จ ำนวนเชิงซ้อน (complex number) · ex.3 จงหำค่ำของ 1....
Post on 31-Aug-2019
6 Views
Preview:
TRANSCRIPT
จ ำนวนเชงซอน (Complex Number)
ในระบบจ ำนวนจรงสำมำรถหำคำ x จำกสมกำร ไดคอ แตถำก ำหนด
สมกำรใหเปน หรอ - จะเหนไดวำไมมจ ำนวนจรงใดๆ ทสอดคลองกบทงสองสมกำรเลย เพรำะวำ เสมอ จงจ ำเปนตองสรำงระบบสมกำรขนมำใหมเพอหำค ำตอบของสมกำรทงสองได
1. จ ำนวนจนตภำพ (Imaginary Number)
จ ำนวนจรงลบทอยในเครองหมำย จะเรยกวำจ ำนวนจนตภำพ เชน √- √- √-
ฯลฯ เปนจ ำนวนทตำงจำกจ ำนวนจรงตรงทวำไมสำมำรถก ำหนดจดบนเสนจ ำนวนจรงแทนจ ำนวน
จนตภำพเหลำนได จะใชสญลกษณ i แทนจ ำนวน √- นนคอ √- หรอ -
นยำมท 1.1 ถำ a เปนจ ำนวนจรงบวกแลว √- √ √-
ดงนนจำกนยำม √- √
เชน √- √ √- √ i
√- √ √- √
√- √ √- เปนตนไป
2. กำรหำคำ
เนองจำก √- กำรหำคำ ท ำไดดงน
i1 = i i5 = i4i = 1i = i i2 = -1 i6 = i4j2 = 1 (-1) = -1 i3 = ii2 = (-1) = -i i7 = i4i3 = (1) (-i) = -i i4 = i2i2 = (-1)(-1) = 1 i8 = i4i4 = (1)(1) = 1
และในท ำนองเดยวกนจะได - - จะเหนวำก ำลงของ ตงแต 1 ถง 4 ไดคำแตกตำงกน ก ำลงของ ตงแต 5 ถง 8 และ 9
ถงซ ำกน 12 ไปเรอยๆ จะไดคำซ ำกบก ำลง 1 ถง 4 ดงนนจงสรปวำรป เมอ เปนจ ำนวน
เตมบวกใดๆ มโอกำสเปนไปได 4 กรณ คอ - - โดยท เมอ หำรดวย 4 ลงตวจะได เมอ หำรดวย 4 เหลอเศษ 1จะได
เมอ หำรดวย 4 เหลอเศษ 2 จะได -
เมอ หำรดวย 4 เหลอเศษ 3 จะได - ดงนนเมอ จะได
- - และ
-
Ex.1 จงหำคำของ
1.
Ex.2 จงหำคำของ 1.
2.
Ex.3 จงหำคำของ
1. √- √-
นยำมท 1.2 จ ำนวนทเชงซอนคอจ ำนวนทเขยนอยในรป z = a+bi เมอ a และ b เปนจ ำนวนจรง จำกนยำมจ ำนวนเชงซอน z = a+bi
เรยกจ ำนวนจรง a วำสวนจรง (real part) เขยนแทนดวย Re(z) เรยกจ ำนวนจรง b วำสวนจนตภำพ (Imaginary part) เขยนแทนดวย Im(z) เชน จ ำนวนจรง เปนจ ำนวนเชงซอน ซงสวนจรงคอ 3 สวนจนคภำพคอ 4
√
- เปนจ ำนวนเชงซอน ซงสวนจรงคอ √
สวนจนตภำพคอ -2
-
เปนจ ำนวนเชงซอน ซงสวนจรงคอ -
สวนจนตภำพคอ -√
จำกจ ำนวนเชงซอน ถำ จะได เรยกจ ำนวนจนตภำพแท ถำ จะได ซงเปนจ ำนวนจรง ดงนนจ ำนวนจรงทกจ ำนวนเปนจ ำนวนเชงซอนทไมมสวนจนตภำพ
3. กำรเทำกนของจ ำนวนเชงซอน นยำมท 1.3 ถำให และ เปนจ ำนวนเชงซอนโดยท และ
กตอเมอ และ
Ex.1 จงหำคำของ x และ y จำก - - เมอ
Ex.2 จงหำคำของ x และ y จำก (- - ) ( - ) - -
Ex.3 ( ) ( - ) ( - )( - )
4. กำรบวกและลบจ ำนวนเชงซอน นยำมท 1.4 ถำให และ เปนจ ำนวนเชงซอนโดยท
( ) ( ) - ( - ) ( - )
จำกนยำมจะเหนวำกำรบวกและกำรลบจ ำนวนเชงซอน เหมอนกบกำรบวกและกำรลบจ ำนวนจรง Ex.1 จงหำผลบวกและผลตำงของจ ำนวนเชงซอนทก ำหนดใหตอไปน
- -
Ex.2 จงหำคำของ ( - ) (- )- -
5. กำรคณจ ำนวนเชงซอนดวยจ ำนวนจรง นยำมท 1.5 ถำ เปนจ ำนวนเชงซอนและ k เปนจ ำนวนจรงใดๆ จะไดวำ ( )
Ex.1 จงหำจ ำนวนจรง x, y จำกสมกำร ( )- ( - )
Ex.2 จงหำจ ำนวนจรง x, y จำกสมกำร - -
คณสมบตกำรบวกของจ ำนวนเชงซอน ให c เปนเซตของจ ำนวนเชงซอนและ เปนสมำชกของเซต c
1. คณสมบตปดส ำหรบกำรบวก ถำ แลว
2. คณสมบตสลบทส ำหรบกำรบวก ถำ แลว
3. คณสมบตกำรเปลยนแปลงกลม (จดหม) ส ำหรบกำรบวก ถำ และ แลว ( )
4. คณสมบตกำรมเอกลกษณส ำหรบกำรบวก ถำ เรยก 0 วำ เปนเอกลกษณกำรบวกของจ ำนวนเชงซอน
5. คณสมบตกำรมอนเวอรสส ำหรบกำรบวก ถำ จะม- โดยท (- ) (- ) ( )
เรยก - เปนอนเวอรส ำหรบกำรบวกของ 6. คณสมบตกำรมอนเวอรสส ำหรบกำรบวก
ถำ จะม- โดยท (- ) (- ) ( )
เรยก - วำเปนอนเวอรสส ำหรบกำรคณของ
6. กำรคณจ ำนวนเชงซอนดวยจ ำนวนเชงซอน นยำมท 1.6 ให และ เปนจ ำนวนเชงซอนใดๆ
จะได - จำกนยำมจะเหนวำกำรคณจ ำนวนเชงซอนกเหมอนกบกำรคณแบบธรรมดำนนเอง
เพยงแตใชคณสมบต - Ex.1 จงท ำใหเปนผลส ำเรจในรป
1. ( )( - )
Ex.2 ก ำหนดให - - จงหำ 1)
2)
คณสมบตกำรคณจ ำนวนเชงซอนดวยจ ำนวนเชงซอน ให c เปนเซตของจ ำนวนเชงซอน และ เปนสมำชกในเซต c
1. คณสมบตปดส ำหรบกำรคณ ถำ แลว
2. คณสมบตสลบทส ำหรบกำรคณ ถำ แลว
3. คณสมบตกำรเปลยนแปลงกลม (จดหม) ส ำหรบกำรคณ ถำ แลว ( )
4. คณสมบตกำรมเอกลกษณส ำหรบกำรคณ ม เปนสมำชก และถำ แลว ( )( ) ( )( ) เรยก เปนเอกลกษณกำรคณ
5. คณสมบตกำรมอนเวอรสส ำหรบกำรคณ
ถำ จะม - โดยท
- -
เรยก - วำเปนอนเวอรสส ำหรบกำรคณของ 6. คณสมบตกำรแจกแจง
ถำ แลว ( )
พจำรณำคณสมบตขอ ท 5
ให โดยท จงหำคำ -
ให -
- ( )( ) (เพรำะเปนอนเวอรสกำรคณ)
( - ) ( ) จำกคณสมบตกำรเทำกนของจ ำนวนเชงซอน
- (1) (2)
Ex.1 ก ำหนด จงหำคำ - จำก 1.
2.
3. -
7. สงยคของจ ำนวนเชงซอน (Conjugate of Complex numbers )
นยำมท 1.7 ส ำหรบจ ำนวนเชงซอน ใดๆ สงยคของ z แทนดวย - จำกนยำมพบวำถำ แลว
เชน -
- - -
-
-
โดยท ( )( - )
เชน ( )( - ) คณสมบตสงยคของจ ำนวนเชงซอน ให เปนจ ำนวนเชงซอนใดๆ
1. 2.
3.
4. - -
5.
6. ( )
7. ( ) ( )
Ex.1 จงหำสงยคของ -√-
8. กำรหำรจ ำนวนเชงซอนดวยจ ำนวนเชงซอน กำรหำรจ ำนวนเชงซอนดวยจ ำนวนเชงซอนนนไมสำมำรถท ำไดเหมอนจ ำนวนจรงเนองจำกไม
สำมำรถรคำ i วำเปนเทำใด ดงนนอำศยคณสมบตของสงยคจ ำนวนเชงซอน โดยกำรท ำตวหำร ใหเปนจ ำนวนจรง คอน ำสงยคของตวหำรมำคณทงเศษและสวน
Ex.1 ให -
จงเขยน ในรป
Ex.2 จงเขยนจ ำนวนเชงซอน
-
-
- ในรปของ
9. คำสมบรณของจ ำนวนเชงซอน (Asolute Value หรอ modulus)
นยำมท 1.8 คำสมบรณของจ ำนวนเชงซอน เขยนแทนดวย | | | | คอระยะทำงสดทำย ถง
จำกนยำมจะไดวำ | | √ Ex.1 | |
Ex.2 |√
-
|
x
(a,b)
b
a
|z|
0
y
Ex.3 ก ำหนด เปนจ ำนวนเชงซอนใดๆ และ ( )( )(- - ) - จง
หำคำ | | คณสมบตคำสมบรณของจ ำนวนเชงซอน ให เปนจ ำนวนเชงซอน 1. | | | | |- | 2. | | | | | |
3. | |
| |
| |
4. | | | | 5. | | | | | |
Ex.1 จงหำคำสมบรณของจ ำนวนเชงซอนตอไปน
1.1 |( - )( ) ( - )|
1.2 |(√ √ )
( √ ) (- - )
|
10. กำรหำค ำตอบของสมกำรในระบบจ ำนวนเชงซอน - ใชกำรแยกตวประกอบ Ex.1 จงหำค ำตอบของสมกำรกำรตอไปน 1.1
1.2 - - สมกำรทอยในรป เมอ เปนคำคงทและ ใหใชสตร
- √ -
Ex.2 จงหำค ำตอบของสมกำรตอไปน
1.1 -
1.2 -
11. กรำฟของจ ำนวนเชงซอน
ในระบบจ ำนวนจรงสำมำรถใชจดบนเสนจ ำนวน แทนจ ำนวนจรงแตละคำไดแตส ำหรบจ ำนวนเชงซอนตองใชจดบนระนำบเปนตวแทนของจ ำนวนเชงซอนโดยระนำบ ประกอบดวยแกนจรง (แกน X) และแกนจนตภำพ (แกน y) ซงเรยกวำระนำบเชงซอน ซงจ ำนวนเชงซอนสำมำรถแทนไดดวยคล ำดบ คอ ถำ แทนดวย Ex.1 ให เปนจ ำนวนเชงซอนโดยท | | จงหำทำงเดนของ
Ex.2 ก ำหนด Z เปนจ ำนวนเชงซอนโดยท | - - | จงพจำรณำในระบบจ ำนวนจรงท
สอดคลองกบสมกำรดงกลำว
(a,b)=a+bi
b |z|
0 a
y (แกนจนตภำพ)
X (แกนจรง)
12. กำรเขยนจ ำนวนเชงซอนในรปพกดเชงชว
จำก ( ) ในระนำบประกอบดวยแกนจรงและแกนจนตภำพ
จำกรป
| |
หรอ | |
| | หรอ | |
จำก | | | | ดงนน จ ำนวนเชงซอน เขยนในรปพกดเชงขว คอ | |( )
1. √
2. -
x
(a,b)=a+bi
b
a
|z|
0
y
13. กำรคณและกำรหำรจ ำนวนเชงซอนในระบบเชงขว
ถำให | | | | จะได | || |[ ( ) ]
| |
| |[ ( - ) - ]
Ex.1 ก ำหนด (
)
จงหำคำของ
Ex.2 ก ำหนด - จงหำคำของ ในรป
14. กำรหำคำของ ในระบบพกดเชงชว ให | | จำกหวขอท 1.13 จะได | | [ ( ) ]
| | ในท ำนองเดยวกนจะได
ซงเรยกวำ ทฤษฏบทของเดอมวร De M vr’ The rem ซงมประโยชนในกำรหำ
จ ำนวนเชงซอนทมกำรยกก ำลงมำกๆ
Ex.1 จงหำคำของ (-
√
)
zn=|z| ( cos nθ+i sin nθ) n
Ex.2 จงหำคำของ [ (
)]
-
15. กำรหำรำกท n ของจ ำนวนเชงซอน Ex.1 จงหำรำกท 3 ของ 1
Ex.2 จงหำรำกท 4 ของ 16
top related