anipolazione obotica · mi pdl2 propri del contollore. su questa scheda è presente un’area di...
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Universitàdegli Studidi Bologna
FACOLTÀ DI I NGEGNERI A
Corsodi Laureain IngegneriaElettronica
ROBOTICA INDUSTRIALE
MANIPOLAZIONE ROBOTICA :
STRATEGIE DI PRESA OTTIMA
DI OGGETTI PLANARI
Tesidi Laureadi:
RAFFAEL L A CARL ONI
Relatore:
CHI AR.M O PROF. I NG. CL AUDI O M EL CHI ORRI
Correlatori:
CHI AR.M O PROF. I NG. CL AUDI O BONI VENTO
DOTT. I NG. AL ESSANDRO M ACCHEL L I
SessioneI
AnnoAccademico2001/2002
Parolechiave:
manipolazionerobotica
presaottima
form closure
pinzarobotica
visione
L.A.R.,Laboratorio di Automazionee Robotica.
D.E.I.S.,Dipartimentodi Elettronica, Informaticae Sistemistica.
Universitàdi Bologna.
Le simulazioni sono effettuatein MATLAB e SIMUL INK, MATLAB e SIMUL INK sono
marchiregistrati di THE MATHWORKS, INC.
La tesiè scritta in LATEX 2ε, la stampaè in POSTSCRIPT.
Le immagini sonocreate in ADOBE ILLUSTRATOR 7.0. ADOBE ILLUSTRATOR 7.0 è un
marchioregistratoADOBE SYSTEMS INC..
ai mieigenitori
iv
Indice
Intr oduzione 1
1 Descrizionedel sistema 3
1.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 RobotComauSmart-3S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Descrizionedellacinematica. . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Il controlloreC3G9000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Il controlloutente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 GripperA.S.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Strutturameccanicadellapinza . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Descrizionedellacinematica. . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Descrizionedegli attuatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.4 L’apparatosensoriale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.5 Architetturahardwaredel sistema di controllo . . . . . . . . 14
1.3.6 Controllodellapinza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Telecamera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Algoritmo di Canny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Calcolodel centrodi gravità . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.3 Calcolodelladistanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Il problemadella presarobotica 23
2.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Forceclosuree form closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Analisi dellaforza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Mobilità delprimoordinedi oggettiin contatto . . . . . . . . . . . 28
2.4.1 La rappresentazionedellospaziodi configurazione. . . . . 29
2.4.2 Le forzedi contattonellospaziodi configurazione . . . . . 30
2.4.3 Moti liberi del primoordine . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
vi Indice
2.4.4 Interpretazionegraficadeimoti liberi del primoordine . . . 36
2.5 L’indice di mobilità delprimoordine . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 L’indice di mobilità del secondoordine 41
3.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Mobilitàdel secondoordinedi oggettiin contatto . . . . . . . . . . 41
3.2.1 Moti liberi del secondoordine . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.2 La curvaturadeldito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3 Interpretazionegraficadeimoti liberi del secondoordine.. . 47
3.3 Mobilitàdel secondoordinein unapresadi equilibrio . . . . . . . . 49
4 Implementazioneeprove sperimentali 53
4.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Analisi del contornodell’oggetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.1 Edge-tracking. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.2 Parametrizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Vincoli imposti dallageometriadelgripper . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Le presedi equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5 Le presedi immobilizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6 La presaottima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.7 Prestazionidell’algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Conclusioni 65
Bibliografia 66
Elencodelle figure
1.1 Schemacomplessivo del robot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Complessivo delgripper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Catenacinematicadi undito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Principioutilizzatopergarantireunmototraslatoriodi undito. . . . 9
1.5 Definizionedei sistemidi riferimentoperla cinematicadi undito. . 10
1.6 Architetturahardwaredel sistemadi controllo.. . . . . . . . . . . . 15
1.7 Modellodel sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Schemadi controllocomplessivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Presedi equilibrio con duedita, con la stessamobilità del primo
ordine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Presedi equilibrio contre dita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Sistemacostituito dall’oggetto edalledita. . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 La rappresentazionedel c-space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Approssimazionedelprimoordinedelmotodi���
q� in q0 . . . . . . 32
2.6 Il semispaziodeimovimenti liberi del primoordinecomerotazioni
istantanee.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7 (a) � 1q0
���è un sottospaziomonodimensionale.(b) � 1
q0
��� � è un
sottospaziobidimensionale.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1 Indice di mobilità del secondoordineper presedi equilibrio con
equivalenteindicedelprimoordine. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 (a) movimentidi escapedel secondoordine.(b) movimenti di roll-
slidedelsecondoordine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Movimenti di roll-slide del primo e secondoordinedi un contatto
planare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1 Esempidi immagini prelevate dallatelecamera.. . . . . . . . . . . 54
4.2 Esempiodi immaginedi unapallinaprelevatadallatelecamera.. . . 54
4.3 Ricostruzionedelcontornomediantel’algoritmo di Canny. . . . . . 55
viii Elencodellefigure
4.4 Ricostruzionedelcontornomediantel’algoritmo di Canny. . . . . . 56
4.5 Ricostruzionedelcontorno:edge-tracking.. . . . . . . . . . . . . . 57
4.6 Ternadi presa.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.7 Ternadi presa.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.8 Ternadi presa.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Bologna, 17Luglio 2002
Oggi si realizzaunsogno!
Nelle occasionipiù importanti della vita, ci si sentespessosoli, ma, sesono
arrivata adoggi, èperchèhoavutoaccantodellepersoneveramentespeciali.
Graziea chi nonhamaismessodi credere in me!
Graziea chi, con le giuste parole, è riuscito a sollevarmi nei momentidi diffi-
coltàea darmi la sicurezzae la forzanecessarie.
Grazie,
Raffaella
x
Intr oduzione
Lo sviluppo costantedella ricercanel campodella tecnologiaroboticae, più in
generale,dell’automazione,ha portatoalla realizzazionedi macchinein gradodi
sostituire l’operatoreumanonello svolgimentodi attività ripetitive, rischioseo che
richiedonograndeprecisione.
La maggioranzadelle applicazioniroboticheè rivolta ad ambientistrutturati,
in cui l’allocazionedeterministica e la descrizionegeometricadegli elementico-
stituenti la cella di lavoro assumonouna fondamentaleimportanzanella pianifi-
cazionedei moti e delle interazioni. Vi è tuttavia un grandeinteresseversotutte
quelleapplicazioniove, al contrario,la parzialeo completaincapacitàdi model-
lazionedell’ambientedi lavoro rendenecessariosviluppareopportune tecnichedi
controllo.
Questoobiettivo, resoperseguibileanchedallacrescentevelocitàdi elaborazio-
nedeisistemireal-timechesovrintendonoal controllodeimanipolatori, di fattoim-
plicala ricercadi adeguatialgoritmicheconferisconouncomportamentopiùumano
alla macchina:essadeve esseredotatadi un certaautonomia funzionale,deve cioè
esserein gradodi modificareil proprio comportamentoin basead informazioni
assuntein temporealesull’ambientecircostante.
L’attenzionedi questolavoro è statarivolta all’interazionerobot-ambiente, con
riferimentoadunaspettoparticolare:la manipolazionerobotica.
In operazionidi manipolazioneavanzata,in ambienticioènonstrutturati, assu-
megrandeimportanzala capacitàdi afferrarein manierastabileoggettisconosciuti
e di mantenerela presadurantela manipolazionestessa.La diversità delle forme
e delle dimensionidegli oggettirendeparticolarmentedifficoltosae complessala
strategia di presada partedell’end-effector: ciò è tantopiù vero nel campodelle
applicazionispazialiin quantogli oggettisospesiin assenzadi gravità o in condi-
zioni di microgravità non possiedonogiaciturepreferenzialio forze frizionali che
possanoconservarela posizione iniziale dell’oggetto. In questocasoun qualsiasi
contattononequilibratodapartedelgripperdeterminerebbela fugadell’oggettoal
2 Intr oduzione
di fuori dello spaziodi lavoro conil conseguentefallimento dell’interaoperazione
di presa.
Il sistemasensorialedevepermetteredi riconoscerela formadell’oggetto prima
cheavvengail contatto,in modotale da calcolarenel più breve tempopossibile i
puntidi presamigliori: i punti “target”. L’oggetto verràafferratoin corrispondenza
di tali puntimedianteuncontattosincronoconcontrollodellaforzaapplicata:solo
in questomodole forzeesercitatesull’oggetto costituiranno, istanteper istante,un
sistemaequilibrato.
In questocontesto,obiettivo della tesi è statosviluppareuna metodologia di
determinazionedi prese“ottime” di oggettiplanariutilizzandounmanipolatore ro-
boticosul cui polsosonomontatiunapinzaedunatelecamera.La presentetesiè
statastruttuta in questomodo: il capitolo1 descrive il sistemacostituito da robot,
grippere telecamera,il capitolo2 tratta il problemadella manipolazioneroboti-
ca in generalee introduceil concettodi mobilità del primo ordine,il capitolo3 è
dedicatoall’indice di mobilità del secondoordineed infine il capitolo4 presenta
l’impl ementazionedellasoluzionepropostae i risultatidelleprovesperimentali.
Capitolo 1
Descrizionedel sistema
1.1 Intr oduzione
Il sistemastudiatoècostituito datre parti fondamentali:� manipolatorerobotico;� 3-dofgripper;� telecamera;
1.2 Robot ComauSmart-3S
1.2.1 Descrizionedella cinematica
Il robotSmart-3SdellaComau[10] è un manipolatoreroboticoindustriale,costi-
tuito da un bracciocon basefissae sei giunti di tipo rotoidalecheconferiscono
all’end-effectorseigradidi libertàdi movimentonello spaziodi lavoro. Non pos-
siedeil polsosfericoa causadi un offsettra il quartoe il quintogiuntocheimpe-
discel’intersezionedegli assiin un punto: nonè perciòpossibile disaccoppiareil
problemadell’orientamentoda quello del posizionamentoe nemmenosoddisfare
la condizionesufficientecheassicuradi riuscirea risolvereil problemacinemati-
co inverso(vedi figura 1.1). I giunti del robotsonocontrollati da attuatoridi tipo
brushlessconresolvercalettatisull’alberoperla misuradellarotazione[33].
1.2.2 Il controlloreC3G 9000
Il controllore C3Gècostituito datre sistemi principali:
4 Descrizionedel sistema
Figura1.1: Schemacomplessivo del robot.� interfacciaoperatore;� unitàdi controllochegestiscele funzionidell’ interfacciaoperatoreedesegue
gli algoritmi di controllodelmovimento;� unitàdriver motore,ossiala partedi amplificazionedi potenza.
L’unità di controlloC3Gè basatasul busMotorolaVME e comprendedueschede
conCPU:� RBC: gestiscel’interfacciauomo-macchinaetraduceedinterpretai program-
mi PDL2propridelcontollore. Suquestaschedaèpresenteun’areadi memo-
ria, chiamata“sharedmemory”,alla qualesi puòaccederedatuttele schede
collegate al busVME, schedaRBC inclusa.� SCC: è dotataanchedi un DSP (Digital SignalProcessor).È responsabi-
le della programmazionee dell’interpolazionedella traiettoria(sia in coor-
dinate di giunto che in quelle cartesiane),della cinematicainversa,della
microinterpolazioneedel controlloposizionegiunto.
1.2. Robot ComauSmart-3S 5
Nella attualeversioneil controllorestandardC3G-9000è statoaggiornatoper
permetterela cosiddettamodalità di controllo“aperta”,cioèè possibile la comuni-
cazionetra il C3G-9000edil PC,interfacciandoil busVME del controlloreconil
busISA di unPCtramitedueschedeBit3, collegate tra di loro conuncavo adalta-
velocità. Lo scambiodi dati avvienenella sharedmemorydella RBC. La sincro-
nizzazionetra il controlloreC3Gedil PCsi ottienetramiteun segnaledi interrupt
generatodalcontrolloreC3Gconperiodofunzionedellamodalità utilizzata.
Nella modalità apertaesistonocinquemodi di funzionamento del controllore.
Essisi distinguonol’uno dall’altroasecondadelpuntoin cui vieneapertolo schema
di controllostandarddelC3G.
La modalitàpiù utilizzataè caratterizzatada un periododi campionamentodi
1ms. Il controllodelC3Gèapertoavalledel loopdi posizioneevelocitàassi:il PC
leggele posizionideiseigiunti escrivedirettamente i setpoint di corrente,contutti
i controlli di sicurezzadisabilitati. Eccoperchéquestamodalitàè la più pericolosa
maèanchequellachepermettemaggiorilibertà.
1.2.3 Il controllo utente
Il controllodi unmanipolatoreconsistenel determinarele coppiee le forzechegli
attuatoridevono applicareai giunti, in mododa garantirel’esecuzionedei movi-
mentidesiderati.Si distinguefra controllonello spaziodi giunto e controllonello
spaziooperativo. Il primopresentacomevantaggioil minorcaricocomputazionale
e presupponel’inseguimentodi traiettoriegeneratenello spaziodi giunto, il con-
trollo sulle grandezzenello spaziooperativo avvienequindi in catenaaperta. La
secondastrategia,pur richiedendounamaggiorecomplesitàalgoritmica,presuppo-
nel’inversionecinematicainternaall’anellodi controllo,quindi le misurevengono
fattedirettamentenellospaziooperativo.
Il softwaredi controllo del robot inizialmenteerastatofatto in MS-DOS,poi
si è passatiadun sistemaoperativo più potentecomeRTAI-Linux. I processireal-
time diventanoa maggiorepriorità e utilizzanoun unico spaziodi indirizzamento
a livello kernel. Il sistemaLinux mettea disposizione un potentestrumentoper
realizzarei taskreal-time:i loadable kernelmodules. Questisonofile oggettoche
possonoesserecaricati dall’utente in modo dinamicoall’interno dello spaziodi
indirizzamentodel kernele linkati con il codicedel kernelstesso.Si ottienecosì
un’agevolegestionedeimoduliedel loro interfacciamentocondriver o periferiche.
Peravereunacertaflessibilitàerobustezzalo scambiodeidatiavvienemediante
le FIFO, ossiabuffer chevengonoletti e scritti comenormalifile dai processireal-
6 Descrizionedel sistema
time e consentonoil passaggiodi informazioni tra il kernel di Linux o processi
Linux e i task real-time,mantenendol’ordine temporalecon cui le informazioni
sonoscambiate(gestioneacodaFIFO).
I moduli realizzatisono[47]:� comunicazioneconil C3G:hail compitodi leggerei datidalC3G,in partico-
larela posizionedei seimotori e di restituire i setpointdi corrente;è l’unico
modulo chehaaccessoalla sharedmemory, eseguele funzionidi accensione
espegnimento deimotori,rispondeall’interruptdi sincronizzazionegenerato
dalcontrolloreC3Gfiltrandoquellospuriochearrivaogni10ms;� sicurezza:nel funzionamentoa 1msil controlloè effettuatodal PCe il C3G
applicasemplicementeai motori le coppieimpostate.In questomodulosono
definiti i fine corsasoftware,le velocità e i setpointdi corrente;� controllo: questomodulo si occupadella generazionedelle traiettoriesia
nellospaziooperativo chenellospaziodi giuntoedellaregolazione.
Perla regolazioneèstatousatouncontrolloredecentralizzatodi tipo industriale
PID. Lo svantaggiodi tale tecnicariguardal’accoppiamentofra i vari giunti, maè
abbastanzaridotta.Si potrebbeusareuncontrollodi tipo centralizzato,peròrisulta
più complesso.
La regolazioneavvienemediante unaroutine di interrupt eseguitaadogni mil-
lisecondo,quandoavvienela richiestadal controlloreC3G.Nella modalitàad un
mill isecondoil C3G,anchesenonprovvededirettamentealla regolazionedei mo-
vimenti del robot,mantieneun ruolo fondamentaleperchégestiscele temporizza-
zioni: ogni mill isecondoviene inviato un interruptchesettaun flag. Il PC resta
in attesafinchènon vienesettatoil flag, poi può leggeredalla memoriacondivisa
la posizioneattualedei motori in bit resolver, effettuarel’algoritmo di controlloe
scriverele correntinellamemoriacondivisa.
Se il controllo fossea polling, il PC dovrebbeaspettarel’arrivo dell’interrupt
testandocontinuamenteil flag, nonpotendosvolgerealtri compiti. Utilizzandoun
controllo ad interrupt il processorepuò eseguire un qualsiasialtro programmaed
essereinterrottosolamente quandoarriva la chiamatadalC3G.
1.3 Gripper A.S.I.
Il gripper, al qualesi fa riferimentoin questatesi,è unapinzaroboticaprogettata
e costruitainteramentenei dipartimentiDEIS e DIEM della Facoltàdi Ingegne-
1.3. Gripper A.S.I. 7
ria dell’Università di Bologna;rappresentala propostaall’ASI (AgenziaSpaziale
Italiana)di comedotareil manipolatoreSPIDERdi un organodi presaidoneoad
eseguireoperazionidi manipolazione all’internodi unstazionespazialeorbitante.
1.3.1 Struttura meccanicadella pinza
Dopoaver dimostratole potenzialità di un meccanismodi presaa tre punti,è stato
realizzatoil grippernellaconfigurazioneattuale(vedifigura1.2,[13]). Essoèdota-
��� �������������� ���������������� ��� ���
� � �������
� � !"�� �����Figura1.2: Complessivo delgripper.
to di tre dita identichetra di loro, ciascunacaratterizzatadaun gradodi libertàche
consenteun movimentoradialedellestesse.Questesonopoi movimentatedadue
falangi(mediaemotrice)azionatedaunattuatorelinearedi tipo elettrico.
La sceltadi unacatenacinematicaa tre falangitrova motivazioninella ricerca
dellaprecisionedi presae nell’adattabilità adoggettidi formadiversa,considerate
comeprioritarierispettoalla forzadi presa.La pinzaè in gradodi afferrareoggetti
di grossedimensioni rispettoagli ingombri della manorichiusa,operandosenza
difficoltàanchesuoggettidi piccoledimensioni.
8 Descrizionedel sistema
1.3.2 Descrizionedella cinematica
La catenacinematicaè concepitaper ottenereun moto traslatoriodell’ultima fa-
langemantenendoil suoassesemprenella medesima direzione(normalea quella
di avvicinamento).Ciò è statoottenutomovimentandoil dito con duemembridi
egualelunghezza,unabiellaeunamanovella,eimponendotragli stessiunrapporto
di trasmissione1:2. Il meccanismoèsintetizzatonelloschemadi figura1.3.
θ# $ θ
#θ# $ θ
# θ# %
θ# &
θ# %
'(
) θ# % %
* ()
+-,/.1032�465�5�, 798:465�5�,'
*θ#
Figura1.3: Catenacinematicadi undito.
Bloccandoil giunto tra i duemembrie assegnandounarotazioneθ ; a quello
collegato al telaio, l’estremitàdella biella eseguirà, insiemealla manovella, una
rotazioneintornoaOpariaθ ; . Perriportarel’estremoB sull’asseorizzontalesideve
applicarealla biella unarotazioneθ ;�; in versooppostointorno all’asseA. Poichè
biellaemanovella sonodi eguallunghezza,è soddisfattala relazione:
θ ;�;=< 2θ ;ossiaper muovereB lungo la rettaorizzontale,ad unarotazionedi θ ; attornoa O
devecorrispondereunarotazioneattornoadA paria 2θ ; .A questopunto restasolo da analizzarecome è stato soddisfatto l’ulteriore
vincolodi mantenerele ditaparalleleduranteil moto.
Il meccanismoutilizzato si basasul principio del parallelogrammaarticolato
(vedifigura1.4,[13]): essogarantiscechel’estremitàliberasi muovain ognipunto
delpianomantenendosiperòsempreparallelaal sistemadi riferimentodi base;nel
nostrocasotuttavia il movimentolungol’assey è impedito meccanicamentepercui
il dito puòsolotraslarelungol’assex.
Perdescrivereil modellocinematicosi utilizzanole matrici di trasformazione
1.3. Gripper A.S.I. 9
Figura1.4: Principioutilizzatopergarantireunmototraslatoriodi undito.
omogeneecheesprimonoposizionieorientamentirelativi tra i sistemidi riferimen-
to postisuiquattrolink dellapinza,secondola convenzionedi Denavit-Hartemberg.
In particolareil sistema di riferimentodi base(FF0) ha l’origine corrispondenteal
primo giunto ed è orientatocomein figura 1.5, mentreil sistemadi riferimento
associatoall’ulti ma falangedel dito (FF3) è disposto in assecon quest’ultima ed
hal’origine allineatacol sensoreottico di cui ciascundito è dotato(vedi paragrafo
1.3.4).Il modelloacui si pervieneè del tipo:
0Tn < 0H1�q1 � 1H2
�q2 �?>�>@> n A 1Hn
�qn �
dove qi è la varabilerelativa al giunto i-esimoe i A 1Hi e la matricecheconsentedi
passaredalsistemadi riferimentoassociatoal link i-esimoal sistemadi riferimento
associatoal link�i B 1� -esimo. Nel casoparticolareil modello è il seguente:
0T3C < DEEEF 0 B 1 0 2l cosθ1 B dB 1 0 0 h
0 0 1 0
0 0 0 1
GIHHHJ <LK 0R3C 0o3C0 1 M
L’ultimo link (e quindi il sistemadi riferimentoassociatoFF3C ) è in gradounica-
mentedi effettuaretraslazionilungo l’assex0, infatti la partedi rotazione( 0R3C )dellamatricehatutti terminicostantie 0o3C , cherappresentala posizionedell’origi-
nedel sistemadi riferimentoFF3C , haun unicoterminechedipendedallavariabile
10 Descrizionedel sistema
N N
NOIOOIO
OIO
OIOP
PP
NOIOQ�RS3R
QUT
Q�VQ3WQ3W
S"TS3VS3WSXW Y
Figura1.5: Definizionedei sistemidi riferimentoperla cinematicadi undito.
di giuntoθ1, quellorelativo appuntoall’assex0. Possiamoquindi riassumeretutta
la cinematicaconla semplicerelazione:
x0 < 2l cosθ1 B d
Persemplicitàsi puòusarela variabilex in luogodi x0 eθ, chepuòesseremisurata
direttamente dal sensoredi posizione (cheverràdescrittonel paragrafo1.3.4),in-
vecedi θ1 legataaquestadallarelazioneθ < π2 Z θ1 (conla consuetaconvenzione
suisegni). L’espressionedellacinematicadeldito allafine risulta:
x < 2l sinθ B d
Per quantoriguardala cinematicadifferenzialeè sufficientederivare l’ultima
relazioneottenendo:
x < J�θ � θ
1.3. Gripper A.S.I. 11
con
J�θ � < 2l cosθ
dove J�θ � è lo jacobianochemettein relazionele velocitàdi giunto del manipo-
latoree le velocità dell’ultimo link rispettoal sistemadi riferimentodi base,θ è
la velocità angolaredel primo giunto, ossiadi quello movimentatodirettamente
dall’attuatore,mentrex è la velocitàlinearedeldito lungox (o meglio x0).
1.3.3 Descrizionedegli attuatori
Perla movimentazionedel grippervengonoutilizzati attuatorilineari di tipo elet-
trico, denominati muscoliartificiali e progettatipressoil DLR (GermanAerospace
ResearchEstablishment)specificamenteperapplicazionispaziali.
Questotipo di motori presentaottime caratteristiche,infatti essiunisconoil
meccanismodella“trasmissionea vite conrulli planetari”(PlanetaryRoller screw
Gearingsystem, PRG),chetrasformail motoda rotatorioa linearecon un’ottima
precisioneeassenzadi giochi,amotoribrushlessdi dimensioni moltoridotterealiz-
zandoattuatorilineari piccoli, potenti, caratterizzatidaunadinamicaelevatae che
risultanosuperioriaqualsiasialtrotipodi attuatore,siaessoidraulicoo pneumatico.
Benchédal puntodi vistadelleprestazioniappaianoinsuperabili, i muscoliar-
tificiali presentanounaseriedi inconvenienti tipici dei dispositivi di nuova conce-
zione(e sviluppatiperapplicazioniparticolari): innanzitutto il prezzomolto eleva-
to, la mancanzadi documentazionee la scarsaesperienzacirca il loro uso,senza
dimenticarela limitatezzadelle taglie disponibili, cheha costrettoa utilizzareat-
tuatorisovradimensionati,connotevoli problemisiaperla sicurezzadellastruttura
meccanicacheessidevonomuovere,siaperil loro pesoeccessivo.
In particolare,gli attuatoriimpiegati sonogli AM-41-14-56prodottidalladitta
tedescaWittenstein. L’elementocentraledi questimuscoliartificiali è unsistemaa
vite caratterizzatodaun passodi soli 0 > 1mmcheconsentedi avereun’elevatissima
precisionee unaforza di trazionepari a oltre 5 volte quelladi un sistemamecca-
nico tradizionale.Il motoreelettricoimpiegatoè un DC brushlesstrifasedotatodi
sensoriadeffettoHall perrilevarela posizionedel rotore.
Percontrollaremotorielettriciacommutazioneelettronica,comequelli concui
sonoequipaggiatii muscoli artificiali, sononecessarieschededi potenzaprogettate
ad hoc, le quali dovrannopoi essereopportunamentepilotatedall’unitàdi governo
del robot. Al momento sonoin usoi servocontrolloricommercialirealizzatiappo-
12 Descrizionedel sistema
sitamente dalla stessaWittenstein,i quali integranoun controllo di velocità e, in
opzione,ancheuncontrollodi posizione.
1.3.4 L’apparato sensoriale
Si èdecisodi integraresuciascundito unnumerocospicuodi sensori:� un sensoredi posizione, indispensabile per poterrealizzareil classicocon-
trollo in retroazione;� un sensoredi prossimità, per esplorarel’oggettochesi vuoleafferrare(cer-
candola posizionepiù favorevole per effettuarela presa)e per chiuderein
manierasincronatuttele ditasull’oggetto stesso;� un sensoredi forza,peresercitareforzenotesull’oggetto preso,evitandoda
un latochequestoscivoli edall’altro chepossaesseredanneggiato.
Il sensoredi posizione
Questosensorehail compitodi individuarela posizionedeldito nellospazio.Esso
èstatosviluppatoappositamenteperil gripper[55] edècompostodi dueelementi:� unsensoreaeffettoHall;� unapiastrinamagneticadi formaopportuna.
Il sensoreHall risulta sensibile al campomagneticogeneratoda unasorgente,di
solito rappresentatada un magnetepermanente,ed è in gradoquindi di fornire
informazionisullaposizionerelativa tra il sensorestessoe il campo.
Essoè statocollegato al telaio che sostieneil dito ed affacciatoad essoma,
solidaleconla primafalange,èstatapostala piastrinache,durante,il motosubisce
unospostamento.La piastrinamagneticapresentaduecoronecircolari in ciascuna
dellequaliè incollataunaseriedi magnetidisposti in mododaaffacciareal sensore
semprelo stessopolo. In questomodosi realizzaunasorgentedi campoconle linee
di flussochepartonodaunacoronaesi chiudononell’altra.
A causadelmovimentodellafalangeegrazieallaconformazionedellapiastrina
stessa,il sensoreHall si muoverà tra le duecorone(in manieralinearerispettoalla
rotazionedella falangestessa)e misureràla diversaintensitàdel campo,fornendo
quindiunamisuraindirettadellospostamento.
1.3. Gripper A.S.I. 13
Il sensoredi prossimità
Ciascundito del gripperè dotatodi un sensoredi prossimità il cui impiego risulta
fondamentalein un’applicazionecomequesta,specificamentepensataper funzio-
narenello spazio. Infatti il gripperdeve poteravvicinarele dita all’oggettochesi
desideraafferrare,senzarischiaredi urtarloaccidentalmenteperché,in assenzadi
gravità, senzaforzechelo trattengano,questopotrebbecomportarela perditadel-
l’oggetto stesso.Deve poi, prima di effettuarela presa,esplorarnela superficie.
Occorreinoltre cheil sensoreabbiaun’uscitaanalogicaed un ingombro estrema-
mentecontenutoper poteressercollocatosul dito. Perquestosi è sceltoun foto-
sensoreanalogicoin fibra ottica cheforniscein uscitaunatensione proporzionale
alla quantitàdi luce ricevuta,chein determinatecondizionisignificaunatensione
proporzionalealladistanzadall’oggetto.Il sensoresi componedi dueparti:� il sensoreveroeproprio,cioèla sorgentedi luceetuttal’elettronicadi misura;� duefibreottiche(unaperla luceemessaeunaperraccoglierela luceriflessa),
compresoil connettoreperl’attaccoal sensore.
Il sensoreè costituito daunasorgenteluminosa(un diodofotoemettitoreo LED) a
lucerossae daun fotodiodo.La luceemessadal LED vieneconvogliataattraverso
unadellefibre ottichecontrol’oggettodacui si vuolemisurarela distanza.La se-
condafibraotticahalo scopodi raccoglierela luceriflessaeriportarlaal fotodiodo:
il sensoreforniràquindiunsegnalein tensioneproporzionaleall’intensitàdi questa
lucedi ritorno.
Le misurefornite dal sensore,per caratteristichestrutturalidello stesso,sono
fortementedipendentidalla pigmentazionedella superficieriflettentedell’oggetto
di cui si vuolemisurarela distanza:in particolaresi vadaun’uscitaabbastanzaalta
epocodifferenziatain corrispondenzadeicolori chiari(bianco,gialloeancherosso)
versouscitepiù bassein corrispondenzadei colori via via più scuri (adesempioil
blu) fino al limite inferiorerappresentatodalnero.La tensionedi uscitadelsensore
(e quindiancheil corrispondentevaloredi distanzacheessofornisce)dipendenon
solo dal coloredella superficiema anchedall’inclinazionedi questarispettoalla
testadellafibraottica.
Questocomportamentoèprevedibile,infatti l’uscitadelsensoreèfunzionedella
quantitàdi luce riflessadall’oggettochegli vienepostodavanti, ed è noto come
questaè tantominore quantopiù l’oggettoè scuro;in particolare,poichéil sensore
utilizzaunraggiodi lucerossa,saràpiù sensibile a queicolori checontengonouna
14 Descrizionedel sistema
forte componentecromaticarossa(eccoperchéil rossopresentaunacaratteristica
molto vicinaa quelladelbiancoo delgiallo).
Il sensoredi forza
Il sensoredi forza,di cui ogni dito è dotato,è il cosiddettosensore intrinsecosvi-
luppatoall’interno del LAR [59]; essoè costituito daunastruttura cava, a sezione
quadratae internamentedeformabile,collegatarigidamente,medianteunastruttura
cilindrica indeformabile, alla superficieesternadel dito chedovrà entrarein con-
tatto con l’ambiente. L’azionedelle forze e coppiescambiatesi trasmetteràcosì
fino al sensoreproducendounaflessionedi questo,flessionechepuòessererilevata
e trasdottain un segnaleelettricomediantel’uso di estensimetriopportunamente
incollati sullasuperficiedell’elementodeformabile.
Per misurareunadeformazione,la soluzioneimpiegatae l’unica plausibile è
quelladi disporretutti gli estensimetriin serie.Gli strain gageutilizzati sonoafilo
metallico e presentanoindubbivantaggidi robustezzameccanica,facilità di incol-
laggiosullastrutturadeformabile,ridotti fenomenidi derive termichee di isteresi;
percontrosonocaratterizzatidaungage factormolto bassochecostringeadeffet-
tuareun’amplificazionedei segnali abbastanzaelevatae decisamentedelicatadal
puntodi vistadel rapportosegnale/rumore.
1.3.5 Ar chitettura hardware del sistema di controllo
Elementoprincipaledelsistemadi controllodelgripperèunaschedaDSPdenomi-
nataFastProt.
L’architetturageneral purposeeil sistemaoperativo di unPCcommerciale,non
dedicatoa supportareapplicazionireal-time,non consentono di realizzareil con-
trollo sincronodi dispositivi periferici unitamentea operazionidi visualizzazione
grafica,comerichiestodallanostraapplicazione,utilizzandola solaCPUdi unper-
sonalcomputer. Bisognaallorafarericorsoadunsecondomicroprocessore(questa
volta un DSP)chesi facciacaricodi tutta l’elaborazionefloatingpoint necessaria
perrealizzareuncontrolloreal-time,lasciandoal PCil compitodi gestiresolamente
le funzionigraficheorientateall’interazioneconl’utente.
Proprioaquestoscopoèstatarealizzata,pressola nostraUniversità,la FastProt,
unaschedamunitadel DSPTexasInstruments TMS320C32chepuòessereallog-
giatain unoslot ISA a16bit (AT-BUS) di unqualsiasicomputerIBM-compatibile,
realizzandoappuntoquellachevienechiamatastazionedi prototipazionerapida.
1.3. Gripper A.S.I. 15
Se la FastProtrappresentail nucleodel sistemadi controllo, occorretuttavia
osservarecomesiastatonecessarioaggiungerediverseschededi interfaccia:quelle
con i controllerdegli attuatorie quelledi acquisizionedei segnali provenienti dal
gripper.
Complessivamentel’architetturahardwarerisultaquindiquelladi figura1.6.
s[ cheda acquisizione s[ ens. posizione e prossimita'
g\ ripper
s[ cheda controllo m] otori
p^ orta digitale
h_
ost computer
p^ orta a` nalogica
s[ cheda acquisizione sens. forza
Figura1.6: Architetturahardwaredel sistema di controllo.
1.3.6 Controllo della pinza
Il controllodi forzaedi manipolabilità èstatorealizzatoin mododarenderela pinza
quantopiù versatilee funzionalepossibile.
Il gripperècostituitodatreditaidenticheedisaccoppiate(meccanicamenteeper
quantoriguardal’attuatore),perquestomotivo si è sceltodi realizzareunoschema
di controllo a giunto indipendente, considerandoil modellodinamico di un solo
dito (vedi figura 1.7) e usando,comecontrollo, un semplice regolatorea singolo
ingressoesingolauscita(SISO).
Plant
Nel sistemala dinamicadellastrutturameccanicadeldito èpressochétrascurabile,
rispettoaquelladell’attuatore,e risulta:
G�s� < Pos
�s�
V�s� < k
eA τs
s
16 Descrizionedel sistema
Dove Pos è la misura di posizionedel giunto fornita dal sensoread effetto Hall,
V è la tensionefornita all’attuatore(riferimentodi velocità), mentrek e τ sonoi
parametrichecaratterizzanoil sistema e valgonorispettivamente0 > 65 e 35ms. Si
deve aggiungere,inoltre, la presenzadella zonamortaa montedell’ingressodel
plant:
va � t � <cb v�t �dB 1 > 8 se v
�t �fe 0
v�t � Z 1 > 8 se v
�t �fg 0
Il modellocomplessivo del sistemaèquindi:
G�s� < Pos
�s�
V a � s� < keA τs
s
Ritardo
k
s
IntegratoreZona Morta
V(s) V (s)* Pos(s)
Gh
(s)
Figura1.7: Modellodel sistema.
Regolatore
Il controlloavvienenello spaziooperativo; sonopresentiblocchidi cinematicadi-
retta(nel ramodi retroazione)e cinematicainversa(a montedel regolatore)tutta-
via, vista la semplicità del sistemae del modellocinematico,questononcomporta
particolaridifficoltàseparagonatoal corrispettivo nellospaziodi giunto.
Il controlloreSISOutilizzatoèunclassicoregolatorePI:
GPI�s� < Kp i 1 Z 1
Ti s j (1.1)
La versione digitaleimplementataèstataottenutadalla1.1perdiscretizzazione:
un < un A 1 Z ∆un
1.3. Gripper A.S.I. 17
∆un < Kp i en B en A 1 Z TTi
en jSi può notareche il PI digitale è espressonella suaforma di velocità: que-
stainfatti risultamigliore dal puntodi vista computazionalee consenteinoltre un
semplicemeccanismoanti-windup.
I compiti chesi voglionofar compierealla pinzarichiedonol’impi ego di sche-
mi di controllo differenziati,a secondadella funzionechesi stasvolgendoe del-
lo statoin cui ci si trova: per questomotivo l’anello di controllo deve cambiare
configurazioneperpotereretroazionareil giusto setdi datidai sensori.
I task, cheil gripperèin gradodi svolgere,sonoformatidaunasequenzadi ope-
razionielementaricorrettamentecoordinate:saràquindiopportunoprevedereanche
unatransizionedaunaall’altra, evitandocomportamenti bruschiediscontinui.
Lo schemadi controllo complessivo è mostratoin figura 1.8. Essoingloba:
Figura1.8: Schemadi controllocomplessivo.
l’anello di controllo di posizione “puro”, cheviene impiegato nel primo tratto di
avvicinamentoe nell’ultima fasedella presa;il controllo di prossimità, cheviene
sfruttatonella faseintermediadi avvicinamentoper portarele dita a distanzaco-
stantedall’oggettoe sincronizzarleper l’afferraggioed infine, unavolta entratiin
contattoconl’oggetto, il controllomisto forza/posizionegarantiscela presaanche
in presenzadi disturbi esternie consentedi metterein praticaunamanipolazione
dell’oggetto.
L’approccioversol’oggettovieneimpostato comandandoalleditadi descrivere
unatraiettoriadi chiusura(lineareconprofilo del secondoordine)versoun punto
all’interno dello spaziodi lavoro della pinza. Non appenai sensoridi prossimi-
18 Descrizionedel sistema
tà rilevanol’oggetto, il profilo di moto vienecorretto,le dita inseguono l’oggetto
fluttuantefinchétutte non hannoraggiuntola distanzaprefissata,poi si chiudono
simultaneamente.
Primachel’oggettoo i cinematismidellapinzavenganodanneggiatidacontatti
impropri, entrain giocoil controllodi forza(misto)col qualevieneimposta la forza
daesercitaresulcorpo,al finedi trattenerel’oggettosenzadanneggiarlo.
Controllo di posizione
Lo schemadi controllopiù elementareè indubbiamente quellobasatosullaretroa-
zionedei soli sensoridi posizione.È semprepresenteduranteil normalefunziona-
mentodel grippere, in particolare,vieneimpiegato per il movimentolibero delle
dita durantel’avvicinamentoall’oggetto e per percorreregli ultimissimi tratti di
traiettoriadopoavereraggiuntola sincroniadelleditapereffettuarela presa.
I set-pointdi posizionesononormalmenteforniti daungeneratoredi traiettorie
chegarantisceprofili di motosmoothdi tipo lineareconraccordidelsecondoordine:
questoconsenteflessibiltà di impiego e si prestaad unafacile integrazionecon il
controllodi prossimità perl’inseguimentodell’oggetto.
Controllo di prossimità
Perrealizzarel’inseguimentoa distanzacostantedi un oggetto,è necessarioutiliz-
zarei sensoridi prossimità. Lo schemadi controlloprecedentesi arricchiscecosìdi
unnuovo anellodi retroazionee di un ulteriorebloccodi generazionedei set-point
basatisuidati forniti dai sensoridi prossimità.
La pinzaoperain controllodi posizioneperl’avvicinamento; quandosi raggiun-
gela distanzadesideratadall’oggetto (misuratadalsensoreottico)si halo switching
tra i duecontrolli: i set-pointvengono forniti dal bloccogenerazionetraiettoriedi
prossimità, mentrel’anello di retroazioneriporta al nodosommanted’ingressoi
valori di distanzadal corpoanzichéla posizionedeldito.
Controllo di rigidezza
Il controllodi forzarappresentail passosuccessivo, dopoavereraggiuntoedeffet-
tuatola presasincronadell’oggetto. Peravereunapresasaldaestabile,ènecessario
chela risultante delleforzeesterne,esercitatedal grippere agentisul corpo,si an-
nulli. L’esempiopiù semplicedi controllo, cheverifica questorequisito,si fonda
1.4. Telecamera 19
sull’usodellaretroazionedei sensoria straingagesudi unsolodito, mentrel’altro
operain controllodi posizione.L’anellodi retroazionedi forzasi inseriscein sosti-
tuzionea quellodi posizionequandovienesuperataunasoglia predefinita,ovvero
quandosi ha la presenzadi un contattocon un corpoesterno;da quel momento
in poi il dito in questione svolge un inseguimentodel set-pointdi forza costante
assegnato.
La costanteelasticaK A 1e , presentenelloschema,serveametterein scalale varie
grandezzefisichedamandarein ingressoal regolatoree influenzala prontezzadel
sistemanell’inseguimentodelset-pointdi forza.
Tale configurazionedel sistemadi controllo permetteunasemplicemanipola-
zione dell’oggettoafferrato, spostandoil centrodella presamedianteun cambio
del set-pointdi posizionedel dito. La traiettoriadi quest’ultimo è impostabile in
mododaaverevelocità costantenel tratto lineare,indipendentementedal percorso
dacoprire;cosìfacendosi impone unospostamento dolcedel dito chepermettedi
conservareunapresasaldaevitandoscostamentibruschidellafalange.
Controllo misto forza/posizione
Perpotereeffettuareil controllodi forzasulledita,al finedi migliorarela presae la
manipolabilitàsull’oggettoafferrato,si è implementatountipo di controllodi forza
leggermentepiù complesso. La risultantedelle forze esterneapplicateall’oggetto
deveesserenulla. Purtroppole differenzetra i sensoridi forzae i disturbiin lettura
rendonodi fatto impossibile averegaranziesull’effettivo annullamentodel vettore
risultante. Il presentecontrolloconsistenelcombinarenellostessonodosommante
forzee posizioni adeguatamentescalate,vedi schemadi figura1.8. L’anello di po-
sizionesvolge un’azionestabilizzantesullapresae compensai problemiin lettura.
Naturalmentetalecontrolloentrain funzionequandosi vienea contattocol corpo
daafferrare.
Graziealla combinazionedei dueanelli di controlloè possibile interagirecon
la pinzae l’oggetto afferratosenzacon ciò comprometterela presa,inoltre la re-
troazionedi posizioneriportasemprel’oggettonellaposizionedesiderata,chepuò
essereliberamentemodificataagendosulset-pointdi posizione.
1.4 Telecamera
Sul polsodel robot ComauSmart-3Sc’è unatelecameracon la qualeè possibile
riconoscereil contornoe la posizionedi un oggettoal fine di afferrarlo. La video
20 Descrizionedel sistema
cameraè unaPulnix TM-6CN con un obiettivo di 6mm ed è interfacciataal PC
medianteunaschedad’acquisizionevideomodelloPinnacle.È statasceltatenendo
conto che deve avere un ingombrominimo in quantofisicamenteè montatasul
grippere chel’obiettivo deve esserein gradodi metterea fuocooggettia distanza
variabile fra un minimo di 20cm ed un massimo di 2m, rangecalcolatoin base
all’areadi lavorodel robot.
Si èoptatoperl’util izzodi unasingolatelecamerain biancoeneroin quantola
maggioranzadegli algoritmi realizzatinel campodellavisione artificialesonostati
implementaticontelecameredi questotipo [1]. In futurosi potràampliareil lavoro
inserendounasecondatelecameraperavereunavisione stereo.
Il problemadi unasingolatelecamerariguardail calcolodelladistanzafra essae
l’oggettocheil gripperdeveafferrare:questoèstatorisolto comparandodueframe
acquisitidadiverseposizioni.
Si èdotatala telecameradi unsistemadi riferimento"immaginario"orientatoin
questomodo: assez (approachdel robot) coincidentecon l’assedella telecamera,
assey (slidedel robot)coincidenteconquelloorizzontale,conriferimentoall’im-
magineprodotta,e l’assex (normaldel robot) coincidenteconquelloverticale. Il
montaggiosul robotè statoeffettuatoin manierataledaaveregli assidel sistema
di riferimentodell’end-effector.
L’immagine,prelevatadallatelecameraecontenenteperinterol’oggetto,èsele-
zionataconunabounded-boxdall’operatoremedianteun’interfacciagrafica; viene
acquisitain un formato768*576pixel edesploratain modotaledadeterminareil
contornoe il centrodi gravità dell’oggettoda afferraree la distanzafra l’oggetto
stessoe la lentedellatelecamera.
1.4.1 Algoritmo di Canny
Perl’ edge-detectionvieneutilizzatol’operatoredi Canny (notoin letteratura,[18])
il qualeprendein ingressoun’immaginein toni di grigio eproducein uscitaun’im-
magineformatadaipixel in cui èpresenteunadiscontinuitàdi intensità. Nell’algo-
ritmo di Canny possonoessereconfiguratiquattroparametri:� deviation: valorein virgola mobile chespecificala deviazionestandarduti-
lizzata nella fasedi rilevamento dei contorni (per default viene utilizzato
1);� low: rappresentail minimo valorenellascaladi grigi utilizzatonella fasedi
edge-tracking (perdefaultèsettatoad1);
1.4. Telecamera 21� high: rappresentail massimo valorenellascaladi grigi (perdefaultè 200);� saturation: vieneutilizzatonella ricostruzionedell’immagine dopo l’appli-
cazionedell’algoritmo e specificail valoredel filtro passa-altocheelimina i
pixel conunvaloreinferioreallasaturazione.
1.4.2 Calcolodel centro di gravità
L’immaginecontenenteil contornovieneutilizzataper il calcolodel centrodi gra-
vità dell’oggetto[20]. Perottenerlopossonoessereutilizzati tre metodidifferenti:� hiddenfilter: partendodal centro dell’oggetto calcola il centrodi gravità
omettendogli eventualioggettipostidietro;� dis-hiddenfilter: funzionacomel’hidden-filter ma,utilizzandounafunzione
logaritmica inversa,dà maggiorepriorità ai pixel più vicini al centrodello
schermo;� nessunfiltro: tutti i punti del contornohannolo stessopesonel calcolodel
centrodi gravità. Questoè il metodomaggiormenteutilizzato.
1.4.3 Calcolodella distanza
Percalcolarela distanzachec’è fra l’end-effector, o più precisamenteil centrodella
telecamera,e l’oggetto daafferrareoccorrevalutaredueimmagini memorizzatein
posizionidiversedel robot e bisognaconoscerela distanzafra le posizioni in cui
sonostatecampionatele immagini [20]. Dallafisicaotticasappiamoche:
f < mdh
dove f rappresentala distanzafocale,m è unacostantechedipendedall’obiettivo,
d rappresentala distanzadell’oggetto dall’obiettivo e h le dimensioni dell’oggetto,
vedifigura1.4.3.Considerandodueposizioni:
f < md1
h1
f < md2
h2d1 Z l < d2
22 Descrizionedel sistema
klklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklk
mlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmnlnlnnlnlnnlnlnololoololoololo plplplplplpplplplplplpplplplplplpplplplplplpqlqlqlqlqlqqlqlqlqlqlqqlqlqlqlqlqqlqlqlqlqlq
d
l
h
dove l rappresentala distanzapercorsaconil robot,conalcunipassaggi
d1
h1< d1 Z l
h2
d1h2 < h1�d1 Z l �
d1�h2 B h1 � < h1 l
si ottiene:
d1 < h1
h2 B h1l
dove h1 e h2 rappresentanole dimensioni dell’oggettonelle due immagini. Per i
parametrih1 e h2 si puòfareriferimentoalle altezzedell’oggetto, espressein pixel
(figura1.4.3).
Capitolo 2
Il problemadella presarobotica
2.1 Intr oduzione
Negli ultimi decenni,lamanipolazionedi oggettimediantegripperhasubitounano-
tevoleevoluzione,diventandounodeicampipiù importantiin robotica.Lo sviluppo
dell’automazione flessibileha portatoinfatti la necessitàdi sostituire end-effector
specialpurpose conaltri general purpose, chepermettonola manipolazionedi una
più ampiaclassedi oggetti. Ma, se gli end-effector diventano più versatili, allo
stessomodoil controlloe lo studiodellapresasi complicano[46].
Le più importanti funzioni sonoesplorare,tratteneree maneggiarecon abilità
oggetti. In robotica,si distinguonol’azione di afferrareoggetti,dettofixturing, e
quellodi manipolarliconle ditadellapinza,dettodexterousmanipulation [5].
L’azionedi afferraggioconsistenel posizionamentodel gripperrispettoall’og-
gettoedècaratterizzatadauninsiemedi contattichiamatigrasps. Il graspplanning
consistenellosceglierequesticontatti,la posizioneesattadelleditaeancheil modo
in cui applicarele forzee i momenti. In particolare,i contattidevono:� esserefisicamenteraggiungibili: nei dintorni dell’oggettononci devonoes-
sereostacoli,ossiala traiettoriadi afferraggiodeveesserelibera;� garantirela tenutadell’oggetto.
2.2 Forceclosuree form closure
Generalmentei puntidi contattosonoconsideratipuntiformiepossono essere:� frictionless: le dita possonoesercitaresolo forzenormalialla superficiedel-
l’oggettonelpuntodi contatto,nonvi ècioèattrito;
24 Il problemadella presarobotica� frictional: è un contattochepuòtrasmetteresiaunaforzanormalemaanche
unatangenteesi parladi attritocoloumbiano;� soft: il dito puòesercitare,oltre alle forze tangentie normali,ancheun puro
momentotorsionaleattornoallanormale.
Siparladi forceclosurequandounapresaèin gradodi resistereadisturbiesterni
considerandole dita frictional o soft, al contrariouna presaè una form closure
quandoriescead immobilizzare l’oggetto con il solo vincolo di punti di contatto
frictionless. In altre parole,si dice cheunapresaraggiungeuna form closurese
e soloseraggiungeunaforce closurecon punti di contattosenzaattrito. La form
closureèunacondizionepiù restrittivadellaforceclosure.
Perognipuntodi contattopuòesseredefinitoil vettoredeiwrench w, costituito
dallecomponenti delleforzeedeimomenti. In generale,w rts k edèdefinitocome
[16]:
w <uK F
τ Min cui F rvs 3 (o s 2) è il vettoreforzae τ rvs 3 (o s ) è il vettoredei momentiche
agisconosull’oggetto. La dimensionek è 6 sesi consideranooggetti3D esi riduce
a3 conoggetti2D.
Siano fi le forze esercitatedalledita del grippernell’ i-esimopuntodi contat-
to. A causadell’attrito, affinchél’oggettosiaafferrato,questeforzedevonoessere
interneal cono d’attrito. Siano f wi la componentedella forza lungo la normale
alla superficiedell’oggetto nel puntodi contattoe f ti la componentetangentealla
superficiedell’oggettonelpuntodi contatto.La leggecoloumbianastabilisceche:
f wi x µf ti
doveµ è il coefficiented’attrito.
Nel casodi oggettiplanari,perognicontatto,si ha:
fi < βl
Af i y l Z βr
Af i y r
dove βl z βr x 0, eAf i y l z Af i y r sonoi versori lungo le duesemirettechedelimitanoil
conod’attrito.
2.2. Forceclosure e form closure 25
Nel casotridimensionale,il conod’attrito puòessereapprossimato,cioè linea-
rizzato,conunapiramide.Si ha:
fi { m
∑h| 1
βh
Af i y h
doveβh x 0, eAf i y h sonoi versorisullasuperficiechedelimitanoil conod’attrito.
In generale,fi èdatodaunacombinazioneconvessadelleforzelungogli estremi
del conod’attrito. Nel casoplanaresi ha:
fi < αl fi y l Z αr fi y rconαl z αr x 0 z αl Z αr < 1.
In 3D, si ha:
fi { m
∑h| 1
αh fi y hdoveαh x 0 e { ∑m
h| 1αh < 1.
Sia
W <~}w1 z >�>@> z wm�la matricedei wrench,c il vettore delle intensità dei wrenchstessie g i wrench
applicatidall’esterno.Un oggettoafferratoè in equilibrioseesolose:
Wc Z g < 0
Una presaè force closedse e solo seè in equilibrio per un qualsiasiwrenchw.
Perciòla force closureimplica che, per un qualsiasiwrenchw, esisteun vettore
intensità λ taleche:
Wλ < w
Si puònotarecheλ puòesseredifferentedac, datochesi puòipotizzarechew sia
diversadallag.
La form closure è definitacomeunacondizionepercui l’oggettoafferratopuò
resistereaogniwrenchdi disturboesterno,indipendentementedallagrandezzadella
forzadi contatto.Unapresaè form closedseesoloseè forceclosedconditasenza
attrito. Unapresafrictionlessè definitaform closuresee soloseesisteun λ e 0,
taleche
Wλ < 0
26 Il problemadella presarobotica
conW di rangopieno.
2.3 Analisi della forza
Un problemafondamentalenellamanipolazioneroboticaè la sceltadelle forzeda
utilizzarenellapresain modotaledaevitare,o per lo menominimizzare,il rischio
di scivolamentodell’oggetto.Queste,chiamateanchesqueezeforces, sonole forze
di contattochesi trovanonel Ker�W � , ossianel nullo dellamatricedellapresaW.
Il problemarisultaesseredi ottimizzazioneedè risolubileconapproccidifferenti:
si noti che, computazionalmente, non si possono soddisfare i vincoli di velocità
imposti daun’applicazionereal-time.
È inoltreimportantenotarechela forceclosurenongarantiscela stabilità. Qual-
siasidefinizionedi stabilità considerala presacomeun sistema dinamicoe nede-
scrivele proprietàdelsistemadinamicoquandoessoèperturbatodallasuaconfigu-
razionedi equilibrio. Perciòla stabilità di unapresaè conseguenzadelleproprietà
geometrichelocali dellapresastessaedelladistribuzionedelleforze,oltrechedella
localizzazionedeipuntidi contattoedellenormaliallasuperficiein questipunti.
Curvaturadell’oggettoe posizionedei punti di contattosonofondamentaliper
il concettodi stabilità. Nella maggiorpartedei casi, [11, 16, 36, 7, 24, 32, 37,
28], l’analisi dellapresaè limitataadunostudiodel modellocinematicodel primo
ordinein cui le proprietàdi chiusuradelle dita riguardanosolo la determinazione
dellaposizionedei punti di contattoe nonla formadell’oggettoo le caratteristiche
geometrichedellapinza.Se,al contrario,comeèstatofattoin questolavoro,si tiene
contoanchedegli effetti della cinematicadel secondoordine,è necessarioavere
ancheun modellodellacurvaturadellasuperficiedi contatto.Ancheseunapresa
nonè form closed,le ipotesidelsecondoordinepossonogarantirela chiusuradella
presa.Ordini superioridellacinematicarichiedonounostudiodelladerivata della
curvaturadellasuperficiee unacaratterizzazionemediantei simboli di Christoffel
[29].
Uno dei principali motivi dellescelteeffettuatein questaricercaè il fallimento
delle teorietradizionalibasatesullo studiodi forze e velocità,nozioni istantanee,
per la determinazionedi presedi equilibrio. Ad esempio,consideriamole prese
in equilibrio effettuateconduedita frictionlessdi un oggettoplanare,mostratoin
figura 2.1. Un’analisi della mobilità del primo ordine,basatasulla Screw Theory
[42], può indicarechel’oggetto�
haduegradidi libertà istantaneidi motolibero
in ognunadelledueprese.L’intuizionesuggerisce,al contrario,chela presadi 2.1a
2.3. Analisi della forza 27
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PSfragreplacements
�1
�1
�1
�1
�2
�2
�2
�2
��
��(a) Presamassimadi un’ellisse (b) Presaminimadi un’ellisse
(c) (d)
Figura2.1: Presedi equilibrioconduedita,conla stessamobilità delprimoordine.
è la più mobile, mentrequelladi 2.1dè la menomobile, ed è, infatti, immobile.
Questaintuizioneèformalizzatanellateoriadellamobilitàdelsecondoordine(vedi
capitolo 3). La teoria di mobilità del primo ordine non è, dunque,sufficiente a
distinguerepresedi equilibrioconlo stessonumerodi dita.
Vediamoancheil casodelle presein equilibrio mediantetre dita senzaattrito,
figure2.2.Tutteetrele normalineipuntidi contattosi intersecanonecessariamente
in un punto: un’analisidel primo ordinepuò indicarechel’oggettoè, in entrambi
i casi,libero di ruotareistantaneamenteattornoadun asseverticalepassanteattra-
versol’intersezionedelle normali. L’intuizione suggerisce,però,chel’oggetto in
2.2bè realmenteimmobilizzato dalle tre dita. Questaimmobilizzazione,funzione
delledita e dellacurvaturadell’oggettonei punti di contatto,è stabilita utilizzando
la teoriadelsecondoordine.La teoriadel secondoordinepuò,quindi,aiutarenella
sceltafra presedi equilibrio chesonoequivalenti nellateoriadelprimoordine,ma,
evidentemente,distinguibili conunateoriadel secondo.
Ragionandosulla mobilità di un oggettoutilizzandoi wrench,si è condottia
considerazionidel primo ordine. La mobilità non è una nozioneinfinitesimale,
bensìlocale: non bisogna,cioè, consideraresolo gli aspettitangenzialidel moto,
28 Il problemadella presarobotica
�-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-� - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©PSfrag replacements
�1
�1 �
2
�2 �
3
�3
�� normali di contatto
Figura2.2: Presedi equilibriocontre dita.
comeè fatto nella teoriadella mobilità del primo ordine,ma anchei movimenti
locali. L’oggetto è libero di muoversi ovunquenelle vicinanzedella suaattuale
posizione nel suospaziodi configurazionelibero. Occorrequindi considerarele
caratteristichedel secondoordine dei movimenti liberi locali, cioè nozioni della
mobilità delsecondoordine.
L’immobilizzazionedi oggetti,utilizzandoconcettigeometrici,puòessereutile
nonsolopersceglierepresesicuremaancheperla pianificazionedelfixturingeper
il work holding.
2.4 Mobilità del prim o ordine di oggetti in contatto
Con mobilità si indica la misuradel numerointrinsecodi gradi di libertà della
cinematicaistantaneapossedutidaunacoppiadi corpi rigidi.
Si cercheràdi analizzarela mobilità relativa di corpi rigidi in contattoquasi-
statico [51]. Si considerinoun corporigido, l’oggetto�
, e altri d corpi rigidi, le
ditadell’end-effector,�
1 z >�> z � d in s n, doven < 2 o 3, vedifigura2.3.
Le dita toccano�
nei punti di contattoin modofrictionlesse quindi ciascuna
di essepuòsviluppareunaforzain direzionenormaleal contornodi�
nei punti di
contatto.Pergenerarequesteforze,si puòpensareche�
1 z >@> z � d sianoattaccatead
unabasecomuneattraversolink idealimediantei quali le ditapossono esseremesse
in qualsiasiposizionee applicarele forzenecessarie.Oppuresi puòpensarechele�1 z >@> z � d sianocorpi rigidi fissi e stazionari,mentre
�è il pezzomobile sul quale
si lavora.
Sia ª lo spaziodi configurazione(c-space) di�
, e sia�L« ª il suoc-space
libero,ossiale configurazioniin cui�
nonpenetra�
1 z >�> z � d. Le dita sonorappre-
2.4. Mobilità del primo ordine di oggetti in contatto 29¬�¬�¬�¬�¬¬�¬�¬�¬�¬¬�¬�¬�¬�¬¬�¬�¬�¬�¬������������®�®�®�®®�®�®�®®�®�®�®®�®�®�®®�®�®�®¯�¯�¯�¯¯�¯�¯�¯¯�¯�¯�¯¯�¯�¯�¯¯�¯�¯�¯
°�°�°�°�°�°°�°�°�°�°�°°�°�°�°�°�°°�°�°�°�°�°°�°�°�°�°�°±�±�±�±�±�±±�±�±�±�±�±±�±�±�±�±�±±�±�±�±�±�±±�±�±�±�±�±²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³
´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ
PSfragreplacements�
1
�2�
3
����
q�x1
x2
x3
r1
r2r3
dita
configurazione di riferimento
Figura2.3: Sistemacostituito dall’oggettoedalledita.
sentatein ª comedelleregioni proibite,dettec-obstacle: questetengono�
in una
configurazioneq0 di equilibriostatico,conq0 r¶ª . Sed ditasorreggonol’oggetto,
q0 si trova sul contornodi�
, nell’intersezionedei contornidei d c-obstacle,che
corrispondonoalle dita. Nel paragrafosuccessivo si considereràla geometrialoca-
le di�
nellevicinanzedi q0 e di comequestageometriainfluenzamolti problemi
riguardantil’interazionedi corpi in contatto.
2.4.1 La rappr esentazionedello spaziodi configurazione
La definizionedello spaziodi configurazione,il c-space,è molto utile nell’analiz-
zarela cinematicae la mobilità dei corpi in contatto.Il modellodi questospazioè
mostratoin 2.4.
L’oggetto�
èdescrittonelsuospazionominale · < s n (n < 2 o 3), tramiteun
sistemadi riferimento,definito in · , solidalecon l’oggetto stessoe chiamato�-¸
,
ossiabodyframe. I punti in · sonoindicati con r. Nello spaziofisico ¹ < s n,
sonopresentiostacolistazionari�
1 z >�> z � d; essoè descrittomedianteil sistema di
riferimentofisso�-º
. I punti in ¹ sonoindicaticonx. Ognispostamentorigido di�in ¹ èdescrittoattraversola relazionecinematica:
x < X�r z � d z R�U�¼» Rr Z d z con r r�· z x r½¹
I punti r r � sonoruotatitramitela matriceR r SO�n� e traslatidelvettored r¾s n.
30 Il problemadella presarobotica
¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿ÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁ
ÂÀÂÂÀÂÂÀÂÂÀÂÂÀÂÂÀÂÂÀÂÂÀÂÂÀÂÃÀÃÃÀÃÃÀÃÃÀÃÃÀÃÃÀÃÃÀÃÃÀÃÃÀÃÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅ
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Bq
c space
PSfragreplacements ostacolo�
1
ostacolo�
2
x < Rr Z d�q ÐÒÑ ÐÔÓc-space d R
spazio dell’oggetto R spazio fisicoW
Figura2.4: La rappresentazionedel c-space.
Lo spaziodi configurazionedi�
è la varietàsmoothC < SE�n� < s n Õ SO
�n� , di
dimensione 12n�n B 1� .
SO�n� puòessereparametrizzatamediantela variabileθ r¶s 1
2n Ö n A 1× , mentrela
traslazioned in s 3. I punti in questaparametrizzazionesonodetti q < q�r z θ � . I
punti occupatida�
nella configurazioneparametrizzatacon q, sonodetti���
q� ,vedifigura2.4.
Ora,datoungenericoostacolo�
i« ¹ , ossiaundito rigido estazionario,il suo
corrispondentec-spaceobstacle, ª � i , è l’insieme di tutte le configurazioneq tali
percui��
q� interseca�
i : ª � i »ÚÙ q rÛs k :�ÝÜ �
i Þ< /0 ßIl contornodi ª � i , chiamatoà i, corrispondeesattamenteaquelleconfigurazioni
q in cui le superficidi��
q� e�
i si toccano,mentrei loro interni sonodisgiunti.
2.4.2 Le forzedi contatto nello spaziodi configurazione
Perrappresentarele forze in ª , bisognaspecificareche,usandounaterminologia
geometrica,le forze sonocovettori, o elementidi uno spaziocotangente, e, allo
stessomodo,le velocitàsonovettoriappartenentiadunospaziotangente.
In generale,le forze,espressenellaparametrizzazioneq < �d z θ � , sonochiamate
2.4. Mobilità del primo ordine di oggetti in contatto 31
c-wrenchee indicatecon
w <LK f
τ Mw < w
�q� è unelementodellospaziocotangenteT áq ª .
Il c-wrench,dovutoalled forzeF�x1 � z >@>�> z F � xd � delleditacheagisconosu
���q�
nei punti di contattox1 z >�>@> xd, è indicatocon w�q;F
�x1 � z >@>â> z F � xd �U� ; sia w
�t � il c-
wrenchsopradefinito,in dipendenzadal tempo.
L’equazioneLagrangianadelmotodi�
è:
ddt
∂∂q
L B ∂∂q
L < w�q� (2.1)
dove L < K B U . L’energia cineticaK è espressada K�q z q� < 1
2qTM�q� q, dove
M�q� è la matriced’inerziak Õ k di
�.
Si assumecheU sianulla,perchèperquestaapplicazioneescludiamola gravità
egli effetti dell’energiapotenziale(vediparagrafo1.3).
Dal momentocherimaneL < K, da2.1si ha:
ddt
K�q z q� < w
�q�Ôã q (2.2)
La (2.2) è solitamente dettaPrincipio dei Lavori Virtuali e mettein relazionegli
effetti delle forze reali F�x1 � z >�>/> z F � xd � alle variazioni dell’energia cinetica. Si
esprimala mappacinematicadell’ i-esimopuntodi contattocon xi < X�r i z q� <
R�θ � r i Z d, dove r i r � è il puntodi contattonel sistemadi coordinatedi
�. Si
suppongacher i sia tenutocostante(ossiafissorispetto�
), percui si puòscrivere
che:
Xr i » X�r i z q�
Il vettorevelocità di r i saràdunque ddt Xr i
�q�t �X� . Il principio dei lavori virtuali
diventaperciò:ddt
K�q z q� < d
∑i | 1
Fi�xi �Òã Xr i
Si indichi con ni�q� il versorenormalea à i in q räà i , orientatoverso
�, ossia
esternamenterispetto ª � i . Si assumache à i siasmooth, in modotalecheni�q� sia
bendefinito.
Teorema1 Il c-wrench dovutoalla forza�
i�xi � di unsingolodito su
�Ø�q� è:
w�q z Fi � <å}DXr i
�q� � T Fi
�xi �
32 Il problemadella presarobotica
dove DXr i
�d � < d
dqXr i
�q� e w
�q z Fi � è un vettore colonna. SeFi
�xi � è normaleal
contornodi���
q� in xi e premesu���
q� , allora w è normaleal contorno à i del
c-obstaclein q epuntaesternamenterispetto ª � i , comemostrato in figura 2.5:
w�q z Fi � < λini
�q� per λi æ 0
Più in generale, sianod æ 1 leditachepremonosu���
q� conforzenormali F�x1 � z >@>/> z F � xd � .
Il totaledei c-wrench w ènormaleall’insieme ç di | 1 à i edèdatoda:
w�q;F
�x1 � z >�>�> z F � xd � < d
∑i | 1
w�q z Fi � < d
∑i | 1
λi ni�q� per λi æ 0
Perla dimostrazionedel teoremasi puòfareriferimentoa [51].
è~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~è
é~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~é ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~êê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~êê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~êë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ëë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ëë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ësemispazio di moto libero
PSfragreplacementsα ì t í
β ì t íq Ö 0ín
θdx
dy
pianotangente
c-obstacleî i
semispaziomovimenti liberi
semispazio di penetrazione
Figura2.5: Approssimazionedelprimoordinedelmotodi ï�ì qí in q0
Osservazione1 La condizionedi normalitàa ç di | 1 à i è equivalentea quelladi or-
togonalità all’intersezionedegli spazitangenti ð di | 1Tqà i. La nozione di ortogona-
lità, in questocontesto,deve essere propriamenteinterpretata: l’ortogonalità fra
w e i vettori tangenti q rñð di | 1Tqà i consistein una interpretazionedel fatto che il
covettorew èconormalea ð di | 1Tqà i, cioèw ì qí¼ò 0 per tutti i q róð d
i | 1Tqà i .
Definizione1 Sianole d dita in contattocon l’oggetto ï , il qualesi trova nella
configurazioneq0. Lanormalegeneralizzataa ô in q0 èla combinazioneconvessa
2.4. Mobilità del primo ordine di oggetti in contatto 33
dei versori, rivolti versol’esterno,al c-obstaclein q0:õ ì q0 í¼ò d
∑i | 1
λi ni λi æ 0 per i ò 1 zUö@öâö d ed
∑i | 1
λi ò 1
Il conodel c-wrench in q è il conoindividuatodalla normalegeneralizzatain q:õø÷ ì q0 í¼ò d
∑i | 1
λini λi æ 0 per i ò 1 zUö@ö�ö/z dSi può notareche localmenteil contornodi ô è esattamenteil contornodiù d
i | 1 ª � i .õ ì q0 í è unapurastrutturachedipendesolo da q0 a dalla geometria
localedeic-obstacleª � 1 zUö�ö@ö/z ª � d. Infatti,õ ì qí è il gradientegeneralizzatodi una
funzionedistanzadi ô definitaopportunamente. Fisicamente,il conodelc-wrench
è la rappresentazionenel c-spacedi tutti i wrenchprodotti dai contattidelle dita
senzaattrito.
Sia ï sostenutodad ditanellaconfigurazioneq0. Affinché ïØì q0 í siaunapresa
di equilibrio, il sistemadei c-wrenchdeve esserenullo. Il teorema1 porta alla
seguentesemplicecondizioneperunapresadi equilibrio:
Corollario 1 Sianod leditacheapplicanosu ï le forzenormali ô 1 ì x1 í zUö@ö�ö/z ô d ì xd í ,mentre ï si trova nella configurazioneq0. q0 può essere una presadi equilibrio
scegliendoopportunamentela grandezzadi ciascunaforzaesercitata dalle dita se
esoloselo zero appartienealla normalegeneralizzatain q0:
0 r õ ì q0 íQuestasemplicecondizionegeometricapuò essereutilizzataper determinarela
posizionedelleditaperla presadi equilibrio.
2.4.3 Moti liberi del primo ordine
I moti liberi del primo ordinedi ï , quandoquestoè tenutocond dita stazionarie,
sonoqueimoti localidi ï chenonpossonoesserebloccatidanessunacombinazione
di forzedi contattosenzaattrito. Più precisamente,siaq0 la configurazionedi ï , e
sia ú un piccolointornok-dimensionalecentratain q0. I moti liberi sonopercorsi
del c-spaziochepartonodaq0 echesi trovano in ú ç ô .
Si consideriil contattodi un singolo dito fra ï�ì q0 í e�
i , che è considerato
fermo.Dal momento chei movimentidi ï devonorispettarela rigidità dell’oggetto
34 Il problemadella presarobotica
edelledita,i suoimovimentidelc-spaziodevonostarein ô . Questoconcettoèreso
più precisointroducendola seguentefunzionedistanzaconsegno: tramitequestasi
puòmisurarela distanzadel puntodi configurazioneq da à i , il contorno(smooth)
di ª � i:
di ì qí¼» ûüý üþ dst ì q z à i í se q èesternoa ª � i
0 se q èsu à iÿ dst ì q z à i í se q è internoa ª � i
(2.3)
dove dst ì q z à i í è la distanzaeuclideadi q da à i nell’ambientes k dellaparametriz-
zazionedel c-space.Si noti chequandoï è in contattocon�
i , alloradi ì q0 ílò 0,
dalmomentocheq0 r�à i.
Osservazione2 La dst ì q z à i í èunarappresentazioneconvenientedeivincoli rigidi
del c-space. di ì qí non deve essere necessariamenteuna distanzaeuclidea: può
essere usatainfatti unaqualsiasi altra funzionesmoothpurchésia negativadentroª � i , nulla su à i e positiva fuori ª � i .
Sia α ì t í il percorsodel c-spacetale cheα ì 0í ò q0, con q0 róà i, e α ì 0í ò q.
L’insieme dei movimenti del primo ordineè legato allo sviluppo in seriedi Taylor
delprimoordinedi di ì qí lungoα ì t í :ì di� α í�ì t í¼ò di ì q0 í Z ì ∇di ì q0 íÒã qí t Z O ì t2 í
Si può notarechedi ì q0 ílò 0, dal momentocheq0 rvà i; inoltre si può dimostrare
che�∇di ì q0 í � ò 1, per la distanzaeuclidea.Ciò implica che∇di ì q0 ífò ni ì q0 í . Si
ottieneperciò: ì di� α í�ì t í¼ò~ì ni ì q0 íÒã qí t Z O ì t2 í
in cui ni ì q0 í è fornito dal teorema1.
Definizione2 Sia ï in contattoconun unicocorpostazionario�
i (un dito), nella
configurazioneq0. I moti liberi del primo ordine di ï in q0 costituisconol’insieme
(semispazio di Tq0Rk) chesoddisfa:� 1
q0ì�ª � i í¼» Ù q r Tq0 s k : ni ì q0 íÔã q æ 0 ß
Il contornodel semispazio, � q r Tq0 s k : ni ì q0 íÔã q ò 0 � , identifica i movimenti di
roll-slidedel primo ordine. Il suointerno, � q r Tq0 s k : ni ì q0 íÒã q e 0 � , èchiamato
l’insiemedeimovimenti di escapedel primo ordine.
2.4. Mobilità del primo ordine di oggetti in contatto 35
I movimenti liberi del primoordinedi ï , in contattocon�
i , sonoi vettori tangenti
(movimenti infinitesimali) alle curve chepartonoda q0 e chegiaccionoal primo
ordinenello spaziolibero ô , cioè,al primo ordine,di è nullo o crescentelungoun
movimento. Fisicamente,i movimenti del primo ordinesonoquellevelocità che
fannoin modoche ï abbiaistantaneamenteun moto di roll-slide su�
i , o chesi
allontanida�
i .
Se,al contrario,si consideranod dita,si hala seguentedefinizione.
Definizione3 Sia ï in contatto con d corpi stazionari,�
1 zUö�ö@ö�z � d (d dita), nella
configurazioneq0. L’insiemedei moti liberi del primo ordine di ï è il conoin
Tq0 s k generato dall’intersezionedei singoli semispazi dei moti liberi determinati
dal contattodi ï conciascundito�
i :� 1q0ì�ô í¼» dÜ
i | 0
� 1q0ì�ª � i í
dove� 1
q0ì�ô í èunmodosinteticoper indicare
� 1q0ì�ª � 1 zUö�ö@ö�z ª � d í .
Il c-obstacledi�
i , ª � i , è approssimatoconun semispazio.L’insiemedei mo-
vimenti di roll-slide del primo ordineè tangentea à i, alla configurazioneq0 r¾à i,
vedifigura2.5.
Ci sonodueimportantiproprietàdi� 1
q0 ì�ô í .Proposizione1 I moti liberi di ï�ì q0 í sonocoordinateinvarianti, ossiaindipen-
denti dalla sceltadel sistemadi riferimento. Sianoq e q dueparametrizzazioni
dellostessoc-spaceemessein relazionedaunatrasformazionedi coordinate f , un
diffeomorfismo,talecheq ò f ì qí e q ò ú f ì qí ˙q. Nesegueche:
q r � 1q0ì�ô í seesolose ˙q r � 1
q0ì ¯ôÝí
Sianooraα ì t í e β ì t í duepercorsinel c-spazio,tali cheα ì 0í=ò β ì 0í=ò q0 e α ì 0í òβ ì 0í¼ò q; ciò equivale a definireduepercorsichesonoequivalenti al primo ordine
in t ò 0, mapossonoaverediversederivatedi ordinesuperiore.
Proposizione2 Siaq r � 1q0ì�ª � i í un movimentodi escapedel primo ordine. Sia
α ì t í un percorso nel c-spaziotale che α ì 0í ò q0 e ˙α ì 0í ò q0. Allora α ì t í local-
mentesi trovanellospaziolibero, ovvero:
α ì t ífrÝô pertutti t r } 0 z ε � z perqualche ε e 0
36 Il problemadella presarobotica
Se, invece, q r � 1q0ì ª � i í è un movimentodi roll-slide del primo ordine, non è
possibile stabilire se α ì t í si trovi localmentenello spazio libero o se penetri inª � i . Esistonopercorsi α ì t í tali percui α ì } 0 z ε � í si trovain ô edaltri percorsi β ì t ítali per cui β ì } 0 z ε � í si trova in ª � i , vedifigura 2.5.
Perla dimostrazionedelledueproposizioni sopra,si veda[51].
2.4.4 Inter pretazionegrafica dei moti liber i del primo ordine
La definizionedei moti liberi del primo ordine implica che ª � i è approssimato
tramiteun semispaziolimitato dall’iperpianotangentea à i in q0 rvà i (vedi figura
2.5).
Consideriamoi movimentilibri delprimoordinedi unoggettoplanareï , quan-
dosi trovain contattoconil dito�
i . Riferendociallafigura2.6,possiamoaffermare
che:� un assedi istantanearotazionedeve intersecarela rettadi applicazionedella
forza;� i movimentidi roll-slidedelprimoordine,ossiai vettoritangentiappartenenti
all’iperpianoTqà i« � 1
q ì�ª � i í , sonole istantaneerotazioniattornoun asse
perpendicolareal pianoe passanteattraversola rettachecontienela normale
neipuntidi contatto.
Quandol’assedi rotazionesi trova all’infinito, si ha unapuratraslazione,in dire-
zioneperpendicolarealla lineadi applicazionedellaforza.
I movimenti liberi del primo ordinesonorotazioni istantaneedestrorsein un
semipiano,esinestrorsenell’altro, vedifigura2.6.
2.5 L’indice di mobilità del primo ordineõ ÷ ì q0 í èl’insiemedi tutti i c-wrenchchedeterminanolavariazionedellagrandezza
delleforzeesercitatedalledita. Il conoantipodaleè:ÿ õø÷ ì q0 í¼» d
∑i | 1
λi ì ÿ ni ì q0 í"í λi æ 0 per i ò 1 zUö@ö�ö@z d
2.5. L’indice di mobilità del primo ordine 37
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
PSfragreplacements
�i
normale di contatto
movimenti di roll-slidedel primo ordine
Figura 2.6: Il semispazio dei movimenti liberi del primo ordine comerotazioniistantanee.
Proposizione3 Sia ï in unapresadi equilibrio medianted dita frictionless,nella
configurazioneq0.� 1
q0ì�ô í è il conopolarea
õC ì q0 í edèdatoda:� 1
q0ì�ôÝí¼ò Ù q r Tq0 s k : w ã q � 0 pertutti w r ÿ õ C ì q0 í9ß
In particolare, sela presadi equilibrio èmantenutaanchequandole dita, chesono
in contattocon l’oggetto, applicanoforzenon nulle,� 1
q0ì ô í è il sottospazio di
Tq0 s k co-ortogonale, ossiareciproco,aõ
C ì q0 í :� 1q0ì ô í=ò õ
C ì q0 í w ì � 1q0ì�ô í èanche
dÜi | 1
Tq0 à i íCasispecialiesclusi,la dimensionedi
� 1q0ì�ô í è k ÿ d Z 1, dovek ò 3 o 6. Per
definizione� 1
q0ì�ô í=ò�� 0 � quandok ÿ d Z 1 g 0.
Perla dimostrazione,si puòsemprefareriferimentoa [51].
Consideriamoun oggettoplanare,in cui k ò 3. La proposizione implica che
in unagenericapresadi equilibrio i movimenti del primo ordinecostituisconoun
sottospaziobidimensionale,perunapinzacond ò 2,unsottospaziomonodimensio-
38 Il problemadella presarobotica
nale,perunapinzacond ò 3, un singolopunto,quindi l’oggettorisultaimmobile,
per pinzecon un numeromaggioredi dita. Peroggettisolidi k ò 6 e le possibili
dimensioni sono0 z 1 zXö�ö@ö�z 5.
Esistono casispecialiin cui la dimensionediõ
C ì q0 í è inferioread ÿ 1 equella
di� 1
q0ì�ô í è maggioredi k ÿ d Z 1. Vediamoquesticasi particolari per oggetti
planari. Capitadi rientrarein unodi questiseil numerodelledita d è più grande
di k, dove k ò 3 peroggettiplanari.Generalmente,� 1
q0ì ô í dovrebbeesserezero,
ma,setuttele normalineipuntidi contattosi intersecanoin unpunto,� 1
q0ì�ô í èun
sottospaziomonodimensionale.I moti annessisonole rotazioniistantaneeattorno
all’assepassanteper il puntodi intersezione,vedi figura 2.5a. Un’altra situazione
particolarericorre quandol’oggetto planareha dei buchi interni (nei quali le dita
possono entrareedesercitareforzedall’internodelbucoversol’esterno)eduedelle
ditadellapinzasi trovanoadesercitareforzenellastessadirezione,comele ditaA1
eA2 in figura2.5b.
������������������������ ������������������������ ������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!"�"�"�"�"�"�"�"�"�"�""�"�"�"�"�"�"�"�"�"�""�"�"�"�"�"�"�"�"�"�""�"�"�"�"�"�"�"�"�"�""�"�"�"�"�"�"�"�"�"�""�"�"�"�"�"�"�"�"�"�""�"�"�"�"�"�"�"�"�"�""�"�"�"�"�"�"�"�"�"�""�"�"�"�"�"�"�"�"�"�"#�##�#$�$$�$PSfrag replacements
�1
�1
�2
�2
�3
�3�
4
(a) (b)
Figura 2.7: (a)� 1
q0ì�ô è un sottospazio monodimensionale. (b)
� 1q0ì ô í è un
sottospaziobidimensionale.
Siaoraq0 la configurazionedi ï , tenutoin equilibrio dad dita; q0 si trova sul
contornodeic-obstacledelled dita,q0 r¶ç di | 1 à i.
L’ indicedi mobilità del primo ordineè definitocomela dimensione del sotto-
spazioM1q0ì�ô í :
m1q0» dim ì � 1
q0ì ô í¼ò k ÿ d Z 1
m1q0
può assumerevalori nel range0 zUö�ö@ö�z k ÿ 1, dal momentoche k è fisso, a
secondachel’oggettosiaplanareo solido, l’indice dipendedalnumerod delledita
chepossiedela pinza.� 1
q0ì�ô í èimmobilizzatoal primoordineseil suom1
q0èzero.
2.5. L’indice di mobilità del primo ordine 39
Inoltre valela seguente proposizionedi invarianzadell’indicepercambiamenti
di coordinate:
Proposizione4 Sianoq e q dueparametrizzazioni dellostessoc-space, unitedalla
relazioneq ò f ì qí . Sia ï in unapresadi equilibrio nella configurazioneq0 nelle
coordinateqenellaconfigurazioneq0 nellecoordinateq. I sottospazideimovimenti
liberi del primo ordine nei rispettivi spazi,� 1
q0ì ô í e
� 1q0ì ¯ô í , hannola stessa
dimensione. Segueche:
m1q0ò m1
q0
40 Il problemadella presarobotica
Capitolo 3
L’indice di mobili tà del secondo
ordine
3.1 Intr oduzione
Il principalemotivo dello sviluppo della teoriadella mobilità del secondoordine
[52] è dovuto al fallimentodi quelladel primo nel distinguerele diverseproprietà
chepresedi equilibrio con lo stessonumerodi dita possonoavere. Infatti, tutte le
generichepresedi equilibriocond ditacondividonolo stessoindicedi mobilitàdel
primoordine.Ad esempio,le presedi figura3.1sonoidenticheperquantoriguarda
l’indice di mobilità del primo ordinemasonodifferenti sevalutatecon l’indice di
mobilità del secondoordine.Infatti le mobilità (o stabilità)sonodiverse.
Sesi studiala mobilità di un oggettoin unapresadi equilibrio usandonozioni
istantanee,comele forze e le velocità,si arriva ad un’approssimazionenon suffi-
ciente: occorrequindi introdurreconsiderazionisulla curvaturadell’oggetto,cioè
nozionidelsecondoordine.
3.2 Mobilità del secondoordine di oggetti in contatto
3.2.1 Moti liberi del secondoordine
Nel capitoloprecedentesi è dettochei moti liberi di ï , quandoè in contattocon
un sigolodito�
i , coincidono con le curve del c-spacechepartonoda q0 e, local-
mente,si trovanonellospaziolibero ô . L’insiemedei moti liberi del primo ordine
ècaratterizzatodall’iperpianotangenteal c-obstaclein q0
Siano,nuovamente,q0 la configurazionedi contattodi ï con�
i , à i il contorno
42 L’indice di mobilità del secondoordine
%&%&%%&%&%%&%&%'&'&''&'&''&'&'(&(&((&(&((&(&()&)&))&)&))&)&) *&*&*&*&*&*&*&*&*&*&*&**&*&*&*&*&*&*&*&*&*&*&**&*&*&*&*&*&*&*&*&*&*&**&*&*&*&*&*&*&*&*&*&*&**&*&*&*&*&*&*&*&*&*&*&**&*&*&*&*&*&*&*&*&*&*&**&*&*&*&*&*&*&*&*&*&*&**&*&*&*&*&*&*&*&*&*&*&*+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&++&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&++&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&++&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&++&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&++&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&++&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&++&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+
,&,&,,&,&,,&,&,-&-&--&-&--&-&-.&.&..&.&..&.&./&/&//&/&//&/&/
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&00&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&00&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&00&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&00&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&00&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&00&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&00&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&01&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&11&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&11&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&11&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&11&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&11&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&11&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&11&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1
2&2&2&2&2&2&2&2&2&2&2&22&2&2&2&2&2&2&2&2&2&2&22&2&2&2&2&2&2&2&2&2&2&22&2&2&2&2&2&2&2&2&2&2&22&2&2&2&2&2&2&2&2&2&2&22&2&2&2&2&2&2&2&2&2&2&22&2&2&2&2&2&2&2&2&2&2&22&2&2&2&2&2&2&2&2&2&2&23&3&3&3&3&3&3&3&3&3&3&33&3&3&3&3&3&3&3&3&3&3&33&3&3&3&3&3&3&3&3&3&3&33&3&3&3&3&3&3&3&3&3&3&33&3&3&3&3&3&3&3&3&3&3&33&3&3&3&3&3&3&3&3&3&3&33&3&3&3&3&3&3&3&3&3&3&33&3&3&3&3&3&3&3&3&3&3&3
4&4&44&4&44&4&45&5&55&5&55&5&56&6&66&6&66&6&67&7&77&7&77&7&7
8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&88&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&88&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&88&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&88&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&88&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&88&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&88&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&89&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&99&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&99&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&99&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&99&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&99&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&99&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&99&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9:&:&::&:&::&:&:;&;&;;&;&;;&;&;
<&<&<<&<&<<&<&<=&=&==&=&==&=&=PSfragreplacements
�1
�1
�1
�1
�2
�2
�2
�2
ï ïïï
(a) indicedel secondoordine = 2 (b) indicedel secondoordine = 1
(c) indicedel secondoordine = 1 (d) indicedel secondoordine = 0
Figura 3.1: Indice di mobilità del secondoordine per presedi equilibrio conequivalenteindicedelprimoordine.
smooth di ª � i (perciò q0 rÝà i) e α ì t í un percorsosmoothdel c-spacetale che
α ì 0í=ò q0, α ì 0í¼ò q e α ì 0í=ò q.
Si riscrivaoral’equazione2.3,ossiala distanzaconsegnodi ì qí di unpunto,di
configurazioneq, da à i :
di ì qí¼» ûüý üþ dst ì q z à i í se q èesternoa ª � i
0 se q èsu à iÿ dst ì q z à i í se q è internoa ª � i
Comei moti liberi delprimoordinesonolegatiallo sviluppoin seriedi Taylordi
di ì qí al primoordine,cosìi moti liberi delsecondoordinesonolegati allo sviluppo
in seriedel secondoordinedi di ì qí lungoα ì t í :ì di� α í�ì t í ò di ì q0 í Z ì ∇di ì q0 íÒã qí t Z 1
2ì qTD2di ì q0 í q Z ∇di ì q0 íÒã qí t2 Z O ì t3 íò ì ni ì q0 íÔã qí t Z 1
2ì qT }Dni ì q0 í � q Z ni ì q0 íÒã qí t2 Z O ì t3 í (3.1)
in cui di ì q0 í=ò 0 e ∇di ì q0 í=ò ni ì q0 í , dove ni ì q0 í è il vettorenormalea à i in q0,
direttoesternamenterispetto ª � i .
3.2. Mobilità del secondoordine di oggetti in contatto 43
In generale,seni ì q0 í ã q e 0,cioèquandoqèunmotodi escapedelprimoordine,
il terminelinearenell’equazione3.1determinail segnodi ì di� α í�ì t í per0 > t > ε,
dove ε e 0 è sufficientementepiccolo. I termini del secondoordineinfluenzanoil
segno di ì di� α íIì t í solo quandoα ì 0í ò q sta in Tq0 à i , cioè quandoq è un moto
roll-slide del primo ordine.La formaquadraticaqT }Dni ì q0 í � q in 3.1è la curvatura
di à i in q0 edèchiamatacurvature form.
I movimenti liberi del secondoordineverrannodefiniti comeun insiemedi ve-
locità edaccelerazioni. L’insieme ì q0 z q z qí di tutte le velocitàedaccelerazionidei
percorsidi α ì t í tali cheα ì 0ídò q0 èchiamatojet spacedelsecondoordinedi ª¶ò s k
in q0 edè indicatocon ? 2q0ì�ª-í .
Definizione4 Sia l’oggetto ï in contattofrictionlesscon un solo dito staziona-
rio�
i , in una configurazione q0. I moti liberi del secondoordine di ï in q0
costituisconoil sottinsiemedi ì q z qí in ? 2q0ì�ª-í chesoddisfano la relazione:� 2
q0ì�ª � i í »�� ì q z qí r@? 2
q0ì ª í : ni ì q0 íÒã q ò 0 e qT }Dni ì q0 í � q Z ni ì q0 íÔã q x 0 �
Analogamenteal casodelprimoordine, le coppievelocità-accelerazioneì q z qí , che
soddisfanoni ì q0 í ã q ò 0 e qT }Dni ì q0 í � q Z ni ì q0 í ã q ò 0, sonodettemovimenti di
roll-slide del secondoordine. Gli altri moti in� 2
q0ì�ª � i í per cui ni ì q0 í ã q ò 0 e
qT }Dni ì q0 í � q Z ni ì q0 íÔã q e 0 sonodettimovimenti di escapedel secondoordine.
Per d dita, � 2q0ì�ô í=» dÜ
1| 1
� 2q0ì ª � i í
dove� 2
q0ì�ô í staper
� 2q0ì�ª � i zUö�ö@ö�z ª � d í .
Si puònotarecheognimovimentodi escapedelprimoordineèautomaticamen-
te un moto libero del secondoordine. Con questadefinizionedei moti liberi del
secondoordinesi ponequindiattenzioneaquellecurvedi moti liberi chesonomoti
di roll-slide del primo ordine.Si puòricordare,dal capitolo2, chei moti liberi del
primoordinedi ï , in unaconfigurazionedi equilibrio, sonosoloi moti di roll-slide
delprimoordine.
Si considerinooradueparametrizzazionidellostessoc-space,legatefra loro da
unatrasformazionesmoothdi coordinate,un diffeomorfismo,q ò f ì qí . Con ¯ìXã í si
indichino oggettinel q-space.f mappavettoriedaccelerazionimediantele regole:
q ò }D f ì qí � ˙q (3.2)
q ò }D2 f ì qí � ì ˙q z ˙qí Z }D f ì qí � ¨q (3.3)
44 L’indice di mobilità del secondoordine
Proposizione5 I moti liberi del secondoordinesonoinvarianti rispettoa cambia-
mentidi coordinatesmooth.Sianoq eq dueparametrizzazionidellostessoc-space.
Siaq ò f ì qí la loro trasformazionedi coordinate, taleche ì q z qí e ì ˙q z ¨qí sianolegate
dalledueregole3.2e3.3.Nesegueche:ì q z qílr � 2q0ì�ô í seesolose ì ˙q z ¨qí r � 2
q0ì ¯ôÝí
Perla dimostazionesi veda[52].
Proposizione6 Sianoα ì t í e β ì t í duepercorsi smoothnel c-spaceidentici per il
secondoordine, ossiatali cheα ì 0ídò β ì 0ídò q0, α ì 0ídò β ì 0ídò q eα ì 0ídò β ì 0ídò q,
maconderivatesuperioridifferenti. Seì q z qílr � 2q0ì�ª � i í
è un movimentodi escapedel secondoordine, il suopercorsocorrispondenteα ì t ísi trova localmentenellospaziolibero, ovvero:
α ì t í rÝô perogni t r } 0 z ε � z perqualche ε e 0
Se ì q z qílr � 2q0ì�ª � i í
è un movimentodi roll-slide del secondoordine, allora nonsi puòstabilire nulla.
Sia che α ì t í penetri o menoil c-obstacleo stia nello spaziolibero per t r } 0 z ε �nulla puòessere determinato senzaconsiderare dellederivatedi ordinesuperiore
di α ì t í . Esistono percorsi α ì t í tali che α ì } 0z ε � í « ô edesistono percorsi per cui
β ì } 0z ε � í « ª � i .
La dimostrazionedi questaproposizionederiva direttamente dallo sviluppo di
Taylor3.1.
Vediamocomeinterpretarequestorisultato. Le curve identificateda ì q z qí-r� 2q0ì�ª � i í o sonomovimenti di escapedel secondoordine oppuredi roll-slide.
Questiultimi richiedonolo studio dellederivatesuperiorial fine di determinarela
loro naturalocale,dal momentocheil segno di di ì qí non può esserericavato dal
suosviluppoin seriedel secondoordinelungoquestecurve. In figura3.2(a)sono
illustratele curve associateai movimenti di escapedel secondoordine,mentrein
figura3.2(b)quelleassociateai moti di roll-slide.
Questenozionisonoinvariantipercambiamentidi coordinatesmooth:le curve
3.2. Mobilità del secondoordine di oggetti in contatto 45
ABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABACBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBC
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
PSfragreplacements
c-obstacle î ic-obstacle î i
α ì t íβ ì t íq0 q0
(a) (b)
Figura3.2: (a)movimentidi escapedelsecondoordine.(b) movimentidi roll-slidedel secondoordine.
chegiacciononello spaziolibero in unaparametrizzazionevengonotrasformatein
curvechesononellospaziolibero in ognialtraparametrizzazione.
3.2.2 La curvatura del dito
La forma quadraticaqT }Dni ì q0 í � q in (3.1) è la curvaturadel contornodel dito in
q0 r à i. Per calcolarei moti liberi del secondoordine di un contatto,occorre
trovareunaformulazioneesplicitadi questacurvatura: essainfatti giocaun ruolo
fondamentaleneldeterminarela mobilità di ï in unapresadi equilibrio.
Perdefinizione,la curvatureform di à i nellaconfigurazioneq0 r�à i è:
qT }Dni ì q0 í � q ò q ã ddt J t | 0ni ì α ì t íXí q r Tq0 à i
doveα ì t í èunpercorsonelc-spacesu à i, talecheα ì 0í ò q0 r�à i. Supponiamocheï�ì qí siaunsottoinsiemedellospaziofisico s n occupatoda ï quandosi trovanella
configurazioneq. Lungoα ì t í l’oggetto ï�ì α ì t í í esegueunmovimentodi roll-slide
sullasuperficiedeldito stazionario�
i .
La formuladellacurvaturadelc-obstacledipendedallacurvaturadeiduecorpi,
l’oggetto e il dito, per i quali si introducono le seguentinotazioni. Siano ï�ì qí e�i descritteda ï�ì qí òK� x rñs n : βq ì xíL� 0 � e
�i òK� x rñs n : γi ì xíL� 0 � , dove
βq ì xí e γi ì xí sonofunzioni smooth avalori reali chedefinisconoi contornidi ï�ì qíe�
i , rispettivamenteindicati con ∂ ï�ì qí e ∂�
i . Per definizione,la curvaturadiï�ì qí in xi r ∂ ï�ì qí e quella di�
i in xi r ∂�
i misuranola variazionedella loro
rispettivanormale: M∇βq ì xí ò ∇βq ì xíON � ∇βq ì xí � e P∇γi ì xí ò ∇γi ì xíON � ∇γi ì xí � , lungo
le varie direzioni delle tangenti. La loro curvaturaè determinatadalle seguenti
46 L’indice di mobilità del secondoordine
mappelineari [58]: Q ¸ Ö q× ì xi í : Txi ∂ ï�ì qíBR Txi ∂ ï�ì qíQTSi ì xi í : Txi ∂
�i R Txi ∂
�i
tali che: Q ¸ Ö q× ì xi í¼» ddt J x| xi M∇βq ì xíQ S
i ì xi í¼» ddt J x| xi M∇αi ì xí
Per semplicitàdi notazionesi può scrivere
Q ¸i
al postodi
Q ¸ Ö q× ì xi í , e
Q Si perQTS
i ì xi í .Osservazione3 Nel casodi oggetti planari gli spazitangenti Txi ∂ ïØì qí e Txi ∂
�i
sonomonodimensionali. L’effetto di
Q ¸ Ö q× ì xi í e di
Q Si ì xi í è semplicementeuna
moltiplicazioneper uno scalare: k i o k
Si . Gli scalari sonola curvatura, in xi r
∂ ï�ì qí e in xi r ∂�
i , dei contornidei rispettivi corpi.
La curvatureform dipendedalla sceltadella forma dell’oggetto. Si consideriuna
famigliadi oggettipostilungola normaledi contattoadunadistanzaρ i daipuntidi
contattostessi,dove ÿ ∞ > ρi > Z ∞. Perconvenzione,ρi è positiva dallapartediï�ì qí enegativadallapartedi�
i .
Teorema2 Sia ï in contattoconil corpostazionario�
i (il dito), nellaconfigura-
zioneq0. Siaq la parametrizzazione del c-spacequandoil contornodi ï è posto
ad unadistanza ρi dai punti di contattolungola normalesui punti di contatto.La
curvature formdi à i in q0 (la formaquadratica qT }Dni ì q0 í � q z q r Tq0 à i) èdatada:
kq0 ì vz ω í=ò~ì vT ì NiÕ ω í T íU Q ¸
i} QTS
i Z Q ¸ i �WV 1
QTSi
QTSi} QTS
i Z Q ¸ i �XV 1 ì ρi
Q ¸iÿ I íì ρi
Q ¸iÿ I í } Q S i Z Q ¸ i � V 1
Q Si ì ρi
Q ¸iÿ I í } Q S i Z Q ¸ i � V 1 ì ρi
Q Si Z I íZY K v
NiÕ ω M
doveq òåì vz wí è il vettore tangentein Tq0 à i , e Ni è il modulodel versore nel punto
di contatto,comunead�
i e ï , edirettoversol’interno di ï .
Corollario 2 La curvatura di à i in q0 in una pura traslazioneistantanea di ï è
indipendenteda ρi edèdatada:
kq0 ì vz 0í=ò vT } Q V 1S
i Z Q V 1¸i� V 1v
3.2. Mobilità del secondoordine di oggetti in contatto 47
Nel casoplanare diventa:
kq0 ì vz 0í=ò i 1k
SiZ 1
ki j V 1
dove�v� ò 1 (3.4)
Osservazione4 Nel casoplanare i rispettivi raggi di curvatura sonor¸
i ò 1N k i e
r
Si ò 1N kS i L’equazione3.4evidenziachei raggi di curvatura sonosommatialge-
bricamenteper fornire il raggio di curvatura del c-spaceperunapura traslazione.
Corollario 3 La curvaturadi à i in q0 in unapura rotazioneistantaneadi ï attorno
un assepostoa distanzaρi lungo la normalenel puntodi contatto risulta essere
quadratica in ρi , edèdatada:
kq0 ì 0 z ω í¼ò~ì ˆõiÕ ω í T } ρi
Q ¸iÿ I � } QTS i Z Q ¸ i � V 1 } ρi
QTSi Z I � ì ˆõ
iÕ ω í
Nel casoplanare diventa:
kq0 ì 0 z ω í=ò ì ρi k iÿ 1íIì ρik
Si Z 1í
k
Si Z k
i
dove�ω� ò 1 (3.5)
3.2.3 Inter pretazionegrafica dei moti liberi del secondoordine.
Questirisultatisonodescrittiin manieragraficain figura3.3.L’oggettoplanareï è
[\[\[\[\[\[\[\[\[\[\[[\[\[\[\[\[\[\[\[\[\[[\[\[\[\[\[\[\[\[\[\[[\[\[\[\[\[\[\[\[\[\[[\[\[\[\[\[\[\[\[\[\[[\[\[\[\[\[\[\[\[\[\[]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\] ^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\__\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\__\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\__\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\__\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\__\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ `\`\`\`\`\`\`\`\`\`\``\`\`\`\`\`\`\`\`\`\``\`\`\`\`\`\`\`\`\`\``\`\`\`\`\`\`\`\`\`\``\`\`\`\`\`\`\`\`\`\``\`\`\`\`\`\`\`\`\`\`
a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\aa\a\a\a\a\a\a\a\a\a\aa\a\a\a\a\a\a\a\a\a\aa\a\a\a\a\a\a\a\a\a\aa\a\a\a\a\a\a\a\a\a\aa\a\a\a\a\a\a\a\a\a\ab\b\bb\b\bb\b\bc\c\cc\c\cc\c\c d\d\dd\d\dd\d\de\e\ee\e\ee\e\ef\f\ff\f\ff\f\fg\g\gg\g\gg\g\gPSfragreplacements
�i ih
q0 j ρi
r k i
r l i
(a) (b) (c)
normaledi contatto
assedi rotazionedei moti di
insiemedegli assidi rotazionedei moti di
roll-slidedel primo ordine
roll-slidedel primo ordine
intervalli di moti liberi del secondoordine
intervallo di immobilità del secondoordine
Figura 3.3: Movimenti di roll-slide del primo e secondoordine di un contattoplanare.
in contattoconil ditoplanareestazionario�
i , figura3.3(a).Siaq0 la configurazione
di contatto,doveq è la parametrizzazionedelc-spaceassociata,e à i il contornodel
c-obstacle�
i in questaparametrizzazione.Ogni movimentodi roll-slidedel primo
48 L’indice di mobilità del secondoordine
ordinein q0 è un vettoretangenteappartenentea Tq0 à i (vedi capitolo2). Inoltre,
ogni q puòessererappresentatocomeunapurarotazioneistantaneadi ï attornoun
asseperpendicolareal pianoe passanteattraversola normalenel puntodi contatto.
La rotazioneistantanea,alla distanzaρi m 0 dal puntodi contattoe dalla partediï�ì q0 í , èmostratain figura3.3(a).
Si pongail sistemadi riferimentodi ï dove l’assedi istantanearotazioneinter-
secail piano,alla distanzaρi dal contatto.Nella corrispondente parametrizzazione
del c-space,q è unapurarotazione,q òåì 0 n ω í . L’approssimazionedel secondoor-
dinedi à i in q0 è datadallo sviluppodi Taylor del secondoordinedi di ì qí lungoil
percorsodelc-spaceα ì t í , talecheα ì 0í ò q0 o à i. Siaα ì t í associatoal movimento
di roll-slidedelprimoordine,con α ì 0íÔò q0 o Tq0 à i e α ì 0í ò q ò 0. Valutatolungo
α ì t í , lo sviluppo di Taylordi di ì q0 í , diviene:ì di� α í�ì t í=ò 1
2ì qT pDni ì q0 írq qí t2
dal momentochedi ì q0 ífò 0 e ni ì q0 í ã q ò 0, per q o Tq0 à i. Perciòil segnodi ì di�
α í�ì t í lungounpiccolointervallo 0 � t � ε èdeterminatosolamentedallacurvature
form. Sesi indicanoconr
Si e r s i i raggidi curvaturadi
�i e ï rispettivamentenei
puntidi contatto,allorala 3.5diventa:
kq0 ì 0 n ω í=ò ì ρiÿ r s i í�ì ρi t r
Si í
r
Si t r s i
dove�ω� ò 1
Il segnodi kq0 ì 0 n ω í èquindisolamente funzionedi ρi , distanzadell’assedi istanta-
nearotazionedalpuntodi contatto,edi r s i , vedifigura3.3.
Quindi:� seρi u r s iallora ì di
� α í�ì t í u 0 al secondoordine,pert o ì 0 n ε q : ï penetrerà
in�
i sesi imponequestarotazione,cheèunmotoliberodelprimoordine;� seρi ò r s i , si haunmovimentodi roll-slidedelprimoordine,cheèancheun
movimentosi roll-slidedelsecondo;� seρi m r s i i corpi non sonoa contattoe ì di� α í�ì t í m 0, per t o ì 0 n εq : è un
movimentodi escapedelsecondoordine.
Sel’assedi istantanearotazionesi trova dallapartedel dito, si fa un’analogaana-
lisi considerandoperòρi u 0 e r s i e r
Si invertiti. Perciò,uno studiodei moti del
secondoordineimponeunadistinzionedei moti del primo: i movimenti di escape
delsecondoordine,di roll-slidee i loro insiemicomplementari.
3.3. Mobilità del secondoordine in una presadi equilibrio 49
La figura3.3 semplifica la situazione;infatti, a unapurarotazioneistantaneaq
attornoun assea distanzaρi possonoessereassociatidiversivettori accelerazione
q. Ogni q determinaun diversomovimentodel secondoordine ì q n qí . La figurasi
riferiscesoloallecoppiein cui q ò 0.
Peroggettiplanari, i movimenti di roll-slide del primo ordinepossono essere
caratterizzatiin questomodo.Si indichiconl i la rettagiacentesullai-esimanormale
alla superficienel puntodi contatto,e sia ρi la distanzacalcolatalungo l i dall’i-
esimopuntodi contatto,talecheρi siapositiva dal lato di ï e negativa da quello
di�
i . I movimenti di roll-slide del primo ordinecorrispondonoall’insiemedelle
rotazioniistantaneedi ï attornounasseperpendicolareal pianopassanteper l i alla
distanzaρi. In coordinatemiste,i vettori tangentisonoindicaticonq ò~ì vn ω í , dove
v è la velocità linearee ω quellaangolare,e i moti di roll-slide del primo ordine
sonoistantaneerotazionidi ï chehannola formaq òåì 0 n ω í .Lemma 1 Nel casoplanare, la curvatura nel c-spacedi à i in q0, in unarotazione
istantaneaq ò ì 0 n ω í di ï attorno ad un assepostoad una distanzaρ i lungo la
linea l i , è:
ki ì q0 n qí¼ò 1k
Si t ks i
ì ρiks iÿ 1í�ì ρik
Si t 1í ω2 (3.6)
3.3 Mobilità del secondoordine in una presadi equi-
librio
La definizionedell’indice di mobilità del secondoordine è basatasul fatto chela
somma dei wrench(forze e coppie)che agisconosu ï all’equilibrio deve esse-
re zero. Il wrenchdovuto alla forza applicatadal dito�
i su ï con contatti fric-
tionlessdeve essereunacombinazione convessadei versorinormalialla superficie
dell’oggettonei punti di contatto,ni ì q0 í , diretti esternamenterispetto à 1 n ö�ö@ö n à d in
q0 o à 1 ç à 2 ç ö�ö@ö ç à d. Perciò la condizionedi equilibrio nel c-spaceè tale che
esistanod scalaritali percui:
λ1n1 ì q0 í t ö@ö�ö t λdnd ì q0 í=ò 0 con λi æ 0
Assumiamocheogni ni ì q0 í sia essenzialeper la presa,cheogni λi chedipendo-
no solodalladirezionedelleforzeapplicatedalledita e dallaposizionerelativadei
punti di contatto,sianostrettamente positivi e ched ÿ 1 wrenchsianolinearmen-
te indipendenti(vedi [52]). In questomodo i coefficienti λi sonounivocamente
determinatiamenodi uncoefficientemoltiplicativo.
50 L’indice di mobilità del secondoordine
Mentrela curvatureform delsingoloc-obstaclenonè in generaleinvarianteper
cambiamentidi coordinatesmooth, (vedi[52]), la sommapesatadi tuttele curvature
haunastruttura invariantechecaratterizzaal secondoordinela mobilità di ï in una
presadi equilibrio.
Definizione5 La curvature form relativa del c-spazioassociata ad unapresadi
equilibrio èdatadalla formaquadratica
krel ì q0 n qí¼ò d
∑i v 1
λiki ì q0 n qí¼ò qT p d
∑i v 1
λiDni q q (3.7)
doveq o � 1 wyxyxyxzw k ì q0 íDefinizione6 Sia ï in una configurazione di equilibrio q0. L’indice di mobilità
del secondoordinedi ï , indicatoconm2q0
, è il numero di autovalori nonnegativi
dellamatricedellacurvature formrelativadel c-space∑di v 1λiDni .
Si puòosservarechel’indice di mobilità delsecondoordine:� può assumerevalori compresinel range0 n ö�ö/ö n m1q0
: gli effetti del secondo
ordinepossonosoloeffettivamentediminuire la mobilità,nonaumentarla;� rappresentala dimensionedel più grandesottospazionelqualela formaqua-
draticakrel ì q0 n qí ènon-negativa,ossiasemidefinitapositiva.
Sem2q0ò 0 , ogni movimentolocaledi ï è o unapenetrazionedel primo ordine,
un movimentodi roll-slide del primo ordine,ovvero un moto di penetrazionedel
secondoordine; m2q0ò 0 implica, perciò,che ï è completamenteimmobilizzato.
Infine,comesi puònotaredallafigura3.1,la presamiglioreèquellache,aparitàdi
indicedelprimoordine,possiedeil minoreindicedi mobilità del secondo.
Proposizione7 Sianoq e q dueparametrizzazionidellostessoc-space, unitedalla
relazioneq ò f ì qí . Sia ï in unapresadi equilibrionelleconfigurazioni q0 eq0 nelle
rispettive parametrizzazioni. L’indice di mobilità del secondoordine è invariante
rispetto questatrasformazionedi coordinate. Risultaperciò:
m2q0ò m2
q0
La curvaturadei corpi da afferrarepuò effettivamentediminuire la mobilità di un
oggettochesi trova in unaposizione di equilibrio. Un corpoin unapresadi equi-
librio è completamenteimmobilesela suaconfigurazioneq0 è completamente iso-
lata mediantei c-obstacledallo spaziolibero. ï è immobile al primo ordinese
3.3. Mobilità del secondoordine in una presadi equilibrio 51
m1q0ò 0. L’immobilità delprimoordineèunacondizionesufficienteperla completa
immobilizzazionedi ï .
Tutti gli oggetti2D o 3D possono esseretenuti in unapresaforce-closureme-
diantek t 1 punti di contattofrictionlessdove k è la dimensionedel c-space.Per-
ciò 4 punti di contattosonosufficienti per un oggettoplanaree 7 per uno solido.
k t 1 è il più piccolonumerodi ditapossibile quandosi consideranosologli aspetti
riguardantii puntidi contatto.
Quandosi tienecontoanchedellamobilità delsecondoordine,però,gli oggetti
possonoessereimmobilizzati anchecon un numeroinferiore a k t 1 dita senza
attrito. Un corpoin unapresadi equilibrioèimmobile al secondoordinesem2q0ò 0.
Fisicamenteciò significachetutti i suoi movimenti istantaneiin q0 causanoquei
movimenti locali nel c-spaceche fannoin modoche le dita penetrinol’oggetto.
Così, comel’immobilità del primo ordine, anchequella del secondoordine può
garantirela completaimmobilità.
Peroggettin-dimensionalisonosufficienti n t 1 dita,ossia3 ditaperoggetti2D
e 4 per oggetti3D: nel casoparticolaredi questolavoro, il gripperA.S.I possiede
tre ditaegli oggettiafferrati sonobidimensionali.
52 L’indice di mobilità del secondoordine
Capitolo 4
Implementazioneeprove
sperimentali
4.1 Intr oduzione
La teoriaillustratanei capitoli precedentiè alla basedell’algoritmoper la determi-
nazionedella presadi immobilizzazionedi oggettiplanarisconosciuti,inquadrati
dallatelecameraedafferratimedianteil gripperA.S.I.
L’algoritmoèstatorealizzatoin linguaggioC ANSI edè integratoconil codice
di controllo del robotSmart-3SdellaComau,conquellochegestiscel’acquisizio-
ne delle immagini della telecamerae con quello della pinza. Il sistemaoperati-
vo utilizzato è Linux nella versionedella Red Hat 7.2, con kernel 2.4.4e patch
rtai-24.1.5.
Comeprimo passosi determinaun insieme di equazionitramitele quali l’og-
getto ï è tenutoin equilibrio dalletre dita { 1 n|{ 2 n|{ 3; successivamenteverràusato
l’indice di mobilità perporredeivincoli aquestoinsiemedi prese,in mododadeter-
minareun sottoinsiemecostituito dallesolepresedi immobilizzazione[48]. Nella
realtà le dita sonodischi con raggio noto pari ad 1cm ma nell’implementazione
vengonoconsideratepuntiformi.
Lo studiovienefatto nel contactconfiguration space, definito come: x : I«} ÿ R } 2, chedescrive il contornodi ï . Si indicaconxi ò x ì ui í , con i ò 1 n 2 n 3 n la
posizionedei punti di contattodelledita lungoil contornodell’oggetto. Lo spazio
definitodalleterne ì u1 n u2 n u3 í è lo spaziodi configurazionedeicontatti.
54 Implementazioneeprovesperimentali
4.2 Analisi del contorno dell’oggetto
Le unicheinformazionisull’oggettoprovengonodallatelecamera.Dopoil calcolo
delladistanza(paragrafo1.4),il polsodelmanipolatoreroboticosi trovaimmediata-
mentedi fronteall’oggetto.Peraverebuoneprestazionidi riconoscimentomediante
la telecamera,gli oggettidevonoaveremolto contrastoconlo sfondo.Inizialmente,
durantela fasesperimentaledel progetto,nonsonostati utilizzati oggettireali ma
dellesemplicifiguredisegnate;esempisonoforniti in figura4.1:
Figura4.1: Esempidi immagini prelevatedallatelecamera.
Successivamente,sonostatiutilizzati oggettirealiopportunamentesospesi,vedi
figura4.2:
Figura4.2: Esempiodi immaginedi unapallina prelevatadallatelecamera.
Ciò cheserveperl’algoritmo di presaottimaèla bitmap,in scaladi grigi, forni-
tadall’algoritmodi Canny, il valoredelparametrosaturation, peril riconoscimento
dei pixel appartenential contornodell’oggetto, e le coordinatedel centrodi gra-
vità dell’oggetto stesso. Il sistemadi riferimentousatosi riferisceall’immagine
chesi vedea monitornell’interfacciagrafica.L’origine è postanell’angoloin alto
4.2. Analisi del contorno dell’oggetto 55
a sinistra, l’assedelle x positive rivolto versoil basso,coincidentecon il normal
negativo del robot,e l’assedelley positive rivolto versodestra,coincidenteconlo
slidepositivo del robot.
4.2.1 Edge-tracking
L’edge-detection,effettuataconl’algoritmo di Canny, fornisceunabitmapin scala
di grigi; quandola si esploravengonoscelti solamentequei pixel che hannoun
valoredi grigio maggioredi saturation:sonoi punti del contornodell’oggettoda
afferrare.In figura4.3e4.4sonomostratele ricostruzionideicontornidegli oggetti
inquadratidallatelecameraemostratinel paragrafoprecedente.
Il problema,ora, consistenel caratterizzarequestoinsiemedi punti: occorre,
cioè, ordinarei pixel in mododa percorrerein un sensola curvaturadel contor-
no. Il versodeve esseresceltoa priori perchè,in seguito, deve esserefatta una
parametrizzazionedel contorno.
In letteraturanon esistonoalgoritmi per l’edge-trackinggià testatie utilizzati:
si è dovutoperciòcercaredi risolverel’ordinamento dei punti medianteconsidera-
zioni euristiche.
Si parteda un pixel generico,quello con x più piccolo; il secondoè sceltoin
modotaledaimporrecheil versodi percorrenzadellacurvasiaantiorario.Quindi,
dopoi primi due,si imponecheogni pixel confini al più conaltri due,consideran-
do un intorno 3 Õ 3. Ogni pixel chevieneordinatodiventa il pixel centraledella
finestrella3 Õ 3: questoconfineràcon il precedente,chevienecancellato,e con il
successivo, chevieneinseritofra quelli ordinati.Puòaccadereche,acausadi errori
nellacostruzionedellabitmap,in un intorno3 Õ 3 nonvi sianopixel, perciòviene
Figura4.3: Ricostruzionedel contornomediantel’algoritmo di Canny.
56 Implementazioneeprovesperimentali
Figura4.4: Ricostruzionedel contornomediantel’algoritmo di Canny.
fattaunaricercain un intornopiù grande,cioè5 Õ 5. Questometodogarantisceuna
certarobustezzaalla presenzadi un eventualerumoreinterno:vengonocioèelimi-
nati queipixel interni al bordodell’oggetto. Comechiarimentosi osservila figura
4.5. In 4.5(a)il pixel rossocorrispondeall’ultimo pixel inseritonelvettoredeipunti
ordinati: in realtà,unavoltaordinato,il pixel vienecancellatodallabitmap,manel
casodellafigura vienecoloratoin rosso,in mododaavereunamaggiorechiarez-
za. L’ultimo pixel ordinatodivienecentralenellafinestrella3 Õ 3. Poi si controlla
quantisonoi pixel vicini appartenential contorno:nel casodi figura4.5(b),cen’è
solouno,chevienedirettamenteinserito. Spostandonuovamentela finestrella,si
arriva adunasituazionein cui bisognadecidere,figura4.5(c): si tieneil puntocon
distanzaminoredal centroegli altri vengonocancellati(in figurasonodisegnati in
nero).In 4.5(d)si vedechenelcasoin cui nonsi trovi nientenellafinestrella3 Õ 3,
si prova in una5 Õ 5. Si procedecosì,figure4.5e4.5,fino achenonsi ricostruisce
tutto il contorno,figura4.5(d).
In generalei punti ordinati risultanoesserecirca1000,a secondadegli oggetti
testatinelleprovesperimentali,si va daun minimo di 600adun massimodi 1500.
Peraverebuoneprestazioniin termini di tempodi calcolodell’algoritmo, si fa un
filtraggiodell’immaginein modotalechenerimanganocirca300: anchesesi per-
dequalcheinformazione,il contornodell’oggetto rimanesemprebendefinitoe le
prestazionimiglioranonotevolmente. Il tempodi calcolo, infatti, non diminuisce
esponenzialmenteconil numerodi punti.
4.2. Analisi del contorno dell’oggetto 57
x~ y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x~ y
(a)
(e)
(c)
(k)
(i)
(g)
(b)
(f)
(d)
(l)
(j)
(h)
Figura4.5: Ricostruzionedelcontorno:edge-tracking.
58 Implementazioneeprovesperimentali
4.2.2 Parametrizzazione
Ordinati i punti, si puòprocederecon la descrizionegeometricadel contorno.La
sceltaeffettuataèstataquelladi considerarepixel perpixel edi legareaciascunodi
questile informazioninecessarie.
Perogniternadi punticonsecutivi si calcolala circonferenzapassanteperquesti
tre punti: per il puntocentralesi può calcolareil vettore tangenteorientatocome
il versodi percorrenzadel contorno,il vettorenormale,orientatoversol’interno
dell’oggetto e il raggiodi curvatura,datodal raggiodellacirconferenzastessa.
4.3 Vincoli imposti dalla geometria del gripper
Comesi è dettonelparagrafo1.3.2,le tre ditadelgripperA.S.I. sonopostea120� ,perciòle configurazionifisicamenteraggiungibili devonorispettarequestovincolo.
Si possono dunqueescluderele ternedei punti di presachenon sonoposti a
120� rispettounpuntoparticolare,il centrodelgripper.
L’algoritmo di presaottimanonsoloforniscel’angolo di rotazionedel gripper,
ossiai gradidi roll , positivi o negativi, di cui dovràruotareil polsodelmanipolatore
e quindi il gripper, maancheun offset relativo fra il centrodel grippere il centro
di gravità: infatti, quandovieneapplicatol’algoritmo di presa,il centrodelgripper
risulta esserein assecon il centrodi gravità, perchèper il calcolodella distanza
occorreallinearequestiduepunti,manondevonoesserenecessariamentein questa
posizioneanchenelmomentodell’afferraggio.
4.4 Le presedi equilibr io
Si indichi con ti il versoretangente,con ni quello normaleal contornodi ï nei
punti di contattoxi e con wi ò ì ni n xiÕ ni í T il corrispondentewrenchdovuto alla
forza unitariaapplicatalungo la normalesul puntodi contattoxi . La condizione
necessariaperunapresadi equilibrioècheesistanotrescalariλ1 n λ2 n λ3 tali chesia
soddisfattala relazione:
λ1w1 t λ2w2 t λ3w3 ò 0 con λi m 0 (4.1)
econi wrenchewi adueaduelinearmenteindipendenti.
L’equazione(4.1) descrive l’insieme di tutte le presedi equilibrio nello spa-
zio dei parametriu1 n u2 n u3 n λ1 n λ2 n λ3. Si vuoleperòcaratterizzarele condizionidi
4.5. Le presedi immobilizzazione 59
equilibriodirettamentenelcontactconfigurationspace:occorrecioèeliminarei pa-
rametriλ1 n λ2 n λ3. Unacondizionenecessariaperl’esistenzadei coefficienti λi , tale
chenonsianotutti ugualiazeroechesiasoddisfattal’equazione(4.1),è:
Det ì w1 n w2 n w3 í ò 0 (4.2)
chedefiniscela superficieSbidimensionalenellospaziotridimensionaledi configu-
razionedei contattidellapresau1 n u2 n u3. Pergarantirela positività dei coefficienti
λi, si costruisconoi prodottivettoriali fra i vettorinell’equazione(4.1)conn2 e n1.
Ciò portaa:
λ1n1Õ n2 t λ3n3
Õ n2 ò 0 e λ2n2Õ n1 t λ3n3
Õ n1 ò 0 (4.3)
questogarantiscechei λi abbianotutti lo stessoverso.Dallaequazione(4.3)deriva
la definizionedei coefficieni λi a menodi unacostantemoltiplicativa:
λi ò ni � 1Õ ni � 2 ò ti � 1
Õ ti � 2
dove la sommadegli indici èmodulo 3.
In particolarel’equazione(4.1)è verificatasee soloseè verificatal’equazione
(4.2)e: ì t1 Õ t2 í�ì t2 Õ t3 í m 0 e ì t1 Õ t2 í�ì t3 Õ t1 í m 0 (4.4)
L’insiemedellepresedi equilibrionel contactconfigurationspaceèdefinitodall’e-
quazione(4.1)edai vincoli (4.4).
Per imporre la condizionedi presa,occorreche i wrenchsianoa due a due
linearmenteindipendenti. Ciò accadeanchequandosi hannopreseeffettuatecon
duedita postein punti di contattoantipodali: si è sceltoperòdi eliminarequesto
tipo di presedall’insieme delle preseimmobilizzanti. Una condizionesufficiente
perla lineareindipendenzaèdunque:
ti Õ ti � 1 Þò 0 per i ò 1 n 2 n 34.5 Le presedi immobili zzazione
Le presecheimmobilizzanol’oggettocostituisconoun sottoinsiemedellepresedi
equilibriocherisultanoessereimmobili al secondoordine,ossiala relativamatrice
della curvaturadeve averetutti gli autovalori negativi. Nel nostrocasola relative
60 Implementazioneeprovesperimentali
curvature formè,(3.7):
krel ò λ1k1 ì q0 n qí t λ2k2 ì q0 n qí t λ3k3 ì q0 n qí (4.5)
dove q o � 1 ì q0 í . Ricordandol’equazione(3.6),la 4.5puòessereriscritta:
krel ò 3
∑i v 1
λi
k
Si t ks i
ì ρiks iÿ 1í�ì ρik
Si t 1í ω2 u 0 (4.6)
dove ρi è la distanzaconsegnofra i punti di contattoxi e il puntox0 in cui le rette
d’azionedelletre forzedi contattosi intersecano;ρi èdefinita:
xiÿ x0 ò ρini
Conalcunipassaggi,utilizzandol’equazione(4.3),si puòricavare:
ρi ò ì xi � 1ÿ xi íÔã ti � 1
ti Õ ti � 1
4.6 La presaottima
Fratutte le ternechegarantisconopresedi equilibrioedi immobilizzazionedell’og-
getto,vieneselezionataquellacheminimizzaunafunzionecostooppurtunamente
scelta.Qualsiasicriteriodi ottimizzazionevengautilizzato,si determinanopresedi
immobilizzazionelocali.
Esempidi terneimmobilizzanti di afferraggiosonomostratenelle figure 4.6,
4.7,4.8: esserappresentanole immagini cheappaiononell’interfacciagraficauten-
te. I tre punti di presae il centrodel grippersonoevidenziati in rossomentreil
centrodi gravità dell’oggettoèpostoin giallo. Dopola visualizzazioneil robotruo-
tadell’angolofornito dall’algoritmoesi avvicina in modotalechel’oggetto si trovi
all’interno dellapinzaconle dita in corrispondenzadei punti di contatto.Infine le
ditasi chiudonosull’oggetto.
Supponiamoche ï sia un oggettoelastico. Si vuole calcolarela componente
momentodel wrench,causatadalla deformazionedel corponei punti di contatto,
quandoil corpostessoè soggettoad unapiccola rotazioneα attornoal puntodi
intersezionedellenormalineipuntidi contatto.Il criteriodi ottimizzazioneconsiste
nel massimizzareproprioquestomomento.Comesi è già dettonel paragrafo4.5,
si indicaconρi la distanzaconsegnofra il centrodi rotazionee il genericopuntodi
4.6. La presaottima 61
Figura4.6: Ternadi presa.
Figura4.7: Ternadi presa.
62 Implementazioneeprovesperimentali
Figura4.8: Ternadi presa.
contatto,con rBi ò 1kBi
il raggiodi curvaturadel contornodell’oggetto nell’i-esimo
puntodi contattoe conrAi ò 1kAi
il raggiodi curvaturadel dito che,però,in questo
studio, vieneconsideratopuntiforme,perciòrAi ò 0, poichékAiÿ R t ∞.
Dopounapiccolarotazioneα, il dito penetral’oggettoadunaprofondità p. Si
suppone che la forza di reazionesia nella direzionedella linea cheunisceil dito
al più vicino puntodel contorno,con modulo proporzionalea p. Si ottienecheil
momentodellaforzadi reazionerisultaesseremi ò 12k2
i α3. In particolare,essendoci
tre contatti,verràusata,comefunzionecostodell’ottimizzazione,la quantità:
3
∑i v 1
k2i
La presaottimarisultaesserecostituia dallaternapercui questafunzionecosto
èminima.
4.7 Prestazioni dell’algoritmo
L’algoritmo di presaottima portaa buoni risultati, sia in termini di qualitàdella
presa,siain terminidi tempodi calcolo.
Inizialmentel’implementazionerichiedeva qualcheminuto nel fornire la terna
di presa:ciò eralegatoal fattochevenivanoconfrontatetutte le ternepossibili. Al
finedi velocizzare,sonostatiinseritidegli accorgimentichediminuisconoil numero
4.7. Prestazionidell’algoritmo 63
di cicli di confronto.Ora, la ternaè fornita in pochisecondi:ciò è positivo poiché
l’algoritmo è inseritonelcodicedelcontrollodel robote in quellodellatelecamera.
64 Implementazioneeprovesperimentali
Conclusioni
In questolavoroèstatapresentataunastrategiadi afferraggiodi oggettiplanarisco-
nosciutimedianteunapinzaa tre dita in un sistemavisually-guided,e assicurauna
certarobustezzaalle richiestereal-time.Le unicheinformazioninecessarieproven-
gonodalla telecamera:unostudiodel profilo mediantela cinematicadel secondo
ordinee quindi della curvaturadel contornogarantisconola determinazionedella
presastabile.
I possibili sviluppi futuri riguardano:� miglioramentodellaparametrizzazionedel contornodell’oggetto;� afferraggiodi oggettinonsoloplanarimaanchetridimensionali;� inserimento di unasecondatelecamera,perunavisionedi tipo stereo;� aumentodelle prestazioni,ossiadell’efficienzadegli algoritmi in termini di
velocità di calcoloedi bontàdelleconfigurazionidi presa.
66 Conclusioni
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