asslidesdasaulaspodemserbaixadaspelaminhapaginaweb …robertom/resources/l3.pdf · exemplo2....
Post on 18-Jul-2020
2 Views
Preview:
TRANSCRIPT
WEB SITE
As slides das aulas podem ser baixadas pela minha pagina webhttps://www.ime.usp.br/∼robertom/
1
INTEGRAIS TRIPLAS
Seja B ⊂ R3; dizemos que B é limitado se existir um paralelepipedo
A = (x , y , z) | a ≤ x ≤ a1, b ≤ y ≤ b1, c ≤ z ≤ c1 = [a, a1]× [b, b1]× [c, c1]
contendo B.
Consideramos
P1 : a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = a1
P2 : b = y0 < y1 < y2 < . . . < ym = b1
P3 : c = z0 < z1 < z2 < . . . < zp = c1
partições de [a, a1] , [b, b1] e [c, c1] respectivamente. Chamamos P = P1 × P2 × P3
partição do paralelepípedo A, Ficam assim determinados mnp paralelepípedos
Aijk =
(x , y , z) | xi−1 ≤ x ≤ xi , yj−1 ≤ y ≤ yj , zk−1 ≤ z ≤ zk,
Por cada Aijk escolhemos um ponto Xijk ∈ Aijk .
2
INTEGRAIS TRIPLAS
Seja B ⊂ R3; dizemos que B é limitado se existir um paralelepipedo
A = (x , y , z) | a ≤ x ≤ a1, b ≤ y ≤ b1, c ≤ z ≤ c1 = [a, a1]× [b, b1]× [c, c1]
contendo B. Consideramos
P1 : a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = a1
P2 : b = y0 < y1 < y2 < . . . < ym = b1
P3 : c = z0 < z1 < z2 < . . . < zp = c1
partições de [a, a1] , [b, b1] e [c, c1] respectivamente. Chamamos P = P1 × P2 × P3
partição do paralelepípedo A,
Ficam assim determinados mnp paralelepípedos
Aijk =
(x , y , z) | xi−1 ≤ x ≤ xi , yj−1 ≤ y ≤ yj , zk−1 ≤ z ≤ zk,
Por cada Aijk escolhemos um ponto Xijk ∈ Aijk .
2
INTEGRAIS TRIPLAS
Seja B ⊂ R3; dizemos que B é limitado se existir um paralelepipedo
A = (x , y , z) | a ≤ x ≤ a1, b ≤ y ≤ b1, c ≤ z ≤ c1 = [a, a1]× [b, b1]× [c, c1]
contendo B. Consideramos
P1 : a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = a1
P2 : b = y0 < y1 < y2 < . . . < ym = b1
P3 : c = z0 < z1 < z2 < . . . < zp = c1
partições de [a, a1] , [b, b1] e [c, c1] respectivamente. Chamamos P = P1 × P2 × P3
partição do paralelepípedo A, Ficam assim determinados mnp paralelepípedos
Aijk =
(x , y , z) | xi−1 ≤ x ≤ xi , yj−1 ≤ y ≤ yj , zk−1 ≤ z ≤ zk,
Por cada Aijk escolhemos um ponto Xijk ∈ Aijk .
2
INTEGRAIS TRIPLAS
Seja f : B ⊂ R3 → R. Definimos soma de Riemann de f , relativa à partição P e aospontos Xijk o seguinte numero
n∑i=1
m∑j=1
p∑k=1
f(Xijk
)∆xi∆yj∆zk
onde f(Xijk
)deve ser substituído por zero se Xijk /∈ B.
A integral tripla de f sobre B è dado pelo seguinte limite (caso exista)∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz = lim
∆→0
n∑i=1
m∑j=1
p∑k=1
f(Xijk
)∆xi∆yj∆zk
onde ∆ = max
∆xi ,∆yj ,∆zk | i = 1 . . . n, j = 1 . . .m, k = 1 . . . p
3
INTEGRAIS TRIPLAS
Seja f : B ⊂ R3 → R. Definimos soma de Riemann de f , relativa à partição P e aospontos Xijk o seguinte numero
n∑i=1
m∑j=1
p∑k=1
f(Xijk
)∆xi∆yj∆zk
onde f(Xijk
)deve ser substituído por zero se Xijk /∈ B.
A integral tripla de f sobre B è dado pelo seguinte limite (caso exista)∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz = lim
∆→0
n∑i=1
m∑j=1
p∑k=1
f(Xijk
)∆xi∆yj∆zk
onde ∆ = max
∆xi ,∆yj ,∆zk | i = 1 . . . n, j = 1 . . .m, k = 1 . . . p
3
INTEGRAIS TRIPLAS
Seja B ⊂ R3. Dizemos que B tem conteúdo nulo |B| = 0 se, para todo ε > 0, existirum número finito de paralelepipedos A1,A2, . . . ,An tais que
D ⊂ A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An
en∑
i=1
m (Ai ) < ε
onde m (Ai ) é o volume de Ai .
EXEMPLOS
• A reunião de um número finito de conjuntos de conteúdo nulo tem conteúdo nulo
• Seja f : K ⊂ R2 continua e K compacto (fechado e limitado). O grafico de f
(x , y , f (x , y)) | (x , y) ∈ K
tem conteudo nulo.
• Seja ϕ : Ω ⊂ R2 → R3 de classe C1 e Ω aberto. Se
K ⊂ Ω compacto ⇒ |ϕ(K)| = 0
4
INTEGRAIS TRIPLAS
Seja B ⊂ R3. Dizemos que B tem conteúdo nulo |B| = 0 se, para todo ε > 0, existirum número finito de paralelepipedos A1,A2, . . . ,An tais que
D ⊂ A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An
en∑
i=1
m (Ai ) < ε
onde m (Ai ) é o volume de Ai .
EXEMPLOS
• A reunião de um número finito de conjuntos de conteúdo nulo tem conteúdo nulo
• Seja f : K ⊂ R2 continua e K compacto (fechado e limitado). O grafico de f
(x , y , f (x , y)) | (x , y) ∈ K
tem conteudo nulo.
• Seja ϕ : Ω ⊂ R2 → R3 de classe C1 e Ω aberto. Se
K ⊂ Ω compacto ⇒ |ϕ(K)| = 0
4
INTEGRAIS TRIPLAS
Seja B ⊂ R3. Dizemos que B tem conteúdo nulo |B| = 0 se, para todo ε > 0, existirum número finito de paralelepipedos A1,A2, . . . ,An tais que
D ⊂ A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An
en∑
i=1
m (Ai ) < ε
onde m (Ai ) é o volume de Ai .
EXEMPLOS
• A reunião de um número finito de conjuntos de conteúdo nulo tem conteúdo nulo
• Seja f : K ⊂ R2 continua e K compacto (fechado e limitado). O grafico de f
(x , y , f (x , y)) | (x , y) ∈ K
tem conteudo nulo.
• Seja ϕ : Ω ⊂ R2 → R3 de classe C1 e Ω aberto. Se
K ⊂ Ω compacto ⇒ |ϕ(K)| = 0
4
INTEGRAIS TRIPLAS
Seja B ⊂ R3. Dizemos que B tem conteúdo nulo |B| = 0 se, para todo ε > 0, existirum número finito de paralelepipedos A1,A2, . . . ,An tais que
D ⊂ A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An
en∑
i=1
m (Ai ) < ε
onde m (Ai ) é o volume de Ai .
EXEMPLOS
• A reunião de um número finito de conjuntos de conteúdo nulo tem conteúdo nulo
• Seja f : K ⊂ R2 continua e K compacto (fechado e limitado). O grafico de f
(x , y , f (x , y)) | (x , y) ∈ K
tem conteudo nulo.
• Seja ϕ : Ω ⊂ R2 → R3 de classe C1 e Ω aberto. Se
K ⊂ Ω compacto ⇒ |ϕ(K)| = 0
4
SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE
Teorema
Seja B ⊂ R3 um conjunto limitado e seja f : B → R uma função contínua elimitada. Se a fronteira de B tiver conteúdo nulo, então f será integrável em B.
Corolario
Seja B ⊂ R3 um conjunto compacto e seja f : B → R uma função contínua. Se afronteira de B tiver conteúdo nulo, então f será integrável em B.
5
SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE
Teorema
Seja B ⊂ R3 um conjunto limitado e seja f : B → R uma função contínua elimitada. Se a fronteira de B tiver conteúdo nulo, então f será integrável em B.
Corolario
Seja B ⊂ R3 um conjunto compacto e seja f : B → R uma função contínua. Se afronteira de B tiver conteúdo nulo, então f será integrável em B.
5
PROPRIEDADES DA INTEGRAL
Sejam f e g integraveis em B e seja k uma constante. Tem-se
1. f + g e kf são integráveis e
a)∫∫
B [f (x , y , z) + g(x , y , z)]dxdydz =∫∫
B f (x , y , z)dxdydz +∫∫
B g(x , y)dxdydz
b)∫∫
B kf (x , y , z)dxdydz = k∫∫
B f (x , y , z)dxdydz
2. f (x , y , z) > 0 em B ⇒∫∫
B f (x , y , z)dxdydz > 0.
3. f (x , y , z) 6 g(x , y , z) em B ⇒∫∫
B f (x , y , z)dxdydz 6∫∫
B g(x , y , z)dxdydz
4. Se B tiver conteúdo nulo (i.e. |B| =∫∫
B dxdydz = 0), então∫∫Bf (x , y , z)dxdydz = 0
5. se o conjunto E = (x , y , z) ∈ B|f (x , y , z) 6= g(x , y , z) tiver conteúdo nulo (i.e.|E | = 0), então ∫∫
Bf (x , y , z)dxdydz =
∫∫Bg(x , y , z)dxdydz
6. se f for integrável em B1 e B ∩ B1 tiver conteúdo nulo (i.e. |B ∩ B1| = 0), então∫∫B∪B1
f (x , y , z)dxdydz =
∫∫Bf (x , y , z)dxdydz +
∫∫B1
f (x , y , z)dxdydz
6
REDUÇÃO DO CALCULO DE UMA INTEGRAL TRIPLA A UMA DUPLA
• Seja K ⊂ R2 com |∂K | = 0
g(x , y) ≤ h(x , y) ∀(x , y) ∈ K
• Seja B = (x , y , z) | g(x , y) ≤ z ≤ h(x , y), (x , y) ∈ K
Então |∂B| = 0 e∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =
∫∫K
[∫ h(x,y)
g(x,y)f (x , y , z)dz
]dxdy
7
REDUÇÃO DO CALCULO DE UMA INTEGRAL TRIPLA A UMA DUPLA
• Seja K ⊂ R2 com |∂K | = 0
g(x , y) ≤ h(x , y) ∀(x , y) ∈ K
• Seja B = (x , y , z) | g(x , y) ≤ z ≤ h(x , y), (x , y) ∈ K
Então |∂B| = 0 e∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =
∫∫K
[∫ h(x,y)
g(x,y)f (x , y , z)dz
]dxdy
7
REDUÇÃO DO CALCULO DE UMA INTEGRAL TRIPLA A UMA DUPLA
Sob analogas condições temos∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =
∫∫K
[∫ h(x,z)
g(x,z)f (x , y , z)dy
]dxdz
onde B = (x , y , z)|g(x , z) 6 y 6 h(x , z), (x , z) ∈ K.
e tambem
∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =
∫∫K
[∫ h(y,z)
g(y,z)f (x , y , z)dx
]dydz
onde B = (x , y , z)|g(y , z) 6 x 6 h(y , z), (y , z) ∈ K.
8
REDUÇÃO DO CALCULO DE UMA INTEGRAL TRIPLA A UMA DUPLA
Sob analogas condições temos∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =
∫∫K
[∫ h(x,z)
g(x,z)f (x , y , z)dy
]dxdz
onde B = (x , y , z)|g(x , z) 6 y 6 h(x , z), (x , z) ∈ K.
e tambem
∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =
∫∫K
[∫ h(y,z)
g(y,z)f (x , y , z)dx
]dydz
onde B = (x , y , z)|g(y , z) 6 x 6 h(y , z), (y , z) ∈ K.
8
EXEMPLOS
EXEMPLO 1. Calcule∫∫∫
B xdxdydz, onde B é o conjunto de todos (x , y , z) tais que
B =
(x , y , z) ∈ R3|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x e 0 ≤ z ≤ x + y
SoluçãoPondo K =
(x , y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
, temos
B =
(x , y , z) ∈ R3|0 ≤ z ≤ x + y , (x , y) ∈ K.
Portanto ∫∫∫Bxdxdydz =
∫∫K
[∫ x+y
0xdz
]dxdy =
∫∫K
[[xz]x+y
0
]dxdy
=
∫∫K
(x2 + xy
)dxdy =
∫ 1
0
[[x2y +
xy2
2
]x0
]dx =
∫ 1
0
32x3dx =
38
9
EXEMPLOS
EXEMPLO 1. Calcule∫∫∫
B xdxdydz, onde B é o conjunto de todos (x , y , z) tais que
B =
(x , y , z) ∈ R3|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x e 0 ≤ z ≤ x + y
SoluçãoPondo K =
(x , y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
, temos
B =
(x , y , z) ∈ R3|0 ≤ z ≤ x + y , (x , y) ∈ K.
Portanto ∫∫∫Bxdxdydz =
∫∫K
[∫ x+y
0xdz
]dxdy =
∫∫K
[[xz]x+y
0
]dxdy
=
∫∫K
(x2 + xy
)dxdy =
∫ 1
0
[[x2y +
xy2
2
]x0
]dx =
∫ 1
0
32x3dx =
38
9
EXEMPLOS
EXEMPLO 1. Calcule∫∫∫
B xdxdydz, onde B é o conjunto de todos (x , y , z) tais que
B =
(x , y , z) ∈ R3|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x e 0 ≤ z ≤ x + y
SoluçãoPondo K =
(x , y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
, temos
B =
(x , y , z) ∈ R3|0 ≤ z ≤ x + y , (x , y) ∈ K.
Portanto ∫∫∫Bxdxdydz =
∫∫K
[∫ x+y
0xdz
]dxdy =
∫∫K
[[xz]x+y
0
]dxdy
=
∫∫K
(x2 + xy
)dxdy =
∫ 1
0
[[x2y +
xy2
2
]x0
]dx =
∫ 1
0
32x3dx =
38
9
Volume de um solido
Seja B ⊂ R3, limitado e com |∂B| = 0. Definimos
volume de B =
∫∫∫Bdxdydz
10
Volume de um solido
EXEMPLO 2. Calcule o volume do conjunto
B =
(x , y , z) | x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2
Solução. Temosx2 + y2 = 2− x2 − y2 ⇔ x2 + y2 = 1
Portanto pondo K =
(x , y) | x2 + y2 ≤ 1, temos
B =
(x , y , z) ∈ R3 | x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2, (x , y) ∈ K.
Assim
volume de B =
∫∫∫Bdxdydz =
∫∫K
[∫ 2−x2−y2
x2+y2dz
]dxdy = 2
∫∫K
(1− x2 − y2) dxdy
=
∫ 2π
0
[∫ 1
0
(1− ρ2) ρdρ] dθ =
π
2
11
Volume de um solido
EXEMPLO 2. Calcule o volume do conjunto
B =
(x , y , z) | x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2Solução. Temos
x2 + y2 = 2− x2 − y2 ⇔ x2 + y2 = 1
Portanto pondo K =
(x , y) | x2 + y2 ≤ 1, temos
B =
(x , y , z) ∈ R3 | x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2, (x , y) ∈ K.
Assim
volume de B =
∫∫∫Bdxdydz =
∫∫K
[∫ 2−x2−y2
x2+y2dz
]dxdy = 2
∫∫K
(1− x2 − y2) dxdy
=
∫ 2π
0
[∫ 1
0
(1− ρ2) ρdρ] dθ =
π
2
11
Massa de um solido
Seja B ⊂ R3, compacto e com fronteira de conteúdo nulo. Imaginemos B como umsólido. Por uma função densidade volumétrica de massa associada a B entendemosuma função δ : B → R tal que para todo B1 ⊂ B.
massa de B1 =
∫∫∫B1δ(x , y , z)dV
desde que a integral exista.
12
Massa de um solido
EXEMPLO 3. Calcule a massa do cilindro x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, admitindo que adensidade seja δ(x , y , z) = x2.
Solução. Temos
massa de B =
∫∫∫Bδ(x , y , z)dxdydz =
∫∫∫Bx2dxdydz =
∫∫K
[∫ 1
0x2dz
]dxdy
onde K é o círculo x2 + y2 ≤ 1. Como∫ 10 x2dz =
[x2z]10 = x2, temos
massa de B =
∫∫Kx2dxdy =
∫ 2π
0
[∫ 1
0ρ3 cos2 θdρ
]dθ =
18
∫ 2π
0[1+ cos 2θ]dθ =
π
4.
13
Massa de um solido
EXEMPLO 3. Calcule a massa do cilindro x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, admitindo que adensidade seja δ(x , y , z) = x2.
Solução. Temos
massa de B =
∫∫∫Bδ(x , y , z)dxdydz =
∫∫∫Bx2dxdydz =
∫∫K
[∫ 1
0x2dz
]dxdy
onde K é o círculo x2 + y2 ≤ 1. Como∫ 10 x2dz =
[x2z]10 = x2, temos
massa de B =
∫∫Kx2dxdy =
∫ 2π
0
[∫ 1
0ρ3 cos2 θdρ
]dθ =
18
∫ 2π
0[1+ cos 2θ]dθ =
π
4.
13
Volume e Massa de um solido
EXEMPLO 4. Calcule o volume do conjunto B de todos (x , y , z) tais quex ≤ z ≤ 1− y2, x ≥ 0 e y ≥ 0
Solução. Precisamos determinar K = projOxy(B). Claramente
K =
(x , y) | x ≤ 1− y2
14
Volume e Massa de um solido
EXEMPLO 4. Calcule o volume do conjunto B de todos (x , y , z) tais quex ≤ z ≤ 1− y2, x ≥ 0 e y ≥ 0
Solução. Precisamos determinar K = projOxy(B). Claramente
K =
(x , y) | x ≤ 1− y2
14
Volume e Massa de um solido
Como B =
(x , y , z) | x ≤ z ≤ 1− y2, x ≥ 0 e y ≥ 0e K =
(x , y) | x ≤ 1− y2
temos
Volume (B) =
∫∫∫Bdxdydz =
∫∫K
[∫ 1−y2
xdz
]dxdy
=
∫∫K
(1− y2 − x
)dxdy =
∫ 1
0
[∫ 1−y2
0
(1− y2 − x
)dx
]dy
Como∫ 1−y2
0(1− y2 − x
)dx =
[x − xy2 − x2
2
]1−y2
0= 1
2
[1− 2y2 + y4], temos
Volume (B) =12
∫ 1
0
(1− 2y2 + y4) dy =
415
15
Volume e Massa de um solido
Como B =
(x , y , z) | x ≤ z ≤ 1− y2, x ≥ 0 e y ≥ 0e K =
(x , y) | x ≤ 1− y2
temos
Volume (B) =
∫∫∫Bdxdydz =
∫∫K
[∫ 1−y2
xdz
]dxdy
=
∫∫K
(1− y2 − x
)dxdy =
∫ 1
0
[∫ 1−y2
0
(1− y2 − x
)dx
]dy
Como∫ 1−y2
0(1− y2 − x
)dx =
[x − xy2 − x2
2
]1−y2
0= 1
2
[1− 2y2 + y4], temos
Volume (B) =12
∫ 1
0
(1− 2y2 + y4) dy =
415
15
Volume e Massa de um solido
EXEMPLO 5. Calcule o volume do conjunto B de todos (x , y , z) tais que z ≥ x2 + y2
e x2 + y2 + z2 ≤ 2
Solução. Precisamos determinar K = projOx y(B). Primeiro calculamos a interseção
das superficies z = x2 + y2 e x2 + y2 + z2 = 2. Temos
x2 + y2 +(x2 + y2)2 = 2⇔ x2 + y2 =
−1±√1 + 8
2= 1.
Portanto K é o círculo x2 + y2 ≤ 1. Daí,
volume =
∫∫∫Bdxdydz =
∫∫K
[∫ √2−x2−y2
x2+y2dz
]dxdy =
∫∫K
[√2− x2 − y2 − x2 − y2
]dxdy
=
∫ 2π
0
[∫ 1
0
(ρ√
2− ρ2 − ρ3)dρ
]dθ = · · · =
8√2− 712
π.
16
Volume e Massa de um solido
EXEMPLO 5. Calcule o volume do conjunto B de todos (x , y , z) tais que z ≥ x2 + y2
e x2 + y2 + z2 ≤ 2
Solução. Precisamos determinar K = projOx y(B). Primeiro calculamos a interseção
das superficies z = x2 + y2 e x2 + y2 + z2 = 2. Temos
x2 + y2 +(x2 + y2)2 = 2⇔ x2 + y2 =
−1±√1 + 8
2= 1.
Portanto K é o círculo x2 + y2 ≤ 1. Daí,
volume =
∫∫∫Bdxdydz =
∫∫K
[∫ √2−x2−y2
x2+y2dz
]dxdy =
∫∫K
[√2− x2 − y2 − x2 − y2
]dxdy
=
∫ 2π
0
[∫ 1
0
(ρ√
2− ρ2 − ρ3)dρ
]dθ = · · · =
8√2− 712
π.
16
Volume e Massa de um solido
EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto B de todos os pontos (x , y , z) tais quex2 + y2 ≤ z ≤ 2x + 2y − 1.
Solução. Precisamos determinar K = projOxy(B). Primeiro calculamos a interseção
das superficies x2 + y2 = z e z =≤ 2x + 2y − 1. Temos
x2 + y2 = 2x + 2y − 1⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1,
portanto K é o círculo (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 1.
17
Volume e Massa de um solido
EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto B de todos os pontos (x , y , z) tais quex2 + y2 ≤ z ≤ 2x + 2y − 1.
Solução. Precisamos determinar K = projOxy(B). Primeiro calculamos a interseção
das superficies x2 + y2 = z e z =≤ 2x + 2y − 1. Temos
x2 + y2 = 2x + 2y − 1⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1,
portanto K é o círculo (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 1.
17
Volume e Massa de um solido
Então
volume de B =
∫∫K
[∫ 2x+2y−1
x2+y2dz
]dxdy =
∫∫K
[1− (x − 1)2 − (y − 1)2
]dxdy
Pondo x − 1 = ρ cos θ
y − 1 = ρ sen θ
Temos K = (ρ, θ) | 0 6 θ 6 2π e 0 6 ρ 6 1, portanto
volume de B =
∫ 2π
0
[∫ 1
0
(1− ρ2) ρdρ] dθ =
π
2
18
MUDANCA DE VARIÃVEIS NA INTEGRAL TRIPLA
O teorema de mudança de variáveis na integral dupla estende-se sem nenhumamodificação para integrais triplas.
Teorema (de mudança de variáveis na integral tripla).Suponhamos que:
• ϕ : Ω ⊂ R3 → R3, com Ω aberto, de classe C1, onde
ϕ(u, v ,w) = (x(u, v ,w), y(u, v ,w), z(u, v ,w))
• Buvw ⊂ Ω compacto, com |∂Buvw | = 0 e tal que
ϕ(Buvw ) = B
onde B = ϕ(Buvw ), B := interior de B e Buvw := interior de Buvw .
• ∂(x,y,z)∂(u,v,w)
6= 0 para todo (u, v ,w) ∈Buvw .
Nestas condiçães, se f : B → R for integrável em B, então∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =
∫∫∫Buvw
f (ϕ(u, v ,w))
∣∣∣∣ ∂(x , y , z)
∂(u, v ,w)
∣∣∣∣ dudvdw
19
MUDANCA DE VARIÃVEIS NA INTEGRAL TRIPLA
O teorema de mudança de variáveis na integral dupla estende-se sem nenhumamodificação para integrais triplas.
Teorema (de mudança de variáveis na integral tripla).Suponhamos que:
• ϕ : Ω ⊂ R3 → R3, com Ω aberto, de classe C1, onde
ϕ(u, v ,w) = (x(u, v ,w), y(u, v ,w), z(u, v ,w))
• Buvw ⊂ Ω compacto, com |∂Buvw | = 0 e tal que
ϕ(Buvw ) = B
onde B = ϕ(Buvw ), B := interior de B e Buvw := interior de Buvw .
• ∂(x,y,z)∂(u,v,w)
6= 0 para todo (u, v ,w) ∈Buvw .
Nestas condiçães, se f : B → R for integrável em B, então∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =
∫∫∫Buvw
f (ϕ(u, v ,w))
∣∣∣∣ ∂(x , y , z)
∂(u, v ,w)
∣∣∣∣ dudvdw
19
MUDANCA DE VARIÃVEIS NA INTEGRAL TRIPLA
O teorema de mudança de variáveis na integral dupla estende-se sem nenhumamodificação para integrais triplas.
Teorema (de mudança de variáveis na integral tripla).Suponhamos que:
• ϕ : Ω ⊂ R3 → R3, com Ω aberto, de classe C1, onde
ϕ(u, v ,w) = (x(u, v ,w), y(u, v ,w), z(u, v ,w))
• Buvw ⊂ Ω compacto, com |∂Buvw | = 0 e tal que
ϕ(Buvw ) = B
onde B = ϕ(Buvw ), B := interior de B e Buvw := interior de Buvw .
• ∂(x,y,z)∂(u,v,w)
6= 0 para todo (u, v ,w) ∈Buvw .
Nestas condiçães, se f : B → R for integrável em B, então∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =
∫∫∫Buvw
f (ϕ(u, v ,w))
∣∣∣∣ ∂(x , y , z)
∂(u, v ,w)
∣∣∣∣ dudvdw
19
MUDANCA DE VARIÃVEIS NA INTEGRAL TRIPLA
O teorema de mudança de variáveis na integral dupla estende-se sem nenhumamodificação para integrais triplas.
Teorema (de mudança de variáveis na integral tripla).Suponhamos que:
• ϕ : Ω ⊂ R3 → R3, com Ω aberto, de classe C1, onde
ϕ(u, v ,w) = (x(u, v ,w), y(u, v ,w), z(u, v ,w))
• Buvw ⊂ Ω compacto, com |∂Buvw | = 0 e tal que
ϕ(Buvw ) = B
onde B = ϕ(Buvw ), B := interior de B e Buvw := interior de Buvw .
• ∂(x,y,z)∂(u,v,w)
6= 0 para todo (u, v ,w) ∈Buvw .
Nestas condiçães, se f : B → R for integrável em B, então∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =
∫∫∫Buvw
f (ϕ(u, v ,w))
∣∣∣∣ ∂(x , y , z)
∂(u, v ,w)
∣∣∣∣ dudvdw19
MUDANCA DE VARIÃVEIS NA INTEGRAL TRIPLA
EXEMPLO 1. Calcule∫∫∫
Bsen(x+y−z)x+2y+z
dxdydz onde
B =
(x , y , z) | 1 6 x + 2y + z 6 2, 0 6 x + y − z 6π
4, 0 6 z 6 1
Solução. Pondo u = x + y − z, v = x + 2y + z e w = z, temos
Buvw =
(u, v ,w) | 0 6 u 6π
4, 1 6 v 6 2 e 0 6 w 6 1
u = x + y − z
v = x + 2y + z
w = z
⇔
x = 2u − v + 3wy = −u + v − 2wz = w
⇒∂(x , y , z)
∂(u, v ,w)=
∂x∂u
∂x∂v
∂x∂w
∂y∂u
∂y∂v
∂y∂w
∂z∂u
∂z∂v
∂z∂w
= 1 ⇒ dxdydz = dudvdw
∫∫∫B
sen(x + y − z)
x + 2y + zdxdydz =
∫∫∫Bmw
sen u
vdudvdw =
∫∫K
[∫ 1
0
sen u
vdw
]dudv
=
∫∫K
sen u
vdudv =
∫ 2
1
1vdv
∫ π4
0sen udu =
(1−√22
)ln 2.
20
MUDANCA DE VARIÃVEIS NA INTEGRAL TRIPLA
EXEMPLO 1. Calcule∫∫∫
Bsen(x+y−z)x+2y+z
dxdydz onde
B =
(x , y , z) | 1 6 x + 2y + z 6 2, 0 6 x + y − z 6π
4, 0 6 z 6 1
Solução. Pondo u = x + y − z, v = x + 2y + z e w = z, temos
Buvw =
(u, v ,w) | 0 6 u 6π
4, 1 6 v 6 2 e 0 6 w 6 1
u = x + y − z
v = x + 2y + z
w = z
⇔
x = 2u − v + 3wy = −u + v − 2wz = w
⇒∂(x , y , z)
∂(u, v ,w)=
∂x∂u
∂x∂v
∂x∂w
∂y∂u
∂y∂v
∂y∂w
∂z∂u
∂z∂v
∂z∂w
= 1 ⇒ dxdydz = dudvdw
∫∫∫B
sen(x + y − z)
x + 2y + zdxdydz =
∫∫∫Bmw
sen u
vdudvdw =
∫∫K
[∫ 1
0
sen u
vdw
]dudv
=
∫∫K
sen u
vdudv =
∫ 2
1
1vdv
∫ π4
0sen udu =
(1−√22
)ln 2.
20
MUDANCA DE VARIÃVEIS NA INTEGRAL TRIPLA
EXEMPLO 1. Calcule∫∫∫
Bsen(x+y−z)x+2y+z
dxdydz onde
B =
(x , y , z) | 1 6 x + 2y + z 6 2, 0 6 x + y − z 6π
4, 0 6 z 6 1
Solução. Pondo u = x + y − z, v = x + 2y + z e w = z, temos
Buvw =
(u, v ,w) | 0 6 u 6π
4, 1 6 v 6 2 e 0 6 w 6 1
u = x + y − z
v = x + 2y + z
w = z
⇔
x = 2u − v + 3wy = −u + v − 2wz = w
⇒∂(x , y , z)
∂(u, v ,w)=
∂x∂u
∂x∂v
∂x∂w
∂y∂u
∂y∂v
∂y∂w
∂z∂u
∂z∂v
∂z∂w
= 1 ⇒ dxdydz = dudvdw
∫∫∫B
sen(x + y − z)
x + 2y + zdxdydz =
∫∫∫Bmw
sen u
vdudvdw =
∫∫K
[∫ 1
0
sen u
vdw
]dudv
=
∫∫K
sen u
vdudv =
∫ 2
1
1vdv
∫ π4
0sen udu =
(1−√22
)ln 2.
20
MUDANCA DE VARIÃVEIS NA INTEGRAL TRIPLA
EXEMPLO 1. Calcule∫∫∫
Bsen(x+y−z)x+2y+z
dxdydz onde
B =
(x , y , z) | 1 6 x + 2y + z 6 2, 0 6 x + y − z 6π
4, 0 6 z 6 1
Solução. Pondo u = x + y − z, v = x + 2y + z e w = z, temos
Buvw =
(u, v ,w) | 0 6 u 6π
4, 1 6 v 6 2 e 0 6 w 6 1
u = x + y − z
v = x + 2y + z
w = z
⇔
x = 2u − v + 3wy = −u + v − 2wz = w
⇒∂(x , y , z)
∂(u, v ,w)=
∂x∂u
∂x∂v
∂x∂w
∂y∂u
∂y∂v
∂y∂w
∂z∂u
∂z∂v
∂z∂w
= 1 ⇒ dxdydz = dudvdw
∫∫∫B
sen(x + y − z)
x + 2y + zdxdydz =
∫∫∫Bmw
sen u
vdudvdw =
∫∫K
[∫ 1
0
sen u
vdw
]dudv
=
∫∫K
sen u
vdudv =
∫ 2
1
1vdv
∫ π4
0sen udu =
(1−√22
)ln 2.
20
MUDANCA DE VARIÃVEIS NA INTEGRAL TRIPLA
EXEMPLO 1. Calcule∫∫∫
Bsen(x+y−z)x+2y+z
dxdydz onde
B =
(x , y , z) | 1 6 x + 2y + z 6 2, 0 6 x + y − z 6π
4, 0 6 z 6 1
Solução. Pondo u = x + y − z, v = x + 2y + z e w = z, temos
Buvw =
(u, v ,w) | 0 6 u 6π
4, 1 6 v 6 2 e 0 6 w 6 1
u = x + y − z
v = x + 2y + z
w = z
⇔
x = 2u − v + 3wy = −u + v − 2wz = w
⇒∂(x , y , z)
∂(u, v ,w)=
∂x∂u
∂x∂v
∂x∂w
∂y∂u
∂y∂v
∂y∂w
∂z∂u
∂z∂v
∂z∂w
= 1 ⇒ dxdydz = dudvdw
∫∫∫B
sen(x + y − z)
x + 2y + zdxdydz =
∫∫∫Bmw
sen u
vdudvdw =
∫∫K
[∫ 1
0
sen u
vdw
]dudv
=
∫∫K
sen u
vdudv =
∫ 2
1
1vdv
∫ π4
0sen udu =
(1−√22
)ln 2.
20
MUDANCA DE VARIÃVEIS NA INTEGRAL TRIPLA
EXEMPLO 2. Calcule o volume de
B =
(x , y , z) | 1 6 x + 2y + z 6 2, 0 6 x + y − z 6π
4, 0 6 z 6 1
Solução.
volume de B =
∫∫∫Bdxdydz
Pondo u = x + y − z, v = x + 2y + z e w = z, temos
Buvw =
(u, v ,w)|0 6 u 6π
4, 1 6 v 6 2 e 0 6 w 6 1
e
volume de B =
∫∫∫Buvw
dudvdw =
∫ π4
0du
∫ 2
1dv
∫ 1
0dw =
π
4
21
MUDANCA DE VARIÃVEIS NA INTEGRAL TRIPLA
EXEMPLO 2. Calcule o volume de
B =
(x , y , z) | 1 6 x + 2y + z 6 2, 0 6 x + y − z 6π
4, 0 6 z 6 1
Solução.
volume de B =
∫∫∫Bdxdydz
Pondo u = x + y − z, v = x + 2y + z e w = z, temos
Buvw =
(u, v ,w)|0 6 u 6π
4, 1 6 v 6 2 e 0 6 w 6 1
e
volume de B =
∫∫∫Buvw
dudvdw =
∫ π4
0du
∫ 2
1dv
∫ 1
0dw =
π
4
21
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 3. (Coordenadas esféricas.) Cada ponto P = (x , y , z) fica determinadopelas suas coordenadas esféricas (θ, ρ, ϕ), onde
• θ é o ângulo entre o vetor−−→OP1 = (x , y , 0) e o semieixo positivo Ox ;
• ρ é o comprimento do vetor−→OP
• ϕ o ângulo entre o vetor−→OP e o semieixo positivo
x = ρ senϕ cos θ
y = ρ senϕ sen θ
z = ρ cosϕ
E3 =
(θ, ρ, ϕ) ∈ R3|0 6 θ 6 π, ρ > 0 e 0 6 ϕ 6π
2
22
COORDENADAS ESFÉRICAS
Ψ(θ, ρ, ϕ) =
x = ρ senϕ cos θ
y = ρ senϕ sen θ
z = ρ cosϕ
∂(x , y , z)
∂(θ, ρ, ϕ)=
∣∣∣∣∣∣∣−ρ senϕ sen θ sen ϕ cos θ ρ cosϕ cos θ
ρ senϕ cos θ senϕ sen θ ρ cosϕ sen θ
0 cosϕ −ρ senϕ
∣∣∣∣∣∣∣ = ρ2 senϕ
Seja Bθρϕ um subconjunto compacto de
S =
(θ, ρ, ϕ) ∈ R3|0 6 θ 6 π, ρ > 0 e 0 6 ϕ 6π
2
com fronteira de conteúdo nulo |∂Bθρϕ| = 0 Pondo B = Ψ
(Bθρϕ
). Se f for è uma
função contínua em B, tem-se∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =
∫∫∫Bθρϕ
f (ρ senϕ cos θ, ρ senϕ sen θ, ρ cosϕ)ρ2 sen ϕdθdρdϕ
23
COORDENADAS ESFÉRICAS
Ψ(θ, ρ, ϕ) =
x = ρ senϕ cos θ
y = ρ senϕ sen θ
z = ρ cosϕ
∂(x , y , z)
∂(θ, ρ, ϕ)=
∣∣∣∣∣∣∣−ρ senϕ sen θ sen ϕ cos θ ρ cosϕ cos θ
ρ senϕ cos θ senϕ sen θ ρ cosϕ sen θ
0 cosϕ −ρ senϕ
∣∣∣∣∣∣∣ = ρ2 senϕ
Seja Bθρϕ um subconjunto compacto de
S =
(θ, ρ, ϕ) ∈ R3|0 6 θ 6 π, ρ > 0 e 0 6 ϕ 6π
2
com fronteira de conteúdo nulo |∂Bθρϕ| = 0
Pondo B = Ψ(Bθρϕ
). Se f for è uma
função contínua em B, tem-se∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =
∫∫∫Bθρϕ
f (ρ senϕ cos θ, ρ senϕ sen θ, ρ cosϕ)ρ2 sen ϕdθdρdϕ
23
COORDENADAS ESFÉRICAS
Ψ(θ, ρ, ϕ) =
x = ρ senϕ cos θ
y = ρ senϕ sen θ
z = ρ cosϕ
∂(x , y , z)
∂(θ, ρ, ϕ)=
∣∣∣∣∣∣∣−ρ senϕ sen θ sen ϕ cos θ ρ cosϕ cos θ
ρ senϕ cos θ senϕ sen θ ρ cosϕ sen θ
0 cosϕ −ρ senϕ
∣∣∣∣∣∣∣ = ρ2 senϕ
Seja Bθρϕ um subconjunto compacto de
S =
(θ, ρ, ϕ) ∈ R3|0 6 θ 6 π, ρ > 0 e 0 6 ϕ 6π
2
com fronteira de conteúdo nulo |∂Bθρϕ| = 0 Pondo B = Ψ
(Bθρϕ
). Se f for è uma
função contínua em B, tem-se∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =
∫∫∫Bθρϕ
f (ρ senϕ cos θ, ρ senϕ sen θ, ρ cosϕ)ρ2 sen ϕdθdρdϕ
23
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 5. Calcule a massa M da esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1, supondo que adensidade δ no ponto (x , y , z) é igual à distância deste ponto à origem.
Solução: densidade δ(x , y , z) =√
x2 + y2 + z2
M =
∫∫∫Bδ(x , y , z)dxdydz =
∫∫∫B
√x2 + y2 + z2dxdydz
onde B é a esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1. Passando para coordenadas esféricas, obtemos√x2 + y2 + z2 = ρ, dxdydz = ρ2 senϕdθdρdϕ
Portanto
M =
∫∫∫Bθρϕ
√ρ2ρ2 senϕdθdρdϕ, Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ π
Segue que
M =
∫ 2π
0dθ
∫ 1
0ρ3dρ
∫ π
0senϕdϕ = π
24
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 5. Calcule a massa M da esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1, supondo que adensidade δ no ponto (x , y , z) é igual à distância deste ponto à origem.
Solução: densidade δ(x , y , z) =√
x2 + y2 + z2
M =
∫∫∫Bδ(x , y , z)dxdydz =
∫∫∫B
√x2 + y2 + z2dxdydz
onde B é a esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1.
Passando para coordenadas esféricas, obtemos√x2 + y2 + z2 = ρ, dxdydz = ρ2 senϕdθdρdϕ
Portanto
M =
∫∫∫Bθρϕ
√ρ2ρ2 senϕdθdρdϕ, Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ π
Segue que
M =
∫ 2π
0dθ
∫ 1
0ρ3dρ
∫ π
0senϕdϕ = π
24
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 5. Calcule a massa M da esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1, supondo que adensidade δ no ponto (x , y , z) é igual à distância deste ponto à origem.
Solução: densidade δ(x , y , z) =√
x2 + y2 + z2
M =
∫∫∫Bδ(x , y , z)dxdydz =
∫∫∫B
√x2 + y2 + z2dxdydz
onde B é a esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1. Passando para coordenadas esféricas, obtemos√x2 + y2 + z2 = ρ, dxdydz = ρ2 senϕdθdρdϕ
Portanto
M =
∫∫∫Bθρϕ
√ρ2ρ2 senϕdθdρdϕ, Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ π
Segue que
M =
∫ 2π
0dθ
∫ 1
0ρ3dρ
∫ π
0senϕdϕ = π
24
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 5. Calcule a massa M da esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1, supondo que adensidade δ no ponto (x , y , z) é igual à distância deste ponto à origem.
Solução: densidade δ(x , y , z) =√
x2 + y2 + z2
M =
∫∫∫Bδ(x , y , z)dxdydz =
∫∫∫B
√x2 + y2 + z2dxdydz
onde B é a esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1. Passando para coordenadas esféricas, obtemos√x2 + y2 + z2 = ρ, dxdydz = ρ2 senϕdθdρdϕ
Portanto
M =
∫∫∫Bθρϕ
√ρ2ρ2 senϕdθdρdϕ, Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ π
Segue que
M =
∫ 2π
0dθ
∫ 1
0ρ3dρ
∫ π
0senϕdϕ = π
24
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 5. Calcule a massa M da esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1, supondo que adensidade δ no ponto (x , y , z) é igual à distância deste ponto à origem.
Solução: densidade δ(x , y , z) =√
x2 + y2 + z2
M =
∫∫∫Bδ(x , y , z)dxdydz =
∫∫∫B
√x2 + y2 + z2dxdydz
onde B é a esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1. Passando para coordenadas esféricas, obtemos√x2 + y2 + z2 = ρ, dxdydz = ρ2 senϕdθdρdϕ
Portanto
M =
∫∫∫Bθρϕ
√ρ2ρ2 senϕdθdρdϕ, Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ π
Segue que
M =
∫ 2π
0dθ
∫ 1
0ρ3dρ
∫ π
0senϕdϕ = π
24
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto de todos (x , y , z) tais que
1 ≤ x + y + z ≤ 3, x + y ≤ z ≤ x + y + 2, x ≥ 0 e y ≥ 0
Solução: Façamos a mudança de variáveisu = z − x − y
v = x + y + z
w = x
equivalentemente
x = w
y = 12 (−u + v − 2w)
z = 12 (u + v)
Temos1 ≤ x + y + z ≤ 3 ⇔ 1 ≤ v ≤ 3
x + y ≤ z ≤ x + y + 2 ⇔ 0 ≤ u ≤ 2
x ≥ 0 ⇔ w ≥ 0
y ≥ 0 ⇔ −u + v ≥ 2w
Buvw =
(u, v ,w) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2,
−u + v
2≥ w ≥ 0
25
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto de todos (x , y , z) tais que
1 ≤ x + y + z ≤ 3, x + y ≤ z ≤ x + y + 2, x ≥ 0 e y ≥ 0
Solução: Façamos a mudança de variáveisu = z − x − y
v = x + y + z
w = x
equivalentemente
x = w
y = 12 (−u + v − 2w)
z = 12 (u + v)
Temos1 ≤ x + y + z ≤ 3 ⇔ 1 ≤ v ≤ 3
x + y ≤ z ≤ x + y + 2 ⇔ 0 ≤ u ≤ 2
x ≥ 0 ⇔ w ≥ 0
y ≥ 0 ⇔ −u + v ≥ 2w
Buvw =
(u, v ,w) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2,
−u + v
2≥ w ≥ 0
25
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto de todos (x , y , z) tais que
1 ≤ x + y + z ≤ 3, x + y ≤ z ≤ x + y + 2, x ≥ 0 e y ≥ 0
Solução: Façamos a mudança de variáveisu = z − x − y
v = x + y + z
w = x
equivalentemente
x = w
y = 12 (−u + v − 2w)
z = 12 (u + v)
Temos1 ≤ x + y + z ≤ 3 ⇔ 1 ≤ v ≤ 3
x + y ≤ z ≤ x + y + 2 ⇔ 0 ≤ u ≤ 2
x ≥ 0 ⇔ w ≥ 0
y ≥ 0 ⇔ −u + v ≥ 2w
Buvw =
(u, v ,w) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2,
−u + v
2≥ w ≥ 0
25
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto de todos (x , y , z) tais que
1 ≤ x + y + z ≤ 3, x + y ≤ z ≤ x + y + 2, x ≥ 0 e y ≥ 0
Solução: Façamos a mudança de variáveisu = z − x − y
v = x + y + z
w = x
equivalentemente
x = w
y = 12 (−u + v − 2w)
z = 12 (u + v)
Temos1 ≤ x + y + z ≤ 3 ⇔ 1 ≤ v ≤ 3
x + y ≤ z ≤ x + y + 2 ⇔ 0 ≤ u ≤ 2
x ≥ 0 ⇔ w ≥ 0
y ≥ 0 ⇔ −u + v ≥ 2w
Buvw =
(u, v ,w) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2,
−u + v
2≥ w ≥ 0
25
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto de todos (x , y , z) tais que
1 ≤ x + y + z ≤ 3, x + y ≤ z ≤ x + y + 2, x ≥ 0 e y ≥ 0
Solução: Façamos a mudança de variáveisu = z − x − y
v = x + y + z
w = x
equivalentemente
x = w
y = 12 (−u + v − 2w)
z = 12 (u + v)
Temos1 ≤ x + y + z ≤ 3 ⇔ 1 ≤ v ≤ 3
x + y ≤ z ≤ x + y + 2 ⇔ 0 ≤ u ≤ 2
x ≥ 0 ⇔ w ≥ 0
y ≥ 0 ⇔ −u + v ≥ 2w
Buvw =
(u, v ,w) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2,
−u + v
2≥ w ≥ 0
25
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto de todos (x , y , z) tais que
1 ≤ x + y + z ≤ 3, x + y ≤ z ≤ x + y + 2, x ≥ 0 e y ≥ 0
Solução: Façamos a mudança de variáveisu = z − x − y
v = x + y + z
w = x
equivalentemente
x = w
y = 12 (−u + v − 2w)
z = 12 (u + v)
Temos1 ≤ x + y + z ≤ 3 ⇔ 1 ≤ v ≤ 3
x + y ≤ z ≤ x + y + 2 ⇔ 0 ≤ u ≤ 2
x ≥ 0 ⇔ w ≥ 0
y ≥ 0 ⇔ −u + v ≥ 2w
Buvw =
(u, v ,w) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2,
−u + v
2≥ w ≥ 0
25
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto de todos (x , y , z) tais que
1 ≤ x + y + z ≤ 3, x + y ≤ z ≤ x + y + 2, x ≥ 0 e y ≥ 0
Solução: Façamos a mudança de variáveisu = z − x − y
v = x + y + z
w = x
equivalentemente
x = w
y = 12 (−u + v − 2w)
z = 12 (u + v)
Temos1 ≤ x + y + z ≤ 3 ⇔ 1 ≤ v ≤ 3
x + y ≤ z ≤ x + y + 2 ⇔ 0 ≤ u ≤ 2
x ≥ 0 ⇔ w ≥ 0
y ≥ 0 ⇔ −u + v ≥ 2w
Buvw =
(u, v ,w) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2,
−u + v
2≥ w ≥ 0
25
COORDENADAS ESFÉRICAS
Buvw =
(u, v ,w) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2,
−u + v
2≥ w ≥ 0
Observamos que
−u + v
2≥ w ≥ 0 ⇒
−u + v
2≥ 0 ⇒ v ≥ u
Portanto
volume B =12
∫∫K
[∫ 12 (v−u)
0dw
]dudv ,
ondeK = (u, v) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2, v ≥ u
= (u, v) | 1 ≤ v ≤ 2, 0 ≤ u ≤ v , v ≥ u ∪ (u, v) | 2 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2, v ≥ u
26
COORDENADAS ESFÉRICAS
Buvw =
(u, v ,w) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2,
−u + v
2≥ w ≥ 0
Observamos que
−u + v
2≥ w ≥ 0 ⇒
−u + v
2≥ 0 ⇒ v ≥ u
Portanto
volume B =12
∫∫K
[∫ 12 (v−u)
0dw
]dudv ,
ondeK = (u, v) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2, v ≥ u
= (u, v) | 1 ≤ v ≤ 2, 0 ≤ u ≤ v , v ≥ u ∪ (u, v) | 2 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2, v ≥ u
26
COORDENADAS ESFÉRICAS
Portanto
volume B =12
∫∫K
[∫ 12 (v−u)
0dw
]dudv ,
=
∫ 2
1
[∫ v
0
12
(v − u)du
]dv +
∫ 3
2
[∫ 2
0
12
(v − u)du
]dv
=2524
27
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 7. Calcule∫∫∫B
√x2 + y2 + z2dxdydz B =
(x , y , z) | x2 + y2 6 z 6
√x2 + y2
Solução. Vamos passar para coordenadas esféricasx = ρ senϕ cos θ
y = ρ senϕ sen θ
z = ρ cosϕ
⇒ dxdydz = ρ2 senϕdϕdρdθ
x2 + y2 6 z 6√
x2 + y2 ⇔ ρ2 sin2 ϕ ≤ ρ cosϕ ≤ ρ sinϕ
⇔ ρ sinϕ ≤cosϕ
sinϕ≤ 1 ⇔ ρ ≤
cosϕ
sin2 ϕeπ
4≤ ϕ ≤
π
2.
28
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 7. Calcule∫∫∫B
√x2 + y2 + z2dxdydz B =
(x , y , z) | x2 + y2 6 z 6
√x2 + y2
Solução. Vamos passar para coordenadas esféricas
x = ρ senϕ cos θ
y = ρ senϕ sen θ
z = ρ cosϕ
⇒ dxdydz = ρ2 senϕdϕdρdθ
x2 + y2 6 z 6√
x2 + y2 ⇔ ρ2 sin2 ϕ ≤ ρ cosϕ ≤ ρ sinϕ
⇔ ρ sinϕ ≤cosϕ
sinϕ≤ 1 ⇔ ρ ≤
cosϕ
sin2 ϕeπ
4≤ ϕ ≤
π
2.
28
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 7. Calcule∫∫∫B
√x2 + y2 + z2dxdydz B =
(x , y , z) | x2 + y2 6 z 6
√x2 + y2
Solução. Vamos passar para coordenadas esféricas
x = ρ senϕ cos θ
y = ρ senϕ sen θ
z = ρ cosϕ
⇒ dxdydz = ρ2 senϕdϕdρdθ
x2 + y2 6 z 6√
x2 + y2 ⇔ ρ2 sin2 ϕ ≤ ρ cosϕ ≤ ρ sinϕ
⇔ ρ sinϕ ≤cosϕ
sinϕ≤ 1 ⇔ ρ ≤
cosϕ
sin2 ϕeπ
4≤ ϕ ≤
π
2.
28
COORDENADAS ESFÉRICAS
Portanto
x2 + y2 6 z 6√
x2 + y2 ⇔ ρ ≤cosϕ
sin2 ϕeπ
4≤ ϕ ≤
π
2
Bθϕρ =
(θ, ϕ, ρ) | 0 6 θ 6 2π,
π
46 ϕ 6
π
2, 0 6 ρ 6
cosϕ
sen2 ϕ
.∫∫∫
B
√x2 + y2 + z2dxdydz =
∫∫∫Bθϕρ
ρ3 senϕdϕdρdθ
∫∫K
[∫ cosϕ
sen2 ϕ
0ρ3 senϕdρ
]dθdϕ =
π
2
∫ π2
π4
cos4 ϕ
sen7 ϕdϕ
pondo ϕ = π2 − u, obtemos
=
∫ π4
0
sen4 u
cos7 udu =
∫ π4
0sec3 u
(sec2 u − 1
)2du
29
COORDENADAS ESFÉRICAS
Para calcular ∫ π4
0sec3 u
(sec2 u − 1
)2du
utilize a fórmula de recorrência∫secn xdx =
1n − 1
secn−2 x tg x +n − 2n − 1
∫secn−2 xdx
30
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 8. Calcule a massa do sólido
B =
(x , y , z) | z > 1, x2 + y2 + z2 6 2z
sendo a densidade no ponto (x , y , z) igual à distância do ponto à origem.
Solução.
massa(B) =
∫∫∫B
√x2 + y2 + z2dxdydz
Passamos para coordenadas esféricasx = ρ senϕ cos θ
y = ρ senϕ sen θ
z = ρ cosϕ
⇒ dxdydz = ρ2 senϕdϕdρdθ
Temosz > 1 ⇔ ρ cosϕ > 1 ⇔ ρ >
1cosϕ
ex2 + y2 + z2 6 2z ⇔ ρ2 6 2ρ cosϕ ⇔ ρ 6 2 cosϕ
portanto1
cosϕ6 ρ 6 2 cosϕ e
126 cos2 ϕ⇒ 0 6 ϕ 6
π
4
⇒ Bθϕρ =
(θ, ϕ, ρ) |
1cosϕ
6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π
4e 0 6 θ 6 2π
.
31
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 8. Calcule a massa do sólido
B =
(x , y , z) | z > 1, x2 + y2 + z2 6 2z
sendo a densidade no ponto (x , y , z) igual à distância do ponto à origem. Solução.
massa(B) =
∫∫∫B
√x2 + y2 + z2dxdydz
Passamos para coordenadas esféricasx = ρ senϕ cos θ
y = ρ senϕ sen θ
z = ρ cosϕ
⇒ dxdydz = ρ2 senϕdϕdρdθ
Temosz > 1 ⇔ ρ cosϕ > 1 ⇔ ρ >
1cosϕ
ex2 + y2 + z2 6 2z ⇔ ρ2 6 2ρ cosϕ ⇔ ρ 6 2 cosϕ
portanto1
cosϕ6 ρ 6 2 cosϕ e
126 cos2 ϕ⇒ 0 6 ϕ 6
π
4
⇒ Bθϕρ =
(θ, ϕ, ρ) |
1cosϕ
6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π
4e 0 6 θ 6 2π
.
31
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 8. Calcule a massa do sólido
B =
(x , y , z) | z > 1, x2 + y2 + z2 6 2z
sendo a densidade no ponto (x , y , z) igual à distância do ponto à origem. Solução.
massa(B) =
∫∫∫B
√x2 + y2 + z2dxdydz
Passamos para coordenadas esféricasx = ρ senϕ cos θ
y = ρ senϕ sen θ
z = ρ cosϕ
⇒ dxdydz = ρ2 senϕdϕdρdθ
Temosz > 1 ⇔ ρ cosϕ > 1 ⇔ ρ >
1cosϕ
ex2 + y2 + z2 6 2z ⇔ ρ2 6 2ρ cosϕ ⇔ ρ 6 2 cosϕ
portanto1
cosϕ6 ρ 6 2 cosϕ e
126 cos2 ϕ⇒ 0 6 ϕ 6
π
4
⇒ Bθϕρ =
(θ, ϕ, ρ) |
1cosϕ
6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π
4e 0 6 θ 6 2π
.
31
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 8. Calcule a massa do sólido
B =
(x , y , z) | z > 1, x2 + y2 + z2 6 2z
sendo a densidade no ponto (x , y , z) igual à distância do ponto à origem. Solução.
massa(B) =
∫∫∫B
√x2 + y2 + z2dxdydz
Passamos para coordenadas esféricasx = ρ senϕ cos θ
y = ρ senϕ sen θ
z = ρ cosϕ
⇒ dxdydz = ρ2 senϕdϕdρdθ
Temosz > 1 ⇔ ρ cosϕ > 1 ⇔ ρ >
1cosϕ
ex2 + y2 + z2 6 2z ⇔ ρ2 6 2ρ cosϕ ⇔ ρ 6 2 cosϕ
portanto
1cosϕ
6 ρ 6 2 cosϕ e126 cos2 ϕ⇒ 0 6 ϕ 6
π
4
⇒ Bθϕρ =
(θ, ϕ, ρ) |
1cosϕ
6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π
4e 0 6 θ 6 2π
.
31
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 8. Calcule a massa do sólido
B =
(x , y , z) | z > 1, x2 + y2 + z2 6 2z
sendo a densidade no ponto (x , y , z) igual à distância do ponto à origem. Solução.
massa(B) =
∫∫∫B
√x2 + y2 + z2dxdydz
Passamos para coordenadas esféricasx = ρ senϕ cos θ
y = ρ senϕ sen θ
z = ρ cosϕ
⇒ dxdydz = ρ2 senϕdϕdρdθ
Temosz > 1 ⇔ ρ cosϕ > 1 ⇔ ρ >
1cosϕ
ex2 + y2 + z2 6 2z ⇔ ρ2 6 2ρ cosϕ ⇔ ρ 6 2 cosϕ
portanto1
cosϕ6 ρ 6 2 cosϕ e
126 cos2 ϕ⇒ 0 6 ϕ 6
π
4
⇒ Bθϕρ =
(θ, ϕ, ρ) |
1cosϕ
6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π
4e 0 6 θ 6 2π
.
31
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 8. Calcule a massa do sólido
B =
(x , y , z) | z > 1, x2 + y2 + z2 6 2z
sendo a densidade no ponto (x , y , z) igual à distância do ponto à origem. Solução.
massa(B) =
∫∫∫B
√x2 + y2 + z2dxdydz
Passamos para coordenadas esféricasx = ρ senϕ cos θ
y = ρ senϕ sen θ
z = ρ cosϕ
⇒ dxdydz = ρ2 senϕdϕdρdθ
Temosz > 1 ⇔ ρ cosϕ > 1 ⇔ ρ >
1cosϕ
ex2 + y2 + z2 6 2z ⇔ ρ2 6 2ρ cosϕ ⇔ ρ 6 2 cosϕ
portanto1
cosϕ6 ρ 6 2 cosϕ e
126 cos2 ϕ⇒ 0 6 ϕ 6
π
4
⇒ Bθϕρ =
(θ, ϕ, ρ) |
1cosϕ
6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π
4e 0 6 θ 6 2π
.
31
COORDENADAS ESFÉRICAS
Bθϕρ =
(θ, ϕ, ρ) |
1cosϕ
6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π
4e 0 6 θ 6 2π
.
massa(B) =
∫∫∫B
√x2 + y2 + z2dxdydz
∫∫K
[∫ 2 cosϕ
1cosϕ
ρ3 senϕdρ
]dθdϕ =
14
∫∫K
[16 cos4 ϕ−
1cos4 ϕ
]senϕdϕdθ
onde K é o retângulo 0 6 θ 6 2π, 0 6 ϕ 6 π4
massa(B) =π
2
∫ π4
0
[16 cos4 ϕ−
1cos4 ϕ
]senϕdϕ
Pondo u = cosϕ e, portanto, du = − senϕdϕ resulta
massa(B) ==π
2
∫ 1√
22
[16u4 −
1u4
]du = . . .
32
COORDENADAS ESFÉRICAS
Bθϕρ =
(θ, ϕ, ρ) |
1cosϕ
6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π
4e 0 6 θ 6 2π
.
massa(B) =
∫∫∫B
√x2 + y2 + z2dxdydz
∫∫K
[∫ 2 cosϕ
1cosϕ
ρ3 senϕdρ
]dθdϕ =
14
∫∫K
[16 cos4 ϕ−
1cos4 ϕ
]senϕdϕdθ
onde K é o retângulo 0 6 θ 6 2π, 0 6 ϕ 6 π4
massa(B) =π
2
∫ π4
0
[16 cos4 ϕ−
1cos4 ϕ
]senϕdϕ
Pondo u = cosϕ e, portanto, du = − senϕdϕ resulta
massa(B) ==π
2
∫ 1√
22
[16u4 −
1u4
]du = . . .
32
COORDENADAS ESFÉRICAS
Bθϕρ =
(θ, ϕ, ρ) |
1cosϕ
6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π
4e 0 6 θ 6 2π
.
massa(B) =
∫∫∫B
√x2 + y2 + z2dxdydz
∫∫K
[∫ 2 cosϕ
1cosϕ
ρ3 senϕdρ
]dθdϕ
=14
∫∫K
[16 cos4 ϕ−
1cos4 ϕ
]senϕdϕdθ
onde K é o retângulo 0 6 θ 6 2π, 0 6 ϕ 6 π4
massa(B) =π
2
∫ π4
0
[16 cos4 ϕ−
1cos4 ϕ
]senϕdϕ
Pondo u = cosϕ e, portanto, du = − senϕdϕ resulta
massa(B) =π
2
∫ 1√
22
[16u4 −
1u4
]du = . . .
33
COORDENADAS ESFÉRICAS
Bθϕρ =
(θ, ϕ, ρ) |
1cosϕ
6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π
4e 0 6 θ 6 2π
.
massa(B) =
∫∫∫B
√x2 + y2 + z2dxdydz
∫∫K
[∫ 2 cosϕ
1cosϕ
ρ3 senϕdρ
]dθdϕ
=14
∫∫K
[16 cos4 ϕ−
1cos4 ϕ
]senϕdϕdθ
onde K é o retângulo 0 6 θ 6 2π, 0 6 ϕ 6 π4
massa(B) =π
2
∫ π4
0
[16 cos4 ϕ−
1cos4 ϕ
]senϕdϕ
Pondo u = cosϕ e, portanto, du = − senϕdϕ resulta
massa(B) =π
2
∫ 1√
22
[16u4 −
1u4
]du = . . .
33
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 9. Calcule∫∫∫Bzdxdydz B =
(x , y , z) |
(x − 1)2
4+
(y − 1)2
9+ z2 6 2z
Solução 1.
(x − 1)2
4+
(y − 1)2
9+ z2 6 2z ⇔
(x − 1)2
4+
(y − 1)2
9+ (z − 1)2 6 1
Vamos, inicialmente, deslocar o centro do elipsoide para a origem.u = x − 1v = y − 1w = z − 1
⇒
x = u + 1y = v + 1z = w + 1
⇒∂(x , y , z)
∂(u, v ,w)= 1
Portanto∫∫∫Bzdxdydz =
∫∫∫Buvw
(w+1)dudvdw , Buvw =
(u, v ,w) |
u2
4+
v2
9+ w2 6 1
Vamos, agora, transformar o conjunto em uma esfera.
34
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 9. Calcule∫∫∫Bzdxdydz B =
(x , y , z) |
(x − 1)2
4+
(y − 1)2
9+ z2 6 2z
Solução 1.
(x − 1)2
4+
(y − 1)2
9+ z2 6 2z ⇔
(x − 1)2
4+
(y − 1)2
9+ (z − 1)2 6 1
Vamos, inicialmente, deslocar o centro do elipsoide para a origem.u = x − 1v = y − 1w = z − 1
⇒
x = u + 1y = v + 1z = w + 1
⇒∂(x , y , z)
∂(u, v ,w)= 1
Portanto∫∫∫Bzdxdydz =
∫∫∫Buvw
(w+1)dudvdw , Buvw =
(u, v ,w) |
u2
4+
v2
9+ w2 6 1
Vamos, agora, transformar o conjunto em uma esfera.
34
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 9. Calcule∫∫∫Bzdxdydz B =
(x , y , z) |
(x − 1)2
4+
(y − 1)2
9+ z2 6 2z
Solução 1.
(x − 1)2
4+
(y − 1)2
9+ z2 6 2z ⇔
(x − 1)2
4+
(y − 1)2
9+ (z − 1)2 6 1
Vamos, inicialmente, deslocar o centro do elipsoide para a origem.u = x − 1v = y − 1w = z − 1
⇒
x = u + 1y = v + 1z = w + 1
⇒∂(x , y , z)
∂(u, v ,w)= 1
Portanto∫∫∫Bzdxdydz =
∫∫∫Buvw
(w+1)dudvdw , Buvw =
(u, v ,w) |
u2
4+
v2
9+ w2 6 1
Vamos, agora, transformar o conjunto em uma esfera.
34
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 9. Calcule∫∫∫Bzdxdydz B =
(x , y , z) |
(x − 1)2
4+
(y − 1)2
9+ z2 6 2z
Solução 1.
(x − 1)2
4+
(y − 1)2
9+ z2 6 2z ⇔
(x − 1)2
4+
(y − 1)2
9+ (z − 1)2 6 1
Vamos, inicialmente, deslocar o centro do elipsoide para a origem.u = x − 1v = y − 1w = z − 1
⇒
x = u + 1y = v + 1z = w + 1
⇒∂(x , y , z)
∂(u, v ,w)= 1
Portanto∫∫∫Bzdxdydz =
∫∫∫Buvw
(w+1)dudvdw , Buvw =
(u, v ,w) |
u2
4+
v2
9+ w2 6 1
Vamos, agora, transformar o conjunto em uma esfera.
34
COORDENADAS ESFÉRICAS
Vamos, agora, transformar
Buvw =
(u, v ,w) |
u2
4+
v2
9+ w2 6 1
em uma esfera.
X = u2
Y = v3
Z = w
⇒
u = 2Xv = 3Yw = Z
⇒∂(u, v ,w)
∂(X ,Y ,Z)= 6
Portanto∫∫∫Buvw
(w+1)dudvdw = 6∫∫∫
B1(Z+1)dXdYdZ , BXYZ =
(u, v ,w) | X 2 + Y 2 + Z2 ≤ 1
coordenadas esféricas resulta Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1∫∫∫
B1(Z + 1)dXdYdZ = 6
∫∫∫Bθϕρ
(ρ cosϕ+ 1)ρ2 senϕdρdϕdθ
= 12π∫ π
0
[∫ 1
0
(ρ3 cosϕ+ ρ2) senϕdρ
]dϕ = π
∫ π
0[3 cosϕ senϕ+ 4 senϕ]dϕ
=
[32
sen2 ϕ− 4 cosϕ
]π0
= 8π
35
COORDENADAS ESFÉRICAS
Vamos, agora, transformar
Buvw =
(u, v ,w) |
u2
4+
v2
9+ w2 6 1
em uma esfera.
X = u2
Y = v3
Z = w
⇒
u = 2Xv = 3Yw = Z
⇒∂(u, v ,w)
∂(X ,Y ,Z)= 6
Portanto∫∫∫Buvw
(w+1)dudvdw = 6∫∫∫
B1(Z+1)dXdYdZ , BXYZ =
(u, v ,w) | X 2 + Y 2 + Z2 ≤ 1
coordenadas esféricas resulta Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1∫∫∫
B1(Z + 1)dXdYdZ = 6
∫∫∫Bθϕρ
(ρ cosϕ+ 1)ρ2 senϕdρdϕdθ
= 12π∫ π
0
[∫ 1
0
(ρ3 cosϕ+ ρ2) senϕdρ
]dϕ = π
∫ π
0[3 cosϕ senϕ+ 4 senϕ]dϕ
=
[32
sen2 ϕ− 4 cosϕ
]π0
= 8π
35
COORDENADAS ESFÉRICAS
Vamos, agora, transformar
Buvw =
(u, v ,w) |
u2
4+
v2
9+ w2 6 1
em uma esfera.
X = u2
Y = v3
Z = w
⇒
u = 2Xv = 3Yw = Z
⇒∂(u, v ,w)
∂(X ,Y ,Z)= 6
Portanto∫∫∫Buvw
(w+1)dudvdw = 6∫∫∫
B1(Z+1)dXdYdZ , BXYZ =
(u, v ,w) | X 2 + Y 2 + Z2 ≤ 1
coordenadas esféricas resulta Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1∫∫∫
B1(Z + 1)dXdYdZ = 6
∫∫∫Bθϕρ
(ρ cosϕ+ 1)ρ2 senϕdρdϕdθ
= 12π∫ π
0
[∫ 1
0
(ρ3 cosϕ+ ρ2) senϕdρ
]dϕ = π
∫ π
0[3 cosϕ senϕ+ 4 senϕ]dϕ
=
[32
sen2 ϕ− 4 cosϕ
]π0
= 8π
35
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 9. Calcule∫∫∫Bzdxdydz B =
(x , y , z) |
(x − 1)2
4+
(y − 1)2
9+ z2 6 2z
Solução 2. Seja x−12 = ρ senϕ cos θ
y−13 = ρ senϕ sen θ
z − 1 = ρ cosϕ
⇒∂(x , y , z)
∂(θ, ρ, ϕ)= 6ρ2 senϕ
Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1
Segue que ∫∫∫Bzdxdydz = 6
∫∫∫Bθϕρ
(1 + ρ cosϕ)ρ2 senϕdρdϕdθ
36
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 9. Calcule∫∫∫Bzdxdydz B =
(x , y , z) |
(x − 1)2
4+
(y − 1)2
9+ z2 6 2z
Solução 2. Seja
x−12 = ρ senϕ cos θ
y−13 = ρ senϕ sen θ
z − 1 = ρ cosϕ
⇒∂(x , y , z)
∂(θ, ρ, ϕ)= 6ρ2 senϕ
Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1
Segue que ∫∫∫Bzdxdydz = 6
∫∫∫Bθϕρ
(1 + ρ cosϕ)ρ2 senϕdρdϕdθ
36
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 9. Calcule∫∫∫Bzdxdydz B =
(x , y , z) |
(x − 1)2
4+
(y − 1)2
9+ z2 6 2z
Solução 2. Seja
x−12 = ρ senϕ cos θ
y−13 = ρ senϕ sen θ
z − 1 = ρ cosϕ
⇒∂(x , y , z)
∂(θ, ρ, ϕ)= 6ρ2 senϕ
Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1
Segue que ∫∫∫Bzdxdydz = 6
∫∫∫Bθϕρ
(1 + ρ cosϕ)ρ2 senϕdρdϕdθ
36
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 9. Calcule∫∫∫Bzdxdydz B =
(x , y , z) |
(x − 1)2
4+
(y − 1)2
9+ z2 6 2z
Solução 2. Seja
x−12 = ρ senϕ cos θ
y−13 = ρ senϕ sen θ
z − 1 = ρ cosϕ
⇒∂(x , y , z)
∂(θ, ρ, ϕ)= 6ρ2 senϕ
Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1
Segue que ∫∫∫Bzdxdydz = 6
∫∫∫Bθϕρ
(1 + ρ cosϕ)ρ2 senϕdρdϕdθ
36
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 9. Calcule∫∫∫Bzdxdydz B =
(x , y , z) |
(x − 1)2
4+
(y − 1)2
9+ z2 6 2z
Solução 2. Seja
x−12 = ρ senϕ cos θ
y−13 = ρ senϕ sen θ
z − 1 = ρ cosϕ
⇒∂(x , y , z)
∂(θ, ρ, ϕ)= 6ρ2 senϕ
Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1
Segue que ∫∫∫Bzdxdydz = 6
∫∫∫Bθϕρ
(1 + ρ cosϕ)ρ2 senϕdρdϕdθ
36
COORDENADAS ESFÉRICAS
EXERCICIO. Considere a integral∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz
B =
(x , y , z) | r2 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ R2, a2z2 − x2 − y2 ≥ 0, z ≥ 0
onde 0 < r < R e a > 0 são reais dados e f : B → R é suppsta continua. Passe paracoordenadas esféricas.
37
top related