02_matrices y sistemas de ecuaciones

MATEMÁTICA BÁSICAMatrices y sus Aplicaciones

Operaciones con matrices

MATRICES

Matrices especiales

Elementos de la matrizNúmero de filas, columnas y orden

Matrices fila Matriz columnaMatriz nulaMatriz cuadradaMatriz diagonal Matriz escalar Matriz Identidad

AdiciónSustracciónMultiplicación

Determinante de una matriz

CONTENIDOS

¿Qué tienen en común las siguientes imágenes?

¿Cómo se ordenan los elementos en las imágenes?

¿Es importante organizar los elementos en forma ordenada?

ORDENAR DATOS

• ¿Qué podrías utilizar para organizar muchos datos numéricos de tal manera que nos permita obtener información de forma rápida?

• ¿Qué es una matriz?• ¿Qué símbolo matemático expresa una

matriz?• ¿Qué clase de matriz existen?• ¿Los datos organizados en tablas se podrán

sumar, restar y/o multiplicar? • ¿Qué expresiones matemáticas utilizarías para

representar las imágenes presentadas en la diapositiva anterior?

SABES…

Una compañía tiene 4 fábricas, cada una emplea administradores, supervisores y trabajadores calificados en la forma siguiente:

Fab 1 Fab 2 Fab 3 Fab 4Administradores 1 2 1 1Supervisores 4 6 3 4Trabajadores 80 96 67 75

Si los administradores ganan $350, los supervisores $275 y los trabajadores $200. ¿Cuál es la planilla de cada fábrica?

SABES…

¿Cómo resolverías este problema?

Al finalizar la sesión el estudiante resuelve ejercicios y problemas de contexto real relacionados a la gestión empresarial haciendo uso de la teoría de matrices, de forma correcta.

LOGRO DE SESIÓN

1. MATRIZ

Fila 1

Fila 2

Fila 3

Fila m

Columna 1

Columna 2

Columna 3

Columna n

Por ejemplo

2) La matriz

1.1. EJEMPLOS

1.1. EJEMPLOS

Una fábrica produce tres tipos de productos: A, B y C, que distribuye a cuatro clientes. El primer cliente compró 8 unidades de A, 4 de B y 2 de C; el segundo cliente, compró 3 unidades de A, 12 de B y ninguna de C; el tercer cliente nada compró y el cuarto cliente compró 6 de A, 7 de B y 9 de C.

Construye una matriz de orden 4x3 correspondiente a estas ventas.Solución

• La matriz 4x3, tiene 4 filas y 3 columnas

1er, clienteA

CB

2do, cliente

3er, cliente

4to, cliente

1.1. EJEMPLOS

Una fábrica de muebles hace mesas, sillas, carpetas y armarios, y cada uno de ellos en tres modelos: económico (E), normal (N) y lujo (L). Cada mes produce: mesas, 50 E, 40 N y 30 L; sillas, 200 E, 150 N y 100 L; Carpetas, 15 E, 20 N y 10 L; armários, 40 E, 30 N y 20 L.

Representa esta información en una matriz de orden 3x4.

1.1. EJEMPLOS

2. MATRICES ESPECIALES

1) Matriz fila o Vector filaEs una matriz que tiene una sola fila.

1

2) Matriz columna o Vector columnaEs una matriz que tiene una sola columna.

1

2

2

Ejemplo

Ejemplo

2. MATRICES ESPECIALES

4) Matriz cuadradaEs una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas.

672014523

A

Diagonal principal

Diagonal secundaria

3) Matriz nula o cero Es una matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero.

1

4

2 3

Ejemplos:

2. MATRICES ESPECIALES

5) Matriz diagonalEs una matriz cuadrada en la que todos los elementos que se encuentran fuera de la diagonal principal son ceros.

6) Matriz escalarEs una matriz diagonal, donde todas las entradas que pertenecen a la diagonal principal son iguales.

7) Matriz identidadEs una matriz diagonal, donde todas las entradas que pertenecen a la diagonal principal son iguales a uno.

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

1

1

1

2

2

2

8) Matriz triangular superiorEs una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal son ceros.

9) Matriz triangular inferiorEs una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran encima de la diagonal principal son ceros.

3 0 0 07 5 0 09 2 1 03 6 8 7

B

1

1

2

2

Ejemplos

Ejemplos

2. MATRICES ESPECIALES

10) Matriz simétrica Una matriz A es simétrica si se cumple que:

2 4 14 1 21 2 5

A

A = AT

11) Matriz antisimétrica Una matriz A es simétrica si se cumple que: A = - AT

0 3 13 0 2

1 2 0

A

En una matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son todos iguales a cero.

2

1

1

2

Ejemplos

Ejemplos

3

3

2. MATRICES ESPECIALES

Ejemplo:

12) Matriz transpuesta

Solución

2. MATRICES ESPECIALES

13) Matrices iguales

La matriz A es igual a la matriz B, cuando: • tienen el mismo orden y • los elementos que ocupan el mismo lugar son iguales. Ejemplo:

3. SUMA DE MATRICES

3 2 3 2

2 3 7 80 5 2 510 8 2 1

x x

3 2

5 52 012 7

x

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

240112

A

232234

B

072142

BA

Para sumar dos matrices, estas han de tener las mismas dimensiones y se suman elemento a elemento.

Halla la matriz correspondiente a las ventas de enero (E) y febrero(F).

En el mes de febrero,

En el mes de enero (E)A B C A B C

Solución

3.1 APLICACIÓN DE SUMA DE MATRICES

4. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ

Para multiplicar un número por una matriz, se multiplica el número por cada elemento de la matriz.

Solución:

1

2

Una fábrica de muebles hace mesas, sillas , y armarios, y cada uno de ellos en tres modelos: económico (E), normal (N) y lujo (L). Cada mes produce:

Mesas

Sillas

Armarios

E N L

Calcule la matriz que da la producción de un año.

4.1 APLICACIÓN DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ

Una empresa que fabrica televisores produce tres modelos con distintas características en tres tamaños diferentes. La capacidad de producción(en miles) en su Fábrica A, esta dado por:

La capacidad de producción en la Fábrica B, esta dado por:

1) ¿Cuál es la capacidad de producción total en las dos fábricas?

2) Si la empresa decide incrementar su producción en la Fábrica A en un 20 por ciento. ¿cuál será la nueva producción en ésta fábrica?

APLICACIÓN

A+20%A=A+0.2A=1,2A

Para multiplicar una matriz fila por una matriz columna, se multiplican elemento a elemento y se suman los productos obtenidos.

1

Solución

2

Solución

Ejemplos

5. PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA

APLICACIONES:

2. Sea M una matriz simétrica y N una matriz escalar con , halla la matriz:

abNMP 2

1. Dada la matriz

2513

A se le pide que

a) Halle la matriz IAAM t 2..3

6. PRODUCTO DE DOS MATRICES

2x3 3x4

3 2 1 02 1 4

A B . 2 3 5 95 3 0

4

7 2 1

C14 =

C12 =

C13 =

C21 =2(3) + (1)(2)+4(4) =

C22 =

C23 =

C24 =

C11 =

2(2) + (1)(3) + 4(7) =

2(1) + (1)(5) + 4(2) =

2(0) + (1)(9) + 4(1) =

5(3) + (3)(2) + 0(4) =

5(2) + (3)(3) + 0(7) =

5(1) + (3)(5) + 0(2) =

5(0) + (3)(9) + 0(1) =

8

29

11

5

9

19

20

27

-8

29

-11

-5

9

19

20

27

Para multiplicar dos matrices, se multiplica cada fila de la 1ª matriz por cada columna de la 2ª matriz.

Solución

Ejemplo

Determine el costo (en dólares) de la compra.

6.1 APLICACIÓN DE PRODUCTO DE MATRICES

a) Calcule AB ⋅b) Suponiendo que se vendieron todos los zapatos producidos ¿Cuál fue

la ganancia del mes de enero en la planta de Trujillo?

6.1 APLICACIÓN DE PRODUCTO DE MATRICES

Si A es una matriz cuadrada y “k” un entero positivo, entonces la k-ésima potencia de A denotada Ak , es el producto de k factores de A.

Ak = A.A.A . . ….. A

K factores

Ejemplo: 3 Acalcular , ASi

2101

Solución:

4301

2101

21012A

8701

2101

4301

AAA 23

7. POTENCIA DE MATRICES

Ejemplo:

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2

1

Solución

8. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 3

1

Solución

8. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

MATEMÁTICA BÁSICA

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

I. El determinante de una matriz con dos filas o columnas proporcionales es cero.

II. El determinante de una matriz con una fila o columnas nulas es cero.

III. El determinante de una matriz en que una fila o columna depende linealmente de otras filas o columnas es cero.

IV. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

V. El determinante de la matriz unidad es 1

VI. Si se multiplican los elementos de una fila o columna de una matriz por un número el determinante de la matriz se multiplica por ese número.

VII. Si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.

VIII. El determinante del producto de dos matrices cuadradas y multiplicables es igual al producto de los determinantes de cada una de ellas.

IX. El producto de los determinantes de dos matrices inversas es 1.

9. METACOGNICIÓN

1. ¿Para que les sirvió conocer matrices?

2. ¿En qué casos cotidianos podrían aplicar lo aprendido?

3. ¿Cuáles fueron las dificultades que encontraron en el desarrollo de este tema?

10. CONCLUSIONES

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. Haeussler Ernest F. Matemática para administración y economía.

510 HAEU / M 2008.

2. Charles D. Miller. Matemática: Razonamiento y aplicaciones. PEARSON.

510 MILL / M 2006

3. Soo Tang Tan. Matemáticas para administración y economía.

510 TAN