กลศาสตร ของไหล · ในช วงเวลา ∆t ส...

กลศาสตรของไหล

อุทกพลศาสตร

อุทกพลศาสตร เปนวิชาที่วาดวยการเคลื่อนที่ของของไหล

เราจะพิจารณาของไหลที่เปนอุดมคติ หรือ Ideal fluid ซึ่งมีคุณสมบัติสามอยางคอื

1. ตองมีการไหลแบบคงตัว (Steady flow)2. การไหลตองเปนแบบไมหมุน (Irrotational flow)3. การไหลเปนแบบที่อัดไมได (Incompressible flow)4. ไมมแีรงเสียดทานภายในหรือไมมีความหนืด (Nonviscous flow)

สายกระแส

สําหรับการไหลที่เปนการไหลแบบคงตัว เราจะนิยามสายกระแส หรือ Steam line ซึ่งมวลเล็กๆของๆไหลที่อยูบนเสนนี้จะเคลื่อนที่ตามสายกระแส โดยมีทิศทางสัมผัสกับสายกระแส

สําหรับการไหลแบบคงตัวสายกระแสจะไมตัดกัน

หลอดของการไหล

ในของไหลที่กําลังเคลื่อนที่ เราสามารถลากสายกรแสไดจํานวนมาก ในกรณีการไหลแบบคงตัว เราสามารถเลือกสายกระแสจํานวนหนึ่งหรือมัดหนึ่งซึ่งประกอบกันเปนทอหรือหลอดดังรูป เราเรียกทําหรือหลอดนี้วา หลอดของการไหล หรือ tube of flow

สมการตอเนื่อง

v1

v2

P

Q

พิจารณาหลอดการไหลดังรูป ใหอนุภาคที่ตําแหนง P และ Q มีความเร็ว v1 และ v2 ตามลําดับ ให A1 และ A2 เปนพื้นทีห่นาตัดตั้งฉากกับสายกระแสที่ตําแหนง P และ Q

ในชวงเวลา ∆t สวนของไหลเคลือ่นทีไ่ดระยะทางเทากับ v∆t ดังนั้นมวลของไหลที่ผานพื้นที่ A1 คือ

1 1 1 1 1 1m V A v tρ ρ∆ = ∆ = ∆

เมื่อ ρ1 คือความเขมขนที่ตําแหนง P ซึ่ง ∆t จะตองมีคานอยมากจนถือไดวา A1 และ v1 มีคาคงที่

v1

v2

P

Q

เมื่อ

1 11 1 1 1 1 10t

m dmA v A vt dt

ρ ρ∆ →

∆= ⎯⎯⎯→ =

∆

0t∆ → ที่ตําแหนง P เราจะไดวา

และที่ตําแหนง Q เราจะไดวา2

2 2 2dm A vdt

ρ=

ปริมาณ และ เรียกวา

ฟลักซมวล (Mass flux)

คือ มวลที่ผานพื้นที่ A1 และ A2 ตอเวลา 1 วินาที

1dm dt 2dm dt

v1

v2

P

Q

เนื่องจากเปนของไหลซึ่งอัดไมได 1 2ρ ρ ρ= =

และเนื่องจากไมมีของไหลเขาหรืออกจากหลอดของการไหล มวลของไหลที่ผานภาคตัดขวางใดๆตอหนึ่งหนวยเวลา หรือ ฟลักซมวลจะมีคาคงที่เสมอ

นั่นคอื1 2dm dm

dt dt=

หรือ 1 1 2 2v A v Aρ ρ=

นั่นคอื Avρ = คาคงที่

และ1 1 2 2A v A v=

ฟลักซมวล และ ฟลักซของปรมิาตร

เราไดนิยาม ฟลักซมวล (Mass flux) คอื มวลที่ผานพื้นที่ ตอเวลา 1 วินาที

mdmR Avdt

ρ= =

เราอาจจะนิยามฟลักซของปริมาตรที่ไหลผานหรือ Volume flow rate ไดจาก

VdVR Avdt

= =

ทดสอบความเขาใจ

จากรูป แสดงระบบทอสงน้ํา พรอมทิศทางและขนาดของอัตราการไหลเขาและไหลออกของปริมาตรของๆไหลที่ตําแหนงตางๆ แสดงในหนวย (cm3/s) จงหาขนาดและทิศทางของ จงหาขนาดและทศิทางของ x

x ?

การไหลมีลักษณะคงตัวไมมีการสะสมของของไหลในทอ( ) ( )4 8 4 5 2 6 0

21 8 0 13x

x x+ + + + − + =

+ − = → = − ไหลออกดวยอัตรา 13 cm3/s

Daneil Bernoulli

เดเนียล แบรนูลีค.ศ. 1700 - 1782

ดาเนียล แบรนูลี นักคณิตศาสตรซึ่งเกิดในฮอลแลนด แตไปทํางานอยูในสวิสเซอรแลนด ไดคิดคนสมการที่ชื่อเดียวกับตัวเขา คอื สมการแบรนูลี

หนังสือ Hydrodynamica ซึ่งแตงโดย แบรนูลี ตีพิมพตั้งแตป ค.ศ. 1738

สมการของแบรนูลลี

พิจารณาของไหลซึ่งไมมีความหนืด ไหลแบบคงตัวผานทอ ซึ่งทางซายมีพื้นที่หนาตัด A1 และทางขวา A2โดยอยูในระยะ y1 และ y2 ตามลําดับ และถือวาการไหลอยูในสถานะคงตัว

กําหนดให

ของไหลที่ A1 มอีัตราเร็ว V1 และความดัน p1

ของไหลที่ A2 มอีัตราเร็ว V2 และความดัน p2

จากทฤษฎีบทของงานและพลังงาน ผลทางของพลังงาน (จลนและศักย) จะเทากับงานที่ทํา แรงที่กระทําตอดานซายและดานขวามีคาเทากับ p1A1 และ p2A2 ตามลําดับ เมื่อของไหลเคลื่อนตัว จากรูป (a) ไปยัง รูป (b) งานที่ทําทางดานซายและดานขวาคอื

1 1 1 1 2 2 2 2,W p A l W p A l= ∆ = − ∆

1l∆

2l∆

งานลัพธของการเคลื่อนที่คือ

( )1 2 1 1 1 2 2 2W W W p A l p A l= + = ∆ + − ∆ให

1 1 2 2V A l A l∆ = ∆ = ∆

คือปริมาตรของของไหลที่พิจารณา ทางดานซายและขวาตามลําดับ ซึ่งสามารถเขียนไดในรูปของความหนาแนนของของไหล ρ

mVρ

∆ =

1l∆

2l∆

จากทฤษฎีบทของงานและพลังงาน

( ) 2 21 1 1 2 2 2 2 2 1 1

1 12 2

p A l p A l mv mgy mv mgy⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ + − ∆ = + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

จะได

( ) ( ) 2 21 2 2 1 2 1

1 12 2

mp p mg y y mv mvρ

− − − = −

หรือ

2 21 1 1 2 2 2

1 12 2

p v gy p v gyρ ρ ρ ρ+ + = + +

หรือ2

112

p v gyρ ρ+ + = คงที่สมการแบรนูลี

สรุปหลักการสําคัญจากสมการตอเนื่อง

1 1 2 2A v A v=

จะไดวา 12 1 1

2

Av v vA

= >

2 21 1 2 2

1 12 2

p v p vρ ρ+ = +

( )2 22 1 2 1 1

12

p p v v pρ= − − <

จากสมการแบรนูลี

จะไดวาพื้นที่นอย (หรอื สายกระแสชดิกัน)ความเร็วจะมากความดนัจะนอย

แรงยกของปกเครื่องบิน

F

v2

v1

ในการออกแบบปกเครื่องบินเราตองการใหเกิดแรงยกที่ปก จากรูปจะเห็นวาสายกระแสดานบนปกเครื่องบินจะอยูชิดกันมากกวาสายกระแสดานลางปก ซึ่งหมายความวาความเร็วลมเหนือปกสูงกวาความเร็วลมใตปก

จากหลักของแบรนูลี แสดงวาความดันของอากาศใตปก จะสูงกวาความดันอากาศเหนือปกนั่นคอืมแีรงยกของปกเครื่องบินนั่นเอง

F

v2

v1

สมมุติให v1 p1 และ v2 p2 เปนความเร็วและแรงดันของอากาศ เหนือ และใต ปกเครื่องบิน ตามลําดับ จากสมการของแบรนูลี และ อนุโลมวาปกเครื่องบินบางมากเราจะได

2 21 1 2 2

1 12 2

p v p vρ ρ+ = +

หรือ( )2 2

2 1 1 21 02

p p v vρ− = − >

นั่นคอืแรงดันใตปกเครื่องบินมีคามากกวาเหนือปกเครื่องบิน ถาปกเครื่องบินมีพื้นที่ใตปกเทากับ A จะไดขนาดแรงยกขึ้นที่ปกของเครื่องบินคอื

( ) ( )2 22 1 1 2

12

F p p A v vρ= − = −

โศกนาฏกรรมของยอดนักแขงรถ ไอตัน เซนา

วันที่ 1 พฤษภาคม พ.ศ. 2537 ยอดนักแขงรถชาวบราซิล ไอตัน เซนา ประสบอบุัติเหตุเสยีชีวิต ระหวางการแขงขนั ซานมาริโนกรังปรี ณ. ประเทศอิตาลี

อุบัติเหตุ หรือ การฆาตัวตาย ? เราจะใชฟสิกสมาทําความเขาใจเหตุการณครั้งนัน้

Down force กับรถยนต

air

2W

2W

sf

แรงกดหรือ Down force คอืเคล็ดลับของรถแขงความเร็วสูง มันจะกดตัวรถและยางรถยนต เขากับพื้นถนน ทําใหรถแขงสามารถที่จะเลี้ยวเขาโคงไดดวยความเร็วสูง ถาสามารถออกแบบรถ ที่มีแรงกดลงได มากถึง 4 เทาของน้ําหนักรถ จะสามารถเขาโคงไดดวย ความเร็วที่มากกวาถึง 2 เทาตัว ....

เชนกรณีที่รถจะเลี้ยวซาย

2

s smvf N

rµ= =

แรงเขาสู ศ.ก. แรงกด

Spoiler ผลักอากาศขึ้นขางบน และอากาศก็จะผลักรถใหติดถนน ทําใหแรง N มีคามากขึ้น

Aerodynamics ของรถแขง F1

เพื่อที่จะสรางแรงกด Downforce ใหกับรถแขง F1 วิศวกรออกแบบใหใตทองรถ อยูชิดกับพื้นถนนมากที่สุดเทาที่จะทําได ซึ่งอาจจะสูงกวาพื้นถนนเพียงไมกี่มิลลิเมตร

เมื่อรถแขงวิ่งดวยความเร็ว อากาศจะไหลผานรถทั้งดานบนและดานลางอากาศที่ไหลผานใตทองรถจะเทียบไดกับอากาศที่ไหลในทอซึ่งพื้นที่หนาตัดลดลง

0A 1A

ความเร็วของอากาศซึ่งไหลผานใตทองรถ (พื้นที่หนาตัด A1) จะมีคามากกวาที่หนารถแขง ซึ่งจากสมการแบรนูลี เราจะพบวาความดันที่ใตทองรถจะมีคาต่ํากวาความดันบรรยากาศทําใหมีแรงกด down force เพิ่มขึ้น

แมวาการทําใหทองรถเตี้ยลงใกลพื้นถนนจะทําใหรถวิ่งเร็วขึ้น แตมันกส็ามารถทําใหรถเสียการทรงตัวไดเชนกัน ในกรณีที่ใตทองรถเตี้ยเกินไปจนมันไปแตะพืน้ถนนเขา ...

ผูเชี่ยวชาญในวงการแขงรถ Formula 1 ตางเชื่อวา สาเหตุที่ทําใหรถของเซนาเสียการทรงตัว นาจะมาจากการที่ใตทองรถยนตต่ํากวาระยะปกติจนติดพื้นถนน ทําใหสูญเสียแรงกดขณะที่เขาโคงดวยความเร็วสูง

ทบทวนหลักการสําคัญจากสมการตอเนื่อง

1 1 2 2Av A v=

จะไดวา 12 1 1

2

Av v vA

= >

2 21 1 2 2

1 12 2

p v p vρ ρ+ = +

( )2 22 1 2 1 1

12

p p v v pρ= − − <

จากสมการแบรนูลี

จะไดวาพื้นที่นอย (หรอื สายกระแสชดิกัน)ความเร็วจะมากความดนัจะนอย

แรงยกของปกเครื่องบิน

F

v2

v1

ในการออกแบบปกเครื่องบินเราตองการใหเกิดแรงยกที่ปก จากรูปจะเห็นวาสายกระแสดานบนปกเครื่องบินจะอยูชิดกันมากกวาสายกระแสดานลางปก ซึ่งหมายความวาความเร็วลมเหนือปกสูงกวาความเร็วลมใตปก

จากหลักของแบรนูลี แสดงวาความดันของอากาศใตปก จะสูงกวาความดันอากาศเหนือปกนั่นคอืมแีรงยกของปกเครื่องบินนั่นเอง

F

v2

v1

สมมุติให v1 p1 และ v2 p2 เปนความเร็วและแรงดันของอากาศ เหนือ และใต ปกเครื่องบิน ตามลําดับ จากสมการของแบรนูลี และ อนุโลมวาปกเครื่องบินบางมากเราจะได

2 21 1 2 2

1 12 2

p v p vρ ρ+ = +

หรือ( )2 2

2 1 1 21 02

p p v vρ− = − >

นั่นคอืแรงดันใตปกเครื่องบินมีคามากกวาเหนือปกเครื่องบิน ถาปกเครื่องบินมีพื้นที่ใตปกเทากับ A จะไดขนาดแรงยกขึ้นที่ปกของเครื่องบินคอื

( ) ( )2 22 1 1 2

12

F p p A v vρ= − = −

ตัวอยาง

เครื่องบินมีมวล 6,000 กิโลกรัม และมพีื้นที่ใตปก 60 ตารางเมตร ถาความดันใตปกเทากับ ขณะบินในแนวระดับที่ความสูง 4,000 เมตร จงหาความดันเหนือปก

เครื่องบิน50.60 10 Pa×

วิธีทํา

แรงยกของปกเครื่องบินทั้งสองขางจะรับน้ําหนักของเครื่องบนิ

( )2 1F p p A= −แรงยกจากปกเครื่องบินหนึ่งปกมีคาเทากับ

( )( )

2 1

51

41

2 2

2 0.60 10 60 6,000 9.8

5.95 10 Pa

F p p A mg

p

p

= − =

× × − × = ×

= × ตอบ

Spoilerair

2W

2W

sf

Spoiler ทําหนาที่ตรงกันขามกับปกเครื่องบิน (ปกเครื่องบินกลับหัว) ผลักรถใหติดถนน ทําใหแรง N มีคามากขึ้น

2

s smvf N

rµ= =

v นอย, p มาก

v มากp นอย

สําหรับรถแขงอาจจะเพิ่ม Down force ไดโดยใหใตทองรถอยูใกลพื้นมากๆ อากาศจะไหลผานรถทั้งดานบนและดานลาง อากาศที่ไหลผานใตทองรถจะเทียบไดกับอากาศที่ไหลในทอซึ่งพื้นที่หนาตัดลดลง

0A 1A

ความเร็วของอากาศซึ่งไหลผานใตทองรถ (พื้นที่หนาตัด A1) จะมีคามากกวาที่หนารถแขง ซึ่งจากสมการแบรนูลี เราจะพบวาความดันที่ใตทองรถจะมีคาต่ํากวาความดันบรรยากาศทําใหมีแรงกด down force เพิ่มขึ้น

Venturi meter

มาตรเวนทูริ ดังที่แสดงในรูป เปนเครื่องมือที่ใชวัดอัตราเร็วของๆเหลวในทอ ถาของเหลวมีความหนาแนน ρ ไหลผานทอซึ่งมีพื้นที่หนาตัด A และที่คอคอดมพีื้นที่หนาตัด a มีมาโนมิเตอร รูปตัวยูติดกับทอทําหนาทีว่ัดความดัน

จากสมการแบรนูลลี ที่จุด 1 และ 2 จะได

ทําหนาทีว่ัดความดัน

2 21 1 2 2

1 12 2

p v p vρ ρ+ = +

ดังนั้นผลตางของความดันจะได ( ) ( )2 2 2 21 2 2 1

1 12 2

p p v v v Vρ ρ− = − = −

จากสมการตอเนื่องเราสามารถหาเขียน v ในรูป V ได

AV av=

หรือ Av Va

=

ความดันที่ตางกันระหวางจุด 2 และ 1 คือ2

21 2 2

1 12

Ap p Va

ρ⎛ ⎞

− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

นิสิตดูรายละเอียดเพิ่มเติมไดในหนังสือฟสิกส ๑

หนังสืออิเล็กทรอนิกส

ฟสิกส 1(ภาคกลศาสตร( ฟสิกส 1 (ความรอน)

ฟสิกส 2 กลศาสตรเวกเตอร

โลหะวิทยาฟสิกส เอกสารคําสอนฟสิกส 1ฟสิกส 2 (บรรยาย( แกปญหาฟสิกสดวยภาษา c ฟสิกสพิศวง สอนฟสิกสผานทางอินเตอรเน็ต

ทดสอบออนไลน วีดีโอการเรียนการสอน หนาแรกในอดีต แผนใสการเรียนการสอน

เอกสารการสอน PDF กิจกรรมการทดลองทางวิทยาศาสตร

แบบฝกหัดออนไลน สุดยอดสิ่งประดิษฐ

การทดลองเสมือน

บทความพิเศษ ตารางธาตุ)ไทย1) 2 (Eng)

พจนานุกรมฟสิกส ลับสมองกับปญหาฟสิกส

ธรรมชาติมหัศจรรย สูตรพื้นฐานฟสิกส

การทดลองมหัศจรรย ดาราศาสตรราชมงคล

แบบฝกหัดกลาง

แบบฝกหัดโลหะวิทยา แบบทดสอบ

ความรูรอบตัวท่ัวไป อะไรเอย ?

ทดสอบ)เกมเศรษฐี( คดีปริศนา

ขอสอบเอนทรานซ เฉลยกลศาสตรเวกเตอร

คําศัพทประจําสัปดาห ความรูรอบตัว

การประดิษฐแของโลก ผูไดรับโนเบลสาขาฟสิกส

นักวิทยาศาสตรเทศ นักวิทยาศาสตรไทย

ดาราศาสตรพิศวง การทํางานของอุปกรณทางฟสิกส

การทํางานของอุปกรณตางๆ

การเรียนการสอนฟสิกส 1 ผานทางอินเตอรเน็ต

1. การวัด 2. เวกเตอร3. การเคลื่อนท่ีแบบหนึ่งมิต ิ 4. การเคลื่อนท่ีบนระนาบ5. กฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน 6. การประยุกตกฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน7. งานและพลังงาน 8. การดลและโมเมนตัม9. การหมุน 10. สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง11. การเคลื่อนท่ีแบบคาบ 12. ความยืดหยุน13. กลศาสตรของไหล 14. ปริมาณความรอน และ กลไกการถายโอนความรอน15. กฎขอท่ีหน่ึงและสองของเทอรโมไดนามิก 16. คุณสมบัติเชิงโมเลกุลของสสาร

17. คลื่น 18.การสั่น และคลื่นเสียง การเรียนการสอนฟสิกส 2 ผานทางอินเตอรเน็ต

1. ไฟฟาสถิต 2. สนามไฟฟา3. ความกวางของสายฟา 4. ตัวเก็บประจุและการตอตัวตานทาน 5. ศักยไฟฟา 6. กระแสไฟฟา 7. สนามแมเหล็ก 8.การเหนี่ยวนํา9. ไฟฟากระแสสลับ 10. ทรานซิสเตอร 11. สนามแมเหล็กไฟฟาและเสาอากาศ 12. แสงและการมองเห็น13. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ 14. กลศาสตรควอนตัม 15. โครงสรางของอะตอม 16. นิวเคลียร

การเรียนการสอนฟสิกสท่ัวไป ผานทางอินเตอรเน็ต

1. จลศาสตร )kinematic) 2. จลพลศาสตร (kinetics) 3. งานและโมเมนตัม 4. ซิมเปลฮารโมนิก คลื่น และเสียง

5. ของไหลกับความรอน 6.ไฟฟาสถิตกับกระแสไฟฟา 7. แมเหล็กไฟฟา 8. คลื่นแมเหล็กไฟฟากับแสง9. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ อะตอม และนิวเคลียร

ฟสิกสราชมงคล