aula 4 respostas de um slit -...
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Introdução
Características de um SLIT
Resposta ao degrau unitário
Resposta a entrada nula
Resposta total
A convolução entre dois sinais de tempo contínuo 𝑥(𝑡) e ℎ(𝑡) é dada pela integral:
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 = 𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏∞
−∞
ℎ(𝑡)
𝑥(𝑡) 𝑦(𝑡)
Propriedades:
Comutativa:
ℎ 𝑡 ∗ 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)
Associativa:
𝑥 𝑡 ∗ ℎ1 𝑡 ∗ ℎ2 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ {ℎ1 𝑡 ∗ ℎ2 𝑡 }
Distributiva:
𝑥 𝑡 ∗ ℎ1 𝑡 + ℎ2 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ1 𝑡 + 𝑥 𝑡 ∗ ℎ2(𝑡)
Deslocamento:
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡
𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 − 𝑇 = 𝑦(𝑡 − 𝑇)
Elemento Neutro:
𝑥 𝑡 ∗ 𝛿 𝑡 = 𝑥(𝑡)
Em relação à memória:
Sem memória:
A saída 𝑦(𝑡) só depende da entrada 𝑥(𝑡) em tempo corrente:
𝑦 𝑡 = 𝐾𝑥 𝑡
ℎ 𝑡 = 𝐾𝛿 𝑡
Com memória:
A saída 𝑦(𝑡) depende de entradas ou saídas em tempos diferentes do corrente:
ℎ 𝑡0 ≠ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡0 ≠ 0
Causalidade
ℎ 𝑡 = 0, 𝑡 < 0
𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 ∗ 𝑥 𝑡 = ℎ 𝜏 𝑥 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏∞
0
Estabilidade:
Um SLIT é considerado estável (BIBO) se sua resposta impulsiva for integrável em módulo
𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 ∗ 𝑥 𝑡 = ℎ 𝜏 𝑥 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏∞
−∞
𝑦 𝑡 ≤ |ℎ 𝜏 ||𝑥 𝑡 − 𝜏 |𝑑𝜏∞
−∞
Considerando uma entrada limitada |𝑥 𝑡 − 𝜏 | ≤ 𝐾 < ∞
|𝑦 𝑡 | ≤ 𝐾. |ℎ 𝜏 |𝑑𝜏 = 𝐾 |ℎ 𝜏 |𝑑𝜏∞
−∞
∞
−∞
Logo, para estabilidade BIBO
ℎ 𝜏 𝑑𝜏 < ∞∞
−∞
Resposta ao degrau unitário: 𝑠(𝑡)
Caracteriza como o sistema responde a mudanças repentinas na entrada.
Expressada considerando 𝑥 𝑡 = 𝑢(𝑡) e aplicando a convolução:
𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 ∗ 𝑢 𝑡 = ℎ 𝜏 𝑑𝜏𝑡
−∞
Invertendo as relações, temos:
ℎ 𝑡 =𝑑
𝑑𝑡𝑠(𝑡)
Exemplo:
Encontre a resposta ao degrau unitário do circuito RC que tem a resposta ao impulso:
ℎ 𝑡 =1
𝑅𝐶𝑒−𝑡/𝑅𝐶𝑢(𝑡)
Resolução:
𝑠 𝑡 = 1
𝑅𝐶𝑒−𝜏𝑅𝐶𝑢 𝜏 𝑑𝜏 =
1
𝑅𝐶𝑒−𝜏/𝑅𝐶𝑑𝜏
𝑡
0
𝑡
−∞
𝑠 𝑡 = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≤ 0
1 − 𝑒−𝑡/𝑅𝐶 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0
Relembrando:
Equação diferencial geral que descreve um sistema:
𝑑𝑁𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑁+ 𝑎1𝑑𝑁−1𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑁−1+⋯+ 𝑎𝑁−1
𝑑𝑦 𝑡
𝑑𝑡+ 𝑎𝑁𝑦(𝑡)
= 𝑏𝑁−𝑀𝑑𝑀𝑥 𝑡
𝑑𝑡𝑀+ 𝑏𝑁−𝑀+1
𝑑𝑀−1𝑥 𝑡
𝑑𝑡𝑀−1+⋯+ 𝑏𝑁−1
𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡+ 𝑏𝑁𝑥(𝑡)
Fazendo-se 𝐷 = 𝑑/𝑑𝑡 𝐷𝑁 + 𝑎1𝐷
𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝐷 + 𝑎𝑁 𝑦 𝑡 = 𝑏𝑁−𝑀𝐷𝑀 + 𝑏𝑁−𝑀+1𝐷
𝑀−1 +⋯+ 𝑏𝑁−1𝐷 + 𝑏𝑁 𝑥 𝑡
𝑄 𝐷 𝑦 𝑡 = 𝑃 𝐷 𝑥(𝑡)
Resposta nula é aquela quando 𝑥(𝑡) = 0 Logo,
𝑄 𝐷 𝑦 𝑡 = 𝑃 𝐷 𝑥 𝑡 = 0
𝐷𝑁 + 𝑎1𝐷𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝐷 + 𝑎𝑁 𝑦 𝑡 = 0
Solução:
𝑦0 𝑡 = 𝑐. 𝑒𝜆𝑡
Substituindo 𝑦(𝑡) = 𝑦0(𝑡): 𝐷𝑦0 𝑡 = 𝑐𝜆𝑒
𝜆𝑡
𝐷2𝑦0 𝑡 = 𝑐𝜆
2𝑒𝜆𝑡
𝐷3𝑦0 𝑡 = 𝑐𝜆
3𝑒𝜆𝑡 ⋮
𝐷𝑁𝑦0 𝑡 = 𝑐𝜆𝑁𝑒𝜆𝑡
Logo, 𝐷𝑁 + 𝑎1𝐷
𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝐷 + 𝑎𝑁 𝑦 𝑡 = 0 𝑐 𝜆𝑁 + 𝑎1𝜆
𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝜆 + 𝑎𝑁 𝑒𝜆𝑡 = 0
𝜆𝑁 + 𝑎1𝜆𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝜆 + 𝑎𝑁 = 0 𝑄 𝜆 = 0
Com N raízes distintas: 𝑄 𝜆 = 0
𝜆 − 𝜆1 𝜆 − 𝜆2 … 𝜆 − 𝜆𝑁 = 0
Daí,
𝑦0 𝑡 = 𝑐1. 𝑒
𝜆1𝑡 + 𝑐2. 𝑒𝜆2𝑡 +⋯+ 𝑐𝑁. 𝑒
𝜆𝑁𝑡
𝑄 𝜆 é chamado de polinômio característico do sistema, e não depende da entrada 𝑥(𝑡);
A equação 𝑄 𝜆 = 0 é chamada de equação característica;
As raízes 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑁 são chamadas de raízes características do sistema. Também chamados de valores característicos, autovalores e frequências naturais;
As exponenciais 𝑒𝜆1𝑡 , 𝑒𝜆2𝑡, … , 𝑒𝜆𝑁𝑡são chamadas de modos característicos. Também chamados de modos naturais;
Todo comportamento de um sistema é ditado principalmente pelos modos característicos;
Modos característicos são etapa determinante da resposta ao estado nulo;
A resposta de entrada nula é a combinação linear dos modos característicos do sistema;
Exemplo:
Seja um sistema linear invariante no tempo contínuo descrito pela EDLCC abaixo. Determine o polinômio característico, as raízes e os modos característicos do sistema.
Determine também a resposta de entrada nula quando 𝑦0 0 = 2 e 𝑑𝑦0 0
𝑑𝑡= −1.
𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2+ 5𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡+ 6𝑦(𝑡) =
𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡+ 𝑥(𝑡)
Exemplo:
Solução:
Considerando 𝐷 = 𝑑/𝑑𝑡: 𝐷2 + 5𝐷 + 6 𝑦 𝑡 = 𝐷 + 1 𝑥 𝑡
𝑄 𝐷 𝑦 𝑡 = 𝑃 𝐷 𝑥 𝑡
Polinômio característico: 𝑄 𝜆 = 𝜆2 + 5𝜆 + 6
Solucionando a equação característica 𝑄 𝜆 = 0, encontram-se as raízes características:
𝜆1 = −2 , 𝜆2 = −3
Desta forma, os modos característicos são: 𝑒−2𝑡 e 𝑒−3𝑡
A resposta a entrada nula é: 𝑦0 𝑡 = 𝑐1𝑒−2𝑡 + 𝑐2𝑒
−3𝑡
Exemplo: Solução:
A resposta a entrada nula é: 𝑦0 𝑡 = 𝑐1𝑒−2𝑡 + 𝑐2𝑒
−3𝑡
Considerando os valores iniciais:
𝑦0 0 = 2 = 𝑐1𝑒−2𝑡 + 𝑐2𝑒
−3𝑡 𝑑𝑦0(0)
𝑑𝑡= −1 = 𝑐1𝑒
−2𝑡 + 𝑐2𝑒−3𝑡
Solucionando este sistema de equações, temos: 𝑐1 = 5 e 𝑐2 = −3
Portanto,
𝑦0 𝑡 = 5𝑒−2𝑡 − 3𝑒−3𝑡
A resposta completa de um SLIT é:
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜 + 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑢𝑙𝑎
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑐𝑘𝑒𝜆𝑘𝑡
𝑁
𝑘=1
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑢𝑙𝑎
+ 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜
Considerando raízes distintas. Caso o sistema avaliado possua raízes repetidas, deve-se modificar a equação acima;
Para determinar a resposta ao impulso de um sistema descrito por uma EDLCC, pode-se utilizar da relação:
ℎ 𝑡 = 𝑏0𝛿 𝑡 + 𝑃 𝐷 𝑦𝑁 𝑡 𝑢 𝑡 , 𝑏0 = 0 𝑠𝑒 𝑀 < 𝑁
Onde 𝑦𝑁(𝑡) é a combinação linear dos modos característicos e sujeitos às condições iniciais:
𝑦 0 =𝑑𝑦(0)
𝑑𝑡=𝑑2𝑦(0)
𝑑𝑡2= ⋯ =
𝑑𝑁−2𝑦 0
𝑑𝑡𝑁−2= 0 e
𝑑𝑁−1𝑦 0
𝑑𝑡𝑁−1= 1
Exemplo:
Seja um SLIT descrito por sua EDLCC abaixo. Determine a resposta ao impulso quando
𝑦0 0 = 0 e 𝑑𝑦0(0)
𝑑𝑡= 1.
𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2+ 3𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡+ 2𝑦(𝑡) =
𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡
Solução:
𝜆2 + 3𝜆 + 2 = 0 𝜆1 = −1 , 𝜆2 = −2 𝑦𝑁 𝑡 = 𝑐1𝑒
−𝑡 + 𝑐2𝑒−2𝑡
𝑑𝑦𝑁(𝑡)
𝑑𝑡= −𝑐1𝑒
−𝑡 − 2𝑐2𝑒−2𝑡
Solução:
Aplicando condições inicias nulas:
𝑦𝑁 0 = 0 = 𝑐1𝑒0 + 𝑐2𝑒
0 𝑑𝑦𝑁(0)
𝑑𝑡= 1 = −𝑐1𝑒
0 − 2𝑐2𝑒0
Logo, 𝑐1 = 1 , 𝑐2 = −1
Então, 𝑦𝑁 𝑡 = 𝑒
−𝑡 − 𝑒−2𝑡
Para determinar a resposta ao impulso:
ℎ 𝑡 = 𝑏0𝛿 𝑡 + 𝑃 𝐷 𝑦𝑁 𝑡 𝑢 𝑡
ℎ 𝑡 = 0𝛿 𝑡 + 𝐷(𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡) 𝑢 𝑡
ℎ 𝑡 = 2𝑒−2𝑡 − 𝑒−𝑡 𝑢(𝑡)
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