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INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
“Sul ruolo delle simmetrie in fisica”
Matteo D’Achille
Università degli Studi di Milano Associazione culturale “Albatros”
20 Marzo 2014
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
INTRODUZIONE
STORIA
I greciLa similitudine nella geometria euclideaR.Cartesio e la rivoluzione copernicanaJ.Bolyai, N.I.Lobacevskij e B.RiemannLa similitudine, più recentemente
MATEMATICA
GruppiEsempi di gruppiRappresentazioni di gruppi
FISICA
Un esempio di simmetria dinamicaIl teorema di E.NoetherIl gruppo di simmetria dello spazio tempo
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA GEOMETRIA STUDIA LE RELAZIONI TRA CORPI
Alla base della geometria l’interazione tra esigenzepratiche e pensiero astratto (misurare, contare...)
Gli Elementi di Euclide (370 a.C. - 283 a.C.) come modellodel procedere more geometrico fino ai giorni nostri
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA GEOMETRIA STUDIA LE RELAZIONI TRA CORPI
Alla base della geometria l’interazione tra esigenzepratiche e pensiero astratto (misurare, contare...)
Gli Elementi di Euclide (370 a.C. - 283 a.C.) come modellodel procedere more geometrico fino ai giorni nostri
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA SIMILITUDINE I
Due figure piane sono simili se lati omologhi sonoproporzionali.
Risultati per una figura ”test" si estendono ad arbitrariefigure simili.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA SIMILITUDINE I
Due figure piane sono simili se lati omologhi sonoproporzionali.
Risultati per una figura ”test" si estendono ad arbitrariefigure simili.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA SIMILITUDINE I
Si considerino i duetriangoli equilateri−→L’area del piùpiccolo, che ha lato l,è 1.Quanto misura illato del triangoloequilatero “piùgrande”?
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA SIMILITUDINE IIRisposta:
2l
2 è il rapporto di similitudine. Notare che il rapporto tra learee è 4.
La lunghezza di lati omologhi (=che occupano la stessaposizione relativa nel triangolo più grande) si ottienemoltiplicando per questo numero.
La similitudine è una relazione di equivalenza (è riflessiva,simmetrica e transitiva). Risultati relativi a lunghezze delrappresentante vengono estesi ad ogni triangolo ad essosimile moltiplicando per una opportuna costante.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA SIMILITUDINE IIRisposta: 2l
2 è il rapporto di similitudine. Notare che il rapporto tra learee è 4.
La lunghezza di lati omologhi (=che occupano la stessaposizione relativa nel triangolo più grande) si ottienemoltiplicando per questo numero.
La similitudine è una relazione di equivalenza (è riflessiva,simmetrica e transitiva). Risultati relativi a lunghezze delrappresentante vengono estesi ad ogni triangolo ad essosimile moltiplicando per una opportuna costante.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA SIMILITUDINE IIRisposta: 2l
2 è il rapporto di similitudine. Notare che il rapporto tra learee è 4.
La lunghezza di lati omologhi (=che occupano la stessaposizione relativa nel triangolo più grande) si ottienemoltiplicando per questo numero.
La similitudine è una relazione di equivalenza (è riflessiva,simmetrica e transitiva). Risultati relativi a lunghezze delrappresentante vengono estesi ad ogni triangolo ad essosimile moltiplicando per una opportuna costante.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA SIMILITUDINE IIRisposta: 2l
2 è il rapporto di similitudine. Notare che il rapporto tra learee è 4.
La lunghezza di lati omologhi (=che occupano la stessaposizione relativa nel triangolo più grande) si ottienemoltiplicando per questo numero.
La similitudine è una relazione di equivalenza (è riflessiva,simmetrica e transitiva). Risultati relativi a lunghezze delrappresentante vengono estesi ad ogni triangolo ad essosimile moltiplicando per una opportuna costante.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA SIMILITUDINE IIRisposta: 2l
2 è il rapporto di similitudine. Notare che il rapporto tra learee è 4.
La lunghezza di lati omologhi (=che occupano la stessaposizione relativa nel triangolo più grande) si ottienemoltiplicando per questo numero.
La similitudine è una relazione di equivalenza (è riflessiva,simmetrica e transitiva). Risultati relativi a lunghezze delrappresentante vengono estesi ad ogni triangolo ad essosimile moltiplicando per una opportuna costante.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA SCELTA DI UN SISTEMA DI RIFERIMENTO
Renato Cartesio (1596-1650)
Si possono studiare gli enti geometrici con i metodidell’Algebra. Nessun sistema di riferimento è privilegiato apriori.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
IL POSTULATO DELLE PARALLELE
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
IL POSTULATO DELLE PARALLELE IN GEOMETRIA
SFERICA
Bernard Riemann(1826-1866)
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
IL POSTULATO DELLE PARALLELE IN GEOMETRIA
IPERBOLICA
Janos Bolyai (1802-1860)
Nikolaj IvanovicLobacevskij (1792-1856)
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
UN CAMBIAMENTO DI PROSPETTIVA
L’attenzione è rivolta alle trasformazioni, non più agli entigeometrici.
1. Quali sono le trasformazioni che preservano lasimilitudine?
2. É possibile caratterizzarle "tutte assieme"?
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
DEFINIZIONE DI GRUPPO.Un gruppo finito è una coppia (X, ◦) di uninsieme X ed una operazione binaria ”◦”sper la quale valgano le seguenti treproprietà:
1. Associatività. La presenza di parentesinon influisce sull’applicazionesuccessiva di ◦
2. Elemento neutro. Per ciascun elementodell’insieme X, esiste un elemento checomposto con questo non sortisceeffetto.
3. Inverso. Per ciascun elementodell’insieme X, esiste un elemento checomposto con questo fornisce comerisultato l’elemento neutro.
Évariste Galois(1811-1832)
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
DEFINIZIONE DI GRUPPO.Un gruppo finito è una coppia (X, ◦) di uninsieme X ed una operazione binaria ”◦”sper la quale valgano le seguenti treproprietà:
1. Associatività. La presenza di parentesinon influisce sull’applicazionesuccessiva di ◦
2. Elemento neutro. Per ciascun elementodell’insieme X, esiste un elemento checomposto con questo non sortisceeffetto.
3. Inverso. Per ciascun elementodell’insieme X, esiste un elemento checomposto con questo fornisce comerisultato l’elemento neutro.
Évariste Galois(1811-1832)
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
DEFINIZIONE DI GRUPPO.Un gruppo finito è una coppia (X, ◦) di uninsieme X ed una operazione binaria ”◦”sper la quale valgano le seguenti treproprietà:
1. Associatività. La presenza di parentesinon influisce sull’applicazionesuccessiva di ◦
2. Elemento neutro. Per ciascun elementodell’insieme X, esiste un elemento checomposto con questo non sortisceeffetto.
3. Inverso. Per ciascun elementodell’insieme X, esiste un elemento checomposto con questo fornisce comerisultato l’elemento neutro.
Évariste Galois(1811-1832)
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
IL GRUPPO Z2
Consideriamo l’insieme dei numeri naturali N.Dividendo per 2, ci sono solo due possibili resti: → 0, 1
Consideriamo la coppia ({0, 1},×) è un gruppo?
No. 0 non ammette inverso.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
IL GRUPPO Z2
Consideriamo l’insieme dei numeri naturali N.Dividendo per 2, ci sono solo due possibili resti: → 0, 1
Consideriamo la coppia ({0, 1},×) è un gruppo?
No. 0 non ammette inverso.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
IL GRUPPO Z2
Consideriamo l’insieme dei numeri naturali N.Dividendo per 2, ci sono solo due possibili resti: → 0, 1
Consideriamo la coppia ({0, 1},×) è un gruppo?
No. 0 non ammette inverso.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
PERMUTAZIONI
Una permutazione di un insieme X è una mappa p : X→ Xiniettiva e suriettiva. Può essere vista come un riarrangiamentodell’insieme X.
L’insieme delle permutazioni di n oggetti, dotatodell’operazione di composizione (o applicazionesuccessiva) è un gruppo detto gruppo simmetrico di ordine no Sn. Consideriamo il caso n = 2.
Chi è l’elemento neutro?Chi è il reciproco?
Si mostra che le permutazioni di n oggetti formano ungruppo detto gruppo simmetrico.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
PERMUTAZIONI
Una permutazione di un insieme X è una mappa p : X→ Xiniettiva e suriettiva. Può essere vista come un riarrangiamentodell’insieme X.
L’insieme delle permutazioni di n oggetti, dotatodell’operazione di composizione (o applicazionesuccessiva) è un gruppo detto gruppo simmetrico di ordine no Sn. Consideriamo il caso n = 2.Chi è l’elemento neutro?
Chi è il reciproco?
Si mostra che le permutazioni di n oggetti formano ungruppo detto gruppo simmetrico.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
PERMUTAZIONI
Una permutazione di un insieme X è una mappa p : X→ Xiniettiva e suriettiva. Può essere vista come un riarrangiamentodell’insieme X.
L’insieme delle permutazioni di n oggetti, dotatodell’operazione di composizione (o applicazionesuccessiva) è un gruppo detto gruppo simmetrico di ordine no Sn. Consideriamo il caso n = 2.Chi è l’elemento neutro?Chi è il reciproco?
Si mostra che le permutazioni di n oggetti formano ungruppo detto gruppo simmetrico.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
PERMUTAZIONI
Una permutazione di un insieme X è una mappa p : X→ Xiniettiva e suriettiva. Può essere vista come un riarrangiamentodell’insieme X.
L’insieme delle permutazioni di n oggetti, dotatodell’operazione di composizione (o applicazionesuccessiva) è un gruppo detto gruppo simmetrico di ordine no Sn. Consideriamo il caso n = 2.Chi è l’elemento neutro?Chi è il reciproco?
Si mostra che le permutazioni di n oggetti formano ungruppo detto gruppo simmetrico.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
S2 O LE PERMUTAZIONI DI DUE OGGETTI
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
S3 O LE PERMUTAZIONI DI TRE OGGETTI
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
D3 O LE SIMMETRIE DI UN TRIANGOLO EQUILATERO
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
MOLTO PIÙ DI UN’ANALOGIA
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
MECCANICA
Un sistema meccanico ècompletamente determinato
qualora si conoscano le velocitàe le posizioni di tutti i suoicostituenti ad ogni tempo.
Sir Isaac Newton (1642-1726)
Per un ampia classe di sistemifisici l’energia totale del sistemaè E = T + V, dove:
T o energia cinetica èproporzionale al quadratodelle velocità: T ∼ v2
V o potenziale dipendedalla natura delle forzecoinvolte (gravitazionale,elettromagnetica..).Assumeremo che V nondipenda dalle velocità.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
MECCANICA
Un sistema meccanico ècompletamente determinato
qualora si conoscano le velocitàe le posizioni di tutti i suoicostituenti ad ogni tempo.
Sir Isaac Newton (1642-1726)
Per un ampia classe di sistemifisici l’energia totale del sistemaè E = T + V, dove:
T o energia cinetica èproporzionale al quadratodelle velocità: T ∼ v2
V o potenziale dipendedalla natura delle forzecoinvolte (gravitazionale,elettromagnetica..).Assumeremo che V nondipenda dalle velocità.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
MECCANICA
Un sistema meccanico ècompletamente determinato
qualora si conoscano le velocitàe le posizioni di tutti i suoicostituenti ad ogni tempo.
Sir Isaac Newton (1642-1726)
Per un ampia classe di sistemifisici l’energia totale del sistemaè E = T + V, dove:
T o energia cinetica èproporzionale al quadratodelle velocità: T ∼ v2
V o potenziale dipendedalla natura delle forzecoinvolte (gravitazionale,elettromagnetica..).Assumeremo che V nondipenda dalle velocità.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
L’AZIONE
S è detta azione e si puòmostrare che S è linearenella differenza T − V.La traiettoria fisica rendeminimo il valore di S.
Sir William RowanHamilton (1805-1865)
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
PREMESSA: FUNZIONI OMOGENEE
Una funzione ϕ si dice omogenea di grado k se, data unacostante di similitudine λ, vale ϕ ◦ Sλ = Sλk ◦ ϕ.Esempi:
La lunghezza di un segmento è f. omogenea di grado 1.Per esempio, se dilatiamo di un fattore 3 il segmento, lasua lunghezza triplica.
L’estensione di una superficie è f. omogenea di grado 2. Seraddoppiamo il lato di un campo di grano quadrato, la suaestensione quadruplica.
In quanto segue supporremo che il potenziale del sistemasia f.omogenea di grado k.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
PREMESSA: FUNZIONI OMOGENEE
Una funzione ϕ si dice omogenea di grado k se, data unacostante di similitudine λ, vale ϕ ◦ Sλ = Sλk ◦ ϕ.Esempi:
La lunghezza di un segmento è f. omogenea di grado 1.Per esempio, se dilatiamo di un fattore 3 il segmento, lasua lunghezza triplica.
L’estensione di una superficie è f. omogenea di grado 2. Seraddoppiamo il lato di un campo di grano quadrato, la suaestensione quadruplica.
In quanto segue supporremo che il potenziale del sistemasia f.omogenea di grado k.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
PREMESSA: FUNZIONI OMOGENEE
Una funzione ϕ si dice omogenea di grado k se, data unacostante di similitudine λ, vale ϕ ◦ Sλ = Sλk ◦ ϕ.Esempi:
La lunghezza di un segmento è f. omogenea di grado 1.Per esempio, se dilatiamo di un fattore 3 il segmento, lasua lunghezza triplica.
L’estensione di una superficie è f. omogenea di grado 2. Seraddoppiamo il lato di un campo di grano quadrato, la suaestensione quadruplica.
In quanto segue supporremo che il potenziale del sistemasia f.omogenea di grado k.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
PREMESSA: FUNZIONI OMOGENEE
Una funzione ϕ si dice omogenea di grado k se, data unacostante di similitudine λ, vale ϕ ◦ Sλ = Sλk ◦ ϕ.Esempi:
La lunghezza di un segmento è f. omogenea di grado 1.Per esempio, se dilatiamo di un fattore 3 il segmento, lasua lunghezza triplica.
L’estensione di una superficie è f. omogenea di grado 2. Seraddoppiamo il lato di un campo di grano quadrato, la suaestensione quadruplica.
In quanto segue supporremo che il potenziale del sistemasia f.omogenea di grado k.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
SIMILITUDINE DINAMICA
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
SIMILITUDINE DINAMICA
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
IL TEOREMA DI E.NOETHER
Emmy Noether (1882-1935)
“Ad ogni simmetria continua(dell’azione S) di un sistemafisico corrisponde una quantitàconservata.”
Si svelano proprietà profonde disistemi già studiati.
Si costruiscono nuove teorie apartire dalle quantità conservateladdove l’intuizione fornisce unaiuto scarso o nullo.
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IL TEOREMA DI E.NOETHER
Emmy Noether (1882-1935)
“Ad ogni simmetria continua(dell’azione S) di un sistemafisico corrisponde una quantitàconservata.”Si svelano proprietà profonde disistemi già studiati.
Si costruiscono nuove teorie apartire dalle quantità conservateladdove l’intuizione fornisce unaiuto scarso o nullo.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
IL TEOREMA DI E.NOETHER
Emmy Noether (1882-1935)
“Ad ogni simmetria continua(dell’azione S) di un sistemafisico corrisponde una quantitàconservata.”Si svelano proprietà profonde disistemi già studiati.
Si costruiscono nuove teorie apartire dalle quantità conservateladdove l’intuizione fornisce unaiuto scarso o nullo.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
DALL’ESPERIMENTO ALLE SIMMETRIE DELLO SPAZIO
TEMPO
La velocità della luce c è costante in tutti i sistemi di riferimentoinerziale. Nel vuoto c = 299792458 m/s. Consideriamo unalampadina che si accende nello spazio.
X2
t2 = x2
t2 = c2 è un vincolo tra i regoli e gli orologi diosservatori che descrivono la luce uscente dalla lampadina.
Questo è un vincolo tra le posizioni e le velocità diosservatori inerziali. Le trasformazioni tra i sistemi diriferimento inerziali sono dette trasformazioni di Lorentz.
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DALL’ESPERIMENTO ALLE SIMMETRIE DELLO SPAZIO
TEMPO
La velocità della luce c è costante in tutti i sistemi di riferimentoinerziale. Nel vuoto c = 299792458 m/s. Consideriamo unalampadina che si accende nello spazio.
X2
t2 = x2
t2 = c2 è un vincolo tra i regoli e gli orologi diosservatori che descrivono la luce uscente dalla lampadina.
Questo è un vincolo tra le posizioni e le velocità diosservatori inerziali. Le trasformazioni tra i sistemi diriferimento inerziali sono dette trasformazioni di Lorentz.
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DALL’ESPERIMENTO ALLE SIMMETRIE DELLO SPAZIO
TEMPO
La velocità della luce c è costante in tutti i sistemi di riferimentoinerziale. Nel vuoto c = 299792458 m/s. Consideriamo unalampadina che si accende nello spazio.
X2
t2 = x2
t2 = c2 è un vincolo tra i regoli e gli orologi diosservatori che descrivono la luce uscente dalla lampadina.
Questo è un vincolo tra le posizioni e le velocità diosservatori inerziali. Le trasformazioni tra i sistemi diriferimento inerziali sono dette trasformazioni di Lorentz.
INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE
A.D.Aleksandrov, A.N. Kolmogorov e M.A. Lavrent’evLe matematicheBollati Boringhieri, 2012
L.D.Landau, E.M.LifšitsFisica Teorica I - MeccanicaEditori Riuniti, 2010
E.BelloneCaos e armoniaUtet, 2011
R.P.FeynmanSei pezzi meno faciliAdelphi, 2007
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