.
c) Berapakah harga limit dari rumus itu jika t mendekati nol.
d) Berapa lama waktu yang diperlukan agar benda itu diam ?
e) Tentuakn rumus percepatan pada setiap saat.
4. Dari puncak sebuah gedung dilemparkan sebuah bola vertikal ke bawah.
Bola meninggalkan tangan pelempar dengan laju 30 ft/s.
a) Berapa jauhkah jatuhnya selama dua detik ?
b) Berapakah kecepatannya setelah jatuh 30 ft.
c) Bila bola itu dilepaskan pada ketinggian 120 ft di atas tanah, maka
berapa detikkah bola akan menumbuk tanah ?
d) Berapakah kecepatan bola waktu menumbuk tanah ?
5. Sebuah pesawat pembom menukik dengan membuat sudut 530 dengan
garis vertikal seraya melepaskan bom pada 2400 ft. Bom itu lalu jatuh di
tanah 5 detik setelah bola itu dilepaskan. (g = 32 ft/s2)
a) Berapakah kecepatan pesawat pembom tadi ?
Kinematika 28
b) Berapakah jarak mendatar yang dilintasi bom waktu melayang ?
6. Sebuah bola golf dipukul dengan laju 200 ft/s serta membentuk sudut 370
di atas garis mendatar. Bola jatuh dekat lubang yang berjarak 800 ft.
Percepatan gravitasi bumi 32 ft/s2.
a) Berapakah tinggi balok lubang terhadap tempat memukul bola ?
b) Berapakah laju bola ketika sampai di dekat lubang ?
7.
a) Tunjukkanlah bahwa jangkauan peluru yang mempunyai laju awal
v0 dan sudut proyeksi 0 adalah . Kemudian tunjukkan
pula bahwa maksimum dicapai bila sudut proyeksi 450.
b) Tunjukkanlah bahwa tinggi maksimum yang dicapai oleh peluru
adalah
c) Tentukan sudut proyeksi yang memberikan jangkauan yang sama
besar dengan tinggi maksimumnya.
8. Menurut model Bohr, elektron atom hidrogen berputar mengitari proton
dengan orbit lingkaran berjari-jari 5,28 x 10-11 m dan laju 2,18 x 106 m/s.
berapakah percepatan elektron dalam atom hidrogen tersebut?
9. Seorang anak memutar-mutar batu dengan tali yang panjangnya 1,2 m
membentuk lingkaran horizontal setinggi 1,8 m di atas tanah. Tiba-tiba
talinya putus dan batu terlontar horizontal dan jatuh di tanah sejauh 9,1 m.
berapakah percepatan sentripetal batu selama gerak melingkarnya?
Kinematika 29
top related