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AULA 17Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas VI:

Efeitos Zeeman e Paschen-Back e Exercícios

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Data Aula Dia Tópico6 Abril 7 2a Átomos com mais de um elétron: Partículas idênticas e

princípio de exclusão de Pauli

8 Abril 8 4a Átomo de He e forças de troca

13 Abril 9 2a Teoria de Hartree

15 Abril 10 4a Estados fundamentais e excitados

22 Abril 11 4a Exercícios & Teste 1

27 Abril 12 2a Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas I

29 Abril 13 4a Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas II

04 Maio 14 2a Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas III

06 Maio 15 4a Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas IV e Efeito Zeeman

11 Maio 16 2a Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas V e Efeito Zeeman

13 Maio 17 4a Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas VI, Efeito Zeeman, Efeito Paschen-Back, Exercícios

Você também pode ler sobre esta aula no capítulo10 do livro do Eisberg & Resnick.

Calendário da Graduação 2020

•Agosto de 2020

31 - Término das aulas do 1º período letivo de 2020.

•Setembro de 2020

01 a 05 - Exames finais do 1º período letivo de 2020 e

das Turmas Especiais I e II.

09 - Último dia para entrada de Médias e Frequências do

1º período letivo de 2020 e Turmas Especiais I e II.

3

Na próxima segunda-feira,..

•Na próxima segunda-feira, dia 18, vou passar o 2º teste.

•Novamente, eu recomendo fortemente que vocês façam

um resumo do capítulo em uma página de papel A4.

•O teste deverá ser entregue na 2ª feira seguinte, dia 25,

até as 21 horas.

•O resumo não é obrigatório, mas quem fizer pode

entregar e será considerado de alguma forma.

4

Vamos rever rapidamente o efeito Zeeman

•Pieter Zeeman observou pela primeira vez o efeito em 1896.

•Prêmio Nobel 1902, junto com Lorentz.

•O que há de tão excepcional na descoberta do efeito Zeeman?? Ainda não se conhecia o elétron (Thomson = e/m,1897), não havia quantização, nem fótons, nem modelo de Bohr, muito menos MQ!

•O efeito Zeeman consiste na separação de uma linha espectral em várias quando os átomos estão na presença de um campo magnético externo.

5

6

Sem

campo

Com

campo

Efeito Zeeman

normal Efeito Zeeman

anômalo

Transições entre quaisquer estados

singleto num átomo com número par de

elétrons opticamente ativos.

Transições entre dois estados dubleto:

entre 1º estado excitado e o estado

fundamental de um átomo de sódio

Efeito Zeeman normal e anômalo

Efeito Zeeman (campo externo)...

Sem campo

Com campo

fraco

7

Efeito de um campo magnético..

•Um campo magnético atuando no átomo acrescenta uma

energia potencial à energia total, que é

•Nós vimos que já existe um campo magnético interno nos

átomos (com exceção de quando não há momento

angular orbital).

•O campo magnético interno é responsável pela interação

spin-órbita.

•Nos dois efeitos seguintes, efeito Zeeman e efeito

Paschen-Back, estudamos o que acontece se aplicarmos

aos átomos um campo magnético externo.

8

.potE B = −

Nos dois efeitos,...

•No caso do efeito Zeeman, Bext<< Bint . Neste caso, o

campo interno tem um efeito maior para a separação dos

níveis do que o campo externo. A separação dos níveis

que é maior é a da interação spin-órbita, devida ao

campo interno.

•No caso do efeito Paschen-Back, Bext>> Bint . Neste caso,

o campo magnético externo tem um efeito maior do que o

campo magnético interno. A energia potencial de

orientação maior que é acrescida aos níveis é aquela

devida ao campo externo.

9

Efeito Zeeman

10

’

’

’

’ ’

’ ’’

Campo magnético

externo fracoBext

’

J’

Efeito Zeeman:

•A energia de cada estado será alterada em:

•resultando em

11

ext ext

g é chamado

de fator de Landé

( ) ( ) ( )

( )

1 1 11

2 1

j j s sg

j j

+ + + − += +

+

b jE g Bm =

NOTE: preste atenção nas grandezas que são

vetores e quais se referem a seus módulos!

Vamos ver um exemplo...

•Vamos estudar o que acontece com a transição do

primeiro estado excitado para o estado fundamental de

um átomo de sódio, que tem 11 elétrons.

•A configuração no estado fundamental é 1s22s22p63s.

•A configuração no 1º estado excitado é 1s22s22p63p.

•No estado fundamental não há interação spin-órbita.

•No 1º estado excitado, a interação spin-órbita causa a

separação em dois níveis.

12

Vamos ver o exemplo clássico•Um exemplo clássico no efeito Zeeman é o dubleto das

linhas amarelas D1 e D2 do átomo de sódio, emitidas na

transição do 1º estado excitado de volta ao estado

fundamental.

13

interação LS (Bint)

Em lâmpada de

vapor de sódio

2S1/2

2P3/2

2P1/2(ℓ=1) → (ℓ=0 )

g =4/3

g =2/3

g =2

Exemplo: Sódio

( ) ( ) ( )

( )

1 1 11

2 1

j j s sg

j j

+ + + − += +

+

jm

14

3s

3p

3p

g =4/3

g =2/3

g =2

Sódio

( ) ( ) ( )

( )

1 1 11

2 1

j j s sg

j j

+ + + − += +

+

b jE g Bm =

jm

15

3s

3p

3p

g =4/3

g =2/3

g =2

b jE g Bm =

jm

16

Regras de seleção

com campo externo

0, 1 (mas não 0 para 0)j j jm m m = = =

Efeito Zeeman anômalo no Na

17

Energ

ia /

eV

Sem

campo

Com campo

magnético fraco

B < B int

Sem campo

Com campo fraco

Efeito Zeeman anômalo no sódio

2P3/2

2P1/2

2S1/2

Interação spin-órbita

Note que..

•No slide anterior, você deve notar que a separação dos

níveis na presença do campo fraco é bem menor do que

a separação dos níveis devido à interação spin-órbita,

que é devida à interação com o campo magnético interno

do átomo (que é maior do que o campo externo aplicado).

18

19

Já para um estado em que o spin é nulo...

s’= 0 j’ = ℓ’ g = 1

( ) ( ) ( )

( )

1 1 11

2 1

j j s sg

j j

+ + + − += +

+

b bE g Bm Bm = =

O momento de dipolo vem unicamente

do momento angular orbital total.

Já para um estado em que o spin total é nulo,

ℓ’ =2

ℓ’ =1

mℓ’ Energia

1 linha espectral é

desdobrada em 3 linhas

3p3d

3p3d

h

h−bB h h +bB

Regras de seleção para efeito Zeeman

normal

•Há quatro regras de seleção que se aplicam no caso do

efeito Zeeman normal e nenhuma delas envolve j’, já

que tratamos a interação com o campo externo antes do

acoplamento spin-órbita (ou seja, na verdade estamos

não consideramos a interação spin-órbita):

21

' 0, 1

' 0, 1

' 0

' 0s

m

s

m

=

=

=

=

22

Já para um estado em que o spin total é nulo,

• Tive que procurar bastante para encontrar as regras de

seleção para o caso em que o spin total é nulo, que é o

caso do efeito Zeeman normal. Parece que todos os

livros se concentram em dar apenas as regras de seleção

para o efeito Zeeman anômalo.

• No caso em que o spin é nulo, como sabemos, não

estamos tratando a interação spin-órbita. Então as regras

que valem envolvem apenas ℓ’ e m’ℓ , s’ e m’s , e não

envolvem j’.

•A regra em s’ implica que não há transição para um estado

s’ 0 , por exemplo. Tal transição envolveria uma alteração

no spin, e, portanto, interação de dipolo magnético, não elétrico.

No caso do efeito Paschen-Back,..

23

• Paschen e Back fizeram suas medidas em 1921,

portanto, também antes do surgimento da Mecânica

Quântica.

Efeito Paschen-Back

24

Campo magnético

externo intenso

’

’

Bext

O momento angular

orbital e o spin

precessionam

independentemente

em torno da direção

do campo magnético. O número quântico j’

não é mais um “bom

número quântico”.

Há ainda um outro caso, mais simples...

•Quando temos um campo externo muito maior do que o

campo magnético interno do átomo, da ordem de alguns

Tesla.

•Neste caso, ocorre também uma separação do nível em

vários outros, mas antes da interação spin-órbita, e

sem destruir o acoplamento dos spins em S’ e dos

momentos angulares de L’.

•Os vetores S’ e L’ precessionarão independentemente

em torno do eixo z :

25

O efeito Paschen-Back (Bext>> Bint)

26

( )2b sE B m m = +

Regras de seleção para Paschen-Back:

0

0, 1

sm

m

=

=

Vamos ver as diferenças...

27

As linhas D1-D2 do dubleto do sódio

em campo magnético

28

2P3/2

2P1/2

2S1/2

Sem

campo

As linhas D1-D2 do dubleto do sódio em

campo magnético

29

2P3/2

2P1/2

2S1/2

Com

campo fracoSem

campo

4 + 6 = 10 linhas

As linhas D1-D2 do dubleto do sódio em

campo magnético

30

m’ℓ + 2 m’s

210

−1−2

+1

−1

2P3/2

2P1/2

2S1/2

Com

campo fraco

Sem

campo

4 + 6 = 10 linhas 3 linhas

0

0, 1

sm

m

=

=

Atenção

Não consegui fazer

as linhas em escala!

As cores iguais (vermelho,

amarelo e azul) indicam

diferenças de energias

(portanto e ) iguais.

Com

campo intenso

( )2b sE B m m = +

Um pouquinho melhor ampliado…

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Efeito Paschen-Back

•No slide seguinte podemos observar como os níveis do

exemplo do átomo de sódio vão se separando cada vez

mais conforme o campo magnético vai aumentando.

•Aqui a variável na abscissa é proporcional ao campo

magnético externo, que vai crescendo a partir do zero

com o x crescente:

onde E é a diferença de energia entre os níveis

envolvidos quando não há campo magnético externo

aplicado.

32

Bohr Bx

E

=

Bohr Bx

E

=

m’ℓ m’s m’ℓ +2m’s

33

No slide anterior, note...

• Observe a linha vertical hachurada: ela corta as linhas

azuis resultando em 4 níveis para 2P3/2 , 2 níveis para

2P1/2 , e 2 níveis para 2S1/2 , exatamente como tínhamos

mostrado no slide 29 para o caso de campos magnéticos

externos fracos.

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Exercício 1

•Dê uma previsão dos valores de s’, ℓ’ e j’

do estado de máxima energia de dois elétrons opticamente

ativos com os números quânticos ℓ1 = 1, s1 = ½, ℓ2 = 2, s2 = ½.

•Faça um diagrama esquemático semelhante à figura 10-3

mostrando o movimento dos vetores momento angular neste

estado.

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Exercício 2

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• Ache os valores possíveis de s’, ℓ’ e j’ para uma configuração

com dois elétrons opticamente ativos com números quânticos

ℓ1 = 2, s1 = ½, ℓ2 = 3, s2 = ½. Especifique qual j’ vai com quais

combinações de s’ e ℓ’ .

• Faça um esquema dos níveis de energia em ordem

crescente de energia. Dê a designação de cada termo na

notação espectroscópica.

Exercício 3

•Escreva os números quânticos s’, ℓ’ e j’ para os estados

descritos na notação espectroscópica como 2S3/2, 3D2 e

5P3.

•Descubra se algum desses estados é impossível, e se

sim, explique por que.

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Exercício 4

•Faça um esquema, similar à figura 10-6, ilustrando os desdobramentos dos níveis devido ao acoplamento spin-órbita para os níveis de energia de dois elétrons numa configuração 4s3d.

•Calcule as diferenças de energia entre os níveis, e a razão entre as diferenças para que você consiga desenhar os níveis em escala.

•Dê a designação de cada termo na notação espectroscópica.

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Exercício 5

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• Para um estado atômico com números quânticos ℓ’ =2 ,

s’ = 1 e j’ = 3, encontre o ângulo entre o momento

magnético total e a direção antiparalela ao momento

angular total. Não há nenhum campo magnético externo

presente.

Exercício 6

•Escreva a configuração do estado fundamental dos

átomos de 12Mg, 13Al e 14 Si.

•Faça uma previsão sobre os números quânticos do

estado fundamental de cada átomo e expresse o seu

resultado na notação espectroscópica.

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Exercício 7

•Considere a configuração 2p3s do átomo de carbono para

a qual a ordenação dos níveis de energia segundo s’,ℓ’ e j’

e a dependência relativa da energia com esses números

quânticos é a dada pela interação LS.

•Faça um diagrama de níveis de energia esquemático para

esta configuração, seguindo o modelo da figura 10-6. Use

a mesma escala (exagerada) para o desdobramento da

estrutura fina, dada pela regra do intervalo de Landé, para

todos os níveis de um dado multipleto.

•Dê o notação espectroscópica de cada nível.

41

Dois elétrons do carbono: 2p3s

•Com a configuração dada, obteremos:

42

3P0,1,2

2p3s

s’=1

1P1

s’=0

43

3P0,1,2

2p3s

s’=1; ℓ’=1

1P1

j’

2

1

0

s’=0; ℓ’=1

• Interação spin-órbita: os estados tripleto serão separados segundo

•A constante K não é simples de calcular, mas ela é a mesma para todos os estados de um multipleto.

•Então podemos calcular razões entre diferenças de energias, de modo que a constante desconhecida seja cancelada.

•Use a fórmula acima para calcular as diferenças de energia entre os níveis 3P0 e 3P1 e entre os 3P1 e 3P2 e depois divida o segundo valor pelo primeiro. Você deve encontrar o valor 2, que é confirmado experimentalmente.

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ℓ’(ℓ’+1)

Exercício 8

•No diagrama de níveis de energia do exercício anterior,

desenhe, na mesma escala (altamente exagerada) os

desdobramentos Zeeman, dados pelo fator g de Landé,

para cada nível sob a influência de um campo magnético

externo fraco.

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Exercício 9

•a) Conte o número total de estados quânticos diferentes

na mesma configuração obtidos no exercício anterior.

•b) Mostre que esse número é igual à degenerescência da

configuração na aproximação de Hartree, isto é, o

produto dos fatores de degenerescência 2(2ℓ+1) para

cada um dos dois elétrons opticamente ativos da

configuração.

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Exercício 10

•Faça um diagrama mostrando as transições permitidas

pelas regras de seleção entre os estados singleto 2p3s1P1 e 2p2 1D2 do átomo de carbono.

•Verifique que o padrão Zeeman normal de 3 linhas

espectrais será observado nessas transições.

•Determine as diferenças em termos de comprimento de

onda entre essas três linhas quando o átomo estiver

submetido a um campo magnético externo de 0,1 Tesla.

•Dica: use a aproximação .

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( )2 2

c hcdEd d

h

= =

Exercício 11

•Refaça os diagramas de níveis de energia da figura 10-11

no caso da intensidade do campo magnético externo ser

aumentada até que os desdobramentos sejam descritos

pelo efeito Paschen-Back.

•Indique quais as transições permitidas pelas regras de

seleção neste caso e mostre que elas produzem linhas

espectrais desdobradas em somente três componentes.

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Resumo:

•Vimos uma recordação dos efeitos Zeeman e Paschen-

Back.

•Passamos alguns exercícios.

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