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Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.4-1
09.07.19
4. Verzerrungen
● Wird ein Körper belastet, so ändert sich seine Geometrie.
● Die Punkte des Körpers ändern ihre Lage. Sie erfahren eine Verschiebung.
● Ist die Verschiebung für benachbarte Punkte unterschied-lich, so wird der Körper verzerrt:
– Der Abstand von zwei Punkten ändert sich.
– Der Winkel zwischen drei Punkten ändert sich.
Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.4-2
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4. Verzerrungen
Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.4-3
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4. Verzerrungen
4.1 Verschiebung und Verzerrung
4.2 Verzerrungstransformation
4.3 Messung der Verzerrungen
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4.1 Verschiebung und Verzerrung
● Verschiebung:
– Die Verschiebung der Punkte des Körpers wird durch einen ortsabhängigen Verschiebungsvektor u(P) beschrieben:
P
P'
F
u
x
yxP '=xP +u (xP , yP)
y P '=yP+v (x P , yP)
x (P ' )=x (P )+u (P )
Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.4-5
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4.1 Verschiebung und Verzerrung
● Verzerrung:
– Ein kleines Element des Körpers erfährt eine Translation, eine Rotation und eine Verzerrung.
– Die Verzerrung führt zu einer Änderung der Form des Elementes:
● Längenänderungen werden durch Dehnun-gen beschrieben. P
P'
● Winkeländerungen wer-den durch Scherungen beschrieben.
Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.4-6
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4.1 Verschiebung und Verzerrung
● Zusammenhang zwischen Verschiebung und Verzer-rung:
– Betrachtet werden drei Punkte P, Q und R auf dem Körper, die so gewählt sind, dass die Strecken PQ und PR parallel zu den Achsen des Koordinatensystems sind.
– Die Punkte werden durch dieVerschiebung auf die PunkteP', Q' und R' abgebildet.
x
y
P Q
R
P'
Q'
R'
Δx
Δy β
α
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4.1 Verschiebung und Verzerrung
– Koordinaten:● Unverformt:
● Verformt:
P : ( xP , yP )
Q : ( xP+Δ x , yP )
R : ( xP , yP+Δ y )
P ' : ( x P ' , yP ' )= ( x P+u( xP , yP) , yP+v (x P , yP ))
Q ' : ( xQ ' , yQ ' )=( xP+Δ x+u(x P+Δ x , yP ) , yP+v ( xP+Δ x , yP ))
R ' : ( x R ' , yR ' )= ( x P+u( xP , yP+Δ y) , yP+Δ y+v ( xP , yP+Δ y))
Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.4-8
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4.1 Verschiebung und Verzerrung
● In der Umgebung von Punkt P gilt für die Verschiebungen:
u( xP+Δ x , yP)=u(x P , yP )+∂u∂ x Δ x
v (x P+Δ x , yP )=v ( xP , yP )+∂v∂ x Δ x
u( xP , yP+Δ y )=u( xP , yP )+∂u∂ y Δ y
v (x P , yP+Δ y )=v ( xP , yP)+∂v∂ y Δ y
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4.1 Verschiebung und Verzerrung
● Daraus folgt für die Koordinaten im verformten Zustand:
xQ '=xP+Δ x+u( x P , yP )+∂u∂ x Δ x=x P '+Δ x+
∂ u∂ x Δ x
yQ '=yP+v ( xP , yP)+∂v∂ x Δ x=yP '+
∂v∂ x Δ x
x R '=x P+u(x P , yP )+∂u∂ y Δ y=x P '+
∂u∂ y Δ y
yR '=yP+Δ y+v (x P , yP )+∂v∂ y Δ y=yP '+Δ y+
∂v∂ y Δ y
x P '=x P+u(x P , yP ) , yP '=yP+v ( xP , yP )
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4.1 Verschiebung und Verzerrung
– Längenänderungen:● Länge der Strecke P'Q' :
● Für kleine Verzerrungen gilt:
● Damit folgt:
● Mit gilt für die Dehnung:
|P ' Q '|=√ ( xQ '−xP ' )2+ ( yQ '−yP ' )
2=√(1+
∂u∂ x )
2
+( ∂v∂ x )
2
Δ x
( ∂v∂ x )
2
≪1
|P ' Q '|≈(1+∂u∂ x )Δ x
|PQ|=Δ x ϵ x=|P ' Q '|−|PQ|
|PQ|=
∂u∂ x
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4.1 Verschiebung und Verzerrung
● Entsprechend folgt:
– Winkeländerung:● Für die Änderung des Winkels QPR gilt:● Für kleine Winkeländerungen gilt:
ϵy=|P ' R '|−|PR|
|PR|=
∂v∂ y
γxy=α+β
α≈ tan(α)=x R '−x P '
yR '−yP '=
∂u∂ y Δ y
(1+∂v∂ y )Δ y
≈∂ u∂ y
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4.1 Verschiebung und Verzerrung
● Damit gilt für die Scherung:
– Ergebnis:● Wenn die Verschiebungsgradienten klein sind, gilt für die Ver-
zerrungen:
β≈ tan (β)=yQ '−yP '
xQ '−x P '=
∂v∂ x Δ x
(1+∂u∂ x )Δ x
≈∂v∂ x
γxy=∂u∂ y +
∂v∂ x
ϵx=∂u∂ x , ϵy=
∂v∂ y , γ xy=
∂u∂ y +
∂v∂ x
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A = A'
B
CD
1
1
x
y
b
a + b
a
c
d c + d
B'
C'
D'
4.1 Verschiebung und Verzerrung
● Beispiel:
– Gegeben sind die Ver-schiebungen
– Die Verzerrungen be-rechnen sich zu
u (x , y)=a x+b yv (x , y )=c x+d y
ϵx=∂u∂ x
=a , ϵy=∂v∂ y
=d
γxy=∂ u∂ y
+∂v∂ x
=b+c
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4.2 Verzerrungstransformation
● Die bisher gefundenen Dehnungen geben an, wie sich die Längen von Strecken entlang der Koordinatenachsen än-dern.
● Die bisher gefundene Scherung beschreibt die Änderung des Winkels zwischen zwei Strecken entlang der beiden Koordinatenachsen.
● Nun sollen die Dehnungen für beliebig orientierte Stre-cken und die Scherung für zwei beliebige senkrecht auf-einander stehende Strecken berechnet werden.
● Die Aufgabe lässt sich durch Umrechnung der Verzerrun-gen in ein gedrehtes Koordinatensystem lösen.
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4.2 Verzerrungstransformation
● Drehung des Koordinatensystems:
– Koordinaten von Punkt P:
– Mit β = α – ϕ folgt: α ϕ
β
x
yP
r ξ
η
x=r cos(α) , y=r sin (α)
ξ=r cos(β) , η=r sin(β)
ξ=r cos(α−ϕ)=r cos(α)cos(ϕ)+r sin (α)sin (ϕ)
=x cos(ϕ)+y sin (ϕ)
η=r sin (α−ϕ)=r sin (α)cos(ϕ)−r cos(α)sin (ϕ)
=y cos(ϕ)−x sin(ϕ)
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4.2 Verzerrungstransformation
– Die Umrechnung vom gedrehten in das ursprüngliche Koor-dinatensystem erfolgt mit dem Winkel -ϕ.
– Damit lauten die Transformationsgleichungen für die Koor-dinaten:
– Die Komponenten des Verschiebungsvektors berechnen sich aus den Differenzen der Koordinaten. Sie transformie-ren sich daher wie die Koordinaten:
ξ = x cos(ϕ) + y sin (ϕ)
η = −x sin (ϕ) + y cos(ϕ), x = ξ cos(ϕ) − ηsin(ϕ)
y = ξ sin (ϕ) + ηcos(ϕ)
uξ = u cos(ϕ) + v sin (ϕ)
vη = −u sin(ϕ) + v cos(ϕ)
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4.2 Verzerrungstransformation
● Ableitungen der Verschiebungen:
– Zur Berechnung der Verzerrungen im gedrehten System werden die Ableitungen der Verschiebungen im gedrehten System nach ξ und η benötigt:
∂ uξ
∂ ξ=
∂ uξ
∂ x∂ x∂ ξ
+∂uξ
∂ y∂ y∂ ξ
=( ∂ u∂ x cos(ϕ)+
∂v∂ x sin (ϕ))cos(ϕ)
+( ∂u∂ y cos(ϕ)+
∂v∂ y sin (ϕ))sin (ϕ)
=∂ u∂ x cos2
(ϕ)+(∂u∂ y +
∂v∂ x )sin (ϕ)cos(ϕ)+
∂v∂ y sin2
(ϕ)
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4.2 Verzerrungstransformation
– Entsprechend folgt:
∂ uξ
∂η=
∂u∂ y cos2
(ϕ)−( ∂u∂ x −
∂v∂ y )sin (ϕ)cos(ϕ)−
∂v∂ x sin2
(ϕ)
∂vη
∂ξ=−
∂u∂ y sin2
(ϕ)−(∂u∂ x −
∂v∂ y )sin (ϕ)cos(ϕ)+
∂v∂ x cos2
(ϕ)
∂vη
∂η=
∂u∂ x sin2
(ϕ)−(∂u∂ y +
∂v∂ x )sin (ϕ)cos(ϕ)+
∂v∂ y cos2
(ϕ)
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4.2 Verzerrungstransformation
● Verzerrungen im gedrehten Koordinatensystem:
– Mit den Beziehungen für die Ableitungen im gedrehten Ko-ordinatensystem und für die Verzerrungen im Ausgangssys-tem folgt:
ϵξ=∂ uξ
∂ ξ=ϵx cos2
(ϕ)+γxy sin (ϕ)cos(ϕ)+ϵy sin2(ϕ)
ϵη=∂vη
∂η=ϵx sin2
(ϕ)−γ xy sin (ϕ)cos(ϕ)+ϵy cos2(ϕ)
γξ η=∂uξ
∂η+
∂vη
∂ξ=γxy ( cos2
(ϕ)−sin2(ϕ))−2(ϵx−ϵy)sin (ϕ)cos(ϕ)
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4.2 Verzerrungstransformation
– Mit den trigonometrischen Beziehungen
folgt:
2 cos2(ϕ)=1+cos(2 ϕ) , 2 sin2
(ϕ)=1−cos(2ϕ)
2 sin (ϕ)cos(ϕ)=sin (2ϕ) ,
ϵξ =12(ϵx+ϵy) +
12(ϵx−ϵy)cos(2ϕ) +
γxy
2sin (2 ϕ)
ϵη =12(ϵx+ϵy) −
12(ϵx−ϵy)cos(2ϕ) −
γxy
2sin (2 ϕ)
γξ η
2= −
12(ϵx−ϵy)sin (2 ϕ) +
γ xy
2cos(2 ϕ)
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4.2 Verzerrungstransformation
● Bemerkungen:
– Die Dehnung εξ beschreibt die Längenänderung einer Stre-cke, die mit der x-Achse den Winkel ϕ einschließt.
– Die Verzerrungen εx , εy und εxy = γxy /2 transformieren sich genauso wie die Spannungen. Sie werden als Tensorver-zerrungen bezeichnet.
– Im Gegensatz dazu heißen die Verzerrungen εx , εy und γxy Ingenieurverzerrungen.
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4.2 Verzerrungstransformation
● Beispiel:
– Gegeben:
– Gesucht: Dehnung in Richtung ϕ = 30°
– Lösung:
ϵx=1,034⋅10−3 , ϵy=−5,030⋅10−4 , γ xy=−7,568⋅10−6
12(ϵx+ϵy)=2,655⋅10−4 , 1
2(ϵx−ϵy)=7,685⋅10−4
ϵξ=2,655⋅10−4+7,685⋅10−4 cos(60 ° )−3,784⋅10−6 sin (60 °)
=6,465⋅10−4
γxy
2=−3,784⋅10−6
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4.2 Verzerrungstransformation
● Hauptachsen:
– Wie bei den Spannungen gibt es zwei senkrecht aufeinan-der stehende Richtungen, für die die Dehnungen Extrem-werte annehmen und die Scherung verschwindet.
– Diese Richtungen heißen Hauptdehnungsrichtungen.
– Der rechte Winkel zwischen Linien entlang der Hauptdeh-nungsrichtungen wird durch die Verzerrung nicht verändert.
– Die Hauptdehnungsrichtungen berechnen sich zu
tan (2 ϕE )=2 ϵxy
ϵx−ϵy=
γ xyϵx−ϵy
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4.2 Verzerrungstransformation
– Die zugehörigen Dehnungen sind die Hauptdehnungen.
– Wie bei den Spannungen folgt für die Hauptdehnungen:
– Bei Verwendung von Ingenieurverzerrungen gilt:
ϵ1/2=ϵx+ϵy
2±√(
ϵx−ϵy
2 )2
+ϵxy2
ϵ1/2=ϵx+ϵy
2±√(
ϵx−ϵy
2 )2
+14
γxy2
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4.3 Messung der Verzerrungen
● Dehnungen lassen sich mit Dehnungsmessstreifen (DMS) messen, die auf die Oberfläche des Bauteils geklebt wer-den.
● Dabei wird ausgenutzt, dass die Änderung des elektri-schen Widerstands eines DMS proportional zu seiner Längenänderung ist.
● Zur vollständigen Bestimmung des Verzerrungszustands an einem Punkt sind drei DMS nötig, die die Dehnungen in drei unterschiedlichen Richtungen messen.
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4.3 Messung der Verzerrungen
α
β
γ
x
a
b c
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4.3 Messung der Verzerrungen
● Auswertung der Messung:
– Aus der Messung seien die drei Dehnungen εa , εb und εc bekannt, die zu den ab der x-Achse gemessenen Winkeln α, β und γ gehören.
– Für die Dehnungen gilt:
ϵa=12(ϵx+ϵy)+
12(ϵx−ϵy)cos(2 α)+
12
γxy sin (2α)
ϵb=12(ϵx+ϵy)+
12(ϵx−ϵy)cos(2β)+
12
γxy sin (2β)
ϵc=12(ϵx+ϵy)+
12(ϵx−ϵy)cos(2 γ)+
12
γ xy sin (2 γ)
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4.3 Messung der Verzerrungen
– Die gesuchten Größen εx , εy und γxy sind Lösung des linea-ren Gleichungssystems
– Für α = 0°, β = 45° und γ = 90° lautet das Gleichungssystem
(1+cos(2 α))ϵx + (1−cos(2 α))ϵy + sin (2α)γ xy = 2ϵa
(1+cos(2β))ϵx + (1−cos(2β))ϵy + sin (2β)γ xy = 2ϵb
(1+cos(2 γ))ϵx + (1−cos(2 γ))ϵy + sin (2 γ)γxy = 2 ϵc
2ϵx = 2 ϵa
ϵx + ϵy + γ xy = 2 ϵb
2ϵy = 2 ϵc
→ϵx=ϵa
γ xy=2 ϵb−ϵa−ϵcϵy=ϵc
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