1. oblikovanje matematičnih pojmov

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

1

1. Oblikovanje matematičnih pojmov

Uvod1. 1 Opredelitev pojma 'pojem' 1.2 Oblikovanje pojmov Primer: Oblikovanje pojma večkotnik  Izkušnje z večkotniki 1.2.1Učenje z razumevanjem 1.2.2 Ključni dejavniki pri oblikovanju pojmov Protiprimeri oz. negativni primeri Poimenovanje pojmov in komunikacija o pojmih Motnje pri oblikovanju pojmov 1.3 Teorija v praksiLiteratura

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

2

Uvod

Učenje matematike je za učence smotrno, ker je matematika bistveni element komunikacije, ker je pomembno sredstvo v vsakdanjem življenju, ker je fascinantna, ker omogoča imaginacijo, intuitivnost in kreativnost misli, ker nudi sistematično delo ter ker s pomočjo matematike razvijamo učenčevo samozaupanje v njegove

(matematične) sposobnosti.

Učenec si v procesu učenja matematike pridobiva znanje o matematičnih pojmih in simbolih, matematične veščine ter matematične strategije.

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

3

1.1 Opredelitev pojma ‘pojem’

pójem … miselna tvorba, določena z bistvenimi lastnostmi, značilnostmi konkretnega ali abstraktnega predmeta, predmetov…; lepo je relativen pojem; pojem časti, hiše, vojne…// kar se da določiti, spoznati zlasti z umom: svoboda ni predmet, ampak pojem (SSKJ, 1994)

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

4

1.2 Oblikovanje pojmov

 Pri oblikovanju pojmov sta bistvena dva procesa:

pridobivanje izkušenj in

uvrščanje izkušenj v obstoječe okvire izkušenj.

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

5

Abstrakcija oziroma pojem

Raznovrstnost izkušenj Ekonomičnost spomina

Abstrahiranje - proces ozaveščanja podobnosti naših

izkušenj

Posebne lastnosti, ki so določene s posamezno pojavno obliko predmetov in pojmov, ponavadi pozabimo

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

6

Primer: Oblikovanje pojma večkotnik

Oblikovanje pojma trikotnik

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

7

Oblikovanje pojma večkotnik

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

8

Je to večkotnik?

Lik?

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

9

Izkušnje z večkotniki Razvrščanje večkotnikov Poimenovanje večkotnikov Izdelovanje večkotnikov (rezanje, oblikovanje štirikotnikov na geoplošči,

programsko okolje LOGO…)

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

10

to paralel :velikost1 :velikost2 :kot

repeat 2[fd :velikost1 rt :kot fd:velikost2 rt 180-:kot]

end

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

11

Simetrija pri večkotnikih Obseg večkotnika Ploščina večkotnika

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

12

Povzetek

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

13

1.2.1 Učenje z razumevanjem

Razumeti ‘razumeti’ prav gotovo ni enostavno. Davis (1992) na primer opisuje, da o razumevanju govorimo takrat, ko novo idejo lahko pospravimo v večji okvir starih idej. To je najbolj izrazito takrat, ko je na novo pridobljena informacija odgovor na določeno vprašanje oziroma, ko smo iskali prav to informacijo.

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

14

Metafora sestavljanke

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

15

Pri obravnavi matematičnih pojmov v glavnem lahko izbiramo med dvema alternativnima pristopoma:

behaviorističnim in kognitivnim (Orton, 1992).

Kognitivni pristop upošteva učenčevo predznanje ter učenčevo zrelost oziroma pripravljenost za učenje določenega pojma. Kognitivni pristop temelji na delu Piageta.

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

16

Na podlagi Piagetovega dela je Dienes (1960) oblikoval tri stopnje, ki igrajo pomembno vlogo pri oblikovanju matematičnih pojmov:

stopnja igre, stopnja strukture in stopnja vaje.

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

17

Tri stopnje pri učenju matematičnih pojmov je opredelil tudi Bruner (1966). Bruner razlikuje med

enaktivno, ikonično in simbolično stopnjo.

Stopnje po Brunerju lahko pri usvajanju matematičnih pojmov apliciramo hierarhično, ali kot tri različne pristope pri usvajanju matematičnih pojmov. Primernost posameznega pristopa je določena s starostjo učenca in naravo matematičnega pojma.

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

18

Učenje matematike z razumevanjem je raziskoval tudi Ausubel (1968), ki je postavil neko splošno teorijo o učenju z razumevanjem.

Učenje z razumevanjem je opredelil kot proces pridobivanja znanja, ki temelji na vzpostavljanju povezav z obstoječo posameznikovo strukturo znanja.

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

19

Povzetek: Bruner se je zavzemal za to, da bi morali učenci pri pouku samostojno odkrivati, Ausubel pa je dal prednost sistematičnemu učenju, ki rezultira v bolj sistematičnem znanju.

Če pogledamo naš šolski prostor, potem imamo občutek, da se sicer vedno bolj nagibamo k Brunerjevi teoriji, vendar pa po drugi strani gojimo večje zaupanje v Ausubelove ideje.

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

20

Lahko sklenemo, da pri učenju o pojmih obstajata dve poti (Marentič Požarnik, 2000):

samostojno oblikovanje (odkrivanje) pojmov in pridobivanje obstoječih pojmov od odraslih, predvsem na osnovi

besednih razlag.

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

21

Pridobivanje obstoječih pojmov od odraslih poteka v glavnem na dva načina: kot poučevanje s primeri in kot poučevanje pojmov prek definicij oziroma po deduktivni poti.

Samostojno oblikovanje pojmov zagovarja konstruktivizem. ‘Kognitivna ovira’ (spreminjanje napačno oblikovanih pojmov);

razumevanje pojma ‘je enako’ Druge ovire? (inovativni algoritmi; kam vodijo?)

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

22

Učna metoda mora zagotoviti interakcijo med konkretno aktivnostjo in miselno aktivnostjo. Optimalno ravnovesje med obema pa je določeno s starostjo učencev, z njihovimi sposobnostmi, naravo matematičnega pojma in dostopnostjo ustreznih materialov.

Radikalni konstruktivizem

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

23

Sociokonstruktivizem moramo razumeti kot proces individualnih konstrukcij v socialnem okolju. Matematiko bi lahko opredelili kot sociološko znanost v smislu, da so vsi pomeni matematičnih idej dogovorjeni oziroma v družbi na določen način prepoznavni.

Lahko bi celo govorili o matematiziranju namesto o matematiki.

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

24

Poskusi konstruktivizma: Didaktični realizem na Nizozemskem: Ker so konstrukti vezani na kontekst, morajo biti kontekstualni

tudi matematične naloge in matematični jezik. Med konstrukti posameznikov morajo obstajati določene

konfrontacije (konflikti, presenečenja in šale). Konstrukti morajo imeti določen pomen in jih je mogoče vgraditi

v obstoječo miselno strukturo.van den Brink (1984, 1985, 1991)

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

25

Strategije računanja 37+24 na ‘prazni številski osi’ (Selter, 1998, str. 7)

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

26

1.2.1 Ključni dejavniki pri oblikovanju pojmov

Protiprimeri oz. negativni primeri

Pravokotna oblika kot protiprimer kvadratne oblike

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

27

Poimenovanje pojmov in komunikacija o pojmih

Besede označujejo pojme.

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

28

Primarni pojmi (npr. trikotnik)

Sekundarni pojmi (npr. lik)

Če je pojem A primer pojma B, potem je

pojem B sekundarni pojem.

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

29

Motnje pri oblikovanju pojmov

… so podatki, ki so za pojem nepomembni

Računanje do 20 (Vzeto iz Hafner, Mulec, Uran, 1998, str. 118 in 119)

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

30

Pojmi in relacije med njimi ter matematična dejstva (izrazi, simboli,

formule) oblikujejo shemo (miselno strukturo).

Naravna števila

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

31

Zakaj v shemi ni odštevanja in deljenja?

Realna števila

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

32

Prilagodljivost strukture (Piaget)

Stopnje kognitivnega razvoja (nivoji otrokovega mišljenja)

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

33

1.3 Teorija v praksi

Pojmi v matematiki so abstraktne ideje, ki pa za otroka zaživijo s pomočjo reprezentacij.

Pri reprezentacijah oziroma pri oblikovanju matematičnih pojmov pri metodiki matematike sledimo načelu od konkretnega do abstraktnega.

 Poznamo: reprezentacije s konkretnim materialom grafične reprezentacije reprezentacije z matematičnimi simboli. (4)

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

34

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

35

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov

36

Literatura

Bruner, J. S. (1966) Toward a Theory of Instruction. Cambridge, MA: Harvard University Press. Davis, R. B. (1992) Understanding “Understanding”. Journal of Mathematical Behavior 11(3), 225-

241.Dienes, Z. (1960) Building Up Mathematics. London: Hutchinson Educational.Hodnik Čadež, T. (2001) Vloga različnih reprezentacij računskih algoritmov na razredni stopnji

(doktorska disertacija). Filozofska fakulteta.Lerman, S. (1989) Constructivism, Mathematics and Mathematics Education. Educational Studies in

Mathematics 20(2), 211-223. Marentič Požarnik, B. (2000) Psihologija učenja in pouka. Ljubljana: DZS. Orton, A. (1992) Learning Matehmatics (Issues, Theory and Classroom Practice). London: Cassell

Education.Selter, C. (1998) Building on Children’s Mathematics - A Teaching Experiment in Grade Three.

Educational Studies in Mathematics 36(1), 1-27.Van den Brink, F. J. (1984) Numbers in Contextual Frameworks. Educational Studies in Mathematics

15, 239-257.Van den Brink, F. J. (1985) Staging Arithmetic: a Suggestion for the Start of Mathematics Instruction.

For the Learning of Mathematics 5(2), 35-37.van den Brink, F. J. (1991) Didactic Constructivism. V: von Glasersfeld, E. (ur.) Radical

Constructivism in Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer.