alin 07 nilai eigen dan vektor eigen (pertemuan 24-25)
Post on 06-Jul-2018
227 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
1/38
BAB 7 NILAI EIGEN DAN
VEKTOR EIGEN
Dr. Ir. AbdSurhim, M
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
2/38
KERANGKA PEMBAHASAN
1.Nilai Eigen dan e!"#r Eigen
$.Diag#nali%a%i
&.Diag#nali%a%i %e'ara (r"#g#nal
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
3/38
7.1 NILAI EIGEN DAN
VEKTOR EIGEN
Definisi :
Misalkan Anxn matriks matriks bujur sangkar
adalah vektor tak nol di Rn dan λ adalah skalar
sehingga memenuhi :
maka λ dinamakan nilai eigen dari A,
sedangkan dinamakan vektor eigen dari A
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
4/38
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
5/38
Perha"i!an +++
Ingat…. merupakan vektor tak nol
Ini BerartiPersamaan Karakteri
vv A λ =0=− vv A λ
0=− v I v A λ
( ) 0=− v I A λ
( ) 0det =− I A λ
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
6/38
CONTOH :
Tentukan nilai eigen dari matriks
Persamaan Karakteristik det(A – λI) = 0
= 0 0 1- 2 1 0
2- 0 1
A
0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1-
2 1 0
2- 0 1
=
−
λ
0
- 0 1-
2 -1 0
2- 0 -1
=λ
λ
λ
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
7/38
Dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-2
(1− λ) ( (1−λ) (−λ) − 2 ) = 0
(1 − λ) ( λ² − λ − 2) = 0
(1 − λ) ( λ − 2) ( λ + 1) = 0
Jadi, matriks A memiliki tiga buah nilai eigen yaitu :
λ = −1, λ = 1, dan λ = 2.
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
8/38
*(NT(H
Tentukan basis ruang eigen dari :
a-ab
Nilai eigen dari A di/er#leh %aa"
0 2 $340 2 $3$ 215 6 02 613 20160 2$33 7 8 0 2 $34 $ 2 9 6 &5 2 0 2 13 2 02 13 7 8
0 2 $340 2 &30 2 1 35 2 $ 0 2 137
0 2 1300 2 $$3 7 8 0 2 130 $ 2 8
0 2 13$0 2
( ) 0det =− I A λ
0
2- 1- 1-
1- 2- 1-
1- 1- 2-
=
λ
λ
λ
( )2- 1-
1- 1-
2- 1-
1- 2-2 −+−
λ λ
λ λ
=
2 1 1
1 2 1
1 1 2
A
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
9/38
Nilai Eigen dari matriks tersebut adalah 1 dan 4.
Untuk λ = 1
Dengan OBE diperoleh
maka
dimana s, t adalah parameter
=
0
0
0
z
y
1- 1- 1-
1- 1- 1-
1- 1- 1- x
0
0
0
000
000
111
=
−−=
t
s
t s
z
y
xt s
−+
−
1
0
1
0
1
1
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
10/38
Jadi Basis ruang eigen yang bersesuaian denganλ=1 adal
Ingat bahwa…
Vektor eigen merupakan kelipatan dariunsur basis tersebut
−
−
10
1
,01
1
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
11/38
Untuk λ = 4
Dengan OBE diperoleh
maka
Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian denganλ = 4 ada
=
0
0
0
2 1- 1-
1- 2 1-
1- 1- 2
z
y
x
s
z
y
x
=
1
1
1
−−
0
00
000
110101
1
1
1
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
12/38
7.2 DIAGONALISAS
DEFINISI
Sua"u ma"ri!% !uadra" An;n di!a"a!an da/a" didia
0diag#naliang mendiag#nal0/endiag#nal3 dari A.
e!"#r@?e!"#r !#l#m dari ma"ri!% P adalah ?e!"
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
13/38
CONTOH
Tentukan matriks yang mendiagonalkan
Jawab :
Persamaan karakteristik dari matriks A adalah :
atau
=
0
0
1
A
. I λ
0
110
110
001
00
00
00
det =
−
λ
λ
λ
332
232
11
x x x
x x x
x x
λ
λ
λ
=+=+
=
0
110
110
001
3
2
1
3
2
1
=
−
x
x
x
x
x
x
λ
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
14/38
Dengan menggunakan ekspansi kofaktor :Pilih Baris I
Sehingga diperoleh nilai eigen
( )
( )
( )
0
110
110
001
det =
−−−−
−
λ
λ
λ
{ } 131312121111.det cacaca A I ++=−λ
( ) ( ) ( ) 002 1 ++−−= λ λ λ
( ) ( ) ( )2 1 −−= λ λ λ
2 ;1 ;0 === λ λ λ
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
15/38
Untuk
Dengan OBE maka
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
, dimanat adalah parameter tak no
adalah
0=λ
( ) ~. A I −λ
−−−−
−
110
110
001
−− 110110
001
~
000
110
001
~
0=λ
t
x
x
x
1
1
0
3
2
1
−=
−=
1
1
0
1 P
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
16/38
Untuk
Dengan OBE maka
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
, dimana t adalah parameter tak nol
adalah
1=λ
( ) ~. A I −λ
−
−
010
100
000
010
100
000
~
000
100
010
~
1=λ
t
x
x
x
0
0
1
3
2
1
=
=
0
0
1
2 P
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
17/38
Untuk
Dengan OBE maka
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
, dimana t adalah parameter tak nol
adalah
2=λ
( )
−
−−
110
110
001
~. A I λ
−
000
110
001
~
t
x
x
x
1
1
0
3
2
1
=
=
1
1
0
3 P
2=λ
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
18/38
Perhatikan
Jadi
merupakan himpunan yang bebas linear
Dengan OBE
0332211 =++ P k P k P k
=
− 00
0
101
101
010
3
2
1
k
k
k
−
− 101010
101
~
101
101
010
200
010
101
~
100
010
101
~
100
010
001
~
{ }321 ,, P P P
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
19/38
adi, Ma"ri!% >ang mendiag#nal!an A adal
Ma"ri!% diag#nal >ang diha%il!an adalah
Hal >ang /erlu di/erha"i!an, ma"ri!%
uga mendiag#nal!an A.
Ta/i ma"ri!% diag#nal >ang "erben"u! adala
−=
101
101
010
P
== −
0
0
01 AP P D
−
=
110
110
001
P
= −1 A P D
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
20/38
Bnxn dikatakan matriks ortogonal jika B –1 = B T
Pernyataan berikut adalah ekivalen :o Bnxn adalah matriks ortogonal.
o Vektor-vektor baris dari B membentuk himpunaortonormal di Rn dalam RHD Euclides.
o
Vektor-vektor kolom dari B membentuk himpunortonormal di Rn dalam RHD Euclides.
Misalkan P merupakan matriks ortogonal maka berlaku:
• PTP =I
• , untuk setiapx di Rn
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
21/38
Berikut adalah contoh matriks ortogonal :
Terlihat bahwa setiap vektor baris/kolom merup vektor satuanDan hasilkali dalam antar vektor tersebut adalah
CONTOH
−
=2
1
2
1
2
1
2
1
A
−=
2
1
2
1
2
1
2
1
0
010
0
B
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
22/38
Perhatikan bahwa :
dan
Semen"ara i"u,
22 x
T I A A =33 x
T I B B =
− 6
8
2
1
2
1
2
1
2
1
−
=2
2
2
14
2
4
2
196+=
100=
=
6
8
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
23/38
7.3 DIAGONALISASI
SECARA ORTOGONAL
Definisi :
Suatu matriks Anxn dikatakan dapat
didiagonalkan secara ortogonal
jika terdapatmatriks ortogonal P sedemikhingga
P –1 AP(=P T AP) merupakan matriks diagon
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
24/38
Perhatikan bahwa :
D = P –1 AP atau A =PDP –1
Misalkan P merupakan matriks ortogonal, maka
A = PDP T
Sehingga diperoleh hubungan
A T = (PDP T) T
= (P T ) T DP T
= PDP T
= A
A dapat didiagonalkan secara ortogonal
jika dan hanya jika A matriks simetri
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
25/38
Misal Anxn, cara menentukan matriks ortogona yang mendiagonalkan A :
a) Tentukan nilai eigen b) Tentukan basis ruang eigen untuk setiap nila
eigen yang diperoleh
c)Rubahsetiap basis pada (b) menjadi basis ru
eigen yang ortonormal menggunakan PROSEGRAM-SCHMIDT
d)Bentuk matriks P dimana vektor-vektor kolom berupa basis ruang eigen yang ortonormal.
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
26/38
*(NT(H Tentukan matriks yang mendiagonalkan secara ortogonal matriks
Jawab :Gunakan Proses Gram-Schmidt
Basis ruang eigen :
Untuk adalah
Untuk adalah
Untuk adalah
0=λ
1=λ
2=λ
−=
1
1
0
1u
=0
0
1
2u
=
1
1
0
3u
−=
21
21
1
0
q
=0
0
1
2q
=
21
21
3
0
q
= A
−=
1
1
0
1v
=
0
0
1
2v
=
1
1
0
3v
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
27/38
Sehingga matriks ortogonal yang mendiagonalkan A adala
Dengan demikian, secara berurutan basis ruang eigen yang ortonormal matriks tersebut
,
,
dan
HASINA SAMA
−=
21
21
21
21
0
0
010
P
−2
1
21
0
0
0
1
21
21
0
== −
200
010
0001 AP P D
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
28/38
Ingat Kembali Pers. Diferensial
Jika sekumpulan PD orde 1 ditulis :
Dengan mudah solusi sistem PD tersebut adalah :
)()(
t yadt
t dy= at cet y =)(
)()(
)(3)(
)(2)(
33
22
11
t r dt
t dr
t r dt
t dr
t r dt
t dr
=
−=
=
−=
3
2
1
3
2
1
100
030
002
'
'
'
r
r
r
r
r
r
=
−
t
t
t
e
e
e
r
r
r
3
23
2
3
2
1
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
29/38
Masalahnya, sistem persamaan diferensialtidak selalumemberikmatriks koefisien yang berbentuk matriks diagonal.
Bentuk Umum SPD orde 1 :
Langkah-langkah menyelesaikan SPD orde 1 linear :
Menentukan matriksP yang mendiagonalkan A.
Tulis SPDdummy dalam bentuk
dengan
Tentukan solusi SPDdummy
Solusi SPD adalah
=
nnnnn
n
n
n x
x x
aaa
aaaaaa
x
x x
2
1
21
22221
11211
2
1
'
''
DU U ='
AP P D 1−=
DU U =' PU X =
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
30/38
*(NT(H Tentukan solusi dari sistem persamaan diferensial:
Jawab :
Tulis SPD dalam bentuk :
Dengan PK
Nilai eigen dari matriks koefisien,λ = 2 dan λ = 3
−=
2
1
2
1
11
24
'
'
x
x
x
x
2
1
dt
dx
dt
dx
=
=
011
24 =−−− λ λ
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
31/38
BRE yang bersesuaian denganλ = 3
BRE yang bersesuaian denganλ = 2
Sehingga diperoleh
Karena
maka SPD dummy berbentuk :
Solusi SPD dummy adalah
dan
1
2
1
1
=
1112 P
== −
20
031 AP P D
=
2
1
2
1
20
03
'
'
u
u
u
u
t ecu 311 = t ecu 222 =
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
32/38
Solusi dari SPD
atau
PU X =
=
t
t
ecec
x x
2
2
3
1
2
1
1112
t t ecec x
2
2
3
11 2 +=
t t ecec x 22312 +=
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
33/38
*(NT(H
Tentukan solusi dari masalah nilai awal
dengan kondisiawal
dan.
( ) )(2 t qt pdt
dp+=
( ) )(2 t qt pdt
dq
+=
( ) 10 = p ( ) 30 =q
Jawab: 12
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
34/38
Jawab : Kita punya
Maka Persamaan Karakteristiknya adalah
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
=
21
12 A
{ } 0=− A I .det λ ( )( )21
120−−−−=
λ
λ
( )( ) 1220 −−−= λ λ
1440 2 −+−= λ λ
340 2 +−= λ λ
( ) ( )310 −−= λ λ
3 ;1diperoleh == λ λ
Untuk 1=λ
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
35/38
Untuk
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
adalah vektor tak nol yang berbentuk
, dimanat merupakan parameter.
adalah
Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan
1λ
( )
−−−−
−00
11~
11
11~. A I λ
t x
x x
x x
=−=
=+
2
21
21 0
1=λ
t x
x
1
1
2
1
−=
=λ
−=
1
11 P
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
36/38
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
37/38
Sehingga Solusi Umum SPD U’ = D U adalah
Dengan demikian solusi SPD kita adalah :
atau
sehingga
=
t
t
e
eU
3
PU X =
−=
t
t
ec
ec
q
p3
2
1
11
11
t t ecec p3
21 +−=
t t ececq3
21 +=
-
8/17/2019 Alin 07 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen (Pertemuan 24-25)
38/38
Untuk
Dengan Eliminasi didapat
Jadi solusi masalah nilai awal tersebutadalah
dan sehingga0=t
+
+−=
21
21
3
1
C C
C C
2 ;1 21 == C C
t t eet p −= 32)(t t eet q += 32)(
( ) 10 = p ( ) 30 =q
top related