ayrik yapilar · 2015. 11. 28. · ayrik yapilar prof. dr. Ömer akın ve yrd. doç. dr. murat...

AYRIK YAPILAR

P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d . D o ç . D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u ’ n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i « A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a m a l a r ı » i s i m l i k i t a p t a n h a z ı r l a n m ı ş t ı r.

ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

2. BÖLÜM: Temel Yapılar: Kümeler, Fonksiyonlar, Diziler, Toplamlar ve Matrisler2.1. KümelerGiriş

Kümeler nesneleri gruplamada kullanılır. Her zaman olmasa da çoğu durumda, bir küme içindekielemanlar benzer özellikler taşır. Örneğin; okulunuzda kayıtlı olan tüm öğrenciler bir kümeoluşturur. Benzer şekilde, okullarda ayrık matematik dersini alan tüm öğrenciler bir kümeoluşturur. Ayrıca, okulunuzda ayrık matematik dersi alan öğrencilerden oluşan küme, yukarıdabahsedilen iki kümenin ortak elemanları alınmak suretiyle oluşturulabilir.

2.1. KümelerGirişTANIM 1: Bir küme sıralı olmayan nesneler topluluğudur. Bir kümenin içindeki nesnelerekümenin elemanları veya üyeleri denir. Bir küme elemanlarını içerir. a ϵ / A gösterimi ise a’nın Akümesinin bir elemanı olmadığını belirtir.

Kümeler çoğunlukla büyük harfler kullanılarak gösterilir. Küçük harfler ise daha çok kümeelemanlarını belirtmek için kullanılır.

Bir kümeyi tanımlamak için bir çok yol vardır. Bunlardan bir tanesi, eğer mümkünse, kümenintüm elemanlarını listelemektir. Kümenin tüm elemanlarının çengelli parantez içinde yer aldığı birgösterim kullanıyoruz. Örneğin; {a, b, c, d} gösterimi elemanları a, b, c ve d’den oluşan dörtelemanlı bir kümeyi temsil eder. Kümenin bu şekilde gösterilmesine listeleme gösterimi denir.

2.1. KümelerGirişÖRNEK: İngiliz alfabesindeki tüm sesli harfleri içeren V kümesi şu şekilde yazılabilir:

V= {a, e, i, o, u}

ÖRNEK: On sayısından küçük olan pozitif tek tam sayılar kümesi, Q, şu şekilde ifade edilebilir:

Q= {1, 3, 5, 7, 9}

2.1. KümelerGirişBazen listeleme gösterimi bir kümenin tüm elemanlarını listelemeden de kullanılabilir.Elemanların genel yapısının bariz olduğu durumlarda kümenin bazı elemanları listelenir, sonra üçnokta (...) kullanılır.

ÖRNEK: 100’den küçük olan pozitif tam sayılar kümesi şu şekilde gösterilebilir: {1, 2, 3, ..., 99}.

Bir kümeyi göstermenin bir başka yolu da küme kurma gösterimi kullanmaktır. Kümenin içindekitüm unsurları, o kümenin bir elemanı olabilmeleri için taşımaları gereken koşul veya koşullarıaçıklayarak belirleriz. Örneğin; 10’dan küçük olan tüm pozitif tek tamsayıları içeren O kümesi şuşekilde yazılabilir:

O= {x|x 10’dan küçük pozitif tek tamsayılar},

Veya evrensel kümeyi pozitif tamsayılar kümesi olarak belirtirsek:

O= {xϵ Z+| x tek sayıdır ve x<10}.

2.1. KümelerGirişBir kümenin tüm elemanlarını listelemenin mümkün olmadığı durumlarda kümeyi belirtmek için buşekilde bir gösterim kullanıyoruz. Örneğin, tüm pozitif rasyonel sayılar kümesi Q+ şu şekilde yazılabilir:

Q+ = {xϵ R| x= p/q, pozitif tamsayılar p ve q için}.

Aşağıda koyu harfle ifade edilen kümeler ayrık matematikte önemli rol oynar:

N= {0, 1, 2, 3,...}, doğal sayılar kümesi

Z= {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, tam sayılar kümesi

Z+= {1, 2, 3, ...}, pozitif tam sayılar kümesi

Q= {p/q | p ϵ Z, q ϵ Z, q≠0}, rasyonel sayılar kümesi

R, reel sayılar kümesi

R+, pozitif reel sayılar kümesi

C, kompleks sayılar kümesi

2.1. KümelerGirişTANIM 2: İki küme, sadece ve sadece aynı elemanlardan oluşuyorsa denktirler. Yani, eğer A ve Bküme ise, ancak ve ancak x (x ϵ A ↔ x ϵ B) ise A ve B kümeleri denktir. A ve B kümeleri denkkümeler ise A=B şeklinde ifade edilir.

ÖRNEK: {1, 3, 5} ve {3, 5, 1} kümeleri denktir, çünkü aynı elemanlardan oluşmaktadırlar. Kümeiçindeki elemanların hangi sırada listelendiği önem arz etmez. Küme içindeki bir elemanınbirden fazla tekrarlanması da önem arz etmez, {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5} ile {1, 3, 5} aynı kümelerdirçünkü aynı elemanlardan oluşmaktadırlar.

2.1. KümelerGirişBOŞ KÜME: Hiç elemanı olmayan özel bir küme vardır. Bu kümeye boş küme denir ve Ø işareti ilegösterilir. Boş küme { } işareti ile de gösterilebilir.

İçinde bir elemanı olan bir kümeye tek elemanlı küme denir. Sıkça yapılan bir hata boş küme, Ø,ile tek elemanlı bir küme olan {Ø} kümesini birbirleriyle karıştırmaktır. {Ø} kümesinin içindeki tekeleman boş kümenin kendisidir!

2.1. KümelerVenn Şemaları

Kümeler Venn şemaları kullanılarak grafik olarak da gösterilebilir. Venn şemasında, bahse konutüm nesneleri içeren evrensel küme, U, bir dikdörtgen ile gösterilir. Diğer kümeler, bu dikdörtgeniçerisinde daireler veya diğer geometrik şekiller kullanılarak gösterilir. Bazen bir kümeninelemanlarını göstermek için noktalar kullanılır. Venn şemaları çoğu kez kümeler arasındakiilişkileri göstermek için kullanılır.

2.1. KümelerVenn ŞemalarıÖRNEK: İngiliz alfabesindeki sesli harfler kümesini, V, gösteren bir Venn şeması çiziniz.

ÇÖZÜM: İngiliz alfabesindeki 26 harfi içeren kümeyi temsil eden evrensel küme U için birdikdörtgen çiziyoruz. Bu dikdörtgen içine V kümesini temsil eden bir daire çiziyoruz. Bu daireiçinde V kümesinin elemanlarını noktalar ile belirtiyoruz.

2.1. KümelerAltkümelerBir kümenin elemanlarının aynı zamanda ikinci bir kümenin elemanları olma durumu ilekarşılaşmak olağandır.

TANIM 3: Bir A kümesi, sadece ve sadece A’nın tüm elemanları aynı zamanda B’nin elemanı ise Bkümesinin altkümesidir. A’nın B’nin altkümesi olduğunu belirtmek için A B gösteriminikullanıyoruz.

Ancak ve ancak x (x ϵ A x ϵ B) doğruysa A B (A, B’nin altkümesidir) diyebiliriz. A’nın B’ninbir altkümesi olmadığını göstermek için sadece x B olup x ϵ A olan bir eleman bulmamızyeterlidir. Böyle bir x, x ϵ A ise x ϵ B’dir iddiasına ters örnektir.

2.1. KümelerAltkümelerÖRNEK: 10’dan küçük olan tüm pozitif tek tamsayılar kümesi 10’dan küçük olan tüm pozitiftamsayılar kümesinin alt kümesidir.

ÖRNEK: Okulunuzdaki tüm Bilgisayar Bilimleri bölümü öğrencileri kümesi okulunuzdaki tümöğrenciler kümesinin altkümesidir.

ÖRNEK: Çin’deki tüm insanlar kümesi Çin’deki tüm insanlar kümesinin alt kümesidir (yani, birküme kendi kendisinin altkümesidir).

ÖRNEK: Okulunuzda ayrık matematik dersi alan ve bilgisayar bölümü öğrencisi olmayan en az biröğrenci varsa, okulunuzda ayrık matematik dersi alan öğrenciler kümesi, tüm bilgisayar bölümüöğrencilerinin bir alt kümesi değildir.

Bir Kümenin BüyüklüğüTANIM 4: S bir küme olsun. Eğer S içinde n birbirinden farklı eleman varsa, n negatif olmayan birtamsayı olmak üzere, S bir sonlu kümedir ve n, S’nin niceliğidir. S’nin niceliği |S| olarak gösterilir.

Not: Nicelik terimi sonlu bir kümenin büyüklüğünü belirtmek için yaygın olarak kullanılan niceliksayısından gelmektedir.

ÖRNEK: A, 10’dan küçük tek pozitif tamsayılar kümesi olsun. Öyleyse |A|=5.

ÖRNEK: S, Türk alfabesindeki harfler kümesi olsun. Öyleyse |S|=29.

TANIM 5: Bir küme sonlu değilse sonsuz kümedir.

Kuvvet KümeleriTANIM 6: Verilen bir S kümesi için, S’nin kuvvet kümesi, S’nin alt kümelerinden oluşan bir kümedir.S’nin kuvvet kümesi Ƥ(S) olarak gösterilir.

ÖRNEK: {0, 1, 2} kümesinin kuvvet kümesi nedir?

ÇÖZÜM: Kuvvet kümesi Ƥ({0, 1, 2}), {0, 1, 2} kümesinin tüm alt kümelerinden oluşur. Dolayısıyla,

Ƥ({0, 1, 2}) = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}.

ÖRNEK: Boş kümenin kuvvet kümesi nedir? {Ø}’ nin kuvvet kümesi nedir?

ÇÖZÜM: Boş kümenin tam olarak tek bir alt kümesi vardır, o da kendisidir. Dolayısıyla,

Ƥ(Ø) = {Ø}.

{Ø} kümesinin tam olarak iki alt kümesi vardır, bunlar, Ø ve {Ø} kümesinin kendisidir. Bu nedenle,

Ƥ({Ø}) = {Ø, {Ø}}.

Eğer bir kümenin n elemanı varsa kuvvet kümesinin 2n elemanı vardır.

Kartezyen ÇarpımlarTANIM 7: Bir sıralı n’li, (a1, a2, ..., an), ilk elemanı a1, ikinci elemanı a2, ..., ve n. elemanı an’dir.

İki sıralı n’linin eşit olması, ancak ve ancak her bir karşılıklı gelen eleman çiftinin birbirlerine eşitolması ile mümkündür. Bir diğer deyişle, (a1, a2, ..., an) = (b1, b2, ..., bn) sadece ve sadece tüm i=1,2, ..., n için ai=bi olması ile mümkündür. n=2 olduğu özel durumda sıralı ikililere sıralı çiftler denir.(a,b) ve (c,d) sıralı ikililerinin eşit olması ancak ve ancak a=c ve b=d olması ile gerçekleşir. Dikkatediniz, a=b değilse (a,b) ve (b,a) birbirlerine eşit değildir.

Kartezyen ÇarpımlarTANIM 8: A ve B kümeler olsun. A ve B’nin Kartezyen çarpımı, A x B şeklinde gösterilir, a ϵ A ve bϵ B olmak üzere tüm sıralı (a, b) çiftleridir. Dolayısıyla,

A x B= { (a,b) | a ϵ A ^ b ϵ B}’dir.

ÖRNEK: A={1, 2} ve B={a, b, c} Kartezyen çarpımı nedir?

ÇÖZÜM: A x B Kartezyen çarpımı

A x B ={(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}.

Kartezyen ÇarpımlarTANIM 9: A1, A2, ..., An, kümelerinin kartezyen çarpımı A1 x A2 x ... x An olarak gösterilir, ve (a1, a2,..., an)’den oluşan sıralı n’li demetten oluşur. Burada ai elemanı i= 1, 2, ..., n olmak üzere Ai’dengelir. Bir başka deyişle,

A1 x A2 x ... x An = {(a1, a2, ..., an) | ai ϵ Ai, i=1, 2, ..., n için}.

ÖRNEK: A= {0, 1}, B={1, 2} ve C={0, 1, 2} ise A x B x C Kartezyen çarpımı nedir?

ÇÖZÜM: A x B x C Kartezyen çarpımı a ϵ A, b ϵ B ve c ϵ C olan tüm sıralı (a, b, c) üçlülerindenoluşur. Dolayısıyla,

A x B X C = {(0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 2), (0, 2, 0), (0, 2, 1), (0, 2, 2),

(1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 0), (1, 2, 1), (1, 2, 2)}.

UYARI: A, B ve C birer küme olmak üzere (A x B) x C ve A x B x C aynı değildir.

Kartezyen ÇarpımlarÖRNEK: A= {1, 2} olsun. Bu durumda

A2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

A3 = { (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)}’dir.

Kartezyen çarpımı A x B’nin bir alt kümesi, R, A kümesinden B kümesine olan bir ilişki olaraktanımlanır. R’nin elemanları sıralı çiftlerden oluşur ve bu çiftlerin ilk elemanı A kümesinden, ikincielemanı B kümesinden gelir. Örneğin; R= {(a, 0), (a, 1), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (c, 0), (c, 3)}, {a, b, c}kümesinden {0, 1, 2, 3} kümesine bir ilişkidir. Bir A kümesinden kendisine olan bir ilişkiye Aüzerinde bir ilişki denir.

Niceleyicilerle Küme Gösterimi KullanımıBazen nicelenen bir ifadenin tanım kümesini açıkça sınırlamak gerekir ve bu amaçla belirli birgösterim kullanılır. Örneğin, x ϵ S(P(x)), S kümesindeki tüm elemanlar üzerinde P(x) evrenselnicelemesini belirtir. Bir diğer deyişle, x ϵ S(P(x)) ifadesi, x (x ϵ S P(x)) ifadesinin kısaşekilde gösterilmesidir.

Benzer şekilde, x ϵ S(P(x)), S kümesindeki tüm elemanlar üzerinde P(x) varoluşsal nicelemesinibelirtir. Yani, x ϵ S(P(x)) ifadesi, x (x ϵ S ^ P(x)) ifadesinin kısa şekilde gösterilmesidir.

ÖRNEK: x ϵ R (x20) ve x ϵ Z (x2=1) ifadeleri ne anlama gelir?

ÇÖZÜM: x ϵ R (x20) ifadesi her x reel sayısı x20 anlamına gelir. Bu, «Her gerçel sayının karesinegatif olmayan bir sayıdır». Bu doğru bir ifadedir.

x ϵ Z (x2=1) ifadesi x2=1 olan bir x tamsayısı bulunur anlamına gelir. Bu, «Karesi 1 olan birtamsayı vardır.» x2=1 (benzer şekilde x=-1) böyle sayılar oldukları için bu ifade de doğru birifadedir.

Doğruluk Kümeleri ve NiceleyicilerVerilen bir P yüklemi ve D tanım kümesi için, P’nin doğruluk kümesi D’nin içinde P(x)’in doğruolduğu x elemanlarının kümesi olarak tanımlanır. P(x)’in doğruluk kümesi {x ϵ D | P(x)} şeklindegösterilir.

ÖRNEK: Tanım kümesinin tam sayılar olduğu, P(x)’in «|x| =1», Q(x)’in «x2=2» ve R(x)’in «|x| =x»olduğu P(x), Q(x) ve R(x) yüklemlerinin doğruluk kümeleri nelerdir?

ÇÖZÜM: P’nin doğruluk kümesi, {x ϵ Z ||x|=1}, |x|=1 olan tam sayılar kümesidir. |x|=1olabilmesi sadece x=1 ya da x=-1 durumlarında gerçekleştiği ve başka hiçbir x tamsayısı içingerçekleşmediğinden, P’nin doğruluk kümesinin {-1, 1} olduğunu görürüz.

Q’nun doğruluk kümesi, {x ϵ Z |x2=2}, x2=2 olan tam sayılar kümesidir. Bu bir boş kümedir. Çünküx2=2 olan hiçbir x tamsayısı yoktur.

R’nin doğruluk kümesi, {x ϵ Z ||x|=x}, |x|=x olan tam sayılar kümesidir. |x|=x olması ancak veancak x0 durumunda gerçekleştiğinden, R’nin doğruluk kümesi negatif olmayan tamsayılar, Nolur.

ALIŞTIRMALAR1. Aşağıdaki kümelerin elemanlarını listeleyiniz.

A. {x | x, x2=1 olacak şekildeki bir reel sayı}

B. {x | x, 12’den küçük pozitif bir tamsayı}

C. {x | x bir tam sayının karesi ve x<100}

D. {x | x, x2=2 olacak şekildeki bir tamsayı}

ALIŞTIRMALAR1. Aşağıdaki kümelerin elemanlarını listeleyiniz.

A. {x | x, x2=1 olacak şekildeki bir reel sayı} {-1, 1}

B. {x | x, 12’den küçük pozitif bir tamsayı} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

C. {x | x bir tam sayının karesi ve x<100} {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}

D. {x | x, x2=2 olacak şekildeki bir tamsayı} Ø

ALIŞTIRMALAR2. Her küme ikilisi için birinci küme ikincisinin altkümesi mi, ikinci küme birincisinin altkümesi mi veya hiçbiri diğerinin altkümesi mi olduğunu belirleyiniz.

A. New York’tan İstanbul’a uçan havayolu kümesi, New York’tan İstanbul’a doğrudan uçan havayolu kümesi,

B. İngilizce konuşan insanlar kümesi, Çince konuşan insanlar kümesi

C. Uçan sincaplar kümesi, yaşayan uçan yaratıklar kümesi

ALIŞTIRMALAR2. Her küme ikilisi için birinci küme ikincisinin altkümesi mi, ikinci küme birincisinin altkümesi mi veya hiçbiri diğerinin altkümesi mi olduğunu belirleyiniz.

A. New York’tan İstanbul’a uçan havayolu kümesi, New York’tan İstanbul’a doğrudan uçan havayolu kümesi, İkinci birincinin altkümesi, fakat birinci ikincinin altkümesi değildir.

B. İngilizce konuşan insanlar kümesi, Çince konuşan insanlar kümesi Hiçbirisi diğerinin alt kümesi değil

C. Uçan sincaplar kümesi, yaşayan uçan yaratıklar kümesi Birinci ikincinin altkümesi, fakat ikinci birincinin altkümesi değildir.

ALIŞTIRMALAR3. Aşağıdaki küme ikililerinin eşit olup olmadıklarını belirleyiniz.

A. {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5}, {5, 3, 1}

B. {{1}}, {1, {1}}

C. Ø, {Ø}

ALIŞTIRMALAR3. Aşağıdaki küme ikililerinin eşit olup olmadıklarını belirleyiniz.

A. {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5}, {5, 3, 1} Evet

B. {{1}}, {1, {1}} Hayır

C. Ø, {Ø} Hayır

ALIŞTIRMALAR4. Aşağıdaki kümeler için, 2’nin bir eleman olup olmadığını belirleyiniz.

A. {x ϵ R |x, 1’den büyük tamsayıdır.}

B. {x ϵ R |x, bir tamsayının karesidir.}

C. {2, {2}}

D. {{2}, {{2}}}

E. {{2}, {2, {2}}}

F. {{{2}}}

ALIŞTIRMALAR4. Aşağıdaki kümeler için, 2’nin bir eleman olup olmadığını belirleyiniz.

A. {x ϵ R |x, 1’den büyük tamsayıdır} Evet

B. {x ϵ R |x, bir tamsayının karesidir.} Hayır

C. {2, {2}} Evet

D. {{2}, {{2}}} Hayır

E. {{2}, {2, {2}}} Hayır

F. {{{2}}} Hayır

ALIŞTIRMALAR5. Aşağıdaki önermelerin doğru olup olmadığını belirleyiniz.

A. 0 ϵ Ø

B. Ø ϵ {0}

C. {0} Ø

D. Ø {0}

E. {Ø} {Ø}

ALIŞTIRMALAR5. Aşağıdaki önermelerin doğru olup olmadığını belirleyiniz.

A. 0 ϵ Ø Yanlış

B. Ø ϵ {0} Yanlış

C. {0} Ø Yanlış

D. Ø {0} Doğru

E. {Ø} {Ø} Doğru

ALIŞTIRMALAR6. Aşağıdaki önermelerin doğru olup olmadığını belirleyin.

A. x ϵ {x}

B. {x} {x}

C. {x} ϵ {x}

D. {x} ϵ {{x}}

E. Ø {x}

F. x ϵ {x}

ALIŞTIRMALAR6. Aşağıdaki önermelerin doğru olup olmadığını belirleyin.

A. x ϵ {x} Doğru

B. {x} {x} Doğru

C. {x} ϵ {x} Yanlış

D. {x} ϵ {{x}} Doğru

E. Ø {x} Doğru

F. x ϵ {x} Yanlış

ALIŞTIRMALAR7. a ve b farklı elemanlar olmak üzere, aşağıdaki kümelerin kuvvet kümelerini bulunuz.

A. {a}

B. {a, b}

C. {Ø, {Ø}}

ALIŞTIRMALAR7. a ve b farklı elemanlar olmak üzere, aşağıdaki kümelerin kuvvet kümelerini bulunuz.

A. {a} {Ø, {a}}

B. {a, b} {Ø, {a}, {b}, {a, b}}

C. {Ø, {Ø}} {Ø, {Ø}, {{Ø}}, {Ø, {Ø}}}

ALIŞTIRMALAR8. a ve b farklı elemanlar olmak üzere, aşağıdaki kümelerin kaç tane elemanları olduğunu bulunuz.

A. Ƥ({a, b, {a, b}})

B. Ƥ({Ø, A, {a}, {{a}}})

C. Ƥ(Ƥ(Ø))

ALIŞTIRMALAR8. a ve b farklı elemanlar olmak üzere, aşağıdaki kümelerin kaç tane elemanları olduğunu bulunuz.

A. Ƥ({a, b, {a, b}}) 8

B. Ƥ({Ø, A, {a}, {{a}}}) 16

C. Ƥ(Ƥ(Ø)) 2

ALIŞTIRMALAR9. A={a, b, c, d} ve B={y, z} olsun. Aşağıdakileri bulunuz.

A. A x B

B. B x A

ALIŞTIRMALAR9. A={a, b, c, d} ve B={y, z} olsun. Aşağıdakileri bulunuz.

A. A x B {(a, y), (b, y), (c,y), (d, y), (a, z), (b, z), (c, z), (d, z)}

B. B x A {(y, a), (y, b), (y, c), (y, d), (z, a), (z, b), (z, c), (z, d)}

ALIŞTIRMALAR10. A2’yi bulunuz.

A. A={0, 1, 3}

B. A= {1, 2, a, b}

ALIŞTIRMALAR10. A2’yi bulunuz.

A. A={0, 1, 3} {(0, 0), (0, 1), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 3), (3, 0), (3, 1), (3, 3)}

B. A= {1, 2, a, b} {(1, 1), (1, 2), (1, a), (1, b), (2, 1), (2, 2), (2, a), (2, b), (a, 1), (a, 2), (a, a), (a, b), (b, 1), (b, 2), (b, a), (b, b)}

ALIŞTIRMALAR11. Aşağıdaki önermeleri Türkçe’ye çeviriniz ve doğruluğunu belirleyiniz.

A. x ϵ R (x2≠-1)

B. x ϵ Z (x2=2)

C. x ϵ Z (x2>0)

D. x ϵ R (x2=x)

ALIŞTIRMALAR11. Aşağıdaki önermeleri Türkçe’ye çeviriniz ve doğruluğunu belirleyiniz.

A. x ϵ R (x2≠-1) Reel sayıların karesi hiçbir zaman -1 olamaz. Doğru

B. x ϵ Z (x2=2) Karesi 2 olan tamsayı vardır. Yanlış

C. x ϵ Z (x2>0) Her tamsayının karesi pozitiftir. Yanlış

D. x ϵ R (x2=x) Karesi kendisine eşit olan tamsayı vardır. Doğru

ALIŞTIRMALAR12. Tanım kümeleri tam sayılar kümesi olmak üzere, aşağıdaki önermeleri doğrulayan kümeleri bulunuz.

A. P(x): x2<3

B. R(x): 2x+1 =0

ALIŞTIRMALAR12. Tanım kümeleri tam sayılar kümesi olmak üzere, aşağıdaki önermeleri doğrulayan kümeleri bulunuz.

A. P(x): x2<3 {-1, 0, 1}

B. R(x): 2x+1 =0 Ø

ayrik yapilar · 2015. 11. 28. · ayrik yapilar prof. dr. Ömer akın ve yrd. doç. dr. murat...

Documents

afet bÖlgelerİnde yapilacak yapilar hakkinda yÖnetmel

rİsklİ yapilar ve kentsel dÖnÜŞÜm ÇaliŞmalari, …

Önmlİ yapilar apamia tİyatrosu

mat239 ayrik...

etabs ile celik yapilar

betonarme yapilar ulmlwol÷l 5....betonarme yapilar prof.dr....

etabs ile betonarme yapilar

geleneksel ve ÇaĞdaŞ mİmarİ yapilar Üzerİne …

begüm tekelİoĞlu yÜksek lİsans tarimsal yapilar ve …

pratik yapılar pratİk yapilar / practical buildings

celik yapilar ders notu

ayrik yapilar · ayrik yapilar prof. dr. Ömer akın ve...

mat223 ayrik matematİk - karatekin...

celik yapilar boya teknik sartnamesi

Çelİk yapilar Ödevİ

mat239 ayrik...

ce471 Çelİk yapilar - aybu.edu.tr · betonarme ce471...

mat239 ayrik matematİk -...

ayrik yapilar - fırat Üniversitesi · mesela,...

çok küplülerle oluşturulan yapilar