2 6 sinais de tempo discreto e transformada de fourier ... · na referência [oppenheim, a. v.,...
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2 6 Sinais de Tempo Discreto e Transformada de Fourier Discreta2.6 Sinais de Tempo Discreto e Transformada de Fourier Discreta
Em computação numérica, os número de dados devem ser finitos, significando que o número de amostras de um sinal x(t) e de seu espectro X(f) devem ser finitos.
Deve-se trabalhar com sinais x(t) limitados no tempo e, em caso contrário, é necessário truncá-los para que tenham duração finita. O mesmo se aplica a X(f) .
O Processo de amostragemO Processo de amostragem
Embora existam outras possibilidades, o método típico de obter uma representação de tempo discreto de um sinal contínuo no tempo é através de amostragem periódica.
Considere-se um sinal x(t), de duração , começando em t = 0, conforme esboçado na figura abaixo, juntamente com seu espectro:
Conforme será discutido adiante, existem razões para considerar x(t) de duração T, onde T , tal que x(t) = 0 em < t T. ___________________________________________________Lathi, B. P., Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd edition, Oxford university Press, New York,Lathi, B. P., Modern Digital and Analog Communication Systems, 3 edition, Oxford university Press, New York, 401 0., 1998.
Tomam-se amostras de x(t) em intervalos de amostragem uniformes de Ts segundos.
Tsk)
O sistema que implementa a operação de amostragem é um conversor ideal de tempo contínuo para
O total de amostras é: N = T / Ts .k
*
discreto (conversor C/D).
s
)()( skTxkx )(tx
sendo x(t) o sinal de tempo contínuo, x(k) o sinal de tempo discreto e Ts o intervalo de amostragem.
Em um arranjo prático, a operação de amostragem é implementada por um conversor analógico-digitalEm um arranjo prático, a operação de amostragem é implementada por um conversor analógico digital(A/D), o qual pode ser interpretado como uma aproximação de um conversor C/D ideal.
__________________________________________________________* O h i A V S h f R W B k J R Di t Ti Si l P i 2 d diti P ti H ll 897* Oppenheim, A. V., Schafer, R. W., Buck, J. R., Discrete-Time Signal Processing,2nd edition Prentice Hall, 897 p.,
New Jersey, 1999.
s
)(tx )()( skTxkx
Na figura abaixo mostra-se um trem de pulsos retangulares que foi amostrado na taxa fs = 1/T s,sendo t = Ts o intervalo de amostragem (distância entre amostras consecutivas).
Observe se que a sequência se repete a cada N 16 amostras sendo N o período da sequênciaObserve-se que a sequência se repete a cada N = 16 amostras, sendo N o período da sequência.
As amostras podem ser expressas por:
Se o amostrador for uma função impulso periódica:
Por simplicidade costuma se descartar T e escrever simplesmente:
?impulso discreto?
Por simplicidade, costuma-se descartar Ts e escrever simplesmente:
A t ã (k) é i l d t di t j ê i d d d úA representação x(k) é um sinal de tempo discreto, ou seja, uma sequência ordenada de números, possivelmente complexos, e consistindo de k = 0, 1, 2, ..., N1, num total de N pontos.___________________________________________________
Exemplo: A sequência impulso unitário de tempo discreto é definido por:
cujo gráfico está desenhado ao lado:
Exemplo: A sequência degrau unitário é definida por:
e seu gráfico está desenhado ao lado:
Exemplo: O degrau também pode ser descrito por:Exemplo: O degrau também pode ser descrito por:
Exemplo: A exponencial real é definida simplesmente por:
ficando implícito que n = 0, 1, 2, ...
No caso em que A e são números reais, A > 0 e 0< < 1 tem se o gráfico ao lado:A > 0 e 0< < 1, tem-se o gráfico ao lado:
Exemplo: Seja a sequência representada na figura a seguir:
A sequência pode ser especificada por:
Exemplo: Generalizando, toda sequência pode ser representada por:
k
nkkxkx )()()( k
Modelo Matemático da Amostragem
É conveniente representar matematicamente o processo de amostragem em dois estágios: um modulador por trem de impulsos e um conversor de trem de impulsos para sequência.
)(tx )()( skTxkx
*
Na figura abaixo mostra-se um sinal contínuo no tempo x(t) e o resultado da amostragem por trem de
)(tx
g p ( ) g pimpulsos, xs(t).
s s s s
Ao lado de x (t) é mostrada a sequência de saída correspondente x(k):
)(kx
)(tx
Ao lado de xs(t), é mostrada a sequência de saída correspondente, x(k):
ks s s s
A diferença básica entre xs (t) e x(k) é que xs (t) é um sinal do tipo contínuo (um trem de impulsos, que é nulo exceto em múltiplos inteiros de Ts ), enquanto a sequência x(k) é de tempo discreto e estáque é nulo exceto em múltiplos inteiros de Ts ), enquanto a sequência x(k) é de tempo discreto e está indexada na variável k (a qual estabelece uma normalização de tempo).
As amostras estão representadas por números finitos x(k) em vez de áreas de impulsos xs (t) .
___________________________________________________Observação:
Na referência [Oppenheim, A. V., Schafer, R. W., Buck, J. R., Discrete-Time Signal Processing,2nd edition Prentice ll 89 1999] d d ó i i i i b d i d f d d i dHall, 897 p., New Jersey, 1999], o estudo deste tópico inicia-se sob o ponto de vista da transformada de Fourier de
uma sequência (DTFT), segue para a discussão da série de Fourier discreta (DFS) de sequências periódicas, e evoluipara o conceito de transformada de Fourier discreta (DFT) aplicada a sequências de comprimento finito.
Neste curso será apresentado apenas uma breve introdução sobre o assunto deixando a análise mais aprofundadaNeste curso, será apresentado apenas uma breve introdução sobre o assunto, deixando a análise mais aprofundadapara o curso de Processamento Digital de Sinais.
)(tx )()( skTxkx
A conversão de x(t) para x (t) inicia se empregando se um trem de impulsos periódico:A conversão de x(t) para xs (t) inicia-se empregando-se um trem de impulsos periódico:
o qual é modulado por x(t) resultando em:
k
skTtts )()(
o qual é modulado por x(t) resultando em:
At é d i d d d lti li ã d f ã i l (2 5 9 ) t d b i
k
ss kTttxtstxtx )()()()()(
Através da propriedade de multiplicação da função impulso (2.5.9a) mostrada abaixo:
xs (t) pode ser expressa por:
Após o conversor C/D, obtém-se
k
sss kTtkTxtx )()()(
Impulso discreto
ou , k = 0, 1, 2, ...)()()( nknxkxn
)()( skTxkx
Recorre-se a relação (2.2-4), da transformada de Fourier:Recorre se a relação (2.2 4), da transformada de Fourier:
de (k) (kT ) d ã e t e 0 e T bte :para o caso de x(k) = x(kTs), com duração entre 0 e T, para obter:
dtekTxfX skTfjs
T2
0
)()(
Como as amostras são espaçadas entre si de Ts , aproxima-se dt t=Ts na integral acima.
Além disso, como o número de amostra é discreto e limitado entre 0 e (N1), a integral é convertida em somatório:
N 1
Conforme será verificado a seguir, X(f) também é discreto, com amostras uniformemente espaçadas.
s
N
k
kTfjs
TTekTxfX s
s
1
0
2
0)(lim)(
g , (f) , p ç
Considera-se que o espaçamento entre amostras seja igual a f Hz, tal que f = nf.
Se X(n) é a n ésima amostra de X(f) isto é X(n) = X(nf) entãoSe X(n) é a n-ésima amostra de X(f), isto é, X(n) = X(nf), então
1
0
)(21
0
)(2 )()()()(N
k
kTfnjN
k
kTfnjss
ss ekxekTxTfnXnX
sendo x(k) = Ts x(k Ts) por definição, o qual é idêntico ao x(k) anterior, exceto por um fator de escala.
11
2 )()()(N
kjnN
kTfjn ekxekxnX sPortanto, , sendo = 2 f Ts por definição. 00
)()()(kk
ekxekxnXPortanto, , sendo 2 f Ts por definição.
As amostras X(n) são periódicas, com período 2/ = 2/(f Ts) amostras.s a ost as (n) são pe ód cas, co pe odo / /( f s) a ost as.
Na dedução, assumiu-se que Ts0, porém, na prática, isto não é possível porque aumentaria imensamente o número de dados a serem processados.
Isto resulta em algum erro computacional (conforme será visto adiante), e assim, deve-se esforçar para tornar Ts tão pequeno quanto for praticável.
Prosseguindo, apenas um número de 2/ amostras de X(n) podem ser independentes, e também,X(n) é determinado por apenas N valores independentes de x(k).
P t t i d õ j ú i ó d h N l d tPortanto, para que as inversas dessas equações sejam únicas, só pode haver N valores de amostras independentes de X(n) , ou seja:
ffN
N1
e2
2222
Tf
Tf
TfTfN
s
e222
ff1
e2
2
112 )()()(
Nkjn
NkTfjn ekxekxnX s
Tf
Tf e2
Então, dado que N = T /Ts ocorre: nkN
jN
T
TnkjkfTjn s
21
22
00
)()()(kk
ekxekxnX
____________________________________
e daí:
NNT
A expressão X(n) constitui a forma tradicional da transformada de Fourier discreta (DFT), denotada por DFT [x(k)].
X(n) consiste de N amostras, onde cada amostra está espaçada da outra pela frequência f :
h tsfffNfff
1 hertz.
sendo fs o número de amostras de x(t) por segundo, ou seja, a frequência de amostragem de x(t).s
ss TNN
fffNffnf
Isto significa que X(n) é N-periódica, repetindo-se a cada fs Hz.
Observe-se que, calculando X(n) para n substituído por (n+N), obtém-se:
221)(21 kkNkN
____________________________________
)()()()(221
0
)(21
0
nXeekxekxNnXNk
Njnk
NjN
k
kNnN
jN
k
2
kkNkj
pois . 1)( 22
kjkjN
j
eee
O espectro da DFT se repete a cada N amostras, ou então, a cada fs Hz (pois ) .fNffnf s
O intervalo entre n (n+1) representa Hz, e assim, a frequência discreta é:Nff s /
Basta N parcelas em (2.6-2) para se determinar X(n) .
A DFT é computada apenas para N positivo.
Observe que tanto x(k) quanto X(n) são sequências ordenadas de números e, portanto, podem ser facilmente processadas por computador ou algum tipo de DSP.
Dada a relação f = 1/T , o intervalo de amostragem espectral f Hz (ou 2f rad/s) pode ser ajustado pela escolha apropriada de T : quanto maior T menor será f (ou 2f rad/s)pela escolha apropriada de T : quanto maior T, menor será f (ou 2f rad/s) .
A ideia de selecionar T agora fica mais clara: quando T é maior que espera-se ter diversas amostras nulas de x(k) no intervalo de a T.
Assim, aumentando-se o número de valores nulos de x(k), se reduz 2f e as amostras de X(n) ficam d d i d lh ( l ã ) X(f)menos espaçadas, gerando-se mais detalhes (resolução) em X(f).
Ou seja, para um dado intervalo Ts, quanto maior T maior será N.
Assim, pela escolha adequadamente grande do valor de N pode-se obter amostras de X(f) tão próximas quanto possível.
Este processo de reduzir 2f pela inserção de amostras nulas de x(k) é conhecido como técnica deEste processo de reduzir 2f pela inserção de amostras nulas de x(k) é conhecido como técnica dezero padding.
Antes de proceder ao cálculo da transformada inversa, investiga-se a propriedade de ortogonalidade do conjunto de exponenciais complexas; ou seja, mostra-se que:
(3a)
contráriocasono0
etc.,2,1,0se,1
0
nNe kjn
N
k
Prova: Lembra-se que
contráriocasono00k
21
2)2()2( TT
TfT
TTfN
ss
NN 11
_______________________________________________________________________
e assim, para n = 0, N, 2N, etc., tal que , n = 0, N, 2N, etc.
Para computar a soma para os outros valores de n (n 0, N, 2N, etc.), nota-se que a soma do lado
1kjne NeN
k
knjN
k
11
0
1
0
esquerdo de (3a) é uma progressão geométrica, com razão = exp(jn):
12221
0
1
0
1
0
...1)(
NNkN
k
knjN
k
knjN
k
eeS
sendo S o resultado da soma. Multiplicando ambos os membros por resulta:
NN aS 122 ...NSubtraindo ambos as séries, obtém-se: e, portanto,NS 1)1(
01
11
0
nj
Nnjknj
N
k e
ee
pois e para n 0, N, 2N, etc.
0k
12 njNjn ee 2N
O cálculo da transformada inversa parte-se de:
11
2 )()()(N
kjnN
kTfjn ekxekxnX s
Multiplicando-se ambos os lados por e somando-se em termos de n:
00 kk
nTfjnjm see )2(
I bi d d d ó i d l d di i
njmN
k
kjnN
n
njmN
n
eekxenX
1
0
1
0
1
0
)()(
Intecambiando a ordem do somatório do lado direito:
,
nkjNN
nkkmjNN
njmN
ekxekxenX 11
)(111
)()()( km ,
O termo entre colchetes corresponde a:
nknkn 00000
)()()( km
contráriocasono0
etc.,2,1,0se,1 nNe kjn
N
e portanto, é nulo quando 0, N, 2N, etc, em particular, se 0 , ou sejaquando m k.
km
contráriocasono00k
km q
Por outro lado, a soma é N quando = 0, N, 2N, etc, em particular = 0,ou seja, m = k.
P t t t d l d di it t á ú i t ã l ( d k) é i l
km km
Portanto, a soma externa do lado direito terá um único termo não nulo (quando m = k), e é igual aN xk = N xm .
nkjNN
nkkmjNN
njmN
kkX 11
)(111
)()()( km
nkj
nk
nkkmj
nk
njm
n
ekxekxenX
00
)(
000
)()()(
Portanto a soma externa do lado direito terá um único termo não nulo (quando m = k) e é igual a
km
__________________________________________
Portanto, a soma externa do lado direito terá um único termo não nulo (quando m = k), e é igual aN xk = N xm:
, = 2 f Tsnjm
N
n
enXN
mx
)(1
)(1
0
Substituindo-se , obtém-se a forma inversa da transformada de Fourier discreta (IDFT), denotada por IDFT[X(n)]:
nN 0
1
(trocando-se m por k).
Como consequência, a representação de uma sequência x(k) precisa apenas de N exponenciais complexas, ao contrário do caso de sinal contínuo x(t), o qual geralmente requer infinitas exponenciaiscomplexas relacionadas harmonicamente para representá-lo.
Mostra-se, facilmente, que: x(k) = x(k+N).
Isto significa que a sequência x(k) também é periódica, com período de N amostras (representando a g q q ( ) p , p ( pduração de tempo NTs = T segundos).
Resumo:Resumo:
1
fnXnXkTxTkx ss )()()()(
T
fT
fT
ss
s
2
22
22
NfT
T
TN s
s
22
Ambas as sequências x(k) e X(n) são periódicas com período de N amostras.
Isto resulta em x(k) repetindo-se com período T, e X(n) repetindo-se com período fs = 1/Ts , a frequência de amostragem.
O i t l d t dO intervalo de amostragem de x(k) é Ts segundos.
O i t l d t dO intervalo de amostragem de X(n) é f=1/T hertz, ou então, f = fs /N hertz.
Assumindo-se que x(t) é limitado no tempo, acontece que X(f) não é limitado em banda.
Portanto, a repetição periódica do espectro X(n) causará overlapping das componentes espectrais, resultando em erro (aliasing error).
O espectro de X(n) se repete a cada fs Hz.
O erro de aliasing é reduzido aumentando-se fs , a frequência de repetição.
Este erro pode ser feito tão pequeno quanto desejado aumentando se a frequência de amostragemEste erro pode ser feito tão pequeno quanto desejado, aumentando-se a frequência de amostragem fs = 1/Ts (ou reduzindo-se o intervalo de amostragem Ts ).
O erro de aliasing é o resultado direto de não de satisfazer a exigência de Ts 0.
Quando x(t) não é limitado no tempo, necessita-se truncá-lo a fim de torná-lo limitado, o que causará ainda mais erro em X(n) .
Tal erro pode ser reduzido tanto quanto desejado aumentando se apropriadamente o intervalo deTal erro pode ser reduzido tanto quanto desejado aumentando-se apropriadamente o intervalo de truncamento T.
No cômputo da transformada inversa ocorre um problema similar: se X(f) for limitada em banda, x(t) não é limitada no tempo, e as repetições periódicas das amostras x(k) sofrerão overlap (aliasing no domínio do tempo).
Pode-se reduzir este erro de aliasing aumentando-se T o período de x(k) o que é equivalente a reduzirPode se reduzir este erro de aliasing aumentando se T, o período de x(k), o que é equivalente a reduzir o intervalo de amostragem da frequência de X(f), ou seja f =1/T.
Por outro lado, se X(f) não for limitado em banda, é necessário truncá-lo, o que causa erro adicional no ô t d (k) A t d l d b d d t t d d i tcômputo de x(k) Aumentando-se a largura de banda de truncamento pode-se reduzir este erro.
Escolha de Ts , T e Ns ,
Em primeiro lugar, deve-se decidir a largura de banda essencial B de x(t) .
Da figura abaixo nota-se que ocorre overlap espectral (aliasing) na frequência f /2 (folding frequency)Da figura abaixo, nota-se que ocorre overlap espectral (aliasing) na frequência fs /2 (folding frequency)
Se a frequência de folding for escolhida tal que o espectro X(f) seja desprezível além de f /2 o aliasingSe a frequência de folding for escolhida tal que o espectro X(f) seja desprezível além de fs /2 , o aliasingnão será significativo.
Escolha de Ts , T e N (cont...)
Portanto, a frequência de folding deveria ser pelo menos igual à maior frequência significativa, isto é, a frequência acima do qual X(f) é desprezível.
Esta frequência é chamada de largura de banda essencial B.
Se X(f) é limitada em banda, então, sua largura de banda é idêntica à largura de banda essencial.
Assim: fs/2 B
Como f =1/T onde f é a resolução de frequência [separação entre amostras de X(f)] se T e T
BTs 2
1
Como f 1/T , onde f é a resolução de frequência [separação entre amostras de X(f)], se Ts e T
forem conhecidos, então :sT
TN
Também existem sinais que não são limitados nem no tempo nem em frequência, e, em tais casos, é necessário reduzir Ts e aumentar T.
Pontos de descontinuidadesPontos de descontinuidades
Se x(t) tem uma descontinuidade degrau num ponto de amostragem, o valor da amostra deve ser tomado como a média dos valores em ambos os lados da descontinuidade.
Com isso, a representação de Fourier no ponto da descontinuidade converge para o valor médio.
(k)x(k)
Exemplo: Considere-se a sequência x(k) = (1, 2, 1, 1), para N = 4. Calcular a DFT de x(k).Exemplo: Considere se a sequência x(k) (1, 2, 1, 1), para N 4. Calcular a DFT de x(k).
= 3
Escrevendo-se que: jeej
Nj
4
22
expande-se (2.6-2), obtendo-se:
, k = 0, 1, 2 e 3.kkk jjjnX 32 )(1)(1)(21)(
Portanto, X(n) = (1, 2 j3, 1, 2+j3) #
Exemplo: Calcular a DFT da sequência abaixo, sendo N =16.
= 1
2 1k
C X( ) é N iódi it d t i l d X( ) l d l í dComo X(n) é N-periódica, necessita-se determinar os valores de X(n) ao longo de qualquer período.
É costume determinar X(n) ao longo da faixa (0, N1) em vez da faixa (N/2, N/2 1).
= 16
Observação idêntica se aplica a x(k).
Da definição de DFT:
][
][
1
1)(
216
2
216
2
216
2
2
5
16
2
2
5
16
2
2
5
16
2
4
16
2
516
2
16
2
eee
eee
e
eenX
nj
nj
nj
nj
nj
nj
k nj
njnkj
16
5
22
5
16
22
][1
42
4
16
2n
sene
nsenj
e
eeee
nj
nj
16216
22
nsenn
senj
16
5 nsenn
j
16
16)( 4
nsen
enXj
Portanto,
5sinc
5 nnnsen nn
X(n) pode ser simplificada para:
16sinc
16sinc
5
16
516
16
16)( 44
ne
nnsen
senenX
nj
nj
tal que, seu valor máximo ocorre em n = 0, e vale X(0)= 5 = A2 .
Exemplo 2.6-1: Monociclo de Tempo Discreto e sua DFTp p
Um monociclo é uma derivação da função gaussiana:
Usando o Matlab, gerar e plotar um pulso monociclo com N = 64 pontos, centrado em k = 32, com a = 100 constante e amostrado em fs = 1 Hz.________________________________________________________
Será assumido que o intervalo de amostragem é Ts =1 s.
O monociclo (2.6-5) está centrado na origem. Para que o pulso esteja centrado em k = 32, faz-se
O cálculo da DFT produz componentes real e imaginária:O cálculo da DFT produz componentes real e imaginária:
O espectro de potência do sinal é
O cálculo da DFT é realizado em Matlab pelo comando ‘fft’ (Fast Fourier Transform). O diagrama de barras é obtido pela função ‘stem’ semelhante ao ‘plot’de barras é obtido pela função stem , semelhante ao plot .
A listagem do programa em Matlab é apresentada abaixo:
Os gráficos de x(k), Re[X(n)], Im[X(n)] e Puu(n) estão apresentados abaixo:
Note-se que o intervalo de k para (k+1) corresponde a 1 seg, e, o intervalo de n para (n+1) corresponde a 1/64 Hz. p
Os gráficos de x(k) e X(n) se extendem por 64 seg e 64 Hz, respectivamente.
Sistema Linear invariante no Tempo
*
Sistema de tempo discreto: transformação ou operador que mapeia uma sequência de entrada x(k) numa sequência de saída y(k).
*
Ou seja, )}({)( kxTky
Sistema linear: è aquele que obedece ao princípio de superposição de efeitos
)}({)}({)}()({ 2121 kxbTkxaTkbxkaxT
Sistema invariante no tempo: é aquele no qual um deslocamento no tempo (ou delay) na sequência de entrada provoca um deslocamento correspondente na sequência de saída.
O j ãOu seja, se , então, )}({}{)( kxTkykx
)()}({)}({)()()( 001101 kkykkxTkxTkykkxkx ________________________________________________________________________________* Oppenheim, A. V., Schafer, R. W., Buck, J. R., Discrete-Time Signal Processing,2nd edition Prentice Hall, 897 p.,
New Jersey, 1999.
Sistema linear invariante no tempo (SLIT)
Já foi visto que uma sequência genérica pode ser escrita como:
)()()( kxkx
Seja hn(k) a resposta de um sistema linear ao impulso em k= , ou seja, (k ): h (k) =T{(k )}
})()({)}({)(
kTkTk
Então, a resposta a uma entrada arbitrária x(k) será:
Usando o princípio de superposição:
})()({)}({)(
kxTkxTky
)()(})({)()( hxkTxky Usando o princípio de superposição:
Devido à invariância no tempo, se a entrada de um SLIT for (k) h(k)=T{(k)}, então, sua saída
)()(})({)()( hxkTxky
será: (k ) h(k )=T{(k )}.
Portanto, um sistema que seja linear e invariante no tempo apresenta como saída:
Por definição, o somatório acima corresponde a convolução linear:
)()()( khxky
)(*)()( khkxky
Exemplo: e
0para,
)()(ka
kuakxk
k )()( kukh p
Fazendo o cálculo direto da soma de convolução:
0para,0)()(
kkuakx )()(
)()()()()(*)()( kuuakhxkhkyky
Como u( ) é zero para <0 e u(k ) é zero para >k, quando k<0, então não há termos diferentes de zero na soma e tem-se y(k)=0.
P t l d k 0
aaky
k
1)(
1
Por outro lado, se k 0,
e portanto, #
aaky
1
)(
)(1
1)(
1
kua
kyk
p ,1 a
)()()( khxky
Exemplo: Calcular y(k)=x(k)*h(k) para x(k) e h(k) dadas abaixo:
)()()( khxky__________________________________________________
a) Desenhar os gráficos de x( ) e h( ) como funções de a) Desenhar os gráficos de x( ) e h( ) , como funções de .b) Inverter h( ) para se obter h( ).c) Formar o produto: x( )h( ), para k =0
d) Somando em relação a , encontra-se: y(0) = 1.
)()()( khxky
c) Deslocar de k=1 a sequência invertida de tempo e multiplicar as duas sequências x( ) e h(1 ).
)()()( khxky
__________________________________________________
y(1)=21+11=3y(1) 21+11 3
d) Deslocar de k=2 a sequência invertida de tempo e multiplicar as duas sequências x( ) e h(2 ).
y(2)=31+21+1 1=6
y(2) 31+21+1 1 6
e) Prosseguindo, encontram-se y(3) = 5, y(4) = 3 e y(k) = 0 para k > 4.
)()()( khxky
f) Deslocar de k=1 a sequência invertida de tempo e multiplicar as duas sequências x( ) e h( 1 ).
)()()( khxky
__________________________________________________
( 1) 0y(1)=0
g) De fato, y(k) = 0 para todo k < 0.
h) Resposta
Discussão:
)()()( khxky
)()()(y
a) Se x(k) tiver comprimento N e h(k) tiver comprimento N então y(k)=x(k)*h(k) terá comprimentoa) Se x(k) tiver comprimento N1 e h(k) tiver comprimento N2, então, y(k)=x(k)*h(k) terá comprimento(N1+ N21)
b) A convolução é comutativa: y(k)=x(k)*h(k) = h(k)*x(k) ) y( ) ( ) ( ) ( ) ( )
c) Dados x(k)=[x(0), ..., x(N11)] e h(k)=[h(0), ..., h(N21)] , em geral, N1>>N2, e
12
)()()(*)()(N
kxhkxkhky
onde se limitou =0, ..., N2 1, porque h( ) é nulo fora desse intervalo.
0
)()()(*)()( kxhkxkhky
d) Note-se que y(k)=0 quando uma das condições ocorre:
i) para todo =0, ..., N2 ocorre para todo k < 0ii) para todo = 0, ..., N2 ocorre pata todo k > N1 1+ N2 1
0 k11 Nk
2 1 2
porque em ambos os casos.
1
0)( kx
Portanto, computa-se a sequência y(k) apenas para um número finito de pontos:o a o, co pu a se a sequê c a y(k) ape as pa a u ú e o o de po os:
, k = 0, ..., N1+N2 2.
E t l (k) t i t N N + N 1
1
0
2
)()()(*)()(N
kxhkxkhky
Em outras palavras, y(k) tem comprimento N=N1+ N21 .
x * h = y
0 N11 0 N21 0 N1+ N21
Portanto, a saída de um SLIT de tempo discreto é a convolução linear da entrada com a resposta impulsiva do sistema, ou
Onde os comprimentos de x(k) e h(k) estão limitados a N1 e N2 , respectivamente, e o comprimento de(k) tá t it N N + N 1y(k) está restrito a N=N1+ N21 .
Deslocamento circular no tempop
O circular time shift está relacionado com o fato de que a sequência finita x(k), k=0, .., N1, pode ser considerada como um período de uma sequência periódica xp(k).
De fato, escrevendo a expressão da IDFT para todo < n < +, e chamando-se de xp(k)
, < k < +
1 2
)(1
)(N kn
Nj
p enXkx
observa-se que xp(k) é periódica com período N pois
0
)()(n
p N
)()(1
)(1
)( 21 21 )(
2
kxeenXenXNkx njN kn
NjN nNk
Nj
Portanto, a sequência x(k) é apenas um período de sua extensão periódica xp(k)
k=0 N 1
)()()()(00
kxeenXN
enXN
Nkx pj
n
N
n
Np
)()( kxkx , k=0, .., N1 )()( kxkx p
Por sua vez, a sequência periódica xp(k) pode ser formada a partir de x(k) como
Uma notação útil e que especifica o fato da sequência finita x(k) ser um período da sequência infinita é
n
p nNkxkx )()(
Uma notação útil e que especifica o fato da sequência finita x(k) ser um período da sequência infinita é
para < k < +onde se define
(k)N = k módulo N.
)(])[( kxkx pN
(k)N k módulo N.
Isto significa que, se k for expresso como: , 0 < m < N1, então, .
D f l k i i á l i d ód l N
mNk mNkk N )mod()(
kNNk )(Desta forma, qualquer k inteiro está relacionado com seu módulo N como: ,com inteiro e (k)N sempre no intervalo 0 ... N1.
Exemplo:
NkNmNk )(
10,)( NmNkkm N ___________________________________
Exemplo:
a) Para k = 13 e N = 8, 0 < m < 7:
10,)( NmNkkm N
7211 m
m =(13)8= 13 8 7130 m
)!OK(51 m
032 m
Portanto (13)8 = 5.
Exemplo: 10,)( NmNkkm N p
b) Para k = 6 e N = 8, 0 < m < 7:
( 6) 6 8
,)( N
060
)!OK(21 m
7102 m
m =(6)8= 6 8
Portanto ( 6)8 = 2.
060 m
0141 m
( )8
______________________________________________________Como consequência, define-se o deslocamento circular para uma sequência finita x(k) como
d R (k) j l t l)()1()(])1[( kRkxkRkx NpNN
sendo RN(k) a janela retangular:
E t l l l i f d i t l [0 N 1] ó d l t lt d
casosdemais0
01)(
NkkRN
Em outras palavras, qualquer valor que caia fora do intervalo [0 ... N1] após o deslocamento volta do outro lado.
)()1()(])1[( kkkk 01
)(Nk
k
Qualquer valor que caia fora do intervalo [0 ... N1] após o deslocamento volta do outro lado.
)()1()(])1[( kRkxkRkx NpNN
casosdemais0
)(kRN
___________________________________
Generalizando:
sendo L o deslocamento.
)()()(])[( kRLkxkRLkx NpNN
Generalizando: )()()(])[( kRLkxkRLkx Generalizando:
sendo L o deslocamento.
)()()(])[( kRLkxkRLkx NpNN
___________________________________
Exemplo: Se N = 8 e x(k) = [x(0), x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), x(6), x(7)].
x(k), 9< k <N1 x(k2)8 R8(k)
x(0)
x(1)x(7)
x(6)
x(7)x(5)( )x(7) ( )x(5)
x(2)x(6) x(0)x(4)
x(3)
( )
x(5)x(1)
( )
x(3)
x(4) x(2)
Exemplo: )()()(])[( kRLkxkRLkx NpNN Exemplo:
Para N=4:
)()()(])[( NpNN
x(0)x(3)
x(k)
2
x[(k1)4] R4(k)
2
x(0)
x(1)x(3)x(0)x(2)
k1
2
2 1 0 1 2 3 4 5k
1
2
2 1 0 1 2 3 4 5
x(2)x(1)
x(2) x(1)
(2)(0)
x[(k2)4] R4(k) x[(k3)4] R4(k)
k1
2
k1
2
2 1 0 1 2 3 4 5
x(3)
x(0)
x(1) x(2)
x(3)
x(0)
2 1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 5( )
Exemplo: )()()(])[( kRLkxkRLkx NpNN
Para N=4:
p
2
x(0)
x(3)x(1)
x[( k)4] R4(k)x(k)
2
x(0)
x(1)x(3)
k1
2
2 1 0 1 2 3 4 5
x(2)
( )
k1
2
2 1 0 1 2 3 4 5
x(2)
( )
2 1 0 1 2 3 4 52 1 0 1 2 3 4 5
____________________________________________
Em outras palavras, se (N 1) L (N 1), verifica-se que:
10se)(
])[(NLkLkx
Lk
onde o offset N depende se L é positivo (+N) ou negativo (N).
contráriocaso)(
])[(LNkx
Lkx N
contráriocaso)(
10se)(])[(
LNkx
NLkLkxLkx N (N 1) L (N 1)
contráriocaso)( LNkx__________________________________________________________Exemplo: x(k) = (A B C D E) e zero fora, portanto N=5, N1=4, 4 L 4
k 0 1 2 3 4k 0 1 2 3 4
L = 4 E A B C D
L = 3 D E A B C
L = 2 C D E A B
L = 1 B C D E A
31410),1(
])1[(kkkx
kx
fora)3(
21420),2(])2[( 5 kx
kkkxkx
L = 0 A B C D E x(k)
L = +1 E A B C D 51410)1( kkkx
fora)4(
])1[( 5 kxkx
L 1 E A B C D
L = +2 D E A B C
fora)4(
51410),1(])1[( 5 kx
kkkxkx
fora)3(
62420),2(])2[( 5 kx
kkkxkx
L = +3 C D E A B
L = +4 B C D E A
fora)2(
73410),3(])3[( 5 kx
kkkxkx
84440),4( kkkxL +4 B C D E A
fora)1(
84440),4(])4[( 5 kx
kkkxkx
10)( NLkLk
contráriocaso)(
10se)(])[(
LNkx
NLkLkxLkx N
__________________________________________________
Exemplo: Seja x = (1, 2, 5, 3, 2), N = 5, (N 1) L (N 1) 4 L +4.
a) Calcular x[(k 1)5], L = 1>0.Quando k=0: 0 k L N 1 0 1 4 (falso) )(])[( LNkxLkx )4()15(])1[( 5 xxx Quando k 0: 0 k L N 1 0 1 4 (falso)
Portanto:
)(])[( LNkxLkx N )4()15(])1[( 5 xxx
)3,5,2,1,2()]3(),2(),1(),0(),4([])1[( 5 xxxxxkx
b) Calcular x[(k +1)5], L = 1<0.Quando k=4: 0 k L N1 0 5 4 (falso)
Portanto:
)(])[( LNkxLkx N )0()]1(54[])5[( 5 xxx
)12352()]0()4()3()2()1([])1[( xxxxxkxPortanto:
c) Calcular x[( k)5].Quando 0k4
)1,2,3,5,2()]0(),4(),3(),2(),1([])1[( 5 xxxxxkx
]5[])[( 5 kkx
Portanto: # )1,2,5,3,2()]1(),2(),3(),4(),0([])[( 5 xxxxxkx
Convolução circular
A convolução circular é baseada no deslocamento circular e é definida como:
1
0
)(])()([)()()( N
N
np kRnkxnhkxkhky
onde as sequências y(k) x(k) e h(k) têm comprimento N
1
0
0
])[()(N
nN
n
nkxnh
onde as sequências y(k), x(k) e h(k) têm comprimento N.
A convolução circular é similar a convolução linear, exceto que ambas as funções y(k) e x(k) devem ter o mesmo comprimento.
Enquanto a operação de soma da convolução linear aumente o comprimento da sequência resultante, com a convolução circular os novos termos circularão de volta ao início da sequência.
_______________________________________ 2
Exemplo: Seja x = (1,2,5) e h = (2, 1, 2), N=3:
0
3])[()()()()(n
mkxmhkxkhky
1)1()2()2()1()0()0(])2[()2(])1[()1()0()0()0( 33 xhxhxhxhxhxhy
10)0()2()1()1()2()0()2(
15)2()2()0()1()1()0(])1[()2()0()1()1()0()1( 3
xhxhxhy
xhxhxhxhxhxhy
Portanto: y = (1,15, 10) #.
Propriedades da DFT
Sendo X(n) a FDT de x(k), ou seja, X(n) ) = DFT[x(k),], então:
Circular time shift2
Lj
P P 0 L N 1
1,...,0),(]})([{
NnnXeLkxxDFTnL
Nj
N
1 21 2
)()(]})([{N nk
NjL nk
Nj
LkNLkLkDFT___________________________________
Prova: Para 0 L N1
Substituindo m por m=kL+N na primeira e m=kL na segunda soma:
0
)()(]})([{Ln
N
n
NN eLkxeNLkxLkxxDFT
22
Como então
1
0
)(21 )(
2
)()(]})([{LN
m
LmnN
jN
LNm
NLmnN
j
N emxemxLkxxDFT
1)(
2
nN
Nj
Como , então 1 Ne
N
m
LmnN
jLN
m
LmnN
jN
LNm
LmnN
j
N emxemxemxLkxxDFT
1
0
)(21
0
)(21 )(
2
)()()(]})([{
a partir da qual se obtém a resposta
nLN
jN
m
nmN
j
mmLNm
eemx
21
0
2
00
)(
a partir da qual se obtém a resposta.
Teorema da convolução circular
1,...,0),()()}()({ NnnXnHkxkhDFT
Prova: usando o teorema circular time shift
]})[({)(]})[()({)}()({11
kxDFThkxhDFTkxkhDFT N
N
N
N
___________________________________
)()()()(21
0
00
nXnHnXehk
NjN
NN
________________________________
Portanto, se , então
Multiplicação por exponencialMultiplicação por exponencial
P
])[(})({2
N
kMN
j
MnXekxDFT
222
___________________________________
Prova:
onde o deslocamento circular em frequência leva em consta que o índice de X está no intervalo
])[()(})({221
0
2
N
knN
jkMN
jN
k
kMN
j
MnXeekxekxDFT
Multiplicação no tempo
o de o des oca e o c cu a e equê c a eva e co s a que o d ce de es á o e va o0,...,N1.
Multiplicação no tempo
)()(1
)}()({ nYnXN
kykxDFT ___________________________________
Prova: Usando o teorema da multiplicação,
})({)(1
})()({1
)}()({211 2
ekxDFTYN
eYkxDFTN
kykxDFTk
NjNN k
Nj
)()(1
])[()(1 1
0
00
nYnXN
nXYN
NN
N
N
O desafio agora é usar a propriedade de convolução da DFT para computar a sequência de saída y(k), uma vez que existem dois obstáculos:
i) A convolução definida com a DFT é circular (não linear);i) A convolução definida com a DFT é circular (não linear);ii) As sequências devem ter o mesmo comprimento.
Pode-se resolver esses problemas estendendo-se as sequências h(k) e x(k) com zeros suficientes, tal que tenham o mesmo comprimento: L N+M1.Neste caso define-se:
]0,...,0,0),1(),...,1(),0([ Nxxxxe
LN1 zeros
]0,...,0,0),1(),...,1(),0([ Mhhhhe
LM1 zeros
e computa-se a convolução circular entre sequências
])[()()()()(1M
khkkhk
onde, novamente, limita-se (em vez de L1) porque he é nulo fora daquela faixa.
])[()()()()(0
Leeeee kxhkxkhky
1,...,0 M
Devido as sequências serem zero padded, pode-se verificar queDevido as sequências serem zero padded, pode se verificar que
para todo n = 0,..., L1 e , desde que L N+M1.
)(])[( Lkxkx Le
1,...,0 M
zeros zeros
x h y
0 N1 N+M1 0 M1 N+M1 0 N+M2
Consequentemente, y(k) = ye(k) para n = 0,..., L1 e, portanto,
onde
}1,...,0),()({)( LnnXnHIDFTky ee
onde}1,...,0),({)( LkkhDFTnH ee
}1,...,0),({)( LkkxDFTnX ee
Concluindo, se forem restringidos os comprimentos para N1 = N2 e N > (2N1 1), então a convoluçãoConcluindo, se forem restringidos os comprimentos para N1 N2 e N (2N1 1), então a convoluçãoé igual à convolução circular:
Os comprimentos de x1(k) e x2(k) podem ser feitas iguais acrescentando-se zeros à sequência com i tcomprimento menor.
Portanto, assim como a TF contínua substitui a convolução em sistemas de tempo contínuo, a DFT pode ser usada para substituir a convolução linear para sistema de tempo discreto.p p ç p p
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