3. teorema de bayes
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5/22/2018 3. Teorema de Bayes
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TEOREMA
DE BAYES
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DE BAYESSe dice que los sucesos A1, A2, , Anforman una particin de un espacio
muestral S si:
a. AiAj= ,i jb.
=
c. > ,i
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Supongamos que los sucesos A1, A2, , An, forman una
particin del espacio muestral S y que E es otro suceso con
respecto a S, entonces
( )Observacin
En los conjuntos encontramos la siguiente Ley Distributiva
( ) ( )
La cual puede hacerse extensiva, luego ( ) ( ) ( ) y
+ + + ( )
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Puede observarse que los sucesos:
, , , ( )son mutuamente excluyentes y que
( )
() Entonces ( ) (|)
Reemplazando tal resultado en P(E) se obtiene:
+ + +
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Resultado que es conocido como el Teorema de la Probabilidad
Total. Adems, para cualquier i:
()()
Tambin () mostrado anteriormente,entonces
(|)
()
Reemplazando (), teorema de probabilidad total, llegamos alresultado:
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(|)
+ + + (|)
O tambin (|) (|)
Conocido como el Teorema de Bayes, el cual da laprobabilidad de un Ai particular dado que el
suceso E ha ocurrido.
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Observacin
La distribucin de probabilidad a priori es la
distribucin de probabilidad aplicable antes de
recolectar la informacin muestral. Con frecuencia,
esas distribuciones de probabilidad son subjetivas en
el anlisis bayesiano de decisiones, puesto que se
basan en ejercicios, aunque tambin pueden basarse
en informacin histrica.
La distribucin de probabilidad a posteriori es la
distribucin de probabilidad que se tiene despus de
observar la informacin muestral, y despus deutilizarla para modificar la distribucin de
probabilidad a priori, aplicando el Teorema de Bayes.
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Para aplicar el teorema de Bayes, deben conocerse la
probabilidad a priori P(Ai) del evento incierto y la
probabilidad condicional del resultado muestral
P(E|Ai).
Las probabilidades condicionales se determinanutilizando alguna de las distribuciones estndar de
probabilidad, de acuerdo con la naturaleza de la
situacin de muestreo.
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Ejemplo: En cierta regin se sabe por experiencia
pasada que la probabilidad de seleccionar a un adulto
mayor de cuarenta aos de edad con cncer es de
0.02. Si la probabilidad de que un mdicodiagnostique correctamente a una persona con
cncer que tiene la enfermedad es de 0.78 y la de que
se equivoque es de 0.06,
(a) Cul es la probabilidad de que a una persona se
le diagnostique cncer?
(b) Si a una persona se le diagnostica cncer, cual
es la probabilidad de que verdaderamente lotenga?
(c) Si a la persona se le diagnostica cncer, cual es la
probabilidad de que no tenga la enfermedad?
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Solucin:
Sean los sucesos:A: La persona tiene cncer
B: La persona no tiene cncer
C: A la persona se le diagnostica cncer
0.02 1 0.98 0.78 0.06
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a. + 0.02 0.78 + 0.98 0.06 0.0744
b. (|)
() (.)(.)
. 0.2097
c.
(|)
() (.)(.)
. 0.7903
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Ejemplo:
Una agencia de publicidad est decidiendo cul de los tres
mtodos publicitarios usar para la venta de cierto producto. Laprobabilidad de escoger la televisin es de 0.60; de que escoja
una revista es de 0.25 y de que escoja peridicos es de 0.15.
Las probabilidades de obtener una alta cobertura con los tres
mtodos son, respectivamente, 0.8, 0.5 y 0.4. Despus de suescogencia, la agencia determin que de verdad alcanz un
alto cubrimiento. Dada esta nueva informacin, Cul es la
probabilidad de que la agencia:
(a) escoja la televisin;
(b) escoja una revista,
(c) escoja peridicos?
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A: Escoger televisin
B: Escoger revistaC: Escoger peridicos
D: Obtener alta cobertura
0.60 0.25 0.15 0.8 0.5 0.4
+ + (|) 0.60 0.8 + 0.25 0.5 + (0.15)(0.4)= 0,665
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a. (|)() (.)(.)
. 0.7218
b. (|)() (.)(.). 0.1879
c. (|)() (.)(.)
. 0.0902
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Variables aleatorias
Distribuciones deprobabilidad de
variables discretas
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Una variable aleatoria es una funcin que asocia un
numero real a cada elemento del espacio muestral S.
Si un espacio muestral contiene un nmero finito deposibilidades o una serie interminable con tantos
elementos como nmeros enteros existen, se llama
espacio muestral discreto.Ejemplo: SI una maquina produce artculos, el
resultado del experimento es que pueden estar
defectuosos. Sea D el evento que indica un artculodefectuoso, entonces D es el que un artculo sea
bueno (no defectuoso) y S = {D,D} ser un espacio
muestral discreto
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Variable discreta es aquella cuyos valores estn
separados por alguna cantidad. Un ejemplo de variable
discreta consiste en los valores que obtenemos alcontar el nmero de admisiones en un hospital. En este
caso la variable solo puede tener valores 1, 2, 3, no
puede haber valores 1.33, , etc.
Con frecuencia resulta conveniente poder idear un
mecanismo o regla que nos permita determinar laprobabilidad de que la variable discreta X asuma un
valor particular X.
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DEFINICION
Cualquier regla o mecanismo que permita calcular
P(X=x), probabilidad de que la variable aleatoria Xtome cada uno de los valores posibles x, se denomina
una distribucin de probabilidad.
Esta regla o mecanismo puede ser una tabla, un
grfico, o una frmula. Una frmula que se emplee
para calcular P(X=x) se denomina funcin deprobabilidad y generalmente se denota por f(x). Es
decir, f(x)=P(X=x)
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La distribucin de probabilidad o funcin de
probabilidad para una variable aleatoria discreta es una
frmula, tabla o grfico que proporciona P(X), laprobabilidad asociada con cada uno de los valores de
x. Las condiciones para que una distribucin sea de
probabilidad discreta son:
1. 0 P(X) 1
2. 1P(X=x) = f(x) es llamada distribucin de probabilidad ofuncin de probabilidad, que algunos llaman tambin
funcin de masa de probabilidad
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Ejemplo
La siguiente distribucin muestra el nmero de hijos
por familia de los habitantes de una urbanizacin
N de hijos Familias P(X=x)
0 300 300/500= 0.60
1 100 100/500=0.20
2 60 60/500=0.12
3 20 20/500=0.04
4 10 10/500=0.025 5 5/500=0.01
6 5 5/500=0.01
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Denotemos por X la variable aleatoria discreta Nmerode
hijos por familia y por x los valores que X puede tomar.
Utilizando el concepto de probabilidad de frecuencia
relativa, podemos calcular, para cada x, la probabilidad deque X tome este valor. Estas probabilidades que se
denotan por P(X=x), se muestran en la ltima columna.
Esta tabla ilustra la forma en que se puede representar unadistribucin de probabilidad por medio de una tabla.
Podemos utilizarla para saber cuales son las
probabilidades de que una familia tenga un determinado
numero de hijos, por ejemplo la probabilidad de que unafamilia escogida al azar en este grupo de familias tenga
dos hijos es de 0.12. Las dos caractersticas necesarias en
una distribucin de probabilidad son:
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1. P(X=x)0 para todo valor de x
2. (Para toda x)P(X=x)=1
En otras palabras, la probabilidad de ocurrencia de cada x
debe ser un nmero mayor o igual que 0 y la suma detodas las probabilidades correspondientes a cada uno de
los valores de X tiene que ser igual a 1.
Tomadas en su conjunto, estas dos caractersticas llevan
implcito lo que ya hemos aprendido, es decir, que la
probabilidad de un evento es un nmero comprendido
entre cero y uno.
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Con frecuencia estamos interesados en conocer la
probabilidad de que X tome un valor menor o igual a x .
Con los datos del ejemplo, si deseamos calcular P(X 3),
es decir, la probabilidad de que una familia tenga tres hijos
o menos.
Informacin de este tipo es muy til para hacer programas
de entretenimiento y actividades en la urbanizacin.
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DEFINICION
La probabilidad de que la variable aleatoria X asuma
valores menores o iguales a x se llama funcin dedistribucin acumulada de X y se denota por F(X).
De esta manera, podemos escribir F(X)=P(Xx)
As, para calcular la probabilidad de que X sea menor oigual a un determinado valor, digamos ,procedemos de la
siguiente manera:
F(
) = P(X) = (x) f(x) = (x ) P(X=x)
Podemos facilitar el clculo de P(X)x acumulando los
valores P(X=x)dados en la tabla de la distribucin de
probabilidad.
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Acumulando los valores de P(X=x) se obtiene
P(X 3), es decir, la probabilidad de que una familia tenga
tres hijos o menos es de 0,96
N de hijos Familias P(X=x) P(Xx)
0 300 300/500= 0.60 0,601 100 100/500=0.20 0,80
2 60 60/500=0.12 0,92
3 20 20/500=0.04 0,96
4 10 10/500=0.02 0,98
5 5 5/500=0.01 0,99
6 5 5/500=0.01 1,00
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Con base en la funcin, se puede decir que f(3) = 0.04 y
F(3) = 0.96
Estas distribuciones se llaman empricas, porque se
construyen con los datos de un experimento.
Pero los fenmenos se comportan diferente y se pueden
aproximar a funciones de probabilidad determinadas
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f(x)
F(x)
x f(x) F(x)
0 0,60 0,60
1 0,20 0,80
2 0,12 0,92
3 0,04 0,96
4 0,02 0,98
5 0,01 0,996 0,01 1,00
DEFINICION S X i bl l t i di t
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DEFINICION: Sea X una variable aleatoria discreta con
distribucin de probabilidad F(x). La media o valor
esperado est dado por
()
Donde los elementos se suman sobre toda la variable
aleatoria x.
Sea x la variable aleatoria discreta con distribucin de
probabilidad F(x). La varianza de X est dada por
()
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Hallar la probabilidad de nios y nias en familias de 3
hijos, suponiendo iguales la probabilidad de ser nio y de
ser nia.
Sea x la variable aleatoria que muestra el nmero de nios
en familias de 3 hijos, calcular:
a. Los valores que toma la variable aleatoria X
b. La funcin de probabilidad
Solucin: Encontrar primero el espacio muestralS={ HHH.HHM,HMH,MHH,MMMMH,MHM,HMM,MMM]
Donde H: es el evento ser hombre
M es el evento ser mujer
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Sea X el nmero de nios en familias de 3 hijos x= 0,1,2,3
U x f(x)
MMM 0 f(0)=
HMM,MHM,MMH 1 f(1)=
HHM,HMH,MHH 2 f(2)=
HHH 3 f(3)=
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X 0 1 2 3
P(X=x)=f(x)
La funcin de distribucin acumulada es
si <
F(X) = si <
si < si
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F(0) = P(X0) =f(0)=
F(1) = P(X1) =f(0) +f(1)= +=
F(2) = P(X ) =f(0) +f(1) + f(2)= ++
=
F(3) = P(X3) =f(0) +f(1) + f(2) +f(3) = ++
+
= 1
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