7 eg somatórios e produtórios [modo de...
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Estatística GeralEstatística Geral(Somatórios e Produtórios)(Somatórios e Produtórios)
ICET/CUA/UFMTICET/CUA/UFMTProfºProfº: Glauco Vieira de Oliveira: Glauco Vieira de Oliveira
Cap VII – Princípios de estatística
SomatórioMuitos processos estatísticos exigem cálculo as soma. Para simplificar a operação de adição nas expressões algébricas, utiliza-se a notação ∑ (letra grega sigma maiúscula)– Partes e símbolos dos somatórios
Último elemento a
i
n
1ix
=∑
1º elemento dos termos a serem somados
Instrução para somar
Último elemento a ser somado
Termos a serem somados
Observação individual da série (indexador)
SomatórioExemplo 1: Lê-se: a soma de X ao i variar de 1 até 8
Exemplo 2: Lê-se: a soma de i ao i variar de 2 até 7
Exercícios Resolvidos – (onde a variável é o próprio indexador i):
iX8
1i=∑
i7
2=∑i
=∑=
23
1i
i
a) = 12 +22 + 32 = 1 + 4 + 9 = 14
=∑=
ii
45
2
b) = 4 . 2 +4 . 3 + 4 . 4 +4 . 5 = 8 + 12 + 16 + 20 = 56
=∑=
4) - 2(8
3i
ic) = (2 . 3 – 4) + (2 . 4 – 4) + (2 . 5 – 4) + (2 . 6 – 4) +
+ (2 . 7 – 4) + (2 . 8 – 4)
= 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42
SomatórioExemplo 2:
Considere as variáveis x e y que representam respec tivamente, as notas de duas disciplinas para um grupo de 6 alunos
X = {90, 95, 97, 98, 100, 60} e Y= {60, 70, 80, 60, 90, 75}Calcule os somatórios abaixo:
ni
n
ixxxx +++=∑
=...21
1a) Soma simples = 540
nnii
n
iyxyxyxyxyx ++++=∑
=....332211
1
2222
1....
21 nxxxxi
n
i+++=∑
=
( )221
2
1.... ni
n
ixxxx +++=
∑=
)....).(....( 212111
mnj
m
ji
n
iyyyxxxyx ++++++=∑∑
==
b) Soma de quadrados (SQ)
c) Quadrado da Soma
d) Soma de Produtos (SP)
e) Produto das somas
= 49.738
= 291.600
= 39.190
= 234.900
SomatórioPropriedades dos somatórios
nccn
1i=∑
=
1ª- somatório de uma constante
2ª- somatório do produto de uma constante por uma variável
Constatação das propriedades
X1=5; X2=3; X3=-2; X4 = 0
Y1 = 2 ;Y2=3; Y3=-3; Y4=1
Observações:
a) Qdo não houver possibilidade de duvidas, pode -se eliminar os
i
n
1ii
n
1ixccx
==∑=∑
i
n
1ii
n
1iii
n
1iyx)y(x
===∑±∑=±∑
constante por uma variável
3ª- Somatório de uma soma ou subtração de variáveis
de duvidas, pode -se eliminar os índices
b) ∑x2 ≠ ((((∑x)∑x)∑x)∑x)2222
c) A operações em frente de um ∑ são realizadas 1º para depois aplicar suas propriedades.
Ex: ∑ (3x + 2)2 → ∑ (9x2 + 12x + 4)
→ ∑ 9x2 + ∑12x +∑ 4
→ 9∑ x2 + 12∑x + n4
SomatórioSomatório Duplo
- Muito utilizado em tabelas de dupla entrada (ex: es tado civil e sexo, escolaridade x faixas de renda)
- Notação: x ij é um elemento pertencente à i-ésima linha e à j-ési ma coluna da tabela abaixo
Assim:
Somatório DuploExemplo:
Dado a tabela acima calcule:
ij
43
xa) ∑∑a) ∑∑xij = x11 + x12 + x13+ ...+ x34 =
2ij
3ij
4
3j
3
2i
i4
3
1i
3j
4
1j
ij1j1i
1)(xe)
xd)
xc)
xb)
xa)
−∑∑
∑∑
∑
∑
∑∑
==
=
=
== = 5 + (-2) + 0 + 1 .....+3 = 15
b) ∑x3j = x31 + x32 + x33+ x34
= 1 + 2 + 4 + 3 = 10
c) ∑x i4 = x14 + x24 + x34 = 1 + (-2) + 3 = 2
d) = (x23)3+ (x24)3 + (x33)3 +(x34)3 = 03 + (-2)3 + 43 + 33 = 83
e)
SomatórioExercíciosLivro: Princípios de EstatísticaCapítulo 7 Série 1
Exercício adicional
Seja uma variável X, assumindo os seguintes valores:
X = {5, 2, 3, 0, 1, 2, 6, 9, 4, 8}Calcule: 10
∑==
==
=
=
===
−
−∑−∑−∑
−
∑
−∑
∑∑∑
10
1ii
2i
10
1i2i
10
1ii
10
1i
2
i
10
1i2i
10
1i2
i
10
1i
2i
10
1ii
10
1i
xh)
110
4)(xg)4)(xf)4)(xe)
11010
xx
d)xc)xb)xa)
ProdutórioA notação π (letra grega pi maiúscula) é utilizada para representação dos produtos de um conjunto de variáveis.– Partes e símbolos dos somatórios
Último elemento a
i
n
1ix
=∏
1º elemento dos termos a serem multiplicados
Instrução para multiplicar
Último elemento a ser multiplicado
Termos a serem multiplicados
Observação individual da série (indexador)
ProdutóriosPropriedades dos produtórios
=
=
∏==∏
=∏=
∏=
nn
n
nn
i
i
n
i
XccXcXcXcXcX
bbbbb
bbnbbb
fatos
1
1321
......3
..2
.......)1
)
)
∑==
=
==
=
==
=+++=∏
==∏
∏
∏=
==∏
∏==∏
n
iini
n
i
n
i
i
n
ii
n
i
nnnnii
n
i
ii
nni
i
XXXXX
nni
YX
YYYXXXYXYXYXYX
XccXcXcXcXcX
121
1
1
11
212122111
1321
1
loglog...logloglog)6
!....3.2.15
)....).(....(......4
......3
)
)
)
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