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O eixo x é denominado eixo das abscissas e o eixo y é o eixo das ordenadas.
Esses eixos dividem o plano em quatro regiõeschamadas quadrantes.
Esse sistema é utilizado para localizar um ponto no plano. Assim, o ponto (a,b), indicado na figura, tem abscissa a e ordenada b.
Continuação
Definição: Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se produto cartesiano de A por B o conjunto (lê-se “A cartesiano B” ou “produto cartesiano de A por B”), cujos elementos são todos os pares ordenados , onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo, a B.
Observação: Se ou , então .
{ }( , ) | eA B x y x A y B× = ∈ ∈
A =∅ B =∅ A B× =∅
A B×
( ),x y
1)
2) O produto cartesiano não é comutativo, isto é,se , então .
3) Se e , então .
2A A A× =
A B≠ A B B A× ≠ ×
( )# A n= ( )# B m= ( )# ·A B n m× =
Considere o ponto P(a,b) no 1o quadrante. Temos que o simétrico aP com relação:
1) ao eixo x é (a,–b);
2) ao eixo y é (–a,b);
3) à origem é (–a,–b);
4) à reta bissetriz do 1o
e 3o quadrantes é (b,a).
Sejam os conjuntos A={1,2,3,4} e B={2,4,6,8}.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}1,2 , 1,4 , 1,6 , 1,8 , 2,2 , 2,4 , 2,6 , 2,8 ,
3,2 , 3, 4 , 3,6 , 3,8 , 4,2 , 4,4 , 4,6 , 4,8
A B× =
Vamos considerar, agora, alguns subconjuntosdesse produto cartesiano:
Continua
{ }1 ( , ) | 2x y AR B y x= ∈ × =
Dados os conjuntos
{ }{ }
4, 3, 2, 1,0,1, 2,3,4
0, 2, 4,6,8B
A −
=
= − − −
determinar as seguintes relações de A em B:
{ }{ }{ }{ }
2
1
3
4
2
( , ) | 2
( , ) | 2 1
( , ) |
( , ) | | |
x y A B y x
x y A B y x
x y A B y x
R
R
R
R x y A B y x
= ∈ × =
= ∈ × = +
= ∈ × =
= ∈ × =
Exemplo
Sejam os conjuntos A=[1,4] e B=[2,8].
A× B ={(x, y) |1≤ x ≤ 4,2 ≤ y ≤ 8}R1={(x, y)∈ A× B | y = 2x}
R1
Definição: Seja R uma relação de A em B.
Chama-se domínio de R o conjunto de todos osprimeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R,isto é,
Denomina-se imagem de R o conjunto de todos os segundoselementos dos pares ordenados pertencentes a R, isto é,
( ) ( )Dom , .x R y B x y R∈ ⇔ ∃ ∈ ∈
( )Dom R
( )Im R
( ) ( )Im , .x R x A x y R∈ ⇔ ∃ ∈ ∈
Definição: Dada uma relação binária R de A em B, consideremos o conjunto:
Como é subconjunto de , temos que é uma relação binária de B em A. Essa relação será denominada relação inversa de R.
( ){ }1 ( , ) | , .R y x B A x y R− = ∈ × ∈
1R− B A×
Sejam os conjuntos A={a,b,c,d} e B={e,f,g,h,i} e as relaçõesbinárias R1, R2, R3, R4 e R5, representadas pelos conjuntos a seguir:
Continua
Analisemos cada uma das relações:
a)
b)
c)
Continuação
Continua
( ) { }1 , ,Dom A.a b cR = ≠( ) ( )1 1Dom , ! B, tal que ,x R y x y R∀ ∈ ∃ ∈ ∈
! "significa um único"∃
( )2Dom A.R =
( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2
,
mas não é imagem ún
Dom , B, tal que ,
ica, pois , , e
x R y x y R
b e R b g R
∀ ∈ ∃ ∈ ∈
∈ ∈
( )3Dom A.R =
( ) ( )3 3Dom , B, tal que , x R y x y R∀ ∈ ∃ ∈ ∈
d)
e)
As relações R3, R4 e R5 apresentam a particularidade de,para todo elemento de A, associar um único elemento de B.Essas relações recebem o nome de aplicação de A em B oufunção definida em A com imagens em B ou,simplesmente, função de A em B.
Continuação
( )4Dom A.R =
( ) ( )4 4Dom , ! B, tal que , x R y x y R∀ ∈ ∃ ∈ ∈
( )5Dom A.R =
( ) ( )5 5Dom , ! B, tal que , x R y x y R∀ ∈ ∃ ∈ ∈
Definição: Dados dois conjuntos 𝐴𝐴,𝐵𝐵 ⊂ ℝ, não vazios, uma relação f de
A em B recebe o nome de aplicação de A em B ou funçãodefinida em A com imagens em B ou, simplesmente, funçãode A em B se, e somente se, para todo elemento x de Aexistir um único elemento y em B, tal que (𝑥𝑥,𝑦𝑦) ∈ 𝑓𝑓.
( )Aé função de A em B , ! B, tal q ue ,f x y x y f⇔∀ ∈ ∃ ∈ ∈
Vamos considerar, os conjuntos
𝐴𝐴 = 0,1,2,3 e 𝐵𝐵 = −1,0,1,2,3e as seguintes relações binárias de 𝐴𝐴 em 𝐵𝐵:
𝑅𝑅 = (𝑥𝑥,𝑦𝑦) ∈ 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵|𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1𝑆𝑆 = (𝑥𝑥,𝑦𝑦) ∈ 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵|𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥2𝑇𝑇 = (𝑥𝑥,𝑦𝑦) ∈ 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵|𝑦𝑦 = 𝑥𝑥
𝑉𝑉 = (𝑥𝑥,𝑦𝑦) ∈ 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵|𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 1 2 − 1𝑊𝑊 = (𝑥𝑥,𝑦𝑦) ∈ 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵|𝑦𝑦 = 2
Analise cada uma das relações.
Exemplo:
Como toda função é uma relação binária de 𝐴𝐴 em 𝐵𝐵,existe, geralmente, uma sentença aberta 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) queexpressa a lei de correspondência entre os elementosdos dois conjuntos.
Para indicar uma função 𝑓𝑓, definida em 𝐴𝐴 com imagens em 𝐵𝐵,segundo a lei de correspondência 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), usaremos a notação:
Por motivo de simplificação, muitas vezes usaremos somente a lei de correspondência, 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), para indicar a função, ficando claro que 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ⊂ ℝ e y ∈ 𝐵𝐵 ⊂ ℝ, sendo f uma função de A em B.
:( )
f A Bx y f x⊂ → ⊂
=
Seja uma função.
Definimos 𝐷𝐷 𝑓𝑓 = 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑓𝑓 = 𝐴𝐴 como o domínio; 𝐶𝐶𝐷𝐷 𝑓𝑓 = 𝐵𝐵 ocontradomínio e 𝐼𝐼𝐷𝐷 𝑓𝑓 ⊂ 𝐶𝐶𝐷𝐷 𝑓𝑓 = 𝐵𝐵 o conjunto imagem dafunção f.
Como a função é uma relação, esse conceito é uma extensão doanterior.Para determinar o domínio (leia-se “o maior domínio”) de umafunção procuramos qual o maior conjunto possível 𝐴𝐴 ⊂ ℝ quesatisfaça a lei de correspondência definida (lembremo-nos deque, para termos uma função, todos os elementos do conjunto Atêm de estar associados a um elemento em B).
:( )
f A Bx y f x⊂ → ⊂
=
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