6.4 系统的稳定性

第六章第3讲 1

6.4 6.4 系统的稳定性系统的稳定性 按照研究问题的不同类型和不同角度，系统稳按照研究问题的不同类型和不同角度，系统稳

定性的定义有不同的形式。常用的稳定性的概定性的定义有不同的形式。常用的稳定性的概念有两种。念有两种。

稳定性的第一个概念与加入一般输入信号时的稳定性的第一个概念与加入一般输入信号时的系统性能有关。如果输入有界时（系统性能有关。如果输入有界时（ Bounded Bounded inputinput ）只能产生有界输出（）只能产生有界输出（ Bounded Bounded outputoutput ）的系统，称为稳定系统，这一稳定性）的系统，称为稳定系统，这一稳定性准则称为准则称为 BIBOBIBO 稳定性准则。它适用于一般系稳定性准则。它适用于一般系统，可以是线性也可以是非线性系统，可以是统，可以是线性也可以是非线性系统，可以是非时变也可以是时变系统。非时变也可以是时变系统。 (( 也称外部稳定也称外部稳定 ))

第六章第3讲 2

6.4 6.4 系统的稳定性系统的稳定性 稳定性的第二个概念与短时间内出现小的干扰稳定性的第二个概念与短时间内出现小的干扰

时的系统性能有关。时的系统性能有关。 当一个系统受到某种干扰信号作用时，其所引当一个系统受到某种干扰信号作用时，其所引

起的系统输出始终保持有界，并且最后趋于原起的系统输出始终保持有界，并且最后趋于原状态，则系统就是稳定的；状态，则系统就是稳定的；

如果系统输出变为无界，则系统是不稳定的；如果系统输出变为无界，则系统是不稳定的； 如果系统输出保持有界，但是并不趋附于原来如果系统输出保持有界，但是并不趋附于原来

的状态，则称系统为临界稳定。例如，临界稳的状态，则称系统为临界稳定。例如，临界稳定系统可以表现为持续振荡或者恒定输出。定系统可以表现为持续振荡或者恒定输出。（也称内部稳定）。（也称内部稳定）。

第六章第3讲 3

BIBOBIBO 稳定性 稳定性

BIBOBIBO 稳定性称为有界输入－有界输出稳定性 稳定性称为有界输入－有界输出稳定性

dthtfthtfty )()()()()(

dthtfdthtfty )()()()(|)(|

如果输入有界，则 Mtf |)(|

dthMty )(|)(|

替换变量 x = t- ，可得

dxxhMty )(|)(|

那么，如果有

dh |)(|

则输出有界，也就是说，上式是稳定性的充分条件。

第六章第3讲 4

BIBOBIBO 稳定性稳定性 证明必要条件，证明必要条件，

如果 无界，则至少有一个有界的 f(t) 产生无界的 y(t) dh |)(|

0)(1

0)(0

0)(1

)(

th

th

th

tf

dxxhdthty )(|)(||)(| 输出将无界

dthtfdthtfty )()()()(|)(|因为

dh |)(| 同时也是 BIBO 稳定性的必要条件

第六章第3讲 5

BIBOBIBO 稳定性稳定性 (( 时域时域 ))

在时域中，线性非时变因果系统的在时域中，线性非时变因果系统的 BIBOBIBO 稳定稳定含有以下条件含有以下条件 ..

要求在微分方程中，输入信号的最高阶导数不要求在微分方程中，输入信号的最高阶导数不超过输出信号的最高阶导数；如果超过的话，超过输出信号的最高阶导数；如果超过的话，冲激响应中将含有的导数，就不绝对可积。冲激响应中将含有的导数，就不绝对可积。

特征方程的根有负实部。为了符合绝对可积条特征方程的根有负实部。为了符合绝对可积条件，在件，在 tt无限趋大时，冲激响应趋于零，即 无限趋大时，冲激响应趋于零，即

0)(lim

tht

第六章第3讲 6

BIBOBIBO 稳定性稳定性 (S(S 域域 ))

在在 ss 域中，要求系统函数域中，要求系统函数 H(s)H(s) 中，分子多项式中，分子多项式的阶数的阶数 MM 不能超过分母多项式的阶数不能超过分母多项式的阶数 NN 。其。其极点位于极点位于 SS 左半平面（除去虚轴）左半平面（除去虚轴） 位于右半平面的极点将使指数增长，对任一有界的位于右半平面的极点将使指数增长，对任一有界的

或其他输入会产生无界的响应。 或其他输入会产生无界的响应。 虚轴上的多重极点会使系统响应发散虚轴上的多重极点会使系统响应发散 .. 虚轴上的单极点，如果系统的输入信号也有相同的虚轴上的单极点，如果系统的输入信号也有相同的

形式，会使系统响应发散。从形式，会使系统响应发散。从 BIBOBIBO 稳定性划分来稳定性划分来看，由于未规定临界稳定类型，因而属于不稳定的看，由于未规定临界稳定类型，因而属于不稳定的范围。 范围。

第六章第3讲 7

例例 6.16 6.16

试用试用 BIBOBIBO 准则判别下列因果系统是否稳定？准则判别下列因果系统是否稳定？为什么？ 为什么？

)3)(1(

2

32

2)(

2

ss

s

ss

ssH 由于有右半平面的极点，

所以系统不稳定。

4

1)(

2

s

ssH 由于在虚轴上有单极点，所以系统

是不稳定。

32

2)(

2

2

ss

ssH 系统函数分子分母的阶数相同，极点都

在左半平面。所以系统是稳定的。

32

2)(

2

3

ss

ssH 因为分子的阶数大于分母的阶数，冲激响

应中必含有其导数项，所以系统不稳定。

第六章第3讲 8

其他稳定性 其他稳定性 系统函数的极点与冲激响应的关系确定稳定性 系统函数的极点与冲激响应的关系确定稳定性 在时域，对于因果系统，在时域，对于因果系统，

在时间在时间 tt 趋于无限大时，是趋于零，系统是稳定的；趋于无限大时，是趋于零，系统是稳定的； 若时间若时间 t t 趋于无限大时，是趋于有限值，则系统是趋于无限大时，是趋于有限值，则系统是

临界稳定的；临界稳定的； 若时间若时间 t t 趋于无限大时，是增长的，则系统是不稳趋于无限大时，是增长的，则系统是不稳

定的。定的。 在在 ss 域，域，

系统函数的极点位于系统函数的极点位于 ss 左半平面，系统是稳定的。左半平面，系统是稳定的。 极点在虚轴上有单极点，系统是临界稳定。极点在虚轴上有单极点，系统是临界稳定。 极点在极点在 ss 右半平面或在虚轴上有重极点，系统不稳右半平面或在虚轴上有重极点，系统不稳

定。定。

第六章第3讲 9

其他稳定性其他稳定性

用零输入响应确定稳定性 用零输入响应确定稳定性 对于所有的初始条件，当对于所有的初始条件，当 tt 时，系统的零输时，系统的零输

入响应入响应 yyzizi(t)(t)00 ，则系统为渐近稳定系统。也，则系统为渐近稳定系统。也就是说，当时间趋于无穷大时，系统中的任何就是说，当时间趋于无穷大时，系统中的任何初始储能产生的响应都会逐渐消失。初始储能产生的响应都会逐渐消失。

MM是一个有界的正常数是一个有界的正常数 ,, 则称系统为临界稳定。则称系统为临界稳定。 如果如果 tt 时， 时， yyzizi(t)(t) 无限增长。则系统是不稳无限增长。则系统是不稳

定的。定的。

tMty zi 0|)(|

第六章第3讲 10

稳定性与罗斯阵列 稳定性与罗斯阵列 罗斯判据罗斯判据

不需要知道特征根，通过特征方程的系数就可判断不需要知道特征根，通过特征方程的系数就可判断系统的稳定性。系统的稳定性。

设线性系统的特征方程为：设线性系统的特征方程为：

0)( 011

1 asasasasD n

nn

n

则系统稳定的充分必要条件是特征方程的全部系数为则系统稳定的充分必要条件是特征方程的全部系数为正值，并且由特征方程系数组成的罗斯阵的第一列系正值，并且由特征方程系数组成的罗斯阵的第一列系数也为正值。数也为正值。

第六章第3讲 11

罗斯判据罗斯判据罗斯阵的形式为：罗斯阵的形式为：

sn an an-2 an-4

sn-1 an-1 an-3 an-5

sn-2 b1 b2 b3

c1 c2 c3

s2 d1 d2

s1 e1

s0 f1

1

3211

n

nnnn

a

aaaab

1

5412

n

nnnn

a

aaaab

1

12311 b

ababC nn

返回返回

第六章第3讲 12

例 例 6.176.17

三阶系统的特征方程为：三阶系统的特征方程为： 0012

23

3 asasasa

罗斯阵为罗斯阵为 s3 a3 a1

s2 a2 a0

2

3021

a

aaaa s1 0

s0 a0

系统稳定的充分必要条件为系统稳定的充分必要条件为3,2,1,00 iai

03021 aaaa

罗斯判据罗斯判据

第六章第3讲 13

改变一次符号改变一次符号

改变一次符号改变一次符号

根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：

罗斯阵第一列所有系数均不为零，但也有不全罗斯阵第一列所有系数均不为零，但也有不全为正数的情况：为正数的情况： 特征根在右开半平面的数目等于罗斯阵第一列系数特征根在右开半平面的数目等于罗斯阵第一列系数

符号改变的次数。符号改变的次数。 例：线性系统的特征方程为：例：线性系统的特征方程为： 05432 234 ssss

s4 １ ３ ５s3 ２ ４ ０s2 (6-4)/2=1 (10-0)/2=5 0

s1 (4-10)/1= -6 0

s0 5 0

罗斯阵为罗斯阵为

可见系统不稳定，改变符号次数为可见系统不稳定，改变符号次数为 22 ，表明有两个正实部的根。，表明有两个正实部的根。

第六章第3讲 14

根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：

罗斯阵某一行第一项系数为零，而其余系数不为零的情况。 可用有限小的正数代替零计算。可用有限小的正数代替零计算。 例：线性系统的特征方程为：例：线性系统的特征方程为：

s3 １ -3

s2 0 2

s1 (-3-2)/ 0

s0 2 0

罗斯阵为罗斯阵为

故有两个根在右半平面。实际上故有两个根在右半平面。实际上

0233 ss

改变一次符号改变一次符号

改变一次符号改变一次符号

)2()1(23 23 ssss

第六章第3讲 15

根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况： 罗斯阵某一行全为零的情况。表明特征方程有一些罗斯阵某一行全为零的情况。表明特征方程有一些

大小相等，方向相反的根。大小相等，方向相反的根。例：线性系统的特征方程为：例：线性系统的特征方程为：

罗斯阵为罗斯阵为04643 234 ssss

s4 1 4 4

s3 3 6 0

s2 2 4 0

s1 0 0 0

构成辅助多项式： 构成辅助多项式： 42)( 2 ssQ

ssQ 4)( 其导数为：其导数为：

返回返回

第六章第3讲 16

罗斯阵某一行全为零的情况罗斯阵某一行全为零的情况

系统没有正实部根，有共轭虚根，其根为系统没有正实部根，有共轭虚根，其根为042)( 2 ssQ

即 ，所以，系统有四个根，即 ，所以，系统有四个根，0)2)(1)(2( 2 sss

2,1,2 432,1 ssjs

ssQ 4)( 罗斯阵变为罗斯阵变为

返回返回

s4 1 4 4

s3 3 6 0

s2 2 4 0

s1 4 0 0

s0 4 0 0

22,1 js

第六章第3讲 17

例 例 6.216.21

设连续系统的系统函数为 ，其中设连续系统的系统函数为 ，其中 D(s)=sD(s)=s33+2s+2s22+4s+K+4s+K

罗斯阵为罗斯阵为 s3 1 4

s2 2 K

2

8 Ks1 0

s0 K

罗斯判据罗斯判据

)(

)()(

sD

sNsH

则系统稳定时则系统稳定时 KK 的取值范围为的取值范围为 __________________ 。。

可见，系统稳定时可见，系统稳定时 KK 的取值范围为：的取值范围为： 0<0<K<8K<8

0<0<K<8K<8

第六章第3讲 18

例 例 6.226.22

已知如图所示系统，欲使系统稳定，试确定Ｋ的取值范已知如图所示系统，欲使系统稳定，试确定Ｋ的取值范围；若系统属临界稳定，试确定它们在围；若系统属临界稳定，试确定它们在 jj 轴上的极点的值。轴上的极点的值。

解：先求系统函数，设变量解：先求系统函数，设变量 XX

代入表达式，故有代入表达式，故有

)22( 2 sss

K

3

1

s

)(sF )(sY

X

)22( 21

sss

KH

3

12

sH

XHYYHFX 12 ,

21

121 1

),(HH

FHYYHFHY

令令

Kssss

sK

ssssK

sssK

HH

H

sF

sYsH

685

)3(

31

221

221)(

)()(

234

23

23

21

1

第六章第3讲 19

例 例 6.226.22

已知如图所示系统，欲使系统稳定，试确定Ｋ的取值范围已知如图所示系统，欲使系统稳定，试确定Ｋ的取值范围；若系统属临界稳定，试确定它们在；若系统属临界稳定，试确定它们在 jj 轴上的极点的值。轴上的极点的值。

见罗斯判据见罗斯判据

系统稳定时系统稳定时 KK 的取值范围为：的取值范围为：D(s)=sD(s)=s44+5s+5s33+8s+8s22+6s+K, +6s+K, 罗斯阵为罗斯阵为

s3 5 6 0

s2 K 5

34

5

640

s1 0

s0 K

s4 1 8 K

K34

256

25

2040 K

要使系统属临界稳定时罗斯阵的要使系统属临界稳定时罗斯阵的某一行为某一行为 00 ，即 ，即 K=204/25K=204/25 。。辅助多项式：辅助多项式：其导数为：其导数为：

568

从罗斯阵可知：系统没有正实部根，有共轭虚根，其根为从罗斯阵可知：系统没有正实部根，有共轭虚根，其根为1.1

5

6,0

25

204

5

34)( 2,1

2 jjsssQ

见罗斯判据见罗斯判据

252042

534)( ssQ

ssQ 568)(

第六章第3讲 20

例 例 6.236.23

如图所示电路，试求：如图所示电路，试求：

(1) (1) 系统函数系统函数)(

)()( 0

sU

sUsH

S

)(tuS

)(0 tu

H2

2

1

1 F1

1Ku

1u

解：用节点法列方程：解：用节点法列方程：

SUKUss

Uss

11 2/11

1)

2/11

1

2

11(

SUUss

Kss

12)

122

3(

3)25(6

)12(2)(

2

210

sKs

ssK

U

KU

U

UsH

SS

(2)(2)KK 为何值时，系统稳定？为何值时，系统稳定？欲使系统稳定，必有 5 － 2K ＞ 0 即 K ＜ 2.5

第六章第3讲 21

例 例 6.236.23

(3) 取 K ＝ 0.5 ， uS(t)= sint (t) ，求零状态响应 u0(t) 。

解： K ＝ 0.5 时：346

12

3)25(6

)12(2)(

2

2

2

2

ss

ss

sKs

ssKsH

用比较系数法得：用比较系数法得：

故有

13461

1

346

12)()()(

2222

2

0

s

BAs

ss

NMs

sss

sssUsHsU S

13

143

264

06

BN

BAM

BAN

AM 解得：解得：

25

4,

25

6

,25

7,

25

1

NM

BA

11)()(

)(

1346)(

2257

2251

1872

31

187

718

251

1872

31

31

251

2257

251

2254

256

0

ss

s

ss

s

s

s

ss

ssU

tttetetu tt sincossincos)( 257

251

1873

718

251

1873

251

0

第六章第3讲 22

课堂练习题课堂练习题 系统特征方程如下，试判断该系统是否稳定。并确定具有系统特征方程如下，试判断该系统是否稳定。并确定具有正实部的特征根及负实部的特征根的个数。正实部的特征根及负实部的特征根的个数。

0623 sss(1)(1)

(2)(2) 02333 234 ssss

系统特征方程如下，系统特征方程如下，求系统稳定的 K 值范围。

(1)(1)

(2)(2)

044 23 Ksss

010)8(5 23 sKss

在在 SS 右半平面有两个根右半平面有两个根

在在 SS 右半平面无根，有共轭虚根右半平面无根，有共轭虚根

160 K

6K