1 corriente alterna 1. generador de corriente alterna. frecuencia y fase. valores eficaces. fasores....
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Corriente alterna
1. Generador de corriente alterna. Frecuencia y fase. Valores eficaces. Fasores.
2. Circuito con resistencia, condensador o bobina. Impedancia. (1 hora).
3. Circuito serie RLC. Resonancia. Asociación de impedancias.
4. Resolución circuitos. Aplicación: sintonización de una emisora de radio. (1.5 horas).
5. Potencia en corriente alterna. Aplicación: transformadores (1 hora).
2
Corriente Alterna: Aquella cuya intensidad es unafunción periódica del tiempo.
)cos()();()( 0 tItinTtiti
• Baja frecuencia• L y C localizadas y no distribuidas• Sin corrientes de desplazamientos.• Elementos lineales.• Se cumple el P. de Superposición.
3
1.Generadores de corriente alterna (CA).
)()(
cos
0
tsenVtsenNBAdt
dv
t
NBA
Bobina con N vueltas
4
Se suele elegir , desfase inicial ó ángulo formado por el campo magnético y la normal a la superficie de la bobina, como /2. De esa manera la expresión para la fuerza electromotriz generada es:Si es cero, entonces v = V0 sen ωt.Si dos magnitudes v e i están en fase quiere decir que ambas crecen y decrecen simultáneamente y se anulan en los mismos instantes de tiempo.
tVv cos0
En los circuitos, un generador de c.a. se representa con el símbolo:
Frecuencia y faseCiclo: una revolución completa de la espira.Periodo: tiempo que tarda en realizar una revolución, TFrecuencia: número de ciclos por segundo, f, siendo f = 1/T, se mide en hertz, Hz. En Europa, f = 50 Hz, en EEUU, f = 60 Hz.En circuitos electrónico, puede valer del orden de kHz, MHz o GHz.Frecuencia angular: velocidad angular con que gira el cuadro, su valor es: ω = 2π/T = 2πf y se mide en radianes/s.Fase: el producto ωt representa un ángulo en radianes y su valor en un instante dado se denomina fase del voltaje aplicado. A ωt se le tiene que añadir una fase inicial , si es que la hay.
5
Valores eficaces.
00 7,02
II
Ief 20VVef
Vemos que i varían con el tiempo. ¿cómo comparar los efectos de una c.a. con una de continua, c.c.? ¿Qué valor de la i se utiliza para calcular la energía disipada por efecto Joule en un circuito de c.a.?
Valor eficaz de la intensidad de una c.a. se define como aquel valor de una intensidad de c.c. que desarrollase la misma cantidad de calor en igual tiempo y en la misma resistencia. Su valor es:
6
2. C.A. en una resistencia.
tItR
VI
IRV
tVVV
R
oR
coscos
cos
00
T/4
T/2
3T/4
T
0
04
2cos T
T
023
cos432
cos TT
V
V e i están en fase
7
La potencia disipada en la R varia con el tiempo. Su valor en un instante es:
tRIRIP 220
2 cos
La potencia media en un periodo es:
RIPm202
1
8
Circuitos de CA: (a) sólo inductivo (b) sólo capacitivo.
(a) Circuito inductivo:
)cos()( 0 tVtV
0)(
)( dttdI
LtV
dttdI
LtV)(
)cos(0
2cos)( 0
0
tItsenL
VtI
LXV
LV
I 000
LX es la reactancia inductivao impedancia inductiva
V
9
T/4
T/2
3T/4T
Como la tensión VL en la bobina se hace máxima antes que la I, se dice que I está retrasada respecto de la tensión aplicada en 90º ó /2 ó un cuarto de periodo, T/4, es decir, NO ESTÁN EN FASE.
10
Potencia media cedida por la fuente o disipada por la bobina :
mmm tsenIVtsenItVP )2(cos 0000
El valor de 2t oscila dos veces durante cada cicloy es negativo la mitad del tiempo y positivo la otramitad. Por lo tanto, en término medio, la potencia media cedida por la fuente o la disipada por la bobina es nula, siempre y cuando la resistencia de la misma sea despreciable.
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(b) Circuito capacitivo:
)cos()( 0 tVtV
Ctq
tV)(
)cos(0
tCVtq cos)( 0
tsenCVdttdq
ItI C 0)(
)(
)2
cos(0
tIIC
V
Voltaje del generador:
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siendo:CX
V
C
VCVI 00
00 1
CXC
1 es la reactancia capacitiva ó impedancia capacitiva.
Se dice que la intensidad en el condensador respecto de la tensión aplicada adelanta en 90º ó /2 ó un cuarto de periodo, T/4, es decir, NO ESTÁN EN FASE.
T/4T/2
3T/4 T
También se dice que VC estáretrasada respecto a la corrienteen 90º.
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Fasores.Son vectores giratorios con velocidad angular en el plano XY. Se representan por un módulo y un argumento, forma polar. También se representan mediante coordenadas cartesianas, forma binómica.
En general la corriente enun circuito de ca es de laforma: I = I0 cos (t +). Lacaída de tensión en una Res, VR = IR = I0R cos (t +).
El fasor VR tiene de móduloIoR y forma un ángulo conel eje X.
0IeI jo
Rj
R VeV
+
14
Las funciones armónicas sen(t+) y cos(t +) se pueden poner como fasores y así se opera más rápidamente.
i (t) = I0 cos (t + ) en forma fasorial seria un vector de módulo I0 que forma un ángulo con el eje X en el instante inicial y que gira con velocidad angular :
La gran ventaja de todo ello es que como todos los fasores giran con la misma se puede operar con ellos como si fueran vectores.
00 IeII~ jo
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Concepto de Impedancia, Z
En general la Z de un elemento, de una rama o de un circuito completo es la relación que existe entre los fasores asociados a la tensión aplicada y la corriente que circula por el elemento, rama o circuito.
2/2/
0
0
0
0
0
IV
IV
Z
Así, para una bobina la Z vale:
En este caso Z no es un fasor ya que no gira con frecuencia angular constante .
jj
j
eI
V
eI
eV
I~V~
Z 0
0
0
00
16
Representación de fasores mediante magnitudes complejas.
y
x
Z1j
rZ = r (cos + j sen )
x = r cos y = r sen
recuérdese también la formula de Moivre: ej = cos + j sen
Por ello, Z también se expresa como: Z = r ej = r
Suma y Resta: Z1 = x1 + j y1
Z2 = x2 + j y2
Z1±Z2=(x1±x2)+j(y1±y2)
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Multiplicación y división:
Z1 = x1 + j y1
Z2 = x2 + j y2
Z1 *Z2 = (x1 + j y1)*(x2 + j y2)
=(x1x2-y1y2)+j (x1y2+y1x2)
Z1 *Z2 = r1 ej 1 * r2 ej
2 = r1r2 ej(1+
2)
=r1 *r2 = r1r21+2
21
22
22
12212121
22
22
22
11
2
1 )()(yx
xyxyjyyxxjyxjyx
jyxjyx
ZZ
)(
2
1
2
1 21
2
1
j
j
j
err
erer
212
1
22
11
rr
rr
18
A partir de ahora siempre que veamos una expresión de la forma:
tjtjj eIeeItIti 000~)cos()(
donde el fasor es: 000~ IeII j
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Solución fasorial del circuito con sólo bobina:
i(t)
V (t) = V0cost
)cos()( 0 tIti donde se desconoce I0 y Forma fasorial de v (t) y de i (t):
tjtjj
tjtjj
eIeeIti
eVeeVtv
00
00
0
~)(
~)(
ecuación del circuito:
dttdI
LtV)(
)cos(0
20
Solución fasorial:tjtj eILjeV 00
~~
luego:LL ZV
jXV
LjV
I 0000
~~~~
LZ es la impedancia compleja inductiva.
2/02/
00
00~
j
j
jj e
LV
LeeV
eII
de esta última expresión se deduce que:
LXV
LV
I 000
y2
0V
0I 2
21
Solución fasorial del circuito con sólo condensador:
idtCC
tqtV
1)(cos0 Ecuación del circuito:
tjtj ej
IC
eV
1~1~
00
CC ZV
jXV
Cj
VVCjI 00000
~~
1
~~~
CC jXZ es la impedancia del condensador
CXC
1
22
tjjtjjo e
jeI
CeeV
11
00
De donde:
00 CVI y2/0 jjj ejee
También se observa que:
es decir, la intensidad adelanta a la tensión en 90 ºó /2.
0V 0I
2
2cos)( 0
t
LV
ti
23
6. Circuito serie LCR con generador.
R
v (t) = V0cost L
C
i (t) = Io cos ( t + )
200
20
20 )( CLR VVVV
222
020
1C
LRIV
VR
VC
VL
VL-VC
v0
24
22
00
1
CLR
VI
RC
L
V
VV
R
CL
1
tan0
00
y
CLjRZ
1
25
v (t) = V0cost L CR
Circuito LCR paralelo
CL jXjXRZ 1111
00 00
R
V
R
VIR 2/0
2/
00
LLL X
V
X
VI
2/0
2/
00
CCC X
VX
VI
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Resonancia.
Cuando XL y XC son iguales, la impedancia Z tiene su valor mínimo igual a R. En este caso la corriente que atraviesa el circuito serie RLC es máxima y el circuito se dice que está en resonancia, es decir, su reactancia es nula.
Haciendo XL = XC, resulta que la frecuencia de resonancia vale:
LCfó
LCy
CL
2
111
Para cualquier circuito la condición resonante se obtiene cuando la parte compleja se anula
Curvas de resonancia en un circuito serie RLC. AL variar R en la expresión I = I(ω) se obtiene la curva de resonancia, y cuanto menor es R más alto y estrecho es el pico de la curva de resonancia. Esto es fundamental para el diseño de circuitos de sintonización de radio y televisión.
Aplicación: sintonización de una emisora de radio.
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Potencia en circuitos de CA.
Sabemos ya que las bobinas y condensadores no consumen potencia en un ciclo. Por tanto en un circuito LCR solo se consume potencia en la resistencia.
La potencia instantánea cedida a la R es:
RtIRIP 20
2 )cos( y la potencia promedio en un ciclo es:
dtRtIT
PT 2
0 0 )cos(1
Recordando que el valor medio en un ciclo del cuadrado de un seno o de un coseno es 1/2, resulta finalmente:
RIRIP ef22
021
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También podemos poner este resultado en función del factor de potencia del circuito, que es cos .
XL-XC
Z
RXC
XL
Z = R + j (XL – XC)
ZRcos
ZV
I 00
cosefefVIP
30
Transformadores.
Dispositivo utilizado para elevar o disminuir la tensión en un circuito sin perdida aparente de potencia.
primario
secundario
dtd
NV 111
dtd
NV 222
Si consideramos que no existe perdida de flujo magnético, se cumple muy aproximadamente la relación de transformación, esto es:
11
22 V
NN
V yefefefefIVIV 2211
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