3. kalkulus turunan - toni bakhtiar
Post on 09-Jan-2022
19 Views
Preview:
TRANSCRIPT
M AT E M AT I K A E K O N O M I
KALKULUS TURUNAN
TO N I BA K H TI A R
I N S TI TU T P ERTA N I A N BO G O R
2 0 1 2
Statik Komparatif
� Analisis perbandingan titik-titik kesetimbangan terhadap
perubahan nilai-nilai parameter dan variabel endogen.
� Model Supply-demand:
( , 0)
( , 0)
D
S
Q a bP a b
Q c dP c d
= − >
= − + >
2
� SPL di atas dapat diselesaikan dengan mudah sehingga diperoleh
� Analisis statik komparatif: Apa yang terjadi dengan P* dan Q*
jika terjadi perubahan pada a, b, c, dan d?
( , 0)SQ c dP c d= − + >
, .a c ad bc
P Qb d b d
∗ ∗+ −= =
+ +
Statik Komparatif
� Model Pendapatan Nasional
� Parameter: a, b, c, d, variabel endogen: Y (pendapatan), C
0 0
( ) ( 0,0 1)
( 0,0 1)
Y C I G
C a b Y T a b
T c dY c d
= + +
= + − > < <
= + > < <
3
� Parameter: a, b, c, d, variabel endogen: Y (pendapatan), C(konsumsi), T (pajak).
� Diperoleh, misalnya:
� Analisis statik komparatif: Apa yang terjadi dengan Y* jika terjadi perubahan pada G0, a, b, c, dan d?
0 0 .1
a bc I GY
b bd
∗ − + +=
− +
Apa Itu Turunan?
� Perhatikan sebuah apel yang
jatuh dari pohon yang sangat
tinggi
� Hukum fisika menyatakan
bahwa setelah t detik, apel t = 0
4
bahwa setelah t detik, apel
berada pada posisi 16t2 kaki
dari posisi awal.
� Berapa kecepatan apel setelah
t detik? Berapa kecepatan apel
pada saat t = 1, t = 2, t = 3,
dst?
t = 1
t = 2
t = 3
Kecepatan Rata-rata dan Kecepatan Sesaat
� Posisi apel pada saat t ditentukan oleh S(t) = 16t2.
� Kecepatan rata-rata (average velocity) adalah:
� Berapa kecepatan rata-rata:
rata-rata
jarak yang ditempuh.
waktu yang diperlukan
SV
t
∆= =
∆
5
� Berapa kecepatan rata-rata:
o dari t = 3 sampai t = 3.5
o dari t = 3 sampai t = 3.1
o dari t = 3 sampai t = 3.01
o dari t = 3 sampai t = 3.001
� Berapa kecepatan sesaat pada t = 3?
Turunan dan Kecepatan Sesaat
� Kecepatan sesaat pada t = 3 dapat dihitung sbb:
sesaat0
2 2
(3 ) (3)(3) lim
16(3 ) 16 3lim
t
S t SV
t
t
t
∆ →
+ ∆ −=
∆
+ ∆ − ⋅=
∆
6
� Tak lain adalah:
0
2
0
0
lim
16(6 )lim
lim16(6 ) 96kaki/detik.
t
t
t
t
t t
t
t
∆ →
∆ →
∆ →
=∆
∆ + ∆=
∆
= + ∆ =
sesaat 3(3) '(3) 32 | 96.t
V S t == = =
Turunan dan Kecepatan Sesaat
� Secara umum, turunan fungsi S = S(t) diberikan oleh:
( ) ( )'( ) lim .
S t t S tS t
+ ∆ −=
7
0'( ) lim .
tS t
t∆ →=
∆
Garis Singgung dan Garis Potong
8
� Garis singgung (tangent line) ialah garis lurus yang memotong
kurva di satu titik (disebut sbg titik singgung).
� Garis potong (secant line) ialah garis lurus yang memotong kurva
di lebih dari satu titik
Turunan dan Garis Singgung
9
f(x)
f(x + h)
x x + h
Slope garis potong:
GP
( ) ( ).
y f x h f xm
x h
∆ + −= =
∆
Turunan dan Garis Singgung
10
� Jika h semakin kecil, garis potong akan semakin dekat ke garis
singgung.
f(x+h)
x
f(x)
x+h
Turunan dan Garis Singgung
11
� Jika h semakin kecil, garis potong akan semakin dekat ke garis
singgung
f(x+h)
x
f(x)
x+h
Turunan dan Garis Singgung
12
� Jika h semakin kecil, garis potong akan semakin dekat ke garis
singgung
x
f(x)
x+h
f(x+h)
Turunan dan Garis Singgung
13
� Slope garis singgung:
� Slope garis singgung = Turunan!
� Jadi,
GS0
( ) ( )lim .h
f x h f xm
h→
+ −=
� Jadi,
0
( ) ( )'( ) lim .
h
f x h f xf x
h→
+ −=
Notasi Turunan
14
df
'( )f x “f aksen x” atau “f prime of x” Notasi ini
sering digunakan karena sangat ringkas.
“df, dx” Notasi ini menekankan bahwa df
dx
f
x
∂
∂
“df, dx” Notasi ini menekankan bahwa
turunan merupakan laju perubahan x
terhadap f.
“do f, do x” atau “partial f, partial x”
Notasi ini mirip dengan df/dx. Digunakan
jika f bergantung pada lebih dari satu
variabel bebas (turunan parsial).
Kenapa Turunan Penting?
15
� Laju perubahan merupakan konsep yang penting untuk
diketahui (analisis statik komparatif)
� Turunan dari cost function ialah marginal cost
� Turunan dari revenue function ialah marginal revenue
� Elastisitas
� Turunan menunjukkan naik/turunnya fungsi
� f ’(x) > 0: f(x) naik
� f ’(x) < 0: f(x) turun
� Yang terpenting: Pengoptimuman!
Aturan Pencarian Turunan
16
� Aturan fungsi konstan
� Aturan fungsi pangkat
� Aturan fungsi pangkat yang diperumum
� Aturan tambah/kurang
Aturan Pencarian Turunan
17
� Aturan hasil kali
� Aturan hasil bagi� Aturan hasil bagi
� Contoh
Fungsi MR – Fungsi AR
18
� Diberikan fungsi average revenue (AR) sbb:
� Diperoleh fungsi revenue (R) dan fungsi marginal revenue (MR):
AR 15 .Q= −
2AR 15R Q Q Q= × = −
� Secara umum, jika AR = f(Q), maka
MR 15 2 .Q= −
( )
MR '( ) ( ).
R f Q Q
dRf Q Q f Q
dQ
=
= = +
Fungsi MC – Fungsi AC
19
� Fungsi biaya total (TC) dan fungsi biaya rata-rata (AC) diberikan
oleh:TC ( )
TC ( )AC .
C Q
C Q
Q Q
=
= =
� Laju perubahan AC terhadap Q diberikan oleh:
Q Q
2
AC ( ) '( ) ( )
1 ( ) 1'( ) (MC AC).
d d C Q C Q Q C Q
dQ dQ Q Q
C QC Q
Q Q Q
−= =
= − = −
Aturan Rantai
20
� Misalkan y = f(z) dan z = g(x) maka
� Atau, jika y = f(g(x)) maka
dy dy dz
dx dz dx= ⋅
� Atau, jika y = f(g(x)) maka
� Contoh
' '( ( )) '( )y f g x g x=
Turunan Parsial
21
� Dalam turunan parsial, jika variabel xi berubah maka variabel-
variabel lain dianggap tetap (konstan)
� Contoh
Model Supply-Demand
22
� Dari model supply-demand diperoleh
� Analisis statik komparatif:
, .a c ad bc
P Qb d b d
∗ ∗+ −= =
+ +
� Terhadap Q* dapat dilakukan analisis yang sama.
2
10,
0.( )
P P
a c b d
P P a c
b d b d
∗ ∗
∗ ∗
∂ ∂= = >
∂ ∂ +
∂ ∂ += = − <
∂ ∂ +
Model Supply-Demand
23
Model Pendapatan Nasional
24
� Diperoleh tingkat pendapatan kesetimbangan
� Government-expenditure multiplier:
0 0 .1
a bc I GY
b bd
∗ − + +=
− +
0
10.
1
Y
G b bd
∗∂= >
∂ − +
� Nonincome-tax multiplier:
� Kenaikan income tax rate akan
menurunkan income kesetimbangan
0 1G b bd∂ − +
0.1
Y b
c b bd
∗∂ −= <
∂ − +
0.1
Y bY
d b bd
∗ ∗∂ −= <
∂ − +
Elastisitas
25
� Elastisitas: rasio persentase perubahan suatu variabel terhadap
persentase perubahan variabel lain. Digunakan untuk mengukur
kepekaan (responsiveness) suatu fungsi terhadap perubahan
parameternya tanpa ada satuan (unit-less).
� Misalkan diberikan fungsi y = f(x), elastisitas y terhadap x� Misalkan diberikan fungsi y = f(x), elastisitas y terhadap x
diberikan oleh
% / / / fungsi marjinal.
% / / / fungsi rata-ratayx
y y y y x dy dx
x x x y x y xε
∆ ∆ ∆ ∆= = = ≈ =
∆ ∆
Elastisitas Permintaan
26
� Diberikan fungsi permintaan Q = f(P). Elastisitas permintaan
(price elasticity of demand) mengukur persentase perubahan
permintaan barang akibat perubahan harga sebesar 1%.
/.
/D
dQ dP
Q Pε =
� |εD| > 1 (elastis), |εD| < 1 (takelastis), |εD| = 1 (unit-elastis)
� Elastisitas penawaran (price elasticity of supply) didefinisikan
secara serupa
� Tentukan εD jika fungsi permintaan Q = 100 − 2P.
� Tentukan εS jika fungsi penawaran Q = P2 + 7P.
/Q P
Turunan Total
27
Contoh:
MRTS
28
� Diberikan fungsi produksi y = f(x1,x2). Kurva isokuan
menggambarkan kombinasi input yang menghasilkan tingkat
output yang sama. Di sepanjang kurva isokuan berlaku dy = 0.
� Slope kurva isokuan dapat ditentukan dengan menentukan dy = 0:
2 1/0 .
dx f xf fdy dx dx
∂ ∂∂ ∂= + = ⇔ = −
� Negatif dari slope disebut MRTS (marginal rate of technical
substitution) yang menggambarkan banyaknya input yang harus
dikurangi akibat penambahan 1 unit input lain.
2 11 2
1 2 1 2
/0 .
/
dx f xf fdy dx dx
x x dx f x
∂ ∂∂ ∂= + = ⇔ = −
∂ ∂ ∂ ∂
2 1
1 2
/MRTS .
/
dx f x
dx f x
∂ ∂= − =
∂ ∂
MRTS
29
� Tentukan isokuan dari fungsi produksi Cobb-Douglas:
1 .y L Kα αβ −=
Turunan Implisit
30
Turunan Implisit
31
Turunan Implisit
32
top related