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1
Structure du système planétaire autour de PSR B1257+12
Laurent Nottale
CNRS
LUTh, Observatoire de Paris-Meudon
http://wwwusr.obspm.fr/~nottale/
WORKSHOP PULSARS THEORIES ET OBSERVATIONS
IAP,16 et 17 Janvier 2006
2
Rappel théorique
3
t
t
t
t
t
t
Mouvement: changement d’échelle de temps
4
Relativité générale:dérivée covariante
Relativité d’échelle:dérivée covariante
Equation des géodésiques: Equation des géodésiques:
Approximation newtonienne:
Relativité générale + d’échelle
Forme quantique
5
Trois représentations
Géodésique (U,V) Schrödinger généralisé (P,)
Euler + continuité ( P, V)
Nouvelle énergie “potentielle”:
6
Méthode
PotentielConditions aux limites
Symétries
Choix du système de coordonnées
Etats des quantités conservatives
Exemple: sphérique ––> E, L2, Lz
Kepler parabolique ––> E, Ly, Ay
demi-grand axe, période
excentricité
Communs aux descriptions
classique et « quasi-quantique »
7
n=3
Solutions: potentiel Képlerien
Polynômes de Laguerre généralisés
8
Simulation de géodésique
Potentiel képlerien GM/rEtat n = 3, l = m = n-1
9
Solutions: potentiel Képlerien
m V T M
10
Solutions: potentiel Képlerien
Energie:
Demi-grands axes, périodes (pic):
Pic de proba:
(3è loi Kepler)
Périhélies (e = 1):
Excentricités (vecteur de Lenz, parabolique):
Moyenne: n2+n/2
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Prédiction théorique antérieure aux découvertes (exoplanètes, ceinture de Kuiper):
« Nous pouvons espérer que d’autres systèmes planétaires [que le nôtre] soient découverts dans les années à venir, et que des informations nouvelles soient obtenues dans le système solaire très lointain (ceinture de Kuiper, nuage cométaire de Oort,…). A cet égard notre théorie est réfutable, car elle fait des prédictions précises concernant de telles observations dans un futur proche: on s’attend à ce que des [grandeurs] observables telles que la distribution des excentricités, de la masse, du moment angulaire, des positions préférentielles des planètes et astéroïdes, […] soient dans ce cadre de travail des structures universelles partagées par tous les systèmes planétaires. » (trad.*)L.N., (1994) in Chaos and Diffusion in Hamiltonian Systems, (Chamonix, Février 1994), D. Benest and C. Froeschlé Eds., Frontières, p. 173
*"We can expect other [planetary] systems to be discovered in the forthcoming years, and new informations to be obtained about the very distant solar system (Kuiper's belt, Oort cometary cloud...). In this regard our theory is a falsifiable one, since it makes definite predictions about such observations of the near future: observables such as the distribution of eccentricities, mass, angular momentum, the preferred positions of planets and asteroids, or possibly the ratio of distance of the largest gazeous planet and the largest telluric one, are expected in our framework to be universal structures shared by any planetary system. »
L.N., (1993), Fractal Space Time and Microphysics, World Scientific
12
Comparaison aux données d’observation:
Système solaire et
exoplanètes autour d’étoiles de type solaire
13
Système solaire :systèmes interne et externe
SI
J
S
U
N
P
m VT
M HunC
HHil
1
4
9
16
25
36
rank n101 2 3 4 5 6 7 8 9
√a (obs.)
7 49
1
2
3
4
5
6
SE
N
Ref: Nottale 1993, Fractal Space-Time and Microphysics (World Scientific)
Predictions nouvelles
55 UA
0.043 UA/Msol 0.17 UA/Msol
14
Système solaire intramercuriel:anneaux transitoires de poussières IR
Observations: Peterson 67, MacQueen 68, Koutchmy 72, Lena et al. 74, Mizutani 84
216 km/s, n=2
144 km/s, 0.043 UA, n=3
51 Peg: exoplanètes
Base:
Ref: Da Rocha Nottale 03
15
Exoplanètes 2005
Demi-grands axes:
w0=144 km/s126 planètes
telles que n < 0.25
k = e n
Excentricités:
122 planètestelles quek < 0.50
(P = 10-4)
(P ≈ 5 10-7)
Nom
bre
Nom
bre
Mercure Venus Terre Mars Ceres
16
Exoplanètes 2005 Demi-grands axes et excentricités. Analyse combinée.
delta n
delt
a k
delta n
Histogramme:
delta k
w0=144 km/s113 planètes telles que n < 0.25 et k < 0.50
(P ≈ 10-6)
17
Exoplanètes à 0.02 UA/Msol
Validation prédiction théorique d’une nouvelle sous-structure à base w0 = 432 km/s
(vitesse keplerienne au rayon des étoiles de type solaire)Ref: Nottale, Schumacher et Lefèvre, 2000, A&A 361, 379
n432 = 2 a/M = 0.02 UA/Msol
Candidats OGLE OGLE-TR-132: exoplanète confirmée (Bouchy et al)
HD 330075: première détection HARPS (Mayor et al)
OGLE-TR-56
18
Planètes autour du pulsar PSR B1257+12
19
PSR B1257+12
*Découvert par Wolszczan (1990): Prot=6.218 531 938 028 3(2) ms
*Premières planètes extrasolaires (Wolszczan et Frail 1992) (B: 3.4 MT, P=66.5 j; C: 2.8 MT, P=98.2 j)
*Confirmation: perturbation gravitationnelle mutuelle des orbites (Wolszczan 1994)
*Troisième planète (Wolszczan 1994)(A: 0.015 MT, P=25.3 j)
*Confirmation 3è planète (Wolszczan et al 2000)
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PSR B1257+12 planets: orbital elements
Orbital Elements A B C
Projected semimajor
axis0.0000033(2) 0.0013106(2) 0.0014134(2)
Eccentricity 0 0.0183(3) 0.0264(3)
Orbital Period (d)
25.3144(100) 66.5352(3) 98.2228(5)
Wolszczan et al. 2000 ApJ 528, 907
21
Analyse.1.(i) Since, from Kepler's third law, a1/2 = M1/6 T1/3 ≈ a0
1/2 (n + 1/4) (in Solar System units,
resp. AU, Msol and yrs) , we expect the T1/3 differences between the three planets to be
quantized in terms of integers (up to very small differences). This first prediction is very well verified, since
(TB1/3 – TA
1/3)/(TC1/3 – TB
1/3) = 1.984, (12)
that differs from n = 2 by only 0.016. This implies that the three planets must rank as nA =
nB – 2, nB, nC = nB + 1. We have assumed for simplicity nC – nB = 1, but any other choice
would be equivalent (it would multiply k by an integer).
(ii) We thus obtain the two following equations:
TA2/3 / TC
2/3 = [ nB2 – (7/2) nB + 3 ] / [ nB
2 + (5/2) nB + (3/2) ] (13A)
TB2/3 / TC
2/3 = [ nB2 + (1/2) nB ] / [ nB
2 + (5/2) nB + (3/2) ] (13B)
Considering period ratios allows us to eliminate the unknown pulsar mass. We find, respectively from Eqs. 13A and 13B:
nB(A,C) = 7.016 ; nB(B,C) = 6.971. (14)
The quantization is once again confirmed with a remarkable precision, yielding nA = 5, nB = 7 and nC = 8 (see Figure).
22
Comparaison prédictions-observations
Nottale L., 1996, A&A Lett. 315, L9 1998, CSF, 9, 1043 (http://wwwusr.obspm.fr/~nottale/arPSR.pdf)
0 0.60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
5
7
8
A
B
C
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.6
a (predicted, AU)
.190 .192.190
.192
.191
.364 .366
.364
.366
.365
.474
.472
.473
.472.474
0.7
x 50
6
9
4
3
21
.
23
Analyse.2.
(iii) We can go even farther: The precision reached by this system is so good that we can expect to be able to make the difference between the 'mean' and 'peak' formulae (this means to test for second order terms in the theory). We find:
(TA1/3/TC
1/3) = 0.63666 while √(52 + 5/2) / √(82 + 8/2) = 0.63593 and (5/8) = 0.62
(TB1/3/TC
1/3) =0.87827 while √(72 + 7/2) / √(82 + 8/2) = 0.87866 and (7/8) = 0.875.
Even though the agreement with the 'peak' formula could already be considered as excellent (relative differences of resp. 0.018 and 0.004), the agreement with our more precise expectation, the 'mean' formula, is more than ten times better (resp. 0.0011 and –0.0004).
The pulsar mass is given by:
M = (w13/2πG) (Tn /(n2 + n/2)3/2) . (16)
Assuming a standard neutron star mass of 1.4 ± 0.1 Msol, we obtain a confirmation of the value of the structuration constant:
k = (w1/144) = 2.96 ± 0.07, (17)
within 0.04 of the quantized value k = 3. We can now compute the pulsar mass. From w0 =
144.7 ± 0.6 km/s, and taking k = 3 strictly, we obtain:
MPSR = 1.48 ± 0.02 Msol .
24
Analyse.3.
Estimate of the probability to get such an observed configuration by chance: *The observed ratios (TA/TC)1/3 and (TB/TC)1/3 fall within ±7.3 10–4 and ±3.9 10–4 of two of the
predicted quantized ratios.
*The number of possible configurations is (Cnm3) = nm (nm – 1)(nm – 2) / 6, where nm is the
maximal reasonable value for the quantum number n.
*Taking nm = 10 yields a probability P =( C103) x 1.46 10–3 x 7.8 10–4 = 1.4 10–4.
*Also accounting for the fact that k falls within 0.1 of an integer using standard neutron star masses, we find a highly significant total probability
P = 3 x 10–5.
Even with the too high and not adopted) choice nm = 20, one would still get the significant
result
P = 3 x 10–4.
25
Systèmes extra-solaires:PSR B1257+12
25 2624 66 67 98 9997
10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000 110
Period (days)
days days days
1 2 3 4 5 6 7 8
A B C
Refs: Nottale 96, 98, Da Rocha & Nottale 03
Données:Wolszczan 94, 00
Mpsr =1.4 ± 0.1 Msol --> w = (2.96 ± 0.07) x 144 km/s, i.e. 432 km/s = vitesse keplerienne en Rsol
Proba < 10-5 d’obtenir un tel accord par hasard
Prédiction d’autres orbites: P1=0.322 j, P2=1.958 j, P3=5.96 j
Résidus données Wolszczan 00: P = 2.2 j (2.7 )
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Prédiction des périodes les plus probables d’autres planètes éventuelles autour de PSR B1257+12
Rank n (Pn/P8)pred Pn(d)pred Pn(d)obs Ppred1/3 = a1/2 Pobs
1/3 = a1/2
1 0.0033 0.322 0.1485
2 0.0199 1.958 2.2? 0.2712 0.28?
3 0.0607 5.960 0.3930
4 0.1362 13.38 0.5145
5 0.2572 25.26 25.34 0.6359 0.6366
6 0.4343 42.66 0.7573
7 0.6784 66.63 66.54 0.8787 0.8783
8 (1) (98.22) 98.22 1 1
9 1.4099 138.48 1.1213
10 1.9188 188.46 1.2426
(moyenne)
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Recherche d’autres planètes éventuelles
Wolszczan et al, preprint (2000)Observations 430 MHz 1990-1994 (résidus après fit de B et C)
n=6 n=5 n=4
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Recherche d’une quatrième planète proche
Wolszczan et al 2000: observations journalières pendant un mois (Arecibo, 1999) 430 MHz (blanc), 1130 MHz (noir)Résidus avant et après fit de planète A.
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Analyse des résidus
PSR 1257+12, donnees Wolszczan 1999Analyse residus post correction de A,B,CMeilleur fit:Periode: 2.22 joursAmplitude 1.1 microsecondeSignification statistique: 2.7 sigmaPeriode predite: n=2: 1.96 jours
Days
0 1 2 3 4 5
-4
-2
0
2
4
Marginal: à confirmer par de nouvelles observations…
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