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Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 1
Motivazione
La distribuzione dell’energia elettrica avviene utilizzando tensioni e correnti che variano con
legge sinusoidale. Grazie all’analisi di Fourier, qualunque segnale variabile nel tempo può essere scomposto in
una somma si contributi sinusoidali (serie di Fourier o integrale di Fourier)
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 2
Nomenclatura
Un segnale sinusoidale ha la forma della funzione seno o coseno.
Una corrente (tensione) sinusoidale è anche detta corrente (tensione) alternata
(o ac dall’inglese alternate current che si contrappone a dc direct current)
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 3
Segnali sinusoidali
tBtAtv ωω sin cos)( +=Data la funzione
è sempre possibile scrivere )( cos)( ϕω += tCtv
Dimostrazione:
ϕωϕωϕω sin sin cos cos)( cos)( tCtCtCtv −=+=
da cui
−==
BC
AC
ϕϕ
sin
cos22 BAC +=
A
B arctg−=ϕ
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 4
Segnali sinusoidali
)( cos)( ϕω += tVtv
V ampiezza della sinusoideω frequenza angolare o pulsazione (rad/s)ωt argomento della sinusoideϕ fase della sinusoide
π 2π 3 π 4π
−V
V
ωt
v
ϕ
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 5
Segnali sinusoidali
)(2 cos)( ϕπ +=T
tVtv
Il periodo è tempo impiegato per compiere un cicloωπ2=T
)()( tvnTtv =+
La frequenza è il numero di cicli per secondo e si
misura in Hertz (1 Hz = 1 s–1). Si ha ω = 2π f.T
f1=
Tê2 T 3Tê2 2T
−V
V
t
vT
π 2 π
−V
V
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 6
Segnali sinusoidali
tVtv ω cos)(1 =
)( cos)(2 ϕω += tVtv
ϕ
v2 è in anticipo su v1
π 2 π
−A
−B
−C
C
B
A
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 7
Segnali sinusoidali
tAtv ω cos)(1 =
tCtv ω cos)(2 =
v1 e v2 sono in fase, v1 e v3 sono in controfase
)( cos)(3 πω ±= tBtv
Unità immaginaria:
z = x + j y forma rettangolare o cartesianaz = r e jθ forma esponenzialez = r ∠θ forma polare
x parte reale di zy parte immaginaria di zr modulo di zθ argomento di z
x = r cosθ, y = r sinθ, θ = arctg(y/x)
1−=j
22 yxr +=Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 8
Numeri complessi
zr
θy
x Re{z}
Im{z}
Dati z = x + j y = r e jθ, z1 = x1 + j y1 = r1 e jθ1, z2 = x2 + j y2 = r2 e jθ2 si ha:
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 9
Proprietà dei numeri complessi
z1 + z2 = x1 + x2 + j (y1 + y2)
z1 – z2 = x1 – x2 + j (y1 – y2)
z1· z2 = r1 · r2 ∠(θ1 + θ2)
z1/z2 = r1/r2 ∠(θ1 – θ2)
1/z = 1/r ∠–θ
z* = x –j y = r ∠–θ = r e–jθ
1 / j = –j
2/θ∠= rz
|z1/z2| = |z1|/|z2| = r1/r2
Re{1/z} = x/(x2 + y2) ≠ 1/x
Re{1/z} ≠ 1/Re{z}
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 10
Fasori
{ })(eRe)( cos)( ϕωϕω +=+= tjVtVtv
Poiché e jθ = cos θ + j sin θ (identità di Eulero) si ha:
Il numero complesso V = V e jϕ è il fasore che corrisponde alla funzione v(t) alla pulsazione ω
(V è indipendente da t)
{ } { }tjtjjV ωωϕ eReeeRe V==
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 11
Fasori
|V| = V
arg{V} = ϕ
Il modulo e l’argomento del fasore rappresentano l’ampiezza e la fase della funzione sinusoidale:
v(t) = V cos (ωt +ϕ)
funzione fasore
V = V e jϕ
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 12
Proprietà dei fasori: linearità
)( cos)( 111 ϕω += tVtv 1e11ϕjV=V
)( cos)( 222 ϕω += tVtv 2e22ϕjV=V
)()()( 2211 tvatvatv ⋅+⋅= 2211 VVV ⋅+⋅= aa
funzione
)( cos)( cos)()()( 2221112211 ϕωϕω +⋅++⋅=⋅+⋅= tVatVatvatvatv
( ){ } ( ){ }tjtjjj aaVaVa ωωϕϕ eReeeeRe 2211221121 VV ⋅+⋅=⋅+⋅=
dimostrazione
fasore
{ } { }tjjtjj VaVa ωϕωϕ eeReeeRe 212211 ⋅+⋅=
a1, a2 costanti reali
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 13
Proprietà dei fasori: derivazione
)( cos)( 111 ϕω += tVtv 1e11ϕjV=V
dt
tdvtv
)()( 1= 1VV ωj=
funzione
( ) { }tjjVdt
dtV
dt
d
dt
tdvtv ωϕϕω eeRe)( cos
)()( 1
1111 =+==
dimostrazione
fasore
( ) { } { }tjtjjtjj jVjVdt
d ωωϕωϕ ωω eReeeReeeRe 11111 V==
=
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 14
Proprietà dei fasori: integrazione
)( cos)( 111 ϕω += tVtv 1e11ϕjV=V
dttvtv )()( 1∫= ωj1V
V =
funzione
{ }dtVdttVdttvtv tjj eeRe )( cos )()( 11111 ∫∫∫ =+== ωϕϕω
dimostrazione
fasore
{ }
=
== ∫ tjtjj
tjj
jj
VdtV ω
ωϕωϕ
ωωeRe
eeRe eeRe 11
1
1
1V
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 15
Quando è possibile usare i fasori?
Un circuito può essere analizzato nel dominio dei fasori quando tutti i segnali (tensioni e correnti)
sono sinusoidi alla stessa pulsazione ω.
Tutti i generatori indipendenti funzionano alla pulsazione ω e il
circuito include solo elementi lineari
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 16
Relazioni tra fasori di tensione e corrente
v+
–
i
R
iRv ⋅=
V+
–
I
R
IV ⋅= R
v+
–
C
i
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 17
Relazioni tra fasori di tensione e corrente
V
I
VI ⋅= Cjωdt
dvCi ⋅=
+
–
C
v+
–
L
i
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 18
Relazioni tra fasori di tensione e corrente
V
I
IV ⋅= Ljωdt
diLv ⋅=
+
–
L
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 19
Impedenza
ZjXR θ∠=+== || ZIV
Z
R = Re{Z} resistenza
X = Im{Z} reattanza
22|| XR +=Z
R
XZ arctg=θ
YjBG θ∠=+=== ||1
YVI
ZY
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 20
Ammettenza
G = Re{Y} conduttanza
B = Im{Y} suscettanza
||
1|| 22
ZY =+= BG
ZY G
B θθ −== arctg
jXRjBG
+=+ 1
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 21
Relazioni fra impedenza e ammettenza
22 XR
RG
+=
22 XR
XB
+−=
22 BG
GR
+= 22 BG
BX
+−=
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 22
Impedenza e ammettenza per R, L, C.
R=ZR
1=Y
impedenza ammettenza
resistenza R
Cjω1=Z Cjω=Ycapacità C
Ljω=ZLjω
1=Yinduttanza L
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 23
KCL per i fasori
IN
I1I2 I3
01
=∑=
N
nnI
I4
La somma algebrica dei fasori delle correnti che entrano in una superficie chiusa è zero
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 24
KVL per i fasori
La somma algebrica dei fasori delle tensioni lungo una maglia è zero
01
=∑=
M
mmVV2
+
–
+ –V1+ –VM
+– V3 V4 +–
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 25
Impedenze in serie
Z1 ZNa
b
VZZZ
ZV
N21
nn +++
=K
Zeqa
b
∑=
=+++=N
1nnN21eq ZZZZZ K
V1+ + VN
– –
V+
–V+
–
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 26
Impedenze in parallelo
IYYY
YI
N21
nn +++
=K∑
=
=+++=N
1nnN21eq YYYYY K
I1
a
b
IN
YNY1 Yeq
a
b
I I
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 27
Trasformazioni impedenze stella/triangolo
ZaZb
Zc
1
2
3
4
1
2
3
4
cba
cb1 ZZZ
ZZZ
++⋅=
cba
ac2 ZZZ
ZZZ
++⋅=
cba
ba3 ZZZ
ZZZ
++⋅=
1
133221a Z
ZZZZZZZ
⋅+⋅+⋅=2
133221b Z
ZZZZZZZ
⋅+⋅+⋅=3
133221c Z
ZZZZZZZ
⋅+⋅+⋅=
triangolo ⇒ stella
stella ⇒ triangolo
Z1 Z2
Z3
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