127 5xÚ - pkuaerocontrol/wangjinzhi/08ode/lecture_27.pdf ·...
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127ù ��5XÚ
December 28, 2010
() December 28, 2010 1 / 25
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() December 28, 2010 2 / 25
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(II) õõõ������ááá���²²²ïïï:::"""
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x1 = x2
x2 = −gl sinx1 −
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() December 28, 2010 3 / 25
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dt= y + x(1− x2 − y2)
dy
dt= −x+ y(1− x2 − y2)
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dt= r(1− r2), d�
dt= −1. ���
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() December 28, 2010 4 / 25
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() December 28, 2010 5 / 25
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©©©���:::µµµ� = 0"""����dddKKKCCC������§§§AAA�������÷÷÷¢¢¢¶¶¶BBBLLLJJJ¶¶¶§§§���
²²²ïïï:::x = 0ddd½½½CCC���ØØؽ½½§§§lll ©©©���ÑÑÑ###���½½½���²²²ïïï
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XXXJJJ���"""
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y = x+ y(�− x2 − y2)
() December 28, 2010 7 / 25
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(0, 0)������²²²ïïï:::§§§ÙÙÙäää���'''ÝÝÝ���µµµ
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⎡⎣ � −1
1 �
⎤⎦ÙÙÙAAA���������� = �± i"""���ëëëêêê�dddKKKCCC������§§§�©©©OOO÷÷÷¢¢¢¶¶¶���þþþ���
ÚÚÚeee���BBBLLLJJJ¶¶¶§§§:::(0, 0)ddd½½½������:::CCC¤¤¤ØØؽ½½������:::"""
() December 28, 2010 8 / 25
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� = 1
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���444������x2 + y2 = �"""
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:::(0, 0)CCC¤¤¤ØØؽ½½������:::§§§lll ©©©���ÑÑÑ444������x2 + y2 = �§§§ùùù«««
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() December 28, 2010 9 / 25
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x = �+ x2
y = y
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√−�, 0)§§§P:::éééAAA���äää���'''ÝÝÝ���AAA���
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() December 28, 2010 10 / 25
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dt= F (x), x ∈ RN .
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mmmNNNÈÈÈ333$$$ÄÄÄLLL§§§¥¥¥´ØØØäää ���§§§������mmm���NNNÈÈÈ
���dV = dx1dx2 ⋅ ⋅ ⋅ , dxN���CCCzzzÇÇÇAAA÷÷÷vvv
1
dV
d
dt(dV ) =
N∑i=1
∂
∂xi
dxidt
=
N∑i=1
∂Fi(x)
∂xi< 0
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() December 28, 2010 11 / 25
áÚf
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(ii) ���333������A���������§§§§§§333���§§§¤¤¤(((½½½���666ÄÄÄeee ���A¶¶¶
(iii) 333Aþþþ���666´ÌÌÌ������§§§===éééx £££x ∈ A¤¤¤:::���???ÛÛÛ������§§§333vvv���
������mmmSSS§§§ÏÏÏLLLA¥¥¥x:::���;;;���ooo¬¬¬222ggg²²²LLLùùù���������¶¶¶
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() December 28, 2010 12 / 25
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½½½���²²²ïïï:::´���{{{üüü���áááÚÚÚfff§§§ÙÙÙ���êêê���"""¶¶¶���½½½���²²²ïïï:::
ÏÏÏLLLHopf©©©���¤¤¤���444���������§§§§§§BBB´������áááÚÚÚfff¶¶¶
äääkkk������êêê���êêê���áááÚÚÚfff¤¤¤���ÛÛÛ%%%áááÚÚÚfff£££···bbbáááÚÚÚfff¤¤¤"""
333ÑÑÑÑÑÑXXXÚÚÚXXXÚÚÚ¥¥¥~~~kkkooo«««áááÚÚÚfffµµµ½½½~~~áááÚÚÚfff§§§±±±ÏÏÏáááÚÚÚfff§§§
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() December 28, 2010 13 / 25
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(IV) ···bbbXXXÚÚÚ
···bbbyyy���´ØØØNNN\\\???ÛÛÛ���ÅÅÅÏÏÏ������(((½½½555������555XXXÚÚÚ£££½½½���½½½555
KKK¤¤¤���)))������««« uuukkk���«««������;;;���[[[ØØØEEE���$$$ÄÄħ§§···bbb$$$ÄÄÄ
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���§§§nnn���CCCþþþggg£££���ÛÛÛÔÔÔ[[[���§§§§§§ÙÙÙ)))´���±±±ÏÏÏ���ééé···ÏÏϧ§§´111
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ØØØUUU°°°(((üüü���UUUíííÃÃÃ{{{���ÏÏÏýýý������mmm���333XXX���«««éééXXX§§§£££ããã
ÐÐÐ������¯aaa555"""
ÙÙÙ§§§+++���¥¥¥kkkéééõõõaaaqqq���yyy���"""
() December 28, 2010 14 / 25
Lorenz XÚ
~~~1 Lorenz XXXÚÚÚ ⎧⎨⎩x = �(y − x)
y = −xz + rx− y
z = xy − bz
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���§§§zLLL«««RRR���������§§§ÝÝÝ©©©ÙÙÙ���������555rrrÝÝݧ§§−xzÚÚÚxy���������555
���§§§r´aaa|||êêꧧ§§§§LLL«««ÚÚÚåååééé666ÚÚÚëëë666���°°°ÄÄÄÏÏÏ���ÚÚÚ³³³���ééé666
ÏÏÏ������'''§§§´XXXÚÚÚ���ÌÌÌ���������ëëëêêê"""� =�
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OOO���©©©fffÊÊÊ555XXXêêêÚÚÚ999DDD���XXXêêꤤ¤§§§b���LLL���ééé666pppîîî'''kkk'''���
///'''"""
() December 28, 2010 15 / 25
Lorenz XÚ
LorenzXXXÚÚÚ���ÑÑÑÑÑÑXXXÚÚÚµµµ������mmmNNNÈÈÈ������mmmCCCzzzÇÇÇ���
1
V
dV
dt= divV =
∂x
∂x+∂y
∂y+∂z
∂z= −(� + b+ 1) < 0, (� > 0, b > 1)
²²²ïïï:::µµµ
£££1¤¤¤���0 < r < 1���§§§===kkk������²²²ïïï:::
O : (x, y, z) = (0, 0, 0)
£££2¤¤¤���r > 1���§§§kkknnn���²²²ïïï:::⎧⎨⎩O : (x, y, z) = (0, 0, 0)
c1 : (x, y, z) = (√b(r − 1),
√b(r − 1), r − 1)
c2 : (x, y, z) = (−√b(r − 1),−
√b(r − 1), r − 1)
() December 28, 2010 16 / 25
Lorenz XÚ
���gggCCCqqqXXXÚÚÚ���½½½555©©©ÛÛÛ²²²ïïï:::���½½½555"""
(1) ���0 < r < 1���§§§²²²ïïï:::O:::���½½½���"""
(2) ���1 < r < r0 = 24.74���§§§O���ØØؽ½½���²²²ïïï:::§§§c1ÚÚÚc2���½½½���
:::"""
(3) ���r = r0���uuu)))¿¿¿ÅÅÅ©©©���§§§ÑÑÑyyyØØؽ½½���444������"""
(4) ���r > r0 = 24.74���§§§333,,,r������SSS§§§ÙÙÙ)))���±±±ÏÏÏ)))§§§333,,,���
r������SSS§§§ÙÙÙ)))���ÛÛÛ%%%áááÚÚÚfff§§§���)))···bbb$$$ÄÄÄ"""
() December 28, 2010 17 / 25
Lorenz XÚ
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
t
x,y,
z
a=10, r=0.5, b=8/3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−5
0
5
10
15
20
t
x,y,
z
a=10, r=12, b=8/3
ããã1 ããã2
ããã1µµµ���������½½½²²²ïïï:::(0, 0).
ããã2µµµØØؽ½½²²²ïïï:::(0, 0)§§§½½½²²²ïïï:::(±5.416,±5.416, 11)
() December 28, 2010 18 / 25
Lorenz XÚ
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20
−50
0
50−10
0
10
20
30
40
50
x
a=10, r=28, b=8/3
y
z
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
t
x,y,
z
a=10, r=28, b=8/3
ããã3 ···bbbáááÚÚÚfff""" ããã4 GGG���x(t), y(t), z(t)
() December 28, 2010 19 / 25
·bXÚ�A5
SSS333���ÅÅÅ555"""···bbb«««���111���LLLyyyÑÑÑ���ÅÅÅØØØ(((½½½555§§§ùùù«««ØØØ(((½½½555
ØØØ´555 uuuÜÜÜ���¸������ÅÅÅÏÏÏ���éééXXXÚÚÚ���KKK���§§§ ´XXXÚÚÚggguuu���
)))���"""
ÐÐÐ���¯aaa555"""éééuuuvvvkkkSSS333���ÅÅÅ555���XXXÚÚÚ§§§ÐÐÐ������CCC§§§;;;������
CCC"""���ééé···bbbXXXÚÚÚ§§§lllüüü������~~~���CCC���ÐÐÐ���ÑÑÑuuu���üüü^;;;���333²²²
LLL������mmmüüüzzz���§§§���UUUCCC���vvv���§§§===¤¤¤¢¢¢“������ÎÎÎfff§§§¸���ZZZ
ppp///"""
() December 28, 2010 20 / 25
·bXÚ�A5
HHH{{{555!!!kkk...555"""···bbb$$$ÄÄÄ333ÙÙÙ···bbbáááÚÚÚ���SSS´������{{{²²²���"""XXX
ÚÚÚ���±±±������···bbbáááÚÚÚfffSSSÜÜÜ���???ÛÛÛØØؽ½½���±±±ÏÏÏ;;;���999������SSS���
zzz���:::§§§===333kkk������mmmSSS···bbb;;;���²²²LLL···bbb«««���SSS���zzz������GGG
���§§§���···bbb´kkk...���§§§LLLyyy������NNN½½½"""
©©©���555"""···bbb$$$ÄÄÄ333������mmm¥¥¥���$$$ÄÄÄ;;;���333,,,���kkk���«««���SSS²²²LLL
ÃÃÃ���gggòòòUUU§§§©©©êêê������LLL«««ùùù«««ÃÃÃ���ggg���òòòUUU§§§äääkkkõõõ���§§§õõõ���
ggg(((���"""
ÚÚÚOOO555"""QQQkkk������Lyapunov���êêêÚÚÚëëëYYY���õõõÇÇÇÌÌÌAAA555"""
() December 28, 2010 21 / 25
·bXÚ�A5
···bbb333¢¢¢SSSóó󧧧¥¥¥LLLyyy���XXXÚÚÚ������§§§XXX···bbb$$$ÄÄĬ¬¬¦¦¦ÅÅÅ>>>XXXÚÚÚ
½½½>>>´XXXÚÚÚ���)))ØØØ555KKK���������§§§EEE¤¤¤SSS���¯KKK§§§ddd���III���³³³���ÚÚÚ
£££;;;"""
···bbbkkk^µµµ������ÏÏÏÕÕÕ§§§···ÜÜÜÔÔÔ���¿¿¿©©©KKKÜÜÜ���"""
() December 28, 2010 22 / 25
Chua¼£´XÚ
Chua¼¼¼£££´XXXÚÚÚµµµ⎧⎨⎩v1 =
1
C1
[v2 − v1R
− g(v1)],
v2 =1
C2
[v1 − v2R
+ i3
],
i3 =1
L[−v2 −R0i3],
(1)
v1§§§v2µµµ>>>NNNìììC1, C2üüüààà���>>>ØØا§§i3µµµÏÏÏLLL>>>aaaL���>>>
666§§§R,R0µµµ>>>{{{§§§g(v1)µµµÏÏÏLLL������555{{{|||���>>>666"""ÙÙÙ½½½ÂÂÂXXX
eeeµµµ
g(v1) = Gbv1 +1
2(Ga −Gb)(∣v1 +Bp∣ − ∣v1 −Bp∣) (2)
() December 28, 2010 23 / 25
·báÚf
−40
−20
0
20
−30−20
−100
10
0
0.1
0.2
yx
z
−20−10
010
20
−10
−5
0
5
10−2
−1
0
1
2
xy
z
() December 28, 2010 24 / 25
·báÚf
−5
0
5
−4−2024
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
yx
z
−10−505−50
5−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
xy
z
−100
1020
−10
0
10
−15
−10
−5
0
yx
z
−50
5
−0.50
0.5−4
−2
0
2
4
xy
z
() December 28, 2010 25 / 25
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