aula espaço vetorial
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1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1
é um conjunto de Geradores para 3R
3, ,x y z R
, , 1,0,0 0,1,0 0,0,1x y z x y z
Porque todo vetor
Pode ser escrito da forma:
3 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1R
Assim, escrevemos:
1 2
(2,3) 2 (1,0) 3 (0,1)e e
)0,1(1)0,1(
)0,1(5)0,5(
1e
1(1,0) e Vetor canônico, gerador da reta horizontal
2(0,1) e Vetor canônico, gerador da reta vertical
( 0, 3) 3 (0,1)
(0,2) 2 (0,2)
2e
1 2,e e
21,ee2R
pois 2),( Rba
)1,0()0,1(),( baba
)0,2(,, 212 eeR pois 2),( Rba
)0,2.(0)1,0()0,1(),( baba
)0,1(1 e
)1,0(2 e( , )a b
E por que estes 2 conjuntos têm quantidades diferentes de geradores, se são geradores
do mesmo espaço?
Os elementos chamados geradores ou sistemas de geradores de podem ser um conjunto L.I ou L.D.
V
21,ee2R 21,ee Conj. L.I
)0,2(,, 212 eeR )0,2(,, 21 ee Conj. L.D
Um ponto representa o vetor nulo.
Vetor qualquer Um único vetor diferente do vetor nulo é sempre L.I
Dois vetores são L.D quando um é múltiplo por um escalar do outro
uv
(1,0)u (2,0)v 2v u
o xu
vvu
yTrês vetores no plano são sempre L.D, ou seja, um terceiro vetor sempre pode ser escrito como comb. Linear dos outros dois.
Um conj. que contém um subconj. L.D é L.D.
. .
(1,0), (2,0) , (0,3)elementosdeum conj L D
De um conjunto L.D podemos extrair um subconjunto. L.I
Se um conjunto é L.I, todos os seus subconjuntos são L.I
Um conjunto que possui o vetor nulo é sempre L.D.
- conjunto ordenado:
- formado por um conjunto de vetores L.I.- gera V.
Proposição: De um conjunto de geradores de um espaço ou subespaço vetorial V é sempre possível extrair uma base.
Processo prático para determinar umabase de um subespaço do . n
Consiste em escalonar a matriz cujas linhassão os vetores geradores do subespaço.As linhas que não “zerarem” correspondem aos vetores geradores que forem LI.
1,1 , 1,0 , 0, 1W
Determinar uma base para o seguinte subespaço do espaço do :
2R
1 1
1 0
0 1
A
2 2 1L L L ��������������
1 1
0 1
0 1
2 2L L ��������������
1 1
0 1
0 1
1 1 2
3 3 2
L L L
L L L
��������������
��������������
1 0
0 1
0 0
Portanto, os vetores (1,1) e (1,0) (correspondentes às linhas que não se anularam na matriz escalonada) formam a base para W.
1,1 , (0,1)
( )
B
BASE
Dimensão
Proposição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Então, qualquer base de V tem o mesmo número de elementos (cardinalidade).
A este número de elementos dá-se o nome de Dimensão de V.
Portanto, se V é finitamente gerado, podemos dizer que ele tem
dimensão finita.
Resultados importantes
Seja V um espaço de dimensão finita n. Então: Qualquer conjunto com mais de n elementos em V é LD. Qualquer conjunto L.I de V pode ser completado para formar uma base de V.
Qualquer conjunto L.I de V tem no máximo n elementos. Qualquer conjunto L.I com n elementos é uma base de V.
Dimensão da Soma de 2 Subespaços
dim dimdim U W U W dim U W
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e U, W subespaços de V. Então
Determine um conjunto de geradores, a base e a dimensão para os seguintes subespaços:
3
3
) ( , , ) ; 0
) ( , , ) ; 2 0
)
)
a U x y z R x y z
b V x y z R x y
c U V
d U V
Assim: (1,1,0) , (1,0,1)U
0x y z
( , , )x y z V
Ou seja, x y z Assim, um genérico vetor de U é da forma:
( , , )y z y z
(1,1,0) (1,0,1)y z
U=[(1,1,0),(1,0,1)].
2)dim( UAssim
(1,1,0) não é múltiplo de (1,0,1)
(1,1,0), (1,0,1)O conjunto é L.I
Logo constitui uma base para o subespaço U
2 0x y
( , , )x y z V
Ou seja,
(2 , , )y y z (2,1,0) (0,0,1)y z
Assim, um genérico vetor de V é da forma:
(2,1,0) , (0,0,1)V
2 .x y e z é qualquer
dim( ) 2V Assim
(2,1,0)não é múltiplo de (0,0,1)
(2,1,0), (0,0,1)O conjunto é L.I
Logo constitui uma base para o subespaço V
(2,1,0) , (0,0,1)V
Um conjunto de geradores para U+V è dado pela uniao dos dois conjuntos, i.e.,:
(1,1,0) , (1,0,1)U
(2,1,0) , (0,0,1)V [(1,1,0) , (1,0,1), (2,1,0), (0,0,1)]U V
Para extrair uma base usaremos o processo prático de determinação de uma base.
1,1,0 , 1,0,1 , 2,1,0 , 0,0,1U W
1 1 0
1 0 1
2 1 0
0 0 1
2 2 1 L L L
3 3 12L L L
2 2L L
1 1 2L L L 1 0 1
0 1 1
0 0 0
0 0 1
3 3 2L L L
1 1 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
1 1 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
1,1,0 , 1,0,1 , 2,1,0 , 0,0,1U W (1,1,0), (1,0,1), (0,0,1)
Constituem uma base para U W1 0 1
0 1 1
0 0 0
0 0 1
Ou ainda
(1,0,1), (0,1, 1), (0,0,1)
(Vetores restantes)
dim( ) 3U V
Precisamos encontrar um conjunto de vetores que satisfaça a ambas as condições:
0
2 0 2
x y z
x y x y
Substituindo na 1ª equação temos:2 0 0y y z y z y z
(2 , , ) (2,1,1)y y y y
(2,1,1)U V dim( ) 1U V
Portanto, utilizando a relação podemos coomprovar a dimensão do espaço soma.
dim 2 2 1 3U V
WUWUWU dimdimdim)dim(
1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1
é um conjunto de Geradores para
3 3R
3 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1R e é linearmente independente (L.I)
Logo 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1
É uma base de
3R
Como possui 3 elementos, Dim
3R
O vetor pode ser escrito da seguinte forma:
(1, 3,5)u
1(1,0,0) 3(0,1,0) 5(0,0,1)u
Portanto, dizemos que o vetor é uma combinação linear dos vetores
u
(1,0,0) , (0,1,0), (0,0,1)com os escalares 1, -3, 5 (coord. do vetor)
Se mudássemos a base de referência
As coordenadas dos vetores continuariam a mesma?
, ,i j k
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) ou
' 1,1,1 , 1,0,1 , 1,0, 1 B
Por definição, às coordenadas de v na base B´ é dado pelos coeficientes a,b e c abaixo:
1, 3,5 1,1,1 1,0,1 1,0, 1a b c
4
8
b c
b c
2 12b 6b
6 4c 2c
As coordenadas de v são -3,6 e -2
A matriz das coordenadas de v na base B´ é '
3
6
2B
v
ANTON, H.; RORRES, C.: Álgebra Linear com Aplicações. Bookman, 8ª ed. Porto Alegre: RS, 2001.
Bibliografia Básica
CALLIOLI, C. A.; DOMINGUES, HYGINO H.; COSTA, Roberto C. F. Álgebra Linear e Aplicações. Atual, 7ª ed. São Paulo: SP, 2000.
HOFFMAN, K.;KUNZE,R.: Álgebra Linear. LTC editora, 1979
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