1. obtener el vector gradiente de las siguientes funciones...
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1. Obtener el vector gradiente de las siguientes funciones en un punto genérico,
especificando las condiciones que
debe verificar este punto :
aL f Hx, y, zL = Ln Kx + y
zO bO f Hx, y, zL =
eSen H x yL cO f Hx, y, zL =
x + y
z
d f Hx, y, zL = ySen H x zL e f
Hx, y, zL = H x y Lz f f Hx, y, zL = Sen H x yL Cos Hx y L
g f Hx, y, zL = zx y z h f Hx, y, zL =
e2 x2 y Cos I 3 x y2 M i f Hx, y, zL = Iz2+ 1Mx
GradBLogBx + y
zF, 8x, y, z<F
:1
x + y
,
1
x + y
, -
1
z
>
GradAeSin @x zD, 8x, y, z<E
9eSin@x zD
z Cos@x zD Log@eD, 0, eSin@x zD
x Cos@x zD Log@eD=
GradBx + y
z, 8x, y, z<F
:1
2x+y
zz
,
1
2x+y
zz
, -
x + y
2x+y
zz2
>
GradAySin @x zD, 8x, y, z<E
9ySin@x zD
z Cos@x zD Log@yD, y-1+Sin@x zD
Sin@x zD, x ySin@x zD
Cos@x zD Log@yD=
Grad@H x y Lz, 8x, y, z<D
9y Hx yL-1+zz, x Hx yL-1+z
z, Hx yLzLog@x yD=
Grad@Sen @ x yD Cos @x y D, 8x, y, z<D8-y Sen@x yD Sin@x yD + y Cos@x yD Sen
¢@x yD,
-x Sen@x yD Sin@x yD + x Cos@x yD Sen¢@x yD, 0<
Grad@zx y z, 8x, y, z<D
9y z1+x y z
Log@zD, x z1+x y z
Log@zD, zx y z Hx y + x y Log@zDL=
GradAe2 x2 y Cos A3 x y2E, 8x, y, z<E
94 e2 x
2y
x y CosA3 x y2E Log@eD - 3 e
2 x2
yy
2SinA3 x y
2E,
2 e2 x
2y
x2
CosA3 x y2E Log@eD - 6 e
2 x2
yx y SinA3 x y
2E, 0=
GradAIz2+ 1Mx
, 8x, y, z<E
:I1 + z2Mx
LogA1 + z2E, 0, 2 x z I1 + z
2M-1+x>
2. Obtener la matriz hessiana de las siguientes funciones en un punto genérico,
especificando las condiciones que
debe verificar este punto :
aL f Hx, yL = x y bM f Hx, yL = LnAx + y2E
Grad@Sqrt@x yD, 8x, y<D
:y
2 x y
,
x
2 x y
>
La matriz Hessiana será :
Grad@%, 8x, y<D
::-
y2
4 Hx yL3�2
, -
x y
4 Hx yL3�2
+
1
2 x y
>, :-
x y
4 Hx yL3�2
+
1
2 x y
, -
x2
4 Hx yL3�2
>>
Tambien podemos obtener la matriz Hessiana directamente con :
In[1]:= DA x y , 88x, y<, 2<E
Out[1]= ::-
y2
4 Hx yL3�2
, -
x y
4 Hx yL3�2
+
1
2 x y
>, :-
x y
4 Hx yL3�2
+
1
2 x y
, -
x2
4 Hx yL3�2
>>
Grad@Log@x + y^2D, 8x, y<D
:1
x + y2
,
2 y
x + y2
>
Grad@%, 8x, y<D
::-
1
Ix + y2M2
, -
2 y
Ix + y2M2
>, :-
2 y
Ix + y2M2
, -
4 y2
Ix + y2M2
+
2
x + y2
>>
La matriz Hessiana directamente :
In[2]:= D@Log@x + y^2D, 88x, y<, 2<D
Out[2]= ::-
1
Ix + y2M2
, -
2 y
Ix + y2M2
>, :-
2 y
Ix + y2M2
, -
4 y2
Ix + y2M2
+
2
x + y2
>>
3. Obtener la matriz hessiana de la función f en
el punto H1, 1L y de la función g en el punto H1, 0, -1L.
aL f Hx, yL = x + y bM g Hx, y, zL = x y z - x2 z2
2 PblExaMatItemas3y4.nb
GradA x + y , 8x, y<E
:1
2 x + y
,
1
2 x + y
>
Grad@%, 8x, y<D
::-
1
4 Hx + yL3�2
, -
1
4 Hx + yL3�2
>, :-
1
4 Hx + yL3�2
, -
1
4 Hx + yL3�2
>>
La matriz Hessiana directamente :
In[5]:= DA x + y , 88x, y<, 2<E
Out[5]= ::-
1
4 Hx + yL3�2
, -
1
4 Hx + yL3�2
>, :-
1
4 Hx + yL3�2
, -
1
4 Hx + yL3�2
>>
In[26]:= Hf@x_, y_D := ::-
1
4 Hx + yL3�2, -
1
4 Hx + yL3�2>, :-
1
4 Hx + yL3�2, -
1
4 Hx + yL3�2>>;
Hf@1, 1D
Out[27]= ::-
1
8 2
, -
1
8 2
>, :-
1
8 2
, -
1
8 2
>>
Hf@1, 1D =
- 1
4 8
- 1
4 8
- 1
4 8
- 1
4 8
GradAx y z - x2 z2, 8x, y, z<E
9y z - 2 x z2, x z, x y - 2 x
2z=
Grad@%, 8x, y, z<D
99-2 z2, z, y - 4 x z=, 8z, 0, x<, 9y - 4 x z, x, -2 x
2==
La matriz Hessiana directamente :
In[8]:= DAx y z - x2 z2, 88x, y, z<, 2<E
Out[8]= 99-2 z2, z, y - 4 x z=, 8z, 0, x<, 9y - 4 x z, x, -2 x
2==
In[30]:= Hg@x_, y_, z_D := 99-2 z2, z, y - 4 x z=, 8z, 0, x<, 9y - 4 x z, x, -2 x2==;
Hg@1, 0, -1DOut[31]= 88-2, -1, 4<, 8-1, 0, 1<, 84, 1, -2<<
Hg@1, 0, -1D =
-2 -1 4
-1 0 1
4 1 -2
PblExaMatItemas3y4.nb 3
4. Dada la función f Hx, y, zL =
xy+ yz obtener el vector gradiente en un punto genérico y las siguientes derivadas
parciales de segundo orden en el punto H1, 2, 3L :¶
2 f
¶x2Hx, y, zL,
¶2 f
¶y ¶xHx, y, zL,
¶2 f
¶x ¶yHx, y, zL.
Grad@xy+ yx, 8x, y<D
9x-1+y
y + yx
Log@yD, x y-1+x
+ xy
Log@xD=
D@xy+ yx, xD
x-1+y
y + yx
Log@yD
D@%, xD
x-2+y H-1 + yL y + y
xLog@yD2
Tambien directamente D11 :
In[9]:= D@D@xy+ yx, xD, xD
Out[9]= x-2+y H-1 + yL y + y
xLog@yD2
In[32]:= D11f@x_, y_, z_D := x-2+y H-1 + yL y + yx Log@yD2;
D11f@1, 2, 3DOut[33]= 2 + 2 Log@2D2
DAx-1+y y + yx Log@yD, yE
x-1+y
+ y-1+x
+ x-1+y
y Log@xD + x y-1+x
Log@yD
Tambien directamente D12 y D21 :
In[10]:= D@D@xy+ yx, xD, yD
Out[10]= x-1+y
+ y-1+x
+ x-1+y
y Log@xD + x y-1+x
Log@yD
In[34]:= D21f@x_, y_, z_D := x-1+y+ y-1+x
+ x-1+y y Log@xD + x y-1+x Log@yD;
D21f@1, 2, 3DOut[35]= 2 + Log@2D
In[11]:= D@D@xy+ yx, yD, xD
Out[11]= x-1+y
+ y-1+x
+ x-1+y
y Log@xD + x y-1+x
Log@yD
5. Dada la función f Hx, y, zL = LnAx + y2+ z3E. aM Obtener el dominio de la función f. bM
Obtener el vector gradiente de f en un punto genérico. cMDeterminar el dominio de definición del vector gradiente de f,
y si es posible, el vector gradiente de en
los puntos H-2, -1, 0L y en H1, 1, -1L.dM Obtener las siguientes derivadas
parciales de segundo orden :¶
2 f
¶y2Hx, y, zL,
¶2 f
¶x ¶zHx, y, zL,
¶2 f
¶y ¶xHx, y, zL.
4 PblExaMatItemas3y4.nb
In[15]:= GradALogAx + y2+ z3E, 8x, y, z<E
Out[15]= :1
x + y2+ z3
,
2 y
x + y2+ z3
,
3 z2
x + y2+ z3
>
cL Dom HGradfL = 9Hx, y, zL Î R3 � x + y2
+ z3> 0=.
In[44]:= Gra@x_, y_, z_D := :1
x + y2+ z3
,2 y
x + y2+ z3
,3 z2
x + y2+ z3
>;
H-2, -1, 0L Ï DomGradf
In[21]:= Gra@1, 1, -1DOut[21]= 81, 2, 3<
DALogAx + y2+ z3E, yE
2 y
x + y2+ z3
D@%, yD
-
4 y2
Ix + y2+ z3M2
+
2
x + y2+ z3
Tambien directamente D22 :
In[12]:= DADALogAx + y2+ z3E, yE, yE
Out[12]= -
4 y2
Ix + y2+ z3M2
+
2
x + y2+ z3
DALogAx + y2+ z3E, xE
1
x + y2+ z3
D@%, zD
-
3 z2
Ix + y2+ z3M2
Directamente D31 y D12 :
In[13]:= DADALogAx + y2+ z3E, zE, xE
Out[13]= -
3 z2
Ix + y2+ z3M2
In[14]:= DADALogAx + y2+ z3E, xE, yE
Out[14]= -
2 y
Ix + y2+ z3M2
PblExaMatItemas3y4.nb 5
6. Dada la función : f Hx, y, zL = Sen@x yD Cos@zD . aL Obtener el dominio de la
función. bL Obtener el vector gradiente de f en un punto genérico. cLDeterminar el dominio de definición del vector gradiente de f ,
y si es posible, el vector gradientede f e
el punto H1, 0, Π L. dL Obtener las siguientes derivadas parciales de
segundo orden :¶
2 f
¶z2Hx, y, zL,
¶2 f
¶y ¶xHx, y, zL,
¶2 f
¶x ¶yHx, y, zL.
aL Dom HfL = R
In[22]:= Grad@Sin@x yD Cos@zD, 8x, y, z<DOut[22]= 8y Cos@x yD Cos@zD, x Cos@x yD Cos@zD, -Sin@x yD Sin@zD<
cL Dom HGradfL = R
In[36]:= Gra@x_, y_, z_D := 8y Cos@x yD Cos@zD, x Cos@x yD Cos@zD, -Sin@x yD Sin@zD<;
Gra@1, 0, Π DOut[37]= 80, -1, 0<
In[23]:= D@D@Sin@x yD Cos@zD, zD, zDOut[23]= -Cos@zD Sin@x yD
In[24]:= D@D@Sin@x yD Cos@zD, xD, yDOut[24]= Cos@x yD Cos@zD - x y Cos@zD Sin@x yD
In[25]:= D@D@Sin@x yD Cos@zD, yD, xDOut[25]= Cos@x yD Cos@zD - x y Cos@zD Sin@x yD
7. Dada la función f Hx, yL =
Sin@x yD5x
. a Obtener el vector gradiente de f,
así como su dominio de definición. b Calcular las
derivadas parciales de segundo orden :¶
2 f
¶y2Hx, yL ,
¶2 f
¶x ¶yHx, yL.
In[38]:= GradBSin@x yD
5x, 8x, y<F
Out[38]= 85-x
y Cos@x yD - 5-x
Log@5D Sin@x yD, 5-x
x Cos@x yD<
aL DomGraf = 9Hx, yL Î R2=
In[39]:= DBDBSin@x yD
5x, yF, yF
Out[39]= -5-x
x2
Sin@x yD
In[40]:= DBDBSin@x yD
5x, yF, xF
Out[40]= 5-x
Cos@x yD - 5-x
x Cos@x yD Log@5D - 5-x
x y Sin@x yD
6 PblExaMatItemas3y4.nb
8. Dada la función f Hx, y, zL = Ln@x y + zD.
aL Obtener el dominio de la función.bL Obtener el vector gradiente de f,
en un punto genéico.cL Determinar el dominio de definición del
vector gradiente de f, y si es posible, el vector gradiente de f en
el punto H1, 1, -2L.
aL Domf = 9Hx, y, zL Ε R3 � x y + z > 0=
In[41]:= Grad@Log@x y + zD, 8x, y, z<D
Out[41]= :y
x y + z
,
x
x y + z
,
1
x y + z
>
cL DomGraf = 9Hx, y, zL Ε R3 � x y + z > 0=
Gra@x_, y_, z_D := :y
x y + z,
x
x y + z,
1
x y + z>;
H1, 1, -2L Ï DomGraf
9. Dada la función f Hx, yL =
x
y - 1y g Hx, yL = x
x
y
a Obtener los dominios de definición de f y g. b Obtener los vectores
gradientes de f y g en un punto genérico, indicando sus respectivos dominios. c
Si es posible, determinar los vectores gradientes en el punto H1, 2L.
aL Domf = :Hx, yL Î R2 �
x
y - 1r 0, y - 1 ¹ 0>, Domg = 9Hx, yL Î R
2 � x > 0, y ¹ 0=
In[45]:= GradBx
y - 1, 8x, y<F
Out[45]= :1
2x
-1+yH-1 + yL
, -
x
2x
-1+yH-1 + yL2
>
In[46]:= GradBx
x
y , 8x, y<F
Out[46]= :xx�y
1
y
+
Log@xDy
, -
x1+
x
y Log@xDy2
>
PblExaMatItemas3y4.nb 7
In[47]:= Graf@x_, y_D := :1
2x
-1+yH-1 + yL
, -
x
2x
-1+yH-1 + yL2
>;
Grag@x_, y_D := :xx�y1
y+
Log@xDy
, -
x1+
x
y Log@xDy2
>;
Graf@1, 2DGrag@1, 2D
Out[49]= :1
2
, -
1
2
>
Out[50]= :1
2
, 0>
10. Dada la función f Hx, yL = LnBx + y
x - y3 F. a Obtener
el dominio de definición de f. b Obtener la matriz Hessiana
de f en un punto genérico indicando su dominio de definición. c
Si es posible calcular la matriz Hessiana en el punto H2, 1L.
aL Domf = 9Hx, yL Ε R2 � x - y ¹ 0=
In[51]:= DBLogBx + y
x - y3 F, 88x, y<, 2<F
Out[51]= ::Hx - yL J-
2
Hx-yL2+
2 Hx+yLHx-yL3
N
3 Hx + yL-
Hx - yL2 J 1
x-y-
x+y
Hx-yL2N
2
3 Hx + yL2
,
-
2
3 Hx - yL2
-
Hx - yL2 J 1
x-y-
x+y
Hx-yL2N J 1
x-y+
x+y
Hx-yL2N
3 Hx + yL2
>,
:-
2
3 Hx - yL2
-
Hx - yL2 J 1
x-y-
x+y
Hx-yL2N J 1
x-y+
x+y
Hx-yL2N
3 Hx + yL2
,
Hx - yL J 2
Hx-yL2+
2 Hx+yLHx-yL3
N
3 Hx + yL-
Hx - yL2 J 1
x-y+
x+y
Hx-yL2N
2
3 Hx + yL2
>>
In[52]:= Simplify@%D
Out[52]= ::4 x y
3 Hx - yL2 Hx + yL2
, -
2 Ix2+ y2M
3 Hx - yL2 Hx + yL2
>, :-
2 Ix2+ y2M
3 Hx - yL2 Hx + yL2
,
4 x y
3 Hx - yL2 Hx + yL2
>>
bL DomHf = 9Hx, yL Ε R2 � x - y ¹ 0, x + y ¹ 0=
8 PblExaMatItemas3y4.nb
In[53]:= Hf@x_, y_D :=
::4 x y
3 Hx - yL2 Hx + yL2, -
2 Ix2+ y2M
3 Hx - yL2 Hx + yL2>, :-
2 Ix2+ y2M
3 Hx - yL2 Hx + yL2,
4 x y
3 Hx - yL2 Hx + yL2>>;
Hf@2,
1D
Out[54]= ::8
27
, -
10
27
>, :-
10
27
,
8
27
>>
11. Dada la función f Hx, yL = Sin2@x yD. aMObtener el vector gradiente de f en un punto genérico. bM
Calcular la derivada parcial de segundo orden :¶
2 f
¶x2Hx, yL
In[56]:= GradASin@x yD2, 8x, y<EOut[56]= 82 y Cos@x yD Sin@x yD, 2 x Cos@x yD Sin@x yD<
In[57]:= DADASin@x yD2, xE, xE
Out[57]= 2 y2
Cos@x yD2- 2 y
2Sin@x yD2
12. Dada la función f Hx, y, zL = xx z. aL Obtener el dominio de la función f. bLObtener el vector gradiente de f en un punto genérico. cL
Determinar el dominio de definición del vector gradiente de f,
y si es posible, el vector gradientede f en
el punto H1, -1, 1L.
aL Domf = 9Hx, y, zL Ε R3 � x > 0=
In[58]:= Grad@xx z, 8x, y, z<D
Out[58]= 9xx z Hz + z Log@xDL, 0, x
1+x zLog@xD=
cL DomGraf = 9Hx, y, zL Ε R3 � x > 0=
In[59]:= Gra@x_, y_, z_D := 9xx z Hz + z Log@xDL, 0, x1+x z Log@xD=;
Gra@1, -1, 1DOut[60]= 81, 0, 0<
13. Dada la función f Hx, yL = LnBx + 3
y3F. a Obtener el vector gradiente de f,
asícomo su dominio de definición. b Calcular las
derivadas parciales de segundo orden :¶
2 f
¶x2Hx, yL y
¶2 f
¶x ¶yHx, yL.
PblExaMatItemas3y4.nb 9
In[61]:= GradBLogBx + 3
y3F, 8x, y<F
Out[61]= :1
2 H3 + xL, -
3
2 y
>
aL DomGraf = :Hx, yL Ε R2 �
x + 3
y3> 0, y ¹ 0>
In[62]:= DBDBLogBx + 3
y3F, xF, xF
Out[62]= -
1
2 H3 + xL2
In[63]:= DBDBLogBx + 3
y3F, yF, xF
Out[63]= 0
14. Dada la función f Hx, y, zL = zSin@x zD. aM Obtener el vector gradiente de f,
así como su dominio de definición. bM Calcular las
derivadas parciales de segundo orden :¶
2 f
¶x2Hx, yL y
¶2 f
¶x ¶yHx, yL.
In[64]:= GradAzSin@x zD, 8x, y, z<E
Out[64]= :z1+Sin@x zD
Cos@x zD Log@zD, 0, zSin@x zD
x Cos@x zD Log@zD +
Sin@x zDz
>
aL DomGraf = 9Hx, y, zL Ε R3 � z > 0=
In[65]:= DADAzSin@x zD, xE, xE
Out[65]= z2+Sin@x zD
Cos@x zD2Log@zD2
- z2+Sin@x zD
Log@zD Sin@x zD
In[66]:= DADAzSin@x zD, yE, xEOut[66]= 0
10 PblExaMatItemas3y4.nb
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