1. základní poznatky · 2011. 5. 23. · @001 1. základní poznatky umět řešit rovnice a...
Post on 22-Dec-2020
2 Views
Preview:
TRANSCRIPT
@001
1. Základní poznatky
Umět řešit rovnice a nerovnice je jedna ze stěžejních úloh středoškolské matematiky. Řešit
bez problémů základní rovnice by měl umět každý středoškolák, který získal maturitu
(jakoukoli, ne nutně z matematiky).
Teoretický základ řešení rovnic a nerovnic je obsažen v kurzech:
Výroková logika,
Množiny obecně,
Číselné množiny.
Z těchto kurzů shrneme poznatky, které budeme potřebovat:
┌──── výčtem prvků
│
** množina je určena ───┤
│
└─── charakteristickou vlastností
tj. výrokovou formou
Množiny značíme velkými písmeny a podrobnosti zapisujeme do složených závorek (Ω –
univerzální množina):
** { x Ω ; V(x) } - pravdivostní množina výrokové formy V(x)
** podmnožina množiny je definována takto: A B <=> x Ω : x A => x B
což můžeme zapsat i takto:
{x Ω; V(x) } {x Ω; W(x) } <=> x Ω : V(x) => W(x)
Ještě připomeňme definici rovnosti množin:
** rovnost množin A = B <=> A B B A
Následující věta shrnuje všechna základní pravidla, pomocí kterých rovnice a nerovnice
upravujeme do tvarů lépe řešitelných. Všimněte si, že jde vesměs o implikace a ne o
ekvivalence.
Věta: Nechť a(x), b(x), c(x) jsou názvové formy v R (reálná čísla). Pro každé reálné číslo
x platí následující implikace:
výchozí => následná c(x) je libovolný platný výraz pro
každé x R
rovnosti (rovnice)
a(x) = b(x) => a(x) + c(x) = b(x) + c(x) přičíst k oběma stranám
a(x) - c(x) = b(x) - c(x) odečíst od obou stran
a(x) = b(x) c(x) ≠ 0 => a(x)c(x) = b(x)c(x) vynásobit, je-li c(x) ≠ 0, obě strany
a(x)/c(x) = b(x)/c(x) vydělit, je-li c(x) ≠ 0, obě strany
a(x) = b(x) => a2(x) = b
2(x) umocnit obě strany
a(x) = b(x) a(x) > 0 => √a(x) = √b(x) odmocnit obě strany, při a(x) > 0
nerovnosti (nerovnice)
a(x) < b(x) => a(x) ± c(x) < b(x) ± c(x) přičíst/odečíst na obě strany
a(x) < b(x) c(x)>0 => a(x)c(x) < b(x)c(x) vynásobit obě strany bez změny relace
c(x)<0 => a(x)c(x) > b(x)c(x) vynásobit obě strany a obrátit relaci
0 ≤ a(x) < b(x) => a
2(x) < b
2(x) umocnit/odmocnit obě strany jen, je-li
menší výraz nezáporný √a(x) < √b(x)
Definice: Nechť L(x) a P(x) jsou dvě názvové formy v R. Výroková forma
L(x)=P(x)
se nazývá rovnice.
Výrokové formy
L(x)<P(x) L(x)≤P(x) L(x)≥ P(x) L(x)>P(x)
se nazývají nerovnice.
Názvová forma L(x) se nazývá levá strana rovnice (nerovnice), názvová forma P(x) se
nazývá pravá strana rovnice (nerovnice).
Definice: Řešit rovnici L(x)=P(x) v R znamená určit množinu řešení
S = {x R ; L(x)=P(x) }
výčtem nebo intervalem.
Řešit rovnici L(x)=P(x) v M znamená určit množinu řešení
SM = {x M ; L(x)=P(x) } = S ∩ M
výčtem nebo intervalem.
Poznámka: Definice řešení nerovnosti je táž, jen místo = napíšeme některé z relačních
znamének < > ≤ ≥ .
Poznámka: Nejčastěji množinou M bývá množina přirozených čísel (řešte rovnici pro
přirozená čísla) nebo množina celých čísel. Někdy jde o množinu kladných reálných čísel.
Může jít však teoreticky o jakoukoli číselnou množinu.
Poznámka: Máme-li řešit rovnici (nerovnici) v nějaké podmnožině M reálných čísel,
provedeme to tak, že rovnici vyřešíme v množině reálných čísel, a pak vytvoříme průnik
výsledné množiny S a množiny M.
pokračování
@003
zpět
Příklad: Řešte v R rovnici
xx 132
Řešení: rozbor úlohy
x R : jestliže xx 132
celou rovnici umocníme na druhou
x2 - 3 = (1 + x)2 na levou stranu použijeme známý vzorec
x2-3=1+2x+x2 od celé rovnice odečteme x2
-3 = 1 + 2x od celé rovnice odečteme 1
-4 = 2x celou rovnici vydělíme 2
pak -2 = x x = -2
je to jen kandidát na řešení rovnice, protože
postupné úpravy jsou logicky pouze implikace
}2{}2;{}13;{2
xRxxxRxS
Patří -2 do množiny S nebo nepatří ?
2) zkouška:
SPLP
L2)2()2(
1)2(1)2(
1343)2()2(2
To znamená, že množina řešení je prázdná, neboť jsme měli jediného kandidáta a ten zklamal,
jak ukázala zkouška.
S = Ø
VÝSTRAHA:
Bohužel, stává se, že studenti, kteří nepochopili logickou podstatu řešení rovnic provádějí
zkoušku tak, že dosadí do původní rovnice a upravují obě strany vlastně postupem, který
nazýváme rozbor.
Toto je špatný postup! ->
11
)1(34
213)2(
)2()2(
2
2
PL
<- Toto je špatný postup!
A protože na konci jim vyjde pravdivý výrok, pokládají to za ověření správnosti, že zkouška
vyšla, tedy –2 je řešením (v našem případě).
Prosím, takto zkoušku nikdy neprovádějte. Je to logicky špatně a může vás to dovést
k chybám.
Následující příklad je logicky jednodušší. Vyřešte jej a vysvětlete proč je logicky
jednodušší.
Úkol: Řešte v R rovnici x = x + 1.
výsledek
@005
Bohužel. Někde jste udělali chybu.
znovu prostudujte
@007
Bohužel. Někde jste udělali chybu.
znovu prostudujte
@009
zpět
NEROVNICE
Řešení nerovnic probíhá stejně. Zkouška se musí převážně provádět obrácením analýzy.
Kromě ostražitého sledování nul při dělení a nezáporných čísel při odmocňování jako u rovnic
musíme být ostražití i na nezápornost při umocňování a dávat si pozor na změnu znaménka
nerovnosti při násobení záporným číslem.
Příklad: Řešte nerovnici v R
xx
6
1
3
1
2
Řešení: rozbor úlohy
x R : jestliže x
x
6
1
3
1
2
celou nerovnici vynásobíme 6, je to číslo kladné a
proto se relační znaménko nezmění
3x - 2 < 1 + 6x naší snahou je konstanty dostat na jednu stranu a
členy obsahující x na druhou od rovnítka
od celé nerovnice odečteme 3x
-2 < 1 + 6x - 3x
-2 < 1 + 3x
od celé nerovnice odečteme 1
-2 – 1 < 3x
-3 < 3x
celou nerovnici vydělíme 3, je to kladné číslo a
proto se relační znaménko nezmění
pak -1 < x x > -1
kandidátem řešení nerovnice je interval (-1; +∞)
(***) ),1(}1;{6
1
3
1
2; xRxx
xRxS
zkouška: je možná jen obrácením rozboru, protože kandidátů na řešení je nekonečně mnoho
x R : jestliže - 1 < x
- 3 < 3x
3x - 2 < 1 + 6x
pak xx
6
1
3
1
2
tedy xx
RxS6
1
3
1
2;),1(
což spolu s (***) znamená rovnost S = (-1; +∞)
pokračování
@011
zpět
Řešte v R nerovnici 12
2
x
Řešení: číslo 2 se nesmí dostat do jmenovatele – rozdělí nám číselnou osu na dva intervaly
x -∞ 2 2 +∞
x - 2 — +
rozbor
x R : jestliže pak
12
2
x
2 > x – 2
4 > x
pak (-∞; 4) jestliže
x R : jestliže pak
12
2
x
2 < x – 2
4 < x
pak (4; +∞) jestliže
kandidáti
řešení (-∞; 2)∩ (-∞; 4) = (-∞; 2) (2; +∞)∩ (4; +∞) = (4; +∞)
zkouška se provede obrácením postupu (modrá cesta) – naznačeno šipkou
řešení sjednocení dílčích řešení (-∞,2) (4,+∞) je řešení celkové
Příklad: Řešte v N nerovnici
12
2
x
Řešení: Vyřešit zadanou nerovnici v množině přirozených čísel N znamená vyřešit ji
v množině reálných čísel R a výsledek podrobit průniku s množinou N.
V množině reálných čísel R jsme tuto nerovnici právě vyřešili. Řešením jsou všechna reální
čísla z intervalu x (-∞; 2) (4; +∞)
Řešení v N je tedy
x ( (-∞; 2) (4; +∞) ) ∩ N = {1; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; ...}
Úkol: Řešte v N nerovnici
12
2
x
výsledek
@013
Bohužel. Není to zcela tak, jak jste zjistil. Asi jste dělil výrazem (x-1). Zvažte, kdy je to
možné.
znovu prostudujte
@002
zpět
ROVNICE
Příklad: Řešte v R rovnici
xx
6
1
3
1
2
Řešení: pomocí úprav (přičíst k rovnici, vynásobit rovnici, atd. viz výše) se pokusíme získat
takovou rovnici, jejíž řešení dokážeme snadno určit.
1) Budeme provádět rozbor úlohy.
x R : jestliže x
x
6
1
3
1
2
celou rovnici vynásobíme 6
3x - 2 = 1 + 6x naší snahou je konstanty dostat na jednu stranu a
členy obsahující x na druhou od rovnítka
od celé rovnice odečteme 3x
-2 = 1 + 6x - 3x
-2 = 1 + 3x
od celé rovnice odečteme 1
-2 – 1 = 3x
-3 = 3x
celou rovnici vydělíme 3
pak -1 = x x = -1
je to jen kandidát na řešení rovnice, protože
postupné úpravy jsou logicky pouze implikace
Protože postupné úpravy jsou logicky implikace, je množina řešení původní rovnice
podmnožinou množiny řešení výsledné rovnice.
}1{}1;{6
1
3
1
2; xRxx
xRxS
Množina řešení S je podmnožinou jednoprvkové množiny obsahující prvek –1. Jsou tedy jen
dvě možnosti a to: -1 patří do S (-1 S) nebo –1 nepatří do S (-1 S).
To zjistíme tak, že dosadíme do původní rovnice. Vzpomeňte si, jak se dokazují identity:
nutno dosadit do levé strany původní rovnice L(x) a do pravé strany původní rovnice P(x) za
x nalezené číslo -1. Tato fáze řešení se nazývá zkouška.
2) zkouška
SPL
P
L
1)1()1(
6
5)1(
6
1)1(
6
5
3
1
2
1)1(
Zkouška rozhodla a číslo -1 je skutečně řešením zadané rovnice.
Následující příklad ukáže, že tomu nemusí vždycky tak být.
pokračování
@004
zpět
Úkol: Řešte v R rovnici x = x + 1.
Řešení: rozbor úlohy
x R : jestliže x = x + 1 od celé rovnice odečteme 1
pak 0 = 1
toto je výrok nepravdivý
rovnost neplatí
pro řešení nemáme žádného kandidáta a tady
množina řešení je prázdná S = Ø
}10;{}1;{ RxxxRxS
Protože podmnožinou prázdné množiny může být pouze prázdná množina je S = Ø. A je to
konečné, aniž bychom museli dělat zkoušku. V tom je to logicky jednodušší.
Říkáme, že rovnice nemá žádné řešení.
Příklad: Řešte v R rovnici
11
122
xx
xx
Řešení: rozbor úlohy
x R : jestliže 1
1
122
xx
xx
uvědomme si, že levá strana není pro x=-1
definována, nemá smysl;
na levou stranu použijeme známý vzorec
11
)1(2
xx
x
levou stranu vykrátíme
pak x + 1 = x + 1
na obou stranách rovnice máme stejný výraz, což
znamená, že ať za x dosadíme jakékoli reálné
číslo, vždycky se bude levá strana L(x) rovnat
pravé straně P(x).
kandidáti na řešení rovnice jsou všechna reálná
čísla, až na –1, kdy nemá původní rovnice smysl
(*) }1{\11
12;
2
Rxx
xxRxS
zkouška:
Kandidátů na řešení rovnice je nekonečně mnoho a tak provést zkoušku dosazením do levé a
pravé strany technicky nedokážeme. Jediná cesta je pokusit se projít úpravami opačným
směrem, tj. dokázat obrácenou implikaci.
x R : jestliže
x + 1 = x + 1
levou stranu vynásobíme vhodně napsanou 1 a
to
11
1
x
x
1)1(
1
1xx
x
x
POZOR, takto lze napsat 1 pouze pro x -1
proto musíme –1 vyloučit z dalšího postupu
11
)1(2
xx
x
čitatele levé strany rozepíšeme podle vzorce
pak 11
122
xx
xx
čímž jsme dosáhli původní rovnice
ovšem cestou jsme museli vyloučit -1
(**) }11
12;}1{\
2
xx
xxRxSR
Spojíme-li (*) a (**) dostáváme R\{-1} S R\{-1} a nezbývá než, že platí rovnost
množin
S = R\{-1} = (-∞; -1) (-1; +∞)
V takovémto případě říkáme, že rovnice má nekonečně mnoho řešení.
Poznámka: Právě předvedený příklad ukazuje, že v případě nekonečně mnoha řešení je
zkouška možná jen obrácením postupu rozboru. Musíme přitom pečlivě posoudit, jestli lze
opravdu jednotlivé kroky udělat, nebo je nutné některá čísla vyloučit ze hry. Jde o případy
dělení nulou, nebo odmocňování záporných čísel.
U nerovnic ještě musíme dát pozor na změnu nerovnosti při násobení nerovnosti záporným
číslem.
Poznámka: Všem příkladům jsme se dosud věnovali velmi podrobně včetně komentářů
jednotlivých kroků i formální stránce. A to proto, aby si všichni čtenáři řádně uvědomili, co
všechno je ve hře. Při běžném řešení (ne)rovnic to nikdo nedělá a nadále to nebudeme dělat
ani my. Neznamená to však, že by to v pozadí nezůstalo. Na to nezapomínejte.
Úkol: Řešte rovnici v R
22
92
12
32
x
x
x
x
rovnice má nekonečně mnoho řešení
rovnice má jediné řešení
rovnice nemá žádné řešení
zpět
@006
zpět
Správně. Porovnejte si postup.
Rozbor:
22
92
12
32
x
x
x
x
(2x + 3)(x + 22) = (2x + 9)(x + 12)
2x2 + 3x + 44x + 66 = 2x
2 + 9x + 24x + 108
14x = 42
x = 3
Zkouška:
5
3
25
15
223
932)3(
5
3
15
9
123
332)3(
2
2
P
L
=> L(3) = P(3) => S = {3}
Řešením rovnice v R je jediné číslo, a to 3.
Poznámka: Dosud jsme značili proměnnou rovnice písmenem x. To ale není nutné pravidlo.
Úkol: Řešte rovnici v R
2
3
3
2
23
5 tttt
rovnice má nekonečně mnoho řešení
rovnice má jediné řešení
rovnice nemá žádné řešení
zpět
@008
zpět
Správně. Porovnejte si postup.
Rozbor:
2
3
3
2
23
5 tttt
2(t + 5) - 3t = 2(t - 2) - 3(t - 3)
2t + 10 - 3t = 2t - 4 - 3t + 9
10 = 5
Což je nepravdivý výrok, tedy rovnice nemá řešení S = Ø .
pokračování
@010
zpět
Příklad: Řešte nerovnici v oboru C- (záporných celých čísel)
xx
6
1
3
1
2
Řešení: Nejprve nerovnici vyřešíme v R. Podle předchozího příkladu je řešením v R interval
<-1; +∞)
Řešením v C- je pak průnik řešení v R a množiny C
-, tedy
<-1; +∞) ∩ C- = {-1}
Příklad: Řešte v R nerovnici
12
2
x
Řešení: rozbor
U nerovnice nelze jednoduše vynásobit obě strany výrazem (x - 2), protože se nám to
rozpadá na dva případy. Buď je (x – 2) kladné, pak se znaménko nerovnosti nezmění, nebo je
(x – 2) záporné, a pak se znaménko nerovnosti změní. Číslo 2 samo je vyloučeno, neboť po
dosazení do levé strany nerovnice by se ve jmenovateli ocitla 0, což je zcela nepřípustné.
Rozdělme si číselnou osu na dvě části: vlevo a vpravo od čísla 2. Ve druhém řádku si
označme, v které části je výraz (x – 2) záporný a kde je kladný. V dalším řádku pak
provedeme rozbor zadané nerovnice. Dvojitá čára v tabulce symbolizuje, že je 2 nepřípustná.
x -∞ 2 2 +∞
x - 2 — +
rozbor
x R : jestliže
12
2
x
2 x – 2
4 x
pak <4; +∞)
x R : jestliže pak
12
2
x
2 x – 2
4 x
pak (-∞; 4> jestliže
kandidáti
řešení (-∞; 2)∩<4; +∞) = Ø (2; +∞)∩(-∞; 4> = (2; 4>
zkouška se provede obrácením postupu (modrá cesta) – naznačeno šipkou
v levé části se neprovádí, protože chybí kandidáti; dílčí řešení je prázdné
řešení sjednocení dílčích řešení Ø (2; 4> = (2; 4> je řešení celkové
Úkol: Řešte v R nerovnici
12
2
x
výsledek
@012
zpět
Řešte v N nerovnici 12
2
x
Řešení: Tuto nerovnici jsme vyřešili v R již dříve. V množině reálných čísel má nerovnice za
řešení interval x (2; 4>. V množině přirozených čísel je pak řešením dvouprvková množina
daná průnikem
x (2; 4> ∩ N = {3; 4}
Úkol: Řešte v N rovnici
(x-1)3 = 4(x-1)
2
Řešením je množina
množina jednoprvková: {5}
množina prázdná: Ø
množina dvouprvková: {1; 5}
zpět
@014
Bohužel. Buď neznáte operace s množinami, jmenovitě pak průnik, nebo vám uniká něco
podstatného. V prvním případě doporučujeme prostudovat kurz Množiny obecně. V druhém
případě prostudujte znovu tento kurz od začátku.
znovu prostudujte
@015
zpět
Správně. Nejprve rovnici (x-1)3 = 4(x-1)
2 musíme vyřešit v R a pak provést průnik řešení
s množinou N.
První krok, který se nabízí je dělení výrazem (x–1). To ale smíme udělat jen v případě, že to
není nula. Rozbor úlohy se tedy dělí na dva případy
podmínka rozbor zkouška
x – 1 = 0 rozbor dává jednoho kandidáta
řešení
x – 1 = 0
x = 1
L(1) = (1-1)3 = 0
3 = 0
P(1) = 4(1-1)2 = 0
2 =0
L(1) = P(1)
x – 1 ≠ 0 celou rovnici můžeme vydělit
nenulovým číslem (x-1)
dostáváme jednoho kandidáta
řešení
(x-1)3 = 4(x-1)
2
x-1 = 4
x = 5
L(5) = (5-1)3 = 4
3 =
64
P(5) = 4(5-1)2 = 4.4
2
= 4.16 = 64
L(5) = P(5)
závěr pro oba kandidáty řešení vyšla zkouška a tak jsou řešením v R
S = {1; 5}
V množině přirozených čísel N má pak rovnice řešení {1; 5} ∩ N = {1; 5}, tedy totéž.
poznámka: Cílem této lekce bylo ukázat logické a množinové základy řešení rovnic a
nerovnic. Jakýkoli postup, kterým se dostáváme od zadané formule rovnice k formulím
jednodušším až okamžiku natolik jednoduché formule, že jsme schopni určit kandidáty řešení,
je pořád a stále jen rozbor úlohy. Teprve zkouška ať už dosazením nebo obrácením postupu je
vlastní důkazní řízení, že kandidáti jsou opravdu řešením. Nikdy na to nezapomínejte.
KONEC LEKCE
top related