5.6 利用希尔伯特 (hilbert) 变换 研究系统的约束特性 希尔伯特变换的引入...
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§5.6 利用希尔伯特 (Hilbert) 变换研究系统的约束特性•希尔伯特变换的引入•可实现系统的网络函数与希尔伯特变换
一.由傅里叶变换到希尔伯特变换已知正负号函数的傅里叶变换
j2sgn tF
根据对称性得到 tj
2π21sgn
则 sgnj
π1t
为奇函数sgn
sgnj1
t
若系统函数为
090 j0 90j
sgnj)j(
H
则冲激响应 t
HFthπ1j1
系统框图 :
系统的零状态响应 tf
ttfthtftf
π1ˆ
th
F
tf
ˆ
ˆ
F
tf
sgnj
利用卷积定理
0 j
0 jsgnjˆˆ
FF
FFtfF
具有系统函数为 sgnj 的网络是一个使相位滞 后 2
π 弧度的宽带相移全通网络。
同理可得到 :
若系统冲激响应为 t
thπ1
其网络的系统函数为
090 j0 90 j
sgnj)(
thFH
该系统框图为 th
F
tf
F
tf
ˆ
ˆ
sgnj
ttfthtftf
π1ˆˆ输出信号
具有系统函数为 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络。
利用卷积定理
0 j
0 jsgnjˆ
FF
FF
sgnj
2π
希尔伯特变换
d
π1ˆ
tf
tftfH
t
tftfπ1ˆ
d
π1ˆ1
tf
tftfH
ttftf
π1ˆ
例 5-6-1 。的希尔伯特变换求 tfttf ˆcos 0
方法 1 :
弧度,即滞后比希尔伯特变换2πˆ tftf
tttfHtf 00 sin4πcosˆ
方法 2 : 000 ππcos tFF因
用三种方法求解此题:
方法 3 : 直接用希尔伯特变换定义式
tt
tH 00
0 sindcosπ1cos
即: ttfF 000 sinˆjπˆ
则希尔伯特变换的频谱函数为 00 πjjπsgnjˆ FF
二. 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换可实现系统是因果系统,其冲激响应
tuthth 00 tth即 :其傅里叶变换
j1πj
π21j HH
)j(jjej)j( j XRHH 又则
jj)j( XR
j1πjjj
π21
XR
1jjππ21
XR
1jjππ2j
RX
djπ21j
21jjj XRXR所以
dj
π21
2jj RX
根据实部与实部相等,虚部与虚部相等,解得
djπ1)j(
XR
djπ1j
RX
因果系统系统函数 )j( H 的实部与虚部满足希尔 伯特变换约束关系。
例 5-6-2
伯特变换的约束关系。
的实部与虚部满足希尔,证明已知 )()()( thFtueth t
因为
j1)(e
tuFthF t
即系统函数
jjjjj 2222 XRH
式中实部 22j
R
虚部 22j
X
djj
21
jj21
π1j 22
XH
现在求 jX 的希尔伯特变换
djπ1j
XXH
d
π1
22
CBA
jj22令
可求出各分式系数 22,
j21
,j21
CBA
则
djj
21
jj21
π1j 22
XH
d
π1
22
2
22
dπ
12222
2
22
lnlnarctan π
1 2222
00
2π
2π
π1
22
22
R
三.常用希尔伯特变换对 tf tf
t0cos t0sin
t0sin t0cos
t0je t0jje
ttm 0je ttm 0jej
对于任意因果函数,傅里叶变换的实部与虚部都满足希尔伯特变换的约束关系,希尔伯特变换作为一种数学工具在通信系统中得到了广泛的应用。
乘法器
乘法器
2
移相
t0cos
t0sin
jH tg
ty
ty2
ty1
tg
例 5-6-3
m m
G
1
试分析下面系统可以产生单边带信号
已知信号 tg 是带限信号,其频谱函数为 G
图中系统函数 sgnjj H 载频 m 0
由调制定理可知 ttgty 01 cos 为带通信号 其频谱函数
0011 21
21
GGYtyF
tg 是 tg 的希尔伯特变换信号 其频谱
sgnjjˆˆ GGtgF 则 ttgty 02 sinˆ
解:
其频谱函数 0022 jπˆ
21
GYtyF
0000 sgnjsgnj2j
GG
即 00002 sgn
21sgn
21
GGY
输出信号 tytyty 21
其频谱为 21 YYY 频谱图如下所示
频谱图00 m0 m0
1Y
021
G 021
G
O
00 m0 m0
2Y
)sgn(21
00 G )sgn(21
00 G
O
是带通信号(上边带调幅信号)的频谱。 Y00 m0 m0
Y
1
O
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