6. analiza sistema u prostoru stanja - tf.ni.ac.rs · pdf filenormalna ili košijeova...

6. ANALIZA SISTEMA U PROSTORU STANJA

6.1. OSNOVNE FORME MODELA U PROSTORU STANJA

Normalna ili Košijeova forma sistema diferencijalnih jednačina definiše model nelinearnog, nestacionarnog sistema u prostoru stanja:

1 1 1 1( ) ( ( ), , ( ), ( ), ( ), )n rx t f x t x t u t u t t

2 2 1 1( ) ( ( ), , ( ), ( ), ( ), )n rx t f x t x t u t u t t

1 1( ) ( ( ), , ( ), ( ), ( ), )n n n rx t f x t x t u t u t t

1 1( )u u t , ... , ( )r ru u t ulazi sistema

1 1( )x x t , ... , ( )n nx x t promenljive stanja

1f , ... , nf funkcije od 1n r argumenata

Početni uslovi sistema definisani su sa: 1(0)x , ... , (0)nx .

Izlazi sistema 1 1( )y y t , ... , ( )m my y t su neke funkcije promenljivih stanja i

ulaza:

1 1 1 1( ) ( ( ), , ( ), ( ), ( ), )n ry t g x t x t u t u t t

2 2 1 1( ) ( ( ), , ( ), ( ), ( ), )n ry t g x t x t u t u t t

1 1( ) ( ( ), , ( ), ( ), ( ), )m n n ry t g x t x t u t u t t

Vektorska forma:

0( ) ( ( ), ( ), ), (0)

( ) ( ( ), ( ), )

x t f x t u t t x x

y t g x t u t t

1( )

( )

( )n

x t

x t

x t

, 1( )

( )

( )r

u t

u t

u t

, 1( )

( )

( )m

y t

y t

y t

, 1( )

( )

( )n

f t

f t

f t

, 1( )

( )

( )m

g t

g t

g t

Strukturni dijagram nelinearnog, nestacionarnog sistema

Stacionarni sistemi u prostoru stanja.

Funkcije f i g ne sadrže eksplicitno vreme t kao svoj argument

0( ) ( ( ), ( )), (0)

( ) ( ( ), ( ))

x t f x t u t x x

y t g x t u t

Izbor promenljivih stanja u opštem slučaju nije jednoznačno određen!

6.2. MATRIČNI MODEL LINEARNIH SISTEMA

Vektorske funkcije f i g su linearne po x(t) i u(t):

( ( ), ( ), ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ( ), ( ), ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x t u t t A t x t B t u t

g x t u t t C t x t D t u t

Model linearnog, nestacionarnog sistema:

0( ) ( ) ( ) ( ) ( ), (0)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x t A t x t B t u t x x

y t C t x t D t u t

A t i B t nestacionarne matrice stanja i ulaza sistema dimenzija n n i

n r , a

C t i D t nestacionarne matrice izlaza, dimenzije m n i m r ,

respektivno.

Ovim modelom opisuju se linearni nestacionarni sistemi.

Linearan, stacionaran sistem

0( ) ( ) ( ), (0)

( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t x x

y t Cx t Du t

Strukturni dijagram linearnog stacionarnog sistema.

Detaljni strukturni dijagram (simulacioni dijagram)

6.3. OSNOVNE FORME MODELA U PROSTORU STANJA

Najjednostavniji način formiranja modela u prostoru stanja:

Za elemente vektora stanja izabrati sve zavisne promenljive i sve njihove izvode osim najviših.

Primer 6.1. Mehanički sistem

( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( ) ( )

My t vy t ky t u t

y t u t vy t ky tM

Usvojimo 1x y , 2 2 1x y x x

1 2

2 1 2

( ) ( )

1( ) ( ) ( ) ( )

x t x t

k vx t x t x t u t

M M M

1 1

2 2

1

1

2

0 1 0( ) ( )

( )1( ) ( )

( )( ) ( ) 1 0 0 ( )

( )

x t x tu tk v

x t x tM M M

x ty t x t u t

x t

0( ) ( ) ( ), (0)

( ) ( ) ( )

0 1 0

, , 1 0 , 01

x t Ax t Bu t x x

y t Cx t Du t

A B C Dk v

M M M

6.3.1. KONTROLABILNA KANONIČNA FORMA

Pretpostavimo da je kontinualni sistem opisan funkcijom prenosa:

2

3 21

2 4 3( )

5 7 1

s sG s

s s s

1. Svođenje polinoma u imeniocu funkcije prenosa na monik polinom.

Polinom je monik ukoliko je njegov najstariji koeficijent jednak 1.

2. Uvođenje pomoćnog signala i određivanje inverzne Laplasove transformacije (metodom pomoćne promenljive).

2

3 2

( ) 2 4 3 ( )( )

( ) 5 7 1 ( )

Y s s s C sG s

U s s s s C s

2

3 2

( ) 2 4 3 ( )

( ) 5 7 1 ( )

Y s s s C s

U s s s s C s

( ) ( ) 5 ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) 7 ( ) ( )u t c t c t c t c t c t u t c t c t c t

( ) 2 ( ) 4 ( ) 3 ( )y t c t c t c t

3. Crtanje simulacionog dijagrama i izbor elemenata (koordinata) vektora stanja.

Za elemente vektora stanja biraju izlazi iz integratora na simulacionom dijagramu.

1( ) ( )x t c t , 2 ( ) ( )x t c t , 3( ) ( )x t c t

1x 2x 3x

4. Formiranje modela u prostoru stanja.

Za izabrane elemente vektora stanja model sistema postaje:

1 2

2 3

3 1 2 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 7 ( ) 5 ( ) ( )

x t c t x t

x t c t x t

x t c t x t x t x t u t

Poslednje relacije se mogu napisati u kompaktnoj matričnoj formi:

0 1 0 0

( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

1 7 5 1

( ) 3 4 2 ( )

x t = x t u t

y t x t

i ovakva forma se naziva kontrolabilnom kanoničnom formom.

Pravila pri formiranju kontrolabilne kanonične forme:

0 1 0 0

( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

1 7 5 1

( ) 3 4 2 ( )

x t = x t u t

y t x t

2

3 21

2 4 3( )

5 7 1

s sG s

s s s

U matrici B su svi elementi jednaki nuli osim poslednjeg koji je jednak 1.

U matrici C smešteni su koeficijenti polinoma iz brojioca funkcije prenosa čitani u suprotnom smeru.

Napomena.

1. Matrica D će uvek biti jednaka nuli ukoliko je polinom u brojiocu nižeg stepena od polinoma u imeniocu funkcije prenosa.

2. Kontrolabilna kanonična forma može da se formira samo za sisteme koji imaju jedan ulaz.

„-“

6.3.2. OPSERVABILNA KANONIČNA FORMA

2

3 21

2 4 3( )

5 7 1

s sG s

s s s

Postupak se izvodi kroz sledeće korake:

1. Svođenje polinoma u imeniocu na monik polinom.

2. Deljenje polinoma u brojiocu i imeniocu najvišim stepenom polinoma u imeniocu i unakrsno množenje:

2

3

3 2

3

2 3

2 3

2 4 3

( )5 7 1

2 4 3( )

1

5 7 1 ( )1

s s

sG ss s s

s

Y ss s s

U s

s s s

2 3 2 3

2 3 2 3

5 7 1 2 4 3( ) 1 ( )

5 7 1 2 4 3( ) ( ) ( )

1 1 1( ) 5 ( ) 2 ( ) 7 ( ) 4 ( ) ( ) 3 ( )

Y s U ss s s s s s

Y s Y s U ss s s s s s

Y s Y s U s Y s U s Y s U ss s s

int

int

int

( ) 5 ( ) 2 ( ) 7 ( ) (1 1

4 ( ) )1

3 ( )

I egrator

II egrator

III egrator

Y s Y s Y sU ss s s

UY s U s s

3. Crtanje simulacionog dijagrama.

Formiranje jednačine u prostoru stanja

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

( ) 5 ( ) ( ) 0 ( ) 2 ( )

( ) 7 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 4 ( )

( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 3 ( )

x t x t x t x t u t

x t x t x t x t u t

x t x t x t x t u t

1 2 3( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )y t x t x t x t u t

Matrični oblik

5 1 0 2

( ) 7 0 1 ( ) 4 ( )

1 0 0 3

( ) 1 0 0 ( )

x t x t u t

y t x t

2

3 21

2 4 3( )

5 7 1

s sG s

s s s

Napomena. Samo sistemi sa jednim izlazom mogu imati opservabilnu kanoničnu formu u prostoru stanja.

„-“

6.3.3. DIJAGONALNA KANONIČNA FORMA

3 2

4( )

6 11 6

sG s

s s s

1. Napisati funkciju prenosa u formi zbira parcijalnih razlomaka:

4 1.5 2 0.5

( )1 2 3 1 2 3

sG s

s s s s s s

2. Predstaviti izlaz sistema kao zbir pomoćnih signala

1 2 3

1.5 2 0.5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3

( ) ( ) ( )

Y s G s U s U s U s U ss s s

Y s Y s Y s

1 1 1 1 1 1 1

1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 1.5 ( ) 1.5 ( ) ( 1) ( ) ( ) , 1.51

Y s U s Y s s Y s U s y y u y ys

2 1 2 2 1 2 2

1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( 2) ( ) ( ) 2 , 21

Y s U s Y s s Y s U s y y u y ys

3 3 3 3 3 3 3

1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( ) ( 3) ( ) ( ) 3 , 0.51

Y s U s Y s s Y s U s y y u y ys

3. Formirati simulacioni dijagram

1 1 1 1ˆ ˆ ˆ, 1.5y y u y y

2 1 2 2ˆ ˆ ˆ2 , 2y y u y y

3 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 , 0.5y y u y y

1 2 3y y y y

4. Jednačine u prostoru stanja

1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ, ,x y x y x y

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( )

( ) 0 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 1 ( )

( ) 0 ( ) 0 ( ) 3 ( ) 1 ( )

x t x t x t x t u t

x t x t x t x t u t

x t x t x t x t u t

1 2 3( ) 1.5 ( ) 2 ( ) 0.5 ( ) 0 ( )y t x t x t x t u t

1 0 0 1

( ) 0 2 0 ( ) 1 ( ), ( ) 1.5 2 0.5 ( )

0 0 3 1

x t x t u t y t x t

Primer. Sistemi koji imaju višestruke realne polove.

3 2 2 3 2

1( )

2 5 62 5 6 2 2 6

s a b c d e fG s

s s ss s s s s s

2 1 0 0 0 0 0

0 2 1 0 0 0 0

0 0 2 0 0 0 1( ) ( ) ( )

0 0 0 5 0 0 1

0 0 0 0 6 1 0

0 0 0 0 0 6 1

( ) ( )

x t x t u t

y t c b a d f e x t

6.4. ODREĐIVANJE FUNKCIJE PRENOSA IZ MODELA PROSTORA STANJA

0( ) ( ) ( ), (0)x t Ax t Bu t x x

Laplasova transformacija ( (0) 0x )

( ) ( ) ( )sX s AX s BU s

1

( ) ( )X s sI A BU s

( ) ( ) ( )Y s CX s DU s

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s C sI A BU s DU s C sI A B D U s G s U s

1

( )G s C sI A B D

6.5. FUNDAMENTALNA MATRICA SISTEMA I JEDNAČINA KRETANJA SISTEMA U PROSTORU STANJA

Sistem:

0( ) ( ) ( ), (0)x t Ax t Bu t x x

0( ) ( ) ( )sX s x AX s BU s

0( ) ( )sI A X s x BU s

1 1

0( ) ( )X s sI A x sI A BU s

Rezolventna matrica

1( )

det

adj sI As sI A

sI A

Karakteristični polimom sistema

( ) detf s sI A

Fundamentalna matrica sistema

1( ) ( )t s L

1

11

21

2 3

2 3

( ) ( )

1 1

2! 3!At

t s

sI A

I A A

s s s

I At At At

e

L

L

L

( ) Att e

Jednačina kretanja sistema u prostoru stanja

0

1 1( ) ( )X s x BU ssI A sI A

0(( ) ) ( )) (X s x ss s BU

1 1 1

0

0

1 1

0

0(

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )) ) (

t

x t X s s x s BU s

s x s

t t

BU s

x Bu d

L L L

L L

0

0

( ) ( ) ( ) ( )

t

x t t x t Bu d

0

0

( ) ( )

tA tAtx t e x e Bu d

Kretanje sistema pod dejstvom početnih uslova:

0

Ate x

Kretanje sistema pod dejstvom spoljne pobude:

0

( )

tA t

e Bu d

Izlaz sistema

0

0

0

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

tA tAt

tA tAt

y t Cx t Du t

C e x e Bu d Du t

Ce x Ce Bu d Du t

0

0

( ) ( ) ( )

tA tAty t Ce x Ce Bu d Du t

Izlaz sistema pod dejstvom početnih uslova

0

AtCe x

Izlaz sistema pod dejstvom spoljne pobude

0

( ) ( )

tA t

Ce Bu d Du t

Grafički prikaz kretanja sistema u prostoru stanja

1, , nx x - promenljive stanja se usvajaju za koordinate u n-dimenzionom prostoru

Primer: Za 1 2 3, ,x x x imamo trodimenzioni prostor.

U posmatranom trenutku vremena, vektor stanja 1 2 3

Tx x x x se može

predstaviti jednom tačkom u ovom prostoru.

Na određenom vremenskom intervalu, vektor stanja opiše putanju (trajektoriju).

6.6. KONTROLABILNOST (UPRAVLJIVOST) STANJA KONTINUALNOG SISTEMA

Definicija 6.1. Stanja kontinualnog sistema

0( ) ( ) ( ), (0)x t Ax t Bu t x x

su potpuno kontrolabilna (upravljiva) ako

je za svako početno stanje 0x i za bilo

koje željeno krajnje stanje x moguće

naći upravljanje u t u nekom konačnom

vremenskom intervalu 0,t tako da se

obezbedi uslov ( )x x .

6.6.1. MATRIČNI TEST KONTROLABILNOSTI STANJA

Teorema. Potreban i dovoljan uslov da stanja kontinualnog linearnog stacionarnog sistema budu potpuno kontrolabilna (upravljiva) je

Crang Q n

2 1n

CQ B AB A B A B

Ukoliko je

Crang Q n p

postoje p stanja koja nisu kontrolabilna (nisu upravljiva).

Podela vektora stanja sistema prema kontrolabilnosti:

Upravljivi (kontrolabilni) deo vektora stanja (n-p)

Dejstvom upravljačkog vektora moguće je upravljivi deo vektora stanja postaviti na unapred zadatu vrednost.

Neupravljivi (nekontrolabilni) deo vektora stanja (p)

Neupravljivi deo vektora stanja ne može se postaviti na unapred zadatu vrednost.

Neupravljiva stanja su linearna kombinacija preostalih n-p upravljivih stanja i ona se ne mogu nezavisno menjati u odnosu na upravljiva stanja.

KONTROLABILNA STANJA (n-p)

NEKONTROLABILNA STANJA (p)

u(t)

6.7. KONTROLABILNOST (UPRAVLJIVOST) IZLAZA SISTEMA

Definicija. Izlazi kontinualnog sistema

0( ) ( ) ( ), (0)y t Cx t Du t y y ,

gde je

( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t ,

su potpuno kontrolabilni (upravljivi) ako je za svaku početnu vrednost izlaza y(0) i za bilo

koje željeno krajnje stanje y moguće naći

upravljanje u(t) u nekom konačnom vremenskom intervalu 0,t tako da se

obezbedi uslov ( )y y .

Potreban i dovoljan uslov da izlazi sistema budu potpuno kontrolabilni je:

2 1nrang CB CAB CA B CA B D m

6.8. OPSERVABILNOST (OSMOTRIVOST) STANJA SISTEMA

Definicija. Stanja kontinualnog linearnog stacionarnog sistema su potpuno

opservabilna (osmotriva) ukoliko je na osnovu merenja vektora izlaza ( )y t u

nekom konačnom intervalu vremena, 0,t moguće jednoznačno

rekonstruisati sva početna stanja sistema 0(0)x x .

Stanja sistema su potpuno opservabilna ako se svaka njihova promena

odražava na svim izlaznim promenljivim.

6.8.1. MATRIČNI TEST POTPUNE OPSERVABILNOSTI

Teorema. Potreban i dovoljan uslov da stanja kontinualnog linearnog

stacionarnog sistema budu potpuno opservabilna jeste:

1

O

n

C

CArangQ rang n

CA

Ukoliko je

OrangQ n p

tada postoje p stanja koja nisu opservabilna, i koja se, na osnovu izlaznog signala, ne mogu rekonstruisati.

Drugim rečima, p neopservabilnih stanja sistema ne utiču na izlaz sistema.

Podela vektora stanja sistema prema opservabilnosti

Opservabilni (osmotrivi) deo vektora stanja (n-p)

Na osnovu merenja izlaza sistema mogu se rekonstruisati samo opservabilni delovi vektora stanja.

Neopservabilni (neosmotrivi) deo vektora stanja (p)

Na osnovu merenja izlaza sistema ne mogu se rekonstruisati neopservabilni delovi vektora stanja.

OPSERVABILNA STANJA (n-p)

NEOPSERVABILNA STANJA (p)

y(t)

Podela vektora stanja sistema prema kontrolabilnosti i opservabilnosti

y(t)

KONTROLABILNI

OPSERVABILNI

KONTROLABILNI

NEOPSERVABILNI

NEKONTROLABILNI

OPSERVABILNI

NEKONTROLABILNI

NEOPSERVABILNI

u(t)

6.12. ZATVARANJE POVRATNE SPREGE PO STANJIMA I PODEŠAVANJE SPEKTRA POLOVA

Struktura sistema sa zatvorenom povratnom spregom data je na slici

(

( ) ( ) ( )

( )

) ( ) ( )

( )

x t Ax t Bu t

y t C

u t v t K t

x

x

t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t Ax t B v t Kx t A BK x t Bv t

A A BK

( ) det detf s sI A sI A BK

1 1

( )G s C sI A B C sI A BK B

Zatvaranjem povratne sprege po stanjima i pogodnim izborom matrice

pojačanja K u povratnoj sprezi, polovi sistema u zatvorenoj sprezi mogu se

podešavati.

SLUČAJ 1: stanja sistema su kontrolabilna

Primer 6.6. Model kontinualnog LTI sistema u prostoru stanja je:

1 1 1

( ) ( ) ( ), ( ) 1 0 ( )2 0 1

x t x t u t y t x t

Cilj: Sistem u zatvorenoj sprezi treba da ima faktor relativnog prigušenja 0.5 i

neprigušenu prirodnu učestanost 2 /n rad s :

Rešenje. Kontrolabilnost: 1 0

21 2

rang A AB rang n

(stanja su kontrolabilna)

Karakteristični polinom otvorenog sistema:

( 10 1 1 1 1

( ) det det det ( 1) 2 ( 1)0 2 0 2

)ss s

f s sI A s s ss s

Pol +1 je nestabilan i pokušaćemo da ga, zatvaranjem povratne sprege po stanju, izmestimo u levoj poluravni s-ravni.

-1 1

Karakteristični polinom zatvorenog sistema

1 2

1 2

1 2

2

1 2 1 2

( ) det

1 1 1det

2 1

1 1det

2

1 3 2

f s sI A BK

sk k

s

s k k

k s k

s k k s k k

Željeni karakteristični polinom zatvorenog sistema

2 2 2 2 2

12ˆ 2 2 0.5 2 2 2 4 1 3n nf s s s s s s s p j

Izjednačavanje polinoma: 2 2

1 2 1 21 3 2 2 4s k k s k k s s

1 2

1 2

1 2

3 2 4

k k

k k

1 2 2.25 1.25K k k

SLUČAJ 2: neka stanja sistema su nekontrolabilna

Primer 6.7. Posmatrajmo sistem koji se od sistema iz prethodnog primera razlikuje jedinio u matrici B

1 1 1

( ) ( ) ( ), ( ) 1 0 ( )2 0 1

x t x t u t y t x t

Cilj: Sistem u zatvorenoj sprezi treba da ima faktor relativnog prigušenja 0.5 i

neprigušenu prirodnu učestanost 2 /n rad s :

Rešenje:

Karakterističan polinom otvorenog sistema:

( 1

0 1 1 1 1( ) det det det

0 2 0 2

)( 1) 2 ( 1)s

s sf s sI A

s s

s s s

Polovi otvorenog sistema: 1,2 1p . Pol 1 1p je nestabilan!

-1 1

Provera kontrolabilnosti:

1 2

1 21 2

CrangQ rang B AB rang n

Jedno stanje modela nekontrolabilno.

Željeni karakteristični polinom zatvorenog sistema:

2 2 2 2 2

12ˆ 2 2 0.5 2 2 2 4 1 3n nf s s s s s s s p j

Karakterističan polinom zatvorenog sistema:

1 2

1 2 2

1

1 2

2 1 2

1 2

1 2

1 1 1( ) det det

2 1

1 1det

( 1) ( 1)( 2) ( ),

1 22

2

sf s sI A BK k k

s

s k ks k k s k k

k s k

k k as ks sk s a

2 1 21( 2)( 1) ( 1 ( ), 2)( )f s k k as ss k k s a

Pol otorenog sistema 1 1p ostaje nepromenjen nakon zatvaranja povratne sprege.

Sistem sa zatvorenom povratnom spregom će takođe biti nestabilan za bilo koji izbor matrice pojačanja K.

Drugi pol otvorenog sistema, 2 1p , moguće je izborom matrice K izmestiti na željenu

lokaciju, ali samo na realnoj osi ( 2p a ) : 1 2 1 22 2k k a k k a

Dakle, nije moguće izmestiti polove otvorenog sistema 1,2 1p na pozicije

12 1 3p j zatvaranjem povratne sprege po stanu.

6.13. ZATVARANJE POVRATNE SPREGE PO IZLAZU

Sistem: ( ) ( ) ( ), ( ) ( )x t Ax t Bu t y t Cx t

Povratna sprega po izlazu: ( ) ( ) ( )u t v t Ky t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x t Ax t B v t Ky t Ax t Bv t BKCx t

x t B tA vBKC

A A BKC

Karakteristični polinom zatvorenog sistema: ( ) detf s sI A BKC

SLUČAJ 1: r m n i sva stanja su kontrolabilna

Primer. 1 1 1

( ) ( ) ( ), ( ) 1 0 ( )2 0 1

x t x t u t y t x t

Željeni karakteristični polinom: 2( ) 2 4f s s s

Povratna sprega po izlazu:

A BKC , dim 1 1, dim 1 2B C dim 1 1 1K r m

21 1

( ) det d2

1 2ets k

f s sI A BKC s ss

kk

k

Izjednačavanje polinoma: 2 2 2 41 2s s k sk s

Možemo podesiti samo jedan koeficijent, drugi je linearno zavistan.

Kada su sva stanja kontrolabilna, možemo da podesimo onoliko polova koliko imamo slobodnih koeficijenata u matrici K.

SLUČAJ 2: r m n i sva stanja su kontrolabilna

Sistem: 1 0

1 1

1 1( ) ( ) ( ), ( ) 1 0 ( )

2 0x t x t u t y t x t

Željeni karakteristični polinom:

2( ) 2 4f s s s

Povratna sprega po izlazu:

A BKC , dim 2 2, dim 1 2B C dim 2 1K , 1

2

Kk

k

1 21

2( ) det 1 2kf s sI A BKC s s kk

Možemo podesiti oba pola.

2 2

1 1 21 2 2 4s k s k k s s 1 21, 5k k

Kada su sva stanja kontrolabilna, možemo podesiti p = min r m, n polova

sistema u zatvorenoj sprezi.

SLUČAJ 3: r m n i p stanja nisu kontrolabilna (isto kao Primer 6.7)

Sistem: 1 1 1

( ) ( ) ( ), ( ) 1 0 ( )2 0 1

x t x t u t y t x t

Polovi otvorenog sistema

1 2( ) det ( 1)( 1) 0 1, 1f s sI A s ps p

Jedno stanje je nekontrolabilno.

Povratna sprega po izlazu:

21 1

( ) det d

1

et 1 22

2

s Kf s sI A BKC s K s K

K

s

s

s K

Može se uticati samo na jedan pol dok je drugi pol 2 1p nepokretan.

Zatvaranjem povratne sprege po izlazu, može se podesiti položaj min r m, n - p

polova sistema u zatvorenoj sprezi.

6.14. UTICAJ POVRATNIH SPREGA PO STANJU I IZLAZU NA OSOBINE SISTEMA

Da li kontrolabilnosti i opservabilnosti menjaju zatvaranjem povratne sprege?

po stanju po izlazu kontrolabilnost ne ne opservabilnost DA ne

Da li se povratnom spregom mogu proizvoljno

podešavati pozicije svih polova sistema? po stanju po izlazu

sva stanja su kontrolabilna

da NE

Povratna sprega po stanju predstavlja upravljanje sa potpunom informacijom.

Povratna sprega po izlazu predstavlja upravljanje sa nepotpunom informacijom.