1 unidad 1: funciones, límite y continuidad definición de límite

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Unidad 1: Funciones, Límite y Continuidad

Definición de límite

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¡Razonemos juntos!El gerente de una Compañía determina que cuando se está utilizando x porcentaje de la capacidad de la planta el costo total es C(x) cientos miles de dólares.

La compañía tiene una política de rotar el mantenimiento de tal forma que nunca se utilice más del 80% de su capacidad.

¿Qué costo esperaría el gerente cuando la planta esta operando a toda la capacidad permitida?

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Ejemplo 1

Sea la función:

¿qué ocurre con el valor de f (x) cuando x se aproxima a 3?

3

4

4

Vemos que f (x) tiende a 4.

Cuando x se aproxima a 3 por medio de valores mayores que el 3, se dice que x se aproxima a 3 por la derecha

3

4

x

Esto se simboliza por:

4)(lim3

xfx

5

3

4

Cuando x se aproxima a 3 por medio de valores menores que el 3, se dice que x se aproxima a 3 por la izquierda

x

Vemos que f (x) tiende a 4.

Esto se simboliza por:

4)(lim3

xfx

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Si realizamos ambas aproximaciones al mismo tiempo, obtenemos:

3

4

x x

Vemos que f (x) tiende a 4.

Esto se simboliza por:

4)(lim3

xfx

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Ejemplo 2

Sea la función:

¿qué ocurre con el valor de f (x) cuando x 3 ?

3

45

x x

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Conclusión:

En el Ejemplo 2 se aprecia que cuando x 3 por la izquierda, f (x)4 y cuando x3 por la derecha, f (x) 5

¿En cuál de los ejemplos (1 o 2) existe el límite de f (x) cuando x tiende a 3?

En el Ejemplo 1, se aprecia que cuando x 3 ya sea por la izquierda o por la derecha, f (x) 4

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¡Observación !

Note que para que el límite exista, cuando la variable tiende a un número “a” (en nuestro ejemplo a = 3) tanto por la izquierda como por la derecha, la función tiende a adoptar un único valor “L” (en nuestro ejemplo L = 4)

Para que el límite de una función en un valor de “x” exista, no es necesario que la función esté definida en ese valor de “x”

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DefiniciónSi f (x) se acerca más y más al número L cuando x se aproxima cada vez más a a, por ambos lados, entonces L es el límite f (x) cuando x tiende a a.

Este comportamiento se expresa:

Este límite existe si

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Geométricamente, el enunciado de límite

lim ( )x a

f x L

Significa que la altura de la gráfica y = f (x) tiende a L cuando x tiende a a, tal como se muestra en la figura.

x→ a ←x

L

f (x)↓

↑f (x)

x

y

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Analicemos

¿A qué valor tienden los valores de f (x), g (x) y h(x) cuando x tiende a 1?

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Ejemplos: En los ejercicios del a) al f), en caso existan, calcular los siguientes límites

a)4

lim 4x

x

e) lim lnx e

x

f )0

lim x

xe

b) 2

1lim 1 2x

x

c)2

1

1lim

1x

x

x

d)23

3lim

9x

x

x

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1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5

−1−2−3−4−5−6−1

−2

−3

−4

y

f

Ejemplo.De la gráfica de la función f, determine, en caso exista, el límite de f (x) cuando x tiende a:−4, − 3, − 2, 0, 2, 3, 4, 5

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Ejemplo:Trace la gráfica de una función f que cumpla con las siguientes condiciones:a) dom(f) = R – {-2}

b) y

c) , f(0) = 3

d) , y f(3) = 1

1)(2

xflímx

1)(2

xflímx

1)(0

xflímx

2)(3

xflímx

1)(3

xflímx

Resuelva ejercicios del texto recomendados en la guía del alumno.