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14/08/2013
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Função de Onda e Equação de
Schrödinger
Prof. Alex Fabiano C. Campos, Dr
Prof. Alex Fabiano C. Campos, Dr®
A Função de Onda (A Função de Onda (ψψψψψψψψ))
E. Schrödinger(1887-1961)
• A primeira formulação para esta nova interpretação da Mecânica, aMecânica Quântica, teoria foi proposta pelo físico austríaco ErwinSchrödinger em 1925.
• De acordo com Schrödinger, em decorrência do caráter dual damatéria (onda-partícula), mesmo que uma partícula se mova em umatrajetória definida ela estará distribuída em todo o espaço como umaonda.
• Assim, uma onda na mecânica quântica equivaleria ao conceito detrajetória na mecânica clássica e seria representada por uma funçãodenominada função de onda, ψ.
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Prof. Alex Fabiano C. Campos, Dr®
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A Função de Onda (A Função de Onda (ψψψψψψψψ))
• Para um fenômeno ondulatório qualquer, pode-se escrever a função de onda em suaforma geral como:
( ) (2 ) (2 )u
Asen t Asen t Asen tϕψ ω ϕ πν ϕ π ϕλ
= + = + = +
• Como uϕt = x, isto é, a distância percorrida pela onda durante um intervalo de tempo t,pode-se escrever para uma onda que se propaga apenas em uma direção:
(2 )x
Asenψ π ϕλ
= +
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A Equação de SchrödingerA Equação de Schrödinger
• Na mecânica de oscilações um movimento ondulatório unidimensional é descrito por:
• Em que k é o número de onda:
22
2
( )( ) 0
d xk x
dx
ψψ+ =
λπ2
=k
2 2 p pk
h
π πλ
⇒ = = =ℏλ
hp = 2
h
π = ℏ
• Da equação de De Broglie,
m
pE
2
2
= 2p mE⇒ =2mE
k⇒ =ℏ
• Como,
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A Equação de SchrödingerA Equação de Schrödinger
2
2 2
( ) 2( ) 0
d x mEx
dx
ψψ+ =
ℏ
Esta é a equação de Schrödinger estacionária (independente do tempo) para
partículas livres não relativísticas de massa m e energia E.
• Substituindo na equação do movimento ondulatório:
2 2
2
( )( )
2
d xE x
m dx
ψψ− =
ℏ
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)(2
2
xVm
pE +=
2 2
2
( )( ) ( ) ( )
2
d xV x x E x
m dx
ψψ ψ− + =
ℏ
A Equação de SchrödingerA Equação de Schrödinger
• No caso de a partícula se encontrar em um campo de forças associado a umaenergia potencial V(x), pode-se escrever:
Esta é a equação de Schrödinger para estados estacionários de energia E na
presença de energia potencial V(x).
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A Equação de SchrödingerA Equação de Schrödinger
• Generalizando para o caso tridimensional:
2 2 2 2
2 2 2
( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , ) ( , , )
2
x y z x y z x y zV x y z x y z E x y z
m x y z
ψ ψ ψψ ψ
∂ ∂ ∂− + + + = ∂ ∂ ∂
ℏ
22
2V E
mψ ψ ψ− ∇ + =
ℏ
• Ou introduzindo o operador Laplaciano:
• Ou ainda introduzindo o operador Hamiltoniano:
H Eψ ψ=
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Interpretação da Função de OndaInterpretação da Função de Onda
•A que corresponde a amplitude e a intensidade da onda?
•Qual a relação entre a onda e a partícula a ela associada?
•As soluções da equação são fisicamente aceitáveis?
O problema consiste em associar novos conceitos
físicos relacionados à mecânica da escala atômica.
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Interpretação da Função de OndaInterpretação da Função de Onda
• Sendo o potencial constante uma possível solução para a equação de Schrödinger, aqual pode ser obtida por métodos de resolução de equações diferenciais, é da forma:
em que i é um número complexo imaginário.
• A solução da equação de Schrödinger é portanto, uma função de onda complexa.
• Como ψ é uma função complexa (imaginária) ela não deve ter significado físico e,portanto não pode ser medida em laboratório.
• Apenas as grandezas ou observáveis reais têm significado físico e podem ser medidasem laboratório.
( ) cos( ) sen( )ikxx e A kx B i kxψ = = +
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Interpretação da Função de OndaInterpretação da Função de Onda
Max Born(1882-1970)
• Max Born foi o primeiro a dar uma interpretação, não à função deonda em si mas ao seu quadrado.
• O módulo da função de onda ao quadrado ψ2 é uma grandeza nãocomplexa, portanto ele deve ter significado físico.
• De acordo com Max Born, para movimentos em uma únicadimensão x, ψ2 é a probabilidade por unidade x isto é: é aprobabilidade de que se encontre a partícula em uma posição entrex e x + dx.
• Ψ 2 é, portanto, a densidade de probabilidade de presença.
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• A Mecânica Quântica não é determinística, mas sim probabilística. Ela nos força aabandonar a noção de trajetórias precisamente definidas das partículas no tempo e noespaço.
Esta interpretação de ψψψψ fornece uma conexão estatística entre a partícula
e onda a ela associada. Ela nos diz onde a partícula provavelmente estará
e não onde de fato está.
Interpretação da Função de OndaInterpretação da Função de Onda
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Propriedades da Função de OndaPropriedades da Função de Onda
• Como ψ2 representa uma densidade de probabilidade, ela dever ser definida em todo o espaço.
ψψψψ é uma função contínua
•ψ2 não pode ser infinita.
ψψψψ é uma função finita
•ψ2 deve ser nula a uma distância infinita do núcleo.
ψψψψ se anula no infinito
• A probabilidade de se encontrar uma partícula em toda a região do espaço dever ser igual a 1, ou seja ,
ψψψψ deve ser normalizada
2 1.dxψ+∞
−∞
=∫
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Função de Onda e OrbitaisFunção de Onda e Orbitais
• A solução da Equação de Schrödinger fornece uma série de funções de onda comníveis de energia associados. Estas funções de onda são os orbitais atômicos que têmenergia e distribuição (formato) características
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Função de Onda e OrbitaisFunção de Onda e Orbitais
Orbitais s
• Todos os orbitais s são esféricos.
• Para mais elevados níveis de energia, os orbitais s ficam maiores.
• Um nó é uma região no espaço onde a probabilidade de se encontrar um elétron é zero. Em um nó, ψ2 = 0
• À medida que n aumenta, aumenta o número de nós.
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Função de Onda e OrbitaisFunção de Onda e Orbitais
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Orbitais p
• Existem três orbitais p, px, py, e pz.
• Os três orbitais p localizam-se ao longo dos eixos de um sistema cartesiano.
• Os orbitais têm a forma de halteres. Para mais elevados níveis de energia, os orbitais sficam maiores
• Todos os orbitais p têm um nó no núcleo.
Função de Onda e OrbitaisFunção de Onda e Orbitais
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Função de Onda e OrbitaisFunção de Onda e Orbitais
Orbitais d
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Função de Onda e OrbitaisFunção de Onda e Orbitais
Orbitais f
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Resolução da Equação de Resolução da Equação de SchrödingerSchrödinger
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Partícula Livre (1D)Partícula Livre (1D)
2 2
2
( )( ) ( ) ( )
2
d xV x x E x
m dx
ψψ ψ− + =
ℏ
e-
v�
x
•Mas como V(x)=0, vem que
• Da equação de Schrödinger unidimensional e independente do tempo,
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) 2( ) ( ) 0
2
d x d x mEE x x
m dx dx
ψ ψψ ψ− = ⇒ + =
ℏ
ℏ
• Assim,
22
2
( )( ) 0
d xk x
dx
ψψ⇒ + =
2mEk
= ℏ
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Partícula Livre (1D)Partícula Livre (1D)
• Esta equação tem como solução geral:
( ) cos( ) sen( )ikxx e A kx B i kxψ = = +
• Podem-se obter soluções mais gerais por meio de combinações de funções complexas:
( ) ikx ikxx Ae Beψ −= +(Esta equação é uma combinação linear de duas ondas planas que se propagam nasdireções +x e –x. A e B são as amplitudes de cada uma das ondas)
• Assim, operando-se ψ(x), pode-se mostrar que
2 2 22
2
( )( ) ( )
2 2
d xk x E x
m dx m
ψψ ψ− = =
ℏ ℏ
• Finalmente: 2 2
2
kE
m=ℏ
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2
22
m
kEℏ
=
k
E
Partícula Livre (1D)Partícula Livre (1D)
Ou seja, uma partícula livre pode ser encontrada em qualquer ponto sobre o eixo x, com a mesma probabilidade.
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Partícula em uma Caixa (1D)Partícula em uma Caixa (1D)
0, 0 ( )
, ou 0
x LV x
x L x
< <=
∞ ≥ ≤
V
∞ ∞
x0 L
2 2
2
2 2
Em ou 0 (região proibida): ( ) 0
Em 0 , temos ( ) 0 :
Assim, (como a partícula livre)2
Solução geral: ( ) ; 2
ikx ikx
x L x x
x L V x
dE
m dx
kx Ae Be E
m
ψ
ψψ
ψ −
≥ ≤ =
< < =
− =
= + =
ℏ
ℏ
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Partícula em uma Caixa (1D)Partícula em uma Caixa (1D)
n
nk
L
π= ⇒
• Condição de contorno 1: (0) 0ψ =
(0) 0 A B A Bψ = + = ⇒ = −então em x=0, vem:
logo: ( )( ) sen ikx ikxx A e e A kxψ −= − =
• Condição de contorno 2: ( ) 0Lψ =
então em x=L, vem: ( ) sen 0 ( 1, 2,3...)L A kL kL n nψ π= = ⇒ = =
logo:2 2 2 2 2
2
2 2
nn
k nE
m mL
π= =ℏ ℏ
(quantização de energia)
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Partícula em uma Caixa (1D)Partícula em uma Caixa (1D)
( ) senn n
n xx A
L
πψ =
• Funções de onda do tipo
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
E1
E2
E3
V ∞ ∞
x0 L
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Partícula em uma Caixa (1D)Partícula em uma Caixa (1D)
• Normalizando a função de onda:
2 1dxψ+∞
−∞
= ⇒∫ 2 2
0
1
Ln x
A sen dxL
π = ∫
• Finalmente:
2( )n
n xx sen
L L
πψ =
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Partícula em uma Caixa (1D)Partícula em uma Caixa (1D)
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( )
=L
xnsenL
xnπ
ψ22
2
222
82n
mL
h
m
kE nn
==
ℏ
Partícula em uma Caixa (1D)Partícula em uma Caixa (1D)
18
1 6,02 10 37,63E J eV−≈ × ≈
34 2 67
1 31 10 2 50
[6,63 10 ] 4,39 10
8[9,11 10 ][10 ] 7, 29 10
JsE
kg m
− −
− − −
× ×= ≈ × ×
Exemplo: Cálculo da energia de 1 elétron confinado em uma caixa unidimensional decomprimento L = 0,1 nm, no estado fundamental.
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V
x0
V0ψψψψ (x)
xe γ−
Existe uma probabilidade de encontrar o elétron na região
classicamente proibida
V
x0
ψψψψ (x)
a
incidente
refletido
transmitido
Se a barreira for suficientemente pequena
(largura a) o elétron poderá ser transmitido (tunelar) com
uma certa probabilidade: EFEITO TÚNEL
Barreira de Potencial e TunelamentoBarreira de Potencial e Tunelamento
2 2
2 ( ) a
transP a e γψ −≈ ∝
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