1 vorlesung vom 14. dezember 2006 astronomisch, physikalische und mathematische geodäsie ii torsten...
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1
Vorlesung vom 14. Dezember 2006Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II
Torsten Mayer-Gürr
Vorlesung vom 14. Dezember 2006Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II
Torsten Mayer-Gürr
Das freie Randwertproblem von StokesDas freie Randwertproblem von Stokes
2
Beobachtungsgleichungen
Geoidundulationen (Formel von Bruns)Geoidundulationen (Formel von Bruns)
0T
N
0 0
1
0
),(),(n
n
mnmnmnmnm
n
SsCcr
R
R
GMN
Schwereanomalien (Fundamentalgleichung)Schwereanomalien (Fundamentalgleichung)
r
T
r
Tg 2
0 0
2
2),(),()1(
n
n
mnmnmnmnm
n
SsCcr
Rn
R
GMg
Schwerestörungen:Schwerestörungen:
r
Tg
0 0
2
2),(),()1(
n
n
mnmnmnmnm
n
SsCcr
Rn
R
GMg
Gravitationsgradienten (2. Radiale Ableitung)Gravitationsgradienten (2. Radiale Ableitung)
0 0
3
3),(),()2)(1(
n
n
mnmnmnmnm
n
rr SsCcr
Rnn
R
GMT
2
2
r
TTrr
3
Weitere Beobachtungsgleichungen
Geoidundulationen (Formel von Bruns)Geoidundulationen (Formel von Bruns)
0T
N
Schwereanomalien (Fundamentalgleichung)Schwereanomalien (Fundamentalgleichung)
r
T
r
Tg 2
Schwerestörungen:Schwerestörungen:
r
Tg
Gravitationsgradienten (2. Radiale Ableitung)Gravitationsgradienten (2. Radiale Ableitung)
2
2
r
TTrr
4
Die spektralen Beziehungender Funktionale des Störpotentials
(Gradvarianzen)
Die spektralen Beziehungender Funktionale des Störpotentials
(Gradvarianzen)
5
Approximation durch Kugelfunktionen
Grad, Ordnung n, m
Anzahl der Koeffizienten
4 25
8 81
16 289
30 961
60 3721
120 14641
240 58081
0 0
2
2),(),()1(
n
n
mnmnmnmnm
n
SsCcr
Rn
R
GMg
6
Approximation durch Kugelfunktionen
Grad, Ordnung n, m
Anzahl der Koeffizienten
4 25
8 81
16 289
30 961
60 3721
120 14641
240 58081
0 0
2
2),(),()1(
n
n
mnmnmnmnm
n
SsCcr
Rn
R
GMg
7
Approximation durch Kugelfunktionen
Grad, Ordnung n, m
Anzahl der Koeffizienten
4 25
8 81
16 289
30 961
60 3721
120 14641
240 58081
0 0
2
2),(),()1(
n
n
mnmnmnmnm
n
SsCcr
Rn
R
GMg
8
Approximation durch Kugelfunktionen
Grad, Ordnung n, m
Anzahl der Koeffizienten
4 25
8 81
16 289
30 961
60 3721
120 14641
240 58081
0 0
2
2),(),()1(
n
n
mnmnmnmnm
n
SsCcr
Rn
R
GMg
9
Approximation durch Kugelfunktionen
Grad, Ordnung n, m
Anzahl der Koeffizienten
4 25
8 81
16 289
30 961
60 3721
120 14641
240 58081
0 0
2
2),(),()1(
n
n
mnmnmnmnm
n
SsCcr
Rn
R
GMg
10
Approximation durch Kugelfunktionen
Grad, Ordnung n, m
Anzahl der Koeffizienten
4 25
8 81
16 289
30 961
60 3721
120 14641
240 58081
0 0
2
2),(),()1(
n
n
mnmnmnmnm
n
SsCcr
Rn
R
GMg
11
Approximation durch Kugelfunktionen
Grad, Ordnung n, m
Anzahl der Koeffizienten
4 25
8 81
16 289
30 961
60 3721
120 14641
240 58081
0 0
2
2),(),()1(
n
n
mnmnmnmnm
n
SsCcr
Rn
R
GMg
12
Kugelflächenfunktionen
Grad n = 4Grad n = 4
Grad n = 20Grad n = 20
Grad n = 40Grad n = 40
13
Auflösung
Störpotential
mit den Basisfunktionen
Störpotential
mit den Basisfunktionen
1
0 0
( , ) ( , )n n
nm nm nm nmn m
GM RT c C s S
R r
- Erdumfang am Äquator: U = 40.000 km
- Ordung m hat m Schwingungen entlang des Äquators
- Wellenlänge:
- Auflösung (halbe Wellenlänge):
Beispiel für
- Erdumfang am Äquator: U = 40.000 km
- Ordung m hat m Schwingungen entlang des Äquators
- Wellenlänge:
- Auflösung (halbe Wellenlänge):
Beispiel für
( , ) cos( ) (cos )
( , ) sin( ) (cos )
mnm n
mnm n
C m P
S m P
U
m
360 55 km 360n m
14
SchwereanomalienSchwereanomalien
Glatt <--> Rau
GeoidGeoid
GravitationsgradientGravitationsgradient
15
Varianz des Störpotentials:Varianz des Störpotentials:
Signalgehalt
2 2
1
1( ) ( , )
N
i ii
T TN
2 2
1
1( , )
4
N
i i ii
T
Anbringen von Flächengewichten:
2 21( , )
4T d
Übergang auf das Integral:
16
Signalgehalt
Störpotential:Störpotential:
0 0
1
),(),(n
n
mnmnmnmnm
n
SsCcr
R
R
GMT
Varianz des Störpotentials:Varianz des Störpotentials:
2 21( , )
4T d
22 2 2 2 2
0 0
1( , ) ( , )
4
n
nm nm nm nmn m
GMc C d s S d
R
Einsetzten unter Ausnutzungder Orthogonalität der Kugelflächenfunktionen
17
Signalgehalt
Varianz des Störpotentials:Varianz des Störpotentials:
2 21( , )
4T d
2
2 2 2 2
0 0
1( , ) ( , )
4
n
nm nm nm nmn m
GMc C d s S d
R
Für vollständig normierte Kugelflächenfunktionen gilt:
2 2( , ) ( , ) 4nm nmC d S d
22 2 2
0 0
n
nm nmn m
GMc s
R
Varianz des Störpotentials:
18
Signalgehalt
2
0
( ) ( )nn
T T
Störpotential2 2
0
( )n
n nm nmm
GMT c s
R
19
Signalgehalt
2 2
0
( )n
n nm nmm
GMT c s
R
2 2
0
( )n
n nm nmm
N R c s
2 22
0
( ) ( 1)n
n nm nmm
GMg n c s
R
2 22
0
( ) ( 1)n
n nm nmm
GMg n c s
R
2 23
0
( ) ( 1)( 2)n
n rr nm nmm
GMT n n c s
R
2
0
( ) ( )nn
T T
Geoidundulationen 2
0
( ) ( )nn
N N
2
0
( ) ( )nn
g g
Schwerestörungen
2
0
( ) ( )nn
g g
Schwereanomalien
Gravitationsgradient 2
0
( ) ( )rr n rrn
T T
Störpotential
20
Gradvarianzen
[m]
Geoid: EGM96 - GRS80
2 2
0
( )n
n nm nmm
N R c s
21
Gradvarianzen
[m]
Geoid: EGM96 - GRS80
10
4
10(2 1)n R n
n
Kaula
2 2
0
( )n
n nm nmm
N R c s
22
Gradvarianzen
[m]
Geoid: EGM96 - GRS80
2 2
0
( )n
n nm nmm
N R c s
23
Gradvarianzen
[m]
2 2
0
( )n
n nm nmm
N R c s
Geoid: EGM96 - GRS80
2 2
0
1( )
n
n nm nmm
GM ng c s
R R
Anomalien: EGM96 - GRS80
[mGal]
24
Gradvarianzen
[m]
2 2
0
n
n nm nmm
R c s
Geoid: EGM96 - GRS80
2 2
0
1 n
n nm nmm
GM nc s
R R
Anomalien: EGM96 - GRS80
[mGal]
25
Meissel-Schema
2n
R
1n
R
( )nT R
r
2
2
( )nT R
r
( )nT R
26
Meissel-Schema
2n
R
1n
R
( )nT R
r
2
2
( )nT R
r
( )nT R
27
Meissel-Schema
2n
R
1n
R
( )nT R
r
2
2
( )nT R
r
( )nT R
28
Meissel-Schema
2n
R
1n
R
1nR
r
2nR
r
3nR
r
2n
r
1n
r
( )nT r
r
2
2
( )nT r
r
( )nT r
( )nT R
r
2
2
( )nT R
r
( )nT R
29
Gradvarianzen
Satellitenhöhe (250 km):
: Erdoberfläche (0 km)
30
Gradvarianzen
: Erdoberfläche (0 km)
31
Gradvarianzen
Satellitenhöhe (250 km):
: Erdoberfläche (0 km)
32
Gradvarianzen
Satellitenhöhe (250 km):
: Erdoberfläche (0 km)
33
Gradvarianzen
Satellitenhöhe (250 km):
: Erdoberfläche (0 km)
34
Gradvarianzen
Satellitenhöhe (250 km):
: Erdoberfläche (0 km)
35
Gradvarianzen
Satellitenhöhe (250 km):
: Erdoberfläche (0 km)
36
Vorteile der Kugelfunktionen:
- Einfache Beobachtungsgleichungen
- Fortsetzung nach oben/unten ist leicht
- Direkte Umrechnung in die verschiedenen Funktionale (Geoidundulationen, Schwereanomalien)
Vorteile der Kugelfunktionen:
- Einfache Beobachtungsgleichungen
- Fortsetzung nach oben/unten ist leicht
- Direkte Umrechnung in die verschiedenen Funktionale (Geoidundulationen, Schwereanomalien)
Kugelfunktionen
Nachteile der Kugelfunktionen:
- Kugelfunktionen sind global
- Beobachtungen müssen global und gleichmäßig verteilt sein
- Sehr hohe Auflösungen sind praktisch nicht zu realisieren
Nachteile der Kugelfunktionen:
- Kugelfunktionen sind global
- Beobachtungen müssen global und gleichmäßig verteilt sein
- Sehr hohe Auflösungen sind praktisch nicht zu realisieren
37
Beispiel Deutschland
- Punktabstand: 10 km
- Entspricht einer Kugelfunktionsentwicklung von n = m = 2.000
- Anzahl der unbekannten Koeffizienten: ca. 4.000.000
- Größe der Normagleichungsmatrix: ca. 128 TeraByte
- Sind die Daten in dieser Auflösung nicht global gegeben, ist das Gleichungssystem nicht lösbar
- Punktabstand: 10 km
- Entspricht einer Kugelfunktionsentwicklung von n = m = 2.000
- Anzahl der unbekannten Koeffizienten: ca. 4.000.000
- Größe der Normagleichungsmatrix: ca. 128 TeraByte
- Sind die Daten in dieser Auflösung nicht global gegeben, ist das Gleichungssystem nicht lösbar
38
Alternative Schwerefelddarstellungen
39
Sphärische Splines
Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen
Lokale Basisfunktionen:
Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest
Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen
Lokale Basisfunktionen:
Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest
),()(1
i
N
iiaT rrr
0
1
)(cos)(n
n
n
n Pr
Rk
R
GM
nk
40
Sphärische Splines
Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen
Lokale Basisfunktionen:
Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest
Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen
Lokale Basisfunktionen:
Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest
),()(1
i
N
iiaT rrr
0
1
)(cos)(n
n
n
n Pr
Rk
R
GM
nk
41
Sphärische Splines
Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen
Lokale Basisfunktionen:
Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest
Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen
Lokale Basisfunktionen:
Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest
),()(1
i
N
iiaT rrr
0
1
)(cos)(n
n
n
n Pr
Rk
R
GM
nk
42
Alternative Schwerefelddarstellungen
Repräsentation des Schwerefeldes:
- Kugelfunktionen
- Sphärische Splines
- Wavelets
- Punktmassen (Mascons)
- Blockmittelwerte
- Direkte Lösung (Integralgleichung)
Repräsentation des Schwerefeldes:
- Kugelfunktionen
- Sphärische Splines
- Wavelets
- Punktmassen (Mascons)
- Blockmittelwerte
- Direkte Lösung (Integralgleichung)
43
Direkte Lösung der freien Randwertaufgabe
Direkte Lösung der freien Randwertaufgabe
44
Randwertaufgaben der Potentialtheorie
Gesucht ist das (Stör-)potential im Außenraum
- gemessenen sind Funktionale auf der Kugeloberfläche
- Das Potential ist harmonisch (quellenfrei) im Außenraum
- Das Potential ist regulär im Unendlichen
Gesucht ist das (Stör-)potential im Außenraum
- gemessenen sind Funktionale auf der Kugeloberfläche
- Das Potential ist harmonisch (quellenfrei) im Außenraum
- Das Potential ist regulär im Unendlichen
1. Randwertaufgabe
2. Randwertaufgabe
3. Randwertaufgabe
1. Randwertaufgabe
2. Randwertaufgabe
3. Randwertaufgabe
T( , )f
( , )f
( , )f
T
r
2T T
r r
g
g
45
Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen
Gemessen:
Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen
Gemessen:
3. Übergang auf die
Randfläche
3. Übergang auf die
Randfläche0 0
( , , ) ( , ) ( , )n
nm nm nm nmn m
GMT R c C s S
R
Randwertaufgaben der Potentialtheorie
1. Entwicklung der Messwerte
nach Kugelflächenfunktionen:
1. Entwicklung der Messwerte
nach Kugelflächenfunktionen:0 0
( , ) ( , ) ( , )n
nm nm nm nmn m
GMT a C a S
R
2. Störpotential
im Außenraum:
2. Störpotential
im Außenraum:
0 0
1
),(),(),,(n
n
mnmnmnmnm
n
SsCcr
R
R
GMrT
T
46
Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen
Gemessen:
Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen
Gemessen:
3. Übergang auf die
Randfläche
3. Übergang auf die
Randfläche0 0
( , , ) ( , ) ( , )n
nm nm nm nmn m
GMT R c C s S
R
Randwertaufgaben der Potentialtheorie
1. Entwicklung der Messwerte
nach Kugelflächenfunktionen:
1. Entwicklung der Messwerte
nach Kugelflächenfunktionen:0 0
( , ) ( , ) ( , )n
nm nm nm nmn m
GMT a C a S
R
T
47
Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen
Gemessen:
Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen
Gemessen:
3. Übergang auf die
Randfläche
3. Übergang auf die
Randfläche0 0
( , , ) ( , ) ( , )n
nm nm nm nmn m
GMT R c C s S
R
Randwertaufgaben der Potentialtheorie
1. Entwicklung der Messwerte
nach Kugelflächenfunktionen:
1. Entwicklung der Messwerte
nach Kugelflächenfunktionen:0 0
( , ) ( , ) ( , )n
nm nm nm nmn m
GMT a C a S
R
T
4. Koeffizientenvergleich4. Koeffizientenvergleichnm nm
nm nm
a c
b s
5. Einsetzen5. Einsetzen 1
0 0
( , , ) ( , ) ( , )n n
nm nm nm nmn m
GM RT r a C b S
R r
48
Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen
Gemessen:
Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen
Gemessen:
4. Übergang auf die
Randfläche
4. Übergang auf die
Randfläche
0 0
),(),()1(),,(
n
n
mnmnmnmnm SsCc
R
n
R
GM
r
RT
3. Beobachtungsgleichung3. Beobachtungsgleichung 1
0 0
( 1)( , ) ( , )
n n
nm nm nm nmn m
T GM n Rc C s S
r R r r
Randwertaufgaben der Potentialtheorie
r
Tg
1. Entwicklung der Messwerte
nach Kugelflächenfunktionen:
1. Entwicklung der Messwerte
nach Kugelflächenfunktionen:0 0
( , ) ( , ) ( , )n
nm nm nm nmn m
GMg a C a S
R
2. Störpotential
im Außenraum:
2. Störpotential
im Außenraum:
0 0
1
),(),(),,(n
n
mnmnmnmnm
n
SsCcr
R
R
GMrT
49
Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen
Gemessen:
Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen
Gemessen:
4. Übergang auf die
Randfläche
4. Übergang auf die
Randfläche
0 0
),(),()1(),,(
n
n
mnmnmnmnm SsCc
R
n
R
GM
r
RT
Randwertaufgaben der Potentialtheorie
r
Tg
1. Entwicklung der Messwerte
nach Kugelflächenfunktionen:
1. Entwicklung der Messwerte
nach Kugelflächenfunktionen:0 0
( , ) ( , ) ( , )n
nm nm nm nmn m
GMg a C a S
R
50
Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen
Gemessen:
Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen
Gemessen:
4. Übergang auf die
Randfläche
4. Übergang auf die
Randfläche
0 0
),(),()1(),,(
n
n
mnmnmnmnm SsCc
R
n
R
GM
r
RT
Randwertaufgaben der Potentialtheorie
r
Tg
1. Entwicklung der Messwerte
nach Kugelflächenfunktionen:
1. Entwicklung der Messwerte
nach Kugelflächenfunktionen:0 0
( , ) ( , ) ( , )n
nm nm nm nmn m
GMg a C a S
R
4. Koeffizientenvergleich4. Koeffizientenvergleich 1nm nm
nm nm
a cnb sR
5. Einsetzen5. Einsetzen 2
0 0
( , , ) ( , ) ( , )1
n n
nm nm nm nmn m
GM r RT R a C b S
R n r
51
Lösung der 3. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen
Gemessen:
Lösung der 3. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen
Gemessen:
3. Beobachtungsgleichung3. Beobachtungsgleichung 1
0 0
( 1)( , ) ( , )
n n
nm nm nm nmn m
T GM n Rc C s S
r R r r
Randwertaufgaben der Potentialtheorie
1. Entwicklung der Messwerte
nach Kugelflächenfunktionen:
1. Entwicklung der Messwerte
nach Kugelflächenfunktionen:0 0
( , ) ( , ) ( , )n
nm nm nm nmn m
GMg a C a S
R
2. Störpotential
im Außenraum:
2. Störpotential
im Außenraum:
0 0
1
),(),(),,(n
n
mnmnmnmnm
n
SsCcr
R
R
GMrT
r
T
r
Tg 2
4. Übergang auf die
Randfläche
4. Übergang auf die
Randfläche
0 0
),(),()1(
2n
n
mnmnmnmnm SsCc
R
n
R
GM
r
T
r
T
52
Lösung der 3. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen
Gemessen:
Lösung der 3. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen
Gemessen:
4. Übergang auf die
Randfläche
4. Übergang auf die
Randfläche
Randwertaufgaben der Potentialtheorie
1. Entwicklung der Messwerte
nach Kugelflächenfunktionen:
1. Entwicklung der Messwerte
nach Kugelflächenfunktionen:0 0
( , ) ( , ) ( , )n
nm nm nm nmn m
GMg a C a S
R
r
T
r
Tg 2
0 0
),(),()1(
2n
n
mnmnmnmnm SsCc
R
n
R
GM
r
T
r
T
4. Koeffizientenvergleich4. Koeffizientenvergleich 1nm nm
nm nm
a cnb sR
5. Einsetzen5. Einsetzen 2
0 0
( , , ) ( , ) ( , )1
n n
nm nm nm nmn m
GM r RT R a C b S
R n r
53
Lösung der 3. Randwertaufgabe: mit dem Stokes-Pizetti-KernLösung der 3. Randwertaufgabe: mit dem Stokes-Pizetti-Kern
Lösung der 2. Randwertaufgabe: mit dem Hotine-KernLösung der 2. Randwertaufgabe: mit dem Hotine-Kern
Randwertaufgaben der Potentialtheorie
Lösung der 1. Randwertaufgabe: mit dem Abel-Poisson-KernLösung der 1. Randwertaufgabe: mit dem Abel-Poisson-Kern
dTPR
T )'()',(4
)( rrrr3
22
)',(l
RrP
rr
)cos1(
cosln
2)',(
r
rRl
l
RH rr
r
Rrl
r
Rl
l
RS
2
cosln35cos3
2)',(
2
rr
dgHR
T )'()',(4
)( rrrr
dgSR
TT )'()',(4
)()( 1 rrrrr
54
Stokes-Pizetti-Kern:Stokes-Pizetti-Kern:
Hotine-Kern:Hotine-Kern:
Randwertaufgaben der Potentialtheorie
Abel-Poisson-Kern:Abel-Poisson-Kern:
3
22
)',(l
RrP
rr
)cos1(
cosln
2)',(
r
rRl
l
RH rr
r
Rrl
r
Rl
l
RS
2
cosln35cos3
2)',(
2
rr
0
1
)(cos12
nn
n
Pr
R
R
n
0
1
)(cos1
12
nn
n
Pr
R
n
n
0
1
)(cos1
12
nn
n
Pr
R
n
n
55
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