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Aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral

Msc. Gerardo Garita Orozco Universidad Latina

ÍNDICE

1.- Qué es el cálculo diferencial 2.- Aplicaciones de las derivadas en la construcción de gráficos 3.-Criterio de la I derivada 4.-Ejemplos 5.- Criterio de la II Derivada 6.- Ejemplos 7.-Aplicaciones del cálculo integral a la administración 8.- El excedente del consumidor y el excedente del productor 9.- Ejemplos

Aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral

Aplicaciones de las derivadas en la construcción de gráficos

Criterio de la I Derivada

Criterio de la II Derivada

Aplicaciones de la Integral en la Administración

Excedentes del consumidor y del productor

Contenidos del Webinar

Ej 1 Ej 2 Ej 1 Ej 2 Ej 1 Ej 2

El cálculo es una de las áreas de la Matemática dedicada al estudio de los cambios que se dan en las diferentes funciones, es por este motivo que su estudio esta relacionado con la pendiente de una curva, la recta tangente, la velocidad de cambio, entre otros.

El presente trabajo busca mostrar de una manera gráfica la relación de una función con su primera y segunda derivada, apoyados con el software libre GeoGebra.

Mediante diferentes ejemplos el estudiante puede manipular las funciones y observar su relación con sus derivadas.

¿Qué es el cálculo?

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La I derivada y la II derivada están estrechamente ligadas a la función original y proporcionan información valiosa de la misma.

La misma es de gran ayuda a la hora de graficar la función.

En la mayoría de los cursos de cálculo se habla que la I derivada permite determinar los intervalos de monotonía de la función y sus puntos extremos.

La segunda derivada nos indica los intervalos de concavidad, puntos de inflexión y verifica si los puntos extremos son máximos y mínimos

Aplicaciones de las derivadas en la construcción de gráficos

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Criterio de la I derivada

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b], que es derivable en todo punto del intervalo abierto ]a, b[. Sea c en ]a, b[ tal que f´(c) = 0 ó f´(c) no existe. Si f`(x) es positiva para todo x<c, y negativa para todo x > c,

entonces f ( c ) es un valor máximo relativo de f( x )

Criterio de la I derivada

Si f`(x) es negativa para todo x<c, y positiva para todo x > c, entonces f ( c ) es un valor mínimo relativo de f( x )

Criterio de la I derivada

Si f̀ (x) es positiva para todo x<c, y también lo es para todo x > c, o s i f`(x) es negativa para todo x<c, y a su vez para todo x > c, entonces f ( c ) es un valor relativo máximo , ni es un valor mínimo relativo de f( x )

Puntos críticos

Un valor c que pertenezca al dominio de f y que cumpla alguna de las condiciones f´(c) = 0 o que f´(c) sea indefinida recibe el nombre de valor crítico.

Recordatorio

Primera derivada

Puntos críticos

Decreciente Creciente

Ejemplo 1

Ejemplo 2

La segunda derivada de una función nos permite determinar donde la función es cóncava hacia arriba y donde la función es cóncava hacia abajo.

Criterio de la II Derivada

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Concavidad

La gráfica de una función 𝑓 es cóncava hacia arriba en un intervalo, si la segunda derivada de la función es positiva.

𝑓 ′′ 𝑥 > 0

La gráfica de una función 𝑓 es cóncava hacia abajo en un intervalo, si la segunda derivada de la función es positiva.

𝑓′′(𝑥) < 0

Segunda derivada

Segunda derivada

Máximos y mínimos relativos

Concavidad

Posibles puntos de inflexión

Puntos de inflexión

Un punto 𝑐 del dominio de una función es un punto de inflexión si:

𝑓 ′′ 𝑐 = 0 o 𝑓′′(𝑐) ni existe

En 𝑐 se presenta un cambio de concavidad.

𝑓 es continua en 𝑐

Ejemplo 1

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Ejemplo 2

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Una de las aplicaciones del cálculo integral en la administración es el cálculo de los excedentes tanto de los consumidores como de los productores.

El precio de un artículo o bien esta determinado por su utilidad o su valor, es decir, depende de la cantidad de dinero que el consumidor esta dispuesto a pagar por el producto, o el valor monetario asignado por el productor al vender el producto o bien.

En ocasiones los consumidores están dispuestos a pagar un precio superior al precio real del producto o al precio que el productor estaría dispuesto a venderlo, es menor que el precio que sugiere el mercado.

El cálculo integral en la Administración

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Se llama función de demanda de los consumidores a una función p = D( q ), que proporciona el precio por unidad que los consumidores están dispuestos a pagar por obtener la q-ésima unidad de un artículo. Esta función por lo general es una función decreciente de q

Curva de demanda de los consumidores

Se llama curva de oferta de los productores a la función p=S (q), la cual determina el precio unitario al que los productores estarían dispuestos a aceptar por ofertar q unidades en el mercado.

Esta función por lo general es creciente para q.

Curva de oferta de los productores

Se llama excedentes a la suma de todas las diferencias entre el valor que cada persona asigna a un producto o bien y el valor del producto en el mercado.

EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR

Es la diferencia entre la cantidad total que los consumidores están dispuestos a pagar y el gasto real de los consumidores.

EXCEDENTE DEL PRODUCTOR

Es la diferencia entre el gasto real de los consumidores por q0 unidades y la cantidad total que los productores reciben cuando ofertan q0 unidades.

Excedentes

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Excedentes de los consumidores y de los productores

Desde el punto de vista del cálculo diferencia el excedente de los consumidores se puede expresar por.

EXCEDENTE DE LOS CONSUMIDORES

00

0

0

qpdqqDEC

q

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Desde el punto de vista del cálculo diferencia el excedente de los productores se puede expresar por

EXCEDEN TES DE LOS PRODUCTORES

dqqSqpEC

q

0

0

00

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Un fabricante de llantas estima que los mayoristas compraran q (miles) de llantas cuando el precio sea

dólares por llanta, el mismo número de llantas se ofertarán cuando el precio sea

dólares por llanta.

Para determinar el excedente del consumidor y del productor se debe hallar el punto de equilibrio, para lo cual se deben igual ambas ecuaciones

Ejemplo 1

901.0 2 qpDp

502.0 2 qqqSp

80,10

502.0901.0 22

pluegoq

qqq

Excedente del consumidor

67,6680067,866

1080901.0

10

0

2

dqqEC

EXCEDENTE DEL PRODUCTOR

𝐸𝑃 = 80 10 − 0,2𝑞2 + 𝑞 + 5010

0dq

800-616,67=183,33

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Un fabricante de mesas estima que los mayoristas compraran q de mesas cuando el precio sea

dólares por mesa, el mismo número de mesas se ofertarán cuando el precio sea

dólares por mesa.

Para determinar el excedente del consumidor y del productor se debe hallar el punto de equilibrio, para lo cual se deben igual ambas ecuaciones

Ejemplo 2

2

3

1131 qpDp

2

3

250 qqSp

104,9

3

250

3

1131 22

pluegoq

qq

Excedente del consumidor

1629361098

1049dqq3

1131EC

9

0

2

EXCEDENTE DEL PRODUCTOR

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𝑬𝑷 = 𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟒 − 𝟐

𝟑𝒒𝟐 +𝟓𝟎 𝒅𝒒

𝟗

𝟎

= 𝟗𝟑𝟔 − 𝟔𝟏𝟐 = 𝟑𝟐𝟒

BIBLIOGRAFÍA

Larson, R. E. (2011). Cálculo . México: McGraw Hill.

CONTACTO

M.Ed. Gerardo Garita Orozco Email: gerardo.garita@ulatina.cr Tel: (506) 22778262