algorithms for finding a maximum non-k-linked graph1) โฅ๐ค๐ค(๐ฃ๐ฃ 2)...
Post on 11-Sep-2020
8 Views
Preview:
TRANSCRIPT
ๅฐๆ ไฝ่ผ
็ตๅใๆ้ฉๅๅ้กใซๅฏพใใๅค้ขไฝ็ๆๆณใจใใฎ็บๅฑ
ไบฌ้ฝๅคงๅญฆ ๆฐ็่งฃๆ็ ็ฉถๆ
็ตๅใๆ้ฉๅใปใใใผ๏ผ RIMS2020ๅนด8ๆ5ๆฅ
2
ๆฑใๅ้ก ๏ผ้จใฐใฉใใฎใใใใณใฐ
๏ผ็ทๅฝข๏ผใใใญใคใไบคๅ
็ทๅฝขใใใญใคใใใชใใฃ
ใชใๅค้ขไฝ็ๆๆณ๏ผ ็ตๅใๆ้ฉๅใฎๅคๅ ธใป็้ ้ใฟไปใใฎๅ้กใๆฑใใฎใซๅฟ ้ ่ฟไผผใขใซใดใชใบใ ่จญ่จใซๆ็จ ่ฟๅนดใฎ้ซ้ใขใซใดใชใบใ ใงๅฉ็จ ้ใฟไปใ็ทๅฝขใใใญใคใใใชใใฃใฎ่ชฌๆใฎใใ
Iwata-Kobayashi (2017)
Lee-Sidford-Wong (2015)
็ตๅใ็ใชๅถ็ด โ ็ทๅฝขไธ็ญๅผๅถ็ด ๏ผ ๆดๆฐๅถ็ด
A. Schrijver (2003)Combinatorial Optimization: Polyhedra and Efficiency
ๅ ๅฎน๏ผ็ตๅใๆ้ฉๅใซใใใๅค้ขไฝ็ๆๆณ
๏ผ้จใฐใฉใใฎใใใใณใฐ็ตๅใๆ้ฉๅๅ้กใซๅฏพใใๅค้ขไฝ็ๆๆณใจใใฎ็บๅฑ ๏ผใณใ็ฎ
๏ผ้จใฐใฉใใฎใใใใณใฐ
U V ๅญฆ็ ใจ ็ ็ฉถๅฎค ็ ้ข ใจ ็ ไฟฎๅป ๅดๅ่ ใจ ไปไบ etc.
ๅ ฅๅ: ๏ผ้จใฐใฉใ G=(U, V; E)
ๅ้ก: ๆๅคงใตใคใบใฎใใใใณใฐใฏ๏ผ
ใฉใฎ็นใซใ๏ผๆฌไปฅไธใฎ่พบใๆฅ็ถ
๏ผ้จใฐใฉใใฎใใใใณใฐ
U V ๅญฆ็ ใจ ็ ็ฉถๅฎค ็ ้ข ใจ ็ ไฟฎๅป ๅดๅ่ ใจ ไปไบ etc.
ๅ ฅๅ: ๏ผ้จใฐใฉใ G=(U, V; E)
ๅ้ก: ๆๅคงใตใคใบใฎใใใใณใฐใฏ๏ผ
ใฉใฎ็นใซใ๏ผๆฌไปฅไธใฎ่พบใๆฅ็ถ
ๅขๅ ้
6
ใใใใณใฐ๐๐ ใซ้ขใใไบคไบ้๏ผ๐๐ ใจ ๐ธ๐ธ โ๐๐ ใฎๆใไบคไบใซ็พใใ้ๅขๅ ้๏ผไบคไบ้ใงไธก็ซฏ็นใ๐๐ ใซๆฅ็ถใใชใ
๐๐ ๅขๅ ้ ๐๐ ๐๐ โณ ๐๐
่ฆณๅฏ๏ผ๐๐โณ ๐๐ ใฏ๐๐ ใใใตใคใบใ๏ผๅคงใใใใใใณใฐ
ๅขๅ ้ใขใซใดใชใบใ
7
๐๐ = โ
๐๐ ใใใ
๐๐ ใๅบๅใชใๅขๅ ้ ๐๐ ใๆขใ
๐๐ โ ๐๐โณ๐๐
ๅบๅใฏๆๅคงใใใใณใฐ๏ผ ๅขๅ ้ใฎๆข็ดขใฏ็ฐกๅ๏ผ
โ ๆผ็ฟ
๐๐
่พบใซๅใไปใ
ใใ ใธใฎๆๅใในใๆข็ดขRemarkไธ่ฌใฐใฉใใงใฏๅขๅ ้ใฎๆข็ดขใๅคงๅค
van der Waerden (1927), Kลnig (1931)
้ใฟไปใใใใใณใฐ
U V
ๅ ฅๅ: 2้จใฐใฉใ ๐บ๐บ = (๐๐,๐๐;๐ธ๐ธ)๏ผๆ้ใฟ ๐ค๐ค(๐๐)
ๅ้ก: ๆๅคง้ใฟใฎใใใใณใฐใฏ๏ผๆๅฐ้ใฟใฎๅฎๅ จใใใใณใฐใฏ๏ผ 2ใคใฏๆฌ่ณช็ใซ็ญไพก
5
108
7
4
14
3
6 1
4
9
6
6
ๅขๅ ้ใซใใ้ใฟใฎๅคๅ
9
๐๐ ๅขๅ ้ ๐๐ ๐๐ โณ ๐๐
5
10
4
96
่ฆณๅฏ๏ผ ๐๐โณ ๐๐ ใฏ๐๐ ใใใตใคใบใ๏ผๅคงใใใใใใณใฐ ้ใฟใฎๅขๅใฏ ๐ค๐ค ๐๐ โ๐๐ โ๐ค๐ค(๐๐ โฉ๐๐)
ๆๅฐ้ใฟๅฎๅ จใใใใณใฐใซๅฏพใใใขใซใดใชใบใ
10
๐๐ = โ
๐๐ ใใใ
๐๐ ใๅบๅ
ๅขๅ ้ ๐๐ ใๆขใ
๐๐ โ ๐๐โณ๐๐
ๅบๅใฎๆ้ฉๆง๏ผ ๅขๅ ้ใฎๆข็ดขใฏ็ฐกๅ๏ผ
โ ๆฌกใใผใธ
๐๐
๐ค๐ค ๐๐ โ๐๐ โ๐ค๐ค(๐๐ โฉ๐๐) ๆๅฐใฎ
๐๐ ใใชใ
(๐บ๐บใๅฎๅ จใใใใณใฐใๆใคใจไปฎๅฎ) 5
10
49 6
1 4
6
โ ๏ผ่ฒ ้่ทฏใใชใใใฐ๏ผOK
่พบใซๅใไปใ
ใใ ใธใฎๆ็ญใในใๆข็ดข
ใ้ทใใใ่จญๅฎ-5
-10
-49 6
1 4
6
๐๐ ๐๐ = ๐ค๐ค(๐๐)
๐๐ ๐๐ = โ๐ค๐ค(๐๐)if ๐๐ โ ๐ธ๐ธ โ ๐๐
if ๐๐ โ ๐๐
ๅบๅใฎๆ้ฉๆง
11
๐๐ = โ
๐๐ ใใใ
๐๐ ใๅบๅ
ๅขๅ ้ ๐๐ ใๆขใ
๐๐ โ ๐๐ โณ ๐๐
๐ค๐ค ๐๐ โ๐๐ โ๐ค๐ค(๐๐ โฉ๐๐) ๆๅฐใฎ
๐๐ ใใชใ
๐๐๐๐ : ๐๐ ๅๆดๆฐใใฆๅพใใใใตใคใบ ๐๐ ใฎใใใใณใฐ
๐๐๐๐ ใฏใตใคใบ ๐๐ ใฎใใใใณใฐใฎไธญใงๆๅฐ้ใฟๅฎ็
๐๐ ใใตใคใบ ๐๐ + 1 ใฎใใใใณใฐใจใใ ๐๐๐๐ ๅขๅ ้ ๐๐ ใ๐๐๐๐ โช ๐๐ ใซๅญๅจ
ๅธฐ็ดๆณ
๐๐๐๐ ใฏใตใคใบ ๐๐ ใฎๆๅฐ้ใฟใใใใณใฐใจไปฎๅฎ๐๐: ๐ค๐ค ๐๐ โ๐๐ โ ๐ค๐ค(๐๐ โฉ ๐๐) ๆๅฐใฎๅขๅ ้
=: ๐๐(๐๐)
๐ค๐ค(๐๐๐๐+1) = ๐ค๐ค ๐๐๐๐ + ๐๐(๐๐)
๏ผ๐๐ = 0 ใฎใจใใฏๆใใ๏ผ
๐ค๐ค ๐๐ = ๐ค๐ค ๐๐ โณ ๐๐ + ๐๐ ๐๐ โฅ ๐ค๐ค ๐๐๐๐ + ๐๐ ๐๐ = ๐ค๐ค(๐๐๐๐+1)ใตใคใบ ๐๐ ใฎใใใใณใฐ
ๅบๅใฎๆ้ฉๆง
12
๐๐ = โ
๐๐ ใใใ
๐๐ ใๅบๅ
ๅขๅ ้ ๐๐ ใๆขใ
๐๐ โ ๐๐ โณ ๐๐
๐ค๐ค ๐๐ โ๐๐ โ๐ค๐ค(๐๐ โฉ๐๐) ๆๅฐใฎ
๐๐ ใใชใ
๐๐๐๐ : ๐๐ ๅๆดๆฐใใฆๅพใใใใตใคใบ ๐๐ ใฎใใใใณใฐ
๐๐๐๐ ใฏใตใคใบ ๐๐ ใฎใใใใณใฐใฎไธญใงๆๅฐ้ใฟๅฎ็
Remarks ใใฎๅฎ็ใใ่ฃๅฉใฐใฉใใซ่ฒ ้่ทฏใใชใใใจใไฟ่จผใใใ ใๆๅคง๏ผๆๅฐ๏ผ้ใฟใใใใณใฐใๆฑใใๅ้กใใๅๆงใซ่งฃใใ
๏ผๅใตใคใบใงใฎๆๅคง้ใฟใใใใณใฐใๆฑใ๏ผใใฎไธญใงๆๅคงใฎใใฎใใจใ๏ผ
Hungarian Method Kuhn (1955) based on works of Kลnig and Egervรกry
๏ผ้จใฐใฉใใฎๅฎๅ จใใใใณใฐๅค้ขไฝ
13
ใชใ่งฃใใใ๏ผ ใฉใฎใใใช่ฏใๆง่ณชใใใใฎใ๏ผ
ๅฎๅ จใใใใณใฐๅค้ขไฝ ใฎ่กจ็พใใใใใ
conv ๐๐๐๐ | ๐๐ โ ๐ธ๐ธ โถ perfect matching
=ไธใคใฎ็ญใ๏ผ
๏ผๅฎๅ จใใใใณใฐใฎ็นๆงใใฏใใซใฎๅธๅ ๏ผ
๐๐
cde f
a b c d e f(1,0,0,1,0,0,1)
(1,0,0,1,0,0,1)
(1,0,0,0,1,1,0) (0,1,1,0,0,0,1)
in ๐๐๐ธ๐ธ
ab
๐๐
cde f
ab
๐๐
cde f
ab
๐๐
cde f
ab
๐๐ a b c d e f(1,0,0,0,1,1,0)
๐๐ a b c d e f(0,1,1,0,0,0,1)
๐๐
๏ผ้จใฐใฉใใฎๅฎๅ จใใใใณใฐๅค้ขไฝ
14
ๅฎๅ จใใใใณใฐๅค้ขไฝ๏ผๅฎๅ จใใใใณใฐใฎ็นๆงใใฏใใซใฎๅธๅ ๏ผ
๏ฟฝ๐๐โ๐ฟ๐ฟ(๐ฃ๐ฃ)
๐ฅ๐ฅ(๐๐) = 1
๐ฅ๐ฅ(๐๐) โฅ 0 (๐๐ โ ๐ธ๐ธ)
(๐ฃ๐ฃ โ ๐๐ โช ๐๐)๏ผ
Remarks โใฏ็ฐกๅ๏ผโใ้่ชๆ๏ผ ใใฎๅฎ็ใ่ชใใใฐ๏ผ็ทๅฝข่จ็ปๅ้กใ่งฃใใใจใงใ๏ผ
ๆๅคง๏ผๆๅฐ๏ผ้ใฟๅฎๅ จใใใใณใฐใๆฑใใใใ๏ผ ่ฃๅฉใฐใฉใใ็จใใฆโใ็คบใ๏ผ๏ผไปใฎ่จผๆใใใ๏ผ
๐ฃ๐ฃ ๐ฟ๐ฟ(๐ฃ๐ฃ)Egervรกry (1931), Birkoff (1946), Dantzig (1951)
๏ผ้จใฐใฉใใฎๅฎๅ จใใใใณใฐๅค้ขไฝ
15
ๅฎๅ จใใใใณใฐๅค้ขไฝ๏ผๅฎๅ จใใใใณใฐใฎ็นๆงใใฏใใซใฎๅธๅ ๏ผ
๏ฟฝ๐๐โ๐ฟ๐ฟ(๐ฃ๐ฃ)
๐ฅ๐ฅ(๐๐) = 1
๐ฅ๐ฅ(๐๐) โฅ 0 (๐๐ โ ๐ธ๐ธ)
๐ฃ๐ฃ ๐ฟ๐ฟ(๐ฃ๐ฃ)
๏ผEgervรกry (1931), Birkoff (1946), Dantzig (1951)
โใฎ่จผๆ
P
P ใฎๅ้ ็นใๆดๆฐใงใใใใจใ็คบใใฐใใ๏ผ
(๐ฃ๐ฃ โ ๐๐ โช ๐๐)
๏ฟฝ๐๐โ๐ฟ๐ฟ(๐ฃ๐ฃ)
๐ฅ๐ฅ(๐๐) = 1
๐ฅ๐ฅ(๐๐) โฅ 0 (๐๐ โ ๐ธ๐ธ)
(๐ฃ๐ฃ โ ๐๐ โช ๐๐)
ไปฅไธใฎ LP ใจๅๅฏพใ่ใใ๏ผ
๏ฟฝ๐๐โ๐ธ๐ธ
๐ค๐ค(๐๐)๐ฅ๐ฅ(๐๐)Min.
Sub. to ๐ฆ๐ฆ ๐ข๐ข + ๐ฆ๐ฆ(๐ฃ๐ฃ) โค ๐ค๐ค(๐๐)(๐๐ = (๐ข๐ข, ๐ฃ๐ฃ) โ ๐ธ๐ธ)
๏ฟฝ๐ฃ๐ฃโ๐๐โช๐๐
๐ฆ๐ฆ(๐ฃ๐ฃ)Max.
Sub. to
LP Dual-LP
๏ฟฝ๐๐โ๐ฟ๐ฟ(๐ฃ๐ฃ)
๐ฅ๐ฅ(๐๐) = 1
๐ฅ๐ฅ(๐๐) โฅ 0 (๐๐ โ ๐ธ๐ธ)
(๐ฃ๐ฃ โ ๐๐ โช ๐๐)
๏ฟฝ๐๐โ๐ธ๐ธ
๐ค๐ค(๐๐)๐ฅ๐ฅ(๐๐)Min.
Sub. to ๐ฆ๐ฆ ๐ข๐ข + ๐ฆ๐ฆ(๐ฃ๐ฃ) โค ๐ค๐ค(๐๐)(๐๐ = (๐ข๐ข, ๐ฃ๐ฃ) โ ๐ธ๐ธ)
๏ฟฝ๐ฃ๐ฃโ๐๐โช๐๐
๐ฆ๐ฆ(๐ฃ๐ฃ)Max.
Sub. to
LP Dual-LP
ๆๅฐ้ใฟๅฎๅ จใใใใณใฐ๐๐ ใซๅฏพใใฆ่ฃๅฉใฐใฉใใๆงๆ
-5
-49
6
1
๐๐ ๐๐ = ๐ค๐ค(๐๐)
๐๐ ๐๐ = โ๐ค๐ค(๐๐)if ๐๐ : ้ ๅใ
if ๐๐ : ้ๅใ
่ฒ ้่ทฏใใชใใฎใง๏ผ
๐๐ ๐ ๐ + ๐๐ ๐๐ โฅ ๐๐(๐ก๐ก)(๐๐ = ๐ ๐ , ๐ก๐ก : ๆๅๆ)
โ๐๐ โ ๐๐๐๐
5
4
(๐๐ โ ๐๐ ใซ้ๅใๆใ ่ฟฝๅ )
๐๐ ๐ข๐ข โ๐ค๐ค(๐๐) ๐๐ ๐ฃ๐ฃ
๐ค๐ค(๐๐)โ๐๐ ๐ข๐ข + ๐๐ ๐ฃ๐ฃ = ๐ค๐ค(๐๐)
๐๐ ๐ข๐ข ๐๐ ๐ฃ๐ฃ
๐ค๐ค(๐๐)โ๐๐ ๐ข๐ข + ๐๐ ๐ฃ๐ฃ โค ๐ค๐ค(๐๐)
๐ฆ๐ฆ ๐ข๐ข + ๐ฆ๐ฆ(๐ฃ๐ฃ) โค ๐ค๐ค(๐๐)
๐ฆ๐ฆ ๐ข๐ข + ๐ฆ๐ฆ ๐ฃ๐ฃ = ๐ค๐ค(๐๐) for ๐๐ โ ๐๐
๐ฆ๐ฆ ๐ข๐ข ๐ฆ๐ฆ ๐ฃ๐ฃ for ๐๐ โ ๐ธ๐ธ
16
๏ฟฝ๐๐โ๐ฟ๐ฟ(๐ฃ๐ฃ)
๐ฅ๐ฅ(๐๐) = 1
๐ฅ๐ฅ(๐๐) โฅ 0 (๐๐ โ ๐ธ๐ธ)
(๐ฃ๐ฃ โ ๐๐ โช ๐๐)
๏ฟฝ๐๐โ๐ธ๐ธ
๐ค๐ค(๐๐)๐ฅ๐ฅ(๐๐)Min.
Sub. to ๐ฆ๐ฆ ๐ข๐ข + ๐ฆ๐ฆ(๐ฃ๐ฃ) โค ๐ค๐ค(๐๐)(๐๐ = (๐ข๐ข, ๐ฃ๐ฃ) โ ๐ธ๐ธ)
๏ฟฝ๐ฃ๐ฃโ๐๐โช๐๐
๐ฆ๐ฆ(๐ฃ๐ฃ)Max.
Sub. to
LP Dual-LP
ๆๅฐ้ใฟๅฎๅ จใใใใณใฐ๐๐ ๐ฆ๐ฆ ๐ข๐ข + ๐ฆ๐ฆ(๐ฃ๐ฃ) โค ๐ค๐ค(๐๐)
๐ฆ๐ฆ ๐ข๐ข + ๐ฆ๐ฆ ๐ฃ๐ฃ = ๐ค๐ค(๐๐) for ๐๐ โ ๐๐
for ๐๐ โ ๐ธ๐ธ
๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐๐ ใฏ ใฎๅฎ่กๅฏ่ฝ่งฃ ๐ฆ๐ฆ ใฏ ใฎๅฎ่กๅฏ่ฝ่งฃ ็ธ่ฃๆงๆกไปถใๆบใใ
LPDual-LP ๐ฅ๐ฅ,๐ฆ๐ฆใฏๆ้ฉ่งฃ
ไปปๆใฎ๐ค๐ค ใซๅฏพใใฆใฏๆดๆฐๆ้ฉ่งฃใๆใคLP
๏ฟฝ๐๐โ๐ฟ๐ฟ(๐ฃ๐ฃ)
๐ฅ๐ฅ(๐๐) = 1
๐ฅ๐ฅ(๐๐) โฅ 0 (๐๐ โ ๐ธ๐ธ)
(๐ฃ๐ฃ โ ๐๐ โช ๐๐)
ใฏๅฎๅ จใใใใณใฐๅค้ขไฝ 17
๏ฟฝ๐๐โ๐ฟ๐ฟ(๐ฃ๐ฃ)
๐ฅ๐ฅ(๐๐) = 1
๐ฅ๐ฅ(๐๐) โฅ 0 (๐๐ โ ๐ธ๐ธ)
(๐ฃ๐ฃ โ ๐๐ โช ๐๐)
๏ฟฝ๐๐โ๐ธ๐ธ
๐ค๐ค(๐๐)๐ฅ๐ฅ(๐๐)Min.
Sub. to ๐ฆ๐ฆ ๐ข๐ข + ๐ฆ๐ฆ(๐ฃ๐ฃ) โค ๐ค๐ค(๐๐)(๐๐ = (๐ข๐ข, ๐ฃ๐ฃ) โ ๐ธ๐ธ)
๏ฟฝ๐ฃ๐ฃโ๐๐โช๐๐
๐ฆ๐ฆ(๐ฃ๐ฃ)Max.
Sub. to
LP Dual-LP
ไปปๆใฎๆดๆฐใใฏใใซ๐ค๐ค ใซๅฏพใใฆใฏๆดๆฐๆ้ฉ่งฃใๆใค
๏ฟฝ๐๐โ๐ฟ๐ฟ(๐ฃ๐ฃ)
๐ฅ๐ฅ(๐๐) = 1
๐ฅ๐ฅ(๐๐) โฅ 0 (๐๐ โ ๐ธ๐ธ)
(๐ฃ๐ฃ โ ๐๐ โช ๐๐)
ใใฎใใใชๆง่ณชใๆใคใจใ๏ผไธ็ญๅผ็ณป๏ผๅค้ขไฝใงใฏใชใ๏ผ๏ผ
ๅ่
Dual-LP
ใใฎ่จผๆใซใใ๏ผไปฅไธใ่จใใ๏ผ
ใฏ ๅฎๅ จๅๅฏพๆดๆฐๆง (Total dual integrality) ใๆใคใจใใ18
๏ผ้จใฐใฉใใฎใใใใณใฐใฎใพใจใ
19
ๅขๅ ้ใ็จใใๅค้ ๅผๆ้ใขใซใดใชใบใ
ๅฎๅ จใใใใณใฐๅค้ขไฝใฎ่กจ็พใใใ
LP็ทฉๅ ใจ ๅๅฏพๅ้ก ใๆ็จ
ๅ่๏ผไธ่ฌใฐใฉใใฎใใใใณใฐๅ ฅๅ: ใฐใฉใ G=(V, E),
ๅ้ก: ๆๅคงใตใคใบใฎใใใใณใฐใฏ๏ผๆๅคง้ใฟใฎใใใใณใฐใฏ๏ผ
ๆ้ใฟ ๐ค๐ค(๐๐)
ๅขๅ ้ใ็จใใๅค้ ๅผๆ้ใขใซใดใชใบใ ใๅญๅจ
ๅฎๅ จใใใใณใฐๅค้ขไฝ๏ผๅฎๅ จใใใใณใฐใฎ็นๆงใใฏใใซใฎๅธๅ ๏ผ
๏ผ
ๅค้ขไฝใฎ่กจ็พใใญใใตใ ใขใซใดใชใบใ Edmonds (1965)
๏ฟฝ๐๐โ๐ฟ๐ฟ(๐ฃ๐ฃ)
๐ฅ๐ฅ(๐๐) = 1
๐ฅ๐ฅ(๐๐) โฅ 0 (๐๐ โ ๐ธ๐ธ)
(๐ฃ๐ฃ โ ๐๐)
๏ฟฝ๐๐โ๐ฟ๐ฟ(๐๐)
๐ฅ๐ฅ(๐๐) โฅ 1 (๐๐ โ ๐๐, |๐๐|: odd)
๐๐ ๐ฟ๐ฟ(๐๐)๐ฃ๐ฃ ๐ฟ๐ฟ(๐ฃ๐ฃ)
Edmonds (1965)
20
ใใใญใคใไธใฎๆ้ฉๅ
ใใใญใคใ
็ฌ็ซ้ๅ (independent set)๏ผ
๐๐ = ๐๐,โฑ ใใใใญใคใ
โ โ โฑ
๐ผ๐ผ โ ๐ฝ๐ฝ โ โฑ โ ๐ผ๐ผ โ โฑ
โ๐ผ๐ผ, ๐ฝ๐ฝ โ โฑ, ๐ผ๐ผ < ๐ฝ๐ฝ โ โ๐๐ โ ๐ฝ๐ฝ โ ๐ผ๐ผ โ โฑ, ๐ผ๐ผ โช {๐๐} โ โฑ
๐ผ๐ผ โ โฑ
ๅบ (basis, base)๏ผ ๆฅตๅคงใช็ฌ็ซ้ๅ
(โฑ โ 2๐๐) Whitney (1935)
V
110000
011000
001100
000110
000011
100001
000010
000001
100010
010100
A =
ๆฌๆฅใฎ่ฉฑ๏ผ็ทๅฝขใใใญใคใ (โ ่กๅ)
๐๐: ่กๅ ๐ด๐ด ใฎๅ้ๅโฑ: ็ทๅฝข็ฌ็ซใชๅ้ๅๅ จไฝ
22
ใใใญใคใไธใฎๆ้ฉๅๅ ฅๅ: ๏ผ็ทๅฝข๏ผใใใญใคใ ๐๐ = ๐๐,โฑ ,
ๅ้ก: ๆๅคง้ใฟใฎ็ฌ็ซ้ๅใฏ๏ผ
้่ฒ ้ใฟ ๐ค๐ค(๐ฃ๐ฃ) (๐ฃ๐ฃ โ ๐๐)
V
110000
011000
001100
000110
000011
100001
000010
000001
100010
010100
A =
5 496 1 โฆ
๐ค๐ค(๐ฃ๐ฃ1) โฅ ๐ค๐ค(๐ฃ๐ฃ2) โฅ โฏ โฅ ๐ค๐ค(๐ฃ๐ฃ๐๐) ใจใฝใผใใใฆใใ
๐ผ๐ผ = โ ใจๅๆๅ
if ๐ผ๐ผ + ๐ฃ๐ฃ๐๐ โ โฑ, ๐ผ๐ผ โ ๐ผ๐ผ + ๐ฃ๐ฃ๐๐
for ๐๐ = 1,2, โฆ , ๐๐
๐ผ๐ผ ใๅบๅ
่ฒชๆฌฒใขใซใดใชใบใ
23
ๆ้ฉๆงใฎ่จผๆ ๐ค๐ค(๐ฃ๐ฃ1) โฅ ๐ค๐ค(๐ฃ๐ฃ2) โฅ โฏ โฅ ๐ค๐ค(๐ฃ๐ฃ๐๐)
๐ผ๐ผ = โ ใจๅๆๅ
if ๐ผ๐ผ + ๐ฃ๐ฃ๐๐ โ โฑ, for ๐๐ = 1,2, โฆ ,๐๐
๐ผ๐ผ ใๅบๅ
โ๐๐, ๐ผ๐ผ๐๐ ใฏๆๅคง้ใฟๅบใซๅซใพใใๅฎ็
๐๐ = ๐๐ ใพใง for ๆใ้ฉ็จใใ ๐ผ๐ผ
ๅธฐ็ดๆณ ๏ผ๐๐ = 0 ใฎใจใใฏๆใใ๏ผ
11 *
*
**
*
*
**
*
*
*
**
A
๐ผ๐ผ๐๐ ใๆๅคง้ใฟๅบ ๐ต๐ต ใซๅซใพใใใจไปฎๅฎ
๐ผ๐ผ๐๐ ๐ต๐ต โ ๐ผ๐ผ๐๐
่กๅคๅฝข1
11
1
๐ฃ๐ฃ๐๐+1 ใใฉใใซใใใใงๅ ดๅๅใ
โ โข โก
โ ๐ฃ๐ฃ๐๐+1 โ ๐ต๐ต โ ๐ผ๐ผ๐๐๐ผ๐ผ๐๐+1 = ๐ผ๐ผ๐๐ + ๐ฃ๐ฃ๐๐+1 ใฏ ๐ต๐ต ใซๅซใพใใใฎใงOK
โก ๐ผ๐ผ๐๐ + ๐ฃ๐ฃ๐๐+1 โ โฑ
๐ผ๐ผ๐๐+1 = ๐ผ๐ผ๐๐ ใฏ ๐ต๐ต ใซๅซใพใใใฎใงOK
โข ใใไปฅๅคโ๐ฅ๐ฅ โ ๐ต๐ต โ ๐ผ๐ผ๐๐ , ๐ต๐ตโฒ โ ๐ต๐ต โ ๐ฅ๐ฅ + ๐ฃ๐ฃ๐๐+1 ใฏๅบ๐ค๐ค(๐ฃ๐ฃ๐๐+1) โฅ ๐ค๐ค(๐ฅ๐ฅ)
๐ต๐ตโฒ ใฏๆๅคง้ใฟๅบ
๐ผ๐ผ๐๐+1 = ๐ผ๐ผ๐๐ + ๐ฃ๐ฃ๐๐+1 ใฏ ๐ต๐ตโ ใซๅซใพใใใฎใงOK
24
็ฌ็ซ้ๅๅค้ขไฝ
็ฌ็ซ้ๅๅค้ขไฝ๏ผ็ฌ็ซ้ๅใฎ็นๆงใใฏใใซใฎๅธๅ ๏ผ
๏ผ
Edmonds (1970)
๐ฅ๐ฅ(๐ฃ๐ฃ) โฅ 0 (๐ฃ๐ฃ โ ๐๐)
๏ฟฝ๐ฃ๐ฃโ๐๐
๐ฅ๐ฅ(๐ฃ๐ฃ) โค ๐๐(๐๐) (๐๐ โ ๐๐)
ใฉใณใฏ้ขๆฐ
Remarks โ ใฏ็ฐกๅ๏ผโ ใ้่ชๆ๏ผ ไธ็ญๅผใฏๆๆฐๅใใ ไธ็ญๅผ็ณปใฏ๏ผๅฎๅ จๅๅฏพๆดๆฐๆงใๆใค
๐๐ ๐๐ โ max{ ๐ผ๐ผ โถ ๐ผ๐ผ โ ๐๐, ๐ผ๐ผ โ โฑ}
25
top related