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연속형확률분포

균일분포

정규분포

8.정규분포

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

차례

1 연속형확률분포

2 균일분포

3 정규분포

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

차례

1 연속형확률분포

2 균일분포

3 정규분포

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

연속형확률변수(continuous random variable)

연속형확률변수(continuous random variable):무한개의셀수없는값을갖는확률변수

연속형확률변수의확률밀도함수(probability density function):모든실수 a, b에대하여 P(a ≤ X ≤ b) =

∫ ba f (x)dx를만족시키는

f (x)

f (x)는다음과같은성질을만족해야함모든실수값 x에대하여 f (x)≥ 0∫

∞

−∞f (x)dx = 1

특징

임의의상수 a에대하여 P(X = a) =∫ a

a f (x)dx = 0P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b)

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

연속형확률변수(continuous random variable)

예)실수구간 [0,1]에서가질수있는값들을확률변수 X로두면,X는 0과 1사이의값을동일한확률로가지게된다.따라서임의의0 ≤ a ≤ b ≤ 1에대하여

P(a ≤ X ≤ b) = b−a

예)확률변수 X의확률밀도함수가아래와같이주어졌을때,확률P(0.5 ≤ X ≤ 1.5)값은?

f (x) =

{0.5 0 ≤ x ≤ 20 otherwise

(풀이)

P(0.5 ≤ X ≤ 1.5) =∫ 1.5

0.5

12

dx = 0.5

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

연속형확률변수(continuous random variable)

연속형확률변수의누적분포함수(cumulative distributionfunction)

F(x) = P(X ≤ x) =∫ x

−∞

f (x)dx

누적분포함수 F(x)와확률밀도함수 f (x)의관계

F′(x) =ddx

F(x) = f (x)

연속형확률변수의평균

E(x) =∫

∞

−∞

x · f (x)dx

연속형확률변수의분산

Var(x) = E(X−µ)2 = E(X2)−E(X)2

=∫

∞

−∞

x2 · f (x)dx−(∫

∞

−∞

x · f (x)dx)2

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

연속형확률변수(continuous random variable)

예)확률변수 X의확률밀도함수가 f (x) = 3x2, 0 ≤ x ≤ 1로주어졌을때 P(X ≤ 0.5),평균그리고분산을구하라

(풀이)

P(X ≤ 0.5) =∫ 0.5

0f (x)dx =

∫ 0.5

03x2dx =

18

E(X) =∫ 1

0xf (x)dx =

∫ 1

0x ·3x2dx =

∫ 1

03x3dx =

34

E(X2) =∫ 1

0x2f (x)dx =

∫ 1

0x2 ·3x2dx =

∫ 1

03x4dx =

35

Var(X) = E(X2)−E(X)2 =35−(

34

)2

=3

80

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

차례

1 연속형확률분포

2 균일분포

3 정규분포

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

균일분포(uniform distribution)

확률변수 X가어느구간 (a,b)에서정의되고,확률밀도함수의크기가동일한확률분포

X ∼ U(a,b)로표기

균일분포의확률밀도함수

f (x) =1

b−a, a ≤ x ≤ b

a ≤ c ≤ d ≤ b를만족하는 c와 d에대하여

P(c ≤ X ≤ d) =∫ d

cf (x)dx =

1b−a

∫ d

c1dx =

d− cb−a

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

균일분포(uniform distribution)

균일분포의누적분포함수

F(x) =∫ x

−∞

f (x)dx =

0 x < ax−ab−a a ≤ x ≤ b1 x > b

균일분포의평균

E(X) =∫ b

ax · f (x)dx =

∫ b

ax · 1

b−adx =

a+b2

균일분포의분산

Var(x) = E(X2)−(

a+b2

)2

=∫ b

ax2 · 1

b−adx−

(a+b

2

)2

=a2 +ab+b2

3−(

a+b2

)2

=(b−a)2

12

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

균일분포(uniform distribution)

예)약속시간에늦는시간이특별한경향이없이 0분과 60분사이에랜덤하게골고루퍼져있을때의늦는시간 XX ∼ U(0,60)확률밀도함수

f (x) =1

b−a=

160

누적분포함수

F(x) =

0 x < 0x−ab−a = x

60 0 ≤ x ≤ 601 x > 60

평균과분산

E(X)=a+b

2=

0+602

= 30 Var(X)=(b−a)2

12=

(60−0)2

12= 300

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

차례

1 연속형확률분포

2 균일분포

3 정규분포

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

정규분포(normal distribution)

많은자료들이정규분포형태를띄며,분포식이나의미해석에있어좋은특성이많기때문에여러분야에서중요하게쓰임

정규분포의확률밀도함수

f (x) =1√

2πσexp

(− 1

2σ2 (x−µ)2)

X ∼ N(µ,σ2)로표기

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

정규분포(normal distribution)

정규분포의특성

(1) 정규분포의확률밀도함수는평균에서가장큰값을가짐:µ는평균이며또한최빈값이자중앙값

(2) 분산은같고평균이서로다른정규분포의정규곡선들

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

정규분포(normal distribution)

정규분포의특성

(3) 정정규곡선은평균 µ에대해대칭

(4) 평균은같고분산이서로다른정규분포의정규곡선들

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

정규분포(normal distribution)

정규분포의특성

(5) 확률변수 X가구간 (a,b)의값을가질확률은 (a,b)구간에서정규곡선의아래부분영역의넓이

(6) 자주사용되는구간의확률들

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

표준정규분포(standard normal distribution)

표준정규분포(standard normal distribution):평균(µ)이 0이고분산(σ2)인정규분포

표기

Z:표준정규분포를따르는변수φ(z):확률밀도함수Φ(z):누적확률밀도함수

표준정규분포의확률밀도함수

φ(z) =1√2π

exp(−1

2z2)

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

표준정규분포(standard normal distribution)

정규분포의확률계산:일반적인공식이존재하지않아,정규분포와표준정규분포사이의관계를정의하고,컴퓨터로계산된표준정규분포의누적확률분포함수값을사용

표준정규분포의확률

확률변수 Z가구간 (a,b)에포함될확률은 (a,b)에해당되는구간의확률밀도함수곡선의아래영역

P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b)−P(Z ≤ a) = Φ(b)−Φ(a)

표준정규분포의누적확률함수로계산

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

표준정규분포(standard normal distribution)

표준정규분포표

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

표준정규분포(standard normal distribution)

표준정규분포표

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

표준정규분포(standard normal distribution)

표준정규분포의확률계산

예) Z가 0과 1.21사이에포함될확률

P(0 ≤ Z ≤ 1.21) = 0.3869

예) Z가 -1.00과 0.00사이에있을확률

P(−1.00 ≤ Z ≤ 0) = P(0 ≤ Z ≤ 1.00) = 0.3413

=⇒표준정규확률밀도함수는 0을중심으로대칭

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

표준정규분포(standard normal distribution)

표준정규분포의확률계산

예) Z가 1.47이상일확률

P(Z > 1.47) = 0.5−0.4292 = 0.0708

예) Z가 0.65와 1.36사이에있을확률

P(0.65 ≤ Z ≤ 1.36) = 0.4131−0.2422 = 0.1709

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

표준정규분포(standard normal distribution)

표준정규분포의확률계산

예) Z가구간 -2.25과 1.85사이에있을확률

P(−2.25 ≤ Z ≤ 1.85) = P(−2.25 ≤ Z ≤ 0)+P(0 ≤ Z ≤ 1.85)

= 0.4878+0.4678 = 0.9556

예) Z가구간 -1.21보다작을확률

P(Z <−1.21) = P(Z > 1.21)

= 1−P(Z < 1.21)

= 1− [P(Z < 0)+P(0 < Z < 1.21)]

= 1−0.5−0.3869 = 1−0.8869 = 0.1131

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

정규분포의확률계산

정규분포를따르는확률변수 X ∼ N(µ,σ2)의선형변환인Y = a+bX도정규분포를따르고평균은 a+bµ이고,분산은 b2σ2

이됨.즉, Y ∼ N(a+bµ,b2σ2)

확률변수 X ∼ N(µ,σ2)이면, Z = X−µ

σ는표준정규분포를따름

P(a ≤ X ≤ b) = P(

a−µ

σ≤ X−µ

σ≤ b−µ

σ

)= P

(a−µ

σ≤ Z ≤ b−µ

σ

)= Φ

(b−µ

σ

)−Φ

(a−µ

σ

)

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

정규분포의확률계산

예) 1kg인추를반복적으로잴때,측정된무게는평균이 1kg이고,표준편차가 20g인정규분포를따른다.측정된값이 1kg으로부터10g이내에있는비율?

X:측정된추의무게

P(990 ≤ X ≤ 1010)

= P(

990−100020

≤ X−µ

σ≤ 1010−1000

20

)= P(−0.5 ≤ Z ≤ 0.5) = 2×0.1951 = 0.3829

따라서 38.29%

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

정규분포의백분율

확률변수 X가평균이 µ,분산이 σ2인정규분포를따를때

100(1−α)백분율 ηα는 P(X ≤ ηα) = 1−α의해

P(X ≤ ηα) = P(

X−µ

σ≤ ηα −µ

σ

)= P

(Z ≤ ηα −µ

σ

)= 1−α

따라서,표준정규분포의 100(1−α)백분율을 zα로표시하면

ηα−µ

σ= zα 이므로,

ηα = µ +σ × zα

표준정규분포의백분율은표준정규분포표를역으로읽음으로써

구할수있음

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

표준정규분포의백분율

표준정규분포의 95%백분율 = 1.645

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

정규분포의백분율

정규분포의 61.79%백분율

η0.3821 = µ + z0.3821σ = 5+(0.30)(10) = 8

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

표준정규분포의백분율

표준정규분포의백분율구하는방법

90%의백분율을계산해보면, P(Z ≤ 1.28) = 0.8997이고P(Z ≤ 1.29) = 0.9015이므로90%의백분율은 1.28과 1.29사이의값이다.0.9는 1.28의누적확률인 0.8997에보다가까우므로1.28을취하든지,선형근사보간법에의하여1.28+0.01∗ (0.9−0.8997)/(0.9015−0.8997) = 1.2817로계산

8. 정규분포

연속형확률분포

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정규분포

이항분포의정규근사

이항분포

X ∼ B(n,p)인상황에서

P(a ≤ X ≤ b) = ∑bx=a

(nx

)px(1−p)n−x을계산하고자할때,

n이작은경우:이항분포표를이용,혹은직접계산

n이매우크거나,확률의정확한값을알필요가없을때

:정규분포를이용한근사계산: np ≥ 5와 n(1−p)≤ 5의조건이필요

예) p = 0.5이면 n ≥ 10, p = 0.01또는 p = 0.99이면 n ≥ 500

8. 정규분포

연속형확률분포

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정규분포

이항분포의정규근사

n = 20, p = 0.5인이항분포와정규근사

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

이항분포의정규근사

n이증가함에따라이항분포의확률질량함수는종모양의정규분포에가까워짐

8. 정규분포

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균일분포

정규분포

이항분포의정규근사

X ∼ B(n,p)일때,

µ = np, σ =√

np(1−p)이므로 X ≈ N(np,np(1−p))

P(a ≤ X ≤ b)≈ Φ

(b+0.5−µ

σ

)−Φ

(a−0.5−µ

σ

)=⇒ 0.5는연속성보정계수:이산형분포를연속형분포로근사시키면서생기는오차를보정

P(a ≤ X < b)≈ Φ

(b−0.5−µ

σ

)−Φ

(a−0.5−µ

σ

)P(a < X ≤ b)≈ Φ

(b+0.5−µ

σ

)−Φ

(a+0.5−µ

σ

)P(a < X < b)≈ Φ

(b−0.5−µ

σ

)−Φ

(a+0.5−µ

σ

)

8. 정규분포

연속형확률분포

균일분포

정규분포

이항분포의정규근사

P(X ≤ 4)≈ P(Y < 4.5)

P(X ≥ 14)≈ P(Y > 13.5)

8. 정규분포

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정규분포

이항분포의정규근사

예)한국성인의 50%가정기적으로알코올음료를마시는것으로조사되었다. 1,000명의임의추출된표본에서알코올성분의음료를정기적으로마시는사람의수가 480명보다작을확률은얼마인가?

(풀이)X: 1,000명중알코올음료를정기적으로마시는사람의수X ∼ B(1000,0.5)np ≥ 5와 n(1−p)≥ 5의조건을만족하므로이항분포의정규근사를이용하면,

P(X < 480)≈ P(X ≤ 479.5) = P(

X−500√250

≤ 479.5−500√250

)≈ P(Z ≤−1.3) = 0.0968

8. 정규분포

연속형확률분포

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정규분포

8. 정규분포