1ª ficha de trabalho
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ESCOLASECUNDÁRIASÁDEMIRANDAFichadetrabalhonº1 12º5/9Setembro2008
Fernanda Carvalhal 1
1. Considereasfunçõesreaisdevariávelrealfegdefinidaspor
1.1. f x( ) = 2+ log3 2
x−1
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟eg x( ) = 2
1−3x−2
1.2. Determineodomíniodecadaumadasfunções.
1.3. Determineascoordenadasdospontosdeintersecçãodográfico de f com os eixos coordenados.
1.4. Indique,justificando,ovalorlógicodaproposição
∀x1 ,x2∈Dg
,g x1( ) < g x2( )⇒ x1 < x2 .
1.5. Caracterizeafunçãoinversadef,indicandoocontradomíniodef.
1.6. Indiqueodomíniodegofbemcomoasuaexpressãoanalítica.
1.7. Quaisosvaloresdexqueverificamacondiçãog x( ) ≤ −1 .
2. Noiniciode2004foramlançadasnumlago1000trutascomumanode idade.Onumerodetrutas
vivas,N,decorridosntanos,édadopor
�
N t( ) = a × 0,9t ,t ≥ 0
2.1.Digajustificando,qualovalordea.
2.2.Quandohouvermenosde100trutasnolagodeveráproceder‐seaorepovoamento.Emqueano
seprevêquetalaconteça?
2.3.Qualapercentagemdereduçãoanualdonumerodetrutas?
3.OvalorVdeumcomputador,emmilharesdeeuros,decorridostanosapósasuaaquisiçãoédadopor
V t( ) = k ×3−0,7t +0,2,t ≥0 .
3.1. Umcomputadorcustou1200euros.Proveque,nestecaso,k=1.
3.2. Quantos anos serão necessários para que o valor de um computador fique reduzido a
metadedopreçodecompra.
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3.3. CalculeV t +1( )− V t( ) einterpreteoresultadoobtido.3.4. ConstruaográficodeVediga, justificando,qualovalordocomputadoraofimdemuito
tempo.
4. Sabe‐sequeumadeterminadasubstânciasedesintegrasendoamassa,emgramas,aofimdetanos,
dadaporm t( ) = a × e−kt , t ≥ 0 .4.1. Sabe‐se que amassa inicial de 2g está reduzida ametade ao fim de 6meses. Determine a e k e
verifiquequem t( ) = 2−2t+1 .
4.2.Verifiquequem t +1( ) −m t( ) édirectamenteproporcionalam(t)
5. AleidoequilíbriotérmicodeNewtondizqueatemperaturadeumcorponumdeterminadoinstante
dependeda temperaturaambienteeda temperatura inicialdeste.Observou‐sea temperaturaTde
umcorpo,decorridostminutosapóselesercolocadonumdeterminadoambienteeverificou‐seque
estasduasvariáveisestavamrelacionadaspelomodelo:
T t( ) =10+90×2−kt (T,temperaturaemoCe,t ,tempo,emminutos]
5.1. Qualeraatemperaturainicialdocorpo?
5.2. Sabe‐sequedecorridaumahoraatemperaturadocorposeráde
�
20oC.Provequeovalor
deké,nestasituação,aproximadamente0,05.
5.3. Com o auxilio da calculadora gráfica conjecture um valor para a temperatura ambiente.
Justifiquearespostaapresentandoosgráficosqueconsiderepertinentes.
6. Onumeromáximodehoras,N,queumoperáriopodetrabalhar,pordia,dependedonívelderuídono
localdetrabalho,d,emdecibéis.EstenumeroédadoporN d( ) = 13− 311d500 .
6.1. O nível de ruído produzido por um martelo pneumático em laboração é de
aproximadamente80dB.Qualonumeromáximodehorasqueumoperáriopoderátrabalharcom
ummartelopneumático,pordia.
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6.2. Uma empresa está impedida de trabalhar em turnos de 8 horas diárias pois o nível de
ruídoédemasiadoalto.Paraquevalordeverábaixaronívelderuídodemodoaquepossalaborar
8horaspordia.
6.3. Escrevaumaexpressãoquepermitadeterminaronívelderuídoconhecidoonumerode
horasqueépermitidotrabalhar.
7. Foramdepositados,noiniciode2002,1000eurosàtaxaanualde2%ecomcapitalizaçãoautomática
anual.
7.1. QualocapitalemJaneirode2003?
7.2. Qualseráocapitaldecorridosnanosaposodepósito?
7.3. Quantosanosserãonecessáriosparaocapitalduplicar?
8. A intensidade da luz, L, em cal.cm−2s−1 , varia com a profundidade de um determinado lugar, no
oceano. Suponha que num determinado local a intensidade luminosa está relacionada com a
profundidade,h,emmetros,pelaexpressãoL = 8 × 2,5−h ,h ≥ 0 .
8.1. Qualaintensidadedaluzàsuperfície?
8.2. Aqueprofundidadeaintensidadedaluzéinferiora3 cal.cm−2s−1 ?
8.3. Determine o valor de x que verifica a condição L x + h( ) = 12L h( ) e interprete o valor
obtidonocontextodoproblema.
8.4. Encontre uma expressão que lhe permita determinar a profundidade conhecida a
intensidadedaluz.
8.5. Utilizeaspotencialidadesdasuacalculadoraparaconjecturarovalordaintensidadedaluz
emlocaismuitoprofundos.Expliquecomoprocedeuapresentandoosgráficosqueutilizou.
9. Apopulaçãodeáguiasreaisdeumparquenaturalsegueummodelodecrescimentologístico.Assim,
onumerodeáguias,N,decorridostanosdesdeoiniciode2000édadoporN t( ) = 5501+ 4e−0,1t
, t ≥ 0 .
9.1. Quantaságuiasexistiamnoiniciode2000?
9.2. Qualaprevisãodonumerodeáguiasnofimde2009?
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9.3. Sabe‐sequeafaseestacionariadestecrescimentoéiniciadaquandodecorreram ln 40,1
anos.
Qualseráonumerodeáguiasnestaaltura?
9.4. Ao fim demuito tempo o crescimento destas populações émuito pequeno havendo um
supremoquenuncaéatingido.Diga,justificandoconvenientemente,qualéestevalor.
10. Paramediramagnitudedeumsismousa‐seaescalaabertadeRichterquearelacionacomaenergia
libertada. Sendo M a magnitude de um sismo e E a energia libertada, em Joules verifica‐se que
E = 105,2+1,4M .
10.1. OterramotodeDezembrode2004,emSamatrafoiumdosdemaiormagnitudedequehá
registo:teveumamagnitudede9,1.Qualaquantidadedeenergialibertada?
10.2. Escreva uma expressão que lhe permita determinar a magnitude conhecida a energia
libertada.
10.3. Qualarazãoentreasenergias libertadaspordoissismoscujasmagnitudesdiferemde3
décimas.
11. A relação de Ehrenberg, lnP = ln2,4 + 0,0184h relaciona o peso P, em kg, com a altura h, em
centímetros,derapazescomidadeentreos5eos13anos.
11.1. OJoãopesa35kg.Segundoestemodeloqualdeveráserasuaaltura?
11.2. OLuísmede1,5metrose,segundoestemodeloéconsideradomagro.Quevalorespoderá
teropesodoLuis’
11.3. Escrevaumaexpressãoquepermitadeterminaraalturaemfunçãodopeso.
11.4. Determine o valor de x que verifica a condição h P + x( ) − h P( ) = 30 e interprete oresultadoobtido.
11.5. Prove que P = 2,4 × e0,0184h e verifique que P h + 20( )P h( ) é constante. Que significa esta
constante?
12.Seja un( ) umaprogressãoaritméticaemqueoquintotermoé log4 24( ) eooitavotermoé log4 3( ) .
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12.1.Provequearazãodaprogressãoé −
12determineoprimeirotermo.
12.2.Verifiquequeotermogeraldasucessãoé un =
8 − n2
+ log4 3 .
13. Sabe‐seque vn( ) éumaprogressãoaritméticacujarazãoé −
12 .Sejaainda wn( ) umasucessão
definidapor w n = 2 × 9vn .Proveque wn( ) éumaprogressãogeométricaedetermineasuarazão.
14.Seja un( ) umaprogressãogeométricadetermospositivosederazão4e vn( ) asucessãodefinidaporvn = log8 un .
14.1.Proveque vn( ) éumaprogressãoaritméticaderazão
23.
14.2. Verifique que a soma dos n primeiros termos de vn( ) é dada, em função de u1 por
Sn = n × log8 u1 × 2n−1( ) .
15. Indiqueoconjuntodosnúmerosreaisquesãosoluçõesdacondição
x − 5( ) × log4 4 − x( ) ≥ 0 .
16. Caracterizeafunçãoinversadecadaumadasfunçõesdefinidaspor:
16.1. f x( ) = ex − 3
2 + ex+1
16.2. g x( ) = 2 − log4 x
2 − log2 x
16.3. h x( ) = ln 1− ex( )
16.4. p x( ) = 2
1ln x−3
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