algebra lineal, 8va edición bernard kolman & david r. hill

• 1. Bernard Kolman David R. HillLGEBRA LINEALOctava edicin

2. LGEBRA LINEAL 3. LGEBRA LINEALOCTAVA EDICINBernard KolmanDrexel UniversityDavid R. HillTemple UniversityAlfonso Bustamante AriasJefe del Departamento de Matemticas y EstadsticaUniversidad ICESI, Cali, ColombiaCarlos Hernndez GarciadiegoInstituto de MatemticasUniversidad Nacional Autnoma de MxicoJaime Kiwa KristalDepartamento de Ciencias BsicasInstituto Tecnolgico de Ciudad JurezGustavo Preciado RosasDepartamento de MatemticasInstituto Tecnolgico Autnomo de MxicoFabio Molina FocazzioPontificia Universidad Javeriana,Bogot, ColombiaTRADUCCIN:Victor Hugo Ibarra MercadoEscuela de Actuara-Universidad AnhuacESFM-IPNREVISIN TCNICA:MXICO ARGENTINA BRASIL COLOMBIA COSTA RICA CHILE ECUADORESPAA GUATEMALA PANAM PER PUERTO RICO URUGUAY VENEZUELAEddy Herrera DazaPontificia Universidad Javeriana,Bogot, ColombiaOscar Andrs Montao CarreoPontificia Universidad JaverianaCali, ColombiaJorge Ivn CastaoUniversidad EAFITMedelln, ColombiaConrado Josu SallerUniversidad Tecnolgica NacionalBuenos Aires, Argentina 4. Authorized translation from the English language edition, entitled Introductory linear algebra: an applied first course 8thed., by Bernard Kolman andDavid R. Hill, published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright 2005. All rights reserved.ISBN 0-13-143740-2Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Introductory linear algebra: an applied first course 8aed., de Bernard Kolman yDavid R. Hill, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE HALL, INC., Copyright 2005. Todos los derechos reservados.Esta edicin en espaol es la nica autorizada.Edicin en espaolEditor: Enrique Quintanar Duartee-mail: enrique.quintanar@pearsoned.comEditor de desarrollo: Esthela Gonzlez GuerreroSupervisor de produccin: Enrique Trejo HernndezEdicin en ingls:KOLMAN, BERNARD; HILL, DAVID R.lgebra linealPEARSON EDUCACIN, Mxico, 2006ISBN: 970-26-0696-9rea: UniversitariosFormato: 20 25.5 cm Pginas 760Executive Acquisitions Editor: George LobellEditor-in-Chief: Sally YaganProduction Editor: Jeanne AudinoAssistant Managing Editor: Bayani Mendoza de LeonSenior Managing Editor: Linda Mihatov BehrensExecutive Managing Editor: Kathleen SchiaparelliVice President/Director of Production and Manufacturing: David W.RiccardiAssistant Manufacturing Manager/Buyer: Michael BellManufacturing Manager: Trudy PisciottiMarketing Manager: Halee DinseyMarketing Assistant: Rachel BeckmanArt Drector: Kenny BeckInterior Designer/Cover Designer: Kristine CarneyArt Director: Thomas BenfattiCreative Director: Carole AnsonDirector of Creative Services: Paul BelfantiCover Image: Wassily Kandinsky, Farbstudien mit Angaben zurMaltechnik, 1913,Stdische Galerie im Lenbachhaus, MunichCover Image Specialist: Karen SanatarArt Studio Laserwords Private LimitedComposition; Dennis KletzingOCTAVA EDICIN, 2006D.R. 2006 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.Atlacomulco nm. 5005 pisoCol. Industrial Atoto53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de MxicoCmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. Nm. 1031.Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema derecuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico,por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editoro de sus representantes.ISBN 970-26-0696-9Impreso en Mxico. Printed in Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 08 07 06 5. A la memoria de Lillie;para Lisa y StephenB. K.Para SuzanneD. R. H. 6. Prefacio xiAl estudiante xix1 Ecuaciones lineales y matrices 11.1 Sistemas lineales 11.2 Matrices 101.3 Producto punto y multiplicacin de matrices 211.4 Propiedades de las operaciones con matrices 391.5 Transformaciones matriciales 521.6 Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales 621.7 La inversa de una matriz 911.8 Factorizacin LU (opcional) 1072 Aplicaciones de ecuaciones linealesy matrices (opcional) 1192.1 Introduccin a la teora de cdigos 1192.2 Teora de grficas 1252.3 Creacin de grficos por computadora 1352.4 Circuitos elctricos 1442.5 Cadenas de Markov 1492.6 Modelos econmicos lineales 1592.7 Introduccin a wavelets (ondeletas u onditas) 1663 Determinantes 1823.1 Definicin y propiedades 1823.2 Desarrollo por cofactores y aplicaciones 1963.3 Determinantes desde un punto de vista computacional 2104 Vectores en Rn2144.1 Vectores en el plano 2144.2 n-vectores 2294.3 Transformaciones lineales 247viiCONTENIDO 7. 5 Aplicaciones de vectoresen R2y R3(opcional) 2595.1 Producto cruz en R32595.2 Rectas y planos 2646 Espacios vectoriales reales 2726.1 Espacios vectoriales 2726.2 Subespacios 2796.3 Independencia lineal 2916.4 Bases y dimensin 3036.5 Sistemas homogneos 3176.6 El rango de una matriz y sus aplicaciones 3286.7 Coordenadas y cambio de base 3406.8 Bases ortonormales en Rn3526.9 Complementos ortogonales 3607 Aplicaciones de espacios vectorialesreales (opcional) 3757.1 Factorizacin QR 3757.2 Mnimos cuadrados 3787.3 Algo ms sobre codificacin 3908 Valores propios, vectores propiosy diagonalizacin 4088.1 Valores propios y vectores propios 4088.2 Diagonalizacin 4228.3 Diagonalizacin de matrices simtricas 4339 Aplicaciones de valores propiosy vectores propios (opcional) 4479.1 La sucesin de Fibonacci 4479.2 Ecuaciones diferenciales 4519.3 Sistemas dinmicos 4619.4 Formas cuadrticas 4759.5 Secciones cnicas 4849.6 Superficies cudricas 49110 Transformaciones lineales y matrices 50210.1 Definiciones y ejemplos 50210.2 El ncleo y la imagen de una transformacin lineal 50810.3 La matriz de una transformacin lineal 52110.4 Introduccin a fractales (opcional) 536viii Contenido 8. 11 Programacin lineal (opcional) 55811.1 El problema de la programacin lineal; solucin geomtrica 55811.2 El mtodo smplex 57511.3 Dualidad 59111.4 Teora de juegos 59812 MATLAB para lgebra lineal 61512.1 Entrada y salida en MATLAB 61612.2 Operaciones matriciales con MATLAB 62012.3 Potencias de matrices y algunas matrices especiales 62312.4 Operaciones elementales por fila con MATLAB 62512.5 Inversas de matrices en MATLAB 63412.6 Vectores en MATLAB 63512.7 Aplicaciones de las combinaciones lineales en MATLAB 63712.8 Transformaciones lineales en MATLAB 64012.9 Resumen de comandos de MATLAB 643APNDICE A Nmero complejos A1A-1 Nmero complejos A1A-2 Nmeros complejos en lgebra lineal A9APNDICE B Instruccin adicional A19B-1 Espacios con producto interno (requiere conocimientos de clculo) A19B-2 Transformaciones lineales invertibles y compuestas A30Glosario para lgebra lineal A39Respuestas A45ndice I1Contenido ix 9. xiPREFACIOMaterial incluidoEste libro presenta una introduccin al lgebra lineal y a algunas de sus aplicacionesimportantes. Est pensado para alumnos de nivel medio y avanzado, y cubre msmaterial del que se requerira para impartir un curso semestral o trimestral. Omitiendoalgunas secciones, es posible:abarcar en un semestre o en un trimestre los elementosesenciales del lgebra lineal (incluyendo los valores y vectores propios), ensear cmoutilizar la computadora en problemas de lgebra lineal, y dedicar algn tiempo a variasaplicaciones relacionadas con el tema. Si se toma en cuenta que existe gran cantidad deaplicaciones de lgebra lineal en disciplinas como matemticas, fsica, biologa, qumi-ca, ingeniera, estadstica, economa, finanzas, psicologa y sociologa, no resulta exa-gerado afirmar que esta materia es una de las que ms impacto tendr en la vida de losestudiantes. Por otro lado, el contenido de esta obra puede utilizarse tambin en un cur-so de lgebra lineal con duracin de un ao, o para impartir un segundo curso del temacon hincapi en las aplicaciones. Al final del prefacio proponemos cierto ritmo para es-tudiar el material bsico. El nivel y el ritmo del curso se pueden modificar fcilmente,variando el tiempo que se invierta en el material terico y en las aplicaciones. Contarcon conocimientos de clculo diferencial e integral no es un requisito; sin embargo,se incluyen varios ejemplos y ejercicios en que se utilizan ciertos aspectos bsicos declculo, a los que aadimos la nota Requiere conocimientos de clculo.En el texto se subrayan los aspectos computacionales y geomtricos de la materia,manteniendo la abstraccin en un nivel mnimo. De acuerdo con lo anterior, en ocasio-nes omitiremos las demostraciones de algunos teoremas, difciles o poco provechosas,a la vez que ampliaremos su ilustracin mediante ejemplos. Las demostraciones tienenel nivel adecuado para el estudiante. Tambin hemos centrado nuestra atencin en lasreas esenciales del lgebra lineal; el libro no pretende describir la materia en formaexhaustiva.Novedades en la octava edicinNos complace mucho la amplia aceptacin que han tenido las primeras siete edicionesde esta obra. El xito alcanzado por el movimiento para la reforma del clculo realiza-do en Estados Unidos durante los ltimos aos, dio lugar a que se hayan comenzado agestar ideas para mejorar la enseanza del lgebra lineal. El grupo de estudio del pro-grama de lgebra lineal y otros de carcter similar han hecho varias recomendacionesen este sentido. Al preparar esta edicin, las hemos tomado en cuenta, as como las su-gerencias de profesores y estudiantes. Aunque realizamos muchos cambios en esta edi-cin, nuestro objetivo sigue siendo el mismo que en las anteriores:desarrollar un libro de texto que ayude al maestro a ensear y al estu-diante a aprender las ideas bsicas del lgebra lineal, as como a com-prender algunas de sus aplicaciones.Para lograrlo, esta edicin incluye las caractersticas siguientes: 10. Se agregaron estas nuevas secciones: Seccin 1.5, Transformaciones matriciales: introduce, desde muy temprano, algu-nas aplicaciones geomtricas. Seccin 2.1, Introduccin a la teora de cdigos: junto con un material de apoyosobre matrices binarias que se presenta a lo largo de los primeros seis captulos,esta nueva seccin proporciona una introduccin a los conceptos bsicos de la teo-ra de cdigos. Seccin 7.3, Algo ms sobre codificacin: desarrolla algunos cdigos sencillos ysus propiedades bsicas relacionadas con el lgebra lineal. Se agreg ms material geomtrico. Tambin se aadieron ejercicios nuevos a todos los niveles. Algunos de ellos corres-ponden al tipo de respuesta abierta lo que permite explorar con ms amplitud untema y realizar nuevos hallazgos, mientras que otros son de desarrollo. Se agregaron ms ilustraciones. Se actualizaron los archivos M de MATLAB a versiones ms recientes. Al final de cada seccin se agreg un listado de trminos clave, lo que refleja nues-tro inters en desarrollar an ms las habilidades de comunicacin. En las preguntas de falso/verdadero se pide al estudiante que justifique su respuesta,lo que da una oportunidad adicional para exploracin y redaccin. Al repaso acumulativo de los primeros diez captulos se agregaron 25 preguntas defalso/verdadero. Adems se aadi un glosario, caracterstica totalmente nueva en esta edicin.EjerciciosLos ejercicios se agrupan en tres clases. Los de la primera, Ejercicios, son de rutina. Enla segunda, Ejercicios tericos, incluimos los que cubren las lagunas de algunas demos-traciones y amplan el material tratado en el texto. Algunos de ellos piden una solucinoral. En esta era de la tecnologa, es particularmente importante escribir con cuidado yprecisin, y estos ejercicios ayudarn al estudiante a mejorar esta habilidad, adems deelevar el nivel del curso y plantear retos a los alumnos ms dotados y con ms inters.La tercera clase, Ejercicios con MATLAB (ML) consta de ejercicios preparados por Da-vid R. Hill para resolverse con ayuda de MATLAB o de algn otro paquete de softwarematemtico.Las respuestas a los ejercicios numricos impares y los ejercicios ML aparecen alfinal del libro. Al trmino del captulo 10 se da un repaso acumulativo del material b-sico de lgebra lineal presentado hasta all, el cual consiste en 100 preguntas de falso/verdadero (las respuestas se dan al final del texto).PresentacinLa experiencia nos ha enseado que los conceptos abstractos deben presentarse de ma-nera gradual y basarse en fundamentos firmes. Por lo tanto, comenzamos el estudio dellgebra lineal con el tratamiento de las matrices como simples arreglos de nmeros quesurgen de manera natural en la solucin de sistemas de ecuaciones lineales, un problemafamiliar para el estudiante. En cada nueva edicin nos hemos preocupado por perfec-cionar los aspectos pedaggicos de la exposicin. Las ideas abstractas se han equilibradocuidadosamente, y acentan los aspectos geomtricos y de clculo de la materia.xii Prefacio 11. TemarioEl captulo 1 aborda las matrices y sus propiedades. La seccin 1.5 Transformacionesmatriciales, nueva en esta edicin, proporciona una introduccin a este importantetema. Este captulo consiste en dos partes: en la primera se analizan las matrices y lossistemas lineales; en la segunda se comentan las soluciones de sistemas lineales. El ca-ptulo 2, cuyo estudio es opcional, est dedicado al anlisis de aplicaciones de ecuacio-nes lineales y matrices en reas como la teora de cdigos, la creacin de grficos porcomputadora, la teora de grficas, los circuitos elctricos, las cadenas de Markov, losmodelos lineales en economa, y las wavelets. En la seccin 2.1, Introduccin a la teo-ra de cdigos tambin nueva en esta edicin, se desarrollan los fundamentos pa-ra introducir un poco de material de la teora de cdigos. Para mantener la discusin deestos temas en un nivel elemental, ha sido necesario abundar en detalles tcnicos. El ca-ptulo 3 presenta brevemente las propiedades bsicas de las determinantes. El captulo 4plantea el tema de los vectores en Rn, adems de explicar los vectores en el plano yofrecer una introduccin a las transformaciones lineales. El captulo 5, cuya lectura esopcional, proporciona una oportunidad de explorar algunos de los muchos conceptosgeomtricos relacionados con vectores en R2y R3; por conveniencia, limitamos nuestraatencin a las reas de producto cruz en R3, y rectas y planos.En el captulo 6 llegamos a un concepto ms abstracto, el de espacio vectorial. Laabstraccin en este captulo se maneja con ms sencillez una vez que se ha cubierto elmaterial sobre vectores en Rn. El captulo 7 (opcional) presenta tres aplicaciones de es-pacios vectoriales reales: la factorizacin QR, mnimos cuadrados y, en la seccin 7.3,Algo ms sobre codificacin nueva en esta edicin, una introduccin a algunos c-digos sencillos. El captulo 8, que versa sobre valores propios (eigenvalores) y vectorespropios (eigenvectores), constituye el punto culminante del curso, y ahora se presentaen tres secciones para facilitar la enseanza; en este captulo se desarrolla cuidadosa-mente la diagonalizacin de matrices simtricas.El captulo 9, de estudio opcional, aborda diversas aplicaciones de valores y vecto-res propios. stas incluyen sucesiones de Fibonacci, ecuaciones diferenciales, sistemasdinmicos, formas cuadrticas, secciones cnicas y superficies cudricas. El captulo 10cubre las transformaciones lineales y matrices. La seccin 10.4 (opcional), Introduc-cin a fractales, analiza una aplicacin de ciertas transformaciones no lineales. El ca-ptulo 11 (opcional) se ocupa de la programacin lineal, una importante aplicacin dellgebra lineal. La seccin 11.4 presenta las ideas bsicas de la teora de juegos. El ca-ptulo 12 proporciona una breve introduccin a MATLAB (abreviatura de MATRIX LA-BORATORY), un paquete de software muy til para realizar clculos de lgebra linealen computadora (vea la descripcin ms adelante).El apndice A presenta de manera breve pero completa los nmeros complejos ysu uso en lgebra lineal. El apndice B toca otros dos temas avanzados del lgebra li-neal: los espacios con producto interno, la composicin de transformaciones lineales ylas transformaciones lineales invertibles.AplicacionesCasi todas las aplicaciones son completamente independientes; pueden abordarse des-pus de terminar todo el material introductorio de lgebra lineal en el curso, o bienestudiarse tan pronto como se termine de desarrollar el material necesario para una apli-cacin en particular. En el caso de la mayora de las aplicaciones se da una Vista pre-liminar de una aplicacin en lugares adecuados de libro, cuyo propsito es indicarcmo proporcionar una aplicacin inmediata del material que se acaba de estudiar. Eldiagrama que aparece al final de este prefacio proporciona los requisitos de cada una delas aplicaciones, y la Vista preliminar de una aplicacin ser til para decidir cul apli-cacin estudiar y cundo hacerlo.Prefacio xiii 12. Algunas de las secciones en los captulos 2, 5, 7, 9 y 11 tambin pueden utilizarsecomo proyectos independientes para los estudiantes. La experiencia en el aula a partirde este enfoque ha demostrado una reaccin favorable de los estudiantes. Por lo tanto,el profesor puede ser muy selectivo, tanto en la eleccin del material como en el mto-do de estudio de estas aplicaciones.Material al final de los captuloCada captulo contiene un resumen de Ideas clave para el repaso, un conjunto de ejer-cicios complementarios (las respuestas de todos los ejercicios impares aparecen al finaldel libro), y un examen del captulo (todas las respuestas aparecen al final del libro).Software MATLABAunque los ejercicios ML pueden resolverse usando diferentes paquetes de software, anuestro juicio MATLAB es el ms apropiado para este propsito. MATLAB es un paquetede software verstil y poderoso, cuya piedra angular son sus capacidades para lgebralineal. MATLAB incorpora rutinas de clculo de calidad profesional, muy tiles en lge-bra lineal. El cdigo de programacin de MATLAB est escrito en lenguaje C, y ha idomejorando en cada nueva versin del software. MATLAB est disponible de The MathWorks, Inc., 24 Prime Park Way, Natick, MA 01760, [(508) 653-1415], direccin de co-rreo electrnico: info@mathworks.com; este libro no incluye el programa ni las ru-tinas de comandos desarrolladas para la resolucin de los ejercicios ML. La versin deMATLAB para el estudiante incluye tambin una versin de Maple, proporcionado asuna capacidad de clculo simblico.El captulo 12 de esta edicin incluye una breve introduccin a las capacidades deMATLAB para resolver problemas de lgebra lineal. Aunque MATLAB permite la creacinde programas para implementar muchos algoritmos matemticos, es preciso aclarar queen este libro no se pide al lector que escriba programas, sino simplemente que use MATLAB(o algn otro paquete de software comparable) para resolver problemas numricos es-pecficos. Aproximadamente 24 archivos (M) han sido desarrollados para que el alumnolos utilice con los ejercicios ML en este libro; el material correspondiente est disponi-ble en el sitio Web de Prentice Hall, www.pearsoneducacion.net/kolman. Estosarchivos M estn diseados para transformar muchas de las capacidades de MATLAB enfuncin de las necesidades del curso. Esto proporciona una herramienta pedaggica quepermite al estudiante razonar los pasos para la resolucin de un problema, dejando aMATLAB la responsabilidad de realizar clculos que, por su complejidad, podran resul-tar tediosos. Sin duda, ste es el papel ideal de MATLAB (o de cualquier otro paquete desoftware) al iniciar un curso de lgebra lineal. Por otra parte, la introduccin a una po-tente herramienta como MATLAB al inicio de la carrera universitaria, abre el camino aotros tipos de software que sern de gran ayuda para el estudiante en cursos posterio-res, especialmente en ciencias e ingenieras.Material complementarioManual de soluciones para el profesor (0-13-143742-9). Contiene las respuestas a to-dos los ejercicios de nmero par, y soluciones a todos los ejercicios tericos est dispo-nible en ingls (slo para el profesor) solictelo al representante de Pearson Educacin.xiv Prefacio 13. Lecturas obligatorias para comprender las aplicacionesSeccin 2.1 Material sobre bits en el captulo 1Seccin 2.2 Seccin 1.4Seccin 2.3 Seccin 1.5Seccin 2.4 Seccin 1.6Seccin 2.5 Seccin 1.6Seccin 2.6 Seccin 1.7Seccin 2.7 Seccin 1.7Seccin 5.1 Seccin 4.1 y Captulo 3Seccin 5.2 Secciones 4.1 y 5.1Seccin 7.1 Seccin 6.8Seccin 7.2 Secciones 1.6, 1.7, 4.2, 6.9Seccin 7.3 Seccin 2.1Seccin 9.1 Seccin 8.2Seccin 9.2 Seccin 8.2Seccin 9.3 Seccin 9.2Seccin 9.4 Seccin 8.3Seccin 9.5 Seccin 9.4Seccin 9.6 Seccin 9.5Seccin 10.4 Seccin 8.2Secciones 11.1-11.3 Seccin 1.6Seccin 11.4 Secciones 11.1 11.3A los usuarios de las ediciones anteriores:Durante los 29 aos de vida de las siete ediciones anteriores de esta obra, el libro seha utilizado principalmente para el curso de lgebra lineal de segundo ao de licen-ciatura. Este curso cubri lo bsico de lgebra lineal y utiliz el tiempo extra dispo-nible para el estudio de aplicaciones seleccionadas del tema. En esta nueva edicinno hemos cambiado el fundamento estructural para la enseanza del material esen-cial de lgebra lineal. Por lo tanto, este material puede ensearse exactamente dela misma manera que antes. La ubicacin de las aplicaciones, con mayor cohesiny unificada con propsitos pedaggicamente estratgicos, junto con nuevas aplica-ciones y otros materiales, facilitar sin duda la imparticin de un curso ms rico yms variado.Prefacio xv 14. AgradecimientosNos complace expresar nuestro agradecimiento a las siguientes personas, que revisaronexhaustivamente el manuscrito de la primera edicin: William Arendt, University ofMissouri, y David Shedler, Virginia Commonwealth University. En la segunda edicin:Gerald E. Bergum, South Dakota State University; Jame O. Brooks, Villanova Univer-sity; Frank R. DeMeyer, Colorado State University; Joseph Malkevitch, York Collegede la City University de New York; Harry W. McLaughlin, Rensselaer Polytechnic Ins-titute; y Lynn Arthur Steen, St. Olafs College. De la tercera edicin: Jerry Goldman,DePaul University; David R. Hill, Temple University; Allan Krall, The PennsylvaniaState University en University Park; Stanley Lukawecki, Clemson University; DavidRoyster, The University of North Carolina; Sandra Welch, Stephen F. Austin State Uni-versity; y Paul Zweir, Calvin College.De la cuarta edicin: William G. Vick, Broome Community College; Carrol G.Wells, Western Kentucky University; Andre L. Yandl, Seattle University; y LanceL. Littlejohn, Utah State University. De la quinta edicin: Paul Been, Indiana Univer-sity-South Bend; John Broughton, Indiana University of Pennsylvania; Michael Ge-rahty, University of Iowa; Philippe Loustaunau, George Mason University; WayneMcDaniels, University of Missouri; y Larry Runyan, Shoreline Community College.De la sexta edicin: Daniel D. Anderson, University of Iowa; Jrgen Gerlach, Rad-ford University; W. L. Golik, University of Missouri en St. Louis; Charles Heuer, Con-cordia College; Matt Insall, University of Missouri en Rolla; Irwin Pressman, CarletonUniversity; y James Snodgrass, Xavier University. De la sptima edicin: Ali A. Dad-del, University of California-Davis; Herman E. Gollwitzer, Drexel University; JohnGoulet, Worcester Polytechnic Institute; J. D. Key, Clemson University; John Mitchell,Rensselaer Polytechnic Institute; y Karen Schroeder, Bentley College.De la octava edicin: Juergen Gerlach; Radford University; Lanita Presson, Uni-versity of Alabama, Huntsville; Tomaz Pisanski, Colgate University; Mike Daven,Mount Saint Mary College; David Goldberg, Purdue University; y Aimee J. Ellington,Virginia Commonwealth University.Agradecemos tambin a Vera Pless, de la University de Illinois en Chicago, por surevisin crtica del material acerca de teora de cdigos.Tambin queremos dar las gracias a las siguientes personas, por la ayuda que brin-daron en ciertas partes del manuscrito: Thomas I. Bartlow, Robert E. Beck y MichaelL. Levitan, de Villanova University; Robert C. Busby, Robin Clark, el finado CharlesS. Duris, Herman E. Gollwitzer, Miltin Schwartz y el finado John H. Staib, de DrexelUniversity; Avi Vardi, Seymour Lipschutz, Temple University; Oded Kariv, Technion,Israel Institute of Technology; William F. Trench, Trinity University; y Alex Stanoye-vitch, University of Hawaii; y nuestro agradecimiento, asimismo, a todos los maestrosy estudiantes de Estados Unidos y de otros pases, que han compartido con nosotros susexperiencias con el libro y nos han ofrecido tiles sugerencias.Las diversas sugerencias, los comentarios y las crticas de estas personas han me-jorado mucho la obra. Para todos, una sincera expresin de gratitud.Agradecemos tambin a Dennis R. Kletzing, de la Stetson University, quien reali-z la tipografa de todo el original del Manual de soluciones para el estudiante y delManual de respuestas. Dennis encontr varios errores y obr milagros en muy pocotiempo. Fue un placer trabajar con l.Nuestra gratitud a Dennis Kletzing, de la Stetson University, y a Nina Edelman yKathy OHara, de la Temple University, por preparar el Manual de soluciones para elestudiante.Tambin debemos agradecer a Nina Edelman, Temple University, quien junto conLilian Brady, hicieron una lectura crtica de las galeras, y a Blaise deSesa por su ayudaen la edicin y la verificacin de las soluciones a los ejercicios.xvi Prefacio 15. Por ltimo, una sincera expresin de agradecimiento a Jeanne Audino, editora deproduccin, quien con paciencia y experiencia gui este libro desde su concepcin has-ta su publicacin; a George Lobell, editor ejecutivo, y a todo el equipo de Prentice Hallpor su entusiasmo, inters y cooperacin constantes durante las etapas de concepcin,diseo, produccin y mercadeo de esta edicin.Bernard Kolmanbkolman@mcs.drexel.eduDavid R. Hillhill@math.temple.eduPrefacio xvii 16. AL ESTUDIANTEEs muy probable que este curso sea muy diferente a cualquier otro de matemticas quehaya estudiado hasta ahora, por lo menos en dos sentidos importantes. Primero, esposible que constituya su primera experiencia en materia de abstraccin; en segundolugar, es un curso de matemticas que puede tener gran impacto en su vocacin profe-sional.A diferencia de otros cursos de matemticas, ste no le dar una serie de tcnicasaisladas de clculo para resolver ciertos tipos de problemas. En lugar de ello, desarro-llaremos un ncleo de material, denominado lgebra lineal, introduciendo ciertas defi-niciones y creando procedimientos para la determinacin de propiedades y la demos-tracin de teoremas. Esta ltima es una habilidad que toma tiempo dominar, por lo queal principio slo esperamos que lea y entienda las comprobaciones que se incluyen en ellibro; conforme avance en el curso, sin embargo, ser capaz de realizar algunas demos-traciones sencillas por su propia cuenta. Poco a poco lo introduciremos a la abstraccin,aunque manteniendo la exigencia a este respecto en el mnimo, e ilustrando ampliamen-te cada idea abstracta con ejemplos numricos y aplicaciones. Si bien har muchosclculos, el objetivo de casi todos los problemas no es solamente obtener la respuestacorrecta, sino que entienda y explique cmo obtener la respuesta e interpretar el re-sultado.El lgebra lineal se utiliza diariamente para resolver problemas en otras reas dematemticas, fsica, biologa, ingeniera, estadstica, economa, finanzas, psicologa ysociologa. Entre las aplicaciones que utilizan lgebra lineal estn la transmisin de in-formacin, el desarrollo de efectos especiales en pelculas y vdeo, la grabacin de so-nido, el desarrollo de motores (o mquinas) de bsqueda en Internet, y el anlisiseconmico. Como podr ver, el lgebra lineal nos afecta profundamente. En este librose incluyen aplicaciones seleccionadas y, si hay tiempo suficiente, algunas de ellas po-drn abordarse con ms amplitud a lo largo del curso. Adems, muchas de las aplica-ciones pueden usarse como proyectos de estudio autodidacta.Hay tres tipos de ejercicios en esta obra: primero, los ejercicios computacionales.Estos ejercicios, as como sus nmeros han sido cuidadosamente seleccionados de ma-nera de casi todos ellos pueden realizarse fcilmente a mano. Cuando se le pida que uti-lice lgebra lineal en aplicaciones reales, encontrar que el tamao de los problemas esmucho ms grande, y que los nmeros involucrados no siempre son sencillos. ste noes un impedimento, ya que es casi seguro que emplee algn tipo de software para resol-verlos. Una muestra de este tipo de programas se provee para el tercer tipo de ejercicios,diseados para resolverse por medio de una computadora y MATLAB, una poderosaherramienta de software que tiene como base las matrices y que se utiliza ampliamenteen la industria. La segunda categora est compuesta por ejercicios tericos. En algunosxix 17. de stos es probable que se le pida demostrar un resultado o analizar una idea. La ca-pacidad de obtener una respuesta no siempre es suficiente en el mundo actual; muchasveces se le pedir que prepare un informe en donde se analice la solucin y se justifi-quen los pasos que le llevaron a ella, as como interpretar los resultados.Estos tipos de ejercicios le darn experiencia en la redaccin de textos relaciona-dos con las matemticas; esta disciplina utiliza palabras, no slo smbolos.Recomendaciones para aprender lgebra lineal Lea el libro lentamente, y tenga lpiz y papel a mano. Quiz tenga que leer unaseccin en particular ms de una vez. Detngase a verificar los pasos marcadoscon verifique en el texto. Asegrese de realizar su tarea de manera oportuna. Si espera hasta que los proble-mas le sean explicados en clase, no aprender a resolverlos por usted mismo. Auncuando no pueda terminar un problema, intntelo: de esta manera le ser ms fcilcomprenderlo cuando se le analice en clase. Tal vez le sea til trabajar con otrosestudiantes el material cubierto en clase y algunos problemas de tarea. Asegrese de preguntar tan pronto como algo no le quede claro. Cuando se cons-truye una casa, lo primero que se coloca son los cimientos; el estudio del lgebralineal sigue el mismo principio: en este curso cada idea abstracta tiene como ba-se una serie de conceptos desarrollados previamente. Si alguno de tales conceptosle resulta confuso o sencillamente incomprensible, sus conocimientos sern insu-ficientes para entender las ideas subsecuentes. Haga uso de los recursos pedaggicos que proporciona este libro. Al final de ca-da seccin se presenta una lista de trminos clave; al final de cada captulo se ofre-ce una lista de ideas clave para repasar, ejercicios complementarios y un examendel captulo. Al final de los primeros diez captulos (que completan el ncleo delmaterial de lgebra lineal de que se compone el curso) se hace un repaso que con-siste en 100 preguntas de falso/verdadero, en las que le pedimos que justifique surespuesta. Por ltimo, al final del libro aparece un glosario de trminos relaciona-dos con el lgebra lineal.Estamos seguros de que su esfuerzo por aprender lgebra lineal se ver ampliamente re-compensado en otros cursos y a lo largo de su carrera profesional.Le deseamos mucho xito en su estudio del lgebra lineal.xx Al estudiante 18. LGEBRA LINEAL 19. 1.1 SISTEMAS LINEALESUna gran cantidad de los problemas que se presentan en las ciencias naturales y socia-les, as como en ingeniera y en ciencias fsicas, tienen que ver con ecuaciones que re-lacionan a dos conjuntos de variables. Una ecuacin del tipoax = b,que expresa la variable b en trminos de la variable x y la constante a, se denominaecuacin lineal. Aqu se utiliza la palabra lineal porque la grfica de la ecuacin ante-rior es una lnea recta. De manera anloga, la ecuacina1x1 + a2x2 + + anxn = b, (1)que expresa b en trminos de las variables x1, x2, . . . , xn y las constantes conoci-das a1, a2, . . . , an, se denomina ecuacin lineal. En muchas aplicaciones se nos dan by las constantes a1, a2, . . . , an y se nos dice que debemos determinar los nme-ros x1, x2, . . . , xn, denominados incgnitas, que satisfacen la ecuacin (1).Una solucin de una ecuacin lineal (1) es una sucesin de n nmeros s1, s2, . . . ,sn que tienen la propiedad de satisfacer (1) cuando x1 = s1, x2 = s2, . . . , xn = sn se sus-tituyen en (1).En consecuencia, x1 = 2, x2 = 3 y x3 = 4 es una solucin de la ecuacin lineal6x1 3x2 + 4x3 = 13,ya que6(2) 3(3) + 4(4) = 13.sta no es la nica solucin para la ecuacin lineal dada, ya que x1 = 3, x2 = 1 y x3 =7 tambin lo es.De manera ms general, un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas x1,x2, . . . , xn al que podemos llamar simplemente sistema lineal, es un conjunto dem ecuaciones lineales, cada una con n incgnitas. Un sistema lineal puede denotarse sinproblema medianteC A P T U L OECUACIONES LINEALESY MATRICES1a11x1 + a12x2 + + a1n xn = b1a21x1 + a22x2 + + a2n xn = b2............am1x1 + am2x2 + + amn xn = bm.(2)1 20. Los dos subndices, i y j, se utilizan como sigue. El primer subndice, i, indica que es-tamos trabajando con la i-sima ecuacin, mientras que el segundo subndice, j, estasociado con la j-sima variable xj. As, la i-sima ecuacin esai1x1 + ai2x2 + + ainxn = bi.En (2), las aij son constantes conocidas. Dados los valores de b1, b2, . . . , bm, queremosdeterminar los valores de x1, x2, . . . , xn que satisfagan cada ecuacin en (2).Una solucin del sistema lineal (2) es una sucesin de n nmeros s1, s2, . . . , sn,que tiene la propiedad de que cada ecuacin en (2) se satisface cuando x1 = s1, x2 = s2,. . . , xn = sn se sustituyen en (2).Para encontrar las soluciones del sistema lineal, usaremos una tcnica denominadamtodo de eliminacin. Esto es, eliminamos algunas de las incgnitas sumando unmltiplo de una ecuacin a otra ecuacin. Casi todos los lectores habrn tenido algunaexperiencia con esta tcnica en cursos de lgebra en niveles bsicos, aunque lo ms se-guro es que haya sido con la restriccin de hacerlo con sistemas lineales en los que m= n, es decir, sistemas lineales con tantas ecuaciones como incgnitas. En este cursoampliaremos este panorama, poniendo en prctica el mtodo citado tratando con siste-mas en los que tenemos m = n, m n y m n. En realidad, existe una gran cantidadde aplicaciones en que m n. Si nuestro problema involucra dos, tres o cuatro incg-nitas, solemos escribir x, y, z y w. En esta seccin utilizaremos el mtodo de elimina-cin como se estudi en cursos bsicos, y en la seccin 1.5 lo haremos de maneramucho ms sistemtica.EJEMPLO 1 El director de un fondo de inversin tiene $100,000 para invertir. Las reglas del fondoestablecen que la inversin debe hacerse tanto en certificados de depsito (CD), como alargo plazo. El objetivo del director es obtener un rendimiento de $7,800 sobre las in-versiones al cabo de un ao. Los CD elegidos tienen un rendimiento de 5% anual, mien-tras que el bono ofrece 9% al ao. El director determina cmo sigue la cantidad x quedebe invertir en los CD, y la cantidad y que dedicar a comprar bonos:Como la inversin total es de $100,000, debemos tener x + y = 100,000. Toda vezque el rendimiento deseado es de $7,800, obtenemos la ecuacin 0.05x + 0.09y = 7,800.Por lo tanto, tenemos el sistema lineal(3)Para eliminar x, sumamos (0.05) veces la primera ecuacin a la segunda, para obteneren donde la segunda ecuacin no tiene trmino x; en otras palabras, hemos eliminadola incgnita x. Despus despejamos y en la segunda ecuacin, para obtenery = 70,000,y sustituyendo y en la primera ecuacin de (3), obtenemosx = 30,000.Para comprobar que x = 30,000, y = 70,000 es una solucin de (3), verificamos que es-tos valores de x y y satisfagan cada una de las ecuaciones del sistema lineal dado. Enconsecuencia, el director del fondo debe invertir $30,000 en los CD y $70,000 en bo-nos a largo plazo. x + y = 100,0000.04y = 2,800,x + y = 100,0000.05x + 0.09y = 7,800.2 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices 21. EJEMPLO 2 Considere el sistema lineal(4)Nuevamente decidimos eliminar x. Para ello, sumamos (2) veces la primera ecuacina la segunda, y obtenemoscuya segunda ecuacin no tiene sentido. Esto significa que la solucin del sistema li-neal (4) es el conjunto vaco; en trminos prcticos, podemos decir que el sistema notiene solucin, es un conjunto vaco. Podramos haber obtenido la misma conclusinobservando que en (4) el lado izquierdo de la segunda ecuacin es igual a dos veces ellado izquierdo de la primera ecuacin, pero el lado derecho de la segunda ecuacin noes dos veces el lado derecho de la primera ecuacin. EJEMPLO 3 Considere el sistema lineal(5)Para eliminar x, sumamos (2) veces la primera ecuacin a la segunda y (3) veces laprimera ecuacin a la tercera, lo que da por resultado(6)Despus eliminamos y como sigue, con ayuda de la segunda ecuacin en (6). Multipli-camos la tercera ecuacin de (6) por para obtenerLuego intercambiamos la segunda y tercera ecuaciones, lo que nos da(7)Ahora sumamos 7 veces la segunda ecuacin a la tercera, para obtenerAl multiplicar la tercera ecuacin por 110, tenemos(8)x + 2y + 3z = 6y + 2z = 4z = 3.x + 2y + 3z = 6y + 2z = 410z = 30.x + 2y + 3z = 6y + 2z = 4 7y 4z = 2.x + 2y + 3z = 6 7y 4z = 2y + 2z = 4.15,x + 2y + 3z = 6 7y 4z = 2 5y 10z = 20.x + 2y + 3z = 62x 3y + 2z = 143x + y z = 2.x 3y = 70x + 0y = 21x 3y = 72x 6y = 7.Sec. 1.1 Sistemas lineales 3 22. Sustituyendo z = 3 en la segunda ecuacin de (8), encontramos que y = 2. Al susti-tuir estos valores de z y y en la primera ecuacin de (8), obtenemos x = 1. Para com-probar que x = 1, y = 2, z = 3 es una solucin de (5), verificamos que estos valoresde x, y y z satisfagan cada una de las ecuaciones del sistema. En consecuencia, x = 1,y = 2, z = 3 es una solucin para el sistema lineal. La importancia del procedimien-to radica en el hecho de que los sistemas lineales (5) y (8) tienen exactamente las mis-mas soluciones. El sistema (8) tiene la ventaja de que puede resolverse con muchafacilidad, dando los valores anteriores para x, y y z. EJEMPLO 4 Considere el sistema lineal(9)Para eliminar x, sumamos (2) veces la primera ecuacin a la segunda y obtenemos(10)Despejamos y en la segunda ecuacin en (10) para obtenery = z 4,donde z puede ser cualquier nmero real. Entonces, con base en la primera ecuacin de(10),Por lo tanto, una solucin para el sistema lineal (9) esx = r + 4y = r 4z = r,donde r es cualquier nmero real. Esto significa que el sistema lineal (9) tiene un n-mero infinito de soluciones. Cada vez que asignamos un valor a r, obtenemos otra so-lucin para (9). En consecuencia, si r = 1, entoncesx = 5, y = 3 y z = 1es una solucin, mientras que si r = 2, entoncesx = 2, y = 6 y z = 2es otra solucin. EJEMPLO 5 Considere el sistema lineal(11)x + 2y = 102x 2y = 43x + 5y = 26.x = 4 2y + 3z= 4 2(z 4) + 3z= z + 4.x + 2y 3z = 4 3y + 3z = 12.x + 2y 3z = 42x + y 3z = 4.4 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices 23. Una vez ms, para eliminar x sumamos (2) veces la primera ecuacin a la segunda y(3) veces la primera ecuacin a la tercera, obteniendox + 2y = 106y = 24y = 4.Multiplicando la segunda ecuacin por y la tercera por (1), tenemosx + 2y = 10y = 4 (12)y = 4,que tiene las mismas soluciones que (11). Al sustituir y = 4 en la primera ecuacin de(12), obtenemos x = 2. Por lo tanto, x = 2, y = 4 es una solucin para (11). EJEMPLO 6 Considere el sistema lineal(13)Para eliminar x, sumamos (2) veces la primera ecuacin a la segunda y (3) veces laprimera ecuacin a la tercera, lo que nos dax + 2y = 106y = 24y = 10.Al multiplicar la segunda ecuacin por y la tercera por (1), obtenemos el sis-temax + 2y = 10y = 4 (14)y = 10,que no tiene solucin. Como (14) y (13) tienen las mismas soluciones, concluimos que(13) no tiene solucin.Estos ejemplos sugieren que un sistema lineal puede tener una solucin (es decir,una nica solucin), no tener solucin, o un nmero infinito de soluciones. Hemos visto que el mtodo de eliminacin consiste de la realizacin repetida de lasoperaciones siguientes:1. Intercambiar dos ecuaciones.2. Multiplicar una ecuacin por una constante diferente de cero.3. Sumar un mltiplo de una ecuacin a la otra.No es difcil demostrar (ejercicios T.1 a T.3) que el mtodo de eliminacin propor-ciona otro sistema lineal que tiene exactamente las mismas soluciones que el sistemadado. El nuevo sistema lineal puede resolverse despus sin dificultad.16x + 2y = 102x 2y = 43x + 5y = 20.16Sec. 1.1 Sistemas lineales 5 24. Como quiz haya notado, hasta el momento, hemos descrito el mtodo de elimina-cin nicamente en trminos generales, de manera que no hemos indicado regla algunapara seleccionar las incgnitas que sern eliminadas. Antes de proporcionar una descripcinsistemtica del mtodo de eliminacin en la siguiente seccin, hablaremos del conceptode matriz, lo que nos ayudar a simplificar en gran medida nuestra notacin, permitin-donos desarrollar herramientas para resolver muchos problemas importantes.Considere ahora un sistema lineal con las incgnitas x y y;a1x + a2y = c1(15)b1x + b2y = c2.La grfica de cada una de estas ecuaciones es una lnea recta, que denotamos median-te l1 y l2, respectivamente. Si x = s1, y = s2 es una solucin del sistema lineal (15), en-tonces el punto (s1, s2) pertenece a ambas rectas, l1 y l2. De manera recproca, si elpunto (s1, s2) est en ambas rectas, l1 y l2, entonces x = s1, y = s2 es una solucin parael sistema lineal (15). (Vea la figura 1.1.) En consecuencia, hemos llegado a las mismastres posibilidades mencionadas, siguiendo una alternativa geomtrica:1. El sistema tiene una solucin nica; esto es, las rectas l1 y l2 se intersecan exacta-mente en un punto.2. El sistema no tiene solucin; es decir, las rectas l1 y l2 no se intersecan.3. El sistema tiene un nmero infinito de soluciones; en otras palabras, las rectas l1 yl2 coinciden.Figura 1.1 Ahora, consideremos un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incgnitas, x, yy z:(16)La grfica de cada una de estas ecuaciones es un plano, y se denota con P1, P2 y P3,respectivamente. Como en el caso de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos in-cgnitas, el sistema lineal en (16) puede tener una solucin nica, no tener solucin otener una infinidad de soluciones. Estas situaciones se ilustran en la figura 1.2. Paracomprender de forma ms concreta algunos de los casos posibles, piense en que las pa-redes (planos) de una habitacin se intersecan en un nico punto: una esquina de la ha-bitacin; de esta manera, el sistema lineal tiene una solucin nica. Ahora piense en losplanos como si se tratara de las pginas de un libro. Cuando el libro se sostiene abier-to, tres de sus pginas se intersecan en una lnea recta (el lomo); en este caso, el siste-ma lineal tiene un nmero infinito de soluciones. Por otra parte, cuando se cierra ellibro, aparentemente las tres pginas son paralelas y no se intersecan, por lo que pode-mos decir que el sistema lineal no tiene solucin.a1x + b1 y + c1z = d1a2x + b2 y + c2z = d2a3x + b3 y + c3z = d3.6 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matricesyx(b) No hay solucinl1l2yx(a) Una nica solucinl1l2yx(c) Una infinidad de solucionesl1l2 25. EJEMPLO 7 (Planeacin de produccin) Un fabricante produce tres tipos diferentes de productosqumicos: A, B y C. Cada producto debe pasar por dos mquinas de procesamiento:X y Y. La manufactura del producto requiere los tiempos siguientes en las mquinas X y Y:1. Una tonelada de A requiere 2 horas en la mquina X y 2 horas en la mquina Y.2. Una tonelada de B requiere 3 horas en la mquina X y 2 horas en la mquina Y.3. Una tonelada de C requiere 4 horas en la mquina X y 3 horas en la mquina Y.La mquina X est disponible durante 80 horas a la semana, y la mquina Y puede uti-lizarse 60 horas a la semana. Como la gerencia no quiere que las costosas mquinas Xy Y estn ociosas, le gustara saber cuntas toneladas debe manufacturar de cada pro-ducto, de modo que las mquinas se utilicen a su capacidad total. Daremos por sentadoque el fabricante puede vender todos los productos que se manufacturen.Para resolver este problema, denotamos con x1, x2 y x3, respectivamente, el nme-ro de toneladas de productos A, B y C que se fabricarn. El nmero de horas que la m-quina X ser utilizada es2x1 + 3x2 + 4x3,que debe ser igual a 80. Por lo tanto, As tenemos que2x1 + 3x2 + 4x3 = 80.De manera similar, el nmero de horas que emplear la mquina Y es 60, por lo que te-nemos2x1 + 2x2 + 3x3 = 60.Desde el punto de vista matemtico, nuestro problema consiste en determinar los valo-res no negativos de x1, x2 y x3 tales que2x1 + 3x2 + 4x3 = 80.2x1 + 2x2 + 3x3 = 60.Este sistema lineal tiene un nmero infinito de soluciones. Siguiendo el mtodo delejemplo 4, vemos que todas las soluciones estn dadas porx1 =20 x32x2 = 20 x3x3 = cualquier nmero real tal que 0 x3 20,Sec. 1.1 Sistemas lineales 7Figura 1.2 (a) Una nica solucinP1P2(c) Una infinidad de soluciones(b) No hay solucinP3P2P1P3P1P3P2 26. toda vez que debemos tener x1 0, x2 0 y x3 0. Cuando x3 = 10, tenemosx1 = 5, x2 = 10, x3 = 10mientras quecuando x3 = 7. Observe que una solucin es tan buena como la otra. Ninguna es me-jor, a menos que se nos diera ms informacin o se nos plantearan algunas restric-ciones. x1 = 132, x2 = 13, x3 = 78 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matricesEn los ejercicios 1 a 14, resuelva el sistema lineal dado por me-dio del mtodo de eliminacin.15. Dado el sistema lineal2x y = 54x 2y = t,(a) determine un valor de t para que el sistema tenga unasolucin.(b) determine un valor de t para que el sistema no tengasolucin.(c) Cuntos valores diferentes de t pueden seleccionarseen la parte (b)?16. Dado el sistema lineal2x + 3y z = 0x 4y + 5z = 0,(a) verifique que x1 = 1, y1 = 1, z1 = 1 es una solucin.(b) verifique que x2 = 2, y2 = 2, z2 = 2 es una solucin.(c) x = x1 + x2 = 1, y = y1 + y2 = 1 y z = z1 + z2 = 1es una solucin del sistema lineal?(d) 3x, 3y, 3z, donde x, y y z son como en la parte (c), esuna solucin del sistema lineal?17. Resuelva el sistema lineal siguiente sin utilizar el mtodode eliminacin18. Resuelva el sistema lineal siguiente sin utilizar el mtodode eliminacin19. Existe un valor de r tal que x = 1, y = 2, z = r sea una so-lucin del siguiente sistema lineal? De ser as, determnelo2x + 3y z = 11x y + 2z = 74x + y 2z = 12.4x = 82x + 3y = 13x + 5y 2z = 11.2x + y 2z = 53y + z = 7z = 4.Trminos claveEcuacin linealIncgnitasSolucin de una ecuacin linealSistema linealSolucin de un sistema linealMtodo de eliminacinSolucin nicaSin solucinInfinidad de solucionesManipulacin de un sistema lineal1.1 Ejercicios1. x + 2y = 83x 4y = 4.2. 2x 3y + 4z = 12x 2y + z = 53x + y + 2z = 1.3. 3x + 2y + z = 24x + 2y + 2z = 8x y + z = 4.4. x + y = 53x + 3y = 10.5. 2x + 4y + 6z = 122x 3y 4z = 153x + 4y + 5z = 8.6. x + y 2z = 52x + 3y + 4z = 2.7. x + 4y z = 123x + 8y 2z = 4.8. 3x + 4y z = 86x + 8y 2z = 3.9. x + y + 3z = 122x + 2y + 6z = 6.10. x + y = 12x y = 53x + 4y = 2.11. 2x + 3y = 13x 2y = 35x + 2y = 27.12. x 5y = 63x + 2y = 15x + 2y = 1.13. x + 3y = 42x + 5y = 8x + 3y = 5.14. 2x + 3y z = 62x y + 2z = 83x y + z = 7. 27. 20. Existe un valor de r tal que x = r, y = 2, z = 1 sea una so-lucin del siguiente sistema lineal? De ser as, determnelo21. Diga cul es el nmero de puntos que estn simultnea-mente en los tres planos que se muestran en cada inciso dela figura 1.2.22. Diga cul es el nmero de puntos que estn simultnea-mente en los tres planos que se muestran en cada inciso dela figura 1.3.Figura 1.3 23. Una refinera produce gasolina con azufre y sin azufre. Pa-ra producir cada tonelada de gasolina sin azufre 5 minutosen la planta mezcladora y 4 minutos en la planta de refina-cin, mientras que cada tonelada de gasolina con azufre re-quiere 4 minutos en la planta mezcladora y 2 minutos en laplanta de refinacin. Si la planta mezcladora est disponi-ble 3 horas y la de refinacin 2 horas, cuntas toneladasde cada tipo de gasolina deben producirse de modo que lasplantas operen a toda su capacidad?24. Un fabricante produce dos tipos de plsticos: regular y es-pecial. La produccin de cada tonelada de plstico regularrequiere dos horas en la planta A y 5 horas en la planta B;para producir cada tonelada de plstico especial se necesi-tan 2 horas en la planta A y 3 horas en la planta B. Si laplanta A est disponible 8 horas diarias y la planta B 15horas al da, cuntas toneladas de cada tipo de plsticopueden producirse diariamente de modo que ambas plantasse utilicen al mximo de su capacidad?25. Un nutrilogo prepara una dieta que consiste en losalimentos A, B y C. Cada onza del alimento A contiene2 unidades de protena, 3 unidades de grasa y 4 unidades decarbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unida-des de protenas, 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbo-hidratos. Por su parte, cada onza del alimento C contiene3 unidades de protenas, 3 unidades de grasa y 2 unidadesde carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente25 unidades de protenas, 24 unidades de grasa y 21 unida-des de carbohidratos, cuntas onzas de cada tipo de ali-mento deben utilizarse?26. Un fabricante produce reveladores de pelcula de 2, 6 y 9minutos. La fabricacin de cada tonelada del revelador de2 minutos requiere 6 minutos en la planta A y 24 minutosen la planta B. Para manufacturar cada tonelada del revela-dor de 6 minutos son necesarios 12 minutos en la planta A y12 minutos en la planta B. Por ltimo, para producir cadatonelada del revelador de 9 minutos se utiliza 12 minutosla planta A y 12 minutos la planta B. Si la planta A estdisponible 10 horas al da y la planta B 16 horas diarias,cuntas toneladas de cada tipo de revelador de pelculapueden producirse de modo que las plantas operen a todasu capacidad?27. Suponga que los tres puntos (1,5), (1, 1) y (2, 7) estnen la parbola p(x) = ax2+ bx + c.(a) Determine un sistema lineal de tres ecuaciones con tresincgnitas que deba resolverse para determinar a, b y c.(b) Resuelva el sistema lineal que obtuvo en la parte (a)para a, b y c.28. Una herencia de $24,000 se dividi en tres fideicomisos; elsegundo fideicomiso recibi el doble del primero. Los tres fi-deicomisos pagan una tasa de inters de 9, 10 y 6% anual,respectivamente; al final del primer ao, el rendimiento totalfue de $2,210. Cunto se invirti en cada fideicomiso?3x 2z = 4x 4y + z = 52x + 3y + 2z = 9.Sec. 1.1 Sistemas lineales 9P3P2P1(a)P1P3P2(b)(c)P3P1 P2Ejercicios tericosT.1. Demuestre que el sistema lineal que se obtiene al intercam-biar dos ecuaciones en (2) tiene exactamente las mismassoluciones que (2).T.2. Demuestre que el sistema lineal obtenido al remplazar unaecuacin en (2) por un mltiplo constante de la ecuacindiferente de cero, tiene exactamente las mismas solucionesque (2).T.3. Demuestre que el sistema lineal que se obtiene al remplazaruna ecuacin en (2) por ella misma ms un mltiplo de otraecuacin en (2) tiene exactamente las mismas solucionesque (2).T.4. El sistema linealax + by = 0cx + dy = 0siempre tiene solucin para cualesquiera valores de a, b, cy d? 28. 1.2 MATRICESSi analizamos el mtodo de eliminacin descrito en la seccin 1.1, observaremos lo si-guiente. Al realizar los pasos necesarios, slo modificamos los nmeros que aparecenjunto a las incgnitas x1, x2, . . . , xn. En consecuencia, podramos buscar una forma deescribir un sistema lineal sin tener que mantener las incgnitas. En esta seccin defini-remos un objeto, una matriz, que nos permite hacer precisamente eso: escribir sistemaslineales de una manera compacta que facilite la automatizacin del mtodo de elimina-cin en una computadora, dndonos un procedimiento rpido y eficaz para determinarlas soluciones. Su uso, sin embargo, no nos proporciona solamente la oportunidad decontar con una notacin conveniente, sino tambin como veremos a continuacinresolver sistemas de ecuaciones lineales y otros problemas computacionales de manerarpida y eficiente, desarrollando operaciones sobre las matrices y trabajando con ellasde acuerdo con las reglas que cumplen. Por supuesto, como debe hacer cualquier bue-na definicin, la del concepto de matriz no slo permite mirar de otra forma los proble-mas existentes, sino que, adems, da lugar a muchas nuevas preguntas, algunas de lascuales estudiaremos en este libro.DEFINICIN Una matriz A de m n es un arreglo rectangular de mn nmeros reales (o complejos)ordenados en m filas (renglones) horizontales y n columnas verticales:La i-sima fila de A esLa j-sima columna de A esDiremos que A es m por n (que se escribe m n). Si m = n, decimos que A es unamatriz cuadrada de orden n, y que los nmeros a11, a22, . . . , ann forman la diagonalprincipal de A. Nos referimos al nmero aij, que est en la i-sima fila (rengln) y laj-sima columna de A, como el i, j-simo elemento de A, o la entrada (i, j) de A, y so-lemos escribir (1) comoA = [aij].Para simplificar, en este libro restringiremos nuestra atencin (salvo en el apndi-ce A) al anlisis de las matrices cuyas entradas son nmeros reales. Sin embargo, tambinse estudian las matrices con entradas complejas, mismas que tienen gran importanciaen muchas aplicaciones.a1 ja2 j...amj (1 j n).ai1 ai2 ain (1 i m);A =a11 a12 a1 j a1na21 a22 a2 j a2n...... ... ...ai1 ai2 columna j(rengln) ifilaai j ain............am1 am2 amj amn.10 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices(1) 29. EJEMPLO 1 SeanEntonces, A es una matriz de 2 3 con a12 = 2, a13 = 3, a22 = 0 y a23 = 1; B es unamatriz de 2 2, con b11 = 1, b12 = 4, b21 = 2 y b22 = 3; C es una matriz de 3 1,con c11 = 1, c21 = 1 y c31 = 2; D es una matriz de 3 3; E es una matriz de 1 1, y Fes una matriz de 1 3. En D, los elementos d11 = 1, d22 = 0 y d33 = 2 forman la dia-gonal principal. Por conveniencia, en los ejemplos y ejercicios ilustrativos de los captulos 1 a7 centramos gran parte de nuestra atencin en matrices y expresiones que slo tienennmeros reales. Por otra parte, aunque aparecen en algunos ejemplos de los captulos 8 y9, es en el apndice A donde puede encontrarse una introduccin a los nmeros com-plejos y a sus propiedades, as como ejemplos y ejercicios que muestran cmo se utili-zan estos nmeros en lgebra lineal.Las matrices de 1 n o n 1 tambin se denominan un n-vectores, y lo denota-remos mediante letras minsculas en negritas. Cuando se sobreentienda el valor de n,nos referiremos a los n-vectores slo como vectores. En el captulo 4 analizaremos losvectores a detalle.EJEMPLO 2 Si todas las entradas de un n-vector son iguales a cero, se denota con 0.Observe que si A es una matriz de n n, los renglones de A son matrices de 1 n.El conjunto de todos los n-vectores con entradas reales se denota con Rn. De manera si-milar, el conjunto de todos los n-vectores con entradas complejas se denota medianteCn. Como se indic anteriormente, en los primeros siete captulos de este libro trabaja-remos casi por completo con vectores en Rn.EJEMPLO 3 (Despliegue de valores en forma de tabla) La matriz siguiente proporciona las dis-tancias entre las ciudades indicadas (en millas terrestres).EJEMPLO 4 (Produccin) Suponga que un fabricante tiene cuatro plantas, en cada una de las cua-les se manufacturan tres productos. Si denotamos con aij el nmero de unidades del pro-ducto i elaboradas por la planta j en una semana, la matriz de 4 3Producto 1 Producto 2 Producto 3Planta1 560 340 280Planta2 360 450 270Planta3 380 420 210Planta4 0 80 380LondresLondres 0 785 3,469 5,959Madrid 785 0 3,593 6,706Nueva York 3,469 3,593 0 6,757Tokio 5,959 6,706 6,757 0Nueva York TokioMadridu = 1 2 1 0 es un 4-vector y v =113 es un 3-vector.A =1 2 31 0 1, B =1 42 3, C =112 ,D =1 1 02 0 13 1 2 , E = 3 , F = 1 0 2 .Sec. 1.2 Matrices 11 30. proporciona la produccin semanal del fabricante. Por ejemplo, en una semana, la plan-ta 2 produce 270 unidades del producto 3. EJEMPLO 5 La tabla siguiente, en donde se lista el factor de congelacin del viento, muestra cmouna combinacin de la temperatura y la velocidad del viento hace que un cuerpo sesienta ms fro que la temperatura real. Por ejemplo, cuando la temperatura es de 10 Fy el viento es de 15 millas por hora, el cuerpo pierde la misma cantidad de calor que laque perdera si la temperatura fuera de 18 F sin viento.Esta tabla puede representarse como la matrizEJEMPLO 6 Con el sistema lineal considerado en el ejemplo 5 de la seccin 1.1,podemos asociar las matrices siguientes:En la seccin 1.3, llamaremos A a la matriz de coeficientes del sistema lineal. DEFINICIN Una matriz cuadrada A = [aij], en donde cada trmino fuera de la diagonal principal esigual a cero, es decir, aij = 0 para i j, es una matriz diagonal.EJEMPLO 7son matrices diagonales. G =4 00 2y H =3 0 00 2 00 0 4A =1 22 23 5 , x =xy, b =10426 .x + 2y = 102x 2y = 43x + 5y = 26,A =5 12 7 0 5 10 1510 3 9 15 22 27 3415 11 18 25 31 38 4520 17 24 31 39 46 53 .F15 10 5 0 5 10mph5 12 7 0 5 10 1510 3 9 15 22 27 3415 11 18 25 31 38 4520 17 24 31 39 46 5312 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices 31. DEFINICIN Una matriz diagonal A = [aij], en donde todos los trminos de la diagonal principal soniguales, es decir, aij = c para i = j y aij = 0 para i j, es una matriz escalar.EJEMPLO 8 Las siguientes son matrices escalares:Los motores de bsqueda para localizacin y recuperacin de informacin en In-ternet, utilizan matrices para seguir el rastro de las ubicaciones en donde sta se en-cuentra, el tipo de informacin que se halla en cada ubicacin, las palabras clave queaparecen en ellas, e incluso la manera en que los sitios Web se vinculan entre s conotros. En gran medida, la eficacia de Googleestriba en la manera en que utiliza lasmatrices para determinar cules sitios estn referenciados en otros sitios. Esto es, en lu-gar de mantener de manera directa el rastro del contenido de la informacin de una p-gina Web real o de un tema de bsqueda individual, la estructura de la matriz de Googledetermina las pginas Web que coinciden con el tema de bsqueda, y luego presentauna lista de tales pginas en un orden de importancia.Suponga que existen n pginas Web accesibles durante cierto mes. Una manerasencilla de comprender las matrices que conforman el esquema de Google, consiste enimaginar una matriz A de n n, denominada matriz de conectividad, la cual slo con-tiene ceros al principio. Para construir las conexiones se procede como sigue. Cuandose detecta que el sitio Web j est vinculado con el sitio Web i, la entrada aij se hace iguala uno. Como n es muy grande su valor se calculaba en alrededor de 3 mil millonesen diciembre de 2002, casi todas las entradas de la matriz de conectividad A son ce-ro. (Las matrices como sta se denominan esparcidas, ralas o poco densas.) Si la fila(rengln) i de A contiene muchos unos, significa que existen muchos sitios vinculadosal sitio i. El software que controla el motor de bsqueda de Google considera que lossitios que estn vinculados con muchos otros son ms importantes (en otras palabras,les da una calificacin ms alta). Por lo tanto, tales sitios apareceran al principio de lalista de resultados de bsqueda que generara Google cuando el usuario solicitara temasrelacionados con la informacin del sitio i. Ya que Google actualiza su matriz de conec-tividad cada mes, n aumenta con el paso del tiempo, al agregarse nuevos enlaces y si-tios.La tcnica fundamental que utiliza Googlepara calificar los sitios, emplea con-ceptos de lgebra lineal que estn fuera del alcance de este curso. Informacin adicio-nal sobre el tema puede encontrarse en las fuentes siguientes.1. Berry, Michael W. y Murray Browne. Understanding Search EnginesMathematicalModeling and Text Retrieval. Filadelfia: Siam, 1999.2. www.google.com/technology/index.html3. Moler, Cleve. The Worlds Largest Matrix Computation: Googles Page Rank Is anEigenvector of a Matrix of Order 2.7 Billion, MATLAB News and Notes, octubre de2002, pginas 12-13.En matemticas, siempre que se presenta un nuevo objeto es preciso definir cuan-do dos de ellos son iguales. Por ejemplo, en el conjunto de todos los nmeros raciona-les, decimos que los nmeros y son iguales, aunque no se representen de la mismamanera. Lo que tenemos en mente es la definicin segn la cual es igual a cuandoad = bc. De acuerdo con esto, tenemos la siguiente definicin.DEFINICIN Dos matrices de m n, A = [aij] y B = [bij], son iguales si aij = bij, 1 i m, 1 j n, es decir, si los elementos correspondientes son iguales.cdab4623I3 =1 0 00 1 00 0 1 , J =2 00 2.Sec. 1.2 Matrices 13 32. EJEMPLO 9 Las matricesson iguales si w = 1, x = 3, y = 0 y z = 5. A continuacin definiremos varias operaciones que producirn nuevas matrices apartir de otras. Estas operaciones son tiles en las aplicaciones que involucran matrices.SUMA DE MATRICESDEFINICIN Si A = [aij] y B = [bij] son matrices de m n, la suma de A y B da por resultado lamatriz C = [cij] de m n, definida porcij = aij + bij (i i m, 1 j n).Es decir, C se obtiene sumando los elementos correspondientes de A y B.EJEMPLO 10 SeanEntoncesObserve que la suma de las matrices A y B slo se define cuando A y B tienen elmismo nmero de filas (renglones) y el mismo nmero de columnas; es decir, slocuando A y B son del mismo tamao.establecemos la convencin, al escribir A + B entendemos que A y B tienen el mis-mo tamao.Hasta el momento, la suma de matrices slo se ha definido para dos matrices. Enocasiones, sin embargo, nuestro trabajo exigir que sumemos ms de dos matrices. Elteorema 1.1 de la seccin siguiente muestra que la suma de matrices satisface la propie-dad asociativa. A + (B + C) = (A + B) + C. En la seccin 1.4 se consideran ms pro-piedades de las matrices, mismas que son similares a que satisfacen los nmeros reales.EJEMPLO 11 (Produccin) Un fabricante de cierto producto realiza tres modelos, A, B y C. Algunaspartes artes de cada uno se elaboran en la fbrica F1, ubicada en de Taiwn, y despusse terminan en la fbrica F2, de Estados Unidos. El costo total de cada producto constade los costos de manufactura y de embarque. En consecuencia, los costos (en dlares) decada fbrica pueden describirse mediante las matrices F1 y F2 de 3 2:14 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matricesA =1 2 12 3 40 4 5 y B =1 2 w2 x 4y 4 zA =1 2 42 1 3y B =0 2 41 3 1.F1 =Costo demanufacturaCosto deembarque32 4050 8070 20Modelo AModelo BModelo CA + B =1 + 0 2 + 2 4 + (4)2 + 1 1 + 3 3 + 1=1 0 03 2 4. 33. La matriz F1 + F2 proporciona los costos totales de manufactura y embarque de cadaproducto. As, los costos totales de un producto del modelo C son $200 y $40, respec-tivamente. MULTIPLICACIN POR UN ESCALARDEFINICIN Si A = [aij] es una matriz de m n y r es un nmero real, el mltiplo escalar de A porr, rA, es la matriz B = [bij] de m n, dondebij = raij (i i m, 1 j n).Es decir, B se obtiene multiplicando cada elemento de A por r.Si A y B son matrices de m n, escribimos A +(1)B como A B, y denomina-mos a esto diferencia de A y B.EJEMPLO 12 SeanEntoncesEJEMPLO 13 Sea p = [18.95 14.75 8.60] un 3-vector que representa los precios actuales de tresartculos almacenados en una bodega. Suponga que el almacn anuncia una venta endonde cada uno de estos artculos tiene un descuento de 20 por ciento.(a) Determine un 3-vector que proporcione el cambio en el precio de cada uno de lostres artculos.(b) Determine un 3-vector que proporcione los precios nuevos de los artculos.Solucin (a) Como el precio de cada artculo se reduce 20%, el 3-vectorproporciona la reduccin de los precios para los tres artculos.(b) Los precios nuevos de los artculos estn dados mediante la expresinObserve que esta expresin tambin puede escribirse comop 0.20p = 0.80p. Sec. 1.2 Matrices 15F2 =Costo demanufacturaCosto deembarque40 6050 50130 20Modelo AModelo BModelo CA =2 3 54 2 1y B =2 1 33 5 2.A B =2 2 3 + 1 5 34 3 2 5 1 + 2=0 4 81 3 3.0.20p = (0.20)18.95 (0.20)14.75 (0.20)8.60= 3.79 2.95 1.72p 0.20p = 18.95 14.75 8.60 3.79 2.95 1.72= 15.16 11.80 6.88 . 34. Si A1, A2, . . . , Ak son matrices de m n y c1, c2, . . . , ck son nmeros reales, enton-ces una expresin de la formac1A1 + c2A2 + + ckAk (2)se denomina combinacin lineal de A1, A2, . . . , Ak, y c1, c2, . . . , ck se llaman coe-ficientes.EJEMPLO 14 (a) Sientonces es una combinacin lineal de A1 y A2. Por medio de lamultiplicacin por un escalar y la suma de matrices, podemos calcular C:(b) 2[3 2] 3[5 0] + 4[2 5] es una combinacin lineal de [3 2], [5 0] y[2 5]. Puede calcularse (verifquelo) para obtener [17 16].(c)LA TRANSPUESTA DE UNA MATRIZDEFINICIN Si A = [aij] es una matriz de m n, la matriz de n m, dondees la transpuesta de A. En consecuencia, las entradas en cada fila de ATson las entra-das correspondientes en la columna de A.EJEMPLO 15 SeanaTi j = aji (1 i n, 1 j m)AT= aTi jC = 3A1 12A216 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matricesA1 =0 3 52 3 41 2 3 y A2 =5 2 36 2 31 2 3 ,C = 30 3 52 3 41 2 3 125 2 36 2 31 2 3=5210 2723 8 212725 212 .0.5146 + 0.4 es una combinacin lineal de0.140.2146 y0.140.2.0.460.43.08.Puede calcularse para obtener (verifquelo)A =4 2 30 5 2, B =6 2 43 1 20 4 3 , C =5 43 22 3 ,D = 3 5 1 , E =213 . 35. EntoncesMATRICES DE BINARIAS (OPCIONAL)En gran parte de nuestro trabajo con lgebra lineal utilizaremos matrices y vectores cu-yas entradas son nmeros reales o complejos. Por lo que los clculos, como combinacioneslineales, se determinan utilizando propiedades de las matrices y la aritmtica estndar debase 10. Sin embargo, el continuo desarrollo de la tecnologa de cmputo ha trado alprimer plano el uso de la representacin binaria (base 2) de la informacin. En casi to-das las aplicaciones de cmputo, como juegos de vdeo, comunicaciones mediante fax,transferencia electrnica de dinero, comunicaciones satelitales, DVD o la generacin demsica en CD, la matemtica subyacente es invisible y por completo transparente parael espectador o el usuario. La informacin codificada en representacin binaria est tanextendida y desempea un papel tan importante que estudiaremos brevemente algunasde sus caractersticas. Iniciaremos con un anlisis general de la suma y multiplicacinbinarias, y luego hablaremos de una clase especial de matrices binarias, que tiene un lu-gar clave en la teora de la informacin y la comunicacin.La representacin binaria de la informacin slo utiliza dos smbolos, 0 y 1. La in-formacin est codificada en trminos de 0 y 1 en una cadena de bits*. Por ejemplo, enlenguaje binario, el nmero decimal 5 se representa mediante la cadena 101, que se in-terpreta en trminos de base 2 como sigue:5 = 1(22) + 0(21) + 1(20).Los coeficientes de las potencias de 2 determinan la cadena de bits, 101, que pro-porciona la representacin binaria de 5.Al igual que utilizamos aritmtica de base 10 cuando tratamos con nmeros realesy complejos, en otros escenarios empleamos aritmtica de base 2, es decir, aritmticabinaria. La tabla 1.1 muestra la estructura de la suma binaria, y la tabla 1.2 la estructu-ra de la multiplicacin binaria.Las propiedades de la aritmtica binaria permiten la representacin de combinacio-nes de nmeros reales en forma binaria, suele estudiarse en cursos bsicos de cienciasde la computacin, o en cursos de matemticas finitas o discretas. No desviaremosnuestra atencin para analizar tales temas en este momento. En cambio, nuestro objeti-vo se centrar en un tipo particular de matrices y vectores cuyas entradas son dgitos bi-narios. Esta clase de matrices y vectores es importante en el estudio de la teora de lainformacin y en el campo de matemticas de cdigos de correccin de errores (tam-bin llamado teora de codificacin).Tabla 1.1+ 0 10 0 11 1 0Tabla 1.2 0 10 0 01 0 1Sec. 1.2 Matrices 17AT=4 02 53 2 , BT=6 3 02 1 44 2 3 ,CT=5 3 24 2 3, DT=351 , y ET= 2 1 3 .*Un bit es un dgito binario (del ingls binary digit); esto es, un 0 o un 1. 36. DEFINICIN Una matriz binariade m n, es una matriz en que todas las entradas son bits. Estoes, cada una de sus entradas es ya sea 0 o 1.Un n-vector (o vector) binario es una matriz de 1 n o de n 1, todas cuyas en-tradas son bits.EJEMPLO 16EJEMPLO 17Las definiciones de suma de matrices y multiplicacin por un escalar se aplicantambin a las matrices binarias, siempre y cuando utilicemos aritmtica binaria (de ba-se 2) para todos los clculos, y 0 y 1 como nicos escalares posibles.EJEMPLO 18 Por medio de la definicin de la suma de matri-ces y con ayuda de la tabla 1.1, tenemosLas combinaciones lineales de matrices binarias o n-vectores binarios son muy f-ciles de calcular con ayuda de las tablas 1.1 y 1.2, si se toma en cuenta el hecho de quelos nicos escalares son 0 y 1.EJEMPLO 19De acuerdo con la tabla 1.1, tenemos que 0 + 0 = 0 y 1 + 1 = 0. Por lo tanto, elinverso aditivo de 0 es 0 (como es usual), y el inverso aditivo del 1 es 1. De aqu que,para calcular la diferencia de matrices binarias A y B, procedemos como sigue:Como podemos ver, la diferencia de matrices binarias no aporta nada nuevo a las rela-ciones algebraicas entre matrices binarias.A B = A + (inverso de 1) B = A + 1B = A + B.c1u1 + c2u2 + c3u3 = 110+ 001+ 111=10+00+11=(1 + 0) + 1(0 + 0) + 1=1 + 10 + 1=01.Sean c1 = 1, c2 = 0, c3 = 1, u1 =10, u2 =01y u3 =11. EntoncesA + B =1 + 1 0 + 11 + 0 1 + 10 + 1 1 + 0 =0 11 01 1 .Sean A =1 01 10 1 y B =1 10 11 0.v =11001es un 5-vector binario, y u = 0 0 0 0 es un 4-vector binario.A =1 0 01 1 10 1 0 es una matriz binaria de 3 3.18 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matricesLas matrices binarias tambin se llaman matrices booleanas. 37. Trminos claveSec. 1.2 Matrices 19MatrizFilas (renglones)ColumnasTamao de una matrizMatriz cuadradaDiagonal principal de una matrizElemento (o entrada) de una matrizij-simo elementoentrada (i, j)n-vector (o vector)Matriz diagonalMatriz escalar0, vector ceroRn, el conjunto de todos los n-vectoresGoogleMatrices igualesSuma de matricesMltiplo escalarMltiplo escalar de una matrizDiferencia de matricesCombinacin lineal de matricesTranspuesta de una matrizBitMatriz binaria (o booleana)Matriz triangular superiorMatriz triangular inferior1.2 Ejercicios1. Seany(a) Cules son los valores de a12, a22, a23?(b) Cules son los valores de b11, b31?(c) Cules son los valores de c13, c31, c33?2. Sidetermine a, b, c y d.3. Sidetermine a, b, c y d.En los ejercicios 4 a 7, sean4. De ser posible, calcule la combinacin lineal que se indicaen cada caso:(a) C + E y E + C (b) A + B(c) D F (d) 3C + 5O(e) 2C 3E (f) 2B + F5. De ser posible, calcule la combinacin lineal que se indicaen cada caso:(a) 3D + 2F(b) 3(2A) y 6A(c) 3A + 2A y 5A(d) 2(D + F) y 2D + 2F(e) (2 + 3)D y 2D + 3D(f) 3(B + D)6. De ser posible, calcule:(a) ATy (AT)T(b) (C + E)Ty CT+ ET(c) (2D + 3F)T(d) D DT(e) 2AT+ B(f) (3D 2F)T7. De ser posible, calcule:(a) (2A)T(b) (A B)T(c) (3BT 2A)T(d) (3AT 5BT)T(e) (A)Ty (AT)(f) (C + E + FT)T8. La matriz es una combinacin lineal de las matri-ces ? Justifique su respuesta.9. La matriz es una combinacin lineal de lasmatrices ? Justifique su respuesta.10. SeanSi es un nmero real, calcule I3 A.A =1 2 36 2 35 2 4 y I3 =1 0 00 1 00 0 1 .1 00 1y1 00 04 10 31 00 1y1 00 03 00 2A =2 3 56 5 4, B =435 ,C =7 3 24 3 56 1 1 .a + b c + dc d a b=4 610 2,a + 2b 2a b2c + d c 2d=4 24 3,A =1 2 32 1 4, B =1 02 13 2 ,C =3 1 34 1 52 1 3 , D =3 22 4,E =2 4 50 1 43 2 1 , F =4 52 3,y O =0 0 00 0 00 0 0 . 38. Los ejercicios 11 a 15 tienen que ver con matrices binarias.11. SeanCalcule cada una de las expresionessiguientes:(a) A + B (b) B + C (c) A + B + C(d) A + CT(e) B C.12. SeanCalcule cada una de las expresiones siguientes:(a) A + B (b) C + D (c) A + B + (C + D)T(d) C B (e) A B + C D.13. Sea14. Sea u = [1 1 0 0]. Determine el 4-vector v tal queu + v = [1 1 0 0].15. Sea u = [0 1 0 1]. Determine el 4-vector v tal queu + v = [1 1 1 1].A + B =0 00 0.A + C =1 11 1.(a) Determine B de manera que(b) Determine C de manera queA =1 00 0.D =0 01 0.A +1 01 0, B =1 00 1, C =1 10 0, yC =1 1 00 1 11 0 1.A =1 0 11 1 00 1 1, B =0 1 11 0 11 1 0, y20 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matricesT.1. Demuestre que la suma y la diferencia de dos matricesdiagonales es una matriz diagonal.T.2. Demuestre que la suma y la diferencia de dos matrices es-calares es una matriz escalar.T.3. Sea(a) Calcule A AT.(b) Calcule A + AT.(c) Calcule (A + AT)T.T.4. Sea 0 la matriz de n n tal que todas sus entradas soncero. Demuestre que si k es un nmero real y A es unamatriz de n n tal que kA = O, entonces k = 0 o A = O.T.5. Una matriz A = [aij] se denomina triangular superior siaij = 0 para i > j. Se llama triangular inferior si aij = 0para i < j.Matriz triangular superior(Los elementos que estn debajo de la diagonalprincipal son cero.)Matriz triangular inferior(Los elementos que estn arriba de la diagonal principal son cero.)(a) Demuestre que la suma y la diferencia de dos matri-ces triangulares superiores es una matriz triangularsuperior.(b) Demuestre que la suma y la diferencia de dos matri-ces triangulares inferiores es una matriz triangular in-ferior.(c) Demuestre que si una matriz es al mismo tiempotriangular superior y triangular inferior, entonces esuna matriz diagonal.T.6. (a) Demuestre que si A es una matriz triangular superior,entonces ATes triangular inferior.(b) Demuestre que si A es una matriz triangular inferior,entonces ATes triangular superior.T.7. Si A es una matriz de n n, cules son las entradas dela diagonal principal de A AT? Justifique su respuesta.T.8. Si x es un n-vector, demuestre que x + 0 = x.Los ejercicios T.9 a T.18 tienen que ver con matrices binarias.T.9. Haga una lista de todos los posibles 2-vectores binarios.Cuntos hay?T.10. Haga una lista de todos los posibles 3-vectores binarios.Cuntos hay?T.11. Haga una lista de todos los posibles 4-vectores binarios.Cuntos hay?a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0 0........................... 0an1 an2 an3 anna11 a12 a1n0 a22 a2n0 0 a33 a3n..............................0 0 0 0 annA =a b cc d ee e f .Ejercicios tericos 39. T.12. Cuntos 5-vectores binarios hay? Cuntos n-vectoresbinarios existen?T.13. Haga una lista de todas las posibles matrices binarias de2 2. Cuntas hay?T.14. Cuntas matrices binarias de 3 3 hay?T.15. Cuntas matrices binarias de n n existen?T.16. Represente con 0 la palabra OFF y con 1 la palabra ON(los trminos de muchos aparatos electrnicos para apa-gado y encendido, respectivamente), y seaDetermine la matriz B de ON/OFF tal que A + B sea unamatriz con cada entrada igual a OFF.T.17. Represente con 0 la palabra OFF y con 1 la palabra ON, yseaDetermine la matriz B de ON/OFF tal que A + B sea unamatriz con cada entrada igual a ON.T.18. Un interruptor de luz normal tiene dos posiciones (o esta-dos) encendido y apagado. Suponga que la matriz binariarepresenta un conmutador de interruptores en donde 0 re-presenta apagado y 1 representa encendido.(a) Determine una matriz B tal que A + B represente elconmutador de interruptores con el estado de cada in-terruptor invertido.(b) SeaLa matriz B del inciso (a) tambin invertir los es-tados del conmutador de interruptores representadopor C? Verifique su respuesta.(c) Si A es cualquier matriz binaria de m n que repre-senta un conmutador de interruptores, determine unamatriz binaria B de m n tal que A + B inviertatodos los estados de los interruptores en A. Justifiquepor qu B invertir los estados de A.C =1 10 01 0 .A =1 00 11 1A =ON ON OFFOFF ON OFFOFF ON ON .A =ON ON OFFOFF ON OFFOFF ON ON .Sec. 1.3 Producto punto y multiplicacin de matrices 21Para utilizar MATLAB en esta seccin, primero deber leer lassecciones 12.1 y 12.2, las cuales proporcionan informacin bsicaacerca del programa as como de las operaciones matriciales conel mismo. Le pedimos que siga con cuidado los ejemplos o ilustra-ciones de las instrucciones de MATLAB que aparecen en lassecciones 12.1 y 12.2 antes de intentar realizar estos ejercicios.ML.1. Introduzca las siguientes matrices en MATLAB.Utilice los comandos apropiados de MATLAB para desple-gar lo siguiente:(a) a23, b23, b12.(b) fila1(A), columna3(A), fila2(B).(c) Escriba el comando format long de MATLAB y des-pliegue la matriz B. Compare los elementos de B in-dicados en el inciso (a) y los del despliegue actual.Observe que el comando format short despliega losvalores redondeados a cuatro decimales. Restablezcael formato a format short.ML.2. Escriba el comando H = hilb(5) en MATLAB; (Observeque el ltimo carcter es un punto y coma, el cual sirvepara suprimir el despliegue del contenido de la matriz H;vea la seccin 12.1.). Para obtener ms informacin acercadel comando hilb, escriba help hilb. Utilice los coman-dos apropiados de MATLAB para hacer lo siguiente:(a) Determine el tamao de H.(b) Despliegue el contenido de H.(c) Despliegue el contenido de H como nmeros racio-nales.(d) Extraiga las tres primeras columnas como una matriz.(e) Extraiga las dos ltimas filas (renglones) como unamatriz.Los ejercicios ML.3 a ML.5 emplean matrices binarias y los co-mandos complementarios descritos en la seccin 12.9.ML.3. Utilice bingen para resolver los ejercicios T.10 y T.11.ML.4. Utilice bingen para resolver el ejercicio T.13. (Sugeren-cia: una matriz de n n contiene el mismo nmero deentradas que un n2-vector.)ML.5. Resuelva el ejercicio 11 utilizando binadd.A =5 1 23 0 12 4 1 ,B =4 2 2/ 31/ 201 5 8.20.00001 (9 + 4)/ 3 .1.3 PRODUCTO PUNTO Y MULTIPLICACIN DE MATRICESEn esta seccin presentaremos la operacin de multiplicacin de matrices. A diferenciade la suma, algunas de las propiedades de la multiplicacin de matrices la distinguen dela multiplicacin de nmeros reales.Ejercicios con MATLAB 40. DEFINICIN El producto punto o producto interior de los n-vectores a y b es la suma de los pro-ductos de las entradas correspondientes. En consecuencia, sientonces(1)De manera similar, si a o b (o ambas) son n-vectores escritos como una matriz de 1 n,el producto punto a b est dado por (1). El producto punto de los vectores en Cnsedefine en el apndice A.2.El producto punto es una operacin importante que usaremos tanto en sta comoen secciones posteriores.EJEMPLO 1 El producto punto deesu v = (1)(2) + (2)(3) + (3)(2) + (4)(1) = 6. EJEMPLO 2 Sean a = [x 2 3] y Si a b = 4, determine x.Solucin Tenemosa b = 4x + 2 + 6 = 44x + 8 = 4x = 3. EJEMPLO 3 (Aplicacin: clculo de la calificacin promedio de un curso) Suponga que un pro-fesor utiliza cuatro notas para determinar la calificacin promedio que obtiene un estu-diante en un curso: cuestionarios, dos exmenes de una hora y un examen final. Cadauna de estas notas tiene una ponderacin de 10, 30, 30 y 30%, respectivamente. Si lascalificaciones de un estudiante son, en cada rubro, 78, 84, 62 y 85, podemos calcular elpromedio del curso haciendoy calculandow g = (0.10)(78) + (0.30)(84) + (0.30)(62) + (0.30)(85) = 77.1.As, el promedio del curso del estudiante es 77.1. w =0.100.300.300.30 y g =78846285b =412.u =1234 y v =2321a b = a1b1 + a2b2 + + anbn =ni=1ai bi .*a =a1a2...an y b =b1b2...bn ,22 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices*Tal vez ya est familiarizado con esta til notacin, la notacin de suma. De cualquier manera, la analizare-mos con detalle al final de esta seccin. 41. A B = ABm np pigualesm nMULTIPLICACIN DE MATRICESDEFINICIN Si A = [aij] es una matriz de m p, y B = [bij] es una matriz de p n, el producto deA y B, que se denota mediante AB, es la matriz C = [cij] de m n, definida como(2)La ecuacin (2) dice que el i, j-simo elemento de la matriz producto es el produc-to punto de la i-sima fila, fili (A) y la j-sima columna, colj (B) de B; esto se muestraen la figura 1.4.ci j = ai1b1 j + ai2b2 j + + aipbpj=pk=1aikbkj (1 i m, 1 j n).Sec. 1.3 Producto punto y multiplicacin de matrices 23Observe que el producto de A y B slo est definido cuando el nmero de filas deB es exactamente igual al nmero de columnas de A, como se indica en la figura 1.5.EJEMPLO 4 SeanEntoncesAB =(1)( 2) + (2)(4) + ( 1)(2) (1)(5) + (2)(3) + (1)(1)(3)( 2) + (1)(4) + (4)(2) (3)(5) + (1)(3) + (4)(1)=4 26 16.A =1 2 13 1 4y B =2 54 32 1 .Figura 1.4 colj(B)b11bp1b21...b12bp2b22...b1jbpjb2j...b1nbpnb2n.... . .. . .. . .. . .. . .. . .fili(A)a11ai1am1a21......a12ai2am2a22......a1paipampa2p....... . .. . .. . .. . .c11cm1c21...c12cm2c22...c1ncmnc2n...cij. . .. . .. . .= .pk = 1fili(A) . colj(B) = aik bkjFigura 1.5 tamao de AB 42. EJEMPLO 5 SeanCalcule la entrada (3, 2) de AB.Solucin Si AB = C, la entrada (3, 2) de AB es c32, que es fil3(A) col2(B). Ahora tenemosEJEMPLO 6 El sistema linealpuede escribirse (verifquelo) por medio del producto de matrices comoEJEMPLO 7 SeanSi determine x y y.Solucin TenemosEntonces2 + 4x + 3y = 12y = 6,por lo que x = 2 y y = 6. Las propiedades bsicas de la multiplicacin de matrices se estudiarn en la sec-cin siguiente. Por lo pronto, diremos que la multiplicacin de matrices requiere mu-cho ms cuidado que la suma, ya que las propiedades algebraicas de la multiplicacinde matrices difieren de las que satisfacen los nmeros reales. Parte del problema se de-be al hecho de que AB se define slo cuando el nmero de columnas de A es igual alnmero de filas de B. En consecuencia, si A es una matriz de m p y B es una matrizde p n, AB es una matriz de m n. Qu ocurre con BA? Pueden suceder cuatro si-tuaciones diferentes:1. Es posible que BA no est definido; esto pasar si n m.2. Si BA est definida, lo que significa que m = n, entonces BA es de p p, mientrasque AB es de m m; de esta manera, si m p, AB y BA son de tamaos diferentes.AB =1 x 32 1 124y =2 + 4x + 3y4 4 + y=126.AB =126,A =1 x 32 1 1y B =24y .1 2 13 0 4xyz =25.x + 2y z = 23x + 4z = 5fil3(A) col2(B) = 0 1 2 412 = 5.A =1 2 34 2 10 1 2 y B =1 43 12 2 .24 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices 43. 3. Si AB y BA son del mismo tamao, pueden ser iguales.4. Si AB y BA son del mismo tamao, pueden ser diferentes.EJEMPLO 8 Si A es una matriz de 2 3 y B es una matriz de 3 4, AB es una matriz de 2 4,mientras que BA no est definida. EJEMPLO 9 Sean A de 2 3 y B de 3 2. Entonces AB es de 2 2, mientras que BA es de3 3. EJEMPLO 10 SeanEntoncesEn consecuencia, AB BA. Uno se preguntara por qu la igualdad y la suma de matrices se definen de mane-ra natural, mientras que la multiplicacin de matrices parece mucho ms complicada.El ejemplo 11 nos proporciona una idea al respecto.EJEMPLO 11 (Ecologa) Una siembra se roca con pesticidas para eliminar insectos dainos; sin em-bargo, las plantas absorben parte de las sustancias. Luego, los animales herbvoros dela zona comen las plantas contaminadas y absorben los pesticidas. Para determinar lacantidad de pesticida absorbida por uno de esos animales, procedemos de la manera si-guiente. Suponga que tenemos tres pesticidas y cuatro plantas. Sea aij la cantidad depesticida i (en miligramos) absorbida por la planta j. Esta informacin puede represen-tarse mediante la matrizImagine ahora, que tenemos tres animales herbvoros, y sea bij la cantidad de plantasdel tipo i que uno de ellos, de tipo j, come mensualmente. La informacin puede repre-sentarse mediante la matrizLa entrada (i, j) de AB proporciona la cantidad de pesticida del tipo i que ha absorbidoel animal j. En consecuencia, si i = 2 y j = 3, la entrada (2, 3) de AB es3(8) + 2(15) + 2(10) + 5(20)= 174 mg de pesticida, 2 absorbidos por el herbvoro 3.Ahora bien, si tuviramos p animales carnvoros (como el hombre) que se comen a losherbvoros, podramos repetir el anlisis para determinar cunto pesticida absorbe cadauno. B =Herbvoro 1 Herbvoro 2 Herbvoro 320 12 828 15 1530 12 1040 16 20Planta 1Planta 2Planta 3Planta 4A =Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 42 3 4 33 2 2 54 1 6 4Pesticida 1Pesticida 2Pesticida 3AB =2 32 2mientras que B A =1 71 3.A =1 21 3y B =2 10 1.Sec. 1.3 Producto punto y multiplicacin de matrices 25 44. A veces es til poder determinar una columna en el producto matricial AB sin te-ner que multiplicar las dos matrices. Puede demostrarse (ejercicio T.9) que la j-simacolumna del producto matricial AB es igual al producto matricial Acolj(B).EJEMPLO 12 SeanEntonces, la segunda columna de AB esObservacin Si u y v son n-vectores, puede demostrarse (ejercicio T.14) que si los consideramoscomo matrices de n 1,u v = uTv.Esta observacin nos servir en el captulo 3. De manera similar, si u y v se consideranmatrices de 1 n, entoncesu v = uvT.Por ltimo, si u es una matriz de 1 n y v es una matriz de n 1, u v = uv.EJEMPLO 13 Sean Entoncesu v = 1(2) + 2(1) + (3)(1) = 3.Adems,EL PRODUCTO MATRIZ-VECTOR ESCRITO EN TRMINOSDE COLUMNASSeauna matriz de m n, y seac =c1c2...cnA =a11 a12 a1na21 a22 a2n.........am1 am2 amnuTv = 1 2 3211 = 1(2) + 2( 1) + (3)(1) + 3.u =123 y v =211.Acol2(B) =1 23 41 5 32=7177 .A =1 23 41 5 y B =2 3 43 2 1.26 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices 45. un n-vector, es decir una matriz de n 1. Como A es de m n y c es de n 1, el pro-ducto matricial Ac es la matriz de m 1El lado derecho de esta expresin puede escribirse como= c1col1(A) + c2col2(A) + + cncoln(A).En consecuencia, el producto Ac de una matriz A de m n y una matriz c de n 1 pue-de escribirse como una combinacin lineal de las columnas de A, en las que los coefi-cientes son las entradas en c.EJEMPLO 14 SeanEntonces, el producto Ac escrito como una comunicacin lineal de las columnas deA esSi A es una matriz de m p y B es una matriz de p n, podemos concluir que laj-sima columna del producto AB se puede escribir como una combinacin lineal de lascolumnas de la matriz A, en la que los coeficientes son las entradas en la j-sima co-lumna de la matriz B:colj (AB) = Acolj (B) = b1j col1(A) + b2j col2(A) + + bpj colp(A).EJEMPLO 15 Si A y B son las matrices definidas en el ejemplo 12, entoncesAB =1 23 41 5 2 3 43 2 1=4 7 66 17 1617 7 1 .Ac =2 1 34 2 2234 = 224 312+ 432=56.A =2 1 34 2 2y c =234 .c1a11a21...am1 + c2a12a22...am2 + + cna1na2n...amnAc =a11 a12 a1na21 a22 a2n.........am1 am2 amnc1c2...cn =rengln1(A) crengln2(A) c...renglnm(A) c=a11c1 + a12c2 + + a1ncna21c1 + a22c2 + + a2ncn...am1c1 + am2c2 + + amncn .Sec. 1.3 Producto punto y multiplicacin de matrices 27(3)(4) 46. Las columnas de AB como combinaciones lineales de las columnas de A estn dadas porSISTEMAS LINEALESA continuacin generalizaremos el ejemplo 6. Consideremos el sistema lineal de mecuaciones en n incgnitas,Ahora definamos las siguientes matrices:EntoncesLas entradas en el producto Ax son slo los lados izquierdos de las ecuaciones en(5). Por lo tanto, el sistema lineal (5) puede escribirse en forma matricial comoAx = b.La matriz A es la matriz de coeficientes del sistema lineal (5), y la matrizobtenida al agregar la columna b a A, se denomina matriz aumentada del sistema li-neal (5). La matriz aumentada de (5) se escribe como Recprocamente, cual-quier matriz con ms de una columna puede considerarse la matriz aumentada de unsistema lineal. La matriz de coeficientes y la matriz aumentada tienen una funcin esen-cial en nuestro mtodo de solucin de sistemas lineales.A b .a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2............am1 am2 amn bm ,Ax =a11 a12 a1na21 a22 a2n.........am1 am2 amnx1x2...xn =a11x1 + a12x2 + + a1n xna21x1 + a22x2 + + a2n xn.........am1x1 + am2x2 + + amn xn .A =a11 a12 a1na21 a22 a2n.........am1 am2 amn , x =x1x2...xn , b =b1b2...bm .a11x1 + a12x2 + + a1n xn = b1a21x1 + a22x2 + + a2n xn = b2............am1x1 + am2x2 + + amn xn = bm.col1(AB) =4617 = Acol1(B) = 2131 + 3245col2(AB) =7177 = Acol2(B) = 3131 + 2245col3(AB) =6161 = Acol3(B) = 4131 + 1245 .28 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices(5) 47. EJEMPLO 16 Considere el sistema linealSi hacemospodemos escribir el sistema lineal dado en forma matricial, comoAx = b.La matriz de coeficientes es A y la matriz aumentada esEJEMPLO 17 La matrizes la matriz aumentada del sistema linealCon base en el anlisis anterior, se desprende que el sistema lineal en (5) puede es-cribirse como una combinacin lineal de las columnas de A, comoRecprocamente, una ecuacin las de (6) siempre describe un sistema lineal como en (5).PARTICIN DE MATRICES (OPCIONAL)Si comenzamos con una matriz A = [aij] de m n, y eliminamos algunas filas (renglo-nes) o columnas (pero no todos), obtenemos una submatriz de A.EJEMPLO 18 SeaSi eliminamos la segunda fila y la tercera columna, obtenemos la submatriz1 2 43 0 3.A =1 2 3 42 4 3 53 0 5 3 .x1a11a21...am1 = x2a12a22...am2 + + xna1na2n...amn =b1b2...bm .2x y + 3z = 43x + 2z = 5.,2 1 3 43 0 2 52 0 1 52 3 4 73 2 2 3 .A =2 0 12 3 43 2 2 , x =xyz y b =573 ,2x + z = 52x + 3y 4z = 73x + 2y + 2z = 3.Sec. 1.3 Producto punto y multiplicacin de matrices 29(6) 48. Para subdividir una matriz en submatrices, se pueden trazar rectas horizontales en-tre las filas (renglones) y rectas verticales entre las columnas. Por supuesto, la particinse puede realizar de muchas formas distintas.EJEMPLO 19 La matrizse puede separar comoTambin podramos escribirlo cual da otra particin de A. En consecuencia, podemos hablar de particiones de unamatriz. EJEMPLO 20 La matriz aumentada de un sistema lineal es una matriz con una particin. As, si Ax =b, podemos escribir la matriz aumentada de este sistema como Si A y B son matrices de m n que tienen una particin de la misma forma, A +B se obtiene simplemente sumando las submatrices correspondientes de A y B. De ma-nera anloga, si A es una matriz con una particin, el mltiplo escalar cA se obtiene for-mando el mltiplo escalar de cada submatriz.Si A se divide como en (7) yentonces un clculo directo nos muestra queEJEMPLO 21 SeaA =1 0 1 00 2 3 12 0 4 00 1 0 3=A11 A12A21 A22AB =(A11 B11 + A12 B21 + A13 B31) ( A11 B12 + A12 B22 + A13 B32)(A21 B11 + A22 B21 + A23 B31) (A21 B12 + A22 B22 + A23 B32) .B =b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34b41 b42 b43 b44b51 b52 b53 b54=B11 B12B21 B22B31 B32 ,A b .A =a11 a12 a13 a14 a15a21 a22 a23 a24 a25a31 a32 a33 a34 a35a41 a42 a43 a44 a45 =A11 A12 A13A21 A22 A23 ,A =A11 A12A21 A22.A =a11 a12 a13 a14 a15a21 a22 a23 a24 a25a31 a32 a33 a34 a35a41 a42 a43 a44 a4530 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices(7) 49. y seaEntoncesdonde C11 debe ser A11B11 + A12B21. Verificamos como sigue que C11 es esta expre-sin:Este mtodo de multiplicacin de matrices con una particin tambin se conoce co-mo multiplicacin por bloques. Las matrices con particin son tiles al trabajar conmatrices que exceden la capacidad de memoria de una computadora. De esta manera,al multiplicar dos matrices con particin se pueden conservar las matrices en un discoy llevar a la memoria solamente las submatrices necesarias para formar sus productos.Por supuesto, el resultado puede guardarse en el disco conforme se vaya calculando. Laparticin de las matrices debe hacerse de modo que los productos de las matrices corres-pondien