Álgebra linear revisão de alguns conceitos básicos

Álgebra Linear

Revisão De Alguns Conceitos Básicos

2

Conceitos

• Escalar • Vector• Matriz

– Igualdade de matrizes

– Matriz transposta

– Matriz quadrada

– Matriz diagonal

– Matriz escalar

– Matriz identidade

– Matriz simétrica

– Matriz nula

– Submatriz

3

Conceitos: Vector e Escalar

• Sempre que temos um conjunto E e um corpo K tal que:

– Está definida uma adição em E que goza das propriedades associativa, comutativa, existência de um só elemento neutro (0) e um só elemento simétrico.

– Está definida uma multiplicação de K por E que goza das propriedades de distribuição relativamente às adições de E e K, associatividade e elemento neutro (I).

Temos que E é um espaço vectorial relativo ao corpo K, os elementos de E designam-se por vectores e os de K por escalares.

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Exemplificação

• Vectores

• Escalar – kn

n

2

1

n

2

1

u

u

u

U;

v

v

v

V

(V+U)+T = V+(U+T)

V+U = U + V

V + 0 = V

V + (-V) = 0

k1(V+U)= k1 V+ k1 U

(k1+ k2)V= k1 V+ k2 V

k1 (k2 U)=(k1 k2 )U

1.V=V

5

Matrizes

– Igualdade de matrizes

– Matriz transposta

– Matriz quadrada

– Matriz diagonal

– Matriz escalar

– Matriz identidade

– Matriz simétrica

– Matriz nula

– Submatriz

ij2i1i

j22221

j11211

aaa

aaa

aaa

A

6

Matrizes

– Igualdade de matrizes

– Matriz transposta

– Matriz quadrada

– Matriz diagonal

– Matriz escalar

– Matriz identidade

– Matriz simétrica

– Matriz nula

– Submatriz

ij2i1i

j22221

j11211

aaa

aaa

aaa

A

ij2i1i

j22221

j11211

bbb

bbb

bbb

B

j...,3,2,1n

i...,3,2,1m

mnmn ;ba BA

7

ijj2j1

2i2212

1i2111

T

aaa

aaa

aaa

'AA

Matrizes

– Igualdade de matrizes

– Matriz transposta

– Matriz quadrada

– Matriz diagonal

– Matriz escalar

– Matriz identidade

– Matriz simétrica

– Matriz nula

– Submatriz

ij2i1i

j22221

j11211

aaa

aaa

aaa

A

8

Matrizes

– Igualdade de matrizes

– Matriz transposta

– Matriz quadrada

– Matriz diagonal

– Matriz escalar

– Matriz identidade

– Matriz simétrica

– Matriz nula

– Submatriz

ij2i1i

j22221

j11211

aaa

aaa

aaa

A

ji se só e Se

9

Matrizes

– Igualdade de matrizes

– Matriz transposta

– Matriz quadrada

– Matriz diagonal

– Matriz escalar

– Matriz identidade

– Matriz simétrica

– Matriz nula

– Submatriz

nn

22

11

a00

0a0

00a

A

10

Matrizes

– Igualdade de matrizes

– Matriz transposta

– Matriz quadrada

– Matriz diagonal

– Matriz escalar

– Matriz identidade

– Matriz simétrica

– Matriz nula

– Submatriz

a,

a00

0a0

00a

E

11

Matrizes

– Igualdade de matrizes

– Matriz transposta

– Matriz quadrada

– Matriz diagonal

– Matriz escalar

– Matriz identidade

– Matriz simétrica

– Matriz nula

– Submatriz

100

010

001

I

12

Matrizes

– Igualdade de matrizes

– Matriz transposta

– Matriz quadrada

– Matriz diagonal

– Matriz escalar

– Matriz identidade

– Matriz simétrica

– Matriz nula

– Submatriz

jiij

nn2n1n

n22221

n11211

aa se,

aaa

aaa

aaa

A

13

Matrizes

– Igualdade de matrizes

– Matriz transposta

– Matriz quadrada

– Matriz diagonal

– Matriz escalar

– Matriz identidade

– Matriz simétrica

– Matriz nula

– Submatriz

000

000

000

N

14

Matrizes

– Igualdade de matrizes

– Matriz transposta

– Matriz quadrada

– Matriz diagonal

– Matriz escalar

– Matriz identidade

– Matriz simétrica

– Matriz nula

– Submatriz

ij2i1i

j22221

j11211

aaa

aaa

aaa

A

15

ijij2i2i1i1i

j2j222222121

j1j112121111

ij2i1i

j22221

j11211

ij2i1i

j22221

j11211

bababa

bababa

bababa

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

Adição de Matrizes

16

ij2i1i

j22221

j11211

ij2i1i

j22221

j11211

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

Multiplicação de Matrizes por um escalar

17

mj2nmn222m121m

1nn121121111

njnj2n1n

j22221

j11211

mnmn2m1m

n22221

n11211

...ba...baba...

......

......ba...baba

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

Multiplicação de Matrizes

18

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

A

Traço de uma matriz

nn332211 a...aaa)A(tr

19

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Determinante de uma MatrizExemplo para uma matriz 3x3

322333223332

2322

3231

222113

3331

232112

3332

232211

333231

232221

131211

aaaaaa

aa

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

)A(Det

20

232221

131211

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

Determinante de uma Matriz3x3Regra de Sarrus

211233113223312213

231231233221332211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

)A(Det

21

Inversa de uma matrizIAAAA 11

nn2n1n

n22221

n11211

1221

jiij

1

aaa

aaa

aaa

)1(A exemplo,por que, em

A

Ab genérico elemento,

A

A adjA

A matriz adjunta de A – Adj A – é a transposta da matriz que resulta da substituição de cada elemento pelo seu complemento algébrico.

22

•Combinação linear de vectores

•(In)dependência linear de vectores

•Característica de uma matriz - Rank(A)

23

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

n21

x

x

x

aaa

aaa

aaa

xxxAx'x

Formas quadráticas

negativa definida-semi éA então 0Ax'x Se

negativa definida éA então 0Ax'x Se

positiva definida-semi éA então 0Ax'x Se

positiva definida éA então 0Ax'x Se

24

Matriz definida positiva-negativa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

...

...

Definida positiva

Definida negativa

25

Regras de Diferenciação de Matrizes

'A'xz

y

A'zx

y Ax'zy

Adx

dy Axy

db

dz'A'x

db

dxA'z

db

dy

:então b de

funções x e zAx z'y

A2x' simétrica éA se

)'AA('xdx

dy Ax'xy