adm 2008 gabarito
Post on 26-Nov-2015
276 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
Notas de aula Notas de aula Notas de aula Notas de aula de de de de
Matemtica Matemtica Matemtica Matemtica AplicadaAplicadaAplicadaAplicada
Profa. Elaine MartiniProfa. Elaine MartiniProfa. Elaine MartiniProfa. Elaine Martini
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
2
1. COJUTOS UMRICOS 1.1- Conjunto dos nmeros aturais ()
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
O conjunto dos nmeros Naturais possui um importante subconjunto, o conjunto dos nmeros Naturais no nulos, representado por N*: * = {0} = {1, 2, 3, 4, 5, ...} = { x / x 0} Obs.: Toda vez que o *(asterisco) estiver a direita de um conjunto, isto representar a excluso do elemento zero. No conjunto dos nmeros Naturais esto definidas duas operaes; a adio e a multiplicao. Note que, adicionando ( multiplicando) dois elementos quaisquer de N, a soma ( o produto) pertence igualmente a N. O mesmo no ocorre com a subtrao, em outras palavras o conjunto N no fechado para a subtrao. Por esse motivo, fez-se uma ampliao do conjunto N e surgiu o conjunto dos nmeros inteiros. 1.2- Conjunto dos nmeros Inteiros (Z)
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} A representao geomtrica do conjunto dos nmeros inteiros :
O conjunto dos nmeros inteiros possui alguns subconjuntos importantes: 1) O conjunto dos nmeros inteiros no nulos:
Z* = Z {0} = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} = { x Z / x 0}
0 +1 +2 +3 -2 -1 -3
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
3
2) O conjunto dos nmeros inteiros no negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} = { x Z / x 0} Z+ o prprio conjunto dos nmeros naturais: Z+ = , logo, N Z. 3) O conjunto dos nmeros inteiros positivos:
Z*+ = Z+ - {0} = {1, 2, 3, ...} = { x Z / x >>>> 0} 4) O conjunto dos nmeros inteiros no positivos: Z - = {..., -3, -2, -1, 0} = { x Z / x 0} 5) O conjunto dos nmeros inteiros negativos: Z*- = Z - - {0} = {..., -3, -2, -1} = { x Z / x > 0} 4) O conjunto dos nmeros racionais no positivos:
Z*}b e Za,b
a{x / xQ ==
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
4
Q - = { x Q / x 0} 5) O conjunto dos nmeros racionais negativos: Q*- = Q - - {0} = { x Q / x
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
5
2) O nmero decimal obtido possui, aps a vrgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), que se repetem periodicamente:
Tais nmeros so chamados de decimais peridicos ou dzimas
peridicas; em cada um deles, os nmeros que se repetem formam a parte peridica, ou perodo da dzima. Quando uma frao equivalente a uma dzima peridica, a frao chamada geratriz da dzima. Para sabermos se uma frao irredutvel equivale a um decimal exato ou uma dzima peridica ( sem efetuar a diviso do numerador pelo denominador), basta decompor o denominador em fatores primos. Nesse caso: A frao equivale a um decimal exato se o denominador contiver apenas os
fatores 2 ou 5; A frao equivale a uma dzima peridica se o denominador contiver algum fator
primo diferente de 2 e de 5. REPRESETACO FRACIORIA DOS MEROS DECIMAIS
Trata-se do problema inverso: estando o nmero racional escrito na forma decimal, procuraremos escrev0lo na forma fracionria. Temos dois casos: 1 Caso: Decimal Exato Transformamos o nmero em uma frao cujo numerador o nmero decimal sem a vrgula e o denominador composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros forem as casas decimais do nmero decimal dado:
1
30 3333 0 3
2
70 285714285714285714 0 285714
1
220 045454545 0 045
= =
= =
= =
, ... , ;
, ... , ;
, ... , ;
etc.
0 77
10
1
20, ; ; ; ;= = 2,3 =
23
10 0,43 =
43
100 9,43 =
943
100 0,05 =
5
100
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
6
2 Caso: Dzima Peridica Devemos achar a frao geratriz da dzima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento atravs de alguns exemplos. Exemplo 1 0,7777...
Exemplo 2 2,13131313...
Exemplo 3 1,325252525...
9
7=0,7777... :Ento
9
7797,07,710
...7777,710
...7777,0===
=
=xxxx
x
x
.99
211=...2,13131313 :Ento
99
2112119913,213,213100
...131313,213100
...131313,2===
=
=xxxx
x
x
x
x
x
x x x x
=
=
=
= = =
=
1 325252525
10 13 252525
1000 1325 252525
1000 10 1325 25 13 25 990 13121312
990
656
495
, ...
, ...
, ...
, ,
Ento: 1,325252525...=1312
990
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
7
DISPOSITIVO PRTICO PARA OBTEO DA FRAO GERATRIZ: 1 Caso: Dzima Peridica Simples A geratriz de uma dzima peridica simples (de parte inteira nula) uma frao que tem para numerador o perodo e para denominador um nmero formado por tantos noves quantos forem os algarismos do perodo. Esquematicamente:
Exemplos:
Nos casos das dzimas peridicas simples de parte inteira no nula, as
transformamos em nmero misto. Exemplo:
3
7
3
12
9
323330233332 ===+= ...,..,
2 Caso: Dzima Peridica Composta
A geratriz de uma dzima peridica composta uma frao que tem para numerador a diferena entre o nmero formado pela parte no peridica acompanhada de um perodo e a parte no peridica; e, para denominador, um nmero formado de tantos noves quantos forem os algarismos do perodo, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte no peridicas que estiver na parte decimal da dzima.
P P. .
...9 9
0 44444
90 525252
52
99
41
333, ... ; , ... ; ;= = = 0,123123123...=
123
999 etc.
( . . .)( . .) ( . . .)
( ... )( ... )
. . .
. .
p n p p p p n p
p n p
p p
=
=
9 9 0 0
parte no peridica
parte peridica
X
+
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
8
Esquematicamente: Exemplo:
Obs.: A frao geratriz das dzimas peridicas simples de parte inteira no nula tambm pode ser obtida utilizando o dispositivo prtico da composta, conforme exemplo:
99
9934
99=
100-10034=...100,343434
Obs.: As dzimas peridicas de perodo 9 no tm geratrizes no sentido anterior. Neste caso procedemos, por definio, como nos exemplos seguintes:
OPERAES EM Q: - Adio ou subtrao: 1 caso: Adio ou subtrao de fraes de mesmo denominador:
b
ca
b
c
b
a = , com b 0.
2 caso: Adio ou subtrao de fraes de denominadores diferentes:
bd
bcad
bd
bc
bd
ad
d
c
b
a == , com b 0 e d 0.
;....225
73
900
292
900
323243244440 ==
=
0 9999 1
6 43999 6 44644
100
161
25
, ...
, ... ,
=
= = =
Conservamos o denominador e somamos (ou subtramos) os numeradores.
Tiramos o mnimo mltiplo comum (mmc) dos denominadores,
transformando-as em fraes equivalentes de mesmo denominador para depois
somamos (ou subtramos) os
numeradores.
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
9
- Multiplicao:
bd
ac
db
ca
d
c
b
a==
.
. , com b 0 e d 0.
- Diviso:
bc
ad
cb
da
c
d
b
a
d
cb
a
d
c
b
a====
.
.. , com b 0, c 0 e d 0.
1.4- Conjunto dos Nmeros Irracionais (I)
Os nmeros decimais que podem ser escritos como fraes, como numerador e denominadores inteiros so denominados nmeros racionais, mas h os que no admitem tal representao, que so os nmeros decimais no exatos e no peridicos, tambm conhecidos como irracionais.
Vejamos alguns exemplos:
0 101001000100001
1 2345678910111213
2 1 4142136
3 17320508
3141592
, ...
, ...
, ...
, ...
, ...
.
=
=
=etc
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
10
1.4- Conjunto dos nmeros Reais (R) O conjunto formado pelos nmeros racionais e pelos nmeros
irracionais chamado Conjunto dos nmeros Reais e representado por R. Assim temos:
R = Q I, sendo Q I = Lembrando que N Z Q, podemos construir o diagrama:
Z Q R
Alm desses (N, Z, Q e I), o conjunto dos nmeros reais apresenta outros subconjuntos importantes de R:
1) O conjunto dos nmeros reais no nulos:
R* = R {0} = { x R / x 0} 2) O conjunto dos nmeros reais no negativos:
R+ = { x R / x 0} 3) O conjunto dos nmeros reais positivos:
R*+ = R+ - {0} = { x R / x >>>> 0} 4) O conjunto dos nmeros reais no positivos: R - = { x R / x 0} 5) O conjunto dos nmeros reais negativos: R*- = R - - {0} = { x R / x
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
11
REPRESETAO GEOMTRICA DOS MEROS REAIS
A representao geomtrica do conjunto dos nmeros reais : ITERVALOS REAIS
Dados dois nmeros reais a e b, com a < b, definimos: (a) intervalo aberto de extremos a e b o conjunto:
]a,b[ = {x R/ a < x < b}
(b) intervalo fechado de extremos a e b o conjunto: [a,b] = {x R/ a x b}
(c) intervalo fechado esquerda ( ou aberto direita) de extremos a e b o conjunto:
[a,b[ = {x R/ a x < b} (d) intervalo fechado direita ( ou aberto esquerda) de extremos a e b o
conjunto: ]a,b] = {x R/ a < x b}
Os nmeros reais a e b so denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo.
0 +1 +2 +3 -2 -1 -3
=
5
22 5,
5
22 5= ,
= 3 1 7 320 5, . . .
= 1
30 3 3 3, . . .
1
30 3 3 3= , . . .
3 1 732 05= , . . .
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
12
Tambm consideramos os intervalos infinitos assim definidos: (a) ]-,a[ = {x R/ x < a} (b) ]-,a] = {x R/ x a} (c) ]a,+[ = {x R/ x > a} (d) [a,+[ = {x R/ x a} (e) ]-,+[ = R REPRESETAO GRFICA
]a,b[
[a,b]
[a,b[
]a,b]
]-,a]
]a,+ [
a b
a b
a b
a b
a
a
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
13
EXERCCIOS DE FIXAO
1. Coloque V ou F e justifique: a) + = ( ) f) + = ( ) b) +* * = ( ) g) + ( ) c) +* = ( ) h) - = +* ( ) d) * = ( ) i) (+ ) * = ( ) e) ( ) j) - + = ( ) 2. Descreva por meio de uma propriedade caracterstica cada um dos subconjuntos
abaixo: a) * = b) + = c) * = d) +* = e) * = f) = 3. Rescreva as sentenas usando os smbolos matemticos: < , =, >, , , a) a um nmero positivo: b) b um nmero no nulo: c) c um nmero no positivo: d) d um nmeros negativo; e) e um nmero no negativo: f) f um nmero nulo: g) g um nmero maior ou igual a h: h) h menor que i: i) i est compreendido entre j e k , sendo que k menor que j: 4. Coloque V ou F e justifique:
a) Q ( ) f) 2
14 Q Z ( )
b) Z Q ( ) g) 14
21 irredutvel ( )
c) 0 Q ( ) h) 147
121 < 150
131 ( )
d) 517 Q ( ) i) 7
2 Q - Z ( )
e) 0,4747... Q ( ) j) 1 Q - Z ( )
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
14
5. Escrevam, na forma decimal, os seguintes nmeros:
==
==
==
==
10000
71)
22
1)
100
143)
20
1)
145
29)
3
8)
154
140)
5
4)
hd
gc
fb
ea
6. Escrever na forma fracionria os seguintes nmeros; a) 0,75 = g) 110,431 = b) 4,12 = h) 4,592222... = c) 2,333... = i) 0,666... = d) 3,292 = j) 5,414414414... = e) 0,555... = l) 17,34434343... = f) 32,17 = m) 0,43181818... = 7. Calcule o valor de:
=
++=
15
1
5
33
1
5
1
...999,0) 0,2 . 0,5
01,0 . 47,0 . 2,0) ba
8. Coloque V ou F e justifique:
a) 3 R ( ) e) 2
1 R Q ( )
b) N R ( ) f) 4 R Q ( )
c) Z R ( ) g) 5
23 R Q ( )
d) R - Q ( ) h) 25
23 Q ( )
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
15
9. Descreva os seguintes conjuntos: a) [0,2] [1,3] = g) [-1,3] [0,4] =
b) =
3
4,0
5
2,1 h) ]-2,1] ]0,5[ =
c) ]-, 2] [0,+ [ = i) [-1,3] ]3,5] =
d) [-1, + [
2,
2
9 = j) =
4
1,
2
30,
2
1
e) ]-, 4] [4,+ [ = l) [1,2] [0,3] ]-1,4[ = f) [-7, 2] ]2,+ [ = m) ]-,0] [0,+[ = 10. Complete o quadro abaixo: Conjunto
s numric
os
Notao da Teoria de conjuntos
Representao na reta numrica
Notao de intervalo
R+
R-*
R+*
R-
R*
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
16
Respostas
1. a) V, b) F, c) F, d) V, e) V, f) F, g) F, h) V, i) V, j) F 2. a) {x Z / x < 0}
b) {x Z / x 0} c) {x Z / x 0} d) {x Z / x > 0} e) {x N / x 0} f) {x Z / x 0}
3. a) a > 0 ; b) b 0 ; c) c 0 ; d) d < 0 ; e) e 0 ; f) f = 0; g) g h ; h) h < i; i) k < i < j.
4. a) V, b) V, c) V, d) V e) V, f) F, g) F, h) V, i) V, j) F 5. a) 0,8 ; b) 2,666... ; c) 0,05 ; d) 0,0454545... ;
e) 0,909090... ; f) 0,2 ; g) 1,43 ; h) 0,0071 6. a) 3/4, b) 103/25, c) 7/3, d) 823/250, e) 5/9, f) 3217/100,
g) 110431/1000, h) 4133/900, i) 2/3, j) 601/111, l l) 171709/9900, m) 19/44
7. a) 1, b) 2 8. a) V, b) V, c) V, d) V e) F, f) V, g) V, h) V. 9. a) [1,2], b) ]0,2/5[, c) [0,2], d) [-1,2[ e) {4}, f) ,
g) [-1,4], h) ]-2,5[, i) [-1,5], j) ]-3/2,0[, l) ]-1,4[, m) ]-, +[ = R. 10. a) {x Z / x 0}
b) {x Z / x < 0} c) {x Z / x > 0} d) {x Z / x 0} e) {x Z / x 0}
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
17
1.5. OPERAES COM OS MEROS RACIOAIS 1.5.1 - EXPRESSES UMRICAS
As expresses numricas so expresses matemtica que envolvem nmeros.
Devemos lembrar que existe uma ordem para resolvermos qualquer expresso numrica.
Se uma expresso numrica contm radiciao, potenciao e as quatro operaes, efetuaremos em primeiro lugar a potenciao ou radiciao, na ordem em que aparecem; em seguida, as multiplicaes ou divises na ordem em que ocorrem; e por ltimo, as adies ou subtraes, tambm na ordem em que aparecem.
Se a expresso apresenta os sinais de parnteses ( ), colchetes [ ] ou chaves { }, observamos a seguinte ordem: 1o efetuamos as operaes no interior dos parnteses, depois efetuamos as operaes no interior dos colchetes e por ltimo, efetuamos as operaes no interior das chaves.
Exemplos: Calcule as seguintes expresses numricas: a)
5
15
11124
56124
5
2
33
4
5
2
321
=
=
=
=+
Adicionando os inteiros
Reduzindo as fraes ao mesmo denominador
Ateno: Lembre-se sempre de trabalhar com
as fraes na forma irredutvel.
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
18
b)
5
12
5
125
41025
42
5
2
10
82
5
2
10
1572
5
2
2
3
10
72
5
2
4
6
10
72
5
2
4
3
4
3
10
72
5
2
4
3
4
25
10
72
5
2
4
3
2
1
4
5
10
72
5
2
=
=
=
=
=
+
=
+
=
+
=
++
=
+
+
=
+
+
c)
2
11
4
224
11294
13
4
94
13
56
60.
30
634
13
60
56
30
63
=
=++
=++
=++
=++
Resolvendo primeiro os parnteses
Agora resolvendo os colchetes
Reduzindo as fraes ao mesmo denominador
Resolvendo primeiro a diviso
Agora resolvendo a multiplicao (simplificando os fatores, antes de realizar o produto)
Reduzindo as fraes ao mesmo denominador
Ateno: Simplifique as fraes sempre que possvel
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
19
d)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
5
22
5
11.2
11
52
5
112
5
4152
5
432
5
2232
2
5232
4
10232
4
813232
24
1
4
3232
28
2
4
3232
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
=
=
=
+
=
+
=
=
=
=
+
=
+
=
+
Resolvendo primeiro os parnteses
Resolvendo primeiro a diviso
Agora resolvendo a multiplicao
Agora resolvendo os colchetes
Agora resolvendo a multiplicao
Resolvendo a diviso
Lembrar que:
a
a11 = ;
nn
aa
1= ;
a
b
b
a=
1
e n
nnn
a
b
a
b
b
a=
=
Resolvendo a potenciao, e lembrando que
a
b
b
a=
1
Ateno Simplifique as fraes sempre que possvel
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
20
e)
24
5
24
5
24
833
1
8
1
3
2
2
1
8
1
2
3
2
1
8
1
2
162
2
1
2
1
2
131
2
12
1
1
3
13
=
=
=
=
=
=
+
=
+
f)
125
18
4
9
125
8
9
4
125
8
3
2
125
8
2
3
5
2
2
12
2
5
2
11
2
14
4
11
2
12
2
23
23
23
23
=
=
=
=
=
+
=
+
+
=
+
+
Resolvemos simultaneamente, a potncia 2-3 e dentro do parnteses.
Resolvemos primeiro a potenciao e depois a multiplicao.
Reduzindo as fraes ao mesmo denominador.
Resolvendo os parnteses, temos que: No primeiro parnteses, reduzir os termos ao mesmo
denominador, para efetuar a adio; no segundo parnteses resolvemos, primeiro a radiciao para depois adicionar.
No primeiro parnteses, resolvemos a potenciao.
No segundo parnteses, agora resolvemos a potenciao.
Resolvemos a diviso.
Agora resolve-se a multiplicao.
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
21
1.5.1.1 Exerccios Resolvidos
1. O valor da expresso numrica, 0
5
62
2
128
+ , :
a) 8 b) 7 c) 53/8 d) 49/8 e) nda
Soluo: alternativa b Lembrando que todo nmero elevado a zero igual um, ento a expresso numrica fica
0
5
62
2
128
+ = 8 1 = 7
Portanto, as demais alternativas esto descartadas.
2. O valor da expresso numrica, 2
2
2
131
2
12
++ , :
a) 36
17
b) 24
259
c) 4
21
d) 14 e) nda Soluo: alternativa a Obedecendo todas as regras de resoluo, a expresso numrica,
22
2
131
2
12
++ , ficar assim:
36
17
36
89
9
2
4
1
9
4
2
1
4
1
3
2
2
1
4
1
2
3
2
1
4
1
2
162
2
1
2
1222
2=
+=+=
+=
+=
+=
++
Portanto, as demais alternativas esto descartadas.
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
22
3. O valor da expresso numrica, 824
24
13
13
15
15+
, :
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) nda Soluo: alternativa a Obedecendo todas as regras de resoluo e lembrando de simplificar as
fraes, temos que a expresso 824
24
13
13
15
15+
, ficar assim:
( ) 9818)1(18)1()1(1824
24
13
13
15
15=+=+=+=+
Portanto, as demais alternativas esto descartadas.
4. O valor da expresso numrica,
+2
11
2
13 2 , :
a) 2
1
b) 36
7
c) 12
5
d) 36
13
e) nda Soluo: alternativa d Obedecendo todas as regras de resoluo, temos que a expresso
+2
11
2
13 2 ficar assim:
36
13
36
94
4
1
9
1
2
1
2
1
9
1
2
12
2
1
3
1
2
11
2
13
2
2 =+
=+=
=
+=
+ .
Portanto, as demais alternativas esto descartadas.
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
23
5. O valor da expresso numrica, 121
5
4
5
12
+
+ , :
a) 16
137
b) 16
1
c) 25
191
d) 1 e) nda Soluo: alternativa c Obedecendo todas as regras de resoluo, e lembrando das propriedades da
potenciao (an)m = an.m , temos que a expresso 121
5
4
5
12
+
+ ficar
assim:
( )25
191
25
16175
25
167
25
1652
5
452
5
4
5
12
21
121
=+
=+=++=
++=
+
+
Portanto, as demais alternativas esto descartadas.
1.5.1.2 EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Calcular o valor das seguintes expresses numricas dando a resposta na forma
de uma frao irredutvel:
( )
( )
=
++
=
=+
=++=+
5
1
9
4
2
1
5
21
3
4 c)
3
2218
3
9
5
22
7
4 e)
7
43,011220 b)
21245
9
17
106 d) 21,34,03
5
4 )
22
1
,
a
Resp.: a)100
49 ; b)
3500
239.10; c)
90
221; d)
170
4741; e)
245
24
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
24
1.5.2 - Problemas envolvendo nmeros racionais 1.5.2.1 Exerccios propostos 1. Um comercirio gastou 1/3 de seu ordenado, comprando um pequeno rdio por
R$250,00. Qual o seu ordenado? 2. Gasto 2/5 do meu ordenado com aluguel de casa e dele em outras despesas.
Fico ainda com R$200,00. Qual o meu ordenado? 3. Cludia e Vera possuam juntas R$100,00. Ao comprarem um presente de
R$23,00 para oferecer a uma amiga comum, cada qual deu uma quantia diferente, na medida de suas possibilidades. Cludia entrou com do dinheiro de que dispunha e Vera com 1/5 do seu. Calcule com quanto Cludia contribuiu?
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
25
4. Gastei R$720,00 e fiquei ainda com 2/5 de meu ordenado. Qual o meu ordenado? 5. Pedro gastou 1/3 da quantia que possua e, depois, 2/9 dessa quantia. Ficou ainda
com R$ 40,00. Quanto Pedro possua? 6. Um excursionista fez uma viagem de 360 km. Os do percurso foram feitos de
trem, 1/8 a cavalo e o resto de automvel. Quantos km andou de automvel e que frao representa da viagem total?
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
26
7. Numa cesta havia laranjas. Deu-se 2/5 a uma pessoa, a tera parte do resto a outra e ainda restam 10 laranjas. Quantas laranjas havia na cesta?
8. Paulo e Antnio tm juntos R$123,00. Paulo gastou 2/5 e Antnio 3/7 do que
possuam, ficando com quantias iguais. Quanto possua cada um?
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
27
1.5.2.2 - Exerccios de Fixao 1. Quanto do nmero de minutos de uma hora? 2. Num time de futebol carioca, metade dos jogadores contratados so cariocas, 1/3
so dos outros Estados e os 4 restantes so estrangeiros. Quantos jogadores contratados tm o clube?
3. Comprei um apartamento por R$ 420.000,00. Paguei 2/3 de entrada e o resto em
10 meses. Quanto dei de entrada? 4. Dois teros de uma pea de fazenda medem 90 metros. Quantos metros tm a
pea? 5. Que horas so se o que ainda resta para terminar o dia 2/3 do que j passou? 6. Paulo gastou do que possua e, a seguir, a metade do resto. Ficou ainda com
R$7,00. Quanto Paulo possua? 7. Dei 3/5 do meu dinheiro a meu irmo e metade do resto a minha irm. Fiquei
ainda com R$8,00. Quanto eu possua? 8. Quanto devo subtrair do numerador da frao 324/349 para torn-la nove vezes
menor? 9. A soma da metade com a tera parte da quantia que certa pessoa tem igual a
R$15,00. Quanto possui esta pessoa? 10. Uma pessoa despendeu certa quantia na compra de um terreno e o vendeu por
R$35.000,00; nesta venda ganhou do que despendera. Por quanto comprou o terreno?
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
28
2. Regra de trs simples e composta Regra de trs simples envolve apenas duas grandezas, e essas grandezas
formam uma proporo, em que se conhecem trs termos e o quarto procurado, ao passo que a composta envolve mais de duas grandezas.
A natureza da proporo est relacionada ao tipo de grandezas envolvidas. As grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente
proporcionais. As grandezas diretamente proporcionais so aquelas que mantm o comportamento entre elas, ou seja, se uma grandeza aumenta (diminui), a outra tambm aumenta (diminui). As grandezas inversamente proporcionais so aquelas que no mantm o comportamento entre elas, ou seja, se uma grandeza aumenta (diminui), a outra diminui (aumenta). Exemplos: Exemplos: 1. Comprei 15 quilos de feijo por R$36,00. Quantos quilos de feijo poderia
comprar se tivesse R$120,00? Soluo: Devemos dispor as grandezas, bem como os valores envolvidos, de modo que possamos reconhecer a natureza da proporo e escrev-la. Assim:
Grandeza 1: quantidade de feijo em kg
Grandeza 2: preo em reais
15
36
x
120
Observe que colocamos na mesma linha
valores que se correspondem
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
29
A proporo entre as grandezas direta, porque, se aumentarmos a quantidade de feijo que vamos comprar, aumentamos o gasto. A proporo necessria :
5036
120151201536
120
3615=
=== xx
x
Resposta: Poderia comprar 50 quilos de feijo.
2. Numa fbrica, 16 homens com igual capacidade de trabalho realizam uma tarefa
durante 45 dias. Com 10 homens apenas, em quantos dias ser realizada a mesma tarefa?
Soluo: Devemos dispor as grandezas, bem como os valores envolvidos, de modo que possamos reconhecer a natureza da proporo e escrev-la. Assim:
Grandeza 1: nmero de
homens
Grandeza 2: dias de trabalho
16
45
10
x
A proporo entre as grandezas inversa porque, se aumentarmos o
nmero de homens, diminuir o tempo necessrio, para efetuar a mesma tarefa. Ento, torna-se necessria uma inverso de termos em qualquer uma das colunas.
Usaremos setas indicativas, para indicar a natureza da proporo. Se elas tiverem o mesmo sentido, as grandezas so
diretamente proporcionais; se em sentidos contrrios, so inversamente proporcionais.
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
30
16
x
10
45
Escrevendo a proporo, temos:
7210
4516451610
4510
16=
=== xx
x
Resposta: A mesma tarefa ser executada em 72 dias.
3. Se 100kg de arroz alimentam 36 pessoas durante 15 dias, quantos quilos do mesmo arroz sero necessrios, para alimentar o dobro de pessoas durante um ms e meio?
De forma anloga , voc deve verificar a natureza da proporo entre as grandezas e escrever essa proporo. Utilizaremos o mesmo modo de dispor as grandezas e os valores envolvidos.
Grandeza 1: quantidade de arroz em kg
Grandeza 2: mero de
pessoas
Grandeza 3: mero de dias
100
36
15
x
72
45
Importante: Natureza da proporo: para estabelecer o sentido das setas, necessrio fixar uma das grandezas e relacion-la com as outras.
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
31
Comparando as grandezas nmero de pessoas e nmero de dias com a grandeza quantidade de arroz, que contm a incgnita, percebemos que:
MANTENDO-SE FIXO O NMERO DE DIAS E AUMENTANDO-SE O NMERO DE PESSOAS, A QUANTIDADE DE COMIDA DEVE AUMENTAR. PORTANTO, ESSAS GRANDEZAS SO DIRETAME,TE PROPORCIO,AIS. LOGO, AS SETAS DEVEM ESTAR NO MESMO SENTIDO.
MANTENDO-SE FIXO O NMERO DE PESSOAS E AUMENTANDO-SE O NMERO DE DIAS, A QUANTIDADE DE COMIDA DEVE AUMENTAR. PORTANTO, ESSAS GRANDEZAS SO DIRETAME,TE PROPORCIO,AIS. LOGO, AS SETAS DEVEM ESTAR NO MESMO SENTIDO.
Portanto, a proporo fica assim:
6001536
4572100
45
15
72
36100=
== xx
x
Resposta: Sero necessrios 600 kg de arroz.
4. Numa fbrica, 10 mquinas trabalhando 20dias, produzem 2000 peas. Quantas mquinas sero necessrias, para se produzir 1680 peas em 6 dias?
Grandeza 1:
nmero de mquinas
Grandeza 2: mero de dias
Grandeza 3: mero de
peas 10
20
2000
x
6
1680
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
32
Comparando as grandezas nmero de dias e nmero de peas com a grandeza nmero de mquinas, que contm a incgnita, percebemos que:
MANTENDO-SE FIXO O NMERO DE DIAS E AUMENTANDO-SE O NMERO DE MQUINAS, A QUANTIDADE DE PEAS PRODUZIDAS DEVE AUMENTAR. PORTANTO, ESSAS GRANDEZAS SO DIRETAMENTE PROPORCIONAIS. LOGO, AS SETAS DEVEM ESTAR NO MESMO SENTIDO.
MANTENDO-SE FIXA A PRODUO (NMEROS DE PEAS) E AUMENTANDO-SE O NMERO DE MQUINAS, A QUANTIDADE DE DIAS PARA REALIZAR O TRABALHO DEVE DIMINUIR. PORTANTO, ESSAS GRANDEZAS SO INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. LOGO, AS SETAS DEVEM ESTAR NO MESMO CONTRRIO. Para se escrever corretamente a proporo, devemos fazer com que as setas
fiquem no mesmo sentido, invertendo os termos das colunas convenientes.
10
6
2000
x
20
1680
Portanto a proporo fica assim:
2812000
3360010
33600
1200010
1680
2000
20
610=
=== xx
xx
Resposta: Sero necessrias 28 mquinas.
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
33
3.1. Exerccios propostos:
1. Uma torneira enche um tanque em 3 horas. Em quantos minutos enche do tanque?
2. 8 mquinas produzem 600 peas de metal por hora. Quantas mquinas
idnticas as primeiras so necessrias para produzir 1500 peas de metal por hora?
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
34
3. Para transportar certo volume de areia para uma construo, foram necessrios 20 caminhes com 4m3 de areia cada um. Se cada caminho pudesse conter 5m3 de areia, quantos caminhes seriam necessrios para fazer o mesmo servio?
4. Estima-se que um grupo de 10 pedreiros, trabalhando de forma homognea,
consiga realizar determinada obra de construo civil em 40 dias. Se o grupo for reduzido para 8 pedreiros, quanto tempo ser necessrio para concluir a mesma obra?
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
35
5. 4 mquinas produzem 32 peas de madeira em 8 dias. Quantas peas iguais as primeiras so produzidas por 10 mquinas, em 6 dias?
6. 16 operrios, trabalhando 8 horas por dia, produzem diariamente 120 pares de sapatos. Desejando-se ampliar o mercado de vendas, quantos operrios, trabalhando 10 horas por dia, podem assegurar uma produo diria de 300 pares de sapatos?
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
36
3.2. Exerccios de Fixao
1. Para ladrilhar 5/7 de um ptio empregaram-se 46.360 ladrilhos. Quantos
ladrilhos iguais sero necessrios para ladrilhar 3/8 do mesmo ptio?
2. Para paginar um livro com 30 linhas em cada pagina, so necessrias 420 pginas. Quantas pginas de 40 linhas cada uma seriam necessrias para paginar o mesmo livro?
3. Uma torneira despeja 40 litros de gua em 5 minutos. Em quanto tempo esta
torneira encheria um reservatrio de 2cm3 de capacidade?
4. Em uma tecelagem, 25 teares, trabalhando durante 10 dias, fizeram 1000m de certo tecido. Quantos metros do mesmo tecido sero produzidos por uma segunda unidade da tecelagem que tem 20 teares, idnticos primeira unidade, trabalhando durante 18 dias?
5. 6 digitadores preparam 720 pginas em 18 dias. Em quantos dias, 8
digitadores, de mesma capacidade, prepararo 800 pginas?
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
37
4. Porcentagem
Porcentagem uma razo de conseqente 100. Problemas envolvendo porcentagem podem ser resolvidos por meio de uma
regra de trs simples e direta ou ento, pela formulao:
PORCENTAGEM = TAXA PERCENTUAL UNITRIA (I) PRINCIPAL OBS.: Para transformar uma taxa percentual em unitria, basta escrev-la na forma fracionria e em seguida efetuar a diviso.
Lembretes: pv = pc + L ou pv = pc P
sendo: pv...preo de venda pc...preo de custo ou compra L ... Lucro P ... Prejuzo Clculo do preo final com aumento
pf = (1 + i).pi sendo: pf...preo final
pi...preo inicial i ... taxa unitria
Clculo do preo final com desconto
pf = (1 - i).pi sendo: pf...preo final pi...preo inicial
i ... taxa unitria
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
38
4.1. Exerccios Propostos
1. Sobre uma dvida de $60.000,00, obteve-se um desconto de 10%. Sobre o restante, obteve-se outro desconto que reduziu a dvida para $43.200,00. Qual a porcentagem do segundo desconto?
2. Um negociante ao falir s pde pagar 17/36 do que deve. Se possusse mais R$23.600,00 poderia pagar 80% da dvida. Quanto ele deve?
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
39
3. Um negociante concedeu um abatimento de 5% sobre o preo marcado numa mercadoria e o desconto foi de R$21,00. Qual o preo marcado?
4. Qual o preo de custo de uma mercadoria vendida por R$321,00, com o lucro de 7% sobre o preo de custo?
5. Qual o preo de custo de uma mercadoria vendida por R$104,00, com lucro de 30% sobre o preo de venda?
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
40
6. Por R$750,00 vendi minha mquina fotogrfica com 25% de prejuzo sobre seu custo. Por quanto comprei a mquina?
7. O Sr. Aristides vendeu dois lotes de aes, o primeiro por R$7.200,00 e o segundo por R$18.000,00. No primeiro, ele teve um ganho igual a 50% do preo de custo; e no segundo, ele teve uma perda igual a 10% do preo de custo. Qual foi o seu ganho (em reais) nesses dois lotes?
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
41
8. Um investidor adquiriu dois lotes em um balnerio, pagando a mesma quantia por lote. Seis meses depois, os lotes foram revendidos pelo total de R$43.000,00. O primeiro foi revendido com um lucro de 10 % sobre o custo e o segundo com um lucro de 5% sobre o custo. Qual o valor do custo por lote para o investidor?
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
42
4.2. Exerccios de Fixao
1. Se o preo de um quilo de carne passar de $15,00 para $21,00, qual a
porcentagem do aumento?
2. Um atirador faz 320 disparos contra um alvo, tendo acertado 288 vezes. Qual
a porcentagem de tiros certos e qual a de tiros errados?
3. Uma pessoa compra uma propriedade por 11 mil reais. Paga de taxas, comisses e escrituras R$1.200,00. Por quanto deve revend-la para lucrar 20%, sobre, sobre o custo?
4. Certa mercadoria foi vendida por R$252,00, dando um lucro de 20% sobre o custo ao vendedor. Quanto lhe custou mercadoria?
5. Se um negociante lhe vende uma camisa de R$120,00 por R$102,00, quantos por cento lhe concedeu de desconto ?
6. Qual o preo de custo de uma mercadoria vendida por R$344,00, com prejuzo de 14% sobre o preo de custo ?
7. Qual o preo de custo de uma mercadoria vendida por R$344,00, com prejuzo de 14% sobre o preo de venda ?
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
43
5. Funo
Noo intuitiva de funo Funo entre duas grandezas: duas grandezas x e y esto relacionadas de tal forma que, se, para cada valor atribudo a grandeza x, existir um nico valor associado da grandeza y, ento podemos dizer que y uma funo da grandeza x. Assim, por exemplo, dizemos que: - a altura de uma pessoa funo de sua idade ( idade aqui o tempo de
durao de vida da pessoa at o presente momento e no apenas o nmero inteiro de anos vividos);
- o preo pago pela gasolina colocada no tanque do automvel funo da quantidade de litros comprados;
- o preo pago por uma corrida de taxi funo do nmero de quilmetros percorridos.
- A rea de uma circunferncia funo de seu raio. 8.2. Definio
Dados dois conjunto no vazios A e B, uma funo de A em B uma relao que a cada elemento x de A faz corresponder um nico elemento y de B.
importante observar que: - todo elemento de A deve ser associado a algum elemento em B; - para um dado elemento de A associamos um nico elemento em B. Assim, para que uma funo fique caracterizada, necessrio conhecermos seu domnio (A), o contradomnio(B) e uma regra (ou lei) que associe a todo elemento x de A, um nico elemento y de B. Logo, o domnio de uma funo f de A em B, f: A B, ser sempre o conjunto A e seu conjunto imagem ser um subconjunto de B.
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
44
Notao Sendo x um elemento de A e y um elemento de B, indicamos uma funo de A em B com a seguinte notao:
y = f(x) (l-se: y igual a f de x)
na qual f representa uma lei de correspondncia entre os valores de x e y. O conjunto dos pares ordenados indicado, de forma genrica, por: F = {(X, Y) A B |Y = F(X)} (L-SE: F O CONJUNTO DOS PARES ORDENADOS PERTENCENTES A A CARTESIANO B, TAL QUE Y FUNO DE X) EXEMPLO: A lei de correspondncia que associa cada valor real x ao nmero y, sendo y o dobro de x uma funo definida por y = 2x ou f(x) = 2x. O domnio e o conjunto imagem dessa funo so R. A notao da funo , portanto, f: R R tal que y = 2x. Ento:
- para x = 4 , dizemos que y = 2.(4) = 8, ou ento que f(4) = 8 - a imagem de -2 f(-2) = 2(-2) = -4 - x = 2,5 corresponde a y = 2.(2,5) = 5 - y = 10 a imagem de x = 5.
Observao:
Quando, na expresso da funo (lei de correspondncia), substitumos a letra x por um nmero e efetuamos as operaes indicadas, estamos calculando o valor numrico da
funo, ou seja, determinando o valor da imagem de x.
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
45
5.1 Exerccios propostos de aplicao:
1. Escreva funes, descrevendo os seguintes fatos: a) Receita R de um comerciante que vende a quantidade varivel q de
mercadorias ao preo unitrio de $50,00;
b) Juros simples J ganhos por um investidor que emprega $5000,00, taxa de 8% ao ms, durante um tempo indeterminado de n meses;
c) Salrio mensal y de um operrio que ganha $330,00 fixos mais $1,50 por hora extra, sabendo que o nmero x de horas extras varia todo ms.
2. Um operrio, que ganha salrio varivel de acordo com as horas extras que
trabalha paga $100,00 de prestao de casa prpria, gasta 60% do seu salrio em manuteno e poupa o restante. Determine uma expresso matemtica para cada uma das funes consumo e poupana, isto , expresse seu consumo C e sua Poupana S em funo de sua renda varivel y.
3. Um vendedor ambulante compra objetos ao preo unitrio de $1,50 e vende
cada unidade a $2,50.
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
46
a) Expresse seu custo dirio C em funo da quantidade comprada q.
b) Expresse sua receita diria em funo da quantidade vendida q, que se supes igual a quantidade comprada.
c) Expresse seu lucro dirio L em funo da quantidade q.
d) Qual o lucro do vendedor por unidade vendida (lucro unitrio, Lu, ou lucro mdio, Lme)?
4. Suponha que o mesmo vendedor ambulante do exerccio 3 resolveu agora
incluir entre seus gastos o custo de sua conduo diria de $9,00. a) Como ficaro agora as funes: custo, receita e lucro do vendedor?
b) Qual ser agora seu lucro por unidade?
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
47
5. Em determinada cidade, a tarifa mensal de gua cobrada da seguinte forma:
para consumo de at 10m3, a tarifa um valor fixo de $8,00. A parte consumida entre 10 m3 e 20m3 paga uma tarifa de $1,00 por m3, e o que excede 20 m3 paga $1,40 por m3. Calcule a tarifa de quem consome: (a) 2 m3 por ms; (b) 15 m3; (c) 37 m3 ;(d) chamando de x o consumo mensal ( em m3 ) e de y a tarifa, obtenha a expresso de y como funo de x.
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
48
5.2 Exerccios de Fixao
1. Certa mquina foi comprada pelo preo de $80.000,00 (valor nominal) e vendida depois de dez anos (vida til) por $30.000,00 (valor residual).
a) Qual foi sua depreciao total? E qual a depreciao anual? b) Expresse a depreciao D como funo do tempo t em anos. c) Qual o valor da mquina para t = 1, 2, 3 e 10 anos? d) Como seria a expresso que d o valor V da mquina em funo do
tempo t?
2. Um professor de matemtica prope a sua turma de 40 alunos um exerccio-desafio, comprometendo-se a dividir um prmio de R$120,00 entre os acertadores. Seja x o nmero de acertadores (x = 1, 2, 3,..., 40) e y a quantia recebida por cada acertador (em reais). Responda: a) Y funo de x? Por qu? b) Quais os valores de y para x = 3, x = 8, x = 20 e x = 25? c) Qual o valor mnimo que y assume? d) Qual a lei de correspondncia entre y e x?
3. O preo do servio executado por um pintor consiste em uma taxa fixa, que
de R$25,00, e mais uma quantia que depende da rea pintada. A tabela seguinte mostra alguns oramentos apresentados por esse pintor:
rea pintada
(em m2)
Total a pagar (em reais)
5 35 10 45 15 55 20 65 30 85 40 105 80 185
Observando a tabela, responda:
a) Podemos dizer que o total a pagar y pela pintura funo da rea a ser pintada x? Justifique. b) Como se exprime, matematicamente, o total a pagar y pela pintura de x metros quadrados? c) Qual o preo cobrado pela pintura de uma rea de 120m2? d) Qual a rea mxima que pode ser pintada dispondo-se de R$525,00?
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
49
4. Considere a tabela para o clculo do imposto de renda a ser pago pelos contribuintes em certo ms de 2001.
x
Renda lquida em R$
i
Alquota %
D
Parcela a deduzir do
imposto em reais
At 900,00 - - Acima de 900,00 at
1.800,00 15,0 135,00
Acima de 1.800,00 27,5 n Considerando x como a renda lquida de um contribuinte, o imposto a
pagar funo de x. O contribuinte deve multiplicar a sua renda lquida pelo valor da alquota e subtrair do resultado a parcela a deduzir. Alm disso, tal funo deve ser contnua, para no prejudicar nem beneficiar contribuintes cuja renda lquida se situe em faixas distintas da tabela. Note, por exemplo, que ao passar da primeira faixa (isentos) para a segunda (alquota de 15%), a parcela a deduzir (135,00) no permite saltos no grfico.
(a) Utilize os valores de i e D da tabela e d a expresso da funo imposto a pagar y, relativa a uma renda x, em cada faixa da tabela;
(b) Determine o valor de n da tabela para que a funo seja contnua;
-
Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini
50
5.3. Grficos de funo
5.3.1. Plano cartesiano
Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em O, os quais determinam o plano .
Dado um ponto P qualquer, P , traamos por ele duas retas x e y paralelas, respectivamente aos eixos x e y. Denominamos P1 a interseo de x com y e P2 a interseo de y com x. Nessas condies, definimos:
- A abscissa do ponto P o nmero real xP = OP1;
- A ordenada do ponto P o nmero real yP = OP2;
- Os nmeros xP e yP so as coordenadas do ponto P, geralmente indicados pelo par ordenado (xP,yP);
- O eixo das abscissas o eixo x ou Ox;
- O eixo das ordenadas o eixo y ou Oy;
- Sistema de eixos cartesianos ortogonal (ou ortonormal ou retangular) o sistema xOy;
- Origem do sistema o ponto O(0,0)
- Plano cartesiano o plano .
P
P1
P2
x
y
O
x
y
.
-
Matemtica Aplicada Administrao Profa. Elaine Martini e Prof. Humberto Simes
51
5.3.2. Construo do grfico de uma funo real A construo do grfico de uma funo real, conhecendo-se sua lei de correspondncia y = f(x) e seu domnio D, segue os seguintes passos: 1) passo: Construmos uma tabela onde aparecem os valores de x e os
valores do correspondente y, calculados atravs da lei y = f(x). Os valores atribudos a x devem pertencer ao domnio da funo.
2) passo: Cada para ordenado (x,y) da tabela dever ser plotado no
plano cartesiano. 3) passo: No caso da funo real, ligamos os pontos construdos no
passo anterior por meio de uma curva, que o prprio grfico da funo y = f(x).
Exemplo 1: Vamos construir o grfico da funo y = 3, para todo x real.
x y =
3
Pontos
-3 3 (-3,3) -2 3 (-2,3) -1 3 (-1,3) 0 3 (0,3) 1 3 (0,3) 2 3 (1,3) 3 3 (3,3)
Esse um exemplo de funo constante, pois se trata de uma funo, cujo o grfico uma reta paralela ao eixo das abscissas.
(0,3)
x
y
-
Matemtica Aplicada Administrao Profa. Elaine Martini e Prof. Humberto Simes
52
Exemplo 2: Vamos construir o grfico da funo y = 2x com domnio D = R: (1 e 2) passo: atribumos alguns valores para x, e calculamos y = 2x e
representamos os pares ordenados que esto nessa tabela por pontos.
x
y = 2x
Pontos
-3 -6 (-3,-6) -2 -4 (-2,-4) -1 -2 (-1,-2) 0 0 (0,0) 1 2 (1,2) 2 4 (2,4) 3 6 (3,6)
3) passo: Desenhamos a curva provvel que contm os pontos que
satisfazem a lei y = 2x.
Essa curva chamada de reta. Exemplo 3 Vamos construir o grfico da funo y = |x| com domnio D = R: (1 e 2) passo: atribumos alguns valores para x, e calculamos y = |x| e
representamos os pares ordenados que esto nessa tabela por pontos.
Lembrando que:
-
Matemtica Aplicada Administrao Profa. Elaine Martini e Prof. Humberto Simes
53
Exemplo 4: Vamos construir o grfico da funo y = x2 4 com D = R.
x y = x2 4
Pontos
-3 5 (-3,5) -2 0 (-2,0) -1 -3 (-1,-3) 0 -4 (0,-4) 1 -3 (1,-3) 2 0 (2,0) 3 5 (3,5)
Essa curva chamada de parbola.
(-2,0)
(0,-4)
(2,0) x
y
-
Matemtica Aplicada Administrao Profa. Elaine Martini e Prof. Humberto Simes
54
5.4. Exerccios Propostos 1. Representar graficamente as seguintes funes, determinar o domnio e o conjunto imagem.
a) y = 2 + x, x [0,2] b) y = 4 - x, x R c) y = x2, x [0,3]
-
Matemtica Aplicada Administrao Profa. Elaine Martini e Prof. Humberto Simes
55
d) x
y1
= , x >0
e) xy = , x 0
f)
>
=
0 xse x,
0 xse 1,y
-
Matemtica Aplicada Administrao Profa. Elaine Martini e Prof. Humberto Simes
56
g)
>
0 a reta crescente (I) e se a < 0, decrescente (II).
Interseo com Oy: Fazendo x = 0 , temos y = a (0) + b = b; ento (0, b) o ponto em que a reta corta o eixo dos y.
Interseo com Ox: Fazendo y = 0 , temos:
a
b-x
b- ax
0 b ax
=
=
=+
ento
0,
a
b o ponto em que a reta corta o eixo dos x.
(0,b)
x
y
x
y
(-b/a,0)
(0,b)
(-b/a,0)
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
60
6.1. Exerccios de aplicao
6.1.1. DEPRECIAO LINEAR
V(T) = V0 + ad.t, sendo ad o coeficiente de depreciao (ad < 0)
1. A taxa de inscrio num clube de natao $150,00 para o curso de 12 semanas. Se a pessoa se inscreve aps o incio das aulas, a taxa reduzida linearmente. (a) Expresse a taxa de inscrio em funo do nmero de semanas transcorridas desde o incio do curso e construa o grfico. (b) Calcule quanto uma pessoa pagou ao se inscrever 5 semanas aps o incio do curso.
2. O valor de uma mquina decresce linearmente com o tempo devido ao
desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale 10.000 dlares e daqui a 5 anos 1.000 dlares, qual ser seu valor daqui a 3 anos?
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
61
3. O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao
desgaste. Sabe-se que o preo de fbrica R$9.500,00 e que, depois de 5 anos de uso, R$3.200,00. (a) Expresse o valor do carro em funo do tempo; (b) Qual o valor do carro aps 3 anos de uso? (c) Quanto foi a depreciao em 3 anos?
4. O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabe-se que depois de 2 anos de uso seu valor $6.980,00 e que, depois de 5 anos de uso, R$3.200,00. (a) Expresse o valor do carro em funo do tempo de uso; (b) Qual o preo de fbrica do carro? (c) Quanto foi a depreciao em 5 anos?
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
62
5. O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao
desgaste. Daqui a 5 anos de uso, a depreciao total do carro ser de $6.300,00 e que seu valor depois de 2 anos de uso, $6980,00. (a) Expresse o valor do carro em funo do tempo de uso; (b) Qual o preo de fbrica do carro? (c) Qual o valor do carro aps 5 anos de uso?
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
63
6.1.2. INTERSEO DE RETAS 6. As tarifas praticadas por duas agncias de locao de automveis, para
veculos idnticos, so : AGNCIA A AGNCIA B
144 reais por dia
(seguros inclusos)
mais 1,675 reais por km rodado
141 reais por dia
(seguros inclusos)
mais 1,70 reais por km rodado
a) Para um percurso de 110km, qual a agencia que oferece o menor preo?
b) Seja x o nmero de km percorridos durante um dia. Determine o intervalo de variao de x de modo que seja mais vantajosa a locao de um automvel na agencia A do que na B.
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
64
7. O valor cobrado por um eletricista A inclui uma parte fixa, como visita, transporte, etc., e outra que depende da quantidade de metros de fio requerida pelo servio O grfico abaixo representa o valor do servio efetuado em funo do nmero de metros utilizados.
a) Qual o valor da parte fixa cobrado pelo eletricista? b) Sabendo que o preo cobrado por um eletricista B depende
unicamente do nmero de metros utilizados, no sendo cobrada a parte fixa. Se o preo do servio de $4,50 por metro de fio utilizado, a partir de que metragem deve o consumidor preferir A ao B?
Preo (R$)
Metros (m)
6
7
1 2
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
65
8. Em certo clube de tnis, a taxa anual cobrada aos scios de $500,00 e o scio pode utilizar a quadra de tnis, pagando $1,00 por hora. Em outro clube, a taxa de $440,00 e cobram $1,75 por hora de uso da quadra. Levando-se em considerao a questo financeira, que clube o tenista escolher? (Faa os grficos num mesmo sistema cartesiano)
9. O aluguel de um carro numa agncia de $140,00 mais $1,50/km rodado.
Uma segunda agncia cobra $200,00 mais $0,50/km rodado. Que agencia oferece o melhor plano de aluguel?
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
66
10.Certo banco cobra $20,00 por talo de cheques e $0,50 por cheque utilizado. Outro banco cobra $10,00 por talo e $0,90 por cheque utilizado. Ache um critrio para decidir em que banco voc abrir sua conta.
6.1.3. RECEITA TOTAL, CUSTO TOTAL E LUCRO TOTAL RT = pv.q CT = cv.q + cf LT = RT CT ou LT = (pv.- cv).q - cf 11.Um professor preparou apostilas para seus alunos, gastou $2.000,00 na
digitao, calculou o preo de custo de cada apostila em $40,00 e vendeu cada uma por $50,00. Pede-se:
a) A funo custo total; b) A funo receita total;
c) A funo lucro total e seu grfico;
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
67
12.O custo varivel por unidade de produo de um bem $5,00, e o custo
fixo associado produo $30,00. Se o preo de venda do referido bem $6,50, determinar:
a) a funo custo total;
b) a funo receita total;
c) a funo lucro total;
d) break even point;
e) a produo necessria para um lucro de $120,00. 13.Um fabricante vende a unidade de certo produto por $110,00. O custo total
consiste de uma taxa fixa de $7.500,00 somada ao custo de produo de $60,00 por unidade. (a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de equilbrio? (b) Se forem vendidas 100 unidades, qual ser o lucro ou o prejuzo do fabricante? (c) quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de $1250,00?
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
68
14.O preo de venda de um bem de consumo $8,00. A indstria est
produzindo 1200 unidades, e o lucro bruto pela venda da produo de $2.600,00. Se o custo fixo de produo de $1960,00, calcular: (a) o custo varivel por unidade; (b) o break even point; (c) a produo necessria para um lucro de $10.000,00?
15.Um determinado produto produzido ao custo varivel por unidade de
$2,00, e vendido por $2,50. Se o break even point atingido ao nvel de produo de 2.500 unidades, deseja-se saber:
a) custo fixo associado
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
69
b) a produo necessria para um lucro de $6.000,00.
16.Uma empresa fabrica um produto a um custo fixo de $1.200,00, o custo
varivel por unidade de $2,00 e vende cada unidade por $5,00. Atualmente o nvel de vendas de 1.000 unidades por ms. A empresa pretende reduzir em 20% seu preo unitrio de venda, visando com isto aumentar suas vendas. Qual dever ser o aumento na quantidade vendida para manter seu lucro mensal?
17.Uma malharia opera a um custo fixo de $20.000,00. O custo varivel por
malha produzida $60,00, e o preo unitrio de venda $100,00. Nestas condies, seu nvel mensal de venda de 2.000 unidades. O proprietrio estima que, reduzindo em 10% o preo unitrio de venda, as vendas aumentaro 20%. Voc acha vantajosa essa alterao? Justifique.
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
70
6.1.4. OFERTA E DEMANDA LINEAR
18.Um produtor observou que, quando o preo unitrio de seu produto era $5,00, a demanda mensal era de 3mil unidades e quando o preo era de $6,00, a demanda mensal era de 2800 unidade. Obter a equao de demanda, admitindo-a linear.
19.Quando o preo unitrio de um produto de $10,00, 5mil unidades deste produto so colocadas no mercado por ms; se o preo for $12,00, 5500 unidades estaro disponveis. Admitindo-a linear, determine a equao da oferta.
20.Uma empresa vende 200unidades por ms, se o preo unitrio for $5,00. A empresa acredita que, reduzindo o preo em 20%, o nmero de unidades vendidas ser 50% maior. Obter a equao de demanda, admitindo-a linear.
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
71
21.Um grupo de artesos fabrica um nico tipo de pulseira. A um preo de $100,00 por unidade, a quantidade vendida 40 unidades por dia; se o preo for $80,00, a quantidade vendida 60. Obter a equao de demanda, admitindo-a linear.
22.O Sr. ngelo proprietrio de um hotel para viajantes solitrios com 40 sutes. Ele sabe que, se cobrar $150,00 a diria, o hotel permanecer lotado. Por outro lado , para cada $5,00 de aumento na diria, uma sute permanece vazia. Obter a equao de demanda, admitindo-a linear.
23.Uma vdeolocadora aluga 200 fitas dirias, se o aluguel dirio de cada fita for $4,00. Para cada $1,00 de acrscimo no preo, h uma queda na demanda de 50 fitas. Obter a equao de demanda, admitindo-a linear.
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
72
24.Uma doceria produz um tipo de bolo de tal forma que sua equao de
oferta diria p = 10 + 0,2q, onde p o preo e q a quantidade ofertada. (a) Qual o preo para que a oferta seja de 20 bolos dirios? (b) Se o preo for $15,00, qual a quantidade ofertada? Se a curva de demanda diria por esses bolos for p = 30 -1,8q, qual o preo de equilbrio?
25.Determine a quantidade e o preo de equilbrio de mercado nas seguintes situaes:
a) Oferta: p = 10 + q e Demanda: p = 20 - q;
b) Oferta: p = q + 20 e Demanda: p = 50 - q;
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
73
c) Oferta: p = 50 + q e Demanda: p = 100 - q;
d) Oferta: p = 10 + q e Demanda: y = 50 q;
26. As funes de oferta e procura de um certo produto so, respectivamente, q = 4p + 200 e q = -3p + 480. Calcule o preo de equilbrio e o nmero de unidades em oferta e procura correspondes.
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
74
27.Se um produto for vendido por $3,00 o mercado absorve 17 unidades. Se o preo for $4,00, o mercado absorver 16 unidades. A quantidade de equilbrio de mercado de 5 unidades. O preo mnimo que o fabricante poder ofertar o produto $10,00. Encontre as equaes de oferta e demanda.
28.Se um produto for vendido por $2,00 o mercado absorve 10 unidades. Baixando-se o preo em 25%, o mercado absorver 25 unidades. Se o preo for $1,00, ser alcanado o ponto de equilbrio. O fabricante ofertar 50 unidades se o preo for $2,00. Encontre as equaes de oferta e demanda.
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
75
6.1.5. JUROS SIMPLES: M = C(1 + in)
29.Um capital de $2.000,00 foi aplicado durante 1 ano e 4 meses taxa de juros simples de 10,5% ao ano. No final desse tempo, quanto receberei de juros e qual foi o capital acumulado?
30.Uma pessoa aplica certa quantidade durante 2 anos e meio, taxa de juros simples de 150% ao ano, e recebe $21.000,00 de juros. Qual foi a quantia aplicada?
31.Uma pessoa colocou um capital de $1.500,00, taxa de juros simples de 3,5% ao ms. Achar a funo M (montante) em funo do tempo n e fazer o grfico.
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
76
7. Funo do 2 grau Aplicaes
Chama-se funo quadrtica, ou funo polinomial do 2 grau, qualquer funo f de IR em IR dada por uma lei na forma f(x) = ax2 + bx + c, sendo a, b e c nmeros reais e a 0.
Representao grfica: parbola
Concavidade:
Se a > 0 concavidade voltada para cima e se a < 0 concavidade voltada para baixo;
Interseo com Oy: Fazendo x = 0 , temos y = a (0)2 + b (0) + c = c; ento (0, c) o ponto em que a parbola corta o eixo dos y.
Interseo com Ox: Os zeros da funo definem os pontos em que a parbola intercepta o eixo dos x. Neste caso os pontos de interseo com o eixo x, depende do valor do discriminante () como mostra a figura abaixo.
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
77
Vrtice:
O vrtice
aa
bV
4,
2 indica o ponto de mnimo (se a > 0), ou
mximo (se a < 0) da funo do 2o grau;
Eixo de Simetria: A reta que passa por V e perpendicular ao eixo dos x o eixo de
simetria da parbola e sua equao dada por x = a
b
2
.
7.1. Problemas envolvendo a funo do 2 grau. a) Uma espcie animal, cuja famlia era de 200 elementos, foi testada num
laboratrio sob a ao de certa droga, e constatouse que a lei de sobrevivncia entre esta famlia obedecia relao n(t) = at2 + b, onde n(t) igual ao nmero de elementos vivos no tempo t (dado em horas) e a e b, parmetros que dependiam da droga ministrada. Sabe-se que a famlia desapareceu (morreu o ltimo elemento) aps 10 horas do incio da experincia. (a) Determine os parmetros a e b; (b) Determine quantos elementos tinha esta famlia aps 8 horas do incio da experincia.
b) Estima-se que, daqui a t anos, o nmero de pessoas que visitam um
determinado museu ser dado por N(t) = 30t2 120t + 3000. (a) Atualmente, qual o nmero de pessoas que visitam o museu? (b) Em que ano ser registrado o menor nmero de visitantes?
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
78
c) Um dia na praia a temperatura atingiu o seu valor mximo s 14 horas. Supondo que nesse dia a temperatura F(t) em graus era uma funo do tempo t medido em horas, dada por F(t) = -t2 + bt 156 quando 8 < t < 20, obtenha: (a) o valor de b; (b) a temperatura mxima atingida nesse dia.
d) Uma bola foi jogada de cima de um edifcio. Sua altura (em metros), depois
de t segundos, dada pela funo H(t) = -16t2 + 256.(a) Em Qual altura estar a bola depois de 3 segundos? (b) Qual a altura do edifcio? (c) Quando a bola atingir o solo?
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
79
7.2. Exerccios de aplicao: RECEITA, CUSTO E LUCRO
QUADRTICAS 1. Uma companhia de televiso a cabo estima que com x milhares de
assinaturas, o faturamento e o custo mensais (em milhares de dlares) so : R(x) = 32x 0,21x2 e C(x) = 195 + 12x. Encontre (a) o nmero de assinantes para o qual o faturamento igual ao custo e (b) o preo da assinatura para que o lucro seja mximo.
2. Sejam as funes de receita total e custo total dadas por RT(q) = -4q2 +
160q e CT(q) = q2 + 10q + 1000. Pede-se: (a) o ponto crtico; (b) a funo lucro total e esboar o grfico e (c) para qual quantidade se tem lucro mximo.
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
80
3. O lucro obtido por um fabricante com a venda de determinado produto
dado pela funo L(p) = 400(15 - p)(p - 2), onde p o preo de venda de cada unidade. Calcule o preo timo de venda.
4. Um grupo de artesos fabrica pulseiras de um nico tipo. A um preo de
100um por unidade, a quantidade vendida de 40 unidades por dia; se o preo por unidade de 80um, a quantidade vendida 60. (a) Admitindo linear a curva de demanda, obtenha o preo que deve ser cobrado para maximizar a receita dos artesos. (b) Se os artesos tm um custo fixo de 100um por dia e o custo varivel por pulseira igual a 40um, qual o preo para maximizar o lucro dirio?
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
81
8. Funo Exponencial
A funo exponencial toda funo de real que pode ser expressa pela forma y = bx ou f(x) = bx, com b > 0 e b 1. Sendo: 1) D = R, ou seja todo x R existe a imagem bx . 2) Os interceptos da funo:
- Interseo com eixo y : Fazendo x = 0 temos que y = b0 = 1 Portanto o ponto (0, 1)
- Interseo com eixo x :
Fazendo y = 0 temos que 0 = bx (no existe) Portanto a funo exponencial no intercepta o eixo x.
3) Grfico da funo:
Iremos construir os grficos das funes y = 2x e y = x
2
1e observar
algumas propriedades:
1o ) caso : y = 2x
x y = 2x Pontos -3 2-3 =
8
1
2
13=
(-3,8
1)
-2 2-2
=4
1
2
12=
(-2,4
1)
-1 2-1
=2
1
2
11=
(-1, 2
1)
0 20 = 1 (0,1) 1 21= 2 (1,2) 2 22= 4 (2,4) 3 23 = 8 (3,8)
0
2
4
6
8
10
-3 -2 -1 0 1 2 3x
y
-
Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini
82
1o ) caso : y = x
2
1
x y =
x
2
1
Pontos
-3 ( ) 82
2
1 33
==
(-3,8)
-2 ( ) 42
2
1 22
==
(-2,4)
-1 ( ) 22
2
1 11
==
(-1,2)
0 1
2
10
=
(0,1)
1
2
1
2
11
=
(1, 21)
2
4
1
2
12
=
(2, 41)
3
8
1
2
13
=
(3, 81)
0
2
4
6
8
10
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
y
-
Observando os grficos podemos dizer que:
(A) Ambas funes possuem o mesmo ponto de interseo com o eixo y ,(0,1);
(B) Se b > 1 , ento a funo exponencial crescente;
Exemplos: y = 2x, y = 1,5x , y = x
2
5
(C) Se 0 < b < 1, ento a funo exponencial decrescente;
Exemplos: y = x
2
1, y = 0,25x , y =
x
5
2
(D) Para todo valor de b > 0 e todo x R, o grfico da funo
exponencial (y = bx) estar sempre situada acima do eixo x, portanto o conjunto imagem desta funo Im = R*+.
MODELOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO EXPONENCIAL: V(t) = V0.(1 + i)t...modelo de crescimento exponencial V(t) = V0.(1 - i)t... modelo de decrescimento exponencial
Importante: Nas aplicaes da funo exponencial, muito comum escrever a funo assim:
f(x) = a . bx, com a 0, b > 0 e b 1 A nica diferena existente o ponto de interseo com o eixo y, onde para x = 0, y = a . b0 = a . 1 = a , ou seja (0 , a).
-
Notas de aula de Matemtica Aplicada Prof. Elaine Martini
1
1
8.1. Exerccios de aplicao da funo exponencial 1. O produto nacional bruto (PNB) de um certo pas era de 200 bilhes de
unidades monetrias em 1995 e de 360 bilhes de unidades monetrias em 2000. Admitindo que o PNB cresa exponencialmente, de quanto foi o PNB de 2006?
2. Avalia-se que a populao de certo pas cresa exponencialmente. Se a
populao era 60 milhes de habitantes em 1990 e de 90 milhes de habitantes em 2000, qual era a populao em 2005?
3. A densidade demogrfica a x quilmetros do centro de certa cidade de
D(x)=12e-0.07x milhares de pessoas por quilmetro quadrado. (a) Qual a densidade da populao no centro da cidade? (b) Qual a densidade da populao a 10 km do centro da cidade?
-
Notas de aula de Matemtica Aplicada Prof. Elaine Martini
2
2
MONTANTE A JUROS COMPOSTOS M(n) = C (1 + i)n
4. Durante quanto tempo se deve aplicar $5.000,00 taxa de 7% am, para
produzir o montante de $12.000,00? 5. Para duplicar um capital qualquer em 10 meses e 15 dias , aplicado
juros compostos, que taxa devo usar? 6. Em 1985, na porta de um grande banco, encontrava-se um cartaz onde
se lia Aplique hoje $1.788,80 e receba $3.000,00 daqui a 6 meses. Qual era a taxa mensal de juros que o banco estava aplicando sobre o dinheiro investido?
-
Notas de aula de Matemtica Aplicada Prof. Elaine Martini
3
3
7. Quanto devo aplicar hoje, taxa de 2%am, para cumprir um compromisso de $4.000,00 daqui a 2 meses, e outro de $5.000,00 daqui a trs meses?
8. Uma pessoa colocou um capital de $1.000,00, taxa de juros compostos
de 5% ao ms. Achar a funo M (montante) em funo do tempo n e fazer o grfico.
9. Aplicando $100.000,00 a juros compostos, depois de 3 anos recebi
$270.000,00. Qual foi a taxa anual usada?
-
Notas de aula de Matemtica Aplicada Prof. Elaine Martini
4
4
10.Um certo aplicador colocou um capital de $15.000,00 juros compostos de 7% a.m, durante 3 meses e 20 dias. Em seguida, reaplicou o montante ainda a juros compostos de 10%am. No final da operao, recebeu $62.000,00. Qual o perodo total que o capital esteve aplicado?
-
Notas de aula de Matemtica Aplicada Prof. Elaine Martini
5
5
9. APNDICE
9.1. Smbolos Matemticos pertence no pertence interseo unio contm no contm est contido no est contido vazio = igual diferente > maior maior e igual menor ou igual aproximado proporcional implicao se e somente se e ou existe no existe portanto qualquer !!!! fatorial somatria variao ortogonal infinito
-
Notas de aula de Matemtica Aplicada Prof. Elaine Martini
6
6
9.2. LOGARITMO E FUNO LOGARTMICA 9. 2.1. DEFINIO E PROPRIEDADES
9.2.1.1. DEFINIO
1 b e 0b 0,a com a,bclogca
b >>== Sendo que o nmero a recebe o nome de logaritmando, b a base e c
o logaritmo de a na base b.
Exemplos: Calcule os seguintes logaritmos: a) log 416
soluo: log 416 = x , ento:
4x = 16 4x = 42 (comparando) x = 2 Resp.: log 416 = 2
b) log3 3 soluo: log3 3= x , ento: 3x = 3 3x = 31 (comparando) x = 1 Resp.: log3 3= 1 c) log 41 soluo: log 41= x , ento: 4x = 1 4x = 40 (comparando) x = 0 Resp.: log 41 = 0 d) log 100,1 soluo: log 100,1= x , ento: 10x = 0,1
10x = 10
1
10x = 10-1 (comparando) x = -1 Resp.: log 100,1 = -1
Obs.: De forma geral:
logb b = 1
com b > 0 e b 1
Obs.: De forma geral:
logb 1 = 0
com b > 0 e b 1
-
Notas de aula de Matemtica Aplicada Prof. Elaine Martini
7
7
9.2.1.2. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS:
b
c
a
ca
b
a
c
a
c
b
c
a
c
b
a
c
b
c
a
c
(a.b)
c
log
loglog:base de Mudana :Obs.
n.loglog:potncia da Logartmo (P3)
logloglog :quociente um de Logartimo (P2)
logloglog:produto um de Logartmo (P1)
n
=
=
=
+=
Exemplo: Determine o valor de x, nos seguintes casos:
=
=
=
=
=
>=+
2
252
25
252
25
2log
2loglog
)(
2
25
255
S
x
x
x
I
x
x 0 x:C.E. ,
-
Notas de aula de Matemtica Aplicada Prof. Elaine Martini
8
8
( ) ( )
{3}S
1 ou 3
e :C.E.
=
=
=
=
==
=
=++
=+
=+
=
+
+=
=
>>+=
+
+
xx
xx
xxx
xxx
xxx
x
xx
x
xx
x-xx
II
x
xx
xxx
2
42
)1(2
16)2(
16)3).(1(4)2(
032
04472
4472
)1(472
41
72
1
722
2log
01072,2loglog
)(
2
2
2
2
2
2
22
1
72
2
212
722
2
2
}9{
93
loglog
log2log
log2
log
loglog
log
,loglog
)(
2
322
322
32
2
324
2
2
324
2
=
==
=
=
=
=
>=
S
x
III
x
x
x
x
x 0 x:C.E.
-
Notas de aula de Matemtica Aplicada Prof. Elaine Martini
9
9
9.3. EQUAES EXPONENCIAIS 9.3.1- MTODO DE REDUO A MESMA BASE Exemplos: (I)
( )
=
=
=
=
=
=
3
53
5
53
22
2
12
32
18
53
5
3
S
x
x
x
x
x
(II)
}4{
4
1615
240
240152
240
2
14
12072
1208422
1202.22.22.222
2
12022222
321
1
3211
=
===
=
==
=
=+
=+
=+++
=
=+++
=+++ +++
S
x
a
a
aa
aa
aaaaa
xxxxx
xxxxx
4xx
x
2 216 2
:temos 16, a para Ento
:temos a, 2 de Chamando
-
Notas de aula de Matemtica Aplicada Prof. Elaine Martini
10
10
(III)
( )
}3{
32282
72
782
151
)1(2
225)1(
2252241)56)(1(4)1(
056
56
,222
5622
5624
3
2
2
2
222
2
=
====
==
=
=
=
=+==
=
=
===
=
=
S
x
aa
aa
aa
aa
xx
x
xxx
xx
xx
8 a Para
existe no 7- a Para
ou
:ento e Chamando
Exerccios Propostos 1. Resolver as seguintes equaes exponenciais:
a) 81
256
4
3=
x
-
Notas de aula de Matemtica Aplicada Prof. Elaine Martini
11
11
b) 275 - x = 9 x c) 2x-3 + 2x-1 + 2x = 52 d) 3. 2x+3 = 192. 3x-3
-
Notas de aula de Matemtica Aplicada Prof. Elaine Martini
12
12
2. Resolva as seguintes equaes: a) 2X = 3 log2x = log3 x.log2 = log3
x =2
3
log
log
x 1,58 S = {1,58} b) 52x-3 = 3
841
25
375
37525
37525
37525
535
35
5
32
3
2
,
log
log
loglog.
loglog
.
=
=
=
=
=
=
=
x
x
x
x
x
x
x
S = {1,84} c) 5x = 4
-
Notas de aula de Matemtica Aplicada Prof. Elaine Martini
13
13
d) 3x = 2
1
e) 54x-3 = 0,5 f) 32x+1 = 2
-
Notas de aula de Matemtica Aplicada Prof. Elaine Martini
14
14
g) 72-3x = 5
EXERCCIOS DE FIXAO Calcule:
a. ( ) 12 23 4 =+ xx
b. 4
12 3 =x
c. 22
2
5
5
2
=
x
d. 9x 10.3x + 9 = 0 e. 25x 6.5x + 5 = 0 f. 23x-2 = 32x+1
top related