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FILTRI ATTIVIFILTRI ATTIVI

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Introduzione

I filtri vengono in genere suddivisi in alcune categorie in base al modo in cui la tensione di uscita varia rispetto a quella d’ingresso. Tali categorie sono:

• Passa basso

• Passa alto

• Pasa banda

• Elimina banda

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Filtro Passa Basso

La banda passante di un PASSA BASSO è, perdefinizione, compresa tra 0 Hz (segnale continuo) e la frequenza di taglio fc , in corrispondenza della quale iltensione di uscita diventa il 70.7% del valore massimoassunto dalla stessa tensione nella banda passante.

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Filtro Passa Basso

La banda passante ideale, rappresentata in figura dalla zona in colore compresa tra le linee tratteggiate, si porta istantaneamente a zero (cioè è caratterizzata da una pendenza infinita) in corrispondenza della frequenza fc . La larghezza di banda di questo tipo di filtro risulta pertanto uguale ad fc.

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Filtro Passa Basso

Sebbene una risposta ideale non sia praticamente realizzabile, è comunque possibile ottenere pendenze(roll-off ) di -20 dB/decade e anche maggiori.

La figura riporta alcune risposte in frequenza ideali di unfiltro passa basso, ciascuna caratterizzata da una pendenza diversa.

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Filtro Passa Basso

La pendenza di -20 dB/decade si ottiene mediante un'unica rete RC composta da una resistenza e da un condensatore.

Per realizzare pendenze maggiori occorre collegare opportunamente tra loro più reti RC.

Ciascuna di tali reti viene chiamatata POLO (anche se tale denominazione è, da un certo punto di vista, impropria per quanto riguarda la teoria dei sistemi controllati).

La frequenza di taglio di un filtro RC è quella per cui si ha che Xc = R e pertanto è data dalla relazione

CRfc

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1

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Filtro Passa Alto

La risposta del filtro PASSA ALTO consiste nella attenuazione di tutti i segnali con frequenze inferiori a fc , e nel lasciare invece passare tutti i segnali con frequenzesuperiori a fc.

Come per il Passa Basso la frequenza di taglio è la frequenzain corrispondenza della quale il valore della tensione diuscita diventa il 70.7% del valore massimo assunto dalla stessa tensione nella banda passante (figura).

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Filtro Passa Alto

Come nel caso del filtro passa basso RC, anche la frequenza di taglio del Passa Alto corrisponde alla frequenza in corrispondenza della quale si ha Xc = R e,di conseguenza, è data dalla relazione

La risposta di un filtro Passa Alto si estende da fc

fino a una frequenza il cui valore risulta fissato dallelimitazioni imposte dall'elemento attivo (transistor o amplificatore operazionale) utilizzato nel filtro.

CRfc

2

1

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Filtro Passa Alto

La risposta ideale, indicata dalla zona in colore racchiusa nelle linee tratteggiate, si porta istantaneamente a zero (pendenza infinita) in corrispondenza di fc.

Tale comportamento è, ovviamente, irrealizzabile. E’ però possibile ottenere pendenze di 20 dB/decade o multiple di questo valore, tenendo presente che ciascun POLO (cioè ciascuna rete RC) introduce unapendenza di 20 dB/decade.

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Filtro Passa Banda

Un filtro Passa Banda consente il passaggio di tutti i segnali le cui frequenze fanno parte di una BANDA compresa tra una frequenza limite inferiore e una frequenza limite superiore, mentre impedisce il passaggio di tutti i segnali con frequenze esterne alla suddettabanda.

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Filtro Passa Banda

La larghezza di banda (BW) è definita come la differenza tra la frequenza di taglio superiore (fc2) e la frequenza di taglio inferiore (fc1):

Le frequenze di taglio sono le ascisse della risposta in frequenza in corrispondenza delle quali l'ampiezza della risposta stessa è il 70.7% del suo valore massimo.

12 cc ffBW

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Filtro Passa Banda

Queste frequenze di taglio vengono anche chiamate frequenze a -3 dB.

La frequenza rispetto alla quale risulta centrata la banda passante viene chiamata FREQUENZA CENTRALE f0 .

Essa è definita come media geometrica delle frequenze di taglio:

210 cc fff

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Filtro Passa Banda

Il fattore di qualità Q di un filtro passa banda è il rapportotra la frequenza centrale e la larghezza di banda del filtrostesso:

BW

fQ 0

Il valore di Q è un'indicazione della SELETTIVITÀ di un filtro Passa Banda.

Quanto più elevato è Q, tanto più stretta risulta la larghezza di banda e, di conseguenza, migliore risulta la selettivitàdel filtro per un dato valore di Q.

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Filtro Passa Banda

I filtri Passa Banda vengono talvolta classificati:

• a banda stretta se è Q > 10 • a banda larga se è Q < 10

Il fattore di qualità Q può anche essere espresso in funzione del fattore di smorzamento DF (damping factor) del filtro nel modo seguente:

DFQ

1

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Filtro Elimina Banda

Un'altra categoria di filtri attivi è quella deí filtri Elimina Banda (che vengono a volte designati anche con il termine inglese NOTCH ).

Il comportamento di questo tipo di filtro esattamente I’opposto di quello del filtro passa banda.

Nel filtro Elimina Banda, infatti, tutti i segnali con frequenzecomprese in una data larghezza di banda vengono respinti mentre è consentito il passaggio a tutti i segnali con frequenze esterne ad essa.

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Filtro Elimina Banda

Nella figura è riportato un esempio di risposta in frequenza di un filtro elimina banda.

Si noti che, esattamente come nel caso della risposta in frequenza del filtro Passa Banda, la larghezza di banda è l'insieme di frequenze comprese tra i punti a 3dB.

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Check-up

• La larghezza di banda di un filtro Passa Basso è determinata da……..

• Che cosa limita la larghezza di banda di un filtro Passa Alto?

• In un filtro Passa Banda, che relazione esiste tra il Q e la larghezza di banda?

• In che modo la selettività di un filtro dipende dal Q del filtro?

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Filtri: caratteristiche delle risposte

Ciascun tipo di risposta (Passa Basso, Passa Alto, Passa Banda o Elimina Banda), può essere opportunamente sagomata attribuendo certi valori ai componenti circuitali.

Si ottengono così la caratteristica Butterworth, la caratteristica di Chebyshev o quelIa di Bessel.

Ognuna di queste è riconoscibile dal particolare andamento (sagoma) della corrispondente risposta in frequenza e può risultare più o meno vantaggiosa delle altre a seconda delle applicazioni.

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Filtri: caratteristiche delle risposte

Caratteristica di Butterworth Caratteristica di Butterworth Q = 0.707Q = 0.707

• Risposta in frequenza massimamente piatta nella banda passante.

• roll-off di -20 dB/decade per polo

• banda di transizione larga

• risposta in ampiezza sempre decrescente al crescere della frequenza

• la pulsazione naturale, ω0 , coincide con quella a - 3 dB, per ogni ordine del filtro

• risposta all’impulso con overshot

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Filtri: caratteristiche delle risposte

Caratteristica di Bessel Caratteristica di Bessel Q = 0.577Q = 0.577

• Risposta in frequenza meno piatta nella banda passante.

• roll-off iniziale minore di -20 dB/decade per polo

• banda di transizione meno larga rispetto a Butterworth

• risposta in ampiezza sempre decrescente al crescere della frequenza

• la pulsazione naturale, ω0 , NON COINCIDE con quella a - 3 dB, per ogni ordine del filtro

• risposta all’impulso priva di overshot.

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Filtri: caratteristiche delle risposte

Caratteristica di ChebyshevCaratteristica di Chebyshev 0.707 < Q < 1.3060.707 < Q < 1.306 1.306

• Risposta in frequenza caratterizzata da una serie di ondulazioni nella banda passante.

• roll-off iniziale maggiore di -20 dB/decade per polo

• banda di transizione meno larga rispetto a Butterworth

• risposta in ampiezza sempre decrescente al crescere della frequenza

• la pulsazione naturale, ω0 , NON COINCIDE con quella a - 3 dB, per ogni ordine del filtro

• risposta all’impulso priva di overshot.

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Filtri: caratteristiche delle risposteIl fattore di smorzamentoIl fattore di smorzamento

Un filtro attivo può essere progettato in modo tale daesibire una risposta di tipo

• Butterworth, • Chebyshev• Bessel

indipendentemente dal fatto che si tratti di unpassa-basso, di un passa-alto, di un passa-banda o di un filtro elimina-banda.

È il fattore di smorzamento DF (damping factor) di unfiltro attivo che stabilisce qual è il tipo di rispostache caratterizza il filtro stesso.

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Filtri: caratteristiche delle risposte

Struttura di un filtro attivoStruttura di un filtro attivo

Per spiegare questo concetto,consideriamola struttura generalizzata di filtro attivo riportata in figura.

Essa risulta costituita da

• un amplificatore, • un circuito di retroazione negativa • una sezione di filtraggio.

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Filtri: caratteristiche delle risposte

L’ amplificatore e la retroazione sono connessi in configurazione non invertente.

Il fattore di smorzamento è determinato dal circuito di retroazione negativa e risulta definito dalla seguente espressione:

Q

1αDF

AC LR

RK

2

11

K

RR

RR

DF 3)21

1(321

2

3K KD F 3

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Il valore di DF che fornisce un certo tipo di risposta dipende dall’ordine del filtro, cioè dal numeri di poli.

Esempio 1: per ottenere una risposta alla Butterworth deve essere Q = 0,707 e quindi

da cui

e, ponendo R1 = 10 000Ω, si ottiene R2 = 5 860Ω

Pertanto il GUADAGNO ad anello chiuso dell’ A.D. sarà

Filtri: caratteristiche delle risposte

5 8 6,04 1 4,122

12

DFRR

414,1Q

1DF

)4(586,1586,01

12

1 dBRR

AcL

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Filtri: caratteristiche delle risposte

Esempio 2: per ottenere una risposta alla Bessel si pone Q = 0,577 e quindi

da cui

e, ponendo R1 = 10 000Ω, si ottiene R2 = 2 700Ω

Pertanto il GUADAGNO ad anello chiuso dell’A.D. sarà

27,073,1221

2 DF

R

R

27,127,011

21

R

RAcL

73,1577,0

1

Q

1DF

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La frequenza di taglio è determinata dai componenti

che compongono la rete RC selettiva del filtro.

Polo singolo: pendenza - 20 dB/decade

Scambiando C con R si ottiene un filtro Passa Alto con

uguale fc

Filtri: caratteristiche delle risposte

U1

+

-

OUT

C

R

R2

R1

RCfc

2

1

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• Filtri con tre o più poli ( pendenza > 20 dB/decade ) si ottengono prendendo in cascata più sezioni del 2° e 1° ordine.

Filtri: caratteristiche delle risposte

U1

OPAMP

+

-

OUT

R

R

RETE U2

OPAMP

+

-

OUT

R

R

RETE U3

OPAMP

+

-

OUT

R

R

RETEVout

Vin

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Quando si pongono però più sezioni in cascata, i fattori di

smorzamento devono essere scelti in base a precisi

criteri ed in base al tipo di sagoma che si vuole ottenere.

Ad esempio per realizzare filtri alla Butterworth, fino al 6°

ordine, bisogna utilizzare i valori della tabella seguente:

Filtri: caratteristiche delle risposte

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Filtri: caratteristiche delle risposte

ORDINE PENDENZA POLI DF R2/R1 POLI DF R2/R1 POLI DF R2/R1

1° 20 1 - - - - - - - -

2° 40 2 1,41 0,586 - - - - - -

3° 60 2 1,00 1 1 1,00 1 - - -

4° 80 2 1,85 0,152 2 0,765 1,23 - - -

5° 100 2 1,00 1 2 1,62 0,38 1 0,62 1,38

6° 120 1 1,93 0,068 2 1,41 0,586 2 0,52 1,48

1°STADIO

2° STADIO

3° STADIO

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Esempio: si vuole progettare un filtro a 4 poli con

frequenza di taglio di 2 680 Hz e sagoma alla Butterworth.

Sono date RA = RB = 1,8 KΩ

Filtri: caratteristiche delle risposte

Vin

Vout

U1

+

-

OUT

RA1 RB1

R2

R1

CA1

CB1

U2

+

-

OUT

RA2 RB2

R4

R3

CB2

CA2

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- Dovendo essere alla Butterworth, il filtro sarà composto da due sezioni del 2° ordine con uguale fc.

- Quindi CA1 = CA2 = CB1 = CB2 = C = 0,032 uF- Si può scegliere, per semplificare, R1 = R3 = 1 800 Ω

- Primo stadio: dalla tabella,

- Secondo stadio: dalla tabella,

Filtri: caratteristiche delle risposte

RCfc

2

1 F

fcRC

032,0

180026802

1

2

1

15,01

285,11

R

RDF

270180015,0115,02 RR

235,13

4765,02

R

RDF

KRR 22,21800235,13235,14