2014年度秋学期　統計学　第９回　確からしさを記述する ― 確率 (2014. 11....

2014年度秋学期　統計学

浅野　晃関西大学総合情報学部

確からしさを記述する ̶ 確率

第９回

「確率」って，よく聞くけれど

「降水確率40%」って？

何の割合が40%？

現在と同じ気象状況がこれから何度も何度も起きるとするとそのうち40%の場合で雨になる

機会

機会のうちの割合が40%

可能性の集合

http://epshop.net/epkyoto/7.1/15001/

くじびき

（回転抽選器の画像）

可能性の集合

↓くじをひくと

くじびき

可能性の集合

あたった！

くじびき

可能性の集合

あたった！

くじびき

現実におきたのは，これだけ（回転抽選器の画像）

可能性の集合

あたった！

くじびき

現実におきたのは，これだけ他のことはおきていない

可能性の集合

あたった

しかし

可能性の集合

あたった

しかし

可能性の集合

あたった

しかし他の可能性もあった（回転抽選器の画像）

可能性の集合

あたった

しかし

はずれ

他の可能性もあった（回転抽選器の画像）

可能性の集合

あたった

しかし

はずれ

他の可能性もあった

あたり

可能性の集合

あたった

しかし

はずれ

あたりはずれ

可能性の集合

あたった

しかし

はずれ

あたりはずれ

こうなるかも知れなかった

可能性の集合

あたった

しかし

はずれ

あたりはずれ

こうなるかも知れなかった

可能性の集合

あたった

しかし

はずれ

あたりはずれ

こうなるかも知れなかった「偶然」（人知が及ばない）

可能性の集合

あたった

しかし

はずれ

あたりはずれ

こうなるかも知れなかった「偶然」（人知が及ばない）

［ランダム現象］という

可能性の集合

あたった

現実

はずれあたりはずれ

可能性

可能性の集合

あたった

現実

可能性のうちどの結果になりやすいか？

可能性

可能性の集合

あたった

現実

可能性のうちどの結果になりやすいか？

可能性

を，数値で表せないか？（ギャンブラーの数学）

「確率」の定義

頻度による確率の定義あるできごとがおきる確率は，

そのできごとがおきる可能性のある十分多くの機会があるとき，

それらの機会のうちそのできごとがおきる機会の数の割合

くじを十分多くの回数ひくとき， 10回中３回の割合で当たるなら，確率0.3

［事象］

［試行］

ダウト(1)

ダウト(1) ダウト(2)

確率の定義・ダウト(1)「十分多くの機会」？

数学でいう「十分多く」とは，

だれかが「十分ではない」といったら，それに応じていくらでも多くすることことができる

現実には無理

確率の定義・ダウト(2)機会が「ある」とき？

確率の定義・ダウト(2)機会が「ある」とき？機会が「あった」ではない

つまり，未来におきるできごとの話をしている。

確率の定義・ダウト(2)機会が「ある」とき？機会が「あった」ではない

つまり，未来におきるできごとの話をしている。

未来のことはわからない。

確率を定義はしたけれど定義することと，測ることとは別

１メートルの定義は？

確率を定義はしたけれど定義することと，測ることとは別

１メートルの定義は？１キログラムの定義は？

確率は測定できないけれど「十分多くの機会」は現実には無理未来のことはわからない

確率は測定できないけれど

でも

「十分多くの機会」は現実には無理未来のことはわからない

でも過去を未来に延長できると考える

十分多くは無理でも，「そこそこ多く」の機会があればそこそこの精度で確率を推定できる

［大数の法則］

というわけで確率は「十分多くの機会」に関する話を　次の１回の機会にあてはめている

というわけで確率は

ギャンブラーは，日常的に賭けをしているから，確率の大きいできごとを見抜いて賭ければ，全体として勝つことができる

「十分多くの機会」に関する話を　次の１回の機会にあてはめている

というわけで確率は

ギャンブラーは，日常的に賭けをしているから，確率の大きいできごとを見抜いて賭ければ，全体として勝つことができる

「十分多くの機会」に関する話を　次の１回の機会にあてはめている

どんな名ギャンブラーでも，１回の賭けに必ず勝つことはできない

もうひとつの確率の定義

さいころで１が出る確率なぜ1/6なのか？

１，２，３，４，５，６の６通り

「１」は１通り１，２，３，４，５，６の６通り

「１」は１通り

確率の［ラプラスの定義］という

１，２，３，４，５，６の６通り=1/6

確率の［ラプラスの定義］という

１，２，３，４，５，６の６通り=1/6

さっきの「頻度による定義」とは違う…

ラプラスの定義の意味

「１」は１通り１，２，３，４，５，６の６通り

１～６が皆同じ確率で出る，と認めるなら

１，２，３，４，５，６の６通り= 1/6

「同様に確からしい」

１，２，３，４，５，６の６通り= 1/6

さいころを6n回ふる。（nは十分大きい）「同様に確からしい」

１，２，３，４，５，６の６通り= 1/6

nが十分大きければ，１～６は同じ回数出る（頻度による定義）

１，２，３，４，５，６の６通り= 1/6

n回 n

１，２，３，４，５，６の６通り= 1/6

n回 n n

１，２，３，４，５，６の６通り= 1/6

n回 n n n

１，２，３，４，５，６の６通り= 1/6

n回 n n n n

１，２，３，４，５，６の６通り= 1/6

n回 n n n n n

１，２，３，４，５，６の６通り= 1/6

n回 n n n n n

１，２，３，４，５，６の６通り= 1/6

n回 n n n n n

n回 = n/(6n)

ラプラスの定義の意味１～６が皆同じ確率で出る，と認めるなら

正しいと証明する方法はない

このさいころは偏っていないだろうという信頼によって認めているだけ

ルーレット赤ばかり続いた後は黒が出やすい？

ルーレット

赤が出る確率1/2

gigazine.net/news/20060831_atm_roulette/

黒が出る確率1/2とするとき，

（ルーレットの画像）

ルーレット

赤が出る確率1/2

gigazine.net/news/20060831_atm_roulette/

黒が出る確率1/2とするとき，

赤が10回続いたら，次は黒が出やすいのか？

（ルーレットの画像）

ルーレット赤が10回続いたら，次は黒が出やすいのか？

次も赤1/2，黒1/2。

ルーレット赤が10回続いたら，次は黒が出やすいのか？

次も赤1/2，黒1/2。

だって，

ルーレット

赤が出る確率1/2黒が出る確率1/2

次も赤1/2，黒1/2。

だって，

ルーレット

赤が出る確率1/2黒が出る確率1/2

とすると，さっき言ったじゃないですか

次も赤1/2，黒1/2。

だって，

どうも納得いかない

赤が10回続いたら，次は黒が出やすくないと，赤黒半々にならないのでは…

どうも納得いかない

赤が10回続いたら，次は黒が出やすくないと，赤黒半々にならないのでは…

10や20回では「十分多く」ないので， 20回のうち10回が赤，10回が黒である必要はない

それでも納得いかない

赤が10回続いて，さらにまた赤が出るというのは，珍しいのでは…

それでも納得いかない

赤が10回続いて，さらにまた赤が出るというのは，珍しいのでは…

その通り。しかし，赤が10回続いて次は黒であることも同じぐらい珍しい。つまり，赤が10回続くこと自体が珍しい。

モンティ・ホール問題

モンティ・ホール問題モンティ・ホール氏が司会するテレビ番組

モンティ・ホール問題モンティ・ホール氏が司会するテレビ番組箱が３つあり、ひとつだけに賞品ゲストが箱をひとつ選ぶが，まだ開けない

モンティ・ホール問題モンティ・ホール氏が司会するテレビ番組箱が３つあり、ひとつだけに賞品ゲストが箱をひとつ選ぶが，まだ開けないモンティは賞品のありかを知っている。ゲストが選ばなかった空箱を１つ開けて

モンティ・ホール問題「いまなら，さっき選んだ箱ではなく，　まだ開けていないもう１つの箱を　選んでもかまいません」

選ぶ箱を変えるほうが，当たる確率が大きくなるか？

モンティ・ホール問題「いまなら，さっき選んだ箱ではなく，　まだ開けていないもう１つの箱を　選んでもかまいません」

選ぶ箱を変えるほうが，当たる確率が大きくなるか？

💰？

答えはゲストが選ぶ箱を変えないと，当たる確率1/3 !

箱を変えると，当たる確率2/3

答えはゲストが選ぶ箱を変えないと，当たる確率1/3 !

箱を変えると，当たる確率2/3

箱は残り２つだから，当たる確率は，箱を変えても変えなくても1/2じゃないの？

もっとも簡単な説明箱をA,B,Cとし，ゲストがAを選んだとする

賞品が

賞品が Aにある確率　1/3

賞品が Aにある確率　1/3「BまたはC」にある確率　2/3

1/3 2/3

モンティが開けるのは必ず空の箱

1/3 2/3

モンティが開けるのは必ず空の箱

1/3 2/3

モンティが開けるのは必ず空の箱→ 上の確率は，箱を開けても変わらない

1/3 2/3

モンティが開けるのは必ず空の箱→ 上の確率は，箱を開けても変わらない

ここに賞品がある確率2/3

本当に正しいか？

1/3 2/3

この確率は，箱を開けても変わらない

1/3 2/3

本当か？

1/3 2/3

本当か？

「モンティは賞品がある箱は開けない」

1/3 2/3

「モンティは，賞品のある箱は開けない」

1/3 2/3

賞品がBにあるなら，「モンティは，賞品のある箱は開けない」

1/3 2/3

賞品がBにあるなら，

1/3 2/3

「モンティは，賞品のある箱は開けない」Cしか開けられない

1/3 2/3

「モンティは，賞品のある箱は開けない」Cしか開けられない

1/3 2/3

モンティがB,Cのどちらを開けるかは，Cしか開けられない

1/3 2/3

モンティがB,Cのどちらを開けるかは，賞品のありかを知るてがかりにならない

Cしか開けられない

1/3 2/3

モンティがB,Cのどちらを開けるかは，賞品のありかを知るてがかりにならない

Cしか開けられない

「BまたはCにある確率2/3」は，　箱を開けても変わらない

1/3 2/3

賞品がAにあるなら?「モンティは，賞品のある箱は開けない」

1/3 2/3

賞品がAにあるなら?

1/3 2/3

モンティはB,Cのどちらを開けてもよい

1/3 2/3

モンティはB,Cのどちらを開けてもよいもしも「賞品がAにあるときは，必ずBを開ける」という裏ルールがあったら？

1/3 2/3

モンティはB,Cのどちらを開けてもよいもしも「賞品がAにあるときは，必ずBを開ける」という裏ルールがあったら？モンティがBを開けたら，賞品はAにある可能性が高い

1/3 2/3

モンティが，↑これを守ってなかったら？「モンティは，賞品のある箱は開けない」

モンティは，実はA,B,Cを同じ確率でランダムに選んでおり，今回たまたまCを開けたら空だった，としたら

モンティが，↑これを守ってなかったら？

💰？

💰？ 💰？

A B C1/3

💰？

💰？ 💰？

A B C1/3

💰？

💰？ 💰？

A B C1/3

💰？

1/3 1/3

💰？ 💰？

A B C1/3

💰？

1/3 1/3

💰？ 💰？

A B C1/3

💰？

1/3 1/3

💰？ 💰？

ゼロ

A B C1/3

💰？

モンティは，実はA,B,Cを同じ確率でランダムに選んでおり，今回たまたまCを開けたら空だった，としたら賞品がA,Bにある確率が平等に大きくなる

1/3 1/3

💰？ 💰？

ゼロ

A B C1/3

💰？

モンティは，実はA,B,Cを同じ確率でランダムに選んでおり，今回たまたまCを開けたら空だった，としたら賞品がA,Bにある確率が平等に大きくなる

1/3 1/3

💰？ 💰？

ゼロ

この問題のポイントはモンティの行動は，賞品のありかを知る手がかりになっているか？

A B C💰？ 💰？ 💰？

それは，「他にどんな可能性があったか」によって変わる

それには，モンティの「心の中」が影響します。

A B C💰？ 💰？ 💰？

それは，「他にどんな可能性があったか」によって変わる

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